Makalah Matik Relasi Dan Fungsi.docx

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Matematika sebagai ilmu sains yang dapat berbentuk ilmu terapan jika diimplementasikan pada cabang ilmu lain. Relasi adalah salah satu bagian dari ilmu matematika diskrit yang menarik untuk dipelajari. Dimana relasi merupakan suatu hubungan. Dalam kehidupan sehari-hari pasti ada suatu hubungan yang terjadi. Misal “sekumpulan anak-anak kecil yang sedang bermain dan setiap anak memegang balon berbagai warna”. Dari ini dapat diberikan pengertian bahwa anak-anak kecil yang mempunyai hubungan dengan balon berbagai warna yang mereka pegang. Sebelumnya telah dipelajari materi tentang himpunan. Himpunan adalah sekumpulan benda atau obyek yang dididefinisikan dengan jelas. Disini terdapat dua himpunan, yang pertama adlah himpunan anak-anak kecil dan yang kedua adalah himpunan balon berbagai warna. Ruang lingkup fungsi yang berkaitan dengan penerapannya telah dikembangkan lebih lanjut dan diterapkan untuk memecahkan permasalahan pada kehidupan nyata sehari-hari, misalnya: dalam kegiatan produksi, para pengelola melakukan proses produksinya tentu melakukan perhitungan yang cukup cermat agar dapat mendatangkan keuntungan, hal ini akan dipelajari dalam materi relasi dan fungsi. Oleh karena itu materi relasi dan fungsi perlu diajarkan kepada siswa dan guru matematika harus menguasai materi tersebut. Disamping itu guru hendaknya mampu mengembangkan pembelajaran konsep relasi dan fungsi di kelas dengan contoh-contoh penerapan pada bidang keahliannya dan memberikan kesempatan kepada siswa untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam melakukan, menerapkan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep relasi dan fungsi.

1.2 Rumusan Masalah

1

1.

Apa pengertian dari relasi ?

2. Apa saja sifat-sifat dari relasi ? 3. Apa pengertian dari fungsi ? 4. Apa saja jenis-jenis dari fungsi ? 5. Apa yang dimaksud dari grafik suatu fungsi ?

1.3 Tujuan 1. Untuk mengetahui pengertian dari relasi. 2. Untuk mengetahui sifat-sifat dari relasi. 3. Untuk mengetahui pengertian dari fungsi. 4. Untuk mengetahui jenis-jenis dari fungsi. 5. Untuk mengetahui grafik suatu fungsi.

1.4 Manfaat 1.Bagi penulis, dengan adanya tugas yang berupa penyusunan makalah ini, secara implisit penulis dapat memahami materi yang terdapat dalam makalah ini. 2 Bagi pembaca, makalah ini dapat memberi wawasan yang luas untuk pembaca mengenai relasi dan fungsi.

2

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Relasi Relasi menyatakan hubungan antara dua himpunan dengan aturan tertentu. Cara yang paling mudah menyatakan hubungan antara elemen dari dua himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian antara duahimpunan. Perkalian kartesian dan himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan terurut yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B. Notasi: A x B= {(α,b)| α € A dan b € B} Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. R ⸦ (A x B )

Jika (a, b) € R, kita gunakan notasi a R b yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R, dan jika (a, b) € R, kita gunakan notasi a R b yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R. Contoh: Misalkan A = {4, 6, 8} dan B = {4, 6, 8, 9, 10} Perkalian kartesian antara A dan B menghasilkan himpunan pasanan terurut yang jumlah anggotanya 15 buah yaitu: AxB = {(4, 4), (4, 6), (4, 8), (4, 9), (4, 10), (6, 4), (6, 6), (6, 8), (6, 9), (6, 10), (8, 4), (8, 6), (8, 8), (8, 9), (8, 10)}. Jika di definisikan relasi R dari A ke B dengan (a,b) ϵ R jika a faktor dari b, maka diperoleh: R= {(4, 4), (4, 6), (4, 8), (4, 10), (6, 6), (6, 8), (8, 8)}

3

2.2 Sifat- Sifat Relasi Sifat-sifat relasi meliputi: relasi bersifat refleksif, simetrik, transitif, dan ekuivalen. 1. Relasi Refleksif Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A. Contoh : 

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R adalah relasi ‘≤’ yang di definisikan pada himpunan A, maka R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}



Terlihat bahwa (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) merupakan unsur dari R. Dengan demikian R dinamakan bersifat refleksif.

2. Relasi Simetri Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat simetri jika (a, b) ∈ R, untuk setiap a, b ∈ A, maka (b, a) ∈ R. Contoh : 

Misalkan R merupakan relasi pada sebuah himpunan Riil, yang dinyatakan oleh: a R b jika dan hanya jika a – b ∈ Z. Periksa apakah relasi R bersifat simetri Jawab : Misalkan a R b maka (a – b) ∈ Z, Sementara itu jelas bahwa (b – a) ∈ Z. Dengan demikian R bersifat simetri.

3. Relasi Transitif Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat transitif jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A. Contoh : Misalkan A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dan relasi R di definisikan oleh : a R b jika dan hanya jika n a membagi b, dimana a, b ∈ A, Jawab : 4

Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka : R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)} Ketika (2, 4) ∈ R dan (4, 8) ∈ R terlihat bahwa (2, 8) ∈ R. Dengan demikian R bersifat transitif. 4. Relasi Ekuivalen Suatu relasi R pada himpunan A adalah ekuivalen jika dan hanya jika relasi itu adalah sekaligus mempunyai sifat refleksif simetrik dan transitif.

2.3 Pengertian Fungsi Fungsi atau pemetaan adalah relasi fungsional yang artinya tidak semua relasi merupakan suatu fungsi. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi, jika setiap anggota himpunan A dipasangkan tepat satu dengan anggota himpunan B. Definisi fungsi : Jika fungsi 𝑓 memetakan setiap 𝑥 ∈ 𝐴 ke 𝑦 ∈ 𝐵 maka dapat dinotasikan dengan 𝑓 ∶ 𝑥 → 𝑦 atau 𝑦 = 𝑓(𝑥) dibaca fungsi 𝑓 dan 𝐴 dan 𝐵.

Hal-hal yang harus diketahui dalam mempelajari fungsi adalah : a. Domain atau daerah asal (D), yaitu himpunan semua anggota himpunan A b. Kodomain atau daerah kawan (K), yaitu himpunan semua anggota himpunan B c. Range atau daerah hasil (R), yaitu himpunan yang berisi semua nilai pemetaan.

Contoh : R adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke B seperti gambar berikut. Diantara ketiga relasi berikut yang mana merupakan fungsi ?

a

1

a

1

a

1

b

2

b

2

b

2

c

3

c

3

c

3

d 5

Penyelesaian :  Relasi pertama merupakan fungsi, karena setiap anggota domain A berelasi tunggal terhadap anggota kodomain B.  Relasi kedua bukan merupakan fungsi karena ada anggota domain A yang berelasi tidak tunggal terhadap anggota kodomain B.  Relasi ketiga bukan merupakan fungsi, karena ada anggota domain A yang tidak berelasi dengan anggota kodomain B.

2.4 Jenis-jenis Fungsi a. Fungsi Injektif Fungsi 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 dikatakan fungsi injektif jika dan hanya jika untuk 𝑥1 , 𝑥2 ∈ A dan 𝑥1 ≠ 𝑥2 berlaku 𝑓(𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥2 ), dimana 𝑓(𝑥1 ) dan 𝑓(𝑥2 ) ∈ B. Berdasarkan definisi tersebut untuk setiap dua elemen yang berbeda dalam daerah asal mempunyai peta yang berlainan pula dalam daerah kawan dengan kata lain setiap elemen di B mempunyai kawan paling banyak satu.

a b c

1 2 3 4

d 5

Contoh : 1) Relasi f = {(a,1), (b,3), (c,5), (d,4) dari A = {a, b, c, d} ke B = {1, 2, 3, 4, 5} merupakan fungsi satu satu (injektif). 2) f(x) = x2 + 1 untuk 𝑓: 𝑍 → 𝑍 bukan merupakan fungsi injektif

b. Fungsi Surjektif

6

Fungsi 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 merupakan fungsi pada (onto) atau surjektif jika setiap anggota 𝐵 merupakan hasil pemetaan dari satu atau lebih anggota himpunan 𝐴. Dengan kata lain seluruh anggota 𝐵 merupakan daerah hasil 𝑓. Contoh : 1) Relasi f = {(a,1), (b,3), (c,1), (d,2) dari A = {a, b, c, d} ke B = {1, 2, 3} merupakan fungsi surjektif karena semua anggota B merupakam daerah hasil dari f. A B a 1

b 2

c

3

d

2) Relasi f = {(1,u), (2,u), (3,v) dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi surjektif karena w tidak termasuk hasil pemetaan f.

c. Fungsi Bijektif, Fungsi 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi tersebut merupakan fungsi surjektif sekaligus juga merupakan fungsi injektif. Berdasarkan definisi tersebut, dalam fungsi bijektif yang memetakan dua himpunan, misalnya 𝐴 dan 𝐵, maka setiap unsur pada domain ( himpunan A) akan dipasangkan dengan satu unsur di kodomain (himpunan B), begitupun sebaliknya setiap unsur di kodomain akan dipasangkan dengan satu unsur di domain. Contoh :

A

B

a

1

b

2

c

3 7

d. Fungsi Identitas Jika fungsi 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 dengan 𝐵 = 𝐴 dan 𝑓(𝑎) = 𝑎 untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐴, maka 𝑓 dinamakan fungsi identitas. Contoh : A

B

a1

a1

b2

b2

c3

c3

e. Fungsi Inversi Jika f adalah fungsi berkorespondensi satu-satu dari A ke B, maka dapat ditemukan balikan atau inversi (invers) dari f. Fungsi inversi dari f dilambangkan dengan 𝑓 −1 . Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka 𝑓 −1 (𝑏) = 𝑎 jika 𝑓(𝑎) = 𝑏. Fungsi yang berkorespondensi satu-satu sering juga dinamakan juga fungsi invertible, karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible jika ia bukan fungsi yang berkorespondensi satu-satu, karena fungsi balikannya tidak ada. Contoh : Relasi f = {(1,u), (2,w), (3,v) dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkorespondensi satu-satu. Inversi fungsi f adalah f-1 ={(u,1), (w,2), (v,3)}. Contoh : Tentukan inversi fungsi f(x) = x – 1. Penyelesaian : f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkorespondensi satu-satu, jadi balikan fungsi itu ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi invers balikannya adalah f-1(y) = y + 1.

8

f. Fungsi ke dalam (into) Jika 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝐴) ⊂ 𝐵, maka f dinamakan fungsi ke dalam (fungsi into). Ini berarti ada unsur 𝑏 ∈ 𝐵 yang tidak merupakan peta (bayangan) suatu unsur 𝑎 ∈ 𝐴. Contoh : A

B

a1

b1

a2

b2

a3

b3

g. Fungsi Konstan Jika fungsi 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 bersifat, bahwa setiap 𝑎 ∈ 𝐴 dipetakan pada satu unsur 𝑏 ∈ 𝐵 dinamakan fungsi konstan dari 𝐴 ke 𝐵. Contoh : A a1 a2

b

a3

2.5 Grafik Suatu Fungsi Dalam grafik suatu fungsi pada koordinat Cartesius, maka sumbu horizontal/absis (sumbu X) merupakan domain dan sumbu vertikal/ordinat (sumbu Y) merupakan kodomain. Persyaratan bahwa setiap anggota domain berpasangan dengan tepat satu unsur kodomain dapat dilihat jika garis vertikal memotong grafik maka ia memotong di tepat satu titik. Jika ternyata ada garis vertikal yang

9

memotong grafik di dua titik atau lebih titik , jelaslah grafik bukan grafik suatu fungsi. a.

Kemiringan Grafik Fungsi Linier C

y2 y1

(0,0)

A

X1

B

X2

Untuk menentukan kemiringan/gradien grafik fungsi linier, dapat dilihat grafik fungsi di atas. Perhatikan segitiga ABC, sudut A adalah sudut yang dibentuk antara sumbu X dan grafik fungsi. Tangen sudut A adalah sisi BC/AB. Tangen sudut A ini disebut kemiringan grafik fungsi liner dan disimbolkan dengan 𝑚. 𝑦 −𝑦 𝑚= 2 1 𝑥2 −𝑥1 Dari definisi kemiringan di atas dapat dilihat bahwa kemiringan m mungkin positif, nol, atau negatif. 

𝑚 positif apabila 𝑥2 − 𝑥1 positif, 𝑦2 − 𝑦1 juga positif. ini berarti bahwa titik di sebelah kanan suatu titik A juga berada lebih atas dari A. Jadi, jika 𝑚 positif garis akan naik dari kiri ke kanan.



𝑚 sama dengan nol. Apabila 𝑦2 − 𝑦1 = 0, maka 𝑦 tetap. Ini berarti bahwa garis itu sejajar dengan sumbu 𝑥.



𝑚 negative apabila 𝑥2 − 𝑥1 positif, , 𝑦2 − 𝑦1 negatif. Ini berarti bahwa titik di sebelah kanan suatu titik A akan berada lebih bawah dari A, jadi garis turun dari kiri ke kanan. Jika x tetap maka m tidak terdefinisi. Garis itu sejajar dengan sumbu y yang berarti: 𝑚 =

𝑦2 −𝑦1 0

Selanjutnya kita akan memperhatikan suatu garis lurus yang memiliki persamaan 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Apabila menentukan kemiringan (𝑚), ambil 2 titik sembarang pada

10

garis tersebut. Yaitu titik A dengan koordinat pertama 𝑥1 dan B dengan koordinat

𝑥2 . Dengan demikian 𝑦1 = 𝑎𝑥1 + 𝑏 dan 𝑦2 = 𝑎𝑥2 + 𝑏. 𝑚=

𝑦2 −𝑦1 𝑥2 −𝑥1

=

𝑎𝑥2 +𝑏−𝑎𝑥1 −𝑏 𝑥2 −𝑥1

=

𝑎(𝑥2 −𝑥1 ) 𝑥2 −𝑥1

=𝑎

Kesimpulan yang diperoleh adalah gradien dari 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 adalah 𝑎. Contoh : Tentukan kemiringan garris yang melalui titik (4,6) dan (3,2) Penyelesaian :

𝑚=

𝑦2 −𝑦1 𝑥2 −𝑥1 2−6

= 3−4

=

−4 −1

=4 Jadi, kemiringan garisnya adalah 4.

b. Garis Melalui Suatu Titik Dengan Kemiringan Tertentu Persamaan garis dengan kemiringan 𝑚 dan melalui titik (𝑥1 , 𝑦1 ) dapat ditentukan melalui persamaan 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Karena kemiringannya 𝑚 maka persamaan garis menjadi 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Karena garis itu melalui (𝑥1 , 𝑦1 ) maka 𝑦 = 𝑚𝑥1 + 𝑏 𝑏 = 𝑦1 − 𝑚𝑥1 Subtitusi 𝑏 = 𝑦1 − 𝑚𝑥1 ke persamaan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, sehingga menjadi: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑦1 − 𝑚𝑥1 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) Jadi persamaan garis dengan kemiringan m dan melalui titik (𝑥1 , 𝑦1 ) adalah: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) Contoh :

11

Sebuah garis dengan kemiringan 2 dan melalui titik (5,1). Tentukan persamaan garisnya. Penyelesaian : Karena garis tersebut memeiliki gradient 2, persamaan garis itu berbentuk 𝑦 = 2𝑥 + 𝑏 𝑦 = 2𝑥 + 𝑏 1 = 2(5) + b 1 − 10 = 𝑏 −9 = 𝑏 Jadi, b = -9, sehingga persamaan garis itu adalah 𝑦 = 2𝑥 − 9

c.

Persamaan Garis Melalui Dua Titik Kita mulai menganggap kemiringan garis itu 𝑚 sehingga garis itu memiliki

persamaan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Karena garis itu melalui (𝑥1 , 𝑦1 ) dan (𝑥2 , 𝑦2 ) kita peroleh: 𝑦1 = 𝑚𝑥1 + 𝑏 → 𝑏 = −𝑚𝑥1 + 𝑦1 𝑦2 = 𝑚𝑥2 + 𝑏 → 𝑏 = −𝑚𝑥2 + 𝑦2 𝑚𝑥1 − 𝑦1 = 𝑚𝑥2 + 𝑦2 𝑚𝑥2 − 𝑚𝑥1 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑚(𝑥2 − 𝑥1 ) = 𝑦2 − 𝑦1 𝑦2 − 𝑦1 𝑚= 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑏 = 𝑚𝑥1 + 𝑦1 = 𝑥 + 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 1 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑦2 − 𝑦1 𝑦2 − 𝑦1 𝑦= 𝑥− 𝑥 + 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 1 𝑦2 − 𝑦1 𝑦2 − 𝑦1 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥− 𝑥2 − 𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 (𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑥 − 𝑥1 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 12

Jadi persamaan garis melalui bisa dicari dengan rumus: 𝑦−𝑦1 𝑥−𝑥1 = 𝑦2 −𝑦1 𝑥2 −𝑥1 Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,4) dan (4,5) Penyelesaian : 𝑦−𝑦1 𝑦2 −𝑦1 𝑦−4 5−4 𝑦−4 1

𝑥−𝑥1

=

= =

𝑥2 −𝑥2

𝑥−3 4−3 𝑥−3 1

𝑦−4=𝑥−3 𝑦 =𝑥+1 Jadi, persamaan garisnya adalah 𝑦 = 𝑥 + 1

d. Titik Potong Garis Terhadap Sumbu-x dan Sumbu-y Garis dapat digambarkan dengan hanya menentukan dua titik yang merupakan titik-titik potong garis dengan sumbu-sumbu koordinat. Kedua titik tersebut dinamakan intercept(titik potong). Intercept x adalah titik dimana garis memotong sumbu x. intercept y adalah titik dimana garis memotong sumbu y. Contoh : Gambarlah persamaan 3𝑥 − 2𝑦 = 6 Penyelesaian : Terlebih dahulu menentukan titik potong garis terhadap sumbu-x. 𝑦=0 3𝑥 − 2𝑦 = 6 3𝑥 − 2(0) = 6 3𝑥 = 6 𝑥=2 Oleh karena itu titik potong dengan sumbu-x adalah (2,0)

13

Menentukan titik potong garis terhadap sumbu-y 𝑥=0 3𝑥 − 2𝑦 = 6 3(0) − 2𝑦 = 6 −2𝑦 = 6 𝑦 = −3 Oleh karena itu titik potong dengan sumbu-y adalah (0,-3) Menempatkan koordinat titik potong dan menghubungkan kedua titik terebut dengan sebuah garis seperti berikut.

3𝑥 − 2𝑦 = 6 (2,0)

(0,-3)

e.

Menentukan Persamaan Garis Melalui Titik Dengan Gradien Tertentu Jika (𝑥1 , 𝑦1 ) adalah titik pada garis dan (x,y) adalah titik lain pada garis yang

sama, maka gradien dari (𝑥1 , 𝑦1 ) ke (x,y) adalah 𝑦 − 𝑦1 𝑚= 𝑥 − 𝑥1 Persamaan 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ). Koordinat 𝑥 dan 𝑦 adalah variabel dari titik pada garis dan persamaan 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) mewakili hubungan antara 𝑥 dan 𝑦. Dengan demikian persamaan garis dengan gradien 𝑚 dan melalui titik (𝑥1 , 𝑦1 ): 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4,1) dan dengan gradien 3.

14

Penyelesaian : 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 1 = 3(𝑥 − 4) 𝑦 − 1 = 3𝑥 − 12 𝑦 = 3𝑥 − 11

f.

Menentukan Persamaan Garis dengan intercept-y dan Gradien Secara umum, jika garis memotong sumbu-y di 𝑏, maka titik potong tersebut

adalah (0, 𝑏). Persamaan yang melalui titik (0, 𝑏) dengan gradien 𝑚 adalah: 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 0) 𝑦 − 𝑏 = 𝑚𝑥 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 adalah persamaan garis dengan 𝑚 adalah gradien dan 𝑏 adalah titik potong garis terhadap sumbu-y. Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (6,-4) dan sejajar dengan garis : 3𝑥 − 4𝑦 = 10 Penyelesaian : Persamaan garis yang melalui titik (3,-2) dan sejajar dengan garis 3𝑥 − 4𝑦 = 10 memiliki gradient 3/2 , sehingga persamaan garis yang diinginkan adalah 3

3

9

2

2

2

𝑦 − (−2) = (𝑥 − 3) ↔ 𝑦 + 2 = 𝑥 − ↔ 2𝑦 + 4 = 3𝑥 − 9

↔ 3𝑥 − 2𝑦 − 13 = 0

g. Menetukan Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Pada persamaan (𝑥, 𝑦), (𝑥1 , 𝑦1 ), dan (𝑥2 , 𝑦2 ) adalah titik-titik pada satu garis dan (𝑥, 𝑦) adalah titik lain pada garis yang sama dengan gradien. Gradient garis (𝑥1 , 𝑦1 ) ke (𝑥, 𝑦) adalah 𝑚1 dan gradien garis dari (𝑥1 , 𝑦1 ) ke (𝑥2 , 𝑦2 ) adalah 𝑚2 yaitu:

15

𝑦−𝑦1

𝑚1 =

𝑥−𝑥1

dan 𝑚2 =

𝑦2 −𝑦1 𝑥2 −𝑥1

Karena titik (𝑥, 𝑦), (𝑥1 , 𝑦1 ), dan (𝑥2 , 𝑦2 ) terletak pada garis yang sama diperoleh: 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 𝑦−𝑦1 𝑥−𝑥1 = 𝑦2 −𝑦1 𝑥2 −𝑥1

𝑦−𝑦1 𝑦2 −𝑦1

𝑥−𝑥1

=

𝑥2 −𝑥1

merupakan persamaan garis yang melalui titik (𝑥1 , 𝑦1 ), dan

(𝑥2 , 𝑦2 ) Persamaan tersebut dapat diubah menjadi 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) dengan

𝑚=(

𝑦2 −𝑦1

𝑥2 −𝑥1

) sehingga diperoleh:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥2 − 𝑥1 )

𝑦 − 𝑦1 = (

𝑦2 −𝑦1

𝑥2 −𝑥1

) (𝑥 − 𝑥1)

Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3) dan (5,1). Penyelesaian : 𝑦−𝑦1 𝑦2 −𝑦1 𝑦+3 1+3 𝑦+3 4

=

= =

𝑥−𝑥1 𝑥2 −𝑥1

𝑥−2 5−2 𝑥−2 3 4

𝑦 + 3 = 3 (𝑥 − 2) 3𝑦 + 9 = 4𝑥 − 8 3𝑦 − 4𝑥 + 17 = 0 Jadi, persamaan garisnya adalah 3𝑦 − 4𝑥 + 17 = 0

16

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. fungsi (pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Pada dasarnya konsep “fungsi” merupakan hal yang penting dalam berbagai cabang matematika. Dalam banyak hal fungsi diterapkan dalam berbagai bidang untuk menyelesaikan persoalan-persoalan baik dalam bidang tehnik, ekonomi dan bidang lain yang mempelajari hubungan-hubungan antar variabel, dimana variabel satu sama lainnya saling pengaruh mempengaruhi dan dapat diukur, seperti jarak dan waktu dapat diiukur, sehingga dapat dikatakan bahwa jarak adalah fungsi dari waktu. Oleh karena itu materi relasi dan fungsi perlu diajarkan kepada siswa dan guru matematika harus menguasai materi tersebut. Disamping itu guru hendaknya mampu mengembangkan pembelajaran konsep relasi dan fungsi di kelas dengan contoh-contoh penerapan pada bidang keahliannya dan memberikan kesempatan kepada siswa untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam melakukan, menerapkan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep relasi dan fungsi. 3.2 Saran Setelah kita mempelajari relasi dan fungsi ternyata begitu banyak manfaat dalam penerapan dalam kehidupan sehari-hari. Maka diharapkan kita agar lebih serius dalam mempelajari matematika karena matematika tidak dapat dipisahkan dari kehidupan kita.

17