Magnetostatique

MAGNÉTOSTATIQUE DU VIDE Table des matières 1 Topologie du champ magnétostatique 1.1 Champ magnétostatique crée par un aimant droit : . 1.2 Champ magnétostatique crée par un fil infini : . . . 1.3 Champ magnétostatique crée par une spire circulaire 1.4 Champ magnétostatique crée par un solénoide : . .

. . : .

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3 3 3 3 3

2 Champ magnétique crée par un circuit filiforme :Loi de Biot et Savart

4

3 Propriétés de symétrie

5

4 APPLICATIONS : 4.1 Champ magnétique crée par un fil infini : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Champ magnétique sur l’axe d’une spire circulaire : . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Champ magnétique à l’intérieur d’un solénoide : . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 7 7

5 Conservation du flux du champ magnétostatique

8

6 Circulation du champ magnétostatique 6.1 L’étude d’un exemple : . . . . . . . . . 6.2 Théorème d’Ampère : . . . . . . . . . 6.3 Applications : . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Fil infini : . . . . . . . . . . . 6.3.2 Solénoide infini : . . . . . . . .

: . . . . .

9 9 9 9 9 9

7 Relation de continuité du champ magnétique 7.1 La composante normale : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 La composante tangentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10 11

8 Le dipole magnétique 8.1 Définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Expression duchamp magnétostatique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Lignes de champ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Action d’un champ magnétostatique extérieur uniforme sur un dipole magnétique : 8.4.1 Force de Laplace : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 12 13 14 14

1

. . . . .

:Théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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TABLE DES MATIÈRES

8.4.2 8.4.3 8.4.4

Magnétostatique-M.P.S.I

L’effet de champ extérieur sur le dipole circulaire : . . . . . . . . . . . . L’énergie potentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le modèle du dipole en physique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Comparaison des propriétés des deux champs

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14 15 15 17

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Magnétostatique-M.P.S.I

MAGNÉTOSTATIQUE DU VIDE

C’est l’étude du champ magnétostatique crée par des courants continus ( ou lentement variable (A.R.Q.P))

1

Topologie du champ magnétostatique 1.1

Champ magnétostatique crée par un aimant droit :

N S

1.2

Champ magnétostatique crée par un fil infini :

I

1.3

Champ magnétostatique crée par une spire circulaire : I

1.4

Champ magnétostatique crée par un solénoide :

I

I

Quelques ordres de grandeurs du champ magnétostatique ⋆ Un aimant courant :B ≃ 10mT CPGE/B.Mellal

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:

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Magnétostatique-M.P.S.I

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⊲ ⊲

2

Un aimant ordinaire :B ≃ 1T Une bobine supraconductrice :B ≃ 20mT Une bobine resistive :B ≃ 30 a ` 1000T champ magnétostatique terrestre : La composante verticale :B⊥ ≃ 4.10−5 T La composante horizontale :B// ≃ 3.10−5 T .

Champ magnétique crée par un circuit filiforme :Loi de Biot et Savart Soit (C) un circuit filiforme , parcouru par un courant continu I. C

M

P

− → dℓ

− → u

I

−−→ PM − → Avec u = ; On admet que : PM

− → µo I B (M ) = 4π

− → − → −−→ Z − dℓ ∧ → u dℓ ∧ P M µo I = 2 4π (C) P M 3 (C) P M

Z

(1)

C’est la loi de Biot et Savart ⋆ Unité de B est le Tesla (T ) ou le Gauss (1T = 104 G) ⋆ µo perméabilité du vide :µo = 4π10−7 H.m−1 Remarque 1 : 1- µo εo C 2 = 1 : avec C la célérité de la lumière. 2- Comme en électrostatique , le principe de superposition en magnétostatique reste valable :

− → − → B = ΣB i

− → − → 3- E est un vrai vecteur par contre B est un pseudovecteur (ou vecteur axial) puisque il découle d’un produit vectoriel ( change de sens) 4- Pour une distribution volumique :

− → µo I B (M ) = 4π

− → − j ∧→ u dτ 2 P M (D)

ZZZ

(2)

− → − → Avec : j = ρ V vecteur densité de courant CPGE/B.Mellal

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3

Propriétés de symétrie − → → Soient − a , b deux vrais vecteurs(ou vecteurs polaires) et S un miroir plan. − → c

− → → → On pose − c =− a∧b

− → a

− → a

− → b

S

− → b

− → c

Un pseudovecteur est transformé en l’opposé du symétrique

Si M ′ est le symétrique de M par rapport au miroir plan alors : − → − → − → ⋆ B ′ (M ′ ) = B (M ) si B ⊥S − → − → − → ⋆ B ′ (M ′ ) = − B (M ) si B //S Conclusion : − → 1- Si le système admet un plan de symétrie Πs alors en tout point de ce plan B ⊥Π. CPGE/B.Mellal

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Magnétostatique-M.P.S.I

− → 2-Si le système admet un plan d’antisymétrie Πa alors en tout point de ce plan B est contenu dans ce plan. − →

− →

Remarque 2 E et B ont un comportement antagoniste.

4 4.1

APPLICATIONS : Champ magnétique crée par un fil infini :

− → µo I − → eθ B (M ) = 2πr

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4.2 Champ magnétique sur l’axe d’une spire circulaire :

4.2

Magnétostatique-M.P.S.I

Champ magnétique sur l’axe d’une spire circulaire : − → µo I R2 µo I → − → sin3 α− ez = ez B (M ) = 2R 2 (R2 + z 2 )3/2

Remarque 3 Si la spire contient N spires collées alors :

− → − → µo N I → BT = N B = sin3 α− ez 2R

4.3

Champ magnétique à l’intérieur d’un solénoide :

Un solénoide est constitué d’un enroulement d’un fil conducteur autour d’un cylindre. On suppose que ce fil est suffisamment mince pour pouvoir modéliser ce solénoide comme une juxtaposition de spires coaxiales, avec n spires par unité de longueur. Chaque spire est alors parcourue par un courant permanent I. Comme pour la spire simple vue plus haut, les propriétés de symétrie du courant montrent que le champ magnétique du solénoide, qui est la somme vectorielle du champ créé par chaque spire, est suivant z uniquement. Autour d’un point P situé en z, sur une épaisseur dOP = dz, il y a ndz spires N : nombre de spire par unité de longueur . Avec n = L Ces spires créent donc un champ en un point M quelconque de l’axe

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− → µo nI → [cos α1 − cos α2 ]− ez B (M ) = 2 Remarque 4 :

1- M à l’intérieur ; M à gauche du solénoide .(schémas descriptives) 2- Solénoide infini =⇒ α1 → 0 et α2 → π : − → → B (M ) = µo nI − ez 3- Au centre :

5

α1 = π − α2 = αc : − → → ez B (Mc ) = µo nI cos αc −

Conservation du flux du champ magnétostatique

: − → dS 1

S2

Considérons une surface orienté (vers l’extérieur) s’appuyant sur une courbe C fermée et orienté : On admet que :

C

S1

ZZ → − →− Φ = ° B .dS = 0

− → dS 2

(3)

S

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c’est à dire que le "flux entrant"="flux sortant" : conservation du flux.

6 6.1

Circulation du champ magnétostatique :Théorème d’Ampère L’étude d’un exemple :

Pour un fil infini on a : −−→ − → µo I − → → → → eθ ; dOM = dr− er + rdθ− eθ + dz − ez . B (M ) = 2πr H− → −−→ Calculons : B (M ).dOM I I : − → −−→ µo I B (M ).dOM = dθ 2π H • Si la courbe C n’enlace pas le filH =⇒ dθ = 0 • Si la courbe C enlace le fil =⇒ dθ = H2π • Si la courbe C enlace le fil N fois =⇒ dθ = 2πN D’où le théorème d’Ampère :

6.2

Théorème d’Ampère :

− → La circulation de B le long d’une courbe C quelconque ,orientée et fermée (appelée contour d’Ampère ) est égale à µo fois la somme algébrique des courants qui traversent la surface délimitée par C

I 6.3

X − → − → Ie B (M ). dℓ = µo

(4)

Applications :

6.3.1

Fil infini : − → − → → → ⋆ Symétrie : j = j(r, θ, z)− eθ =⇒ B = B(r, θ, z)− eθ . − → → ⋆ Invariance : translation (oz)+rotation autour de Oz =⇒ B (M ) = B(r)− eθ . → −−→ − − → − → − → ⋆ dOM = dℓ = dr er + rdθ eθ + dz ez H− → −−→ µo I B(r) = B (M ).dOM = µo I =⇒ 2πr 6.3.2

Solénoide infini :

Considérons un solénoide infini, comportant N spires par unite de longueur, chacune parcourue par un courant I permanent. Étant donne la géométrie cylindrique du solénoide, on se place en coordonnées cylindriques, l’axe z étant l’axe du solénoide. La densité de courant est − → → toroidale et s’écrit j (z) = j(r, θ, z)− eθ Puisqu’il y a invariance par rotation autour de l’axe z et translation le long de ce même axe. − → → Donc, le champ magnétique est poloidal et s’écrit B (z) = B(r, θ, z)− eθ CPGE/B.Mellal

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On choisit trois contours d’Ampere différents (voir figure) :

7 7.1

Relation de continuité du champ magnétique La composante normale :

Puisque le courant est la source du champ magnétique, on peut se demande ce qui se passe à la traversée d’une nappe de courant infinie. Comme pour le champ électrostatique, va-t-on voir une discontinuité dans le champ ? − → Soit une distribution surfacique de courant j s séparant l’espace en deux régions 1 et 2.

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7.2 La composante tangentielle :

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Considérons une surface fermée fictive, traversant la nappe de courant. La conservation du flux magnétique a travers cette surface s’écrit : ZZ ZZ ZZ → → → − →− − →− − →− B .dS + B .dS + B .dS = 0 S1

S2

SL

Où SL est la surface latérale. Lorsqu’on fait tendre cette surface vers zéro (S1 tend vers S2 ), on obtient : ZZ ZZ → → − →− − →− B .dS + B .dS = 0 S1

ZZ

S2

→ − → − → → − ( B 2 − B 1 ).− n 1→2 dS = 0

S1 =S2

− → − → → Puisque :dS 1 = −dS 2 = dS − n 1→2 Dans cette limite. Ce résultat étant valable quelque soit la surface S choisie, on vient donc de démontrer que :

− → − → → ( B 2 − B 1 ).− n 1→2 = 0

(5)

la composante normale du champ magnétique reste continue

7.2

La composante tangentielle :

Pour la composante tangentielle, nous allons utiliser le théorème d’Ampere. Considérons le contour d’Ampere suivant :

Le théorème d’Ampere s’écrit alors : Z Z Z → → − →− − →− B . dℓ B . dℓ + AB

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BC

→ − →− B . dℓ +

CD

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Z

→ − →− B . dℓ = 0

DA

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− → − → − → → ( B 1 − B 2) ∧ − n 1→2 = µo j s

(6)

la composante tangentielle du champ magnétique est discontinue.

8

Le dipole magnétique

8.1

Définition :

Soit une petite spire plane traversée par un courant I .On appelle moment magnétique de la spire la grandeur :

− → n

− → − → → M = I S = IS − n

(7) I − → 2 Avec S la surface de la spire.et kMk en A.M − → On s’interesse au champ magnétostatique B crée par cette boucle au point M tel que : OM = r ≫ R dimension de la boucle (approximation dipolaire).

8.2

Expression duchamp magnétostatique

:

On admet que :

− →− − → − → µo → − → [3( M. e ) e − M] B (M ) = r r 4πr3

(8)

En électrostatique , on rappelle que : − →→ − − → − → 1 • E (M ) = [3( P .− er )→ er − P ] 3 4πεo r − →− P .→ er • V (M ) = 4πr2 −−→ − → • E = −gradV (M )

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8.3 Lignes de champ :

Magnétostatique-M.P.S.I

− → Par analogie B (M ) dérive d’un potentiel scalaire :

− →→ µo M.− er Vm = + cte 4π r2

(9)

−−→ − → B (M ) = −gradVm (M )

(10)

et que :

Donc pour retrouver les composantes du champ magnétostatique en coordonnées sphériques on − → − → P par µo M remplace ε0      Er =    

1 2P cos θ =⇒ 4πεo r3 1 P sin θ Eθ = =⇒ 4πεo r3

µo 2M cos θ 4π r3 µo M sin θ Bθ = 4π r3 Br =

B Bθ

Remarque 5

α

tgθ = 2tgα

Br

M θ

z

8.3

Lignes de champ :

→ − − → − → On a : B ∧ dℓ = 0 =⇒ r = ro sin2 θ

Question : représenter les LDC dans la zone ou l’approximation dipolaire n’est plus valable ?

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8.4 Action d’un champ magnétostatique extérieur uniforme sur un dipole magnétique Magnétostatique-M.P.S.I :

8.4

Action d’un champ magnétostatique extérieur uniforme sur un dipole magnétique : z α

M

Be y

I

− → P dℓ

x

− → → On pose M = M− ez 8.4.1

Force de Laplace :

Considérons un circuit filiforme traversé par un courant I dans un − → champ magnétostatique B e extérieur . − → Une portion ( dℓ) subit une force dite force de Laplace − → − → − → d F = dq V ∧ B e avec dq = ρdτ → − − → − → − → − → − →− →− → d F = ρ V dτ ∧ B e =⇒ d F = ρ V S . dℓ ∧ B e |{z}

P (C)

ℓ

I

→ − j

− → − → − → → − →− Comme I = j . S alors d F = I dℓ ∧ B e

− → F =

Z

− → − → I dℓ ∧ B e

(11)

(C)

Force de Laplace 8.4.2

L’effet de champ extérieur sur le dipole circulaire :

Hypothèses : ⊲ spire circulaire de rayon R. − → ⊲ B e ∈ (yoz) H− → − → − − → H − → → − → • F = I dℓ ∧ B e = I( dℓ) ∧ B e = 0 : donc pas de translation. − → − −→ −→ − → −→ → • dMo = OP ∧ d F = OP ∧ (I dℓ ∧ B e ) − → → − → →− − → → → → On rappelle que :− a ∧( b ∧− c ) = b (− a .→ c )−− c (− a.b)

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8.4 Action d’un champ magnétostatique extérieur uniforme sur un dipole magnétique Magnétostatique-M.P.S.I :

− → −→ − → −→ → − → −→ − dMo = I dℓ(OP . B e ) − B e (OP .I dℓ) | {z } → − ¯ ¯ ¯ 0 ¯ 0 ¯ − sin θ ¯ cos θ ¯ ¯ − → − → ¯¯ −→ − → − → − → − → ¯ ¯ , B e ¯ Be sin α OP = R er , dℓ = Rdθ eθ , er ¯ sin θ , eθ ¯ cos θ ¯ Be cos α ¯ 0 ¯ 0 −→ 1 → → =⇒ dMo = IR2 Be sin α[− sin2 θ− ex + sin 2θ− ey ]dθ 2 Z 2π Z 2π −→ 1 → → sin 2θdθ − Mo = IR2 Be sin α[− sin2 θdθ − ex + ey ] 2 0 | | 0 {z } {z } 2π 0 −→ − → − → − → 2 Mo ( F ) = − IπR | {z } Be sin α ex = −SBe sin α ex S

− → − −→ − → → Mo ( F ) = M ∧ B e

(12)

L’action d’un champ magnétostatique extérieur uniforme se réduit à un couple.(en électrosta−→ − → − → tique : Mo = P ∧ E e ) 8.4.3

L’énergie potentielle :

Part analogie avec l’électrostatique ;

− →− → Epm = −M. B e = −MBe cos α

(13)

 d2 Ep   α=0→ = M cos α]0 > 0 dEp 2 dα = 0 =⇒ sin α = 0 =⇒ 2  dα  α = π → d Ep = M cos α]π < 0 dα2 Donc :α = π est une position d’équilibre stable Conclusion : L’action d’un champ magnétostatique uniforme sur un dipole se réduit à un couple −→ − → qui tend à orienter le moment magnétique Mo antiparallèlement à B e 8.4.4

Le modèle du dipole en physique :

Il est intéressant de remarquer que l’expression du champ magnétique crée par une spire de − → → courant (dipole magnétique M = IS − n ) est formellement équivalente a celle du champ électro− → → statique crée par un système de deux charges opposées (dipole électrique − p =qd) − →→ − → 1 −−→ M.− er E =− grad( 2 ) 4πεo r Cependant, pour le champ magnétique, il s’avère impossible de séparer le dipole en une charge magnétique + et une autre − . Le dipole est la première source de champ magnétique. C’est la raison pour laquelle il joue un si grand rôle dans la modélisation des effets magnétiques observes dans la nature, au niveau microscopique comme macroscopique. CPGE/B.Mellal

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8.4 Action d’un champ magnétostatique extérieur uniforme sur un dipole magnétique Magnétostatique-M.P.S.I :

L’origine du champ magnétique d’un matériau quelconque (ex : aimant) doit être microscopique. En utilisant le modèle atomique de Bohr, on peut se convaincre que les atomes (du moins certains) ont un moment magnétique dipolaire intrinsèque. Le modèle de Bohr de l’atome d’Hydrogene consiste en un électron de charge q = −e en mouvement circulaire uniforme autour 2π . d’un noyau central (un proton) avec une période T = ω Si on regarde sur des échelles de temps longues par rapport à T, tout se passe comme s’il y avait un courant I = q/T = qω/2π On a donc une sorte de spire circulaire, de rayon moyen la distance moyenne au proton, c’est a dire le rayon de Bohr a0 . L’atome d’Hydrogène aurait donc un moment magnétique intrinsèque : − → qω 2 − → M = IS − n = n πao → 2π − − → − → − → → → σ = OM ∧ m V = ma V − n = ma2 ω − n o

o

o

− → q − → σo M= 2m On pose :γ =

(14)

q : est appelé le facteur gyromagnétique. 2m

− → → M = γ− σo

(15)

Relation indépendante de la trajectoire En effet : − → −→ q − S → r2 θ˙ − q → → → Mo = n = q( )− n = q( )→ n =⇒ M = IS − n = S− σo T T 2 2m On peut expliquer qualitativement les propriétés magnétiques des matériaux en fonction de l’orientation des moments magnétiques des atomes qui les composent : • Matériaux diamagnétiques : les moments sont distribues aléatoirement, il n’y a pas de champ magnétique intrinsèque. • Matériaux paramagnétiques : ceux pour lesquels les moments peuvent s’orienter dans une direction privilégiée en presence d’un champ magnétique extérieur, pouvant donc être ainsi aimantes momentanément. • Matériaux ferromagnétiques : ceux dont les moments sont déjà orientés dans une direction particulière, de façon permanente (aimants naturels). La Terre est connue pour avoir un champ magnétique dipolaire, ou le pôle Nord magnétique correspond au pôle Sud géographique (a un angle près). Au niveau macroscopique, l’explication de l’existence du champ magnétique observe sur les planètes et sur les étoiles est encore aujourd’hui loin d’être satisfaisante. La théorie de l’effet dynamo essaye de rendre compte des champs observés par la presence de courants, essentiellement azimutaux, dans le cœur des astres. Plusieurs faits connus restent partiellement inexpliqués : ⋆ Les cycles magnétiques : le Soleil a un champ magnétique a grande échelle qui ressemble a celui de la Terre, approximativement dipolaire. Cependant, il y a une inversion de polarité tous les 11 ans. Pour la Terre, on a pu mettre en evidence qu’il y avait eu une inversion il y a environ 700.000 ans. Par ailleurs, on observe des fluctuations du champ. CPGE/B.Mellal

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⋆ Non-alignement avec le moment cinétique de l’astre : s’il est de l’ordre d’une dizaine de degrés pour la Terre (avec une modification de la direction de l’axe magnétique d’environ 15’ par an), il est de 90o pour celui de Neptune !

9

Comparaison des propriétés des deux champs − → E

− → B

Origine :charges fixes

Origine :charges mobiles

Vrai vecteur

pseudo vecteur

Appartient au plan de symétrie

Perpendiculaire au plan d’antisymétrie

Perpendiculaire au plan d’antisymétrie ZZ → Qint − →− ° E .dS = εo H− → →− E . dℓ = 0

Appartient au plan d’antisymétrie ZZ → − →− ° B .dS = 0

−−→ − → E = −gradV (M ) 2P cos θ 4πεo r3 P sin θ Eθ = 4πεo r3 − → − → µo = P ∧ E e

−−→ − → B dipole = −gradVm (M ) 2µo M cos θ 4πr3 µo M sin θ Bθ = 4πr3 → − −→ − → Mo = M ∧ B e

Er =

Br =

− →− → Ep = M. B e

− →− → Ep = P . E e

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H− P → →− B . dℓ = µo Ienlac

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