Makalah Kuantum Kel 4.docx

SUMUR POTENSIAL PERSEGI TAK HINGGA SATU DIMENSI DAN SUMUR POTENSIAL PERSEGI TERHINGGA SATU DIMENSI MAKALAH

Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Fisika Kuantum Dosen Pengampu : 1. Dr. Hj. Ade Yeti Nuryantini, S.Pd.,M.Pd.,M.Si 2. Pina Pitriana, M. Si.

Disusun oleh: Kelompok 4

1. Arliazmy Salsabil J R

1162070017

2. Chentia Efrima

1162070019

3. Iis Rahmawati

11620700

BANDUNG 2019 M / 1440 H

KATA PENGANTAR

Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Panyayang, Kami panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah-Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah tentang sumur potensial persegi tak hingga satu dimensi dan sumur potensial persegi terhingga satu dimensi untuk memenuhi tugas mata kuliah Fisika Kuantum. Makalah ini telah kami susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini. Terlepas dari semua itu, kami menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karena itu dengan tangan terbuka kami menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar kami dapat memperbaiki makalah ini. Akhir kata kami berharap semoga makalah tentang sumur potensial persegi tak hingga satu dimensi dan sumur potensial persegi terhingga satu dimensi ini dapat memberikan manfaat maupun inpirasi terhadap pembaca.

Bandung, Maret 2019

Penyusun

2

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ...................................................................................................... 2 DAFTAR ISI .................................................................................................................... 3 DAFTAR GAMBAR ........................................................................................................ 4 BAB I................................................................................................................................ 5 PENDAHULUAN ............................................................................................................ 5 A. Latar Belakang ......................................................................................................... 5 B. Rumusan Masalah ................................................................................................. 6 C. Tujuan .................................................................................................................... 6 BAB II .............................................................................................................................. 7 KAJIAN TEORI ............................................................................................................... 7 A. Sumur Potensial Persegi Tak Hingga Satu Dimensi ............................................. 7 B. Sumur Potensial Persegi Terhingga Satu Dimensi .............................................. 10 BAB III ........................................................................................................................... 15 PENUTUP ...................................................................................................................... 15 A. Kesimpulan .......................................................................................................... 15 B. Saran .................................................................................................................... 16 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................... 17

3

DAFTAR GAMBAR Gambar 1 Partikel dalam kotak potensial satu dimensi .................................................... 7 Gambar 2 (a) Fungsi gelombang, (b) Rapat probabilitas ................................................. 9 Gambar 3 Tingkat-tingkat energi elektron yang terperangkap dalam sumur potensial tak terhingga ......................................................................................................................... 10 Gambar 4 Sumur Potensial persegi terhingga. ............................................................... 11 Gambar 5 Grafik untuk menentukan harga-harga k. ...................................................... 13 Gambar 6 Fungsi-fungsi eigen dari partikel dalam sumur potensial terhingga. ............. 14

4

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Fisika kuantum adalah topik yang mikroskopik, yang mempelajari hal-hal yang tidak teramati langsung oleh indera dan membutuhkan pemahaman tingkah tinggi (Yuliani, 2017). Beberapa mahasiswa pun sulit untuk memahami materi dan melakukan perhitungan yang ada di dalam system kuantum tersebut, karena banyaknya meteri fisika kuantum yang bersifat abstrak. Salah satunya yaitu Gelombang Schrodinger. Persamaan Schrodinger adalah persamaan gelombang dan yang kita maksudkan adalah gelombang sebagai representasi elektron atau partikel. Mencari solusi persamaan Schrodinger adalah untuk memperoleh fungsi gelombang yang selanjutnya digunakan untuk melihat bagaimana perilaku atau keadaan elektron pada suatu posisi dan waktu (Rahmayani, Hidayati, & Razi, 2014). Gelombang Schrodinger dapat dituliskan dalam suatu persamaan gelombang diferensial parsial yang dapat disebut dengan persamaan Schrodinger. Persamaan Schrodinger yang menyatakan pada suatu posisi satu dimensi disebut persamaan Schrodinger satu dimensi. Pada persamaan Schrodinger satu dimensi dapat dibentuk menjadi persamaan Schrodinger bebas waktu satu dimensi yang artinya persamaan Schrodinger tidak bergantung waktu. Untuk menentukan solusi persamaan Schrodinger satu dimensi, menggunakan separasi variabel atas variabel x dan t, selanjutnya masing-masing dari variabel akan dicari solusinya dengan persamaan differensial biasa. Persamaan Schrodinger satu dimensi dapat diaplikasikan ke dalam sumur potensial. Sumur potensial adalah kondisi dimana suatu partikel mengalami dua kali perubahan besar energy potensial. Oleh karena itu, makalah ini akan membahas mengenai Sumur Potensial Satu Dimensi.

5

B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah, berikut adalah analisa permasalahannya yaitu : 1. Bagaimanakah penggunaan Persamaan Schrodinger dalam sumur potensial persegi tak hingga satu dimensi ? 2. Bagaimanakah penggunaan Persamaan Schrodinger dalam sumur potensial persegi terhingga satu dimensi ?

C. Tujuan Tujuan dari penyusunan makalah ini adalah untuk: 1. Menjelaskan sumur potensial persegi tak hingga satu dimensi. 2. Menjelaskan sumur potensial persegi terhingga satu dimensi.

6

BAB II KAJIAN TEORI

A. Sumur Potensial Persegi Tak Hingga Satu Dimensi Partikel dalam sebuah kotak (satu dimensi) yang akan kita tinjau yakni pada partikel yang bergerak bebas dalam sebuah “kotak” satu dimensi yang panjangnya L, yang benar-benara terperangkap dalam kotak. Sepertihalnya sebuah manik-manik yang meluncur tanpa gesekan sepanjang sebuah kawat yang ditegangkan antara dua buah dinding tegar dan bertumbukan secara elastic dengan kedua dinding (Krane, 1992, p. 183). Perhatikan partikel bermassa m berada di dalam sumur atau kotak potensial satu dimensi sepanjang L.Ilustrasinya sebagai beriku:

V= 0

m

0

Lx

Gambar 1 Partikel dalam kotak potensial satu dimensi

Potensial 𝑉 → ∞ di 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 𝐿 dibuat untuk menjamin agar partikel tidak dapat menemus dinding dan keluar kotak. Artinya tidak mungkin partikel berada diluar sumur potensial. Secara matematis hal ini berarti: 𝜑(𝑥) = 0 untuk 𝑥 ≤ 0 dan 𝑥 ≥ 𝐿 Karena di dalam kotak 𝑉(𝑥) = 0, maka persamaan Schrodinger sistem ini ℎ2 𝑑2 𝜑

− 2𝑚 𝑑𝑥 2 = 𝐸𝜑 untuk 0 < 𝑥 < 𝐿 Atau

7

(2.40a)

𝑑2 𝜑 𝑑𝑥 2

+

2𝑚𝐸 ℎ2

𝜑=0

(2.40b)

Jika dituliskan 2𝑚𝐸

= 𝑘2

ℎ2

(2.40c)

Maka persamaan Schrodinger tidak bergantung waktu (2.40b) menjadi 𝑑2 𝜑 𝑑𝑥 2

+ 𝑘2𝜑 = 0

(2.40c)

Solusi umumnya diberikan oleh fungsi 𝜑(𝑥) = 𝐴 cos 𝑘𝑥 + 𝐵 sin 𝑘𝑥

(2.40e)

Syarat batas di 𝑥 = 0, memberikan hubungan 𝜑(0) = 0 = 𝐴. 1 + 0

(2.40f)

Yang berarti 𝐴 = 0 karena itu, 𝜑 menjadi 𝜑(𝑥) = 𝐵 sin 𝑘𝑥 Syarat batasnya di 𝑥 = 𝐿 𝜑(𝐿) = 𝐵 sin 𝐿𝑥 = 0

(2.40h)

Hal ini dipenuhi oleh 𝑘𝐿 = 𝑛𝜋 dengan n=1,2,3… Atau 𝑘=

𝑛𝜋

(2.40i)

𝐿

Dari hubungan E pers. (2.40c) dan k pers. (2.40i) diperoleh ungkapan energi partikel di dalam kotak yaitu: 𝐸 = 𝐸𝑛 =

𝑛2 𝜋 2 ℎ 2 2𝑚𝐿2

= 𝑛2 𝐸1

(2.41)

Dengan ℎ2

𝐸1 = 8𝑚𝐿2

(2.40 j)

Jelas bahwa energi partikel tidak dapat bernilai sembarang atau continue seperti dalam fisika klasik melainkan diskrit yaitu kuadrat bilangan bulat kali energi terendah 𝐸1 . Keadaan dengan energi terendah disebut keadaan dasar (ground state). Substitusi bentuk akhir kedalam 𝑘 ke dalam fungsi 𝜑(𝑥), didapatkan 𝜑(𝑥) ≡ 𝜑𝑛 (𝑥) = 𝐵 sin

𝑛𝜋 𝐿

𝑥

(2.40 k)

8

Konstanta B ditentukan melalui proses normalisasi, yaitu partikel pasti ada di dalam sumur, karena itu ∞

𝐿

1 = ∫ 𝜑 (𝑥)𝜑(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (𝐵 sin 0

−∞

𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑥) 𝐵 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝐿 𝐿

𝐵 2 = √2/𝐿 Dengan demikian, fungsi gelombang ternormalisasi untuk partikel terperangkap dalam sumur potensial satu dimensi berukuran L diberikan oleh 𝑛𝜋

𝜑𝑛 (𝑥) = √2/𝐿 sin ( 𝐿 𝑥)

(2.42)

Dan keadaan dasarnya 𝜋

𝜑1 (𝑥) = √2/𝐿 sin (𝐿 𝑥)

(2.43)

Grafik fungsi gelombang rapat dan rapat probabilitas partikel dalam kotak diberikan oleh gambar-gambar berikut ini:

Gambar 2 (a) Fungsi gelombang, (b) Rapat probabilitas

(Purwanto, 2016, pp. 62-66). Energi ini berharga diskrit (tidak kontinu, tapi bertingkat-tingkat) yang ditandai oleh bilangan kuantum n; rupanya, suatu partikel yang terperangkap dalam sumur potensial memiliki tingkat-tingkat energi (diskrit) seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.4. Dengan

bahasa yang lain, partikel yang terperangkap dalam suatu potensial

mengalami kuantisasi.

9

Gambar 3 Tingkat-tingkat energi elektron yang terperangkap dalam sumur potensial tak terhingga

(Siregar, 2014, p. 5). Jika partikel berada pada keadaan tereksitasi pertama, 𝜑2 maka posisi rata-rata partikel 𝐿

〈𝑥〉𝜑2

2 2𝜋 2 𝐿 1 1 4𝜋 𝐿 2 = ∫ 𝑥 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 { − 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑥)} 𝑑𝑥 = 𝐿 𝐿 𝐿 0 2 2 𝑙 2 0

Dan momentum rata-ratanya 𝐿

〈𝑝〉𝜑2 = ∫ sin ( 0

=

2𝜋 𝑑 2𝜋 𝑥) (−𝑖ℎ ) 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑥) 𝑑𝑥 𝐿 𝑑𝑥 𝐿

4𝜋𝑖ℎ 𝐿 2𝜋 2𝜋 ∫ 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑥) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑥) 𝑑𝑥 2 𝐿 𝐿 𝐿 0

=0 Kedua hasil di atas berlaku sama untuk semua 𝜑𝑛 dan dapat diduga dari gambar 2.4b. pertama, peluang partikel berada di sebelah kiri titik tengah L/2 dan di sebelah kanannya sama. Karena itu secara rata-rata partikel berada di titik tengah L/2. Kedua, akibat keadaan pertama ini maka kemungkinan partikel bergerak ke kanan dan ke kiri adalah sama. Dengan demikian momentum saling meniadakan atau momentum rata-ratanya adalah nol (Purwanto, 2016, pp. 62-67).

B. Sumur Potensial Persegi Terhingga Satu Dimensi Di dalam Mekanika Kuantum, pemodelan terhadap suatu bentuk medan potensial merupakan hal yang sangat penting. Pemodelan dengan bentuk medan potensial tertentu akan memberikan sumbangan pada penggambaran mengenai karakteristik zarah yang dipengaruhinya (Supardi, 2002). Karakteristik zarah ini ditunjukkan oleh keberadaan

10

energi-energi terikatnya serta perilaku fungsi gelombang yang bersesuaian dengan keadaan tersebut. Untuk peninjauan pada karakteristik zarah yang dipengaruhi oleh medan potensial sumur berhingga, besaran yang sangat penting adalah energi dan tinggi potensial sumur. Apabila dalam sistem ini besarnya energi yang dimiliki zarah lebih besar dari tinggi potensial yang ada (atau E V > ) maka yang terjadi adalah pelepasan zarah tersebut dari sistem atau dalam hal ini tidak ada lagi keadaan terikat (Koonin, 1990). Tetapi jika zarah yang terjebak dalam medan potensial ini memiliki energi E V < , maka yang terjadi adalah terciptanya keadaan-keadaan energi terikat (energy state). Keadaan-keadaan terikat yang tercipta oleh sistem ini jumlahnya tertentu bergantung kepada tinggi rendahnya potensial, lain halnya dengan potensial Coulomb yang bekerja pada atom hidrogen seperti yang dinyatakan oleh model Bohr. Dalam mekanika kuantum persamaan Schroedinger memainkan peranan penting sebagaimana persamaan gerak Newton dalam mekanika klasik. Pemecahan terhadap persamaan tersebut akan memberikan informasi tentang banyak hal yang ingin diketahui mengenai karakteristik zarah (De Vries, 1994). Persamaan Schrodinger dalam ruang satu dimensi dinyatakan oleh : −ℎ2 𝑑2 𝜓𝑥 + 𝑉 (𝑥)𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓 (𝑥) 2𝑚 𝑑𝑥 2 Misalkan elektron berada dalam sumur potensial terhingga sebagai berikut:

Gambar 4 Sumur Potensial persegi terhingga.

V (x) = 0; - 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 = V0; 𝑥 ≥ 𝑎, 𝑥 < −𝑎

11

(3.27)

Jika energi E
𝑑2 Ψ

2𝑚𝑒 𝑑𝑥 2

+ 𝐸Ψ = 0 →

𝑑2 Ψ 𝑑𝑥 2

+ 𝑘2Ψ = 0

𝑘2 =

2𝑚𝑒 𝐸 ℎ2

(3.28)

dengan mana diperoleh solusi berikut: Ψ(x) = cos 𝑘𝑥 dan Ψ(x) = sin 𝑘𝑥 (3.29a) 𝑘2 =

2𝑚𝑒 𝐸

(3.29b)

ℎ2

Untuk daerah |x| ≥a, persamaan Schrodinger adalah: ℎ2

− 2𝑚

𝑒

𝑑2 Ψ 𝑑𝑥 2

+ (𝑉0 − 𝐸)Ψ = 0

(3.30)

Jika diasumsikan energi elektron E
(3.31a)

dengan 𝐾2 =

2𝑚𝑒 (𝑉0 −𝐸) ℎ2

(3.31b)

Agar Ψ(x) kontinu untuk semua harga x, kedua persamaan (3.29a) dan (3.31a) beserta turunannya atau syarat kontinu di x = ± a. jadi : cos 𝑘𝑎 = 𝐶𝑒 −𝐾𝑎 −𝑘 sin 𝑘𝑎 = −𝐾𝐶𝑒 −𝐾𝑎 Sehingga, 𝑘𝑎 𝑡𝑔 𝑘𝑎 = 𝐾𝑎

(3.32)

Begitu pula, sin 𝑘𝑎 = 𝐶𝑒 −𝐾𝑎 −𝑘 cos 𝑘𝑎 = −𝐾𝐶𝑒 −𝐾𝑎 Sehingga, 𝑘𝑎 𝑐𝑡𝑔 𝑘𝑎 = −𝐾𝑎

12

(3.33)

Ketiga persamaan (3.32), (3.33), dan (3.34) digambarkan dalam Gambar 2. Perpotongan lingkaran (V0 tertentu) dengan garis-garis tg(ka) dan ctg(ka) memberikan harga-harga k untuk V0 tersebut.

Gambar 5 Grafik untuk menentukan harga-harga k.

2𝑚𝑒 𝐸 2𝑚𝑒 𝑉𝑜 𝑎2 ℏ2 2 2 (𝑘𝑎) (𝐾𝑎) } → + = 2𝑚𝑒 (𝑉𝑜 − 𝐸) ℏ2 𝐾2 = 2 ℏ 𝑘2 =

Harga-harga k itu ditandai dengan bilangan kuantum n = 0, 2, 4, … untuk perpotongan dengan tg(ka) dan n = 1, 3, 5, … untuk perpotongan dengan ctg(ka). Dengan persamaan (3.29b) diperoleh harga-harga eigen energy : 𝐸=

2 ℎ 2 𝑘𝑛

2𝑚𝑒

; 𝑛 = 0,1,2

(3.35)

Terlihat pada gambar 2, jumlah tingkat energi sangat bergantung pada harga Voa2; misalnya untuk Voa2 ≤ (πħ2/4me) hanya ada satu, danVoa2 ≤ (πħ2/2me) ada dua tingkat energi. Pada gambar 3 terlihat bahwa fungsi-fungsi ini menurun secara eksponensial menuju 0|𝑥| = ∞. (Siregar, 2010)

13

Gambar 6 Fungsi-fungsi eigen dari partikel dalam sumur potensial terhingga.

Jelas bahwa meskipun potensial yang dialami elektron itu terhingga, namun karena E
14

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan Berdasarkan materi-materi diatas, dapat disimpulkan bahwa: 1. Sepertihalnya sebuah manik-manik yang meluncur tanpa gesekan sepanjang sebuah kawat yang ditegangkan antara dua buah dinding tegar dan bertumbukan secara elastic dengan kedua dinding . 2. Potensial 𝑉 → ∞ di 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 𝐿 dibuat agar partikel tidak berada diluar sumur potensial. maka syarat batas bagi fungsi gelombang itu adalah: 𝜑(𝑥) = 0 untuk 𝑥 ≤ 0 dan 𝑥 ≥ 𝐿. 3. Karena di dalam kotak 𝑉(𝑥) = 0, maka persamaan Schrodinger sistem ini − ℎ2 𝑑2 𝜑 2𝑚 𝑑𝑥 2

= 𝐸𝜑 untuk 0 < 𝑥 < 𝐿

4.

Energi ini berharga diskrit (tidak kontinu, tapi bertingkat-tingkat) yang ditandai oleh bilangan kuantum n; rupanya, suatu partikel yang terperangkap dalam sumur potensial memiliki tingkat-tingkat energi (diskrit). 5. Dari persamaan 3.35 meskipun potensial yang dialami elektron itu terhingga, namun E
15

8. Potensial terhingga artinya elektron masih mempunyai peluang berada diluar sumur.

B. Saran Penulis menyadari bahwa makalah ini banyak sekali kekurangannya dan jauh dari kata sempurna. Maka dari itu penulis mengharapkan kritik dan saran mengenai pembahasan makalah dalam kesimpulan di atas.

16

DAFTAR PUSTAKA De Vries, P. L. (1994). A First Course In Commputational Physics. New York : John Wiley & Sons, Inc. Koonin, S. E. (1990). Computational Physics. USA: AddisonWesley Publishing Company, Inc. Krane, K. (1992). Fisika Modern. Jakarta: Universitas Indonesia (UI-Press). Purwanto, A. (2016). Fisika Kuantum. Yogyakarta: GAVA MEDIA. Rahmayani, H., Hidayati, & Razi, P. (2014, April). Perhitungan Tingkat Energi Sumur Potensial Keadaan Terikat Melalui Persamaan Schrodinger Menggunakan Metode Beda Hingga. Pillar Of Physics, 1, 17-24. Siregar, R. E. (2010). Teori & Aplikasi Fisika Kuantum. Bandung: Widya Padjadjaran. Siregar, R. E. (2014). Mekanika Kuantum Molekul: Struktur Elektronik Aton Dan Molekul.

Bandung:

Departemen

Fisika,

FMIPA

UNIVERSITAS

PADJADJARAN. Supardi. (2002). Perilaku Fungsi Gelombang Sistem Potensial Sumur Berhingga. Jurnal Pendidikan Matematika dan Sains, VII. Yuliani, H. (2017, April 28). Pembelajaran Fisika Menggunakan Media Animasi Macromedia Flash-Mx dan Gambar Untuk meningkatkan Pemahaman Konsep Mahasiswa. Jurnal Ilmiah Pendidikan Fisika Al-BiRuNi, 06(1), 13-21. doi:10.24042/jpifalbiruni.v6i1.596

17