Makalah Kelompok 5.docx

BAB I PENDAHULUAN

Semua benda di bumi ini terdiri dari banyak partikel. Bahkan debu-pun terdiri dari partikel-partikel. Semua yang ada di bumi ini dapat ditinjau dengan mekanika newton. Hukum dasar mekanika terbukti mampu menjelaskan berbagai fenomena yang berhubungan dengan sistem diskrit (partikel). Hukum dasar ini tercakup dalam formulasi Hukum Newton tentang gerak. Pada bagian ini akan dibahas formulasi hukum mekanika pada sistem partikel dan benda benda yang terdiri dari partikel yang kontinyu (benda tegar). Perbedaan mendasar antara partikel dan benda tegar adalah bahwa suatu partikel hanya dapat mengalami gerak translasi (gerak lurus) saja, karena secara logika, jika suatu partikel bergerak rotasi maka partikel itu tidak akan terlihat bergerak rotasi melainkan akan tetap terlihat bergerak lurus saja. Hal ini dikarenakan partikel tersebut sangat kecil. Sedangkan benda tegar selain dapat mengalami gerak translasi juga dapat bergerak rotasi yaitu gerak mengelilingi suatu poros ataupun mengalami gerak keduanya secara serempak yaitu translasi-rotasi.

BAB II PEMBAHASAN

Sistem Partikel adalah sistem ataupun benda yang terdiri dari banyak partikel (titik partikel) maupun benda yang terdiri dari partikel-partikel yang dianggap tersebar secara kontinyu pada benda. 2.1. Pusat Massa Pusat massa adalah lokasi rerata dari semua massa yang ada di dalam suatu sistem. Istilah pusat massa sering dipersamakan dengan istilah pusat gravitasi, namun demikian mereka secara fisika merupakan konsep yang berbeda. Letak keduanya memang bertepatan dalam kasus medan gravitasi yang sama, akan tetapi ketika gravitasinya tidak sama maka pusat gravitasi merujuk pada lokasi rerata dari gaya gravitasi yang bekerja pada suatu benda. Hal ini menghasilkan suatu torsi gravitasi, yang kecil tetapi dapat terukur dan harus diperhitungkan dalam pengoperasian satelit-satelit buatan. Posisi pusat massa sebuah sistem banyak partikel didefinisikan sebagai berikut 𝑟⃗𝑝𝑚 =

m1 r1 +m2 r2+⋯+ mn rn m1 +m2 +⋯+mn

= ∑𝑖

𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝑀

.........(1) 𝑀 = ∑𝑖 𝑚𝑖 .......(2)

Dengan ⃗𝑟⃗𝑖 adalah posisi partikel ke-i di dalam sistem, dan.

Lihat gambar di samping. Dengan mengganti ⃗𝑟⃗𝑖 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑝𝑚 + ⃗𝑟⃗𝑖 di mana ⃗𝑟⃗𝑖 adalah posisi partikel ke-i relatif terhadap pusat massa, maka pers. Menjadi

𝑟⃗𝑝𝑚 = ∑ 𝑖

𝑟⃗𝑝𝑚 = ∑ 𝑖

𝑚𝑖 (𝑟⃗𝑝𝑚 + 𝑟⃗𝑖 ) 𝑀

= 𝑟⃗𝑝𝑚 +

𝑚𝑖 (𝑟⃗𝑝𝑚 + 𝑟⃗𝑖 )

∑ 𝑖𝑚𝑖 𝑟⃗𝑖 𝑀

𝑀

= 𝑟⃗𝑝𝑚 +

∑ 𝑖𝑚𝑖 𝑟⃗𝑖 𝑀

........(4)

sehingga dapat disimpulkan bahwa ∑𝑖 𝑚𝑖 𝑟⃗𝑖 = 0 .......(5) Bila bendanya bersifat kontinyu, maka menjadi fungsi pusat massa akan menjadi integral :

...(3)

𝑟⃗𝑝𝑚 = ∫

𝑟 𝑑𝑚 𝑀

=∫

𝑟𝜌(𝑟)𝑑𝑣 𝑀

....(6)

dengan dm adalah elemen massa pada posisi𝑟 ⃗_𝑖 𝜌(𝑟) = 𝑟𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑟 𝑑𝑚 = 𝜌(𝑟)𝑑𝑣 → 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑟 Jika diuraikan pada komponenen x,y,z maka; 𝑥𝑝𝑚 =

∑𝑛 𝑖=1 𝑚1 𝑥1 𝑀

, 𝑦𝑝𝑚 =

∑𝑛 𝑖=1 𝑚1 𝑦1 𝑀

, 𝑧𝑝𝑚 =

∑𝑛 𝑖=1 𝑚1 𝑧1 𝑀

.........(7)

Kecepatan masing-masing partikel penyusunnya; ∑𝑛 𝑖 𝑚𝑖 𝑣𝑖

𝑣𝑝𝑚 =

𝑀

........(8)

2.2. Gerak Pusat Massa Gerak pusat massa dapat diperoleh melalui definisi pusat massa. Kecepatan pusat massa diperoleh dari derivatif persamaan pusat massa; 𝑣⃗𝑝𝑚 =

∑ 𝑖𝑚𝑖 𝑟⃗𝑖 𝑀

.......(9)

Dari persamaan ini, setelah dikalikan dengan M, diperoleh 𝑀𝑣⃗𝑝𝑚 = ∑𝑖 𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖 = ∑𝑖 𝑝⃗𝑖 ..........(10) Besaran 𝑀𝑣⃗𝑝𝑚 yang dapat kita anggap sebagai momentum pusat massa, tidak lain adalah total momentum sistem (jumlahan seluruh momentum partikel dalam sistem). Dengan menderivatifkan pers.diatas terhadap waktu, diperoleh 𝑀𝑎⃗𝑝𝑚 = ∑𝑖

𝑑𝑝⃗𝑖 𝑑𝑡

= ∑𝑖 𝐹⃗𝑖 ........(11)

dengan 𝐹⃗𝑖 adalah total gaya yang bekerja pada partikel ke-i. Persamaan di atas menunjukkan bahwa gerak pusat massa ditentukan oleh total gaya yang bekerja pada sistem. Gaya yang bekerja pada sistem dapat dikelompokkan menjadi dua jenis, gaya internal yaitu gaya antar partikel di dalam sistem, dan gaya eksternal yaitu gaya yang berasal dari luar sistem. Untuk gaya internal, antara sembarang dua partikel dalam sistem, i dan j misalnya, akan ada gaya pada i oleh j dan sebaliknya (karena aksi-reaksi), tetapi 𝐹⃗𝑖𝑗 + 𝐹⃗𝑗𝑖 = 𝐹⃗𝑖𝑗 − 𝐹⃗𝑖𝑗 = 0 .........(12)

Sehingga jumlah total gaya internal pada sistem akan lenyap, dan 𝑀𝑎⃗𝑝𝑚 = ∑𝑖 𝐹⃗𝑖𝑒𝑘𝑠 = 𝐹⃗𝑒𝑘𝑠 .........(13) Jadi gerak pusat massa sistem hanya ditentukan oleh total gaya eksternal yang bekerja pada sisem. Ketika tidak ada gaya eksternal yang bekerja pada suatu sistem, maka 𝑑 𝑑𝑡

∑𝑖 𝑝⃗𝑖 = 0........(14)

Atau berarti total momentum seluruh partikel dalam system konstan, 2.3. Momentum Sudut, Tenaga Kinetik Sistem Vektor posisi dan kecepatan partikel ke- i dalam sistem banyak dapat dinyatakan sebagai; 𝑟⃗𝑖 = 𝑟⃗𝑝𝑚 + 𝑟⃗𝑖𝑝𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑣⃗𝑖 = 𝑣⃗𝑝𝑚 + 𝑣⃗𝑖𝑝𝑚 Dimana dan masing- masing adalah vektor posisi dan kecepataan partikel ke- i terhadaap pusat massa. Dari persamaan- persamaan (1), (5), (14) diperoleh ∑ 𝑚𝑖 𝑟⃗𝑖 = ⃗0⃗ ..........(15) Dan ∑ 𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖 = 0

...........(16)

Persamaan (15) dan (16) menyatakan bahwaa vektor posisi dan kecepatan sistem terhadap pusat massanya ( terhadap dirinya sendiri) adalah nol. Momentum sudut sistem banyak partikel dirumuskan sebagai, ⃗⃗ = ∑ 𝑟⃗𝑖 𝑥 𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖 ........................(17) 𝐿 ⃗⃗ = 𝑟⃗𝑖𝑝𝑚 𝑥 𝑀𝑣⃗𝑝𝑚 + ∑ 𝑟⃗𝑖𝑝𝑚 𝑥 𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖𝑝𝑚 ......(18) 𝐿 Suku pertama ruas kanan persamaan berasal dari gerak pusat massanya, sering disebut momentum sudut orbital atau lintasan, dan suku keduanya berasal dari gerak partikel- partikel penyusun terhadap pusat massanya, sering disebut momentum sudut spin. Apabila ada torsi ( moment gaya) eksternal yang bekerja pada sistem makaa berlaku persamaan, ⃗⃗̇ ...............(19) 𝜏𝑒𝑘𝑠 = ∑ 𝜏⃗𝑖 = 𝐿 Yang berarti pula jika resultan torsi eksternal nol, maka momentum sudutnya kekal, sebagai hukum kekekalan momentum sudut. Tenaga kinetik sistem banyak partikel didefinisikan sebagai, 1

𝐾 = ∑ 𝐾𝑖 = ∑ 2 𝑚𝑖 ( 𝑣⃗𝑗 . 𝑣⃗𝑖 ) .................(20) Dengan persamaan (13) (14) (16) tenaga kinetik sistem dirumuskan menjadi,

1

1

𝐾 = 2 𝑀𝑣𝑝𝑚 + ∑ 2 𝑚𝑖 𝑣𝑖𝑝𝑚 ................(21) Atau 𝐾 = 𝐾𝑝𝑚 + 𝐾 (𝑝𝑚) ...................(22) Merupakan penjumlahan dari tenaga kinetik pusat massa dan tenaga kinetik partikel- partikel penyusun terhadap pusat massanya. 2.4. Impuls dan Momentum Dalam suatu tumbukan, misalnya bola yang dihantam tongkat pemukul, tongkat bersentuhan dengan bola hanya dalam waktu yang sangat singkat, sedangkan pada waktu tersebut tongkat memberikan gaya yang sangat besar pada bola. Gaya yang cukup besar dan terjadi dalam waktu yang relatif singkat ini disebut gaya impulsif. Dari hukum ke-2 Newton diperoleh 𝐹= 𝑡𝑓

𝑑𝑝 𝑑𝑡

𝑝𝑓

∫𝑡𝑖 𝐹𝑑𝑡 = ∫𝑝𝑖 𝑑𝑝 𝑡𝑓

𝐼 = ∫𝑡𝑖 𝐹𝑑𝑡 = ∆𝑃 = 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠 Dilihat dari grafik tersebut, impuls dapat dicari dengan menghitung luas daerah di bawah kurva F(t) (yang diarsir). Bila dibuat pendekatan bahwa gaya tersebut konstan, yaitu dari harga rata-ratanya, Fr , maka 𝐼 = 𝐹𝑟 ∆𝑡 = ∆𝑝 𝐼

𝐹𝑟 = ∆𝑡 =

∆𝑝 ∆𝑡

“ Impuls dari sebuah gaya sama dengan perubahan momentum partikel “. 2.5. Kekekalan Momentum dalam Tumbukan

V2

V1

m2

m1

𝑣1′

bertumbukan 𝑣2′

F 12 m1 m2

F 21

Dua buah partikel saling bertumbukan. Pada saat bertumbukan kedua partikel saling memberikan gaya (aksi-reaksi), F12 pada partikel 1 oleh partikel 2 dan F21 pada partikel 2 oleh partikel 1. Perubahan momentum pada partikel 1 : 𝑡𝑓

∆𝑝1 = ∫ 𝐹12 𝑑𝑡 = 𝐹𝑟12 ∆𝑡 𝑡𝑖

Perubahan momentum pada partikel 2 : 𝑡𝑓

∆𝑝2 = ∫ 𝐹21 𝑑𝑡 = 𝐹𝑟21 ∆𝑡 𝑡𝑖

Karena F21 = - F12 maka Fr21 = - Fr12 oleh karena itu

p1 = - p2

Momentum total sistem : P = p1 + p2 dan perubahan momentum total sistem : ∆𝑃 = ∆𝑃1 + ∆𝑃2 “Jika tidak ada gaya eksternal yang bekerja, maka tumbukan tidak mengubah momentum total sistem”. selama tumbukan gaya eksternal (gaya grvitasi, gaya gesek) sangat kecil dibandingkan dengan gaya impulsif, sehingga gaya eksternal tersebut dapat diabaikan. 2.5.1. Tumbukan Satu Dimensi a) Tumbukan Lenting Sempurna Tumbukan biasanya dibedakan dari kekal-tidaknya tenaga kinetik selama proses. Bila tenaga kinetiknya kekal, tumbukannya bersifat elastik. Sedangkan bila tenaga kinetiknya tidak kekal tumbukannya tidak elastik. Dalam kondisi setelah tumbukan kedua benda menempel dan bergerak bersama-sama, tumbukannya tidak elastik sempurna. Sebelum Tumbukan

m1

Sesudah Tumbukan

m2

v1

m1 v’1

v2

Dari Kekekalan Momentum : m1.v1 + m2.v2 = m1v’1 + m2v’2 Dari kekekalan tenaga kinetik : 1

1

1

1

m1 v12+ 2m2 v22 = 2m1v’12 + 2m2v2’2 2

m2

v’2

Koefisien restitusi e=1, 𝑒 = −

(𝑣 ′ 1 −𝑣 ′ 2 ) (𝑣1 −𝑣2 )

a) Tumbukan Tidak Lenting Sama Sekali Dari kekekalan momentum : m1

m2 V1 > v2

v1

m 1+ m 2 𝑣′

v2

m1 v1 + m2 v2 =( m1+ m2 ) v’ dengan

koefisien

restitusi

e

=

0.

Kekekalan

tenaga

mekanik

tidak

berlaku,

berkurang/bertambahnya tenaga mekanik ini berubah/berasal dari tenaga potensial deformasi (perubahan bentuk). a) Tumbukan Lenting Sebagian Setelah tumbukan kedua benda berpisah, energi kinetik hilang dan momentum tetap. Dari kekekalan momentum : m1 v1 + m2 v2 = m1v’1 + m2v’2 dengan koefisien restitusi 0 ≤ e ≤1

2.5.2. Tumbukan Dua Dimensi y

sebelum

sesudah

bertumbukan m1 v’1

m1

𝜃1 𝜃2

Dari kekekalan momentum , untuk komponen gerak dalam arah x : m1v1 + m2v2 = m1(v’1 cos 1)+ m2(v’2 cos 2) untuk komponen gerak dalam komponen y : 0

= m1v’1 sin 1- m2v’2 sin 2

x

m2 v’2

Dalam tumbukan dua dimensi juga terdapat tumbukan lenting sempurna,lenting sebagian, dan tidak lenting sama sekali.Bila dianggap tumbukannya lenting : 1

1

1

1

m1 v12 + 2m2 v22 = 2m1v’12 + 2 m2v2’2

2

BAB III KESIMPULAN  Sistem banyak partikel adalah sistem ataupun benda yang terdiri dari banyak partikel (titik partikel) maupun benda yang terdiri dari partikel-partikel yang dianggap tersebar secara kontinyu pada benda.  Posisi pusat massa sebuah sistem banyak partikel didefinisikan sebagai berikut⃗⃗⃗𝑟𝑝𝑚 = m1 r1 +m2 r2+⋯+ mn rn m1 +m2 +⋯+mn

= ∑𝑖

𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝑀

 Momentum sudut sistem banyak partikel dirumuskan sebagai, ⃗⃗ = ∑ 𝑟⃗𝑖 𝑥 𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖 , o 𝐿

⃗⃗ = 𝑟⃗𝑖𝑝𝑚 𝑥 𝑀𝑣⃗𝑝𝑚 + ∑ 𝑟⃗𝑖𝑝𝑚 𝑥 𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖𝑝𝑚 𝐿

 Impuls dari sebuah gaya sama dengan perubahan momentum partikel 

𝐼 = 𝐹𝑟 ∆𝑡 = ∆𝑝,

𝐼

𝐹𝑟 = ∆𝑡 =

∆𝑝 ∆𝑡

 Tumbukan dapat dibagi menjadi tiga yaitu tumbukan lenting sempurna, tumbukna lenting sebagian, dan tumbukan tidak lenting sama sekali.

DAFTAR PUSTAKA Hutahean, S., (2009), Model Refraksi-Difraksi Gelombang Air oleh Batimetri dengan Mengerjakan Persamaan Kekekalan Energi, Jurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa Sipil, 1 (16), 39-48. Hocking, W.K., (2005), A New Approach To Momentum Flux Determinations Using Skiymet Meteor Radars, European Geosciences Union, Vol.23, No.23, pp.2343-2349. Purwanto, Joko., (2014), Hukum Newton Tentang Gerak dalam Ruang Fase Tak Komutatif, Jurnal Kaunia, 1 (10), 30-35. Rosyadi, F.A., dkk, (2018), Kajian Tumbukan Sentral Dan Tak Sentral Pada Permainan Billliards Sebagai Rancangan Bahan Ajar Fisika SMA, Seminar Nasional Pendidikan Fisika 2018 “Implementasi Pendidikan Karakter dan IPTEK untuk Generasi Millenial Indonesia dalam Menuju sdgs 2030“, (3), 127 – 134. Solikin, Mochamad, (2007), Pengaruh Eksentrisitas Pusat Massa Portal Beton Bertulang Terhadap Stabilitas Struktur Yang Mengalami Beban Gempa, Dinamika Tekhnik Sipil, 1 (7), 37 - 44. Summer, D.M., (2002), Impulse exchange at the surface of the ocean and the fractal dimension of drifter trajectories, Nonlinear Processes in Geophysics, Vol.9, No.9, pp.11-23. Viridi, Sparisoma Dan Dermawan, Budi., (2017), Tumbukan Tak-Elastik Partikel Sebagai Model Terbentuknya Asteroid, Jurnal Fisika dan Aplikasinya, 1 (3), 53-60.