Mad Ah

‫דף נוסחאות במשוואות דיפרנציאליות חלקיות‬ ‫כללי‬

‫משוואות לפלס ופואסון‬

‫הפתרון יראה מצורת‪:‬‬ ‫‪ - (Xn(x‬פונקציה עצמית של הבעיה ההומוגנית (ע"פ שטרום לאוביל(‪.‬‬

‫‪-‬‬

‫בקורס זה תמיד יתקיים ‪. U xy  U yx :‬‬ ‫כל פתרון יהיה עד כדי פונקציה שרירותית ולא עד כדי קבוע‬‫שרירותי‪.‬‬

‫‪-‬‬

‫‪For more please visit – www.pnc.co.il/uni‬‬

‫סימון לפלס‪:‬‬

‫) ‪u( x,t )   un (t ) X n ( x‬‬ ‫‪n‬‬

‫תנאי התחלה‪ :‬ידוע משהו על המשוואה בזמן ‪.t=0‬‬

‫) ‪F( x ,t )   Fn (t ) X n ( x‬‬

‫בעיית הגלים במיתר‬

‫‪n‬‬

‫הערה‪ :‬משוואת המיתר היא משוואה הומוגנית‪.‬‬

‫בעיית הגלים במיתר אינסופי‪:‬‬ ‫‪; t  0,   x  ‬‬ ‫;‬ ‫‪  x  ‬‬

‫‪  x  ‬‬

‫הבעיה‪:‬‬

‫‪ U tt  a 2U xx‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ U ( x ,0)  f( x‬‬

‫) ‪( x ) utt   k( x ) u x  x  F( x ,t‬‬

‫אנרגיה ‪:‬‬

‫‪ U‬‬ ‫; ) ‪ t ( x ,o )  g ( x‬‬

‫נוסחת דה‪-‬למבאר לפתרון משוואת המיתר האינסופי‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 x  at‬‬ ‫‪U ( x ,t )   f ( x  at )  f ( x  at )    g ( y ) dy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2a x at‬‬ ‫בעיית הגלים במיתר חצי אינסופי ‪ -‬קצה קשור‪:‬‬ ‫‪; t  0, x  0‬‬ ‫‪; x0‬‬

‫‪ U tt  a 2U xx‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ U ( x ,0)  f ( x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪a11u xx  2a12u xy  a22u yy  F( x, y ,u ,ux ,u y )  0‬‬ ‫משוואה אופיינית‪:‬‬

‫‪a11dy 2  2a12 dydx  a22 dx 2  0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ dy ‬‬ ‫‪ dy ‬‬ ‫‪ dy ‬‬ ‫‪  2a12 ‬‬ ‫‪ a22  0 ; ‬‬ ‫‪  k1,2‬‬ ‫‪ dx ‬‬ ‫‪ dx ‬‬ ‫‪ dx ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a11k  2a12 k  a22  0  k1,2‬‬ ‫‪a11 ‬‬

‫‪ U x (0,t )  0‬‬ ‫‪‬‬

‫נרצה לפתור את הבעייה בעזרת פתרון דה למבאר‪ ,‬לכן נבצע לפונקציה‬ ‫הרחבה לפונקציה זוגית‪:‬‬

‫‪ f( x ) ; x  0‬‬ ‫‪ f(  x ) ; x  0‬‬

‫‪f1( x )  ‬‬

‫כעת נוכל לפתור בעזרת פתרון דה‪-‬למבאר‪.‬‬

‫בעיית הגלים במיתר סופי ‪ -‬פתרון ע"י נוסחת דה‪-‬לאמבר‪:‬‬ ‫הבעיה מוגדרת היטב‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬בד"כ נשתמש בדרך זו למציאת פתרון בנק' ספציפית בלבד‪.‬‬

‫‪  dy ‬‬ ‫‪   dy ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k1  ‬‬ ‫‪ k 2   0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  dx ‬‬ ‫‪   dx ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ dy  k1 dx  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ dy  k2 dx  0‬‬ ‫משוואה היפרבולית‪a122  a11 a22  0 :‬‬

‫‪k1  k2‬‬

‫} ‪D :{x, y 0  x  a ; 0  y  b‬‬ ‫‪( x, y )  D‬‬

‫‪ u xx  u yy  0‬‬

‫‪0 xa‬‬ ‫‪0 xa‬‬

‫) ‪ u( x ,0)  0( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ u( x ,b )  1( x‬‬

‫‪0 yb‬‬

‫) ‪ u(0, y )   0( y‬‬ ‫) ‪ u( a , y )   1( y‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ U tt  a 2U xx‬‬ ‫‪‬‬

‫נבצע החלפת משתנים‪:‬‬

‫‪  y  k1 x‬‬ ‫‪  y  k2 x‬‬

‫עבור המקרה הספציפי הזה‪ :‬נרצה לפתור את הבעייה בעזרת פתרון דה‬ ‫למבאר‪ ,‬לכן נבצע לפונקציה הרחבה לפונקציה אי זוגית לפי ‪ l‬ולפי ‪ 0‬בסוף‬ ‫נקבל פונקציה מחזורית עם מחזור ‪: 2l‬‬

‫לאחר החלפת המשתנים‪ ,‬המשוואה תראה כך‪:‬‬

‫‪; 0 xl‬‬ ‫) ‪ f( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  f (  x ) ; l  x  0‬‬

‫) ‪f1( x‬‬

‫כעת נוכל לפתור בעזרת פתרון דה‪-‬למבאר‪.‬‬

‫‪ w( x ,0)  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ w( x ,b )  0‬‬

‫‪0 xa‬‬ ‫‪0 xa‬‬

‫) ‪ v( x ,0)  0( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ v( x ,b )  1( x‬‬

‫‪‬‬

‫‪0 xa‬‬ ‫‪0 xa‬‬

‫‪‬‬

‫‪ w(0, y )   0( y ) 0  y  b‬‬ ‫‪ w‬‬ ‫‪ ( a , y )   1( y ) 0  y  b‬‬

‫מקרה א' ‪ 0‬‬

‫נפתור כל בעיה בעזרת הפרדת משתנים‪.‬‬

‫פתרון משוואת לפלס במעגל‪:‬‬ ‫נעביר את כל המשוואה לקואורדינטות פולריות‪:‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪; r 2  x2  y2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x  r cos  ; y  r sin  ; tan  ‬‬ ‫‪ cos  ; ry  sin ‬‬

‫‪  y  k1,2 x‬‬

‫‪  U (0,t )  U ( l ,t )  0 ; t  0‬את ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ז"א ש ו‪  -‬בלתי תלויות אחת בשניה‪.‬‬ ‫) ‪U ( x ,t )  X ( x )T(t‬‬ ‫בד"כ נבחר את ‪ ‬כ ‪ X‬או ‪.Y‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪  2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ x x‬‬ ‫‪ cos  ‬‬

‫‪ tan   x  ‬‬

‫‪ sin ‬‬ ‫‪cos ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪; y ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬

‫משוואת לפלס בקואורדינטות פולריות‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u xx  u yy  urr  ur  2 u  0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫בעיית לפלס במעגל‪:‬‬

‫‪ r 2 urr  r ur  u  0‬‬

‫‪2    0 , r  R‬‬

‫‪‬‬

‫‪2    0 , r  R‬‬

‫) ‪ u( R , )  f (‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪ u '( r ,2 )  u '( r ,0‬‬ ‫הפתרון לא יכול להתבדר‪:‬‬

‫‪u(0, )  ‬‬

‫נבצע הפרדת משתנים ונקבל ‪ 2‬מד"רים‪:‬‬

‫) ‪u( r , )  U ( r )  (‬‬

‫מקרה ב' ‪ 0‬‬

‫‪:C‬‬

‫מקרה ג' ‪ 0‬‬

‫‪:C‬‬

‫‪  '' C   0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ r U ''( r )  r U '( r )  CU ( r )  0‬‬

‫שימו לב! קיים פתרון גם עבור ‪.C=0‬‬

‫יעקוביאן‪:‬‬

‫‪x  y‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x  y‬‬

‫‪C  2 ;   0‬‬ ‫‪X (''x )   2 X ( x )  0‬‬ ‫לאחר החלפת המשתנים‪ ,‬המשוואה תראה כך‪:‬‬

‫‪X (''x )  0‬‬

‫) ‪u  F( , ,u ,u ,u‬‬

‫‪ -‬הפתרונות הכללים עבור ‪:U‬‬

‫‪ y  k x  C1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y  k x  C2‬‬ ‫‪k  a  b i‬‬

‫‪X (''x )   2 X ( x )  0‬‬ ‫)‪X ( x )  c1 cos( x)  c2 sin( x‬‬

‫‪y  kx   y  ax    b x  i‬‬ ‫{ ‪14 2 43‬‬ ‫‪‬‬

‫נבצע החלפת משתנים‪:‬‬

‫פתרון משוואת גלים לא הומוגנית עם ת‪.‬ה ‪ +‬ת‪.‬ש אפס‪:‬‬ ‫‪ utt  a 2u xx  F( x,t ) ; t  0, 0  x  l‬‬

‫‪ u( x ,0)  ut ( x,0)  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ u(0,t )  u x ( l ,t )  0‬‬

‫‪‬‬

‫עבור ‪:)U)r‬‬ ‫ נפתור עבור ‪ (U(r‬לפי אויילר (ראה פירוט על אויילר בסעיף שונות בסוף(‪.‬‬‫‪ -‬נזכור ש‪ (U(r -‬לא יכול להתבדר באף נקודה‪:‬‬

‫) ‪  0 : U ( r )  A0  B0 ln(r‬‬

‫‪ dy  k dx  0‬‬

‫‪C   2 ;   0‬‬

‫הערה‪:‬‬ ‫ הוא פונקציה עצמית‪.‬‬‫‪X‬‬ ‫ הוא ערך עצמי‪.‬‬‫‪‬‬ ‫האופרטור הוא גזירה פעמיים‪.‬‬

‫עבור‬

‫) ‪ (‬‬

‫‪ :‬הפונקציות העצמיות‪:‬‬

‫לאחר החלפת המשתנים‪ ,‬המשוואה תראה כך‪:‬‬

‫) ‪ ( )  1, sin( n ), cos(n‬‬

‫‪U (0)  ‬‬

‫משוואה אליפטית‪a122  a11 a22  0 :‬‬ ‫‪ k1  k 2‬ושניהם מדומים וצמודים‪.‬‬

‫‪X ( x )  c1 x  c2 2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪x2  y2‬‬

‫‪rx ‬‬

‫)‪ u( r ,2 )  u( r ,0‬‬

‫נבצע החלפת משתנים‪:‬‬

‫‪X ( x )  c1e x  c2 e  x‬‬

‫‪ v(0, y )  0‬‬ ‫‪ v( a , y )  0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪0 yb‬‬

‫נבחר כרצוננו‪ ,‬כל עוד היעקוביאן לא מתאפס‪.‬‬

‫‪:C‬‬

‫‪‬‬

‫‪0 yb‬‬

‫ושניהם ממשיים‪.‬‬

‫בעיית הגלים במיתר סופי ‪ -‬פתרון ע"י הפרדת משתנים‪:‬‬ ‫‪ U tt  a 2U xx‬‬ ‫‪; t  0, 0  x  l‬‬

‫) ‪ U ( x ,0)  f ( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ U t ( x ,o )  g( x‬‬

‫‪ wxx  wyy  0 ( x, y )  D‬‬

‫‪( x, y )  D‬‬

‫‪‬‬

‫תנאי מחזוריות‪:‬‬

‫‪ dy  k1 dx  0  y  k1 x  C1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ dy  k2 dx  0  y  k2 x  C1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ vxx  v yy  0‬‬

‫) ‪u  F( , ,u ,u ,u‬‬

‫משוואה פרבולית‪a122  a11 a22  0 :‬‬

‫‪k1  k2‬‬

‫‪‬‬

‫נפרק את הבעייה ל‪ 2 -‬תתי בעיות פשוטות יותר‪U=V+W :‬‬

‫ושניהם ממשיים‪.‬‬

‫‪ dy  k1 dx  0  y  k1 x  C1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ dy  k2 dx  0  y  k2 x  C2‬‬

‫‪; 0 xl‬‬ ‫) ‪ U ( x ,0)  f ( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪; 0 xl‬‬ ‫) ‪ U t ( x ,o )  g ( x‬‬ ‫‪ U (0,t )  U (l ,t )  0 ; t  0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪; 0 xl‬‬ ‫‪; 0 xl‬‬

‫פתרון בעיית לפלס במלבן‪:‬‬

‫} ‪D :{x, y 0  x  a ; 0  y  b‬‬

‫צורה קנונית‪:‬‬

‫‪ U tt  a 2U xx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ U ( x ,0)  f ( x ) ; x  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ U t ( x ,o )  g ( x ) ; x  0‬‬

‫) ‪M  u( x , y‬‬

‫‪0 yb‬‬

‫‪a11u xx  2a12u xy  a22u yy  a1u x  a2u y  u  f ( x , y )  0‬‬

‫כעת נוכל לפתור בעזרת פתרון דה‪-‬למבאר‪.‬‬

‫‪; 0 xl‬‬ ‫)‪ g( x‬‬ ‫‪  g(  x ) ; l  x  0‬‬

‫‪( x, y )  D‬‬

‫‪l‬‬

‫מיון מד"ח מסדר שני עם מקדמים קבועים‬

‫בעיית הגלים במיתר חצי אינסופי ‪ -‬קצה חופשי‪:‬‬ ‫‪; t  0, x  0‬‬

‫‪g1( x )  ‬‬

‫ ‪ u‬מקבלת מקסימום בשפה ‪.C‬‬‫אז‪:‬‬

‫‪E '( t )    k( x ) vx vxt  ( x ) vt vtt  dx ‬‬

‫הסבר לתלות רציפה בנתונים‪ :‬אם יש שינוי קטן בנתונים‪ ,‬בתנאי ההתחלה‬ ‫או בתנא השפה‪ ,‬נקבל שינוי קטן בפתרון‪.‬‬

‫‪; x0‬‬ ‫‪; x0‬‬ ‫) ‪ f( x‬‬ ‫) ‪ g( x‬‬ ‫‪g1( x )  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫;‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪; x0‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪; t  0,0  x  l‬‬

‫‪-‬‬

‫‪ F  0‬בתחום ‪ D‬ו‪M  max ( x , y )C (u ) -‬‬

‫קיים פתרון‪.‬‬‫הפתרון יחיד‪.‬‬‫‪-‬הבעיה תלויה באופן רציף בנתונים‪.‬‬

‫‪f1( x )  ‬‬

‫‪ g( x) ; x  0‬‬ ‫‪ g( x) ; x  0‬‬

‫אם‪:‬‬

‫) ‪u xx  u yy  F( x , y‬‬

‫הגדרת בעיה מוצגת היטב‪:‬‬

‫נרצה לפתור את הבעייה בעזרת פתרון דה למבאר‪ ,‬לכן נבצע לפונקציה‬ ‫הרחבה לפונקציה אי זוגית‪:‬‬

‫‪g1( x )  ‬‬

‫משפט המקסימום‪:‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ U t ( x ,o )  g ( x ) ; x  0‬‬ ‫‪ U (0,t )  0‬‬ ‫‪; t 0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪; t 0‬‬

‫‪u xx  u yy  0‬‬

‫‪l‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪E(t )    k( x ) vx2  ( x ) vt2  dx‬‬ ‫‪20‬‬

‫) ‪u xx  u yy  F( x , y‬‬

‫הגדרת תחום ‪ :D‬תחום פתוח וחסום עם גבול ‪.C‬‬

‫‪ u -‬פתרון של‬

‫יחידות פתרון הפרדת משתנים (שיטת פורייה)‪:‬‬

‫משוואת לפלס‪:‬‬

‫‪u  u xx  u yy‬‬

‫משוואת פואסון‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪  0 : U ( r )  Ar  B r‬‬

‫ עבור מעגל (כדי למנוע התבדרות של הפתרון( מתקיים‪:‬‬‫‪‬‬

‫‪  0 : U ( r )  A0 ;   0 : U ( r )  Ar‬‬

‫מציאת מקדמים של טור פורייה של סינוס וקוסינוס‪:‬‬

‫‪d‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪(‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪  y  ax‬‬ ‫‪  b x‬‬ ‫) ‪u  u  F( , ,u ,u ,u‬‬

‫‪f ( ) cos  n  d‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪f ( ) sin  n  d‬‬ ‫‪ 0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪A0 ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪An R n ‬‬ ‫‪Bn R n ‬‬ ‫‪1‬‬

‫דף נוסחאות במשוואות דיפרנציאליות חלקיות‬

For more please visit – www.pnc.co.il/uni

 ut  a 2 u xx ; t  0, 0  x  l  u( x ,0)  f ( x )   u(0,t )  u(l ,t )  0  n x   n y  sin    l   l 

sin 

( )

.‫פונקציה זו היא פונקציה חיובית‬



e

:‫מד"ר‬

 2

:‫ מקדמים קבועים‬- ‫מד"ר מסדר ראשון‬

 x(0)  x0 t

x(t )  x0e  at   e a (t  s ) f ( s ) ds

 e

2  2

:‫ מקדמים לא קבועים‬- ‫מד"ר מסדר ראשון‬





t



.‫ לטור פורייה של סינוסים וקוסינוסים‬F ‫ ואת‬U ‫נפתח את‬

a0( r )

u( r , ) 

2 A0( r )

F( r , ) 

2



   an ( r ) cos(n )  bn ( r ) sin( n )  n 1 

   An ( r ) cos(n )  Bn ( r ) sin(n )  n 1

.‫בעיית קושי מוצגת היטב‬

 u xx  u yy  0 ; y  0 ;    x   

 u( x ,0)  f ( x )   u y ,( x ,0)  g ( x ) :)‫בעיית נויימן עבור משוואת פואסון (נוסחת גרין‬

r 2 R ''( r )   rR '( r )   R( r )  0

 du( x, y )  

:‫ידוע שמתקיים‬

du $  n grad (u ) dn :‫נוסחת גרין‬

du

 u u dxdy  Ñ  u dn ds   grad (u)

:‫פתרון בעיית שטרום לאוביל לא הומוגנית‬ .‫ נמצא פתרון פרטי מצורת הערור‬.1 .‫ נקבל פתרון הומוגני כללי‬.2 .‫ הפתרונות ונציב את תנאי השפה ונמצא פתרון מלא‬2 ‫ נחבר את‬.3

:‫ היפרבוליים‬/ ‫ קוסינוסים‬/ ‫סינוסים‬ e jx  e  jx ; cos( x )  2

D

:‫ בעיות נפרדות‬2 -‫נחלק את הבעייה ל‬ .‫ תנאי השפה האחרונים‬2 ‫ מקיימת רק את‬ .‫ מקיים את כל השאר‬v .‫ נפתור כל אחד בנפרד ונחבר את הפתרון בסוף‬-

 u( x , y )  f

; ( x, y )  C



)‫משוואות חום (אליפטית‬ .‫בעיית החום מוגדרת היטב‬

 ut  a uxx  F( x,t ) ; t  0, 0  x  l 2





 v( x,0)  f ( x )   ( x ,0)   v(0,t )  v(l ,t )  0

 u( x ,0)  f ( x )   u(0,t )  (t )



.‫מקסימום מתקיים גם במשוואות החום‬/‫משפט המינימום‬

:‫שונות‬

an ( r ) 

t

sin   sin   2 sin( a / 2   / 2) cos( a / 2 m / 2) cos   cos   2 sin( a / 2   / 2) cos( a / 2 m / 2) sin  cos   1/ 2  sin( a   )  sin(   )  sin  sin   1 / 2  cos( a   )  cos(   )  cos  cos   1/ 2  cos( a   )  cos(   )  sin(   )  sin  cos   cos  sin  cos(   )  cos  cos  msin  sin  tan(   )  (tan   tan  ) /(1  tan  tan  ) sin(  )   sin  ; cos(  )  cos  ; tan(  )   tan  sin(90   )  cos  ; cos(90   )  sin  ; tan(90   )  cot  sin(180   )  sin  ; cos(180   )   cos  ; tan(180   )   tan  tan  cot   1 1  tan 2   1 / cos2 

   an ( r ) cos(n )  bn ( r ) sin(n ) 

:‫יחידות‬ .(u=v-w( ‫מקסימום‬/‫ הוכחה לפי משפט מינימום‬- ‫ אז הוא יחיד‬,‫אם יש פתרון‬

n 1



1 1 u( r , ) cos(n )d ; bn ( r )   u( r , ) sin(n )d     :‫מציאת מקדמי פורייה‬ . [0, l ] ‫ היא משפחת פונקציות עצמיות (אורטוגונליות( ב‬Xn .‫נוכל לחשב את מקדמי הטור בצור הבאה‬

:‫זהויות טריגונומטריות‬

3 1 3 1 sin   sin(3 ) ; c os3   cos   cos(3 ) 4 4 4 4 1 1 1 1 sin 2    cos(2 ) ; cos2    cos(2 ) 2 2 2 2 cos(2 )  cos2   sin 2  ; sin(2 )  2 sin  cos  tan(2 )  2 tan  /(1  tan 2  ) sin3  





f ( x )   an X n ( x ) l

f( x) , X n( x) X n( x) , X n( x )



f

( x)

X n ( x ) dx

0

X

n( x )

n

l

2 f ( x ) X m ( x ) dx l 0

:‫ נקבל‬1 ‫במקרה שהפונקציה העצמית היא‬

X n ( x )  1  f ( x )   an X m ( x )  am  n

l

1 f ( x ) dx l 0 :‫פונקציית גרין‬

:‫סופי‬-‫פונקציית גרין בתחום אין‬  ( x  y )2

C  n2  

n l

u( x ,t )   bn e  n a t sin(n x ) 2

2

n 1

l

bn 

2 f ( y ) sin(n y )dy l 0

:)‫בעיית קושי עבור משוואת חום (בקטע אינסופי‬ 2  ut  a uxx ; t  0,   x     u( x ,0)  f ( x ) :‫ בעזרת נוסחת פואסון בקואורדינטות קרטזיות‬- ‫פתרון‬

4a 2 t

u( x , t )

R r R 2  2 R r cos      r 2 2

:‫נבצע הפרדת משתנים‬

:‫פתרון‬ .T ‫ ואח"כ נפתור מד"ר פשוט עבור‬X ‫נפתור בעיית שטרום לאוביל עבור‬

X n ( x )  sin or cos  f ( x )   an X m ( x )  am 

G (r ,  , ) 

 u( x ,0)  f ( x )   u(0,t )  u(l ,t )  0

X n ( x ) dx

.‫אצלנו נורמה מוגדרת כאינטגרל‬ :‫ נקבל‬,‫במקרה הפרטי שהפונקציות העצמיות הן סינוסים או קוסינוסים‬

1 e 2 a   t



l

0

G( x , y ,t ) 

:‫משוואת חום הומוגנית‬

 ut  a 2uxx ; t  0, 0  x  l

 X '' C X  0   T' 2  T  a C

n

an 

0

 u   ( l ,t ) ( t )

‫שונות‬ 2

dxdy

.‫בעיית דירכלה מוצגת היטב‬

; ( x, y )  D

 vt  a 2vxx   F( x,t )   t  a 2 xx  ; t  0, 0  x  l  

u( r , ) 

2

D

 u xx  u yy  F( x , y )

:‫טור פורייה‬

:‫נגזרת של אינטגרל‬

ds   f (t ,t )   f t '(t , s ) ds  0

C

:‫בעיית דריכלה עבור משוואת פואסון‬

x  (t )   (t )  (t )  l

a0( r )

dxdy

D

 u F dxdy  Ñ  u f ds   grad (u)

x

e e e e ; cosh( x )  2 2 sinh'( x )  cosh( x ) ; cosh'( x )  sinh( x ) x

C

2

:‫ אז הוא מקיים‬,‫ הוא פתרון לבעיית נויימן‬u ‫אם‬

u( x ,t )  v( x ,t )   ( x ,t )

 ( x ,t )

; ( x, y )  C

D

b1  a  di : R( r )  r a  C1 sin( d ln( r ))  C2 cos( d ln( r ))  :‫הערה‬ ‫עבור אויילר לא הומוגני נפתור בעיה הומוגנית ונבחר פתרון פרטי מצורת‬ .‫הערור ללא נגזרותיו‬

f

dn

 u   ( l ,t ) ( t )

b1  b2 : R( r )  C1r b1  C2 r b1 ln( r )

; ( x, y )  D



 u( x ,0)  f ( x )   u(0,t )  (t )

b1  b2 : R( r )  C1r b1  C2 r b2

1  cot 2   1 / sin 2  arcsin   arccos    / 2

 u xx  u yy  F( x , y )



b2  (  1)b    0  b1,2

x

.)‫בעיית נויימן לא מוצגת היטב (יחידה עד כדי קבוע‬

:‫ בעיות נפרדות‬2 -‫נחלק את הבעייה ל‬

:)‫משוואת חום לא הומוגנית (כללית‬  ut  a 2uxx  F( x ,t ) ; t  0 , 0  x  l

:‫פתרון אויילר‬

(t ,s )

:‫ש אפס‬.‫פתרון משוואת פואסון במעגל עם ת‬ 1 1  urr  ur  2 u  F( r , ) 2    0 , r  R r r   u( R , )  0 2    0 

d  0

 vt  a 2 vxx ; t  0, 0  x  l  wt  a 2 wxx  F( x ,t ) ; t  0, 0  x  l    v( x,0)  f ( x )  w( x ,0)  0    v(0,t )  v(l ,t )  0  w(0,t )  w(l ,t )  0

1 x(t )   sin  b(t  s )  f ( s ) ds b0

0

.‫ נקראת פונקציית גרין‬G

 ] ‫ניתן גם להשתמש בנוסחת פואסון בתחום סימטרי‬

:‫בעיית קושי עבור משוואת לפלס‬

u vw

 x(0)  x '(0)  0

f

 2

 u( x ,0)  f ( x )   u(0,t )  u(l ,t )  0





 e





 x ''(t )  b 2 x(t )  f (t )

t



:‫משוואת חום לא הומוגנית עם תנאי התחלה לא אפס‬  ut  a 2uxx  F( x,t ) ; t  0, 0  x  l

:‫הערה‬

:‫פתרון מד"ר מסדר שני‬

d  dt 

 ; 2

n

  ta '(t )  '  f (t )

sinh( x ) 

. [

F( x,t )   Fn ( t ) X n ( x )

t a ''(t )  a '(t )  f (t )

x

d   1

n

1 y   b dx  c ( x )  ( x ) ( x )

e e sin( x )  2j

R2  r 2 0 R 2  2 R r cos      r 2 f( ) d 1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43

0

u ( x ,t )   u n ( t ) X n ( x )

, c  0

 jx

e

 2

:‫הפתרון יראה מצורת‬ .(‫ פונקציה עצמית של הבעיה ההומוגנית (ע"פ שטרום לאוביל‬- (Xn(x

y ' a( x ) y  b( x )

jx

d 



0

a( x ) dx



d   ;



:‫משוואת חום לא הומוגנית עם תנאי התחלה אפס‬ 2  ut  a uxx  F( x,t ) ; t  0, 0  x  l   u( x ,0)  u(0,t )  u(l ,t )  0



2

1 2

u( r , ) 

G ( r , , )



2 2 2  e  d 1 ; (  )   0 



 x '(t )  a x(t )  f (t )

( x )  e 

:‫תכונות הפונקציה‬

( z )  (  z )

2

 n   t l 

2   a  e l n 1 2

G( x , y ,t ) 

2 2 e  d   0

( z ) 



:‫נוסחת פואסון בקואורדינטות פולריות‬

z

2

1  2 a   t

 ( x  y )2





f( y )e

4a 2 t

dy



.‫את האינטגרל פותרים ע"י הגעה לפונקציית שגיאה‬

:‫פונקציית גרין בתחום סופי‬

: ‫פונקציית השגיאה‬ 2