Makalah Interpolasi.docx

MAKALAH FISIKA KOMPUTASI

INTERPOLASI DAN EKSTRAPOLASI

DISUSUN OLEH :

BESTRICA KURNIA SARI

(8186175005)

DESTRI BAIZIAH

(8186175006)

PROGRAM PENDIDIKAN PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN T.A : 2018/2019

BAB I PENDAHULUAN 1.1

Latar Belakang Didalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiran suatu nilai tengah

dari satu set nilai yang diketahui. Interpoloasi dalam arti luas merupakan upaya mendefenisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang tidak diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan analitiknya. Nilai suatu fungsi y = f(x) diketahui berupa ordinat titik-titik x1, x2, x3, ………, xn yang diskontinu (discontinue) atau diskrit (discret). Ekspresi analitik y = f(x) tidak diketahui. Bab ini akan membahas perkiraan ordinat atau f(x) secara numerik untuk nilai x yang berlaku di dalam interval (interpolasi) maupun di luar interval titik-titik yang diketahui (ekstrapolasi). Permasalahan utama dalam interpolasi dan ekstrapolasi adalah akurasi nilai yang dihasilkannya. Fungsi interpolasi dan ekstrapolasi merupakan fungsi model dengan bentuk tertentu yang bersifat umum supaya dapat mendekati fungsi-fungsi yang dipakai secara luas. Sejauh ini fungsi yang umum digunakan adalah polinomial dan trigonometri.

1.2

Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dalam makalah ini adalah 1. Apakah yang dimaksud dengan interpolasi dan ekstrapolasi? 2. Apasajakah jenis-jenis dari interpolasi dan ekstrapolasi? 3. Bagaimanakah implikasi interpolasi dan ekstrapolasi pada MATLAB?

1.3

Tujuan Adapun tujuan dalam makalah ini adalah 1. Untuk mengetahui yang dimaksud dengan interpolasi dan ekstrapolasi 2. Untuk mengetahui jenis-jenis dari interpolasi dan ekstrapolasi 3. Untuk mengetahui implikasi interpolasi dan ekstrapolasi pada MATLAB

BAB II PEMBAHASAN Pendekatan terhadap suatu nilai fungsi dibutuhkan pada beberapa kasus dimana nilai tersebut akan sulit didapatkan dari suatu pendekatan analisis. Pendekatan numeris untuk hal tersebuat adalah dengan interpolasi. Interpolasi pada suatu fungsi F(x) dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk persamaan diantaranya linear, polinomial atau parabolik, trigonometri, exponensial, logaritmik, dan sebagainya. Pada bagian ini akan dibicarakan beberapa model interpolasi diantaranya : linear, kuadratik, beda terbagi newton, bead maju newton, beda mundur newton, dan interpolasi dengan fungsi spline. 2.1

Definisi Interpolasi adalah proses menemukan dan mengevaluasi sebuah fungsi yang grafiknya

melalui beberapa titik yang sudah diberikan. Fungsi yang dievaluasi paling banyak berupa polinomial. Permasalahan dapat dijelaskan sebagai berikut: Diberikan n+1 titik data yang berupa pasangan bilangan :

x , x , , x 0

1

n

(x , f ), (x , f ),, (x , f 0

0

semuanya berlainan. Akan dicari suatu polinom

1

p x  n

1

n

n

) dengan

yang pada setiap

x

i

f yang diberikan, yaitu : p x   f , p x   f ,  , p x   f yang mempunyai derajat n atau kurang.

mengambil nilai 0

n

0

p

Polinom Nilai

f

n

j

n

i

1

1

n

n

n

disebut penginterpolasi. Nilai-nilai

x

j

sering disebut simpul.

bisa berupa nilai-nilai fungsi matematis (tetapi f x  tidak diketahui) atau nilai

yang diperoleh dari percobaan atau pengamatan. Polinom

p x  n

digunakan untuk

mendapatkan nilai-nilai aproksimasi f x  yang tidak dilakukan pengukuran. Secara khusus, terdapat 2 macam pengertian untuk interpolasi, yaitu : 

Interpolasi

: x terletak di antara simpul-simpul yang ada.



Ekstrapolasi

: x tidak terletak di antara simpul-simpul → biasanya kurang cermat.

Interpolasi dan Ekstrapolasi digunakan untuk memprediksi suatu nilai dalam suatu fungsi yang belum diketahui, dimana fungsi itu bersifat kontinyu dalam interval tertentu. 2.2

Interpolasi Polinomial Beberapa interpolasi polynomial yang akan dibahas adalah interpolasi linier,

interpolasi kuadratik, interpolasi beda terbagi Newton, dan interpolasi Lagrange.

2.2.1 Interpolasi Linier Interpolasi linear adalah interpolasi yang diperoleh dengan cara menghubungkan dua titik yang mengapit daerah yang akan dicari interpolasinya. Interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik, (x0,y0) dan (x1,y1). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk: P1(x) = a0 + a1x Gambar dibawahmemperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik (x0,y0) dan (x1,y1). Y (x1,y1)

(x0,y0) X Koefisien 𝑎0 dan 𝑎1 dicari dengan proses substitusi dan eliminasi. Dengan mensubstitusikan (𝑥0 , 𝑦0 ) dan (𝑥1 , 𝑦1 ) ke dalam persamaan 𝑓1 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 diperoleh dua persamaan linear: 𝑦0 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥0 . . . . . (1) 𝑦1 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 . . . . . (2) Dari dua persamaan diatas, dengan eliminasi diperoleh: 𝑦0 − 𝑦1 = (𝑎0 + 𝑎1 𝑥0 ) − (𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 ) 𝑦0 − 𝑦1 = 𝑎1 𝑥0 − 𝑎1 𝑥1 ⇔ 𝑦0 − 𝑦1 = 𝑎1 (𝑥0 − 𝑥1 ) 𝑦0 − 𝑦1 𝑎1 = 𝑥0 − 𝑥1 Substitusikan nilai 𝑎1 ke dalam persamaan (1), diperoleh: 𝑦0 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥0 𝑥0 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 𝑦0 = 𝑎0 + 𝑥0 − 𝑥1 𝑥0 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 𝑦0 = 𝑎0 + 𝑥0 − 𝑥1 𝑥0 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 𝑎0 = 𝑦0 − 𝑥0 − 𝑥1

𝑎0 =

𝑦0 (𝑥0 − 𝑥1 ) − 𝑥0 𝑦0 + 𝑥0 𝑦1 𝑥0 − 𝑥1

𝑥0 𝑦0 − 𝑥1 𝑦0 − 𝑥0 𝑦0 + 𝑥0 𝑦1 𝑥0 − 𝑥1 𝑥0 𝑦1 − 𝑥1 𝑦0 𝑎0 = 𝑥0 − 𝑥1 𝑎0 =

Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai 𝑓1 (𝑥)dapat dilakukan sebagai berikut: 𝑓1 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 𝑥1 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 𝑦1 – 𝑦0 𝑓1 (𝑥) = + 𝑥 𝑥1 − 𝑥0 𝑥1 − 𝑥0 𝑓1 (𝑥) =

𝑥1 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 + 𝑥𝑦1 – 𝑥𝑦0 𝑥1 − 𝑥0

𝑓1 (𝑥) =

𝑥1 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 + 𝑥𝑦1 – 𝑥𝑦0 + (𝑥0 𝑦0 − 𝑥0 𝑦0 ) 𝑥1 − 𝑥0

𝑓1 (𝑥) =

𝑥1 𝑦0 − 𝑥0 𝑦0 − 𝑥0 𝑦1 + 𝑥𝑦1 – 𝑥𝑦0 + 𝑥0 𝑦0 𝑥1 − 𝑥0

𝑓1 (𝑥) =

𝑦0 (𝑥1 − 𝑥0 ) + 𝑦1 (𝑥 − 𝑥0 )– 𝑦0 (𝑥 − 𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0

𝑓1 (𝑥) =

𝑦0 (𝑥1 − 𝑥0 ) + (𝑦1 − 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0

𝑓1 (𝑥) = 𝑦0 +

(𝑦1 − 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0

Persamaan 𝑃(𝑥) = 𝑦0 +

(𝑦1 −𝑦0 )(𝑥−𝑥0 ) 𝑥1 −𝑥0

adalah persamaan garis lurus yang melalui dua buah

titik, (x0, y0) dan (x1, y1). Kurva polinom p1(x) ini adalah berupa garis lurus (Gambar 2.3).

Contoh 1. Cari interpolasi dari titik-titik sebagai berikut. {(80,6.47),(0,6.0), (-60,5.58), (-160,4.72), (-260,3.58)(-340,2.45)} Penyelesaian: Titik (x,y)

0

1

2

3

4

5

X

-340

-260

-160

-60

0

80

Y

2.45

3.58

4.72

5.58

6.0

6.47

Rumus yang digunakan yaitu persamaan garis lurus: 𝑓1 (𝑥) = 𝑦0 +

(𝑦1 − 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0

𝑓1 (𝑥) = 2.45 +

(3.58 − 2.45){𝑥 − (−340)} = 0.014125𝑥 + 7.2525 −260 − (−340)

𝑓2 (𝑥) = 3.58 +

(4.72 − 3.58){𝑥 − (−260)} = 0.0114𝑥 + 6.544 −160 − (−260)

𝑓3 (𝑥) = 4.72 +

(5.58 − 4.72){𝑥 − (−160)} = 0.0086𝑥 + 6.096 −60 − (−160)

𝑓4 (𝑥) = 5.58 +

(6.0 − 5.58){𝑥 − (−60)} = 0.007𝑥 + 6 0 − (−60)

𝑓5 (𝑥) = 6.0 +

(6.47 − 6.0){𝑥 − 0} = 0.005875𝑥 + 6 80 − 0

Implementasi dengan MatLab Algoritma Interpolasi Linier : 1. Tentukan dua titik f1 dan f2 dengan koordinatnya masing-masing (x1,y1) dan (x2,y2) 2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari 3. Hitung nilai y dengan : 𝑃(𝑥) = 𝑦0 +

(𝑦1 − 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0

4. Tampilkan nilai titik yang baru f(x,y) Langkah-langkah dalam menjalankan progam matlab dengan menggunakan interpolasi linier sebagai berikut : 1. Buka aplikasi matlab dengan menekan double click pada dekstop MatLab 2. Sehingga akan muncul tampilan seperti gambar di bawah

3. Kemudian klik kanan menu File – New - M-file

4. Selanjutnya masukkan coding yang telah disediakan ke dalam file yang baru di buka seperti pada gambar berikut;

5. Setelah cooding dibuat, langkah selanjutnya yaitu menyimpan pada work Matlab dengan syarat tidak boleh menggunaan spasi. Kemudian mengklik Debug-Run, seperti langkah di bawah.

6. Setelah me-run, maka akan diperoleh data sebagai berikut: a. Picture 1

b. Picture 2

2.1.2 Interpolasi Kuadratik Misal diberi tiga buah titik data, (𝑥0 , 𝑦0 ), (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑑𝑎𝑛 (𝑥2 , 𝑦2 ). Polinom yang menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk: 𝑃2 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 Bila digambar, kurva polinom kuadrat berbentu parabola, seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.4 dan Gambar 2.5 Y x1,y

y1

1

y2

x2,y2

y0

x0,y 0

x0

x1

X

x2

Gambar 2.5 Interpolasi kuadratik. Masih terdapat grafik berbentuk parabola yang lain, selain yang ditunjukkan pada Gambar 2.5, namun harus diperhatikan bahwa untuk setiap nilai 𝑥𝑖

akan

diperoleh hanya sebuah nilai 𝑦𝑖 . Sehingga tidak mungkin kondisi grafiknya seperti Gambar 2.6 di bawah ini atau semacamnya. Y x1 ,y

y1

1

y2

x2,y 2

y0

x0 ,y 0 x0

x1

Gambar 2.6. Bukan Interpolasi Kuadratik.

x2

X

Menyelesaikan Polinom 𝑃2 (𝑥) ditentukan dengan cara berikut: 1.

Substitusikan(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) ke dalam persamaan 𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥𝑖 + 𝑎2 𝑥𝑖2 dengan i = 0, 1, 2. Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui yaitu: 𝑎0 , 𝑎1 , dan 𝑎2 : 𝑎0 + 𝑎1 𝑥0 + 𝑎2 𝑥02 = 𝑦0 𝑎0 + 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥12 = 𝑦1 𝑎0 + 𝑎1 𝑥2 + 𝑎2 𝑥22 = 𝑦2

2. Hitung 𝑎0 , 𝑎1 , dan 𝑎2 dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi Gauss. Selain menggunakan metode eliminasi Gauss, menentukan 𝑎0 , 𝑎1 , dan 𝑎2 dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut: a) Hitung 𝐹01 =

𝑦𝑖+1 −𝑦𝑖 𝑥𝑖+1 −𝑥𝑖

, 𝐹12 =

𝑦𝑖+2 −𝑦𝑖+1 𝑦𝑖+2 −𝑦𝑖+1

, dan 𝐹012 =

𝐹12 −𝐹01 𝑥𝑖+2 −𝑥𝑖

b) Hitung 𝑃 = 𝑦1 + (𝑥 − 𝑥𝑖 )𝐹01 + (𝑥 − 𝑥𝑖 )(𝑥 − 𝑥𝑖+1 )𝐹012 Implementasi dengan MatLab Algoritma Interpolasi Kuadratik : 1. Tentukan 3 titik input P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) 2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari 3. Hitung nilai f

dari titik yang dicari menggunakan rumus dari interpolasi

kuadratik: 𝑃 = 𝑦1 + (𝑥 − 𝑥𝑖 )𝐹01 + (𝑥 − 𝑥𝑖 )(𝑥 − 𝑥𝑖+1 )𝐹012 Langkah-langkah dalam menjalankan progam matlab dengan menggunakan interpolasi kuadratik sebagai berikut : 1. Ikuti langkah 1 – 3 pada langkah-langkah menjalankan program MatLab dengan menggunakan interpolasi linier 2. Selanjutnya masukkan coding yang telah disediakan ke dalam file yang baru di buka seperti pada gambar berikut.

3. Setelah cooding dibuat, langkah selanjutnya yaitu menyimpan pada work Matlab dengan syarat tidak boleh menggunaan spasi. Kemudian mengklik Debug-Run, seperti langkah di bawah.

4. Setelah me-run, maka lakukan masukkan matriks yang dingin dicari. Testing I Diberikan titik ln(8.0) = 2.0794, ln(9.0) = 2.1972, dan ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln (9.2) dengan interpolasi kuadratik. Penyelesaian: Diket.

𝑥0 = 8.0,

𝑦0 = 2.0794

𝑥1 = 9.0, 𝑦1 = 2.1972 𝑥2 = 9.5, 𝑦2 = 2.2513

Ditanya. Tentukan nilai ln (9.2). Dijawab. Sistem persamaan yang terbentuk adalah: 𝑎0 + 8.0 𝑎1 + 64.00 𝑎2 = 2.0794 𝑎0 + 9.0 𝑎1 + 81.00 𝑎2 = 2.1972 𝑎0 + 9.5 𝑎1 + 90.25 𝑎2 = 2.2513 Untuk perhitungan secara manual, sistem persamaan diselesaikan dengan metode eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut: Matriks yang terbentuk dari persamaan 𝑎0 + 8.0 𝑎1 + 64.00 𝑎2 = 2.0794 𝑎0 + 9.0 𝑎1 + 81.00 𝑎2 = 2.1972 𝑎0 + 9.5 𝑎1 + 90.25 𝑎2 = 2.2513 1 8 64 2.0794 𝑅21(−1) 1 8 64 2.0794 adalah:(1 9 81 2.1972) (0 1 17 0.1178) 𝑅31(−1) 19.590.252.2513 01.526.250.1719 10−72 1.137 𝑅12(−8) 10−72 1.137 𝑅13(72) 100 0.6762 1 (01 17 0.1178 ) (01 17 0.1178 ) (010 0.2266 ) 𝑅32(−1.5) 𝑅23(−17) 𝑅31( ) 000.75−0.0048 001−0.0064 0.75 00 1 −0.0064 Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan 𝑎0 = 0.6762, 𝑎1 = 0.2266, 𝑎2 = −0.0064 . Polinom kuadratnya adalah:𝑝2 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 𝑓2 (9.2) = 0.6762 + 0.2266. (9.2) + −0.0064. (9.2)2 𝑓2 (9.2) = 2.2192

Testing II Cocokkan polinom orde kedua terhadap tiga titik yang dipakai dalam contoh persamaan interpolasi linear: 𝑥0 =1

P(𝑥0 )=0

𝑥1 =4

P(𝑥1 )=1,3862944

𝑥2 =6

P(𝑥2 ) =1,7917595

Pakailah polinom tersebut untuk menghitung ln 2 Penyelesaian: 𝑏0 =0 1,3862944−0

𝑏1 =

𝑏2 =

4−1

=0,46209813

1,7917595−1,3862944 – 0,46209813 6−4

6−1

= -0,051873116 Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke (P,12.3) dihasilkan rumus kuadrat 𝑝(x) =0+0,46209813(x-1)-0,051873116(x-1)(x-4) yang dapat dihitung pada x=2 untuk 𝑝(x) =0,56584436

2.1.3. Interpolasi Polinom Lagrange Tinjau kembali persamaan berikut : 𝑝1 (𝑥) = 𝑦0 +

(𝑦1 − 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0

Persamaan ini dapat diatur kembali sedemikian rupa sehingga menjadi 𝑝1 (𝑥) = 𝑦0

(𝑥 − 𝑥1 ) (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑦1 𝑥0 − 𝑥1 𝑥1 − 𝑥0

atau dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑝(𝑥) = 𝑎0 𝐿0 (𝑥) + 𝑎1 𝐿1 (𝑥) yang dalam hal ini 𝑎0 = 𝑦0 , 𝐿0 (𝑥) =

(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑥0 − 𝑥1

dan 𝑎1 = 𝑦1 , 𝐿1 (𝑥) =

(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0

Persamaan 𝑓1 (𝑥) = 𝑎0 𝐿0 (𝑥) + 𝑎1 𝐿1 (𝑥) dinamakan polinom Lagrange derajat 1. Nama polinom ini diambil dari nama penemunya, yaitu Joseph Louis Lagrange yang berkebangsaan Perancis. Bentuk umum polinom Lagrange derajat £ n untuk (n + 1) titik berbeda adalah 𝑛

𝑝𝑛 (𝑥) = ∑ 𝑎𝑖 𝐿𝑖 (𝑥) = 𝑎0 𝐿0 (𝑥) + 𝑎1 𝐿1 (𝑥) + ⋯ + 𝑎𝑛 𝐿𝑛 (𝑥) 𝑖=0

yang dalam hal ini ai = yi , i = 0, 1, 2, …, n dan, 𝑛

𝐿𝑖 (𝑥) = ∏ 𝑗=0 𝑗≠𝑖

(𝑥 − 𝑥𝑗 ) (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑖−1 )(𝑥 − 𝑥𝑖+1 ) ⋯ (𝑥 − 𝑥𝑛 ) = (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 ) (𝑥𝑖 − 𝑥)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖 ) ⋯ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1 ) ⋯ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑛 )

Mudah dibuktikan, bahwa 𝐿𝑖 (𝑥𝑗 ) = {

1 0

,𝑖 = 𝑗 𝑖≠𝑗

dan polinom interpolasi fn(x) melalui setiap titik data.

Langkah-langkah dalam menjalankan progam matlab dengan menggunakan polinom Lagrange sebagai berikut :

1. Ikuti langkah 1 – 3 pada langkah-langkah menjalankan program MatLab dengan menggunakan interpolasi linier 2. Selanjutnya masukkan coding yang telah disediakan ke dalam file yang baru di buka seperti pada gambar berikut.

3. Setelah cooding dibuat, langkah selanjutnya yaitu menyimpan pada work Matlab dengan syarat tidak boleh menggunaan spasi. Kemudian mengklik Debug-Run, seperti langkah di bawah.

4. Setelah me-run, maka lakukan masukkan matriks yang dingin dicari. Testing I

Carilah f(9.2) dengan interpolasi lagrange dengan n = 3 dan f(9.0)=2.19722, f(9.5)=2.25129, f(10.0)=2.30259, f(11.0)=2.39790 Penyelesaian :

L3 x  

l0  x  l x  l x  l x  f0  1 f1  2 f2  3 f3 l0 x0  l1 x1  l 2  x2  l3 x3 

l0 x0   x0  x1 x0  x2 x0  x3 

= -1.00000

l0 x   x  x1 x  x2 x  x3 

= -0.43200

l1 x1   x1  x0 x1  x2 x1  x3 

= 0.37500

l1 x   x  x0 x  x2 x  x3 

= 0.28800

l2 x2   x2  x0 x2  x1 x2  x3 

= -0.50000

l2 x   x  x0 x  x1 x  x3 

= 0.10800

l3 x3   x3  x0 x3  x1 x3  x2 

= 3.00000

l3 x   x  x0 x  x1 x  x2 

= 0.04800

L 3 (9.2) 

 0.43200 0.28800 0.10800 2.19722  2.25129  2.30259  1.00000 0.37500  0.50000 0.04800  2.39700 3.00000

= 2.21920 (eksak sampai 5 angka decimal)

2.1.4

Interpolasai Polinom Newton Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena alasan berikut :

1. Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan. 2. Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Hal ini disebakan oleh tidak adanya hubungan antara fn1(x)

dan fn(x) pada polinom Lagrange.

Polinom Newton dibuat untuk mengatasi kelemahan ini. Dengan polinom Newton, polinom yang dibentuk sebelumnya dapat dipakai untuk membuat polinom derajat yang makin tinggi. Tinjau kembali polinom lanjar pada persamaan 𝑝1 (𝑥) = 𝑦0 +

(𝑦1 − 𝑦0 )(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0

Bentuk persamaan ini dapat ditulis sebagai 𝑝1 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎0 (𝑥 − 𝑥0 ) yang dalam hal ini 𝑎0 = 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) dan 𝑎1 = Persamaan

𝑦1 − 𝑦0 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 ) = 𝑥1 − 𝑥0 𝑥1 − 𝑥0

ini merupakan bentuk selisih-terbagi (divided-difference) dan

dapat disingkat penulisannya menjadi 𝑎1 = 𝑓[𝑥1 , 𝑥0 ] Setelah polinom lanjar, polinom kuadratik dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑎2 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) atau 𝑝2 (𝑥) = 𝑝(𝑥) + 𝑎2 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) Persamaan 𝑓2 (𝑥) = 𝑓1 (𝑥) + 𝑎2 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) memperlihatkan bahwa p2(x) dapat dibentuk dari polinom sebelumnya, p1(x). Ini mengarahkan kita pada pembentukan polinom Newton untuk derajat yang lebih tinggi. Nilai a2 dapat ditemukan dengan menyulihkan x = x2 untuk memperoleh 𝑎2 =

𝑓(𝑥2) − 𝑎0 − 𝑎1 (𝑥1 − 𝑥0 ) (𝑥2 − 𝑥0 )(𝑥2 − 𝑥1 )

Nilai a0 dan nilai a1 pada persamaan 𝑎0 = 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) dan 𝑎1 = dimasukkan ke dalam ke dalam persamaan 𝑎2 =

𝑓(𝑥2 )−𝑎0 −𝑎1 (𝑥1 −𝑥0 ) (𝑥2 −𝑥0 )(𝑥2 −𝑥1 )

𝑦1 −𝑦0 𝑥1 −𝑥0

=

𝑓(𝑥1 )−𝑓(𝑥0 ) 𝑥1 −𝑥0

untuk memberikan

𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 ) − 𝑥2 − 𝑥0 𝑥1 − 𝑥0 𝑎2 = 𝑥2 − 𝑥0 Demikianlah seterusnya, kita dapat membentuk polinom Newton secara bertahap: polinom derajat n dibentuk dari polinom derajat (n-1). Polinom Newton dinyatakan dalam hubungan rekursif sebagai berikut: i.

rekurens: 𝑝𝑛 (𝑥) = 𝑝𝑛−1 (𝑥) + 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1 )

ii.

basis : 𝑝0 (𝑥) = 𝑎0

Jadi, tahapan pembentukan polinom Newton adalah sebagai berikut: 𝑝1 (𝑥) = 𝑝0 (𝑥) + 𝑎1 (𝑥 + 𝑥0 ) = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 + 𝑥0 ) 𝑝2 (𝑥) = 𝑝1 (𝑥) + 𝑎2 (𝑥 + 𝑥0 ) = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 + 𝑥0 ) + 𝑎2 (𝑥 + 𝑥0 )(𝑥 + 𝑥1 ) 𝑝3 (𝑥) = 𝑝2 (𝑥) + 𝑎3 (𝑥 + 𝑥0 ) = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 + 𝑥0 ) + 𝑎2 (𝑥 + 𝑥0 )(𝑥 + 𝑥1 ) + 𝑎3 (𝑥 + 𝑥0 )(𝑥 + 𝑥1 )(𝑥 + 𝑥2 ) 𝑝𝑛 (𝑥) = 𝑝𝑛−1 (𝑥) + 𝑎𝑛 (𝑥 + 𝑥0 ) ⋯ (𝑥 + 𝑥𝑛−1 ) = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 + 𝑥0 ) + 𝑎2 (𝑥 + 𝑥0 )(𝑥 + 𝑥1 ) + 𝑎3 (𝑥 + 𝑥0 )(𝑥 + 𝑥1 )(𝑥 + 𝑥2 ) + ⋯ + 𝑎𝑛 (𝑥 + 𝑥0 )(𝑥 + 𝑥1 ) ⋯ (𝑥 + 𝑥𝑛−1 ) Nilai konstanta a0, a1, a2, ..., an merupakan nilai selisih-terbagi, dengan nilai masingmasing: 2.3

Interpolasi dengan Fungsi Spline Smoothness bisa didapatkan dengan interpolasi polinomial secara lokal

menggunakan fungsi-fungsi spline. Polinomial-polinomial berderajat rendah (yang berbeda derajatnya) digunakan untuk tiap interval [Xi, Xi+1] Definisi fungsi spline Misalkan x0  x1  .....  xn adalah serangkaian titik. Fungsi s merupakan spline berderajat k jika: a. s adalah polinomial berderajat tidak lebih dari k pada tiap subinterval [Xi, Xi+1]. b. s, s' ,....., s ( k 1) semuanya kontinyu pada interval [X0, XN]

Contoh-contoh fungsi spline

a.

x  s( x)   x 2  x  1 5 x  8 

0  x 1 1 x  3 3 x  4

Merupakan fungsi spline derajat 2. Derajat masing-masing fungsi paling tinggi adalah 2. Bukan merupakan spline kubik (derajat 3) karena derivatif titik 2 tidak kontinyu, yaitu 0, 2, 0, untuk masing-masing interval.

2 x  1 b. s( x) x

0  x 1 1 x  2

Merupakan spline linier. 2.3

Ektrapolasi Ekstrapolasi merupakan suatu metode untuk menentukan atau memperkirakan

suatu nilai yang berada diluar interval atau dua titik yang segaris. rumus ekstrapolasi hampir sama dengan persamaan garis yang diketahui dua buah titik yang segaris yaitu (y - y1)/(y2 - y1) =(x - x1) / (x2 - x1). Jika diketahui jika 1 liter bensin bisa berkendara sejauh 45 km dan 2 liter bensin bisa berkendara sejauh 90 km maka berapa jarak yang bisa ditempuh jika tersedia 5 liter bensin atau jika diketahui jarak yang harus ditempuh adalah 150 km berapa liter bensin yang diperlukan. Dimana x1 = 45 km dan y1 = 1 liter; x2 = 90 km dan y2 = 2 liter masukkan ke rumus diatas didapat (y - y1)/(y2 - y1) =(x - x1) / (x2 - x1). (y - 1)/(2 - 1) =(x - 45) / (90- 45). Berapa jarak yang bisa ditempuh jika tersedia 5 liter bensin Y = jumlah liter bensin x = Jarak tempuh (5 - 1)/(2 - 1) = (x - 45)/(90 - 45) x = (45)(4)/(1) + 45 = 225 km Jika diketahui jarak yang harus ditempuh adalah 150 km berapa liter bensin yang diperlukan. Y = jumlah liter bensin x = Jarak tempuh

(y - 1)/(2 - 1) = (150 - 45)/(90 - 45) y = (1)(105))/(45) +1 = 10/3 liter bensin Catatan: Interpolasi dan ekstrapolasi merupakan prosedur untuk memperkirakan nilai atau data yang tidak diketahui berdasar kombinasi beberapa nilai atau harga yang diketahui. Metode atau cara yang dipergunakan untuk itu banyak sekali. Beberapa metode yang diberikan dalam bab ini hanya sebagian diantaranya. Dalam makalah ini hanya diberikan contoh fungsi interpolasi berupa polinomial. Pembaca dapat mencari sendiri beberapa metode lainnya. .Dari beberapa fungsi interpolasi yang diberikan dapat disimpulkan, bahwa masalah utama dalam penyusunan fungsi interpolasi adalah penentuan koefisien fungsi interpolasi. Dalam hal ini besarnya koefisien tersebut tidak ditentukan misalnya tergantung dari jarak antara titik interpolasi dan titik-titik lainnya.

BAB III PENUTUP 

Ektrapolasi merupakan suatu metode untuk menentukan atau memperkirakan suatu nilai yang berada diluar interval atau dua titik yang segaris. rumus ekstrapolasi hampir sama dengan persamaan garis yang diketahui dua buah titik yang segaris yaitu (y - y1)/(y2 - y1) =(x - x1) / (x2 - x1).



Interpolasi adalah proses menemukan dan mengevaluasi sebuah fungsi yang grafiknya melalui beberapa titik yang sudah diberikan. Fungsi yang dievaluasi paling banyak berupa polinomial.