Departament de Matemàtiques. IES Alcúdia
MACS-I
Examen 1: Nombres Reals (1ª Avaluació) --- Solucions 1. Calcula
3 4 ·16·9 −1 3 4 ·2 4 ·3 −2 2 4 ·5 80 = −1 5 = 3 = 27 5 −1 ·35 5 ·3 3
2. Calcula i simplifica a)
b)
125 − 54 − 45 − 24 = 53 − 33 ·2 − 3 2 ·5 − 3·2 3 = 5 5 − 3 3·2 − 3 5 − 2 3·2 = 5 5 −3 5 −3 6 −2 6 = 2 5 −5 6 1 2 8 1 2 2 2 ·2 1 2 2 − = − 2 = − 3 5 45 3 5 3 ·5 3 5 3
2 1 2 2 1 2 = − =− 5 3 3 5 3 5
3. Expressa com un únic radical a) b)
3
a 2 ·4 a −2 ·
1 1 = a 2 / 3 ·a −2 / 4 ·a −1 / 2 = a 2 / 3−2 / 4−1 / 2 = a −1 / 3 = 3 a −1 = 3 a a
2 3 :3 2 =
2 2 ·3 : 3 2 = 4 12 : 3 2 = 12 12 3 : 12 2 4 = 12
12 3 12 = 108 24
4. Racionalitza i simplifica
2 2 3 2 2 23 4 23 4 3 = = = = 4 · 3 2 2 3 2 3 2 2 3 23 6 − 2 ( 6 − 2 ) ( 6 − 2 ) ( 6 − 2 ) 2 6 + 2 − 2 6 · 2 8 − 2 12 8 − 4 3 b) = · = = = = = 2− 3 6−2 4 4 4 6 + 2 ( 6 + 2) ( 6 − 2)
a)
5. Efectua i simplifica
(
)
2 2 · 6 + 10 = 2 2 · 6 + 2 2 · 10 = 2 12 + 2 20 = 2 4·3 + 2 4·5 = 4 3 + 4 5 6. Fent servir la definició de logaritme, calcula x a) log x 125 = 3 ! x 3 = 125 ! x = 3 125 = 5 b) ln e 4 = x c) 7 x = 350
! ex = e4 ! x = 4 ! x = log 7 350 =
log 350 = 3,01018... log 7
x
1 d) log 1 64 = x ! = 64 = 2 6 ! 2 − x = 2 6 ! x = −6 2 2 3
7. Sabent que log A=0,12 i log B =2,4. Calcula log
=
A2 = log A 2 / 3 − log100 B = . 100 B
2 2 log A − (log 100 + log B) = 0,12 − (2 + 2,4) = −4,32 3 3
8. Aplicant les propietats dels logaritmes, calcula la x en les expressions
1 100 ·2 20 log100 + log 2 − log 5 = log1001 / 2 + log 2 − log 5 = log = log = log 4 2 5 5 log x = log 4 ! x = 4
log x =
9. Expressa com un interval i representa’ls a) [1, 8) ∪ (3, 5] = [1, 8) Ens demanen la unió dels dos intervals. La unió està formada per tots els nombres del primer interval i tots els del segon.
1
8 3
5
b) |x – 4| < 3 Solució gràfica: Recordem que un valor absolut significa una distància sobre la recta real. En aquest cas, la distància del nombre 4 ha d’esser menor o igual que 3.
La solució és x ∈ [1,7]
1
2
3
4
5
6
7
Solució analítica:
x − 4 ≤ 3 aquesta relació amb valor absolut implica la desigulatat − 3 ≤ x − 4 ≤ 3 Si ara sumam 4 a cada membre tenim −3+ 4 ≤ x − 4+ 4 ≤ 3+ 4 1≤ x ≤ 7
en forma d' interval és [1,7 ]
10. Si aproximam el nombre irracional log 5 12 per 1,54. Quin error cometem? Error absolut = | Valor exacte - Valor aproximat |= | log 5 12 - 1,54 | =
=
Error relatiu =
log12 − 1,54 = 3,9·10 −3 , aproximadament 4 mil·lèssimes. log 5
Error absolut 3,9·10 −3 = = 2,5·10 −3 = (0,25%) Valor exacte 1,543959311···