Makalah Matriks Dan Sistem Persamaan Linier.docx

MAKALAH FISIKA KOMPUTASI

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS, GAUSS-SIEDEL DAN GAUSS JORDAN

DISUSUN OLEH :

BESTRICA KURNIA SARI

(8186175005)

DESTRI BAIZIAH

(8186175006)

PROGRAM PENDIDIKAN PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN T.A : 2018/2019

KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNya

sehingga

makalah ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pemikirannya. Dan harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, Untuk kedepannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi makalah agar menjadi lebih baik lagi. Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, Kami yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

Medan,

Februari 2019

Kelompok III

i

DAFTAR ISI Kata pengantar .................................................................................................................... i Daftar isi.............................................................................................................................. ii Bab I

Pendahuluan 1.1 Latar Belakang ................................................................................................. 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................................................ 1 1.3 Tujuan Penulisan ............................................................................................. 1

Bab II

Pembahasan 2.1

Sistem Persamaan Linear ............................................................................... 2

2.2

Metode Eliminasi Gauss ................................................................................ 2

2.3

Contoh Penyelesaian Sistem Persamaan Linear ............................................ 2 2.3.1

Kalkulasi Manual ............................................................................... 3

2.3.2

Penylesaian Dengan Matlab .............................................................. 6 2.3.2.1 Metode Eliminasi Gauss ...................................................... 6 2.3.2.2 Metode Iterasi Gauss-Seidel ................................................ 10 2.3.2.3 Metode Eliminasi Gauss-Jordan .......................................... 13

Bab III 3.1

Penutup Kesimpulan ................................................................................................... 23

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 24

ii

BAB I PEMBAHASAN

1.1.

Latar Belakang Sering kali permodelan matematika muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga

tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi sebenarnya (exact solution). Dengan menggunakan metode numerik, solusi dari persoalan yang dihadapi tidak akan diperoleh. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang mendekati atau menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Berdasarkan uraian di atas, maka penulis tertarik untuk membuat makalah mengenai Metode Numerik untuk Solusi sistem persamaan linear menggunakan metode Eliminasi Gauss menggunakan Bahasa Pemograman Matlab.

1.2

Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dalam makalah ini adalah 1. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi Gauss? 2. Bagaimana membuat program MATLAB dalam menyelesaikan persamaan linear dengan metode eliminasi Gauss ?

1.3

Tujuan Adapun tujuan dalam makalah ini adalah 1. Mampu menyelesaikan persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi Gauss? 2. Mampu membuat program MATLAB dalam menyelesaikan persamaan linear dengan metode eliminasi Gauss ?

1

BAB II PEMBAHASAN

2.1

Sistem Persamaan Linear Di dalam matematika, sistem persamaan linier adalah kumpulan persamaan-

persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 :

:

:

=:

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn Dengan mengunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan di atas sebagai persamaan matriks 𝐴𝑥 = 𝑏 Yang dalam hal ini, 𝐴 = [𝑎𝑖,𝑗 ] adalah matriks berukuran n x n 𝑥 = [𝑥𝑗 ] adalah matriks berukuran n x 1 𝑏 = [𝑏𝑗 ] adalah matriks berukuran n x 1 (disebut juga vector kolom) Yaitu: 𝑎11 𝑎21 𝑎31 … [𝑎𝑛1

2.2

𝑎12 𝑎22 𝑎32 … 𝑎𝑛2

𝑏1 … 𝑎1𝑛 𝑥1 … 𝑎2𝑛 𝑥2 𝑏2 … 𝑎3𝑛 𝑥3 = 𝑏3 … … … … … 𝑎𝑛𝑛 ] [𝑥𝑛 ] [𝑏𝑛 ]

𝑎13 𝑎23 𝑎33 … 𝑎𝑛3

Metode Eliminasi Gauss Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui

beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi GaussJordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik. Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

2

2.3

Contoh Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Eliminasi Gauss. Selesaikan Persamaan Linear Berikut 4X1 + 5X2 + 0X3

=4

P1

2X1 – 2X2 + 3X3

=8

P2

2X1+ 1X2 + 5X3

= 12

P3

2.3.1. Kalkulasi Manual Tahap Pertama : Eliminasi Maju Langkah pertama adalah dengan mengeliminasi x1 dari persamaan P2 dengan syarat a11 ≠ 0 Rumus : P2  P2  m21  P1 , dimana '







m21 

a 21 a11

a  a21 '  a21   21   a11  a11  2 a 21 '  2     4 4 a21 '  0 a  a22 '  a22   21   a12  a11  2 a 22 '   2     5 4 9 a 22 '   2 a  a23 '  a23   21   a13  a11  2 a 23 '  3     0 4 a23 '  3



a  b2 '  b2   21   b1  a11  2 b2 '  8     4 4 b2 '  6 b2 '  6

3

Langkah kedua adalah dengan megeliminasi maju x1 dari P3 dengan syarat 𝑎11 ≠ 0. Rumus: P ' 3  P3  m31  P1 , dimana



m31 

a31 a11

a  a31 '  a31   31   a11  a11  2 a31 '  2     4 4

a31 '  0 

a  a32 '  a32   31   a12  a11  2 a32 '  1     5 4

a32 '   

3 2

a  a33 '  a33   31   a13  a11  2 a33 '  5     0 4

a33 '  0 

a  b3 '  b3   31   b1  a11  2 b3 '  12     4 4

b3 '  10 Setelah mengeliminasi x1 pada persamaan P2 dan P3, maka persamaan linear tersebut menjadi: 4X1 + 5X2 + 0X3 9 0 − 2X2 + 3X3 0

3

− 2X2 + 5X3

=4 =6

P1 P2

= 10

P3

Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi x2 pada persamaan P3, dengan cara : Rumus: 4

' P3  P3  m32  P2 dimana m32 



a32 a 22

a  a32 '  a32   32   a22  a22   3    3  9 a32 '       2      9  2     2    2

a32 '  0 

a  a33 '  a33   32   a23  a22   3   a33 '  5   2   3 9     2

a33 '  4 

a  b3 '  b3   32   b2  a22   3   b3 '  10   2   6 9     2

b3 '  8 Setelah mengeliminasi x2 pada persamaan P3, maka persamaan linear tersebut menjadi: 4X1 + 5X2 + 0X3 9 0 − 2X2 + 3X3 0 − 0 + 4X3

=4 =6 =8

P1 P2 P3

Tahap Kedua : Substitusi Mundur 

4 x3  8 8 x3  4 x3  2

5



9  x 2  3 x3  6 2 9  x 2  32   6 2 x2  0



4x1  5x2  4 4x1  50  4 x1  1

2.3.2. Penyelesaian dengan Matlab 2.3.2.1. Metode algoritma 

Koding Program

clc; clear; disp('Menyelesaikan Persamaan Linear dengan Metode Eliminasi Gauss') disp(' KELOMPOK III ') disp(' 1. Bestrica Kurnia Sari 2. Destri Baiziah’) disp('------------------------------------------------------------') a=input('Masukkan Elemen Matriks a : '); n=input('Jumlah Persamaan :'); disp('Elemen Matriks');a %eliminasi maju for k=1:n-1 for i=k+1:n qt=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n+1 a(i,j)=a(i,j)-qt*a(k,j); end end for i=k+1:n a(i,k)=0; end end %substitusi mundur x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for nx=1:n-1 jumlah=0; i=n-nx; for j=i+1:n jumlah=jumlah+a(i,j)*x(j); end x(i)=(a(i,n+1)-jumlah)/a(i,i); end disp('Nilai-nilai x'); x

6



Buka Program Matlab Pilih Menu File, Kemudian Pilih M-file



Kemudian akan muncul Command Window seperti tampak pada gambar berikut:



Masukkan Coding Program dalam Command Window . Pilih Menu Debug kemudian Save and Run, Seperti gambar dibawah: 7



Maka akan tampil seperti dialog dibawah. Kemudian Save Catatan: Dalam melakukan penyimpanan jangan menggunakan spasi ataupun tanda baca.

8



Maka akan muncul dialog seperti dibawah



Masukkan Persamaan Linearnya. 4X1 + 5X2 + 0X3 = 4 2X1 – 2X2 + 3X3 = 8 2X1+ 1X2 + 5X3 = 12 Output programnya didapatkan x1=1, x2=0, dan x3=2. Dibandingkan dengan hasil kalkulasi manual didapatkan hasil yang sama.

9

2.3.2.2.

Metode Iterasi



Masukkan Koding Program pada Work Sheet



Hasil dengan menggunakan iterasi

10

11

12

2.3.2.3

Metode Eliminasi Gauss Jordan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ), prinsipnya: mirip sekali dengan metode Eliminasi

Gauss, namun dalam metode ini jumlah operasi numerik yang dilakukan jauh lebih besar, karena matriks A. mengalami inversi terlebih dahulu untuk mendapatkan matriksidentitas (I). Karena kendala tersebut, maka metode ini sangat jarang dipakai, namun sangat bermanfaat untuk menginversikan matriks. Dasar Teori : Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal sebagai berikut:

Contoh Soal Selesaikan sistem persamaan berikut dengan Metode Eliminasi Gauss Jordan: x + y + 2z = 9 13

2x+4y - 3z = 1 3x+6y - 5z = 0 Note: penyelesaian secara manual di kertas*

Penyelesaian menggunakan MATLAB -

Pada command window, ketikkan edit

-

Tekan Enter, maka akan muncul layar editor, tuliskan listing program seperti dibawah ini

14

15

16

17

Jadi, dari hasil penyelesaian, diperoleh nilai: x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3

18

BAB III PENUTUP 3.1

Kesimpulan 1) Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks menggunakan operasi baris elementer (OBE) sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Matriks yang diperoleh menggunakan metode ini biasanya berupa matriks segitiga atas atau biasa disebut matriks eselon-baris.

2) Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

3) Metode ini merupakan salah satu metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah sistem persamaan linear tersebut ke dalam bentuk matriks ter-augmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel sistem.

19

DAFTAR PUSTAKA

Alatas,Husin.Buku Pelengkap Fisika Matematika.Derpartemen Fisika FMIPA Institut Pertanian Bogor Munir, R. 2003. Metode Numerik. Informatika. Bandung. Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. Andi. Yogyakarta. Sahyar.2014.Komputasi Sains Fisika.Medan: Unimed Press. Suparno, Supriyanto.2014. Komputasi untuk Sains dan Teknik Menggunakan Matlab.Depok: Departemen Fisika FMIPA Univ

20