Makalah Mtk

KARAKTERISASI ALIRAN DUA FASE (CAIR-GAS) SEARAH VERTIKAL KE ATAS DALAM SALURAN : “ POLA ALIRAN” Miftah Hazmi (10308073) Mahasiswa Sarjana Magister Teknik Sipil 2008 Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Gundarma [email protected] Abstrak Aliran dua fase merupakan bagian dari aliran multi-fase yang dibedakan atas fase-fase aliran (gas-cair, cair-padat dan padat-gas), arah aliran (searah dan berlawanan arah) dan kedudukan saluran (tegak, mendatar atau miring). Tujuan penelitian adalah untuk mendapatkan visualisasi aliran. Pengujian dilakukan dengan kondisi kecepatan aliran cairan konstan dan gas berubah-ubah, kecepatan aliran gas konstan dan cairan berubah-ubah serta kecepatan aliran cairan dan gas konstan (berubah secara bersamaan). Sehingga diperoleh karakterisasi aliran pada pipa vertikal berdiameter satu inci dengan arah aliran searah keatas. Penelitian dilakukan dengan menggunakan pipa transparan berdiameter 24 mm dengan fluida gas adalah udara dan fluida cair adalah air. Pola aliran diamati pada kecepatan aliran air 0,14 m/s sampai 1,40 m/s, sedangkan kecepatan aliran udara 0,114 m/s sampai 2,680 m/s. Eksperimen dilakukan pada tekanan 1 atm dan temperatur 20 oC. Hasil penelitian menunjukkan bahwa perubahan kecepatan aliran udara dan air besar pengaruhnya pada pola aliran yang dihasilkan. Keywords : Aliran dua fase, aliran searah vertikal ke atas, aliran Kata-kata kunci: teknik sipil, matriks invers, rekayasa sipil, metode numerik

1. PENDAHULUAN Dalam bidang rekayasa sipil, sangatlah dibutuhkan cara penyelesaian dengan matematika. Para rekayasawan dan para ahli ilmu alam, dalam pekerjaannya sering berhadapan dengan persamaan matematika. Persoalan yang muncul di lapangan diformulasikan ke dalam model yang berbentuk persamaan matematika. Persamaan tersebut mungkin sangat kompleks atau jumlahnya lebih dari satu. Metode numerik sehingga persoalan dapat diselesaikan dengan cepat dan akurat. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan teknik sipil ini adalah dengan menggunakan sistem persamaan linier, disini kita menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan untuk penyelesaiannya. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi

dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887. Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi (reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai pada bentuk baris eselon (row echelon form).1 2. METODE PENYELESAIAN Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ), prinsipnya: mirip sekali dengan metode EG, namun dalam metode ini jumlah operasi numerik yang dilakukan jauh lebih besar, karena matriks A mengalami inversi terlebih dahulu untuk mendapatkan matriks identitas (I). Karena kendala tersebut, maka metode ini sangat jarang dipakai, Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapat pula digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah 1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. 2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|B) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi.2 Contoh mengubah sistem persamaan linier menjadi matriks augmentasi. Persamaan linier : 2x + 4y - 2z = 12 x + 5y + 3z = 8 -3x + y + 3z = -4

10010102001­1

Penyelesaian sistem persamaan linier simultan merupakan bentuk persamaan yang paling banyak dipakai dalam penyajian matematis berbagai masalah dalam ilmu rekayasa. Disini dibahas penggunaan persamaan linier simultan dalam 5 kelompok utama rekayasa sipil. 1) Bdang Teknik Struktur 2) Bidang Teknik Transportasi 3) Bidang Teknik Sumber Daya Air 4) Bidang Teknik Manajemen Konstruksi

Matrik augmentasinya :

24­2121538­313­4 Dengan operasi baris elementer (OBE) atau operasi kolom elementer (OKE) dihasilkan matrik eselon tereduksinya :

3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Bidang Teknik Struktur Struktur rangka bidang sebagimana tergambar dibebani oleh gaya sebesar 1000 kg. Hitunglah gaya dalam batang serta reaksi di perletakan dengan penyelesaian matriks.

H 3 2 1 60º 90º 30º 1000Kg 1

v1

V2 Gambar 1.1 Sistem struktur rangka bidang.

Penyelesaian

Dengan cara kesetimbangan gaya pada titik kumpul, gaya yang bekerja pada setiap titik kumpul 1,2, dan 3 dapat digambarkan seperti pada gambar di bawah ini.

1 H 3 90º 30º V 60º 2 v21 F 1 3 2

Gambar 1.2 Kesetimbangan gaya di titik nodal.

Gaya batang tarik bertanda positif, sebaliknya gaya batang tekan bertanda negatif.

Nodal 1 : ΣFh = -F1cos (30)+F3cos (60)=0 ΣFv = -F1sin(30)+F3sin(60)-1000=0

(1)

Nodal 2 : ΣFh = -F2 -F3 cos (60)=0 ΣFv = F3sin (60) +V2=0

(3) (4)

Nodal 3 : ΣFh = F1cos (30)+F2+H2=0 ΣFv = F1sin (30)+V2=0

(5) (6)

(2)

Dalam bentuk matriks,dari persamaan (1) sampai (6) dapat disusun sebagi berikut :

­cos300cos60000­sin300­sin600000­1­ cos6000000sin60001cos3010100sin3000010F1F2F3H1V1V2=010000000 Lalu bentuk matriks di atas menjadi matriks augmented seperti di bawah ini

­cos300cos600000­sin300­sin6000010000­1­cos60000000sin600010cos30101000sin30000100 Martiks Penggabungan

­0.86600.50000­0.50­0.86600010000­1­0.50000000.86600100.8661010000.5000100 Matriks setelah eleminasi sehingga bentuk matriks eselon tereduksi

100000­500.022000968043010000433.019052838325001000­ 866.038105676650001000000010250.011000484021000001749.988999515979 Sehingga dari hasil di atas diperoleh

F1F2F3H1V1V2=­500433­8660250750

H 3 2 1 60º 90º 30º 1000Kg 8­500 250 750 433 66 1

Gambar 1.3 Arah, besaran reaksi dan gaya dalam batang. 3.2 Bidang Teknik Transportasi Seorang mahasiswa SarMag Teknik Sipil Universitas Gunadarma yang menetap di Asrama Brimob Kedung Halang Bogor dapat memilih empat jenis alat transportasi untuk sampai ke kampus. Keempat jenis alat transportasi itu adalah taksi, kereta, angkutan umum, dan bus. Berikut ini adalah karakteristik yang dimiliki setiap jenis alat transportasi.

Karakteristik Waktu (jam) Kecepatan Rata-rata (km/jam) Biaya (Rp) Pemberhentian

Taksi 1 60

Kereta 0,75 80

Angkutan umum 1,5 40

Bus 1,25 48

50.000 0

6.000 5

8.000 10

5.000 4

Table 2.1 Perbandingan waktu, kecepatan rata-rata, biaya dan pemberhentian kendaraan. Jika dalam satu bulan mahasiswa tersebut merencanakan untuk menghabiskan waktu 20 jam di perjalanan, kecepatan 1200 km/jam, 80 kali pemberhentian, dan biaya sebesar Rp 250.000,00. Berapa kalikah dia harus menggunakan setiap jenis alat transportasi? Penyelesaian Misalkan x1,x2,x3, dan x4 adalah berturut-turut penggunaan jumlah angkutan taksi, kereta, angkutan umum, dan bus oleh mahasiswa. Dari data-data yang ada dapat disusun tiga buah persamaan similtan berikut :

(1) x1 + 0,75 x2 + 1,5 x3 + 1,25 x4 = 20 (2) 60 x1 + 80 x2 + 40 x3 + 48 x4 = 1200 (3) 50.000 x1 + 6.000 x2 + 8.000 x3 + 5.000 x4 = 250.000 (4) 5 x2 + 10 x3 + 4 x4 = 80 Dalam bentuk matriks, persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai : A

x

B

=

C

10,751,51,25608040485000060008000500005104x1x2x3x4 = 20120025000080 Dengan menyeleseikan persamaan diatas dengan program di dapat : Penggabungan matriks A dan matriks B :

10,751,51,2520608040481200500006000800050002500000510480 Matriks setelah dilakukan operasi elementer, sehingga matriks A menjadi matriks eselon tereduksi :

100028799140100688991400102279182800013410457 Hasil Akhir :

2879914 = 3,1499 ≈ 4→ Taksi = 4 x2 = 6889914 = 7,5372 ≈ 8 → Kereta = 8 x3 = 22791828 = 1,2467 ≈ 2 → Angkutan umum = 2 x4 = 3410457 = 7,4617 ≈ 8 → Bus = 8 x1=

Dari Eksekusi program diperoleh hasil bahwa untuk memenuhi syarat yang diberikan, mahasiswa tersebut harus 4 kali naik taksi, 8 kali naik kereta, 2 kali naik angkutan umum, dan 8 kali naik bus.

3.3 Bidang Teknik Sumber Daya Air

Suatu jaringan pipa sebagaimana ditunjukkan pada gambar mengalirkan air dari reservoir kiri [1] ke reservoir kanan [6] dengan menggunakan pompa A dan B. Pipa C dan D dalam posisi horizontal. Ada beda ketinggian antara titik 5 dan 6 yang mempunyai nilai, yaitu 7 m. Diberikan data sebagai berikut : Pompa A B Pipa C D E

α (psi) 156,6 117,1 D (In) 1,278 2,067 2,469

β (psi) 0,00752 0,00427 L (ft) 125 125 145

P Pipa Pipa  Pompa   E CB D A 564123ompa  3  C

Persamaan penentu untuk aliran dalam jaringan 6 adalah : (1) P2 = αA – βA Qc2 (2) P3 = αB – βB QD2 (3) P4 = (αA – βA Qc2) + (αB – βB QD2) (4) 2,31 (P2 – P5) + 8,69*10-4 QC2 LC/DC5 = 0 (5) 2,31 (P3 – P5) + 8,69*10-4 QD2 LD/DD5 = 0 (6) 2,31 (P4 – P5) + 8,69*10-4 QC2 LC/DC5 + 8,69*10-4 QD2 LD/DD5 = 0 (7) Z6 – Z5 – 2,31 P5 + 8,69*10-4 QE2 LE/DE5 = 0 Penyelesaian : Persamaan penentu di atas dapat disusun kembali menjadi sebagai berikut : (1) P2 = αA – βA Qc2 (2) P3 = αB – βB QD2 (3) P4 = (αA – βA Qc2) + (αB – βB QD2) (7) P5 = 12,31[8,69*10-4 QE2 LE/DE5 + Z6 – Z5] (4) QC = 2,31 P2 –P5* DC58,69*10­4* LC

(5) QD = 2,31 P3 –P5* DD58,69*10­4* LD (6) QC + QD = 2,31 P4 –P5* DC5+ DD58,69*10­4* (LC+LD)  Dengan memasukkan semua harga ke dalam persamaan di atas akan diperoleh : P2 = 156,6 – 0,00752 *Qc2 P3 = 117,1 – 0,00427 *QD2 P4 = (156,6 – 0,00752 *Qc2) + (117,1 – 0,00427 *QD2) P5 = 12,31[8,69*10-4 QE2 * 145/2,4695 + 7] = 5,95*10-4 * QE2 + 3,3 QC2 = 2,31 P2 –P5* 1,27858,69*10­4* 125 2 QC2 = 8,51*(P2­P4)2 QC2 = 8,51156,6 – 0,00752*QC2­(5,95*10­4*QE2+3,3) QC2 = (1332,66 – 0,0064*QC2) – (50,63*10-4*QE2 + 28,08) QC2 = 1304,58 – 0,0064*QC2 – 50,63*10-4*QE2 1,0064*QC2 + 50,63*10-4*QE2 = 1304,58 1,0032*QC + 0,071*QE = 36,12………………..(7) QD2 = 2,31 P3 –P5* 2,06758,69*10­4* 1252 QD2 = 28,33*(P3­P4)2 QD2 = 28,33117,1 – 0,00427*QD2­(5,95*10­4*QE2+3,3) QD2 = (3317,44 – 0,121*QD2) – (168,56*10-4*QE2 + 93,5) QD2 = 3223,94 – 0,121*QD2 – 168,56*10-4*QE2 1,121*QD2 + 168,56*10-4*QE2 = 3223,94 1,1*QD + 0,1*QE = 57………………..(8) QC2 + QD2 = 2,31 P4 –P5* 1,2785+2,06758,69*10­4*(125+125)2 QC2 + QD2 = 437,44*(P4­P5)2 QC2 + QD2 = 437,44156,6 – 0,00752*QC2+117,1 – 0,00427*QD2­(5,95*10­4*QE2+3,3) QC2 + QD2 = (68503,1 – 3,3*QC2) + (51224,2 – 2*QD2) – (2602,2*10-4*QE2 + 1443,5) QC2 + QD2 = 11828,4 – 3,3*QC2 – 2*QD2 – 2602,2*10-4*QE2 4,3*QC2 + 3*QD2 + 2602,2*10-4*QE2 = 11828,4 2,07*QC + 1,73*QD + 0,51*QE2 = 108,76………………..(9) Mencari nilai variable dari persamaan (7), (8), dan (9) dengan metode Gauss-Jordan : 1,0032*QC + 0,071*QE = 36,12 1,1*QD + 0,1*QE = 57 2,07*QC + 1,73*QD + 0,51*QE2 = 108,76 Penyelesaian :

1,0032⋯0,071⋮1,10,12,071,730,51QCQDQE=36,1257108,76 1,003200,07101,10,12,071,730,5136,1257108,76B1(11,0032) 100,07101,10,12,071,730,513657108,76B2(11,1)B31(­2,07) 100,071010,0901,730,363651,8134,24B32(­1,73) 100,071010,09000,233651,81­28,04B3(10,23)

100,071010,090013651,81­121,91B13(­0,071)B23(­0,09) 10001000144,6562,78­121,91 Dari hasil transformasi elementer (Gauss-Jordan), maka didapat nilai variable : QC = 44,65 QD = 62,78 QE = -121,91 3.4 Bidang Teknik Manajemen Konstruksi Dalam suatu pekerjaan proyek pembangunan, kontraktor pelaksana memerlukan bahan bangunan 5600 m3 pasir, 6210 m3 kerikil halus dan 7540 m3 kerikil kasar. Terdapat tiga sumber bahan dengan kandungan material sebagai berikut :

Sumber 1 Sumber 2 Sumber 3

Pasir % 45 22 20

Kerikil halus % 35 50 20

Kerikil kasar % 20 28 60

Berapa m3 kah yang harus digali dari ketiga sumber tersebut untuk memenuhi kebutuhan kontraktor? Penyelesaian

(1) 45% sumber1 + 22% sumber2 + 20% sumber3 = total jumlah pasir (2) 35% sumber1 + 20% sumber2 + 20% sumber3 = total jumlah kerikil halus (3) 20% sumber1 + 28% sumber2 + 60% sumber3 = total jumlah kerikil kasar

Dengan melengkapi data masukan dan menuliskan persamaan (1) sampai (3) dalam bentuk matriks didapat : A B

0.450.220.200.350.500.200.200.200.60 sumber 1sumber 2sumber 3 = 560062107540 Ubah persamaan tersebut menjadi matriks (A|B) :

0.450.220.2056000.350.500.2062100.200.200.607540 Kemudian penyelesaian system persamaan linier simultan dengan metode gauss Jordan :

1006283.152173913040104422.554347826090018998.09782608696

Dari perhitungan dengan menggunakan metode gauss Jordan, di dapat hasil bahwa banyaknya galian yang harus diperoleh dari setiap sumber adalah : Sumber 1 : 6283.15 m3 Sumber 2 : 4422.55m3 Sumber 3 : 8998.1 m3

4. SIMPULAN DAN SARAN

Dari hasil pembahasan di atas, dapat menjawab berbagai persoalan yang muncul di lapangan dan diformulasikan ke dalam model yang berbentuk persamaan matematika yang kompleks atau jumlahnya lebih dari satu. Dengan menggunakan metode Gauss Jordan berbagai masalah dalam bidang rekayasa sipil seperti dalam bidang struktur, bidang transportasi, bidang sumber daya air dan bidang manajemen konstruksi dapat diselesaikan dengan lebih mudah dan lebih cepat dibandingkan dengan cara konvensional. Kelebihan dengan metode gauss jordan ini dapat menyelesaikan persamaan hanya dengan satu kali perhitungan. Oleh karena itu jika ingin mengetahui semua nilai variable dalam sistem persamaan maka lebih baik menggunakan metode Gauss Jordan dan jika hanya ingin mengetahui salah satu nilai variable dalam sistem persamaan lebih baik menggunakan metode Gauss. Hal ini dikarenakan jika hanya ingin mengetahui satu nilai variable tetapi meggunakan metode Gauss Jordan maka konsekuensinya akan membutuhkan database yang lebih besar jika diaplikasikan ke dalam program.

UCAPAN TERIMAKASIH Terimakasih kepada Allah SWT., DRS. Edi Sukirman, MM, , MM, orang tua, dan rekan-rekan SarMag Teknik Sipil 2008. DAFTAR ACUAN 1

Rendy Wijaya et al,. 2009. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS JORDAN.Available[online]: [29 juli 2009] 2 Nasution, A., Zakaria, H., Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil, Penerbit ITB, Bandung, 2001.