Makalah Gerak Lurus Kelompok 8.docx

MAKALAH KAPITA SELEKTA

OLEH Kelompok 8

1. Apridiana Fera Ciks (1701050056) 2. Delfiana Novita Jelita(1701050003) 3. Maria Goreti Halim (1701050007)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS NUSA CENDANA KUPANG 2019

1

KATA PENGANTAR Puji syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena dengan rahmat dan kasih karunia-Nya, kami dapat menyelesaikan makalah “Gerak dengan Analisis Vektor” ini dengan baik dan tepat pada waktunya.Tidak lupa pula penulis ucapkan terima kasih kepada dosen mata kuliah Kapita Selekta yang telah memberikan tugas ini kepada kami. Penulis sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah wawasan serta pengetahuan kita, serta dapat dijadikan sebagai bahan ajar. Penyusun juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam tugas ini terdapat kekurangan-kekurangan dan jauh dari apa yang saya harapkan. Untuk itu, penyusun mengharapkan adanya kritik, saran dan usulan demi perbaikan di masa yang akan datang, mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa sarana yang membangun. Semoga makalah sederhana ini dapat dipahami bagi siapapun yang membacanya. Sekiranya makalah yang telah disusun ini dapat berguna bagi saya sendiri maupun orang yang membacanya. Sebelumnya penyusun mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-kata yang kurang berkenan dan saya memohon kritik dan saran yang membangun demi perbaikan di masa mendatang.

Kupang, Februari 2019

Penyusun

2

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ..................................................................................................... 2 DAFTAR ISI .................................................................................................................... 3 BAB 1 PENDAHULUAN A. Latar Belakang ............................................................................................................ 4 BAB II PEMBAHASAN A. Gerak Benda Titik ....................................................................................................... 6 B. Gerak Lurus............................................................................................................... 10 C. Gerak Melingkar ....................................................................................................... 15 D. Gerak Parabola .......................................................................................................... 23 DAFTAR PUSTAKA..................................................................................................... 27

3

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Hampir setiap saat kita melihat benda-benda bergerak. Setiap saat kita juga melakukan gerak. Di jalan raya kita dapat melihat banyak mobil yang sedang bergerak, di pusat perbelanjaan, kita dapat melihat banyak orang bergerak melakukan aktivitas masing-masing, di sungai dapat kita lihat gerakan aliran air. Bahkan bumi tempat kita berpijak selalu dalam keadaan bergerak, yaitu gerak rotasi dan revolusi. Bila kita melihat sebuah bus yang sedang berjalan, sementara kita sedang berada di luar bus, maka bus tersebut dapat kita katakan bergerak. Demikian juga semua yang berada di dalam bus, baik tempat duduk maupun orangnya dapat kita katakan bergerak. Hal ini berkebalikan bila kita berada di dalam bus tersebut, kita akan mengatakan bahwa bus tidak bergerak, sedangkan benda-benda yang ada di luar bus itu kita katakan bergerak. Nah, gerak benda-benda di luar bus, seperti pohon, tiang listrik, dan tiang telepon dinamakan gerak semu. Sedangkan yang sebenarnya terjadi adalah bus yang kita tumpangi bergerak mendekati atau menjauhi benda-benda tersebut. Kapan suatu benda dikatakan bergerak? Benda dikatakan bergerak bila kedudukannya terhadap titik acuan setiap saat selalu berubah, dan sebaliknya benda dikatakan diam bila kedudukannya terhadap titik acuan selalu tetap. Studi mengenai gerak benda, konsep-konsep gaya, dan energi yang berhubungan, membentuk suatu bidang, yang disebut mekanika. Mekanika dibagi menjadi dua bagian, yaitu kinematika dan dinamika. Kinematika adalah ilmu yang mempelajari gerak benda tanpa meninjau gaya penyebabnya. Adapun dalam dinamika mempelajari tentang gerak dan gaya penyebabnya. Kinematika adalah mempelajari mengenai gerak benda tanpa memperhitungkan penyebab terjadi gerakan itu. Benda diasumsikan sebagai benda titik yaitu ukuran, bentuk, rotasi dan getarannya diabaikan tetapi massanya tidak. Dalam kinematika besaran-besaran yang mempengaruhi gerak benda adalah: perpindahan (displacement), kecepatan (velocity) dan percepatan (accelaration). Gerak dalam kinematika meliputi gerak lurus beraturan (glb), gerak lurus berubah beraturan (glbb), dan gerak lurus berubah tidak beraturan gerak melingkar dan gerak peluru, gerak benda yang mempunyai tiga komponen (x,y,z) misal gerak muatan dalam medan magnet dan medan listrik dan gerak benda yang diamati oleh pengamat pada saat bergerak atau diam. Namun, kami

4

hanya membahas tentang gerak pada benda titik, gerak lurus, gerak melingkar dan gerak parabola dalam makalah ini.

5

BAB II PEMBAHASAN A. GERAK BENDA TITIK

1. Perpindahan Letak sebuah partikel dalam ruang dinyatakan oleh vektor posisi r. Vektor posisi ini dapat dituliskan dalam komponen-komponennnya, 𝑟⃗ = 𝑟𝑥 𝑖̂ + 𝑟𝑦 𝑗̂ + 𝑟𝑧 𝑘̂ = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧𝑘̂

(1)

Bila partikel bergerak, posisinya berubah terus terhadap waktu. Jadi partikel yang bergerak memiliki vektor posisi yang merupakan fungsi waktu, demikian juga komponen-komponennya: 𝑟⃗(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖̂ + 𝑦(𝑡)𝑗̂ + 𝑧(𝑡)𝑘̂

(2)

Dalam mekanika klasik waktu dianggap tidak bergantung pada sistem kerangka koordinat yang dipilih, waktu hanya sebagai sesuatu yang mengalir bebas dari besaranbesaran fisis lainnya. Contoh : 𝑟⃗ = 4𝑖̂ + 3𝑗̂ + 2𝑘̂

Gambar 1 vektor posisi 𝑟⃗ = 4𝑖̂ + 3𝑗̂ + 2𝑘̂ Panjang vektor 𝑟⃗ditulis /𝑟⃗/ /𝑟⃗/= √42 + 32 + 22 = √16 + 9 + 4 = √29 satuan Misalkan pada saat 𝑡1 partikel berada di titik 1 dengan vektor posisi 𝑟1 = 𝑟𝑡1 , dan pada saat 𝑡2 benda di titik 2 dengan vektor posisi 𝑟2 = 𝑟𝑡2 . Perpindahan partikel dalam selang waktu ini dinyatakan dengan vektor ∆𝑟 dari titik 1 ke titik 2. Vektor ∆𝑟 ini disebut vektor perpindahan: ∆𝑟 = 𝑟𝑓 − 𝑟𝑖 6

Perhatikan Titik materi yang bergerak dari A yang posisinya ⃗⃗⃗⃗ 𝑟1 pada saat 𝑡1 , ke titik B yang posisinya ⃗⃗⃗⃗ 𝑟2 pada saat 𝑡2 .

Gambar 2 vektor perpindahan ∆𝑟⃗ Vektor perpindahannya adalah ∆𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝑟2 − ⃗⃗⃗⃗ 𝑟1 dan selang waktu yang dipergunakan titik materi untuk bergerak dari A ke B adalah ∆𝑡 = ∆𝑡2 − ∆𝑡1 2. Kecepatan Kecepatan rata-rata adalah rasio vektor perpindahan ∆𝑟⃗ terhadap selang waktu Δt : 𝑣⃗ =

∆𝑟⃗ ∆𝑡

⃗⃗⃗⃗⃗−𝑟 𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗

= ∆𝑡2−∆𝑡1 2

(3)

1

Pada persamaan di atas tampak bahwa kecepatan rata-rata tidak tergantung pada lintasan titik materi, tetapi tergantung dari posisi awal (𝑟⃗⃗⃗⃗1 ) dan posisi akhir (𝑟⃗⃗⃗⃗). 2 Disebut kecepatan rata-rata karena tidak menggambarkan

kecepatan benda yang

sesungguhnya, melainkan hanya kecepatan rata-rata selama selang waktu tersebut. Jika ingin diketahui kecepatan titik materi pada suatu saat misal saat titik materi berada di antara A dan B, digunakan kecepatan sesaat. Kecepatan sesaat didefinisikan: 𝑣⃗ = lim

∆𝑟⃗

∆𝑡→0 ∆𝑡

Secara matematis ditulis sebagai : ⃗⃗ = 𝑣

𝑑𝑟⃗

(4)

𝑑𝑡

Laju Besarnya kecepatan disebut dengan laju. Laju didefinisikan sebagai : 𝑑𝑟⃗

/𝑣⃗/=/ 𝑑𝑡 / Laju dapat pula berarti panjang lintasan dibagi waktu yang bersangkutan. Nilai dari komponen kecepatan sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan grafik yang dibentuk oleh komponen posisi ( r ) terhadap waktu ( t ).

7

Gambar 2.3 Kemiringan grafik kecepatan sesaat Persamaan kecepatan sesaat dari grafik di samping di dapat : 𝑣1 = 𝑡𝑔 𝛼1 𝑣2 = 𝑡𝑔 𝛼2 Makin besar derajat kemiringannya makin besar pula harga kecepatannya. Posisi dari suatu titik materi yang bergerak merupakan fungsi waktu, oleh karena itu, vektor posisi 𝑟⃗ dapat ditulis sebagai 𝑟⃗ = 𝑟⃗⃗⃗(𝑡) artinya 𝑟⃗ merupakan fungsi waktu (t). Kecepatan titik materi pada sebuah bidang datar/ruang dapat ditulis : 𝑣𝑋 =

𝑑𝑋 𝑑𝑡

𝑣𝑌 =

𝑑𝑌 𝑑𝑡

𝑣𝑍 =

𝑑𝑍 𝑑𝑡

(5)

X, Y, Z merupakan fungsi dari waktu. Sebaliknya untuk menentukan posisi titik materi jika diketahui fungsi kecepatannya maka dapat diselesaikan dengan integral ( kebalikan dari deferensial ). 𝑣𝑋 =

𝑑𝑋(𝑡) 𝑑𝑡

𝑑𝑋(𝑡) = 𝑣𝑋 . 𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑋(𝑡) = ∫ 𝑣𝑋 . 𝑑𝑡 𝑋(𝑡) = ∫ 𝑣𝑋 . 𝑑𝑡 Contoh : 𝑣𝑡 = 2 t + 5 m/det maka persamaan posisi titik materi tersebut adalah ...... 𝑟⃗ =

=

v dt

2t 5 dt

𝑟⃗ = 𝑡 2 + 5𝑡 + 𝐶 𝑚 t

Dengan C adalah suatu konstanta. 3. Percepatan Kecepatan titik materi dapat berubah-ubah setiap saat baik besar, atau arah, ataupun kedua-duanya yang disebabkan oleh karena adanya percepatan yang dialami oleh titik materi tersebut. Jika pada saat 𝑡1 kecepatan 𝑣1 dan pada saat 𝑡2 kecepatannya 8

𝑣2 , percepatan rata-ratanya dalam selang waktu ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 didefinisikan sebagai : 𝑎⃗ =

⃗⃗ ∆𝑣 ∆𝑡

=

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣 2 𝑡2

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣

− 𝑡1

(6)

1

Percepatan sesaatnya : 𝑎⃗ = lim

⃗⃗ ∆𝑣

∆𝑡→0 ∆𝑡

𝑎⃗ =

⃗⃗ 𝑑𝑣 𝑑𝑡

=

𝑑(𝑑𝑟⃗) 𝑑𝑡(𝑡)

=

=

⃗⃗ 𝑑𝑣 𝑑𝑡

𝑑2 𝑟⃗

(7)

𝑑𝑡 2

Percepatan merupakan turunan pertama dari kecepatan terhadap waktu (t) atau turunan kedua dari posisi terhadap waktu (t). Percepatan dalam arah masing-masing sumbu dalam bidang/ruang dapat dituliskan sebagai : 𝑎𝑋 =

⃗⃗𝑋 𝑑𝑣 𝑑𝑡

=

𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

𝑑𝑣⃗𝑌 𝑑 2 𝑦 𝑎𝑌 = = 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣⃗𝑍 𝑑 2 𝑧 𝑎𝑍 = = 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Sebaliknya untuk menentukan kecepatan dari grafik fungsi percepatan terhadap waktu dengan cara mengintegralkan: 𝑡

𝑣𝑡 = 𝑣0 + ∫ 𝑎𝑡 𝑑𝑡 0

Percepatan rata-rata adalah rasio perubahan kecepatan Δv terhadap selang waktu Δt : 𝑎𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎 =

∆𝑣 ∆𝑡

(8)

Percepatan sesaat adalah limit rasio ini jika selang waktu mendekati nol. Percepatan sesaat adalah turunan v terhadap t, yang merupakan turunan kedua x terhadap t : 𝑎=

𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

(9)

Percepatan sesaat ditampilkan secara grafik sebagai kemiringan kurva v terhadap t. Dalam kasus istimewa percepatan konstan, berlaku rumus sebagai berikut :

(10) Perpindahan dapat ditampilkan secara grafik sebagai luas di bawah kurva v versus t. luas ini adalah integral v terhadap waktu dari saat awal t1 sampai saat akhir t2 dan ditulis 9

𝑡

∆𝑥 = lim ∑𝑖 𝑣𝑖 ∆𝑡𝑖 = ∫𝑡 2 𝑣𝑑𝑡 ∆𝑥𝑖 →0

(11)

1

Dengan cara sama, perubahan kecepatan selama beberapa waktu ditampilkan secara grafik sebagai luas di bawah kurva a versus t. Jadi, Posisi titik materi, kecepatan dan percepatan merupakan besaran vektor, sehingga dapat dinyatakan dengan vektor satuan Posisi

𝑟⃗ = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧𝑘̂

Kecepatan

𝑣⃗ = 𝑣𝑥 𝑖̂ + 𝑣𝑦 𝑗̂ + 𝑣𝑧 𝑘̂ 𝑣⃗ =

𝑑𝑋

𝑑𝑌 𝑑𝑍 𝑖̂ + 𝑑𝑡 𝑗̂ + 𝑑𝑡 𝑘̂

𝑑𝑡

𝑎⃗ = 𝑎𝑥 𝑖̂ + 𝑎𝑦 𝑗̂ + 𝑎𝑧 𝑘̂

Percepatan

𝑎⃗ = 𝑎⃗ =

𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 𝑑2 𝑋 𝑑𝑡 2

𝑖̂ +

𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡

𝑗̂ +

2

𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑡

𝑘̂

2

𝑑 𝑌 𝑑 𝑍 𝑖̂ + 𝑑𝑡 2 𝑗̂ + 𝑑𝑡 2 𝑘̂

B. Gerak Lurus

Gerak suatu benda dalam lintasan lurus dinamakan gerak lurus. Sebuah mobil melaju di jalan raya yang lurus merupakan contoh gerak lurus. Seorang siswa berlari mengelilingi lapangan sepakbola juga merupakan contoh dari gerak lurus dengan empat segmen lintasan lurus yang berbeda pada saat menempuh sisi-sisi lapangan yang berbeda. Berdasarkan kelajuan yang menjadi dua

yaitu

Gerak

Lurus

ditempuhnya

gerak lurus dapat

Beraturan (GLB) dan Gerak

Lurus

dibedakan Berubah

Beraturan (GLBB). 1. Gerak Lurus Beraturan (GLB) Gerak lurus beraturan ialah gerak dengan lintasan serta kecepatannya selalu tetap. Bila kecepatan partikel konstan 𝑣⃗, maka percepatannya nol. Untuk kasus ini posisi partikel pada waktu t dapat diketahui melalui integrasi persamaan berikut ini: 𝑑𝑟⃗ = 𝑣⃗𝑑𝑡 yang bila diintegralkan dari saat awal to dengan posisi 𝑟⃗(0) ke saat akhir t dengan posisi 𝑟⃗(𝑡) 𝑟⃗(𝑡)

𝑡

∫𝑟⃗(0) 𝑑𝑟⃗ = 𝑣⃗ ∫0 𝑑𝑡 𝑟⃗(𝑡) − 𝑟⃗(0) = 𝑣⃗ (𝑡 − 0) Atau

𝑟⃗(𝑡) = 𝑟⃗(0) + 𝑣⃗ 𝑡

Grafik hubungan posisi dan waktu membentuk garis lurus dengan nilai gradien grafik (kemiringan grafik) sama dengan nilai kecepatan yang konstan 10

2. Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) Bila kecepatan partikel konstan 𝑎⃗, kecepatan partikel dapat ditentukan dari integrasi persamaan berikut ini 𝑑𝑣⃗ = 𝑎⃗ 𝑑𝑡 yang bila diintegralkan dari saat awal to dengan kecepatan 𝑣⃗(0) ke saat akhir t dengan kecepatan 𝑣⃗(𝑡) ⃗⃗(𝑡) 𝑣

∫

𝑡

𝑑 𝑣⃗ = 𝑎⃗ ∫ 𝑑𝑡

⃗⃗(0) 𝑣

0

𝑣⃗(𝑡) − 𝑣⃗(0) = 𝑎⃗ (𝑡 − 0) 𝑣⃗(𝑡) = 𝑣⃗(0) + 𝑎⃗ 𝑡

Atau

dari persamaan ini, dengan memakai definisi kecepatan sebagai derivatif posisi terhadap waktu, diperoleh persamaan berikut ini 𝑑𝑟⃗ = 𝑣⃗(0)𝑑𝑡 + 𝑎⃗ (𝑡 − 0) yang bila diintegralkan dari saat awal to dengan posisi 𝑟⃗(0) ke saat akhir t dengan posisi 𝑟⃗(𝑡), diperoleh 𝑟⃗(𝑡)

𝑡

∫𝑟⃗(0) 𝑑𝑟⃗ = ∫0 𝑣⃗(0)𝑑𝑡 + 𝑎⃗ (𝑡 − 0) Dan diperoleh 1

𝑟⃗(𝑡) = 𝑟⃗(0) + 𝑣⃗(0)𝑡 + 2 𝑎⃗ 𝑡 2

11

Grafik posisi sebagai fungsi dari waktu berbentuk grafik kuadratis (parabolik), dengan gradien grafik sama dengan besar kecepatan partikel pada saat tertentu. Sedangkan grafik kecepatan sebagai fungsi waktu berbentuk garis lurus dengan gradien grafiknya sama dengan besar percepatan partikel. Dengan meninjau gerak satu dimensi, dapat juga dituliskan 𝑎⃗ =

𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑣⃗ = = 𝑣⃗ 𝑑𝑡 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑡 𝑑𝑟⃗

atau dapat dituliskan 𝑣⃗ 𝑑𝑣⃗ = 𝑎⃗ 𝑑𝑟⃗ yang bila diintegralkan dari posisi dan kecepatan awal 𝑟⃗(0) dan 𝑣⃗(0) ke posisi dan kecepatan akhir 𝑟⃗(𝑡) dan 𝑣⃗(𝑡) maka diperoleh

⃗⃗(𝑡) 𝑣

∫ ⃗⃗(0) 𝑣

𝑟⃗(𝑡)

𝑣⃗ 𝑑𝑣⃗ = 𝑎⃗ ∫

𝑑𝑟⃗

𝑟⃗(0)

Hasilnya 𝑣⃗(𝑡)2 = 𝑣⃗(0)2 + 2 𝑎⃗ (𝑟⃗(𝑡) − 𝑟⃗(0)) Sebagai contoh gerak dengan percepatan konstan adalah gerak partikel jatuh bebas di dekat permukaan bumi. Dapat ditunjukkan bahwa untuk ketinggian yang tidak terlalu jauh dari permukaan bumi, percepatan gravitasi g yang dialami sebuah benda yang jatuh bebas, bernilai konstan. Dalam kasus benda jatuh bebas, bila arah positif dipilih ke arah atas, maka percepatan benda a = -g (ke bawah).

Contoh soal 1. Posisi seorang pelari sebagai fungsi waktu digambaran sepanjang sumbu x dari suatu sistem koordinat, selama selang waktu 3 s, posisi pelari berubah dari x 1= 50 m menjadi 12

x2= 30,5 m jika diukur dari pusat koordinat. Berapakah kecepatan rata-rata pelari tersebut? Pembahasan : Kecepatan rata-rata pelari tersebut adalah 𝑣⃗ =

∆𝑟⃗ ∆𝑡

⃗⃗⃗⃗⃗−𝑟 𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗

= 𝑡2 −𝑡1 = 2

1

30,5 m−50 m 3s

=

−19,5 m 3s

= −6,5 m/s

Perpindahan dan kecepatan rata-rata bertanda negatif, beraarti pelari tersebut bergerak ke arah kiri sepanjang sumbu x. Maka dapat dikatakan bahwa kecepatan rata-rata pelari tersebut adalah 6,5 m/s ke kiri. 2. Posisi dari suatu benda yang bergerak pada sumbu x diberikan oleh persamaan : 𝑥 = 4 − 27𝑡 + 𝑡 3 Hitung kecepatannya pada t = 5 s Jawab: 𝑣(𝑡) =

𝑑𝑥 = 4 − 27𝑡 + 𝑡 3 = −27 + 3(𝑡)2 = −27 + 3(5)2 = 48 m/s 𝑑𝑡

3. Jika diketahui persamaan gerak partikel x = 20 – t3 ( dalam satuan cgs) Tentukan : a. Pergeseran dari partikel tersebut dalam selang waktu t = 1 s dan t = 3 s b. Kecepatan saat t = 3 s c. Buat grafik x-t dan v-t untuk t = 0 sampai t = 3 s Pembahasan : a. Pada saat t = 1 s, maka x1 = 20 – t13 = 20 – (1)3 = 19 cm Pada saat t = 2 s, maka x2 = 20 – t23 = 20 – (3)3 = -7 cm Maka pergeseran/perpindahan partikel tersebut adalah: ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 = −7 − 19 = −26 𝑐𝑚 (ke kiri pada sumbu x ) b. Persamaan kecepatan rata-rata adalah turunan dari persamaan gerak, yaitu : 𝑣𝑡 =

𝑑𝑥 𝑑(20 − 𝑡 3 ) = = −3𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Maka kecepatan pada saat t = 3 s adalah: 𝑣(𝑡=−3) = −3𝑡 2 = −3(3)2 = −27 cm/s c. Untuk membuat grafik x-t diperlukan persamaan x = 20 – t13 Untuk membuat grafik v-t diperlukan persamaan v = = −3𝑡 2 Kemudian hitung untuk masing-masing persamaan di atas pada saat t = 0 sampai pada saat t = 3 s, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut :

13

t 1 2 3 4

x 20 19 12 -7

v 0 -3 -12 -27

Ternyata dari hasil perhitungan diperoleh bahwa pada saat t = 0 dan x = 20 cm dan v= 0. Lalu diplotkan semua data pada tabel di atas pada sebuah grafik koordinat xy dimana sumbu x sebagai waktu (t) dan sumbu y sebagai (x) pada grafik x-t sedangkan sebagai kecepatan sesaat (v) pada grafik v-t.

4. Berapakah selang waktu yang dibutuhkan sebuah mobil untuk menyebrangi persimpangan selebar 30 m setelah lampu lalu lintas berubah menadi hijau, jika percepatannya dari keadaan diam adalah 2 m/s2 secara konstan? Pembahasan : Jika diketahui bahwa jarak perpindahan mobil tersebut adalah (x) 30 m dengan percepatan (a) konstan sama dengan 2 m/s2. Dimana mobil tersebut pada awalya adalah diam sehingga vo = 0, maka : 1

𝑥 = 𝑣0 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2 1

30 𝑚 = (0)𝑡 + 2 (2

𝑚 𝑠2

) 𝑡2

30 𝑚 = 𝑡 2 𝑡 = √30𝑚 = 5,48 s Jadi, waktu yang dibutuhkan mobil tersebut untuk menyebrangi persimpangan tersebut adalah 5,48 s

14

C. Gerak Melingkar

1. Sistem Koordinat Polar Koordinat Kartesius mudah digunakan saat menggambarkan gerak linear partikel, namun sedikit merepotkan saat digunakan untuk meninjau gerak melingkar. Posisi suatu titik (misal P) dalam koordinat polar dinyatakan oleh notasi (r,θ), dengan r menyatakan jarak partikel dari suatu titik acuan (titik asal/origin, misal disebut O) dan θ menyatakan sudut antara suatu sumbu acuan yang melalui O dan garis yang menghubungkan O dengan P. Vektor satuan untuk koordinat polar kita simbolkan dengan{𝑟, ̂ 𝜃̂}. Gambaran untuk r,θ, 𝑟̂ dan 𝜃̂diberikan oleh gambar berikut (gambar kiri).

Gambar 1: Kiri: besaran-besaran dalam koordinat polar. Kanan: uraian vektor-vektor satuan koordinat polar ke komponen-komponennya (warna hijau). Vektor posisi titik P dinyatakan dengan simbol 𝑟⃗ dan digambarkan dengan panah warna biru. Panjang vektor tersebut adalah r. Sudut θ adalah sudut yang dibentuk oleh vektor r terhadap sumbu-𝑥 positif. Hal yang menarik dari koordinat polar adalah arah vektorvektor satuan 𝑟̂ dan 𝜃̂ selalu berubah mengikuti posisi titik P. Arah vektor 𝑟̂ sama dengan vektor 𝑟⃗, sedangkan arah 𝜃̂ tegak lurus𝑟̂dan searah dengan arah ’bukaan’² sudut θ. Posisi dari titik P, dapat dinyatakan sebagai 𝑟⃗P = 𝑟⃗ = 𝑟𝑟̂ (1) Hubungan antara koordinat polar dan Kartesius dapat diperoleh dengan menerapkan trigonometri untuk sudut θ. Hasilnya, 𝑥𝑃 = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃dan𝑦𝑃 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃

(2)

Vektor-vektor satuan 𝑟̂ dan θ juga dapat diuraikan dalam vektor-vektor satuan koordinat Kartesius 𝑖̂dan 𝑗̂sebagai berikut (perhatikan gambar kanan dan ingat |𝑟̂ | = 1), 𝑟̂ = cosθ 𝑖̂ + sin θ 𝑗̂dan

𝜃̂= −sin θ 𝑖̂ + cos θ 𝑗̂(3)

15

2. Posisi, kecepatan, dan percepatan gerak melingkar Anggaplah suatu partikel yang mula-mula berada di titik P lalu bergerak melingkar mengikuti lintasan berwarna ungu pada gambar 2. Posisi partikel tersebut akan berubah terhadap waktu. Jika jari-jari lintasan partikel selalu tetap, maka besaran yang berubah dari posisi partikel adalah tersebut adalah θ, sedangkan r nilainya tetap. Karena vektor-vektor satuan bergantung pada θ (lihat persamaan 3), maka selama partikel bergerak arah vektor-vektor satuan 𝑟̂ dan 𝜃̂ selalu berubah, atau merupakan fungsi dari waktu t.

Gambar 2: Partikel bergerak melingkar mengikuti lintasan berbentuk lingkaran. Sesuai persamaan (1), posisi partikel adalah 𝑟⃗(t) = 𝑟̂ r(t).

(4)

Kecepatan partikel adalah turunan pertama dari posisi terhadap waktu, sehingga diperoleh

dengan ω ≡

𝑑𝜃 𝑑𝑡

disebut kecepatan sudut. Karena arah 𝜃̂ tegaklurus 𝑟̂ , dan 𝑟̂ searah

dengan jari-jari lingkaran, maka arah 𝜃̂ sejajar dengan garis singgung lingkaran ungu. Dengan demikian, kecepatan 𝑣⃗ merupakan kecepatan tangensial partikel. Jika nilai kecepatan sudut ω konstan, maka nilai dari laju tangensial juga konstan. Untuk menentukan percepatan, kita turukan kembali kecepatan 𝑣⃗(t) terhadap t, diperoleh

16

dengan α ≡

𝑑𝜔 𝑑𝑡

disebut percepatan sudut. Suku pertama dari percepatan tersebut (yaitu

rα) disebut sebagai percepatan tangensial, karena arahnya searah dengan 𝜃̂, dan nilainya bergantung pada percepatan sudut. Jika partikel bergerak dengan kecepatan sudut 𝑣²

konstan, maka diperoleh 𝑎⃗ = −𝑟𝜔2𝑟̂ = − 𝑟 𝑟̂ (ingat persamaan 5). Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal, yang arahnya menuju pusat lintasan partikel. Nilai percepatan sentripetal bergantung hanya pada ω (dan tentu saja r), sehingga partikel yang bergerak melingkar selalu memiliki percepatan jenis ini. Sehingga, kita dapat katakan percepatan sentripetal sebagai percepatan yang menyebabkan suatu benda bergerak melingkar. Jika suatu partikel memiliki kedua komponen percepatan (tangensial dan sentripetal), maka besar percepatan partikel tersebut adalah 𝑎 = √𝑎2 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑙 + 𝑎²𝑠𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑝𝑒𝑡𝑎𝑙(7)

3. Kinematika gerak melingkar Secara umum, persamaan kinematika untuk gerak melingkar memiliki bentuk yang serupa dengan pada gerak linear. Kita dapat menuliskan, 1

𝜃 = 𝜃 0 + 𝜔0 𝑡 + 2 𝛼𝑡 2 , 𝜔2 𝑡 = 𝜔²₀ + 𝑎𝛼𝜃

(8) (9)

Untuk mendapatkan hubungan antara besaran-besaran sudut dengan linear, perhatikan gambar 3. Misalkan mula

17

Gambar 3: Hubungan antara besaran-besaran sudut dengan linear pada gerak melingkar. Mula-mula partikel berada pada titik P dan sesaat kemudian berpindah ke Q. Panjang lintasan yang ditempuh oleh partikel adalah ds dan sudut yang dibentuk oleh vektor posisi kedua titik tersebut adalah dθ. mula (saat 𝑡 = 𝑡₀) partikel berada pada titik 𝑃, dan sesaat kemudian (𝑡 = 𝑡₀ + 𝑑𝑡) partikel berpindah ke titik 𝑄. Panjang lintasan yang ditempuh oleh partikel adalah 𝑑𝑠 dan sudut yang dibentuk oleh vektor posisi pada kedua saat tersebut adalah 𝑑𝜃. Untuk selang waktu dt yang sangat singkat 𝑂𝑃𝑄 dapat dianggap sebagai segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di titik 𝑃. Dari hubungan trigonometri, diperoleh tan(𝑑𝜃) = 𝑑𝑠/𝑟. Karena sudut 𝑑𝜃 sangat kecil, berlaku tan(𝑑𝜃) ≈ 𝑑𝜃), sehingga diperoleh 𝑑𝜃 = 𝑑𝑠/𝑟atau𝑑𝑠 = 𝑟𝑑𝜃

(10)

Kecepatan dan percepatan diperoleh dengan menurunkan jarak tersebut terhadap waktu, 𝑑𝑠

𝑑𝜃

𝑣 ≡ 𝑑𝑡 = 𝑟 𝑑𝑡 = 𝑟𝜔 𝑎=

𝑑𝑣 𝑑𝑡

=𝑟

𝑑𝜔 𝑑𝑡

= 𝑟𝛼

(11) (12)

Sekali lagi, kita peroleh hasil yang sama dengan pada persamaan (5) dan (6). Namun, perlu diingat bahwa ds adalah perpindahan partikel pada arah tangensial (menyinggung lingkaran), sehingga turunan-turunannya juga merupakan besaran tangensial (kecepatan tangensial dan percepatan tangensial). Terlihat bahwa nilai percepatan tangensial bergantung pada α=

𝑑𝜔 𝑑𝑡

. Sehingga untuk gerak melingkar dengan kecepatan sudut ω

konstan, percepatan tangensial bernilai nol di seluruh bagian lintasan (baik di titik P, Q, maupun lainnya). Untuk gerak dengan kecepatan sudut konstan, besar dari laju tangensial juga konstan, namun arahnya selalu berubah (yaitu selalu menyinggung lingkaran). Pada besaran vektor, perubahan vektor dapat terjadi karena berubahnya besar, arah, maupun keduanya. Karena kecepatan tangensial selalu mengalami perubahan arah, maka dikatakan bahwa kecepatan tangensial selalu mengalami perubahan. Sebelumnya, telah kita ketahui bahwa perubahan kecepatan tiap satuan waktu disebut sebagai percepatan. Sehingga, kita simpulkan bahwa benda yang bergerak melingkar dengan kecepatan sudut konstan juga mengalami percepatan, dan percepatan tersebut haruslah selain percepatan tangensial. Mari kita namai percepatan tersebut (yang mengubah arah kecepatan tangensial benda yang bergerak melingkar) sebagai percepatan sentripetal.

18

Untuk mendapatkan percepatan sentripetal, kita perlu meninjau perubahan kecepatan tangensial saat di titik Q bila dibandingkan dengan saat di titik P. Untuk keperluan ini, mula-mula kita tinjau gerak melingkar dengan laju konstan dan menggambarkan vektor kecepatan di kedua titik seperti pada gambar 4 (gambar kiri). Selisih kedua vektor kecepatan dituliskan sebagai ∆𝑣⃗=𝑣⃗Q −𝑣⃗P (gambar kanan). Terlihat bahwa segitiga ⃗⃗⃗) dan vektor-vektor yang dibentuk oleh vektor-vektor posisi (yaitu 𝑟⃗P, 𝑟⃗Q, dan ∆𝑟 ⃗⃗⃗⃗P, 𝑟 ⃗⃗⃗⃗Q, dan ∆𝑟 ⃗⃗⃗) kongruen. Perbandingan sisi-sisi kedua segitiga kecepatan (𝑟 memberikan ∆𝑟 𝑟

=

∆𝑟

𝑟

𝑟

𝑟

atau∆𝑟 = ∆𝑟

(13)

Sehingga kita dapat menentukan percepatan, ∆𝑟

𝑟 ∆𝑟

𝑟 ≡ ∆𝑟 = 𝑟 ∆𝑟 =

𝑟² 𝑟

(14)

⃗⃗⃗. Dari gambar, terlihat Arah dari percepatan sentripetal ditentukan oleh arah vektor ∆𝑟 ⃗⃗⃗ adalah menuju pusat putaran. Telah kita dapatkan besar dan arah bahwa arah ∆𝑟 percepatan sentripetal seperti pada bagian sebelumnya.

Gambar 4: Kiri: gambaran vektor-vektor posisi dan kecepatan benda saat berada pada titik P dan Q. Kanan: jika titik P dan Q dibuat berhimpit, maka segitiga yang dibentuk ⃗⃗⃗P, ⃗𝑟 ⃗⃗Q, ∆𝑟 ⃗⃗⃗⃗) serta vektor-vektor oleh vektor-vektor posisi dan perubahannya (𝑟 ⃗⃗⃗P, ⃗𝑟 ⃗⃗Q, ∆𝑟 ⃗⃗⃗) adalah dua segitiga yang kongruen. kecepatan dan perubahannya (𝑟 ⃗⃗⃗P. Perhatikan pula bahwa arah ∆~v berkebalikan dengan 𝑟

4. Gaya Sentripetal Secara sederhana, gaya sentripetal adalah gaya-gaya yang menghasilkan percepatan sentripetal. Karena arah percepatan sentripetal adalah radial, maka gaya 19

sentripetal adalah jumlah semua komponen gaya yang bekerja pada pada arah radial. Contoh yang cukup sederhana, ketika sebuah benda diikat oleh tali kemudian diputar hingga membentuk lintasan lingkaran pada bidang horizontal, tegangan tali (yang arahnya menuju pusat putaran) berperan sebagai gaya sentripetal. Sehingga pada arah radial berlaku ∑ 𝑟 = 𝑟𝑟 sentripetal⇔ 𝑟 = 𝑟𝑟²/𝑟

(15)

Gambar 5: Benda diikat tali dan berputar dalam lintasan lingkaran yang berada pada bidang horizontal. Anak panah merah menunjukkan arah putaran benda. Contoh berikutnya, jika lingkaran yang dilintasi benda terikat tali tersebut berada pada bidang vertikal. Ketika benda berada di posisi tertingginya, maka benda mengalami gaya tegangan tali (kita sebut T) dan gaya berat (mg) ke bawah (menuju pusat putaran), maka saat itu gaya sentripetal yang bekerja pada benda adalah jumlahan kedua gaya tersebut. Sehingga pada arah radial berlaku, ∑ 𝑟 = 𝑟𝑟 sentripetal⇔ 𝑟 + 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟²/𝑟 (16) Kemudian ketika benda berada di titik terendahnya, arah tegangan tali adalah ke atas (menuju pusat putaran) dan gaya berat ke bawah (menjauhi titik pusat putaran), sehingga gaya sentripetal yang dialami benda adalah 𝑟 − 𝑟𝑟, ∑ 𝑟 = 𝑟𝑟 sentripetal⇔ 𝑟 − 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟²/𝑟 (17)

20

Gambar 6: Benda diikat tali dan berputar dalam lintasan lingkaran yang berada pada bidang vertikal. Gambar kiri menunjukkan diagram benda bebas saat benda berada di titik tertinggi lintasan, sedangkan kanan saat benda berada pada titik terendahnya. Anak panah merah menunjukkan arah putaran benda.

Contoh soal: 1. Suatu benda bermassa m tergantung pada sebuah tali ringan sepanjang L. Ujung tali ditambatkan ke titik P dan benda diputar sehingga membentuk ayunan kerucut seperti pada gambar. Tentukan hubungan antara sudut θ dengan laju sudut (ω) terhadap sumbu vertikal yang melalui P.

Jawab: Benda mengalami gerak melingkar dengan pusat putaran ada di titik O, yaitu titik pada bidang lingkaran yang tepat berada di bawah titik P. Jari-jari lintasan benda adalah r = Lsinθ. Selain itu, pada arah vertikal benda berada pada kondisi setimbang. Diagram benda bebas untuk benda adalah sebagai berikut

Tegangan tali yang mengarah radial berperan sebagai gaya sentripetal, sehingga 𝑟 sin 𝑟 = 𝑟𝑟²𝑟 ⇔ 𝑟 = 𝑟𝑟²𝑟

(18)

Sedangkan pada arah vertikal benda mengalami kesetimbangan, 𝑟 sin 𝑟

(19)

Dari kedua persamaan tersebut diperoleh cos 𝑟 =

𝑟 𝑟²𝑟

(20) 21

Terlihat bahwa jika ω membesar maka sudut θ juga membesar. 2. Pada gambar berikut, benda m1 dan m2 dihubungkan menggunakan tali 1, kemudian benda m2 dihubungkan ke suatu titik yang berperan sebagai pusat putaran menggunakan tali 2. Anggap kedua tali identik (kekuatan dan panjangnya sama). Sistem kemudian diputar pada bidang vertikal dengan posisi kedua benda dan pusat putaran dijaga selalu segaris. Pada titik tertinggi, diketahui m2 bergerak dengan kecepatan v. (a) Tentukan tegangan tiap tali. (b) Jika putaran dibuat semakin cepat, tali manakah yang akan putus lebih dulu?

Jawab: Gaya sentripetal yang bekerja pada tiap benda saat berada di posisi tertinggi adalah 𝑟1 + 𝑟1𝑟 = 𝑟1𝑟12/2𝑟 𝑟2 + 𝑟2𝑟 − 𝑟1= 𝑟2𝑟22/𝑟

(21) (22)

Karena posisi kedua benda dan pusat putaran selalu segaris, maka laju sudut kedua benda bernilai sama, 𝑟1

𝑟 = 2𝑟 =

𝑟2 𝑟

(23)

Karena v2 = v, maka v1 = 2v. Substitusikan nilai kecepatan masing-masing benda ke persamaan 21 dan 22 menghasilkan 𝑟1 + 𝑟1𝑟 = 2𝑟1𝑟12/𝑟

(24)

𝑟2 + 𝑟2𝑟 − 𝑟1= 𝑟2𝑟2/𝑟

(25)

Dari kedua persamaan diperoleh 𝑟1=2𝑟1𝑟2/𝑟 − 𝑟1𝑟

(26)

𝑟2 = (2𝑟1 + 𝑟2)𝑟2/𝑟 − (𝑟1+ 𝑟2)𝑟

(27)

atau 𝑟2 −𝑟1= 𝑟2(𝑟2/𝑟 − 𝑟

(28)

22

Jika v cukup besar, maka 𝑟2 −𝑟1> 0 atau𝑟2 > 𝑟1. Sehingga tali kedua akan putus terlebih dahulu.

D. Gerak Parabola (Perpaduan GLB dan GLBB)

Gerak parabola adalah gerak yang membentuk sudut terhadap bidang horizontal. Pada gerak parabola, gesekannya diabaikan dan gaya yang bekerja hanya gaya berat atau percepatan gravitasinya saja. Gerak yang lintasannya berbentuk parabola disebut gerak parabola. Contoh umum gerak parabola adalah gerak benda yang dilempar keatas membentuk sudut tertentu terhadap permukaan tanah. Gerak parabola dapat dipandang dalam dua arah yaitu arah vertikal (sumbu-y) yang merupakan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) dan arah horizontal (sumbu-x) yang merupakan gerak lurus beraturan (GLB). Fungsi gerak parabola cukup banyak dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya adalah dalam bidang kemiliteran yaitu pada saat menembakkan rudal maupun mortir yaitu membantu rudal untuk bisa mencapai tempat lawan dengan gerakan benda berbentuk parabola. Ketika diberi kecepatan awal dari ketinggian tertentu dengan sudut tetap terhadap garis horizontal sehingga dapat mencapai tempat tertentu dan menembakkan kearah yang benar atau mencapai tempat yang diinginkan rudal ataupun mortir tersebut. Selain contoh ini masih banyak lagi contoh gerak parabola yang bisa kita temukan dalam kehidupan sehari-hari seperti gerakan bola volly, bola basket, bola tenis dan juga bom yang dijatuhkan serupa dengan gerak parabola. Apabila diamati secara saksama, benda-benda yang melakukan gerak parabola memiliki lintasan berupa lengkungan. Benda-benda yang bergerak seperti gerak parabola dipengaruhi oleh beberapa faktor diantaranya : 1. Benda – benda tersebut bergerak karena ada gaya yang diberikan. 2. Seperti pada gerak jatuh bebas, benda-benda yang melakukan gerak parabola dipengaruhi oleh gravitasi, yang bergerak kebawah menuju pusat bumi dengan besar g=9,8m/s2 sampai g=10 m/s2. 3. Adanya hambatan atau gesekan udara Setelah benda tersebut diberikan kecepatan awal hingga bergerak, maka selanjutnya gerakannya bergantung kepada gravitasi atau gesekan/hambatan udara. Menurut Galileo : 1. Untuk persamaan parabola 𝑦 2 = 𝑝𝑥

23

 Jika 𝑝 > 0, parabola terbuka kekanan  Jika 𝑝 < 0, parabola terbuka kekiri 2. Untuk parabola yang mempunyai 𝐹(0, 𝑝) dan direktrik 𝑦 = 𝑝, persamaan parabolanya 𝑥 2 = 𝑝𝑦  Jika 𝑝 > 0, parabola terbuka keatas  Jika 𝑝 < 0, parabola terbuka kebawah Jenis-jenis gerak parabola : 1. Gerakan benda berbentuk parabola ketika diberikan kecepatan awal dengan sudut 𝜃 terhadap garis horisontal. Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak gerakan benda yang berbentuk demikian diantaranya gerak bola basket yang dilempar secara vertikal, gerakan bola tenis, gerakan bola volly, gerakan lompat jauh dan gerakan peluru yang ditembakkan dari permukaan bumi menuju titik tertentu. 2. Gerakan benda berbentuk parabola ketika diberikan kecepatan awal pada ketinggian tertentu dengan arah sejajar horisontal. Contohnya gerakan bom yang dijatuhkan dari pesawat atau benda yang dilemparkan kebawah dari ketinggian tertentu.

Kecepatan gerak parabola Kecepatan gerak parabola terdiri-dari dua komponen yaitu kecepatan horisontal dan kecepatan vertikal. Kecepatan awal parabola dapat dihitung : 𝑉0 𝑥 = =

𝑉0 𝑦 𝑉0 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼

𝑉0 = √𝑉0 𝑥 2 + 𝑉0 𝑦 2

Keterangan: 𝑉0 = kecepatan awal (m/s) 𝑉0 𝑥 = kecepatan awal horisontal (m/s) 𝑉0 𝑦 = kecepatan awal vertikal (m/s) 𝛼 = sudut elevasi Dengan kecepatan awal horisontal dan vertikal sebesar : 𝑉0 𝑥 = 𝑉0 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑉0 𝑦 = 𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼

Kecepatan gerak parabola sebelum mencapai tinggi maksimum dapat ditentukan dengan kecepatan awal, dapat dirumuskan :

24

𝑉𝑡 𝑥 = 𝑉0 𝑥

𝑉𝑡 𝑦 = 𝑉0 𝑦 − 𝑔. 𝑡 𝑉𝑡 = √𝑉𝑡 𝑥 2 + 𝑉𝑡 𝑦 2

Posisi dan tinggi maksimum  Posisi benda (x,y) pada gerak parabola pada titik tertentu dapat dirumuskan : 1

𝑦 = 𝑉0 𝑦 . 𝑡 − 2 𝑔. 𝑡 2

𝑥 = 𝑉0 𝑥 . 𝑡

 Tinggi maksimum merupakan posisi tertinggi benda ketika melambung diudara, dan terjadi ketika 𝑉𝑦 nilainya nol. 𝑦𝑚𝑎𝑘𝑠 =

(𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼)2

1

𝑦𝑚𝑎𝑘𝑠 = 2 𝑔. 𝑡 2

2𝑔

Dengan jarak yang ditempuh ketika tinggi maksimum adalah : 𝑥𝑦 𝑚𝑎𝑘𝑠 =

𝑣0 2 𝑠𝑖𝑛2𝛼 2𝑔

 Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum dapat dihitung : 𝑡𝑦 𝑚𝑎𝑘𝑠 =

𝑉0 𝑦

2ℎ

𝑡𝑦 𝑚𝑎𝑘𝑠 = √ 𝑔

𝑔

 Jarak maksimum merupakan posisi benda ketika mencapai tinggi minimum, yaitu menyentuh sumbu x. 𝑦𝑚𝑖𝑛 = 0

𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 =

𝑣0 2 𝑠𝑖𝑛2𝛼 𝑔

 Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai jarak maksimum (waktu total) dapat dihitung : 𝑡𝑥 𝑚𝑎𝑘𝑠 =

2.𝑉0 𝑦

2ℎ

𝑡𝑥 𝑚𝑎𝑘𝑠 = 2√ 𝑔

𝑔

Persamaan vektor gerak parabola Menurut analisis vektor persamaan – persamaan gerak parabola dapat dituliskan sebagai berikut: Vektor posisi pada gerak parabola adalah : 𝒓 = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 1 𝒓 = (𝑉0 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑡)𝒊 + (𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑡 − 𝑔𝑡 2 ) 𝒋 2 Vektor kecepatan gerak parabola adalah : 𝒗 = 𝑣𝑥 𝒊 + 𝑣𝑥 𝒋 𝒗 = (𝑉0 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝒊 + (𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑔𝑡 2 )𝒋 EVALUASI 25

Posisi peluru yang ditembakkan diatas bidang datar dengan sudut elevasi tertentu dinyatakan oleh persamaan 𝒓 = [80𝑡𝒊 + (60𝑡 − 5𝑡 2 )𝒋] m. Jika i dan j menyatakan vektor satuan dalam arah x dan y, serta t dalam sekon, tentukanlah : a) Kecepatan awal peluru, b) Sudut elevasi tembakan, c) Kecepatan peluru dititik tertinggi, d) Waktu untuk mencapai jarak maksimum, dan e) Jarak mendatar maksimum tembakan Penyelesaian : a) Kecepatan awal peluru (𝑡 = 0) 𝑣=

𝑑𝑟 = 80𝒊 + (60 − 10𝑡)𝒋 𝑑𝑡

Pada 𝑡 = 0 diperoleh : 𝑣0 = 80𝒊 − 60𝒋 |𝑣0 | = √802 + 602 = 100 𝑚/𝑠 b) Sudut elevasi tembakan (𝛼) 𝑣0 𝑦 60 3 𝑡𝑎𝑛𝛼 = = = 𝑣0 𝑥 80 4 𝛼 = 37° c) Kecepatan peluru dititik tertinggi 𝑣𝑦 = 0 sehingga peluru hanya memiliki komponen kecepatan sumbu-x 𝑣 = 𝑣0 𝑥 = 80 𝑚/𝑠 d) Waktu untuk mencapai jarak maksimum (x) diperoleh apabila 𝑦 = 0 (60𝑡 − 5𝑡 2 ) = 0 dan diperoleh 𝑡 = 12 𝑠 e) Jarak mendatar maksimum tembakan 𝑥 = 𝑣0 𝑥 𝑡 = 80𝑡 = (80 𝑚/𝑠)(12 𝑠) = 960 𝑚

26

DAFTAR PUSTAKA

Depdiknas. 2005. Ilmu Pengetahuan Alam-Fisika. Jakarta: Dirjen Dikdasmen https://yosnex.files.wordpress.com/2016/05/fisika-dasar-1-itb-mikrajuddin-abdullah 2016.pdf Giancolli, Dauglas C. 2001.Fisika Edisi v jilid II. Jakarta: Erlangga Halliday dan Resnick dkk. 1997. Fisika jilid 2 Edisi 3. Jakarta: Erlangga Halliday, D., Resnick, R. 1997. Physics . Jakarta: Erlangga.

27