Makalah Klp Untuk Guru.docx

1

Kata pengantar Assalamualaikum wr wb Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan hidayahnya sehinggga kami dapat menyelesaikan makalah ini sebagai bukti bahwa kami telah melaksanakan tugas mata kuliah matematika dengan bab EKSPONEN DAN LOGARITMA. Serta untuk melatih kami membiasakan diri untuk memahami, menambah, dan dapat memberikan wawasan yang lebih luas dan menjadi sumbangan pemikiran kepada pembaca. Kami berharap dengan terselesaikannya makalah ini, kami dapat mengetahui lebih dalam mengenai bab ini. \ kami sebagai penulis mohon maaf jika ada kekurangan maupun kesalahan dalam penulisan dan penyusunan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Aamiin. Wassalamualaikum wr wb. Makassar, 25 oktober 2017

Penyusun

2

Daftar isi Kata pengantar…………………………………………………………………………………………1 Daftar isi……………………………………………………………………………………………….2 Bab I pembahasan……………………………………………………………………………………..3 Eksponen…………………………………………………………………………………………3 a. Pengertian ekaponen…………………………………………………………………………3 b. Sifat-sifat eksponen………………………………………………………………………….3 c. Menentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponen…………………………………4 Logaritma………………………………………………………………………………………...6 a. Pengertian logaritma…………………………………………………………………………6 b. Sifat-sifat logaritma…………………………………………………………………………..6 c. Grafik fungsi logaritma………………………………………………………………………9 Latihan soal………………………………………………………………………………………12 Bab II Penutup………………………………………………………………………………………...14 a. Kesimpulan…………………………………………………………………………………..14

3 BAB I PEMBAHASAN

Eksponen A. Pengertian eksponen Eksponenadalah perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan indeks di atas yang akan terlihat sebagai xy. bilangan x disebut bilangan pokok dan bilangan y disebut eksponen. Sebagai contoh 23. 2 adalah bilangan pokok dan 3 adalah eksponen. Untuk menghitung 23 seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga hasilnya adalah 8. Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara 2 pangkat 3 sama dengan 8. Bilanga eksponen atau bilangan berpangkat dimulai denga perkalian bilangan berulang. Ambil sembarang bilangan dikalikan sebanyak n kali. Contohnya: 1x = 1 untuk setiap bilangan x Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut persegi karena area persegi dihitung menggunakan a2 sehingga: X2 adalah persegi dari x Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut kubik karena volume kubus dihitung dengan a3. Sehgingga a3 adalah kubik x. X3 adalah kubik x Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung inversi bilanga pokok. B. Sifat-sifat eksponen Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat. 1. Sifat 1 Jika a adalah bilanga real, m dan n bilangan berpangkat maka: am x an = am+n Contoh: 23 x 22 = 23+2 = 25 = 32 2. sifat 2 jika a bilanga real dan a≠ 0, maka: am / an = am-n contoh: 23/ 22 = 23-2 = 2 3. sifat 3 jika bilangan real dan a≠ 0, n dan m bilangan bulat positif, maka: (am)n = am x n Contoh: (23)2 = 23 x 2 = 26 = 64 Misalkan a bilanga real dan a≠ 0, m, n bilangan bulat positif didefenisikan sebagai: am/n = (a1/n)m Contoh: 24/2 = (21/2)4 = 22 = 4

4 4. sifat 4 misalkan a bilanga real a > 0,

𝑝 𝑛

dan

𝑚 𝑛

adalah bilangan pecahan a≠ 0, m, n adalah bilangan

pecahan a≠ 0, maka: (am/n) . (ap/n) = (a)(m+p)/n Contoh: (24/2) . (26/2) = (2)(4+6)/2 = 210/2 = 25 = 32 Berdasarkan sifat bilangan pangkat pecahan, jika a bilangan real dan a≠ 0, m, n adalah bilangan bulat positif, maka: (am/n) = (a1/n)p Contoh: (24/2) = (21/2)6 = 23 = 8 C. Menentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponen 1. Adalah persamaan yang di dalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x ( x sebagai perubah). Dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung perubah x. Ket: usahakan setiap bilangan pokok ditulis sebagai bilangan berpangkat dengan bilangan dasar 2, 3, 5, 7, dst. 2. Persamaan eksponen berbentuk af(x) = a 3. Untuk menyelesaikan persamaan dengan bentuk af(x) = a, a > 1 dan a≠1 digunakan jika af(x) = a (a > 0 dan a≠1) Contoh Carilah penyelesaian dari 25 x -6 = 8 Jawab: 25x -6 = 8 25x - 6 = 23 5x – 6 = 3 5x = 3 + 6 9

x=5 9

hp nya adalah {5} 4. Persamaan eksponen berbentuk af(x)= ag(x) Untuk menyelesaikan persamaan eksponen berbentuk af(x) = ag(x) dengan menggunakan sifat af(x) = ag(x) → f(x) = g(x) Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari 2(x+2) = 2(x+1) Jawab: 2(x+1) = 2(-x2) x+ 1 = -x + 2 x+x=2–1 2x = 1 1

x=2 1

jadi hp nya adalah 2 5.

Persamaan eksponen berbentuk af(x) = bf(x) = 0

5 Untuk menyelesaikan persamaan eksponen berbentuk a f(x) = bf(x) menngunakan sifat: jika af(x) = bf(x). Contoh: 3x^2 – 6x + 8 = 7x^2 – 6x + 8 X2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0 X = 2; x = 4 jadi hp nya adalah { 2, 4} 6. Persamaan eksponenm berbentuk f(X)g(x) = f(X)h(X) Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda ditinjau dalam beberapa kemungkinan:  Pangkat sama g(X) = h(X) Contoh: 3x – 2 = 2x + 3 3x – 2x = 3 + 2 x=5  Bilangan pokoknya f(X) = 1 Ket: 1g(X) = 1h(X) = 1  Bilangan pokok f(x) = -1 D3engan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = -1, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(X) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil. Ket: g(x) dan h(x) genap : (-1)g(x) (-1)h(x) = 1 g(x) dan h(x) ganjil : (-1)g(x) = (-1)g(h) = -1  Bilangan pokok f(x) = 0 Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatmya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif.

6

Logaritma A. Defenisi logaritma Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan invers (kebalikan) dari eksponen atau pemangkatan. Atau dengan pengerian lain, bentuk eksponen ab = c bila dinyatakan dengan notasi logaritma adalah a log c = b. Dengan: a = basis atau bilangan pokok b = hasil atau range logaritma c = numerus atau domain logaritma B. Sifat-sifat logaritma Ada 7 sifat logaritma, yaitu: 1. Sifat 1 a log x + alog xy contoh sederhanakanlah! a. 2log 4 + 2log 8 3

c.

2

1

b.

log 9 + 3log 81 log 2 √2 + 2 log 4√2

Jawab : a.

2

log 4 + 2log 8 = 2log 4 . 8 = 2log 32 =5

b.

3

1

1

log 9 + 3log 81 = 3log 9 . 81

= 3log 9 =2 2 c. log 2 √2 + 2 log 4√2 = 2log 2 √2 . 4√2 = 2log 8√4 = 2log 8 . 2 = 2log 16 =4 2. Sifat 2 a

𝑥

log x – alog y = alog 𝑦

contoh sederhanakanlah a. 2log 16 – 2log 8 b. Log 1000 – log 100 c. Jawab:

7 log 16 – 2log 8 = 2log

2

a.

16 8

= 2log 2 =1 b. Log 1000 – log 100 = log

1𝑜𝑜𝑜 100

= log 10 =1 3. Sifat 3 a log xn = n . alog x contoh sederhanakanlah a. 2 log 3 + 4 log 3 b. 2 log a + 2 log b Jawab a. 2 log 3 + 4 log 3 = log 32 + log 34 = log 9 + log 81 = log 9 . 81 = log 729 b. 2 log a + 2 log b = log a2 + log b2 = log a2 . log b2 = log (ab)2 Ingat: Log 2x = log x . log x = log (x)2 Log x2 = 2 log x Jadi, log 2x ≠ log x2

I.

1

Log -1x = log 𝑥

II.

1

Log x-1 = log𝑥 = -log x Jadi, log -1x ≠ log x-1 4. Sifat 4 a log b x blog c = alog c contoh: sederhanakanlah: a. 3log 7 x 7log 81 b. 2log 5 x 5log 32 Jawab: a.

3

log 7 x 7log 81 = 3log 81

8 =4 2

log 5 x 5log 32 = 2log 32 =5 5. Sifat 5 Dalam sifat 5, memiliki 2 rumus tapi hasilnya sama saja:  alog x = ((clog x)/(clog a))  glog a = 1/(alog g) b.

contoh sederhanakanlah: 3

log 7 x 7log 81

Jawab Cara pertama 3

log 7 x 7log 81 = log 81 log 3

=

=

4 log 3 log 3

log 7 log 3

x

log 81 log 7

=4

Cara kedua 3

log 7 x 7log 81 = 1/(7log 3) x 7log 81

=(7log 34) / (7log 3) = (log 34) / (log 3) = 3log 34 =4 6. sifat 6 a alog x = x contoh 5 5log 8 = 8 7. sifat 7 a^n

𝑛 𝑚

log bm = ( )a log b

untuk a dan b bilangan real positif, dan a ≠ 1 contoh 2

4

log 32 = 2^2log 25 = (5) 2log 2 2

=5

9 C. grafik fungsi logaritma Fungsi logaritma adalah fungsi invers dari fungsi eksponen. Rumusnya yaitu : y = f (x) = alog x fungsi di atas ini, disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok / basis a. jadi, bentuk umum dari fungsi logaritma adalah y = f (x) = alog x. untuk menggambar grafik fungsi logaritma misalnya y = f(x) = alog x, kita ubah dahulu y= a y log x kebentuk eksponensial, yaitu a = x. kemudian kita buat tabel yang mermbuat nilai-nilai x untuk nila-nilai y tertentu. Akhirnya kita ganbarkan koordinat titik-titik (x,y) pada suatu system koordinat. Dengan menghubungkan tritik-titik (x,y) ini diperoleh grafik fungsi logaritma y = alog x.untuk lebih jelasnya kita perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh 1 Buatlah sketsa grafik dari fungsi logaritma y = f(x) = 2log x jawab: disini terlihat bahwa variable y berlaku seolah-olah menjadi variable bebas, maka nilai y yanh kita ambil dari -3 sampa 3 ( dalam menentukan titik uji, kita bebas mengambil angka rentangan). Kemudian kita masukkan nilai y ini ke fungsi seperti tabel berikut:

Kemudian kita hubungkan semua titik dalam tabel kita dapatkan grafik seperto di bawah ini!

10 Contoh 2 Lukiskanlah grafik y = f(x) = (1/2)log x Jawab: 1

Kita ubah bentuk y = f(x) = (1/2)log x menjadi 2y = x. dab sesuai dengan bentuk pangkat, bentuk ini bisa diubah menjadi (2-1)y = x (2-1)y = x 2-y = x Terlihat bahwa variable x bertindakl sebagai variable terikat dan variable y bertindak sebagai variable bebas, maka yang kita ambil sebagai nilai uji adalah y. kita ambil nilai y dari -3 sampai 3, maka kita akan memperoleh hasil seprti tabel di bawah ini!

Kemudian kita hubungkan titik-titik tersebut sebagai pasangan (x, y) sehingga grafik halusnya bisa kita lihat seperti gambar di bawah

Jika contoh 1 dan contoh 2 grafiknya digabung, maka grafiknya terlihat sebagai berikut.

11

12

Latihan soal 1. sederhanakanlah bentuk eksponen berikut! a) (52)3 = …. Jawab: (52)3 = 52 x 3 = 56 = 15625 b) 84/82 = …. Jawab: 84/82 = 84 – 2 =82 = 64 c) 63 + 62 = …. Jawab: 63 + 62 = 63 x 2 = 66 = 46656 2. Sedrhanakanlah eksponenj berikut! a) (38/2) (36/2) = …. Jawab; (38/2) (36/2) = 3(8 + 6)/2 = 314/2 = 37 = 2187 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari! 3x^2 – x – 2 = 7 x^2 – x – 2 = 0 Jawab: 3x^2 – x – 2 = 7 x^2 – x – 2 = 0 X2 x – 2 = 0 (x – 2) (x + 1) X= 2; x = -1 Jadi hp nya adalah {2, -1 4. Himpunan penyelesaian dari 73x + 2 = 7x – 3 Jawab: 73x + 2 = 7x – 3 3x- 2 = x – 3 3x – x = -3 – 2 2x = -5 5

X= - 2 5. 47x - 5 = 16 Jawab: 47x - 5 = 16 47x – 5 = 42 7x – 5 = 2 7x = 2 + 5

13 X=1 6. Sederhanakanlah bentuk logaritma berikut! 3 log 27 – 3log 3 = … Jawab:\ log 27 – 3log 3 = 3log

3

27 3

= 3log 9 =2 2 4 7. log 4 + log 2 = …. Jawab: 2 log 4 + 4log 2 = log 42 + log 24 = log 16 + log 16 = log 16 . 16 = log 256 8 4 8. log 4 x log 64 = …. Jawab: log 4

8

log 4 x 4log 64 = log 8 x =

log 64 log 4

log 64 log 8

= (2log 8)/(log 8) =2 9. Sederhanakanlah logaritma berikut ini! i. 7 7log 21 = …. Jawab: 7 7log 21 = 21 9 ii. log 27 =… Jawab: 9 log 27 = 3^2log 33 2

= 3 3log 3 2

=3 10. 2log 2√4 + 2log 8√4 =…. Jawab: 2 log 2√4 + 2log 8√4 = 2log 2√4 . 8√4 = 2log 16√16 = 2log 16 . 4 = 2log 64 =6 .

14 BAB II PENUTUP A. Kesimpulan Setelah membuat dan mempelajari makalah ini, kami dapat menyimpulkan bahwa terdapat beberapa sifat-sifat yang dimiliki ekponen maupun logaritma antara lain Sifat-sifat eksponen 1. Sifat 1 Jika a adalah bilanga real, m dan n bilangan berpangkat maka: am x an = am+n 2. sifat 2 jika a bilanga real dan a≠ 0, maka: am / an = am-n 23/ 22 = 23-2 = 2 3. sifat 3 jika bilangan real dan a≠ 0, n dan m bilangan bulat positif, maka: (am)n = am x n 4. sifat 4 𝑝 𝑚 misalkan a bilanga real a > 0, dan adalah bilangan pecahan a≠ 0, m, n adalah bilangan 𝑛

𝑛

pecahan a≠ 0, maka: (am/n) . (ap/n) = (a)(m+p)/n Sifat-sifat logaritma 1. Sifat 1 a log x + alog xy 2. Sifat 2 𝑥 a log x – alog y = alog 𝑦 3. Sifat 3 a log xn = n . alog x 4. Sifat 4 a log b x blog c = alog c 5. Sifat 5 Dalam sifat 5, memiliki 2 rumus tapi hasilnya sama saja:  alog x = ((clog x)/(clog a))  glog a = 1/(alog g) 6. sifat 6 a alog x = x 7. sifat 7 a^n

𝑛

log bm = (𝑚)a log b

untuk a dan b bilangan real positif, dan a ≠ 1