Makalah Matriks Dan Ruang Vektor.docx

MAKALAH MATRIKS DAN RUANG VEKTOR “NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN” Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matriks dan Ruang Vektor. Dosen : Jeferson Siahaan, S.Si., M.M.

Disusun Oleh : 17113147

Muhammad Ridwan Kurnia TI RM 17A

PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI BANDUNG 2018

KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNYA sehingga makalah ini dapat tersusun hingga selesai . Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikirannya.

Dan harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, Untuk ke depannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi makalah agar menjadi lebih baik lagi.

Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, Kami yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

Cimahi, 5 Januari 2019

Penyusun

BAB I PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan dari fenomena riil yang dapat

dijelaskan melalui pembentukan model matematika Pada umumnya perumusan model matematika ini berupa fungsi. Dalam banyak kasus, tidak semua model matematika tersebut dapat diselesaikan secara mudah dengan menggunakan metode analitik, sehingga digunakan analisis numerik untuk mencari penyelesaiannya. Analisis numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmetik biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi) (Munir, 2003: 5) Salah satu bidang kajian matematika yaitu aljabar linier dimana salah satu cabangnya adalah matriks. Matriks yaitu suatu kumpulan angka-angka (sering disebut elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang dimana panjang dan lebarnya ditunjukan oleh banyaknya kolom dan baris. Pada dasarnya matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linier sehingga aljabar matriks sering disebut juga sebagai aljabar linier. Pada aljabar linier sendiri banyak permasalahan yang dapat dipelajari, salah satunya adalah tentang operator linier, pemetaan linier atau pun fungsi linier. Salah satu penerapan dari analisis numerik ini yaitu dalam masalah nilai eigen dan vektor eigen. Analisis numerik memberikan suatu cara alternatif yang digunakan untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks. Cara yang digunakan dalam analisis numerik ini termasuk unik karena dalam penyelesaiannya hanya diperlukan operasi-operasi aljabar biasa. Hanya saja, dalam penghitungannya tidak cukup dilakukan sekali tetapi harus dilakukan berulang-ulang sampai ditemukan nilai yang konvergen ke satu nilai yang merupakan nilai penyelesaiannya. Salah satu metode dalam analisis numerik yang bisa digunakan untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen yaitu metode pangkat. Dengan metode pangkat ini, nilai eigen yang berupa bilangan real dan vektor eigennya dapat ditemukan secara bersamaan menggunakan proses yang sama pula sehingga jika nilai eigen dari suatu matriks ditemukan, maka secara otomatis vektor eigen dari matriks yang bersangkutan akan diperoleh.

Dalam mencari nilai eigen dan vektor eigen menggunakan metode pangkat, akan memerlukan proses iterasi yang sangat panjang untuk menemukan hasil yang mendekati nilai yang sebenarnya. Semakin banyak iterasi yang dilakukan, maka semakin baik hasil yang diperoleh. Meskipun metode pangkat bisa digunakan untuk mengaproksimasi nilai eigen dan vektor eigen dari matriks, akan sulit untuk mengaproksimasi nilai eigen keseluruhan dari matriks tersebut. Aplikasi nilai eigen mencakup berbagai bidang keilmuan. Nilai eigen diperlukan untuk memecahkan berbagai permasalahan dalam kehidupan seharihari, diantaranya dalam hal struktur melengkungnya batang, campuran, gerak harmonik, getaran suatu bangunan, dan lain sebagainya. Sehingga bisa dikatakan metode dalam menemukan nilai eigen merupakan ilmu pengetahuan yang digunakan untuk membantu mempermudah kehidupan manusia sehari-hari.

1.2 Rumusan Masalah

1. Bagaimana Cara Menentukan Nilai Eigen? 2. Bagaimana Cara Menentukan Nilai Eigen dengan Persamaan Karakteristik? 3. Bagaimana Cara Menentukan Vektor Eigen?

1.3 Tujuan Masalah

1. Menjelaskan Cara Menentukan Nilai Eigen. 2. Menjelaskan Cara Menentukan Nilai Eigen dengan Persamaan Karakteristik. 3. Menjelaskan Cara Menentukan Vektor Eigen.

BAB II ISI

2.1 Nilai Eigen

Kata vektor eigen adalah rumusan bahasa jerman dan inggris. Dalam bahasa jermaneigen dapat diterjemahkan sebagai sebenarnya atau karakteristik, oleh karena itu, nilaieigen dapat juga kita namakan nilai sebenarnya atau nilai karakteristik. Dalam literatur lama kadang-kadang dinamakan akar-akar latent. Nilai eigen dan vektor eigen mempunyai tafsiran geometrik yang bermanfaat dalam R2 dan R3. Jika λ adalah nilai eigen dari A yang bersesuaian dengan x, maka Ax = λx, sehingga perkalian oleh A akan memperbesar x, atau membalik arah x, yang bergantung pada nilai λ.

A. Dilatasi (pembesaran) λ > 1. B. Kontraksi 0 < λ < 1. C. Pembalikan arah λ < 0 Jika A adalah matriks n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektoreigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yaitu Ax =

x

untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan x dikatakanvektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Jika A adalah sebuah matriks nxn maka sebuah vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x: Ax = λA. Dimana λ adalah suatu skalar dan x adalah vektor yang tidak nol. Skalar λ dinamakan nilai Eigen dari matriks A Nilai eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks bujur sangkar. Vektor x dalam persamaan di atas adalah suatu vektor yang tidak nol yang memenuhi persamaandi atas untuk

nilai eigen yang sesuai dan disebut dengan vektor eigen. Jadi vektor x mempunyai nilai tertentu untuk nilai eigen tertentu. Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, maka kita perlu memperhatikan kembali definisi nilai eigen dan vektor eigen, yaitu Ax =λx. Bentuk ini dapat kita tulis sebagai berikut :

Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian yang tidak nol dari sistem persamaan (λI-A) x = 0. Memiliki solusi nontrivial jika dan hanya jika det (λI– A) = 0. Ini dsebut persamaan karateristik dari A.

2.2 Persamaan Karakteristik

Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran nxn, maka kita perlu memperhatikan kembali definisi vektor eigen dan nilai eigen, yaitu Ax = λx. Bentuk ini dapat kita tulis sebagai berikut:

Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian yang tidak nol dari persamaan (1) ini. Menurut teorema dalam bahasan sebelumnya, maka persamaan (1) akan mempunyai penyelesaian tak nol (mempunyai penyelesaian non trivial) jika dan hanya jika:

Persamaan det (λ I – A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut Persamaan karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai- nilai karakteristik) dari matriks A. Det (λ I – A) ≡ f(λ) yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik

Dari pemahaman definisi di atas, jelas bahwa jika A adalah matriks nxn, maka persamaan karakteristik dari matriks A mempunyai derajat n dengan bentuk det (λ I – A) = f(λ) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + an - 1xn - 1+ a nxn = 0. Menurut teorema dasar aljabar kita dapatkan bahwa persamaan karakteristik tersebut mempunyai paling banyak n penyelesaian yang berbeda (Ingat metode Horner dan persamaan pangkat tinggi). Jadi, suatu matriks yang berukuran nxn paling banyakmempu nyai n-nilai eigen yang berbeda. Setelah kita memperhatikan uraian di atas, tentunya para pembaca berharap untuk meninjau ulang Contoh 1 atau Contoh 2 di atas sehingga kita mendapatkan nilainilai eigen dari matriks 2 2 dengan menyelesaikan persamaan karakteristiknya

Penyelesaian: Polinom karakteristik dari matriks Q adalah

Dan persamaan karakteristik dari matriks Q adalah λ2 - 3λ + 2 = 0 Penyelesaian dari persamaan ini adalah λ1 = 1 dan λ2 = 2. Jadi, nilai-nilai eigen dari matriks Q adalah 1 dan 2

Carilah: 1. Persamaan karakteristik dari matriks A 2. Nilai-nilai eigen dari matriks A

Penyelesaian: 1. Penyelesaian karakteristik dari matriks A adalah

2. Untuk mencari nilai-nilai eigen dari matriks A harus mencari akar-akar atau nilai-nilai λ yang memenuhi persamaan pangkat tiga :

Jika himpunan penyelesaian

dari persamaan polinom dengan koefisienkoefisien

bilangan bulat. an λn – an - 1 λn - 1 + ... + a 0 = 0 

Harus atau pasti merupakan pembagi dari suku konstanta a 0. Jadi, penyelesaianpenyelesaian bilangan bulat yang mungkin dari persamaan (2) adalah pembagipembagi dari 6, yaitu 1, 2, 3, dan 6. Selanjutnya substitusikan nilai-nilai ini berturut-turut pada persamaan (2) sehingga kita dapatkan akarakarnya, dan tentunya memerlukan bantuan teorema sisa atau metode horner untuk persamaan pangkat tinggi. Dalam hal ini λ = 1 memenuhi persamaan (2), sebab 13 – 6 . 12 + 11 . 1 – 6 = 0.



Sebagai akibatnya (λ – 1) haruslah merupakan factor dari ruas kiri persamaan (2). Dengan bantuan teorema sisa, yaitu membagi persamaan (2) oleh (x – 1) kita dapatkan dua nilai λ lainnya, yaitu λ2 = 2 dan λ3 = 3, sehingga akar dari persamaan (2), yaitu λ1 = 1, λ2 = 2, dan λ3 = 3 adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.



Untuk menyelesaikan persamaan (2) dapat pula dilakukan dengan bantuan metode Horner, dengan langkah pertama sema seperti di atas yaitu sampai mendapatkan λ1 = 1 dan langkah berikutnya sebagai berikut

\

(nilai-nilai eigennya adalah bilangan imajiner).

Karena nilai-nilai eigen dari matriks T adalah bilangan imajiner, sedangkan menurut definisi λ adalah skalar atau bilangan real. Maka matriks T tidak mempunyai nilai eigen. Sekarang kita perhatikan teorema berikut yang merupakan ikhtisar dari hasil-hasil yang telah diperoleh melalui diskusi materi pembelajaran di atas. Teorema 11. 1

Jika A adalah suatu matriks n n dan λ adalah suatu bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen a) λ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A. b) Sistem persamaan (λ I – A)x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial (non trivial). c) Ada vektor x yang tidak nol dalam Rn sedemikian sehingga Ax = λx. d) λ adalah suatu penyelesaian real dari persamaan karakteristik det (λ I – A) = 0 Bukti Kita akan memperlihatkan bahwa (a), (b), (c), dan (d) ekuivalen satu sama lainnya dengan membuktikan urutan implikas

Karena ada x tidak nol, maka sistem persamaan linear homogen (λ I – A) x = 0 haruslah det (λ I – A) = 0 dengan λ adalah suatu penyelesaian realnya.

2.3 Ruang Eigen Setelah kita memahami bagaimana mencari nilai-nilai eigen hubungannya dengan persamaan karakteristik, maka sekarang akan beralih ke masalah untuk mencari vektor eigen. Menurut definisi terdahulu bahwa vektor eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vektor x yang tidak nol dan haruslah memenuhi Ax = λx. Dengan kata lain, secara ekuivalen tentunya vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vektor yang tak nol dalam ruang penyelesaian (λI – A) x= 0. Ruang penyelesaian ini kita namakan sebagai ruang eigen (eigen space) dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Apakah ruang eigen ini membentuk basis?. Ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear (λ I – A) x = 0 atau (A - λ I) x = 0 dinamakan ruang eigen dari matriks A yang berukuran n x n. Sekarang kita perhatikan beberapa contoh, bahwa vektor-vektor eigen suatu matriks akan membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dari matriks tersebut.

Contoh 7

BAB III PENUTUP

3.1

Kesimpulan 1. Misalkan A adalah matriks nxn, maka vektor x yang tidak nol di Rn disebut Vektoreigen (eigen vector ) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu Ax = λx untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A. 2. Persamaan det (λ I – A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut Persamaan karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Det (λ I – A) ≡ f(λ) yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik. 3. Ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear (λ I – Ax) x = 0 atau (A - λ I) x = 0 dinamakan ruang eigen dari matriks A yang berukuran nxn.