Makalah Fix.docx

Paper of Mathematic Statistics

GEOMETRIC AND HYPERGEOMETRIC DISTRIBUTION Lecturer : Chairunisah, S.Si,M.Si.

Compiled by : Khalishah Qatrunnada ( 4163312013 ) Winoni Chariza

( 4163312031 )

MATHEMATICS DEPARTEMENT FACULTY OF MATHEMATICS AND SCIENCES STATE UNIVERSITY OF MEDAN 2019

PREFACE Praise gratitude the authors say to the presence of God Almighty who has given the gift so that the author paper entitled " Geometric And Hypergeometric Distribution" This can be completed in accordance with the demands of the learning process in the Faculty Student and Natural Sciences State University of Medan. Acknowledgments writer say to lecturer sir Chairunisah, S.Si,M.Si. who has guided author to complete Sixth semester and so that this paper can be completed too. The author realizes that there are still many underlying flaws in this paper, therefore the author expects the reader's criticism and suggestions for the perfection of this paper. Medan, March/ 20th 2019

Authors

2

TABLE OF CONTENTS PREFACE ...................................................................................................................................................2 BAB I : PENDAHULUAN .........................................................................................................................4 1.1

LATAR BELAKANG ...................................................................................................... 4

1.2

RUMUSAN MASALAH ................................................................................................... 4

1.3

TUJUAN .......................................................................................................................... 4

BAB II : PEMBAHASAN ..........................................................................................................................5 2.1

DISTRIBUSI GEOMETRIK.....................................................................................................5

CONTOH I............................................................................................................................................5 CONTOH II ..........................................................................................................................................5 CONTOH III .........................................................................................................................................6 CONTOH IV .........................................................................................................................................6 2.2

DISTRIBUSI GEOMETRIK.....................................................................................................7

CONTOH I............................................................................................................................................7 CONTOH II ..........................................................................................................................................8 CONTOH III .........................................................................................................................................9 BAB III : PENUTUP ................................................................................................................................10 3.1

KESIMPULAN .........................................................................................................................10

3.2

SARAN ......................................................................................................................................10

REFERENCES .........................................................................................................................................11

3

BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Suatu variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinyahasil suatu percobaan disebut sebagai variabel random. Dalam sampel random semua unit daripopulasi mempunyai kesempatan yang sama untuk dijadikan sampel.Variabel random terdiri dari distribusi diskrit dan distribusi kontinyu. Nilai-nilai distribusidiskrit terdiri atas hasil-hasil perhitungan sederhana dari sejumlah unit.Penyajian distribusi probabilitas dapat berbentuk tabel atau kurva probabilitas. Untuk suatuvariabel random diskrit, semua nilai yang dapat terjadi dari variabel random dapat di daftardalam suatu tabel dengan menyertakan probabilitas-probabilitasnya. Sedangkan untuk suatuvariabel random kontinyu, karena semua nilai pecahan yang dapat terjadu tidak dapat di daftar,probabilitas-probabilitas ditentukan dengan fungsi matematis yang dinyatakan dengan suatufungsi kontinyu, atau kurva probabilitas.Oleh karena itu, dalam praktikum kali ini percobaan yang dilakukan dapat dikajimenggunakan distribusi probabilitas. Distribusi probabilitas yang digunakan kali ini adalahdistribusi probabilitas diskrit dan distribusi probabilitas kontinyu.

1.2 RUMUSAN MASALAH 1. Distribusi Geometrik 2. Distribusi Hipergeometrik 1.3 TUJUAN 1. Untuk mengetahui materi Distribusi Geometrik 2. Untuk mengetahui materi Distribusi Hipergeometri

4

BAB II PEMBAHASAN 2.1 DISTRIBUSI GEOMETRIK Distribusi geometrik adalah kasus khusus dari distribusi binomial negatif untuk k=1, yaitu distribusi peluang banyaknya usaha yang diperlukan untuk mendapatkan sukses pertama. Dengan kata lain distribusi ini mewakili suatu kejadian random hingga sukses yang pertama kali terjadi. diberikan Fungsi distribusi probabilitas geometrik :

Dimana x = 1,2,3,... , p dan q adalah parameter (probabilitas sukses dan gagal). Rata-rata dan variansi distribusi probabilitas geometrik adalah:

𝜇

1 𝑝

𝜎2 =

𝑞 𝑝2

CONTOH I Pada suatu daerah, P-Cola menguasai pangsa pasar sebesar 33.2% (bandingkan dengan pangsa pasar sebesar 40.9% oleh CCola). Seorang mahasiswa melakukan penelitian tentang produk cola baru dan memerlukan seseorang yang terbiasa meminum PCola. Responden diambil secara random dari peminum cola. Berapa probabilitas responden pertama adalah peminum P-cola, berapa probabilitas pada responden kedua, ketiga atau keempat? Penyelesaian :

CONTOH II Di dalam suatu proses produksi tertentu diketahui bahwa, secara rata-rata, 1 di dalam setiap 100 barang adalah cacat.

Berapakah probabilitas bahwa barang kelima yang diperiksa

merupakan barang cacat pertama yang ditemukan? 5

Penyelesaian : Dengan menggunakan sebaran geometri dengan x = 5 dan p = 0,01, maka diperoleh 𝑔( 5 ; 0,01 ) = ( 0,01 )( 0,99 )4 = 0,0096

CONTOH III Pada saat ”waktu sibuk” sebuah papan sakelar telepon sangat mendekati kapasitasnya, sehingga para penelpon mengalami kesulitan melakukan hubungan telepon. Mungkin menarik untuk mengetahui jumlah upaya yang perlu untuk memperoleh sambungan. Andaikan bahwa kita mengambil p = 0,05 sebagai probabilitas dari sebuah sambungan selama waktu sibuk. Kita tertarik untuk mengetahui bahwa 5 kali upaya diperlukan untuk suatu sambungan yang berhasil. Penyelesaian : Dengan menggunakan sebaran geometris dengan x = 5 dan p = 0,05 menghasilkan 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑔( 5 ; 0,05 ) = ( 0,05 )( 0,95)4 = 0.041

CONTOH IV Pada seleksi karyawan baru sebuah perusahaan terdapat 3 dari 10 pelamar sarjana komputer sudah mempunyai keahlian komputer tingkat advance dalam pembuatan program. Para pelamar diinterview secara intensif dan diseleksi secara random. a. Hitunglah prosentase yang diterima dari jumlah pelamar yang ada. b. Berapa probabilitas pertama kali pelamar diterima pada 5 interview yang dilakukan? c. Berapakah rata-rata pelamar yang membutuhkan interview guna mendapatkan satu calon yang punya advance training Penyelesaian : 3.1 3 sarjana komputer yang diterima dari sejumlah 10 calon Prosentase yang diterima = 3/10*100%= 30% 3.2 𝑓(𝑥) = 𝑝. 𝑞 𝑥−1 ,

𝑥 = 1, 2, 3, 4, 5

𝑓(5) = (0,3)(0,7)4 = 0,072 1

1

3.3 𝐸(𝑥) = 𝑝 = 0,3 = 3,333

6

2.2 DISTRIBUSI GEOMETRIK Setiap percobaan statistik keluaran yang telah dihasilkan obyeknya selalu dikembalikan, sehingga probabilitas setiap percobaan peluang seluruh obyek memiliki probabilitas yang sama. Dalam pengujian kualitas suatu produksi, maka obyek yang diuji tidak akan diikutkan lagi dalam pengujian selanjutnya, artinya tidak dikembalikan. Percobaan hipergeometrik memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 

Sebuah pengambilan acak dengan ukuran n dipilih tanpa pengembalian dari N obyek



k dari N obyek dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan N – k diklasifikasikan sebagai gagal.

CONTOH I Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5 fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyaknya kimiawan yang duduk dalam panitia. Penyelesaian : Misalkan: X = menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia X = { 0,1,2,3 } Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus :

7

3 5 ( )( ) ℎ(𝑥 ; 8, 5, 3 ) = 3 5 − 𝑥 8 ( ) 5

; 𝑥 = 0, 1, 2, 3

3 5 ( )( ) 1 𝑥 = 0 → ℎ( 0; 8, 5, 3 ) = 0 5 = 8 56 ( ) 5 3 5 ( ) ( ) 15 𝑥 = 1 → ℎ(1; 8, 5, 3 ) = 1 4 = 8 56 ( ) 5 3 5 ( ) ( ) 30 𝑥 = 2 → ℎ(2; 8, 5, 3 ) = 2 3 = 8 56 ( ) 5 3 5 ( ) ( ) 10 𝑥 = 3 → ℎ(3; 8, 5, 3 ) = 3 2 = 8 56 ( ) 5

CONTOH II Dari 6 kontraktor jalan, 3 dintaranya telah berpengalaman selama lima tahun atau lebih. Jika 4 kontraktor dipanggil secara random dari 6 kontraktor tersebut, berapa probabilitas bahwa 2 kontraktor telah berpengalaman selama lima tahun atau lebih? Penyelesaian :

8

CONTOH III Seorang manajer personalia mengambil secara random 3 surat dari seluruh surat yang ditulis karyawan yang mengundurkan diri dari perusahaannya. Dengan anggapan bahwa 4 dari 10 karyawan tersebut berasal dari bagian keuangan, tentukan probabilitas bahwa dua dari 3 surat tersebut dari karyawan bagian keuangan. Penyelesaian :

9

BAB III PENUTUP 3.1

Kesimpulan Distribusi geometrik ialah bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang

kali menghasilkan sukses dengan peluang p, gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang peubah acak X, yaitu banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses yang pertama, diberikan oleh

g(x; p)  pq x -1 Pada

distribusi

hipergeometrik

x  1, 2, 3, ... pengambilan

sampel

dilakukan

tanpa

pengembalian. Rumus-rumus distribusi hipergeometrik adalah sebagai berikut ; a. Untuk dua jenis sampel yang berbeda b. Untuk lebih dari dua sampel yang berbeda c. Nilai meanμ = n.kN d. Nilai harapan E(X) = X.P(X)

3.2

Saran Dalam penulisan makalah ini penulis meyadari bahwa masih banyak kekeliruan

dan kesalahan dalam hal penulisan dan penyusunannya masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis menantikan saran dan kritikan yang sifatnya membangun untuk pembuatan makalah selanjutnya. Dan penulis juga mengharapkan makalah ini dapat bermanfaat.

10

REFERENCES Ronnald, E. Walpole dan Raymond H Myers. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Indinyur dan Ilmuan. Bandung : ITB Bandung Boediono dan wayan koster. 1999. Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas. Jakarta: Rosda

11