Ma2

Fakulta elektrotechniky a informatiky Technickej univerzity v Košiciach

MATEMATICKÁ ANALÝZA II Jozef Džurina – Anna Grinčová – Viktor Pirč

„Je potrebné sa učiť a v práci upevňovať to, čo si sa naučil“. Seneca mladší, Listy Luciliovi 94,47.

Úvod Táto učebná pomôcka je určená predovšetkým pre študentov prvého ročníka bakalárskych študijných programov Fakulty elektrotechniky a informatiky TU v Košiciach. Môže však poslúžiť aj študentom iných fakúlt. Štúdium tohoto materiálu predpokladá zvládnutie obsahu predmetov Matematická analýza I a Lineárna algebra. Vzhľadom na rozsah predkladanej učebnej pomôcky nemohli byť uvedené dôkazy viet, resp. odvodenie niektorých vzorcov. Čitateľ má možnosť študovať uvedenú problematiku podrobnejšie v citovanej literatúre. Preberaná látka je podľa možnosti ilustrovaná na príkladoch. V závere každej kapitoly sú zaradené cvičenia určené pre samostatnú prácu študentov a testy, na ktorých si študent môže overiť svoje znalosti z príslušných lekcií. Učebná pomôcka je rozdelená do jednotlivých kapitol tak, ako budú preberané v druhom semestri štúdia na FEI v Košiciach. Vzhľadom na rozsah tejto učebnej pomôcky pri štúdiu predmetu Matematická analýza II je potrebné uvedené informácie v tejto pomôcke doplniť o informácie, ktoré študenti získajú na prednáškach a cvičeniach z uvedeného predmetu. Pre lepšiu a rýchlejšiu orientáciu je učebná pomôcka doplnená zoznamom použitej literatúry. Tento text je doplnený niektorými ukážkami použitia matematického softveru MAPLE a MATLAB. Jedna lekcia je venovaná možným aplikáciám danej problematiky v naväzujúcich odborných predmetoch. Naše poďakovanie patrí doc. RNDr. Miroslave Ružičkovej, CSc a doc. RNDr. Jozefovi Venckovi, CSc. za starostlivé prečítanie rukopisu a za mnohé cenné pripomienky, ktorými prispeli ku skvalitneniu tejto učebnej pomôcky. Ďakujeme aj RNDr. Jánovi Bušovi, CSc. za jeho pomoc pri písaní učebnej pomôcky v systéme LaTeX. Zároveň naša vďaka patrí študentke Jane Dušičkovej za vytvorenie niektorých obrázkov. Autori

1

Nekonečné číselné rady Cieľ Oboznámenie sa s niektorými číselnými radmi a možnosťami ich využitia pri riešení konkrétnych problémov.

Otázky • Definujte nekonečný číselný rad a uveďte niektoré jeho základné vlastnosti. • Aký je súčet geometrického radu? • Uveďte nutné a postačujúce podmienky pre konvergenciu číselných radov. • Uveďte základné kritéria konvergencie číselných radov.

D’Alembert, J.L. (16.11.1717-29.10.1783) - francúzsky matematik, mechanik a filozof. Ako prvý zaviedol funkciu komplexnej premennej. Spolu s Eulerom ako prví uviedli základné vzťahy medzi reálnou a imaginárnou časťou analytických funkcií (teraz známe ako Cauchy – Riemanove podmienky). Cenné výsledky dosiahol v teórii lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi a sústav diferenciálnych rovníc. V teórii nekonečných radov sa venoval postačujúcim podmienkam konvergencie radov.

1.1

Pojem nekonečného číselného radu, jeho konvergencia a divergencia

Často sa stretávame s nasledujúcim problémom. Pre danú postupnosť (an )∞ n=1 je potrebné nájsť súčet všetkých jej členov (ak existuje). Napríklad potrebujeme určiť, či existujú súčty postupností
∞ (−1)n+1 n=1 : 1 − 1 + 1 − 1 + ···  ∞ 1 1 1 1 : 1 + + + + ··· n n=1 2 3 4   n+1 ∞ (−1) 1 1 1 : 1 − + − + ··· n 2 3 4  n=1 ∞ 1 1 1 1 : 1+ + + + ··· 2 n n=1 4 8 16 Teda budeme sa sa zaoberať nekonečnými radmi reálnych čísel. Definícia 1.1 Nech (an )∞ n=1 je postupnosť reálnych čísel. Potom výraz a1 + a2 + · · · + an + . . .

resp.

∞ X

an

n=1

nazývame nekonečným (číselným) radom. Číslo an nazývame n-tým členom tohto radu. Ak chceme spočítať konečnú postupnosť čísel a1 + a2 + · · · + an môžeme postupovať tak, že vytvoríme postupne tzv. čiastočné súčty s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , . . . , sn−1 = a1 + a2 + · · · + an−1 , sn = a1 + a2 + · · · + an−1 + an . Čiastočné súčty môžeme vytvoriť tiež pre nekonečné číselné rady. Dostaneme postupnosť čiastočných súčtov (sn )∞ n=1 . Definícia 1.2 Nech

∞ P

an je nekonečný číselný rad. Potom

n=1

sn =

n X

ak = a1 + a2 + · · · + an

k=1 ∞ P

nazývame n-tým čiastočným súčtom radu

an .

n=1

Ak je postupnosť (sn )∞ n=1 konvergentná, tak číslo s = lim sn nazývame súčtom radu n→∞ ∞ ∞ ∞ P P P an a hovoríme, že rad an je konvergentný, použijeme označenie an = s. n=1

n=1

n=1

Keď je postupnosť (sn )∞ n=1 divergentná, hovoríme, že rad

∞ P n=1

Príklad 1.1 Nájdime súčet radu

∞ P n=1

1 . n(n+1)

an je divergentný.

1 1 Riešenie. Pre n-tý člen tohto radu platí an = n(n+1) = n1 − n+1 a pre n-tý čiastočný súčet platí 1 1 1 1 1 1 sn = (1 − ) + ( − ) + · · · + ( − )=1− . 2 2 3 n n+1 n+1

Potom lim sn = lim [1 − n→∞ n→∞ ∞ P 1 = 1. n(n+1)

1 ] n+1

= 1. Daný rad je teda konvergentný a jeho súčet je s = 1, teda

n=1

Veľmi dôležitý je tzv. geometrický rad 2

n

1 + q + q + ··· + q + ··· =

∞ X n=0

n

q =

∞ X

q n−1 .

n=1

Príklad 1.2 Ukážme, že pre |q| < 1 geometrický rad je konvergentný a pre jeho súčet platí 1 . s = 1−q Riešenie. V prípade, ak q = 0, tak sn = 1 pre každé n ∈ N, teda lim sn = lim 1 = 1. Rad n→∞

n→∞

1 je preto konvergentný a pre jeho súčet platí s = 1−q . Nech je teraz |q| < 1 ale q 6= 0. Pre n-tý n 1−q n čiastočný súčet platí sn = 1−q . Pretože |q| < 1 je lim q n = 0. Potom lim sn = lim 1−q = 1−q n→∞

n→∞

n→∞

1 . 1−q

Je možné približne určiť súčet tak, že neuvažujeme členy, ktoré sú v absolútnej hodnote "malé"? Ak by sme v nasledujúcich príkladoch zanedbali "malé" členy, tak: •

∞ P n=1

1 n(n+1)

≈

1 1.2

1 1 1 1 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 = 0.8333.

Na základe Príkladu 1.1 vidíme, že súčet

tohoto radu sme odhadli s chybou 0, 02. •

∞ P n=1

(−1)n+1 n

≈ 1 − 21 + 13 − 14 + 51 = 0.7833.

V ďalšom ukážeme, že sme sa dopustili chyby

menšej ako 16 . •

∞ P n=1

√1 n

≈ 1 + √12 + √13 + √14 + √15 = 3.2317.

V tomto prípade sme sa dopustili značného

omylu, pretože teraz √ 1 1 1 1 1 1 1 n sn = 1 + √ + √ + · · · + √ > √ + √ + √ + · · · + √ = √ = n n n n n n n 2 3 a teda lim sn = ∞

n→∞

Tento rad diverguje, preto pri hľadaní súčtov radov musíme byť opatrní.

1.2

Niektoré vlastnosti číselných radov Vyslovíme niektoré základné vlastnosti číselných radov.

∞ P

Veta 1.1 (Nutná podmienka konvergencie číselného radu) Ak je rad

an konvergentný,

n=1

tak lim an = 0. n→∞

Dôkaz. Vieme, že an = sn −sn−1 . Ak lim sn = s, potom aj lim sn−1 = s. Teda lim an = 0. n→∞

Ukázali sme, že

∞ X n=1

n→∞

n→∞

∞ X 1 √ = ∞, n n=1

1 =1 n(n + 1)

pričom v oboch prípadoch je lim an = 0. Teda ak je rad n→∞

∞ P

an konvergentný, tak nutne

n=1

musí byť splnená podmienka lim an = 0, ale splnenie tejto podmienky nie je postačujúce pre n→∞ konvergenciu radu. ∞ P

Veta 1.2 Nech k je prirodzené číslo. Potom rady

∞ P

an ,

n=1

an buď súčasne obidva kon-

n=k+1

vergujú alebo súčasne obidva divergujú. Rad

∞ P

an nazývame zvyškom radu

n=k+1

Súčtom, resp. rozdielom radov ∞ P

Pod k-násobkom radu

∞ P

an ,

n=1

∞ P

∞ P

n=1

n=1

bn rozumieme rady

an rozumieme rad

n=1

Veta 1.3 Nech rady k ∈ R. Potom

∞ P

an po k-tom člene.

n=1 ∞ P

∞ P

(an + bn ), resp.

∞ P

(an − bn ).

n=1

kan .

n=1

∞ P

an ,

n=1

∞ P

bn konvegujú a

n=1

(an + bn ) = s + t,

n=1

∞ P

∞ P

an = s,

n=1

(an − bn ) = s − t,

n=1

∞ P

∞ P

bn = t,

n=1

kan = ks.

n=1

• Absolútna a relatívna konvergencia radu Rad

∞ P

|an | nazývame radom absolútnych hodnôt radu

n=1

Veta 1.4 Ak je rad

∞ P

an .

n=1 ∞ P

|an | konvergentný, tak je konvergentný aj rad

n=1

∞ P

an .

n=1

Opačne tvrdenie neplatí: Konvergencia radu

∞ P

an nezaručuje konvergenciu radu

n=1

Definícia 1.3 Ak je rad

∞ P

|an | konvergentný, hovoríme, že rad

n=1

∞ P

|an |.

n=1 ∞ P

an je absolútne kon-

n=1

vergentný. ∞ ∞ ∞ P P P Ak je rad an konvergentný, ale rad |an | je divergentný, hovoríme, že rad an je relan=1

tívne konvergentný.

n=1

n=1

Veta 1.5 (D’Alembertovo limitné podielové kritérium) Nech | < 1, tak je rad a) Ak lim | an+1 an n→∞

b) Ak lim | an+1 | > 1, tak je rad an n→∞

∞ P n=1 ∞ P

an absolútne konvergentný. an divergentný.

n=1 ∞ P

Veta 1.6 (Cauchyho limitné odmocninové kritérium) Nech

p n

b) Ak lim

n→∞

|an | > 1, tak rad

n=1 ∞ P

an je nekonečný rad.

n=1

∞ p P n |an | < 1, tak rad an konverguje absolútne.

n→∞

an je nekonečný rad a pre

n=1

každé n ∈ N nech an 6= 0.

a) Ak lim

∞ P

an diverguje.

n=1

Veta 1.7 (Raabeho limitné kritérium) Nech lim [n(1 − |an+1 /an |)] = p, pričom an 6= 0. Ak n→∞ ∞ ∞ P P an absolútne konverguje. Ak p < 1, rad an diverguje. p > 1, rad n=1

n=1

Veta 1.8 (Cauchyho integrálne kritérium) Nech pre rad

∞ P

|an | existuje spojitá funkcia f ,

n=1

pre ktorú platí: 1. f (x) je nerastúca na hK, ∞). 2. f (n) = |an | pre všetky n > K. Potom, ak existuje tak rad

∞ P

R∞

f (x) dx, tak rad

∞ P

an je absolútne konvergentný. Ak

n=1

K

R∞

f (x)dx = ∞,

K

|an | je divergentný.

n=1

• Rady s nezápornými členmi ∞ ∞ P P Nech an je rad a pre každé n ∈ N platí an ≥ 0. Potom hovoríme, že rad an je n=1

n=1

rad s nezápornými členmi. Definícia 1.4 Nech

∞ P

an ,

n=1

0 ≤ an ≤ bn , hovoríme, že rad

∞ P

bn sú rady s nezápornými členmi. Ak pre každé n ∈ N platí

n=1 ∞ P

∞ P

n=1

n=1

bn je majorantným radom k radu

an .

∞ P

Veta 1.9 (Majorantné kritérium konvergencie) Nech nými členmi a rad Ak rad Ak rad

∞ P n=1 ∞ P

∞ P

bn je konvergentný, tak aj rad an je divergentný, tak aj rad

n=1

∞ P n=1

∞ P

∞ P

bn sú dva rady s nezápor-

n=1

an .

n=1

an je konvergentný.

n=1 ∞ P

bn je divergentný.

n=1

Príklad 1.3 Rad rad

n=1 ∞ P

bn je majorantným radom k radu

n=1

an ,

∞ P n=1

1 (n+1)2

1 n(n+1)

je konvergentný a je majorantný k radu

∞ P n=1

1 . (n+1)2

Preto je aj

konvergentný.

• Rady so striedavými znamienkami a1 − a2 + a3 − · · · + (−1)n+1 an + · · · =

Rad

∞ P

(−1)n+1 an ,

n=1

kde an > 0 pre n = 1, 2, . . . nazývame radom so striedavými znamienkami. ∞ P

Veta 1.10 (Leibnizovo kritérium) Nech

(−1)n+1 an (an > 0) je rad so striedavými zna-

n=1

mienkami. Nech postupnosť

(an )∞ n=1

je nerastúca a lim an = 0. Potom rad n→∞

∞ P

(−1)n+1 an je

n=1

konvergentný. Poznámka 1.1 Nech rad

∞ P

(−1)n+1 an je konvergentný. Ak namiesto súčtu tohto radu

n=1

vezmeme jeho n-tý čiastočný súčet, dopustíme sa chyby, ktorá je v absolútnej hodnote menšia ako an+1 (t.j. ako prvý zanedbaný člen). Preskúmajme konvergenciu radov ∞ P n=1 Rx

n=1 1 n

platí

dx >

0

∞ P

Rx 0

lim 1 n→∞ n

1 dx 1+x

sn = 1 +

1 , n

∞ P n=1

(−1)n+1 n1 . Pre n-tý člen harmonického radu

= 0. Ukážeme, že tento rad diverguje: Pre x > 0 platí: 1 >

1 1 1 1 1 + + · · · + + · · · > ln(1 + 1) + ln(1 + ) + · · · + ln(1 + ) = ln(1 + n). 2 3 n 2 n

n→∞

n=1

n=1

n→∞

∞ P n=1

1 n

je divergentný. Rad

(−1)n+1 n1 je rad so striedavými znamienkami a podľa Leibnizovho kritéria je konvergentný.

Pretože rad ∞ P

teda

t.j. x > ln(1 + x). Na základe toho platí

Teda lim sn = lim (1 + n) = ∞. To znamená, že harmonický rad ∞ P

1 , 1+x

∞ P n=1

(−1)n+1 n1 konverguje, ale jeho rad absolútnych hodnôt

(−1)n+1 n1 relatívne konvergentný.

∞ P n=1

1 n

diverguje, je rad

1.3

Cvičenia 1

1. Nájdite súčet nekonečného radu: ∞ P

1 ; n=1 (n + 1)(n + 2) ∞ P 2 ; b) n=1 n(n + 1)(n + 2) ∞ P 1 c) ; n=1 (5n − 4)(5n + 1) ∞ P 2n + 1 d) ; 2 2 n=1 n (n + 1) a)

[1/2] [1/2] [1/5] [1]

∞ P

1 ; n=1 (2n − 1)(2n + 1) ∞ P n f) ; 2 2 n=1 (2n − 1) (2n + 1) ∞ P 2 g) (−1)n+1 ( )n ; 3 n=1 ∞ P 5 h) (−1)n ( )n . 7 n=1 e)

[0, 5] [1/8] [2/5] [−5/12]

2. Pomocou d’Alembertovho kritéria zistite konvergenciu radov: ∞ n P ; n n=1 2 ∞ (n!)2 P b) ; n=1 (2n)! ∞ n! P c) ; n n=1 10

a)

[Konverguje] [Konverguje] [Diverguje]

∞ (−1)n n P ; n=1 (n + 1)! ∞ n! P e) . n n=1 n ∞ n5 P f) . n n=1 2

d)

[Konverguje] [Konverguje] [Konverguje]

3. Pomocou Cauchyho kritéria zistite konvergenciu radov: ∞ P

2n 2n−158 ) ; n=1 5n + 4 ∞ P n + 2 3n+7 b) ) ; ( n=1 2n − 1

a)

(

[Konverguje] [Konverguje]

∞ P

1 . n+1 n=1 (ln(n + 1)) ∞ 1 P n d) ( ). n n+1 n=1 3

c)

[Konverguje] [Konverguje]

4. Pomocou Cauchyho integrálneho kritéria zistite konvergenciu radov: ∞ P

2 ; n2 n=1 3 + √ ∞ e− n P √ ; b) n n=1 a)

[Konverguje] [Konverguje]

∞ P

3 ; n=10 n ln n ∞ P 1 d) 2 ; n=10 n ln n

c)

[Diverguje] [Konverguje]

5. Preskúmajte konvergenciu radov s kladnými členmi:

a)

∞ n3 P ; n n=1 e

[Konverguje]

b)

∞ 2n n! P ; n n=1 n

[Konverguje]

∞ 5n n! P ; n n=1 n ∞ 10n 2n! P ; d) n=1 (2n)!

c)

[Diverguje] [Konverguje]

6. Pomocou Leibnizovho kritéria rozhodnite o konvergencii radov: ∞ (−1)n−1 P ; n=1 2n − 1 ∞ (−1)n+1 (n + 3) P ; b) n+2 n=1

a)

[Rel. konv.] [Div.]

∞ (−1)n P √ ; n n=1 ∞ (−1)n P ; d) n=2 n ln n

c)

[Rel.konv.] [Rel.konv.]

1.4

Test 1

1. T1-1 (2b) Je správne tvrdenie: Ak lim an = 0, tak je rad n→∞

∞ P

an konvergentný.

n=1

(a) Nie.

(b) Áno. n P

2. T1-2 (2b) Je správne tvrdenie: Ak lim

n→∞ i=1

ai = s ∈ R, tak je rad

(a) Nie.

∞ P

an konvergentný.

n=1

(b) Áno. ∞ P

3. T1-3 (2b) Je správne tvrdenie: Ak rad gentné aj rady

∞ P

an ,

n=1

(an + bn ) je konvergentný, tak vždy sú konver-

n=1

∞ P

bn .

n=1

(a) Nie.

(b) Áno.

4. T1-4 (4b) Je súčet radov

∞ P

1 , n(n+1)

n=1

(a) Nie.

∞ P n=1


1 n 2

rovnaký? (b) Áno.

5. T1-5 (2b) Súčet radu

∞ P

(q)n =

1 1−q

n=1

a) pre q < 1 ,

c) pre |q| < 1 ,

b) pre q > 1 ,

6. T1-6 (3b) Je pravdivé tvrdenie: Ak ∀n ∈ N : an < bn a rad je vždy konvergentný aj rad

∞ P

d) nie. ∞ P

bn je konvergentný, tak

n=1

an ?

n=1

a) Nie.

b) Áno.

7. T1-7 (2b) Konvergenciu radu

∞ P n=1

1 n2

dokážeme pomocou:

a) D´Alembertovho limitného kritéria, b) Cauchyho limitného kritéria, Leibnizovho kritéria, d) Integrálneho kritéria. 8. T1-8 (1b) Pre konvergenciu

∞ P

(−1)n an , kde 0 < an ≤ an+1 je podmienka lim an = 0: n→∞

n=1

a) postačujúca,

b) iba nutná.

9. T1-9 (8b) Ktorý z uvedených radov je konvergentný (relatívne konvergentný): (a)

∞ P

(−1)n+1

n=1

(b)

∞ 2n n! P . n n=1 n

3 . n ln n

(c)

∞ n! P . n n=1 10

(d)

∞ (n!)2 P . n=2 (2n)!

c)

2

Postupnosti a rady funkcií

Cieľ Využitie mocninových radov pri hľadaní súčtov číselných radov. Aplikácia mocninových radov.

Otázky • Definujte postupnosť funkcií, rad funkcií. • Definujte konvergenciu mocninového radu a jeho polomer konvergencie. • Definujte Taylorov rad. Ako nájdete koeficienty Taylorovho radu.

Abel, N.H. (5.8.1802-6.4.1829) - nórsky matematik, ktorý prenikavo zasiahol do teórie nekonečných radov, eliptických funkcií, teórie grúp (Abelove grupy). Celý život bol chorý a zomrel v mladom veku ako 27 ročný.

2.1

Pojem bodovej a rovnomernej konvergencie Začneme štúdiom postupnosti funkcií.

Nech pre každé n ∈ N sú definované na neprázdnej množine A funkcie fn . Budeme hovoriť, že na A je definovaná postupnosť funkcií (fn )∞ n=1 . je postupnosť funkcií na A. Nech pre každé x ∈ A, je postupDefinícia 2.1 Nech (fn )∞ n=1 ∞ nosť (fn (x))n=1 konvergentná. Potom hovoríme, že postupnosť (fn )∞ n=1 konverguje bodovo na A (k funkcii f : A → R, f (x) := lim fn (x)). Zapisujemo to tiež: fn → f na A alebo n→∞

fn (x) → f (x) na A. Príklad 2.1 Dokážme, že postupnosť funkcií (xn )∞ n=1 konverguje na intervale h0, 1i. Riešenie. Pre x ∈ h0, 1) sa lim xn = 0 a pre x = 1 sa lim 1n = 1. Preto postupnosť (xn )∞ n=1 n→∞

n→∞

konverguje bodovo na intervale h0, 1i k funkcii f (x) = {

0, 1,

x ∈ h0, 1), x = 1.

Všimneme si, že postupnosť spojitých funkcií (xn )∞ n=1 konverguje bodovo k nespojitej funkcii. Poznámka 2.1 Nech (fn )∞ n=1 je postupnosť funkcií definovaných na A. Zápis fn → f na A znamená, že (∀x ∈ A)(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N, n > n0 ) : |fn (x) − f (x)| < ε. Definícia 2.2 Nech (fn )∞ n=1 je postupnosť funkcií na A a nech f : A → R je funkcia. Nech (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N, n > n0 )(∀x ∈ A) : |fn (x) − f (x)| < ε. Potom hovoríme, že postupnosť funkcií (fn )∞ n=1 konverguje na A rovnomerne (k funkcii f : A → R). Píšeme fn ⇒ f na A alebo fn (x) ⇒ f (x) na A. Teda ak postupnoť (fn )∞ n=1 konverguje na A rovnomerne k funkcii f , tak na A konverguje aj bodovo k funkcii f . Opačné tvrdenie neplatí. Veta 2.1 Postupnosť funkcií (fn )∞ n=1 konverguje na A rovnomerne (k nejakej funkcii f : A → R) práve vtedy, keď platí (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n, m ∈ N, m > n0 , n > n0 ) (∀x ∈ A) : |fn (x) − fm (x)| < ε. Definícia 2.3 Nech (fn )∞ n=1 je postupnosť funkcií na A. Potom výraz

∞ P

fn budeme nazý-

n=1

vať nekonečným radom funkcií (definovaných) na A. Funkciu fn nazývame n-tým členom tohto radu funkcií. Funkciu sn = f1 + f2 + · · · + fn =

n P k=1

funkcií.

fk nazývame n-tým čiastočným súčtom tohto radu

Ak postupnosť funkcií (sn )∞ n=1 konverguje na A bodovo k funkcii s : A → R, tak hovoríme, že ∞ ∞ P P rad funkcií fn konverguje na A bodovo k funkcii s, a že funkcia s je súčet radu fn na A. n=1

n=1

Hovoríme, že rad funkcií

∞ P

fn konverguje na A rovnomerne k funkcii s : A → R, keď

n=1

postupnosť čiastočných súčtov (sn )∞ n=1 konverguje na A rovnomerne k funkcii s. Veta 2.2 (Bolzano-Cauchyho kritérium) Rad funkcií

∞ P

fn konverguje rovnomerne na A

n=1

práve vtedy, keď (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n, m ∈ N, m > n > n0 )(∀x ∈ A) : |fn+1 (x) + fn+2 (x) + · · · + fm (x)| < ε. Definícia 2.4 Nech

∞ P

fn je rad funkcií na A. Nech

n=1

∞ P

an je číselný rad s nezápornými

n=1

členmi a nech pre každé x ∈ A a každé n ∈ N platí |fn (x)| ≤ an . Potom rad majorantným radom k radu

∞ P

∞ P

an nazývame

n=1

fn na A.

n=1

Veta 2.3 (Weierstrassovo majorantné kritérium) Nech ∞ P

an je konvergentný, majorantný rad k radu

n=1

a absolútne na A.

∞ P n=1

∞ P

fn je rad funkcií na A. Nech

n=1

fn . Potom rad

∞ P n=1

fn konverguje rovnomerne

2.2

Konvergencia mocninového radu Mocninovým radom nazývame rad tvaru ∞ X

an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + . . . ,

(1)

n=0

kde x0 , a0 , a1 , . . . , an , . . . sú reálne čísla (v komplexnej analýze sa uvažujú komplexné čísla) a n ∈ N ∪ {0}. Čísla an nazývame koeficienty a číslo x0 stred daného mocninového radu. Mocninový rad so stredom v bode x0 = 0 má tvar Veta 2.4 I. Ak konverguje rad

∞ P

∞ P

an xn .

n=0 n

an (x − x0 ) v bode c 6= x0 , tak konverguje (absolútne)

n=0

pre všetky x, pre ktoré platí |x − x0 | < |c − x0 | (t.j. konvergencia v intervale (x0 − r, x0 + r), kde r = |x0 − c|). ∞ P II. Ak diverguje rad an (x − x0 )n v bode x1 , tak diverguje v každom bode x, pre ktorý platí n=0

|x − x0 | > |x1 − x0 | (t.j. diverguje na množine R \ hx0 − ρ, x0 + ρi, kde ρ = |x1 − x0 |). Veta 2.5 Pre mocninový rad

∞ P

an (x − x0 )n nastáva práve jeden z týchto prípadov:

n=0

a) daný rad konverguje len v bode x = x0 , b) daný rad konverguje pre každé x ∈ R, c) existuje číslo ρ > 0 také, že na intervale (x0 − ρ, x0 + ρ) daný rad konverguje a na množine R \ hx0 − ρ, x0 + ρi daný rad diverguje. Ak nastane prípad c) číslo ρ je polomer konvergencie mocninového radu a interval (x0 − ρ, x0 + ρ) interval konvergencie daného radu. Ak nastane prípad b), tak polomerom konvergencie je ρ = ∞. Ak nastane prípad a), tak polomer konvergencie je ρ = 0. Pretože mocninový rad na intervale konvergencie konverguje absolútne môžeme použiť pre zisťovanie intervalu konvergencie kritéria pre absolútnu konvergenciu číselných radov. p Veta 2.6 Ak existuje lim n |an | = λ, resp. lim | an+1 | = λ, tak polomer konvergencie n→∞ n→∞ an ∞ P mocninového radu an (x − x0 )n je: n=1

• ρ = 1/λ pre 0 < λ < +∞; • ρ = +∞ pre λ = 0; • ρ = 0 pre λ = +∞. Príklad 2.2 Nájdime polomer konvergencie mocninového radu ∞ X (x − 1)n n=1

n3n

.

Riešenie. Interval konvergencie nájdeme podľa vety ??. Vypočítajme lim | n→∞

an+1 |. Máme: an

1

n 1 an+1 3n+1 (n+1) | = lim | | = lim = . lim | 1 n→∞ n→∞ 3(n + 1) n→∞ an 3 3n n Teda polomer kovergencie daného mocninového radu je ρ = 1/(1/3) = 3 a interval konvergencie je (−2, 4). Skúmajme ešte konvergenciu daného radu v krajných bodoch intervalu konvergencie. Hodnotou daného radu v čísle x = −2 je rad ∞ X (−3)n n=1

3n n

=

∞ X (−1)n n=1

n

.

Tento rad konverguje a teda aj pôvodný rad konverguje v čísle x = −2. Pre x = 4 dostávame ∞ X (3)n n=1

∞ X 1 = . n 3 n n n=1

Tento rad diverguje a teda v čísle x = 4 diverguje aj pôvodný rad. Teda daný mocninový rad konverguje na intervale h−2, 4).

2.3

Spojitosť, derivácia a integrál súčtu mocninového radu

Vyšetrujme rovnomernú konvergenciu mocninového radu. ∞ P Veta 2.7 Nech mocninový rad an (x−x0 )n má nenulový polomer konvergencie ρ. Potom n=0

tento rad rovnomerne konverguje na každom intervale hx0 − r, x0 + ri ⊂ (x0 − ρ, x0 + ρ). ∞ P

Veta 2.8 Nech ρ > 0 je polomer konvergencie mocninového radu an (x − x0 )n . Potom jeho súčet s : (x0 − ρ, x0 + ρ) → R je spojitá funkcia.

n=0

Veta 2.9 Mocninové rady a

∞ P n=0

∞ P

an (x − x0 )n ,

n=0 an (x n+1

n+1

− x0 )

∞ P

nan (x − x0 )n−1

n=1

majú rovnaký polomer konvergencie.

Veta 2.10 (Veta o derivovaní a integrovaní mocninového radu) Nech ρ > 0 je polomer ∞ ∞ P P konvergencie mocninového radu an (x − x0 )n a nech funkcia s(x) := an (x − x0 )n , n=1

x ∈ (x0 − ρ, x0 + ρ). Potom pre každé x ∈ (x0 − ρ, x0 + ρ) platí: ∞ P • s0 (x) = nan (x − x0 )n−1 , n=1

•

Rx x0

s(t)dt =

∞ P n=0

an (x n+1

− x0 )n+1 .

n=0

2.4

Taylorov rad

Ak existuje mocninový rad so stredom v bode x0 taký, že v nejakom okolí bodu x0 tento rad konverguje k funkcii f , hovoríme, že funkciu f môžeme rozvinúť v okolí bodu x0 do mocninového radu so stredom v bode x0 . Nech funkcia f má v čísle x0 derivácie všetkých rádov. Mocninový rad f (x0 ) +

f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n + · · · = 1! 2! n! =

∞ X f (n) (x0 ) n=0

n!

(x − x0 )n

(1)

(kde f (0) = f ) nazývame Taylorovým radom funkcie f v čísle x0 . Taylorov vzorec môžeme zapísať v tvare f (x) = Tn (x) + Rn (x), kde Tn (x) je n-tý čiastočný súčet Taylorovho radu. K tomu aby Taylorov rad konvergoval je nutné a stačí aby lim Rn (x) = 0. n→∞

Pri rozvoji funkcií do Taylorovho radu môžeme niekedy použiť známe rozvoje do Taylorovho radu niektorých funkcií. Príklad 2.3 Rozviňme funkciu f (x) = x ln(1+x2 ) do mocninového radu so stredom x0 = 0. Riešenie. Mocninový rad danej funkcie nájdeme pomocou radu funkcie ln(1 + x). Platí ln(1 + x) = x −

x2 x3 xn + − · · · + (−1)n−1 + . . . 2 3 n

pre −1 < x < 1. V poslednom rade, ak zameníme x za x2 , dostaneme ln(1 + x2 ) = x2 −

x4 x6 x2n + − · · · + (−1)n−1 + ..., 2 3 n

a teda x ln(1 + x2 ) = x3 −

x ∈ (−1, 1)

x5 x7 x2n+1 + − · · · + (−1)n−1 + ... 2 3 n

pre −1 < x < 1. Na nasledujúcom obrázku je uvedená aproximácia funkcie f (x) = sin x pomocou prvých členov (1, 3, 5, 7).

2.5

Cvičenia 2

1. Nájdite obor konvergencie daného funkcionálneho radu: xn−1 ; n=1 (n − 1)! ∞ (n − 1)!xn P b) ; nn n=1 a)

∞ P

[(−∞, ∞)] [(−e, e)]

c) d)

∞ P n=1 ∞ P n=1

(3 − x2 )n ; [

√ √ [(−2, − 2), ( 2, 2)]

x(x + n) n ] . n

[(−1, 1)]

2. Vypočítajte polomer konvergencie mocninového radu:

a) b)

∞ P n=1 ∞ P

(n − 1)5n−1 xn−1 ; n!xn ;

n=1 ∞ P

x2n−1 ; n=1 (2n − 1)!(2n + 1) ∞ xn 3n P √ ; d) 2n n=1 c)

[1/5] [0] [∞] √ [ 2/3]

∞ P (3n)! n x ; n n=1 n (2n)! ∞ (x − 1)n P ; f) n=1 2n − 1 ∞ P (x + 1)n g) ; n n=1 2 (n + 1)(n + 2) ∞ n! P (x − 2)n . h) n n=1 n

e)

[4e/27] [1] [2] [e]

3. Nájdite obor konvergencie mocninových radov: ∞ xn P ; n=1 n! ∞ (n − 1)! P b) xn ; nn n=1 ∞ P 2 2 c) 3n xn ;

a)

d)

n=1 ∞ P

nk n x ; n=1 n!

[(−∞, ∞)] [h−e, ei] [(−1/3, 1/3)] [(−∞, ∞)]

∞ 10n xn P √ ; n n=1 ∞ P n!xn ; f) n=1 (2n − 1)!! ∞ (n!)2 xn P g) . n=1 (2n)! ∞ P xn . h) n=1 2n − 1

e)

[h−0, 1; 0, 1)] [(−2, 2)] [(−4, 4)] [(−2, 2)]

4. Derivovaním alebo integrovaním člena po člene vhodného mocninového radu nájdite mocninový rad danej funkcie: ∞ P x2n+1 (−1)n a) arctg x; [ , h−1, 1i ] 2n + 1 n=0 ∞ (2n − 1)!! x2n+1 P b) arcsin x. [ x+ , h−1, 1i] (2n)!! 2n + 1 n=1 5. Derivovaním alebo integrovaním vhodného radu nájdite súčet daného radu: ∞ P a) (2n + 1)x2n ; [(1 + x2 )/(1 − x2 )2 ] b)

n=0 ∞ P n=1

nxn−1 ;

[1/(1 − x)2 ]

∞ (x − 3)2n P ; 2n n=1 ∞ nxn−1 P d) ; n=1 2n ∞ n(n + 1) P xn−1 ; e) 2 n=1

c)

[−(1/2) ln |1 − (x − 3)2 |]

6. Pomocou vhodného mocninového radu nájdite súčet daného radu: ∞ (n + 1)(n + 2) P a) : 2n n=0 ∞ 12n P . b) 3n n=1 4

[2/(2 − x)2 ] [1/(1 − x)3 ]

[16] [156/2323]

7. Pomocou vhodných mocninových radov vypočítajte dané číslo s chybou menšou ako 10−4 : a) sin 0, 5; [0, 4794] ◦ b) cos 10 ; [0, 9848] c) ln 2. [0, 6931]

2.6

Test 2

1. T2-1 (1b) Môže postupnosť spojitých funkcií bodovo konvergovať k nespojitej funkcii? a) Nie. b) Áno. 2. T2-2 (1b) Môže postupnosť spojitých funkcií rovnomerne konvergovať k nespojitej funkcii? a) Nie. b) Áno. 3. T2-3 (3b) Je pravdivé tvrdenie: Ak konverguje rad

∞ P

an (x − x0 )n v bode c 6= x0 , tak

n=0

tento rad konverguje pre všetky x , pre ktoré platí |x − x0 | ≥ |c − x0 |. a) Áno. b) Nie. 4. T2-4 (4b) Je pravdivé tvrdenie: Nech ρ je polomer konvergencie radu ∞ P an (x − x0 )n , potom je tiež polomerom konvergencie radu: n=0

a) b)

∞ P n=2 ∞ P

∞ a (x − x )n+1 P n 0 . n + 1 n=0 ∞ P d) an (x − x0 )n+2 .

an (x − x0 )n .

c)

nan (x − x0 )n−1 .

n=1

n=0

x2 x4 x6 5. T2-5 (4b) Ktorá funkcia má Taylorov rozvoj f (x) ≈ − + − + ··· 3! 5! 7! sin x − x , c) e−x − 1, d) cos x. a) sin x , b) x 6. T2-6 (2b) Pre mocninový rad

∞ P

an (x − x0 )n môže byť interval (0, 2)

n=0

a) oborom konvergencie s polomerom konvergencie ρ = 2, b) oborom konvergencie s polomerom konvergencie ρ = 1. 7. T2-7 (1b) Ak súčet mocninového radu

∞ P

an (x − x0 )n = f (x), tak

n=0

a) an =

f (n) (a) , n!

b) an = f (n) (a).

8. T2-8 (1b) Pre mocninový rad

∞ P

an (x − x0 )n množina (−2, −1) ∪ (1, 2):

n=0

a) môže byť oborom konvergencie,

b) nemôže byť oborom konvergencie.

3

Fourierove rady

Cieľ Osvojenie si niektorých základných znalostí o radoch funkcií potrebných v iných matematických predmetoch a aj v aplikáciách.

Otázky • Definujte Fourierov rad periodickej funkcie. • Ako môžete nahradiť pomocou Fourierovho radu neperiodickú funkciu? • Ktoré funkcie môžeme nahradiť pomocou sínusového, resp. kosínusového Fourierovho radu? • Definujte bodovú konvergenciu Fourierovho radu.

Joseph Fourier (1768-1830) Fourierova práca dala impulz pre rozvoj teórie funkcie reálnej premennej a pre rozvoj trigonometrických radov. Vo svojej práci dokázal, že každá funkcia, či už spojitá alebo nespojitá môže byť vyjadrená pomocou trigonometrického radu. Tento výsledok je doteraz využívaný v modernej analýze. Z-transformácia, ktorá je efektívnou metódou na riešenie diferenečných rovníc má mnohé podobné vlastnosti ako Fourierova a Laplaceova transformácia.

3.1

Základné pojmy 3

V praxi sa často stretávame s dejmi, ktoré sa pravidelne opakujú. Sú to tzv. periodické deje, ktoré možno popísať periodickými funkciami. Poznámka 3.1 Nech f : D → R je periodická funkcia s periódou T. Potom ∀a ∈ D platí a+T Z

ZT f (x) dx =

a

f (x) dx, 0

ak niektorý z integrálov existuje. Definícia 3.1 Nech f je po častiach spojitá, periodická funkcia s periódou T. Trigonometrický rad ∞ a0 X + (an cos nωx + bn sin nωx), (1) 2 n=1 s periódou T = (2π/ω), v ktorom 2 a0 = T

ZT

2 an = T

f (x) dx,

ZT f (x) cos nωx dx,

0

2 bn = T

0

ZT f (x) sin nωx dx,

(2)

0

kde n = 1, 2, . . . , nazývame Fourierov rad funkcie f (v reálnom tvare) a píšeme ∞

f (x) ≈

a0 X (an cos nωx + bn sin nωx). + 2 n=1

(3)

Čísla an , n = 0, 1, 2, . . . ; bn , n = 0, 1, 2, . . . nazývame Fourierove koeficienty. Poznámka 3.2 Nech n ∈ N . Funkciu Tn : R → R, n

a0 X Tn = + (an cos nωx + bn sin nωx) 2 n=1 nazývame trigonometrickým polynómom najviac n-tého stupňa s periódou T. Príklad 3.1 Hľadajme Fourierov rad periodickej funkcie s periódou T = 2π, ak na intervale periódy je f : h−π, π) → R, f (x) = x. Riešenie. V tomto prípade je 1 a0 = π

Zπ x dx = 0, −π

an =

1 π

Zπ x cos

nπx dx = · · · = 0, π

n = 1, 2, . . . ,

−π

1 bn = π

Zπ x sin −π

nπx 1 x 1 dx = {[− cos nx]π−π + 2 [sin nx]π−π } = π π n n

−2 −2 2(−1)n+1 cos nπ = (−1)n = , n = 1, 2, . . . . n n n Teda danú funkciu môžeme nahradiť pomocou jej Fourierovho radu =

x≈

∞ X 2(−1)n+1

n

n=1

sin nx.

Na nasledujúcom obrázku je aproximácia danej funkcie pre n = 9.

Veta 3.1 Nech f je párna, periodická, po častiach spojitá funkcia. Potom pre jej Fourierove koeficienty platí 4 an = T

ZT

2 f (x) cos nωx dx = l

Zl f (x) cos

nπx dx, l

n = 0, 1, 2, . . .

−l

0

bn = 0 n = 1, 2, . . . , kde T = 2l a ω = π/l. Jej Fourierov rad, nazývaný kosínusový rad, má tvar ∞

a0 X f (x) ≈ + an cos nωx. 2 n=1 Veta 3.2 Nech f je nepárna, periodická, po častiach spojitá funkcia. Potom pre jej Fourierove koeficienty platí an = 0, n = 0, 1, 2, . . . 4 bn = T

ZT

2 f (x) sin nωx dx = l

Zl f (x) sin

nπx dx, l

n = 1, 2, . . .

−l

0

kde T = 2l a ω = π/l. Jej Fourierov rad, nazývaný sínusový rad, má tvar f (x) ≈

∞ X

bn sin nωx.

n=1

Poznámka 3.3 V Príklade 3.1 daná funkcia bola nepárna a teda koeficienty a0 , an sme nemuseli počítať.

3.2

Fourierov rad neperiodickej funkcie

Ak chceme vyjadriť neperiodickú, po častiach spojitú funkciu f : ha, a + li → R pomocou Fourierovho radu, musíme ju najskôr periodicky predĺžiť. Definícia 3.2 Periodické predĺženie po častiach spojitej funkcie f : ha, a+li → R, a ∈ R sa nazýva funkcia % f (x), pre x ∈ (a, a + l), pre x ∈ (a + kl, a + (k + 1)l), fp (x) = → f (x − kl), & 21 [ lim+ f (x) + lim − f (x)], pre x = a + kl, k ∈ Z. x→a

x→(a+l)

Fourierov rad funkcie fp (už je periodická a po častiach spojitá) nazývame Fourierov rad funkcie f pre interval ha, a + li. Definícia 3.3 Párne predĺženie po častiach spojitej funkcie f : h0, li na interval h−l, li sa nazýva funkcia % f (x), pre x ∈ h0, li, fpp (x) = & f (−x), pre x ∈ h−l, 0i. Definícia 3.4 Nepárne predĺženie po častiach spojitej funkcie f : h0, li na interval h−l, li sa nazýva funkcia % f (x), pre x ∈ (0, li, pre x = 0, fnp (x) = → 0, & −f (−x), pre x ∈ h−l, 0). Príklad 3.2 Nájdime Fourierov sínusový rad funkcie f (x) = x pre interval h0, π). Riešenie. Nepárnym periodickým predĺžením danej funkcie je funkcia z príkladu ?? a teda sínusový rad danej funkcie pre interval h0, π) má tvar f (x) ≈

∞ X 2(−1)n+1 n=1

n

sin nx.

3.3

Konvergencia Fourierovho radu

Definícia 3.5 Nech f : ha, a + T i → R je po častiach spojitá funkcia. Normalizovaným periodickým pokračovaním funkcie f na intervale (−∞, ∞) nazývame periodickú funkciu f˜, ktorá je na intervale periodicity ha, a + T i definovaná predpisom % 21 [ lim+ f (x) + lim − f (x)], pre x = a, x→a x→(a+T ) f˜ = pre x ∈ (a, a + T ). & 12 [ lim+ f (t) + lim− f (t)], t→x

t→x

Veta 3.3 Nech f : ha, a + T i → R a jej derivácia f 0 sú po častiach spojité funkcie na intervale ha, a + T i. Potom Fourierov rad funkcie f pre interval ha, a + T i bodovo konverguje k f˜ v každom bode x ∈ R.

3.5

Test 3

1. T3-1 (2b) Nech f : D → R. Ak niektorý z integrálov

a+T R

f (x) dx,

a

pre každé a ∈ D je

a+T R

f (x) dx =

RT

RT

f (x) dx existuje, tak

0

f (x) dx, vtedy ak funkcia f je

0

a

a) periodická s periódou T . periódou T /2.

b) párna na D

c) párna na D

d) periodická s

2. T3-2 (3b) Má nepárna integrovateľná periodická funkcia f s periódou T = 2` Fourierov ∞ nπx a0 X + an cos ? rad tvaru 2 ` n=1 a) Nie.

b) Áno. ∞

nπx a0 X an cos + ? 3. T3-3 (2b) Má pre funkciu sin x : (0, `) → R, jej Fourierov rad tvar 2 ` n=1 a) Áno.

b) Nie.

∞ X π2 (−1)n 4. T3-4 (4b) Rad +4 cos nx je Fourierovým radom pre funkciu 3 n2 n=1

c) f (x) = x2 , x ∈ (−π, π), d) f (x) = x2 , x ∈ (0, 2).

a) f (x) = x, x ∈ (0, π), b) f (x) = x2 , x ∈ (0, π),

5. T3-5 (4b) Rad

∞ π 4 X cos(2n − 1)x − je Fourierovým radom pre funkciu 2 π n=1 (2n − 1)2

a) f (x) = x2 , x ∈ h−π, πi, b) f (x) = |x|, x ∈ (−π, π), c) f (x) = x, x ∈ (0, 1), 6. T3-6 (4b) Rad 2

∞ X n=1

(−1)n+1

 d) f (x) =

x, −x,

x ∈ (0, π), x ∈ (−π, 0)

sin nx je Fourierovým radom pre funkciu n

a) f (x) = x2 , x ∈ h0, πi, b) f (x) = |x|, x ∈ (−π, π), c) f (x) = x, x ∈ (−π, π),

 d) f (x) =

x, −x,

x ∈ (0, π), . x ∈ (−π, 0)

3.5

Test 3

1. T3-1 (2b) Nech f : D → R. Ak niektorý z integrálov

a+T R

f (x) dx,

a

pre každé a ∈ D je

a+T R

f (x) dx =

a

RT

RT

f (x) dx existuje, tak

0

f (x) dx, vtedy ak funkcia f je

0

a) periodická s periódou T . periódou T /2.

b) párna na D

c) párna na D

d) periodická s

2. T3-2 (3b) Má nepárna integrovateľná periodická funkcia f s periódou T = 2` Fourierov ∞ a0 X nπx rad tvaru + an cos ? 2 ` n=1 a) Nie.

b) Áno. ∞

3. T3-3 (2b) Má pre funkciu sin x : (0, `) → R, jej Fourierov rad tvar a) Áno.

a0 X nπx + an cos ? 2 ` n=1

b) Nie.

4. T3-4 (4b) Rad

∞ X π2 (−1)n +4 cos nx je Fourierovým radom pre funkciu 2 3 n n=1

c) f (x) = x2 , x ∈ (−π, π), d) f (x) = x2 , x ∈ (0, 2).

a) f (x) = x, x ∈ (0, π), b) f (x) = x2 , x ∈ (0, π),

∞ π 4 X cos(2n − 1)x 5. T3-5 (4b) Rad − je Fourierovým radom pre funkciu 2 π n=1 (2n − 1)2

a) f (x) = x2 , x ∈ h−π, πi, b) f (x) = |x|, x ∈ (−π, π),

6. T3-6 (4b) Rad 2

∞ X n=1

(−1)n+1

c) f (x) = x,  x ∈ (0, 1), x, x ∈ (0, π), d) f (x) = −x, x ∈ (−π, 0)

sin nx je Fourierovým radom pre funkciu n

a) f (x) = x2 , x ∈ h0, πi, b) f (x) = |x|, x ∈ (−π, π),

c) f (x) = x,  x ∈ (−π, π), x, x ∈ (0, π), d) f (x) = . −x, x ∈ (−π, 0)

4

Diferenciálny počet funkcie viacerých premenných

Cieľ Oboznámenie sa prevažne so základnými vlastnosťami funkcií dvoch a troch premenných. Porovnanie týchto vlastností s vlastnosťami funkcie jednej premennej. Osvojenie si niektorých základných znalostí o radoch funkcií potrebných v iných matematických predmetoch a aj v aplikáciách.

Otázky • Definujte v Euklidovskej metrike pojmy: okolie bodu, prstencové okolie bodu, hromadný bod množiny, otvorená množina, uzavretá množina, uzáver množiny. • Definujte parciálnu deriváciu funkcie viac premenných. • Vyslovte definíciu limity a spojitosti funkcie viac premenných v bode. • Popíšte postup pri výpočte derivácie funkcie danej implicitne. • Ako definujete diferencovateľnosť funkcie v danom bode. Čo rozumiete pod pojmom úplný diferenciál funkcie viac premenných? • Ako vypočítate diferenciál druhého rádu funkcie dvoch premenných? • Ako nájdete dotyčnicu a normálu v danom bode ku krivke danej implicitne rovnicou F ( x, y ) = 0 ? • Ako nájdete dotykovú rovinu v danom bode ku ploche danej implicitne rovnicou F ( x, y, z ) = 0 ? • Ako definujete lokálne extrémy funkcie viac premenných? Uveďte nutné a postačujúce podmienky ich existencie. • Uveďte postup pri výpočte viazaných extrémov. • Ako je definovaná derivácia funkcie v smere vektora? • Čo rozumiete pod pojmom gradient funkcie troch premenných? • Ako vypočítate divergenciu a rotáciu vektorovej funkcie?

Cauchy, A. L. (21.8.1789-23.5.1857) Spolu s Gaussom, Abelom a Bolzanom patrí k vedúcim matematikom, priekopníkom nového smeru charakterizovaného úsilím o presnosť matematických pojmov a úvah v diferenciálnom a integrálnom počte v podobe, akú majú doteraz. Cauchy sa zaslúžil o vybudovanie exaktnej teórie nekonečných radov. Zaviedol pojem polomeru konvergencie mocninového radu. Formuloval základné vety o existencii riešení diferenciálnych rovníc. Jeho matematické práce znamenali podstatný prínos a tvorili bázu pre ďalší rozvoj matematiky.

4.1 4.1.1

Euklidovský priestor Vektorové priestory

V lineárnej algebre sme sa zoznámili s pojmom usporiadanej n-tice reálnych čísel, ktorú budeme označovať x = (x1 , . . . , xn ), kde xi ∈ R pre i = 1, 2, . . . , n. Množinu všetkých n-tíc reálnych čísel budeme označovať Rn , teda Rn = {(x1 , . . . , xn )|xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n}. Nech x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ), α ∈ R, (x + y) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) a αx = (αx1 , . . . , αxn ) tak, že x + y ∈ Rn , αx ∈ Rn . Pre takto definované operácie + a · v Lineárnej algebre sme ukázali, že usporiadaná trojica (Rn , +, ·) je lineárny vektorový priestor nad R. Prvky z Rn nazývame vektory a prvky z R skaláry. Na množine Rn je definovaný skalárny súčin vektorov nasledujúcim spôsobom. Ak x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn , tak skalárnym súčinom vektorov x a y nazývame číslo x·y =

n X

xi yi .

(1)

i=1

Používa sa aj označenie (x, y) alebo hx, yi. Množinu všetkých reálnych spojitých funkcií na ha, bi budeme označovať C(a, b) = C(ha, bi, R). Ak f ∈ C(a, b), g ∈ C(a, b), α ∈ R a (f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x) pre x ∈ ha, bi, tak (C(ha, bi, R), +, ·) je lineárny vektorový priestor nad R. Skalárnym súčinom hf, gi nazývame číslo Z b hf, gi = f (x)g(x)dx. (2) a n

Nech u, v, w ∈ R , resp. C(a, b) a k ∈ R, tak skalárny súčin definovaný vzťahmi (1),(2) má nasledujúce vlastnosti: u·v = (u + v) · w = k(u · v) = u·u ≥ 4.1.2

v · u, u · w + v · w, (ku · v), 0, u · u = 0 ⇔ u = 0.

Metrické priestory

Každej dvojici x, y množiny reálnych čísel R môžeme priradiť reálne číslo d(x, y) := |x − y|, ktoré nazývame vzdialenosť bodu x od bodu y. Pomocou vzdialenosti množina R je vybavená (topologickou) štruktúrou (je definované okolie, otvorená množina – pozri Matematická analýza I), ktorá dovoľuje definovať limitu a spojitosť funkcie. Takouto štruktúrou však možno vybaviť ľubovoľnú neprázdnu množinu, ak pre každú dvojicu jej prvkov (bodov) je definovaná ich vzdialenosť. Pojmom metriky na danej množine chceme vystihnúť čo najvšeobecnejšie vzdialenosť objektov, ktoré patria do danej množiny. Definícia 4.1 Nech X je neprázdna množina a zobrazenie ρ : X × X → R má tieto vlastnosti: Pre každé x, y, z ∈ X platí 1. ρ(x, y) ≥ 0 a ρ(x, y) = 0 práve vtedy, keď x = y,

2. ρ(x, y) = ρ(y, x), 3. ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z), tzv. trojuholníková nerovnosť. Potom hovoríme, že množina X je metrický priestor s metrikou ρ. Číslo ρ(x, y) nazývame vzdialenosťou bodov x a y. Množinu X s metrikou ρ nazývame metrickým priestorom a označujeme ho (X, ρ). Pre ľubovoľné body u1 , u2 , . . . , uk ∈ X, k ∈ N platí zovšeobecnená trojuholníková nerovnosť ρ(u1 , uk ) ≤ ρ(u1 , u2 ) + ρ(u2 , , u3 ) + · · · + ρ(uk−1 , uk ). Základným geometrickým pojmom, na ktorom spočíva tzv. všeobecná topológia (náuka o polohe a usporiadaní geometrických útvarov v priestore), je pojem blízkosti. Vo väčšine prípadov bude stačiť pojem blízkosti odvodený z metriky. Kde nemôže dôjsť k nedorozumeniu, budeme často označovať metrický priestor (X, ρ) samotným písmenom X. Môže sa stať, že na neprázdnej množine X je definovaných viac metrík. Napríklad ak X = R2 ρ1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | aj ρ2 (x, y) =

p (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2

sú metriky na množine X. Teda (X, ρ1 ) a (X, ρ2 ) sú metrické priestory a sú to rôzne metrické priestory, hoci majú tú istú základnú množinu. Keď A ⊂ X, hovoríme, že (A, ρ) je podpriestorom priestoru (X, ρ) alebo, že topologická štruktúra na množine A je zdedenou od (X, ρ). Ďalej uvedieme niektoré príklady metrických priestorov: Príklad 4.1 V množine všetkých reálnych čísel R definujeme metriku ρ1 vzťahom ρ1 (x, y) = |x − y|,

x, y ∈ R.

(3)

Príklad 4.2 Aritmetický n-rozmerný euklidovský priestor je množina Rn s metrikou ρ2 definovanou vzťahom v u n uX ρ2 (x, y) = t (xi − yi )2 , (4) i=1

kde x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn . Metrika ρ zadaná vzťahom (4) sa nazýva euklidovská metrika. Príklad 4.3 Označme µ(A) množinu všetkých ohraničených reálnych funkcií na množine A 6= 0. Metrika daná vzťahom ρ3 (f, g) = sup |f (t) − g(t)| t∈A je tzv. suprémová metrika. Ak A je neprázdna množina metrického priestoru (X, ρ) a x, y sú body v priestore (X, ρ), tak hovoríme, že reálne číslo d(A) = diam(A) = sup{ρ(x, y) : x, y ∈ A} je priemerom množiny A.

4.1.3

Základné metrické pojmy

Definícia 4.2 Nech (X, ρ) je metrický priestor. Nech a ∈ X, ε > 0. Potom množinu Oε (a) = {x ∈ X| ρ(x, a) < ε} nazývame okolím bodu a (otvorenou guľou) s polomerom ε alebo ε-okolím bodu a (pri metrike ˚ε (a) = Oε (a) \ {a} nazývame prstencovým okolím bodu a. ρ.) Množinu O Množinu Sε (a) = {x ∈ X| ρ(x, a) = ε}, kde 0 < ε < ∞ budeme nazývať sférou polomeru ε so stredom v bode a. Niekedy budeme písať iba O(a) ak veľkosť polomeru ε nebude podstatná.

Poznámka 4.1 Pri euklidovskej metrike je v R2 p ρ(x, a) = (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 < ε

(5)

a ε-okolím bodu a je otvorený kruh (t.j kruh bez ohraničujúcej kružnice) o polomere ε so stredom v bode a = (a1 , a2 ). Ak použijeme nasledujúcu metriku ρmax (x, a) = max{|x1 − a1 |, |x2 − a2 |} < ε, tzv. kubickú metriku, potom ε-okolím bodu a = (a1 , a2 ) bude vnútro štvorca so stredom v bode a = (a1 , a2 ) a uhlopriečkami rovnobežnými so súradnicovými osami. Definícia 4.3 Nech P je metrický priestor a množina M ⊂ P , a ∈ P . 1. Bod a sa nazýva vnútorný bod množiny M , ak existuje okolie O(a) ⊂ M . Množinu všetkých vnútorných bodov nazývame vnútrom množiny M a označujeme ho M 0 . 2. Bod a budeme nazývať vonkajší bod množiny M , vtedy ak existuje také okolie O(a), že O(a) ∩ M = ∅. 3. Bod a sa nazýva hraničný bod množiny M , ak každé okolie O(a) obsahuje bod množiny M , aj bod, ktorý do M nepatrí. Množina všetkých hraničných bodov množiny M sa nazýva hranica množiny M . 4. Bod a sa nazýva bod uzáveru množiny M , ak každé okolie O(a) má s M neprázdny prienik. Množina všetkých bodov uzáveru množiny M sa nazýva uzáver množiny M ; ¯. označuje sa M

¯ , ak je vnútorným bodom množiny M alebo hraničným bodom Je zrejmé, že bod patrí do M množiny M . ¯ môžeme rozdeliť do dvoch skupín: Body z M a) Každé okolie bodu a obsahuje aspoň jeden bod z M rôzny od bodu a (potom nutne každé okolie bodu a má s množinou M nekonečne mnoho spoločných bodov). V tomto prípade sa bod a nazýva hromadný bod množiny M . Hromadný bod nemusí byť bodom množiny M . b) Existuje okolie O(a) bodu a také, že O(a) ∩ M = {a}. Bod a sa nazýva izolovaný bod množiny M a a ∈ M . Poznámka 4.2 Vzhľadom na definíciu hromadného bodu použitú v Matematickej analýze I, ak M ⊂ R, tak môže byť hromadným bodom množiny M aj −∞, resp. +∞. Definícia 4.4 Množina M ⊂ P sa nazýva otvorená v priestore P , ak M = M o . Množina ¯ = M. M sa nazýva uzavretá v priestore P , ak M Teda otvorená množina je taká množina, ktorej všetky body sú vnútorné. Uzavretá je taká množina, ku ktorej patria všetky jej hromadné body (ak existujú). Množinu všetkých bodov x = (x1 , . . . , xn ) priestoru Rn , ktorých súradnice spĺňajú nerovnosti ai ≤ xi ≤ bi , kde i = 1, 2, . . . , n, budeme nazývať uzavretým intervalom v priestore Rn a budeme ho označovať J = ha1 , b1 i × ha2 , b2 i × · · · × han , bn i. Majme otvorenú množinu A bodov priestoru Rn . Zvoľme si k ∈ N od seba navzájom rôznych bodov M1 , M2 , . . . Mk . Utvorme úsečky M1 M2 , M2 M3 , . . . , Mk−1 Mk . Dostaneme tak lomenú čiaru, ktorá spája body M1 Mk . Ak každé dva body množiny A ⊂ Rn môžeme spojiť lomenou čiarou, ktorá celá leží v množine A, budeme množinu A nazývať oblasťou. 4.1.4

Konvergencia postupnosti v priestore

Pojem limity postupnosti v metrickom priestore definujeme podobne ako pri postupnostiach reálnych čísel. Definícia 4.5 Nech (pn )∞ n=1 je postupnosť bodov v priestore (P, ρ). Hovoríme, že postupnosť ∞ (pn )n=1 má limitu p ∈ P , ak k ľubovoľnému okoliu O(p) existuje n0 ∈ N také, že pre všetky n ∈ N , n > n0 je pn ∈ O(p). Píšeme pn → p alebo lim pn = p v (P, ρ). n→∞

Poznámka 4.3 Pomocou metriky ρ a už známeho pojmu limity postupnosti čísel môžeme túto definíciu vyjadriť takto: pn → p

v

(P, ρ) ⇔ lim ρ(pn , p) = 0. n→∞

Konvergencia postupnosti v metrickom priestore má podobné vlastnosti ako konvergencia číselných postupnosti. Veta 4.1 Konvergencia postupnosti v metrickom priestore P má tieto vlastnosti: 1. Postupnosť (pn )∞ n=1 má najviac jednu limitu. 2. Ak pn → p, tak pre ľubovoľnú vybranú postupnosť (pnk )∞ k=1 platí pnk → p. 3. Ak postupnosť (pn )∞ n=1 konverguje, tak je ohraničená (t. j. je ohraničená množina členov tejto postupnosti). Naviac, ak P je normovaný lineárny priestor, platí: 4. Ak un → u, vn → v, tak un + vn → u + v. 5. Ak un → u, αn → α, ((αn )∞ n=1 je postupnosť čísel), tak αn un → αu. Ak P je lineárny priestor so skalárnym súčinom, platí: 6. Ak un → u, vn → v, tak un · vn → u · v. Veta 4.2 Množina M je uzavretá v priestore P práve vtedy, keď každá konvergentná postupnosť bodov z M má limitu z M . O konvergencii v Rm hovorí táto veta: Veta 4.3 Nech pn = (x1n , x2n , . . . , xmn ), n = 1, 2, . . . , p = (x1 , . . . , xm ). Potom pn → p v Rm práve vtedy, keď lim xin = xi pre i = 1, 2, . . . m n→∞

(tzv. konvergencia po súradniciach v Rm ). Definícia 4.6 Nech (P, ρ) je metrický priestor. Hovoríme, že postupnosť (pn )∞ n=1 bodov z P je cauchyovská v (P, ρ), ak k ľubovoľnému ε > 0 existuje n0 ∈ N také, že pre všetky n, m ∈ N , n ≥ n0 , m ≥ n0 , platí ρ(pn , pm ) < ε.

Pre cauchyovské postupnosti platí: a) Každá konvergentná postupnosť je cauchyovská. b) Každá cauchyovská postupnosť je ohraničená. c) Ak niektorá vybraná postupnosť z danej cauchyovskej postupnosti konverguje, tak aj daná postupnosť konverguje a majú rovnakú limitu. Definícia 4.7 Metrický priestor P sa nazýva úplný, ak každá cauchyovská postupnosť v P konverguje v P . Veta 4.4 Euklidovský priestor Rn (n ≥ 1) je úplný.

4.2 4.2.1

Limita a spojitosť funkcie Reálne funkcie v Rn

V tejto kapitole sa budeme zaoberať funkciami (zobrazeniami) F : A → B, kde A ⊂ Rm a B ⊂ Rn a množiny A, B budú mať nejakú štruktúru. Budeme pracovať so štruktúrou generovanou metrikami na A a B (F : (A, ρ1 ) → (B, ρ2 )). Príklad 4.4 Povrch S kvádra, ktorého strany sú a, b, c je určený vzorcom S = 2(ab+bc+ac), a > 0, b > 0, c > 0. Môžeme povedať, že S je funkciou troch premenných: S = S(a, b, c). Ak A = {(a, b, c) ∈ R3 | a > 0, b > 0, c > 0}, tak S : A → R. Príklad 4.5 Uvažujme funkciu f : R ⊃ A → R2 , f (t) = (2 cos t, 2 sin t) = (x, y), kde A je uzavretý interval h0, 2πi. Body (2 cos t, 2 sin t), t ∈ h0, 2π) vyplnia pri znázornení v pravouhlej súradnicovej sústave kružnicu. Príklad 4.6 Nech : R2 ⊃ A → R3 , kde A = {(u, v) ∈ R2 |u2 + v 2 ≤ 1} a f (u, v) = (u, v, u2 + v 2 ) = (x, y, z). Táto funkcia zobrazuje jednotkový kruh A do R3 . Obrazy spĺňajú podmienku z = x2 + y 2 , teda ležia na rotačnom paraboloide. Každej funkcii f : A → R, A ⊂ Rn , môžeme priradiť graf, ktorý spravidla definujeme takto: graf f = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 | (x1 , . . . , xn ) ∈ A, xn+1 = f (x1 , . . . , xn )}. 4.2.2

Limita a spojitosť funkcie

V tomto článku sa budeme zaoberať limitou a spojitosťou funkcie f : Rm ⊃ A → B ⊂ Rn . Definícia 4.8 Hovoríme, že funkcia f : Rm ⊃ A → Rn , je spojitá v bode a ∈ A, ak pre každé Oε (f (a)) existuje Oδ (a) také, že f (Oδ (a) ∩ A ) ⊂ Oε (f (a)). Poznámka 4.4 Definíciu spojitosti funkcie f v bode a môžeme vysloviť aj pomocou metriky: Funkcia f je spojitá v bode a, ak a ∈ D(f ) a k ľubovoľnému ε > 0 existuje δ > 0 také, že pre všetky p ∈ D(f ), ρ(p, a) < δ platí ρ(f (p), f (a)) < ε (presnejšie by sme mali uviesť ρ1 (p, a) < δ platí ρ2 (f (p), f (a)) < ε, kde ρ1 je metrika v priestore A ⊂ Rm a ρ2 je metrika v priestore Rn ). Pretože v ďalšom texte budeme väčšinou používať iba euklidovskú metriku, nebudeme ju kvôli stručnosti zápisu v odpovedajúcich priestoroch špecifikovať. V prípadoch, kde by mohlo dôjsť k nejasnostiam danú metriku uvedieme explicitne. Poznámka 4.5 Ak a je izolovaný bod D(f ), tak f je spojitá v bode a. Definícia 4.9 Nech M ⊂ A a funkcia f : Rm ⊃ A → Rn je spojitá v každom bode a ∈ M . Potom hovoríme, že funkcia f : A → Rn je spojitá na množine M . Ak funkcia f : A → Rn je spojitá v každom bode a ∈ A, tak hovoríme, že f : A → Rn je spojitá funkcia. Veta 4.5 Funkcia f je spojitá v bode a ∈ D(f ) práve vtedy, keď pre každú postupnosť (pk )∞ k=1 bodov z D(f ) platí pk → a ⇒ f (pk ) → f (a).

Príklad Nech funkcia f : R2 → R je definovaná takto:  4.7 xy pre(x, y) 6= (0, 0), 2 2 f (x, y) = x +y Je funkcia f spojitá v bode (0, 0)? 0 pre(x, y) = (0, 0). Riešenie. Vyšetrujme spojitosť v bode O = (0, 0). Vzhľadom na Vetu ?? stačí ukázať, že existuje postupnosť bodov (an )∞ n=1 taká, že an → (0, 0) a f (an ) → b 6= 0. Uvažujme postupnosť 1 1 ∞ bodov ( n , n )n=1 , ktorá konverguje k bodu O = (0, 0). Pre zodpovedajúcu postupnosť funkčných hodnôt platí     1 1 1 1 1 1 1 nn f , = 1 teda f , → 6= f (0, 0). 1 , n n n n 2 + n2 n2 Vzhľadom na Vetu ?? je funkcia f nespojitá v bode O = (0, 0). Veta 4.6 Ak funkcie f : Rm ⊃ A → R, g : Rm ⊃ A → R sú spojité v bode a ∈ A, sú f v bode a spojité aj funkcie f + g, f · g, |f | a funkcia (pokiaľ g(a) 6= 0). g Veta 4.7 Nech f = (f1 , . . . , fm ) : A → Rn , A ⊂ Rm . Potom funkcia f je spojitá v bode a ∈ A práve vtedy, keď sú v bode a spojité všetky zložky fi , i = 1, . . . , m. Definícia 4.10 Funkciu f : Rn ⊃ A → R nazývame rovnomerne spojitá na množine M , ak pre každé ε > 0 existuje δ > 0 také, že pre každé x, y ∈ M spĺňajúce nerovnosť ρ(x, y) < δ platí ρ(f (x), f (y)) < ε. Definícia 4.11 Nech f : Rm ⊃ A → Rn a a ∈ Rm je hromadným bodom množiny A. Potom hovoríme, že funkcia f : A → Rn má v bode a limitu b ∈ Rn , ak pre každé Oε (b) ˚δ (a) také, že f (O ˚δ (a) ∩ A) ⊂ Oε (b). Píšeme lim f (x) = b. existuje O x→a

Poznámka 4.6 Poslednú definíciu pomocou metriky môžeme vysloviť aj takto: lim f (x) = b x→a

práve vtedy, keď a je hromadný bod definičného oboru D(f ) a k ľubovoľnému ε > 0 existuje δ > 0 také, že pre každé x ∈ D(f ), 0 < ρ(x, a) < δ platí ρ(f (x), b) < ε. Podobne ako pri definícii spojitosti, môžeme pojem limity funkcie vyjadriť pomocou konvergencie postupnosti. Veta 4.8 Nech a je hromadný bod D(f ). Potom lim f (p) = b práve vtedy, keď pre každú p→a

postupnosť (pk )∞ k=1 platí pk ∈ D(f ), pk 6= a, pk → a, potom f (pk ) → b. Definícia 4.12 Ak má zúženie g = f|M v bode a limitu b, hovoríme, že b je limita funkcie f v bode a vzhľadom na množinu M a píšeme lim f (x) = b. x→a x∈M

Poznámka 4.7 Ak existuje lim f (x) = b, tak pre každú podmnožinu M ⊂ D(f ), ktorej x→a hromadným bodom je bod a, platí lim f (x) = b. x→a x∈M

Z poznámky ?? vyplýva: ak pre dve množiny M ⊂ D(f ), L ⊂ D(f ) sú lim f (x),

lim f (x)

x→a x∈M

x→a x∈L

rôzne, potom lim f (x) neexistuje. x→a

Príklad 4.8 Nájdime lim x→0 y→0

x2

xy . + y2

Riešenie. Nech M = {(x, y) ∈ R2 | y = kx, x ∈ R}, k 6= 0 sú priamky prechádzajúce bodom O = (0, 0); a nech h je zúženie funkcie f na množinu M . Potom h(x, y) =

kx2 k = . 2 2 x (1 + k ) 1 + k2 lim h(x, y) pre hodnoty k = 0, k = 1, teda

Vzhľadom na poznámku ?? dostávame rôzne

x→0 y→0

funkcia f (x, y) nemá v bode O = (0, 0) limitu. Nasledujúce vety sú analogické ako pri funkcii jednej premennej. Veta 4.9 Nech f : Rm ⊃ A → Rn a a ∈ A je hromadný bod množiny A. Funkcia f : A → Rn je spojitá v bode a práve vtedy, keď lim f (x) = f (a). x→a

Veta 4.10 Funkcia f : Rm ⊃ A → Rn má v bode a ∈ Rm najviac jednu limitu. Veta 4.11 Nech f : Rm ⊃ A → Rn , f = (f1 , . . . , fn ) a a ∈ Rm . Potom lim f (x) = b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn práve vtedy, keď lim fk (x) = bk ∈ R pre k = 1, . . . , n.

x→a

x→a

Veta 4.12 Nech g : Rm ⊃ A → B ⊂ Rn a f : Rn ⊃ B → C ⊂ Rk . Nech lim g(x) = b a x→a

lim f (u) = c. Nech je splnená jedna z podmienok:

u→b

1. Funkcia f : B → C je spojitá v bode b. ˚ 2. Pre každé x ∈ O(a) je g(x) 6= b. Potom lim f (g(x)) = lim f (u) = c. x→a

u→b

Poznámka 4.8 Ak funkcia f : B → C je spojitá v bode b a bod b je hromadným bodom množiny B, tak lim f (g(x)) = f (lim g(x)) = f (b) = c. x→a

x→a

Veta 4.13 Nech f : Rm ⊃ A → R a g : Rm ⊃ A → R a nech existujú limity lim f (x) = x→a

b ∈ R, lim g(x) = c ∈ R. Potom platí x→a

lim [f (x) + g(x)] = b + c,

x→a

lim kf (x) = kb,

x→a

lim f (x)g(x) = bc,

x→a

f (x) b = , x→a g(x) c lim

ak je c 6= 0.

Tvrdenia uvedené v poslednej vete platia aj pre nevlastné limity, ak výrazy b + c, kb, majú zmysel v R∗ .

b c

Veta 4.14 Nech f : Rn ⊃ A → R je spojitá funkcia a A je kompaktná množina (t.j. uzavretá a ohrabičená). Potom platí: a) Funkcia f je na A ohraničená. b) Funkcia f nadobúda na množine A maximálnu aj minimálnu hodnotu. c) Funkcia f je na množine A rovnomerne spojitá.

4.3 4.3.1

Parciálne derivácie Parciálne funkcie a parciálne derivácie prvého rádu

Nech funkcia f : Rn ⊃ A → R je definovaná na istom okolí bodu a = (a1 , . . . , an ). Touto funkciou sú definované zároveň funkcie jednej premennej gi : B → R gi (xi ) = f (a1 , . . . , ai−1 , xi , ai+1 , . . . , an ),

i = 1, . . . , n.

Funkcia gi (xi ) je funkcia jednej premennej definovaná na istom okolí bodu ai ∈ R a nazývame ju parciálna funkcia funkcie f premennej xi . Ak existuje vlastná derivácia funkcie gi v bode ai , t. j. ak existuje konečná limita lim

xi →ai

f (a1 , . . . , ai−1 , xi , ai+1 , . . . , an ) − f (a1 , . . . , ai−1 , ai , ai+1 , . . . , an ) = g 0 (ai ), xi − ai

potom číslo g 0 (ai ) nazývame parciálnou deriváciou prvého rádu funkcie f v bode a podľa ∂f (a) ∂f premennej xi a označujeme buď alebo (a), fx0 i (a), fxi (a), f·i (a). ∂xi ∂xi Pre funkciu dvoch premenných, kde a = (x0 , y0 ) máme ∂f (x0 , y0 ) = ∂x ∂f (x0 , y0 ) = ∂y

f (x, y0 ) − f (x0 , y0 ) , x→x0 x − x0 f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) lim . y→y0 y − y0 lim

Pri počítaní parciálnych derivácii danej funkcie postupujeme tak, ako v prípade funkcie jednej premennej. Totiž pri počítaní parciálnej derivácie funkcie f (x1 , . . . , xn ), napríklad podľa xi , považujeme túto funkciu len za funkciu premennej xi . Ostatné premenné považujeme za konštanty.

Príklad 4.9 Nech f : R3 → R, f (x, y, z) = x cos(y + z) + 2xy . Vypočítajme Riešenie. Pri výpočte

∂f považujeme y, z za konštanty, teda ∂x ∂f = 1 · cos(y + z) + 2xy y ln 2. ∂x

∂f ∂f , . ∂x ∂z

Pri výpočte

∂f považujeme x, y za konštanty, teda ∂z ∂f = −x sin(y + z). ∂z

4.3.2

Geometrický význam parciálnych derivácií funkcie f : R2 ⊃ A → R

Nech f : R2 ⊃ A → R, z = f (x, y). Nech bod M = (a, b) ∈ A. Funkcie g1 (x) = f (x, b), g2 (y) = f (a, y) sú parciálne funkcie k funkcii f : A → R. Vektor u = (1, 0, fx (a, b)) je smerový vektor dotyčnice ku grafu funkcie g1 v bode T = (a, b, f (a, b)). Vektor v = (0, 1, fy (a, b)) je smerový vektor dotyčnice ku grafu funkcie g2 v bode T = (a, b, f (a, b)). Preto vektor n = u × v je normálový vektor dotykovej roviny α ku ploche z = f (x, y) v bode T . Teda n = (−fx (a, b), −fy (a, b), 1). Ak X = (x, y, z) je ľubovoľný bod dotykovej roviny, potom (X − T ) · n = 0. To znamená, že − (x − a)fx (a, b) − (y − b)fy (a, b) + (z − f (a, b)) = 0 (1) je rovnica dotykovej roviny ku ploche f v bode T a y−b z − f (a, b) x−a = = −fx (a, b) −fy (a, b) 1 je rovnica normály.

Príklad 4.10 Nech f : R2 → R, f (x, y) = 2x2 + 3y 2 a M = (a, b) = (1, 2). Nájdime rovnicu dotykovej roviny ku ploche f v bode T = (1, 2, 14). Riešenie. Normálový vektor dotykovej roviny α v bode T (1, 2, 14) je n = (−4, −12, 1). Teda −(x − 1)(−4) − (y − 2)(−12) + (z − 14) = 0 je rovnica dotykovej roviny. 4.3.3

Lagrangeova veta o prírastku funkcie. Totálny diferenciál

Veta 4.15 (Lagrangeova veta) Nech funkcia f : Rn ⊃ A → R je definovaná na istom okolí bodu a = (a1 , . . . , an ) ∈ A a nech na tomto okolí má parciálnu deriváciu podľa každej svojej premennej. Nech b = (b1 , . . . , bn ) ∈ A je ľubovoľný bod tohto okolia. Potom v tomto okolí existujú body P1 = (ξ1 , b2 , . . . , bn ), P2 = (a1 , ξ2 , . . . bn ), . . . , Pn = (a1 , a2 , . . . , ξn ) také, že f (b) − f (a) = fx1 (P1 )(b1 − a1 ) + fx2 (P2 )(b2 − a2 ) + · · · + fxn (Pn )(bn − an ) a ρ(Pi , a) < ρ(a, b), i = 1, . . . , n.

Podobne ako pre funkciu f : R ⊃ A → R môžeme definovať diferencovateľnosť funkcie f : Rn ⊃ A → R. Nech funkcia f : Rn ⊃ A → R je definovaná na istom okolí O(a), kde a = (a1 , . . . , an ) ∈ A. Hovoríme, že funkcia f je diferencovateľná v bode a, ak existujú také čísla Ki ∈ R, i = 1, . . . , n a funkcia w : Rn ⊃ A → R v bode a spojitá a taká, že lim ω(x) = ω(a) = 0 pričom x→a platí n X f (x) − f (a) = Ki (xi − ai ) + ω(x)ρ(x, a). (2) i=1

Funkciu

n P

Ki (xi − ai ) nazývame totálny (úplný) diferenciál funkcie

i=1

f : Rn ⊃ A → R v bode a ∈ A a označujeme ho df (a, x). Teda df (a, x) =

n X

Ki (xi − ai ).

(3)

i=1

Z definície diferencovateľnosti funkcie vyplývajú nasledujúce vety: Veta 4.16 Ak funkcia f : Rn ⊃ A → R je diferencovateľná v bode a ∈ A, tak je v tomto bode spojitá. Veta 4.17 Ak funkcia f : Rn ⊃ A → R je diferencovateľná v bode a, potom existujú parciálne derivácie ∂f∂x(a) , i = 1, . . . , n a pre čísla Ki vystupujúce v definícii úplného diferenciálu i platí ∂f (a) Ki = , i = 1, . . . , n. ∂xi Poznámka 4.9 Z Vety 4.18, vzhľadom na 3 pre f : Rn ⊃ A → R platí df (a, x) =

n X ∂f (a) i=1

∂xi

(xi − ai ).

(4)

Teraz uvedieme postačujúcu podmienku pre diferencovateľnosť funkcie v bode a. Veta 4.18 Ak v istom okolí O(a) existujú parciálne derivácie ∂f∂x(x) , i = 1, . . . , n pričom i n tieto derivácie sú spojité v bode a, tak funkcia f : R ⊃ A → R je diferencovateľná v bode a.

4.3.4

Parciálne derivácie zložených funkcií

Pre parciálne derivácie zloženej funkcie f (g1 (x1 , . . . , xm ), g2 (x1 , . . . , xm ), . . . , gn (x1 , . . . , xm )) platí Veta 4.19 Nech funkcie gi : Rm ⊃ A → B ⊂ R, ui = gi (x1 , . . . , xm ), i = 1, 2, . . . , n sú diferencovateľné v bode a = (a1 , . . . , am ) ∈ A . Nech funkcia f : Rn ⊃ B → R je diferencovateľná v bode b = (g1 (a), g2 (a), . . . , gn (a)) ∈ B. Potom zložená funkcia F : A → R, definovaná vzťahom F (x1 , . . . , xm ) = f (g1 (x1 , . . . , xm ), . . . , gn (x1 , . . . , xm )) je diferencovateľná v bode a. Potom pre parciálne derivácie funkcie F platí ∂f (b) ∂g1 (a) ∂f (b) ∂g2 (a) ∂f (b) ∂gn (a) ∂F (a) = + + ··· + , ∂xi ∂u1 ∂xi ∂u2 ∂xi ∂un ∂xi i = 1, . . . , m Poznámka 4.10 Nech F (x, y) = f (u, v) = f (g1 (x, y), g2 (x, y)), bod a = (x0 , y0 ), b = (u0 , v0 ) = (g1 (x0 , y0 ), g2 (x0 , y0 )). Potom ∂f (u0 , v0 ) ∂g1 (x0 , y0 ) ∂f (u0 , v0 ) ∂g2 (x0 , y0 ) ∂F (x0 , y0 ) = + , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂f (u0 , v0 ) ∂g1 (x0 , y0 ) ∂f (u0 , v0 ) ∂g2 (x0 , y0 ) ∂F (x0 , y0 ) = + . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Poznámka 4.11 Nech F (x) = f (u, v) = f (g1 (x), g2 (x)) a nech b = (u0 , v0 ) = (g1 (x0 ), g2 (x0 )). Potom dF (x0 ) ∂f (u0 , v0 ) dg1 (x0 ) ∂f (u0 , v0 ) dg2 (x0 ) = + . dx ∂u dx ∂v dx Ak ďalej g1 (x) = x, tak dF (x0 ) ∂f (u0 , v0 ) ∂f (u0 , v0 ) dg2 (x0 ) = + . dx ∂u ∂v dx Príklad 4.11 Nájdime

dz , dt

ak z = e5x−2y , kde x = t2 a y = t3 .

Riešenie. Na základe poslednej poznámky dostávame dz = 5e5x−2y (2t) + e5x−2y (−2)3t2 = dt 2 −2t3

= e5t

(10t − 6t2 ).

4.3.5

Parciálne derivácie vyššieho rádu

Nech funkcia f : Rn ⊃ A → R má v nejakom okolí bodu a = (a1 , . . . , an ) ∈ A parciálnu deriváciu fxi podľa i-tej premennej. Ak existuje derivácia funkcie fxi podľa j-tej premennej v bode a ∈ A, nazývame ju parciálnou deriváciou druhého rádu funkcie f v bode a podľa i-tej a j-tej premennej (v tomto poradí) a označujeme ju ∂ 2 f (a) ∂xi ∂xj

alebo fx00i xj (a),

alebo fxi xj (a) , alebo fij00 (a).

Ak i = j namiesto ∂ 2 f (a) ∂ 2 f (a) píšeme . ∂xi ∂xi ∂x2i Nech funkcia f : Rn ⊃ A → R má v okolí bodu a = (a1 , . . . , an ) ∈ A parciálnu deriváciu (k−1) (k−1) (k − 1)-ho rádu fi1 ...ik−1 , kde i1 , . . . , ik−1 ∈ {1, . . . , n}. Označme g = fi1 ...ik−1 . Ak funkcia g má v bode a ∈ A parciálnu deriváciu (prvého rádu) podľa ik -tej premennej, tak ju nazývame parciálnou deriváciou k-tého rádu funkcie f v bode a podľa premenných s indexami i1 , . . . , ik (v tomto poradí) a označujeme jedným z výrazov (k)

fi1 ...ik (a),

∂kf (a). ∂xi1 . . . ∂xik

Poznámka 4.12 Nech fij00 (x),fji00 (x) sú spojité v bode a ∈ A, potom platí fji00 (a) = fij00 (a) 4.3.6

Diferenciál vyššieho rádu. Taylorov vzorec

Definícia 4.13 Hovoríme, že funkcia f : Rn ⊃ A → R má v bode a = (a1 , . . . , an ) ∈ A diferenciál k-tého rádu, ak v istom okolí O(a) ⊂ A má funkcia f všetky parciálne derivácie (k − 1)-ho rádu a tieto derivácie sú diferencovateľné v bode a. Diferenciálom k-tého rádu funkcie f v bode a, pre bod x = (x1 , . . . , xn ) ∈ A rozumieme funkciu  k ∂ ∂ ∂ k d f (a, x) := (x1 − a1 ) + (x2 − a2 ) + · · · + (xn − an ) f (a). ∂x1 ∂x2 ∂xn Pod symbolom použitým v poslednej definícii rozumieme toto: formálne utvoríme k-tú ∂ ∂k mocninu výrazu v zátvorke a potom namiesto k-tých mocnín znakov napíšeme f (a). ∂xi ∂xki Veta 4.20 (Taylorova veta) Nech funkcia f : Rn ⊃ A → R je z C k+1 v okolí O(a) ⊂ A. Potom (∀x ∈ O(a))(∃θ ∈ (0, 1)) tak, že platí f (x) = d0 f (a, x) + kde

1 1 1 d f (a, x) + · · · + dk f (a, x) + Rk (x), 1! k!

 k+1 1 ∂ ∂ Rk (x) = (x1 − a1 ) + · · · + (xn − an ) f (a + θ(x − a)). (k + 1)! ∂x1 ∂xn

Pre funkciu z = f (x, y), pre a = (x0 , y0 ), x = (x0 + h1 , y0 + h2 ), platí   1 ∂f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) f (x0 + h1 , y0 + h2 ) = f (x0 , y0 ) + h1 + h2 + 1! ∂x ∂y   1 ∂ 2 f (x1 , y1 ) 2 ∂ 2 f (x1 , y1 ) ∂ 2 f (x1 , y1 ) 2 + h1 + 2 h1 h2 + h2 , 2! ∂x2 ∂y∂y ∂y 2 kde x1 = x0 + θh1 , y1 = y0 + θh2 , θ ∈ (0, 1).

4.4 4.4.1

Extrémy funkcie viac premenných Lokálne extrémy

Definícia 4.14 Nech funkcia f : Rn ⊃ A → R . Hovoríme, že funkcia f má v bode a ∈ A lokálne minimum, (lokálne maximum) ak existuje také okolie O(a) bodu a, že pre každé x ∈ O(a) ∩ A platí f (x) ≥ f (a) (f (x) ≤ f (a)). (1) ˚ ∩ A platí f (x) > f (a) (f (x) < f (a)), hovoríme, že funkcia f má v bode Ak pre každé x ∈ O(a) a ostré lokálne minimum (ostré lokálne maximum). Ak nerovnosť (1) platí pre všetky x ∈ A, tak hovoríme, že funkcia f má v bode a absolútne minimum (maximum). Veta 4.21 Nech funkcia f ∈ C 1 (O(a)) a má v bode a lokálny extrém. Potom i = 1, . . . , n. Definícia 4.15 Bod a nazývame stacionárnym bodom funkcie f , ak

∂f (a) = 0, ∂xi

∂f (a) = 0. ∂xi

Poznámka 4.12 Funkcia f môže mať lokálne extrémy iba v takých bodoch, v ktorých prvé parciálne derivácie funkcie f sú rovné nule alebo v bodoch, v ktorých nemá deriváciu z R. Existenciu a charakter lokálnych extrémov v stacionárnom bode a určíme z vlastnosti diferenciálu druhého rádu  2 ∂ ∂ ∂ 2 d f (a, x) = h1 + h2 + · · · + hn f (a) = ∂x1 ∂x2 ∂xn n X n X ∂ 2 f (a) = hi hj ; ∂xi ∂xj i=1 j=1

Nech aij =

hi = xi − ai ,

i = 1, . . . , n.

∂ 2 f (a) , potom druhý diferenciál je kvadratickou formou premenných hi : ∂xi ∂xj 2

d f (a, x) = Q(h1 , . . . , hn ) =

n X n X i=1 j=1

aij hi hj .

Tejto kvadratickej forme odpovedá symetrická matica  a11 , a12 , . . . , a1n  a12 , a22 , . . . , a2n (aij ) =   a1n , a2n , . . . , ann

   

Definícia 4.16 Hovoríme, že kvadratická forma Q(h1 , . . . , hn ) je kladne (záporne) definitná, ak Q(h1 , . . . , hn ) > 0 (Q(h1 , . . . , hn ) < 0) pre všetky (h1 , . . . , hn ) 6= (0, . . . , 0). Kvadratická forma sa nazýva indefinitná, ak nadobúda kladné aj záporné hodnoty. Veta 4.22 (Sylvestrovo kritérium) Kvadratická forma Q(h1 , . . . , hn ) je kladne definitná práve vtedy, ak všetky hlavné determinanty matice kvadratickej formy a11 , a12 , . . . , a1k a12 , a22 , . . . , a2k , 4k = a1k , a2k , . . . , akk k = 1, . . . , n sú kladné. Kvadratická forma je záporne definitná práve vtedy, ak (−1)k 4k > 0, k = 1, . . . , n. Veta 4.23 (Postačujúca podmienka pre existenciu lokálneho extrému) Nech funkcia f : R ⊃ A → R má v bode a ∈ A spojité parciálne derivácie druhého rádu a nech a je stacionárnym bodom funkcie f . Potom : n

1. Ak kvadratická forma Q je kladne definitná, tak funkcia f má v bode a lokálne minimum. 2. Ak kvadratická forma Q je záporne definitná, tak funkcia f má v bode a lokálne maximum. 3. Ak kvadratická forma Q je v bode a indefinitná, tak funkcia f nemá v bode a lokálny extrém. Príklad 4.12 Nájdime lokálne extrémy funkcie f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y. Riešenie. Vypočítame parciálne derivácie fx0 a fy0 a položíme ich rovné nule. Dostaneme fx0 ≡ 3x2 + 3y 2 − 15 = 0,

fy0 ≡ 6xy − 12 = 0.

Riešením danej sústavy dostaneme stacionárne body P1 = (1; 2) , P2 = (2; 1), P3 = (−1; −2), P4 = (−2; −1). V týchto bodoch môže mať funkcia f lokálne extrémy. Vypočítame parciálne derivácie druhého rádu. Platí 00 fxx = 6x,

00 00 = fyx = 6y, fxy

00 fyy = 6x.

Pri rozhodovaní o existencii a type lokálneho extrému použijeme tvrdenie poslednej vety 00 o postačujúcich podmienkach existencie lokálneho extrému. Vypočítame 41 (Pi ) = fxx (Pi ), 00 00 00 ˙ 42 (Pi ) = fxx (Pi )fyy (Pi ) − fxy (Pi ) pre i = 1, 2, 3, 4. Dostaneme • 42 (P1 ) = 36 − 144 < 0, t. j. v bode P1 neexistuje extrém; • 42 (P2 ) = 144 − 36 > 0, t. j. v bode P2 existuje extrém a pretože 41 (P2 ) = 12 > 0, v bode P2 funkcia f má lokálne minimum fmin = f (P1 ) = −28; • 42 (P3 ) = 36 − 144 < 0, t. j. v bode P3 neexistuje extrém; • 42 (P4 ) = 144 − 36 > 0, t. j. v bode P4 existuje extrém a pretože 41 (P4 ) = −12 < 0, v bode P4 funkcia f má lokálne maximum fmax = f (P4 ) = 28.

4.4.2

Implicitné funkcie

Budeme sa zaoberať množinami bodov z (x, y) ∈ R2 , ktoré vyhovujú rovnici F (x, y) = 0, kde F je daná funkcia dvoch premenných. Bude nás zaujímať aké vlastnosti funkcie F zaručujú, že rovnica F (x, y) = 0 definuje jednoznačne funkciu jednej reálnej premennej f : y = f (x) pre x z nejakej podmnožiny množiny R. Definícia 4.17 Nech a = (a1 , a2 ), O(a) ⊂ A ⊂ R2 a F : A → R a nech platí F (a1 , a2 ) = 0. Hovoríme, že v O(a) je rovnicou F (x, y) = 0 implicitne daná funkcia f : y = f (x), ak sú splnené tieto podmienky: 1. f je definovaná v O(a1 ), 2. pre každé x ∈ O(a1 ) je F (x, f (x)) = 0, 3. f (a1 ) = a2 , 4. f : O(a1 ) → O(a2 ). Veta 4.24 Nech A ⊂ R2 je otvorená množina a F : A → R, F ∈ C k (A), k ≥ 1, bod ∂F (a1 , a2 ) a = (a1 , a2 ) ∈ A, F (a1 , a2 ) = 0 a 6= 0. Potom existujú okolia O(a1 ), O(a2 ) také, že ∂y O(a1 ) × O(a2 ) ⊂ A a práve jedna funkcia f : O(a1 ) → O(a2 ) taká, že platí 1. F (x, f (x)) = 0 pre každé x ∈ O(a1 ), 2. f (a1 ) = a2 , 3. f ∈ C k (O(a1 )), 0

4. f (x) =

∂F (x,f (x)) ∂x − ∂F (x,f (x)) ∂y

, x ∈ O(a1 ).

Veta 4.25 Nech A ⊂ R3 je otvorená množina, F ∈ C k (A, R), (k ≥ 1) a nech pre nejaký ∂F (a1 , a2 , a3 ) bod (a1 , a2 , a3 ) ∈ A platí F (a1 , a2 , a3 ) = 0, 6= 0. Potom existujú také okolia ∂x3 O((a1 , a2 )), O(a3 ) a práve jedna funkcia f : O((a1 , a2 )) → O(a3 ) taká, že 1. F (x1 , x2 , f (x1 , x2 )) = 0 pre každé (x1 , x2 ) ∈ O((a1 , a2 )), 2. f (a1 , a2 ) = a3 , 3. f ∈ C k (O((a1 , a2 ))), ∂F (x1 ,x2 ,f (x1 ,x2 )) ∂f (x1 , x2 ) i = − ∂F (x1 ,x∂x , (x1 , x2 ) ∈ O((a1 , a2 )), i = 1, 2. 4. ,f (x1 ,x2 )) 2 ∂xi ∂x3

Poznámka 4.13 Nech funkcie f, F spĺňajú predpoklady vety 4.25. Potom rovnica dotykovej roviny ku ploche z = f (x, y) v bode T = (a1 , a2 ) = (x0 , y0 ) je ∂F (a) ∂F (a) ∂F (a) (x − x0 ) + (y − y0 ) + (z − z0 ) = 0, ∂x ∂y ∂z kde a = (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). 4.4.3

Viazané extrémy

Definícia 4.18 Nech f : R2 ⊃ A → R, g : A ⊃ B → R. Predpokladajme, že množina M = {(x, y) ∈ A| g(x, y) = 0} a nech funkcia f|M má v bode a lokálny extrém. Potom hovoríme, že funkcia f má v bode a viazaný lokálny extrém. Podmienku g(x, y) = 0 nazývame väzbou.

Uvedieme postup pre výpočet viazaných extrémov, ak funkcie f, g sú dva razy diferencovateľné. Lokálne extrémy tzv. Lagrangeovej funkcie λ∈R

F (x, y) = f (x, y) + λg(x, y),

sú viazanými extrémami funkcie f na množine M . Vzhľadom na vlastnosti funkcií f, g, funkcia F je dva razy diferencovateľná, a teda v bodoch, v ktorých môže mať funkcia F lokálny extrém, sú splnené podmienky: Fx0 (x, y) = fx0 (x, y) + λgx0 (x, y) = 0, Fy0 (x, y) = fy0 (x, y) + λgy0 (x, y) = 0, g(x, y) = 0. Nech x0 , y0 , λ0 je nejaké riešenie tejto sústavy. Potom (x0 , y0 ) je stacionárnym bodom funkcie f vzhľadom na väzbu g(x, y) = 0 pre parameter λ = λ0 . Príklad 4.13 Nájdime extrémy funkcie f (x, y) = x + y na kružnici x2 + y 2 − 1 = 0. Riešenie. Väzbou je kružnica x2 + y 2 − 1 = 0. Zostavíme funkciu F (x, y) = x + y + λ(x2 + y 2 − 1) a hľadáme jej extrémy. Pre výpočet stacionárnych bodov dostávame sústavu rovníc Fx0 (x, y) ≡ 1 + 2λx = 0, Fy0 (x, y) ≡ 1 + 2λy = 0, x2 + y 2 − 1 = 0. Vypočítame x z prvej rovnice y z druhej a dosadíme do tretej rovnice. Dostaneme 1 1 + 2 − 1 = 0, 2 4λ 4λ √ √ odkiaľ dostaneme λ1 = 1/ 2 a λ2 = −1/ 2. Potom pre λ1 dostaneme funkciu 1 F1 (x, y) = x + y + √ (x2 + y 2 − 1). 2 √ √ Jej stacionárny bod je bod P1 = (−1/ 2, −1/ 2). Podobným spôsobom ako v poslednom príklade sa presvedčíme, že funkcia F1 má v bode P1 ostré lokálne minimum. Pre λ2 dostaneme funkciu 1 F2 (x, y) = x + y − √ (x2 + y 2 − 1). 2 √ √ Jej stacionárny bod je bod P2 = (1/ 2, 1/ 2). Podobným spôsobom ako v prípade F1 sa presvedčíme, že funkcia F2 má v bode P2 ostré lokálne maximum. Teda funkcia f (x, y) = x + y má na kružnici x2 + y 2 − 1 = 0 lokálne minimum v bode P1 a lokálne maximum v bode P2 . Podobne postupujeme pri hľadaní viazaných extrémov funkcie viacerých premenných u = f (x1 , . . . , xn ) s väzbami gi (x1 , . . . , xn ) = 0, i = 1, . . . , k; k < n. Lagrangeova funkcia je v tomto prípade definovaná vzťahom F (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ) +

k X

λi gi (x1 , . . . , xn ).

i=1

Absolútnym maximom (minimom) funkcie f : Rn ⊃ A → R na množine A nazývame najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie f na množine A, ak existuje.

4.4.4

Derivácia funkcie v danom smere. Gradient

Definícia 4.19 Nech f : Rn ⊃ A → R. Nech A je otvorená množina, a ∈ A a nech u je jednotkový vektor z Rn (t. j. k u k= 1). Ak existuje f (a + tu) − f (a) , t→0+ t lim

tak ju nazývame deriváciou funkcie f v bode a v smere vektora u a označujeme

df (a) . du

Nech f = f (x1 , x2 , x3 ) je diferencovateľná v bode a = (a1 , a2 , a3 ) ∈ D(f ) a nech u = (cos α, cos β, cos γ). Potom ∂f (a) ∂f (a) ∂f (a) df (a) = cos α + cos β + cos γ. du ∂x1 ∂x2 ∂x3 Definícia 4.20 Vektor

∂f (a) ∂f (a) ∂f (a) i+ j+ k ∂x1 ∂x2 ∂x3 nazývame gradientom funkcie f v bode a a označujeme ho grad f (a). Vzhľadom na definíciu 4.20 platí df (a) = (grad f (a), u). du 4.4.5

Vektorová funkcia. Divergencia. Rotácia

Nech M ⊂ Rn a nech V je vektorový priestor. Funkciu f , ktorá každému bodu x ∈ M priradí práve jeden prvok v ∈ V , nazývame vektorovou funkciou n premenných. Ak n = 3 a v priestore V = R3 je daný pravouhlý súradnicový systém s jednotkovými vektormi i, j, k, môžeme každú vektorovú funkciu zapísať v tvare f (x1 , x2 , x3 ) = f1 (x1 , x2 , x3 )i + f2 (x1 , x2 , x3 )j + f3 (x1 , x2 , x3 )k. Funkcie fi , i = 1, 2, 3 nazývame zložkami vektorovej funkcie f a ich definičný obor je totožný s definičným oborom funkcie f . Pre danú vektorovú funkciu platia nasledujúce tvrdenia:

1. f má v bode a = (a1 , a2 , a3 ) limitu práve vtedy, ak v bode a majú limitu funkcie fi , i = 1, 2, 3. Platí lim f (x) = [lim f1 (x)]i + [lim f2 (x)]j + [lim f3 (x)]k,

x→a

x→a

x→a

x→a

2. f je spojitá na množine M práve vtedy, ak sú na M spojité funkcie fi , i = 1, 2, 3, 3. f má parciálnu deriváciu podľa k-tej premennej na množine M práve vtedy, ak na množine M majú parciálne derivácie podľa k-tej premennej jej zložky. Potom platí ∂f1 (x) ∂f2 (x) ∂f3 (x) ∂f (x) = i+ j+ k. ∂xk ∂xk ∂xk ∂xk Skalárnu funkciu definovanú vzťahom ∂f1 (x) ∂f2 (x) ∂f3 (x) + + ∂x1 ∂x2 ∂x3 nazývame divergenciou vektorovej funkcie f a označujeme div f , teda div f =

∂f1 (x) ∂f2 (x) ∂f3 (x) + + . ∂x1 ∂x2 ∂x3

Vektorovú funkciu       ∂f1 (x) ∂f3 (x) ∂f2 (x) ∂f1 (x) ∂f3 (x) ∂f2 (x) − − − i+ j+ k ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2 nazývame rotáciou vektorovej funkcie f a označujeme ju rot f . Vo vektorovej analýze sa často používa vektorový operátor nabla ∇ (ktorému hovoríme aj Hamiltonov operátor), pričom ∇=

∂ ∂ ∂ i+ j+ k. ∂x1 ∂x2 ∂x3

Pre tento operátor definujeme nasledujúce operácie: 1. Symbolom ∇f (x) definujeme rovnosť ∇ f (x) =

∂f (x) ∂f (x) ∂f (x) i+ j+ k = grad f (x). ∂x1 ∂x2 ∂x3

2. Skalárny súčin operátora ∇ a vektorovej funkcie f (x) = f1 (x)i + f2 (x)j+ +f3 (x)k je ∇ · f (x) =

∂f1 (x) ∂f2 (x) ∂f3 (x) + + = div f . ∂x1 ∂x2 ∂x3

3. Vektorový súčin operátora ∇ a vektorovej funkcie f (x) = f1 (x)i + f2 (x)j+ +f3 (x)k je i j k ∂ ∂ ∂ ∇ × f (x) = rot f = ∂x1 ∂x2 ∂x3 . f1 (x) f2 (x) f3 (x) Často sa používa tiež tzv. Laplaceov operátor 4=∇·∇=

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x21 ∂x22 ∂x23

pričom 4f (x) =

∂ 2 f (x) ∂ 2 f (x) ∂ 2 f (x) + + . ∂x21 ∂x22 ∂x23

4.5

Cvičenia 4

1. Dokážte , že pre funkciu f (x, y) = 3x2 y −

p

x6 − y 6 platí

f (tx, ty) = t3 f (x, y) pre t ≥ 0. √ 2. Nájdite f (x), ak

f ( xy )

=

x

x2 +y 2 , y2

ak y > 0.

3. Nájdite obor definície funkcie f , ak : 1 1 a) f (x, y) = x2 +y 2 + 1−x , x2 +3y

[x 6= 1; (x, y) 6= (0, 0)] [y 6= ±x] [x + y 2 6= 9]

b) f (x, y) = x2 −y2 , ex +3xy c) f (x, y) = 9−x 2 −y 2 .

2

4. Nájdite obor definície funkcie f , ak: p 2 a) f (x, y) = 1 − x − y 2 , √ , b) f (x, y) = 5x+y xy c) f (x, y) = √3−y + √ 5 . x+|y|

√ [f (x) = x x2 + 1]

x−|y|

5. Nájdite obor definície pfunkcie f , ak: a) f (x, y, z) = x − p1 − x2 − y 2 − z 2 , b) f (x, y, z) = z 2 − x2 + y 2 − 1, c) f (x, y, z) = ln(1 + x2 + z 2 ) + z ln(1 − x2 − y 2 ).

[x2 + y 2 ≤ 1] [xy > 0] [x > |y|]

[x2 + y 2 + z 2 ≤ 1] [x2 + y 2 ≥ 1] [x2 + y 2 < 1]

6. Zostrojte graf funkcie f , ak: a) f (x, y) = x2 + y 2 a |f (x, y)| ≤ 4, b) f (x, y) = p x2 a |f (x, y)| ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, c) f (x, y) = 1 − x2 − y 2 . 7. Vypočítajte: a) lim (x2 + y 2 ) sin(xy)−1 ,

[0]

(x,y)→(0,0)

b) c) d)

x+y 2 +y 2 , x (x,y)→(∞,∞) lim sin xy , (x,y)→(0,2) x

lim

lim (x,y)→(∞,k)

e) f)

(1 + xy )x ,

x lim , (x,y)→(0,0) x+y 2 2 lim xx2 −y 2. +y (x,y)→(0,0)

8. Vypočítajte parciálne derivácie funkcií: a) z = x3 + y 3 − 3axy, x−y b) z = x+y , c) z = arctg xy , d) z = xy , x > 0. 9. Ukážte, že: ∂z ∂z a) x ∂x + y ∂y = 2, ak z = ln(x2 + xy + y 2 ), ∂z ∂z b) x ∂x + y ∂y = xy + z, ak z = xy + xey/x , c) ∂u + ∂u + ∂u = 0, ak u = (x − y)(y − z)(z − x). ∂x ∂y ∂z

[0] [2] [ek ] [neexistuje] [neexistuje]

∂z ∂z [ ∂x = 3x2 − 3ay, ∂y = 3y 2 − 3ax] 2y ∂z ∂z −2x [ ∂x = (x+y) 2 , ∂y = (x+y)2 ] ∂z x [ ∂x = x2−y , ∂z = x2 +y 2] +y 2 ∂y ∂z y−1 ∂z y [ ∂x = yx , ∂y = x ln x]

10. Nájdite úplný diferenciál nasledujúcich funkcií: a) z = x3 + y 3 − 3xy, b) z = yxy , c) z = ln(x2 + y 2 ), d) z = ln(1 + x/y).

[dz = 3(x2 − y)dx + 3(y 2 − x)dy] [dz = y 2 xy−1 dx + xy (1 + y ln x)dy] [dz = 2(xdx + ydy)/(x2 + y 2 )] [dz = (dx − xy dy)/(x + y)]

11. Určte približnú hodnotu výrazov: 3 2 a) (1, p 02) · (0, 97) , b) (4, 05)2 + (2, 93)2 , c) sin 320 · cos 590 .

[1,00] [4,998] [0,273]

12. Nájdite extrémy funkcií: a) f (x, y) = (x − 1)2 + 2y 2 ; b) f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 2x − y; c) f (x, y) = x3 y 2 (6 − x − y), x > 0, y > 0; d) f (x, y) = ex−y (x2 − 2y 2 ); e) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − xy + x − 2z.

[fmin = 0 [fmin = −1 [fmax = 108 [fmin = 6

v v v v

bode bode bode bode

(1; 0)] (1; 0)] (3; 2)] (4; 2)]

[fmin = −4/3 v bode (−2/3; −1/3; 1)] 13. Nájdite extrémy funkcií: a) f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 + 4xy − 2y 2 ; √ √ √ √ [fmin = −8 v bode ( 2; − 2) a v bode (− 2; 2)] b) f (x, y) = x2 + xy + y 2 + 1/x + 1/y x > 0, y > 0; √ √ √ [fmin = 3 3 3 v bode (1/ 3 3; 1/ 3 3)] 2 2 c) f (x, y) = e−x −y (2x2 + y 2 ). [ fmin = 0 v bode (0; 0) a fmax = 2/e v bode (±1; 0) ] 14. Nájdite extrémy funkcií s väzbou: a) f (x, y) = xy, g(x, y) ≡ x + y − 1 = 0; [fmax = 1/4 v bode (1/2; 1/2)] 2

2

b) f (x, y) = x + 2y, g(x, y) ≡ x + y = 5; [fmax = 5 v bode (1; 2) a fmin = −5 v bode (−1; −2)] 2 2 c) f (x, y) = x + y , g(x, y) ≡ 3x + 2y = 6; [fmin = 36/13 v bode (18/13; 12/13)] −2 −2 d) f (x, y) = x + y, g(x, y) ≡ x√ + y − 1√= 0; √ √ √ √ [fmin = 2 2 v bode ( 2; 2) a fmax = −2 2 v bode (− 2; − 2)] e) f (x, y) = x3 + y 3 , g(x, y) ≡ x + y − 3 = 0. [fmin = 27/4 v bode (3/2; 3/2)] 15. Nájdite grad f v bode M , ak 3 3 a) f (x, y) = x p + y − 3xy, M = (2; 1); b) f (x, y) = x2 − y 2 , M = (5; 3); c) f (x, y, z) = xyz, M = (1; 2; 3); d) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , M = (2; −2; 1). 16. Nájdite najväčšiu rýchlosť rastu poľa f v bode A: a) f (x, y, z) = ln(x2 + 4y 2 ), A = (6; 4; 0); b) f (x, y, z) = xy − z, A = (2; 2; 4). 17. Nájdite divergenciu a rotáciu vektorových polí: a) f (X) = xi + yj + zk; b) f (X) = (x2 + yz)i + (y 2 + xz)j + (z 2 + xy)k;

[9i − 3j] [(5i − 3j)/4] [6i + 3j + 2k] [4i − 4j + 2k] √ [ 73/25] p [ 17 + 16 ln2 2] [div f = 3, rot f = 0]

[div f = 2(x + y + z), rot f = 0] c) f (X) = x2 yzi + xy 2 zj + xyz 2 k; [div f = 6xyz, rot f = x(z 2 − y 2 )i + y(x2 − z 2 )j + z(y 2 − x2 )k] xy d) f (X) = e i + cos(xy)j + cos(xz 2 )k; [div f = yexy − x sin(xy) − 2xz sin(xz 2 ),] [ rot f = z 2 sin(xz 2 )j − (xexy + y sin(xy))k] 2 2 2 e) f (X) = grad (x + y + z ). [div f = 0, rot f = 0]

4.6

Test 4

1. T4-1 (2b) Ktorá z množín je prstencovým okolím bodu a? (a) {x ∈ X : ρ(x, a) < ε}. p (b) 0 < (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 < ε, a = (a1 , a2 ). p (c) (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 + (x3 − a3 )2 = ε, a = (a1 , a2 , a3 ) 2. T4-2 (2b) Bod a = (a1 , a2 ) je vnútorným bodom množiny {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + (y − 1)2 < 4}, ak a) a = (2, 2), b) a = (2, 1), c) a = (0, 1). 3. T4-3 (2b) Funkcia  f (x, y) =

xy , x2 +y 2

0,

x2 + y 2 6= 0, x = y = 0.

je spojitá v bode (0, 0) a) Áno. b) Nie. 4. T4-4 (2b) Funkcia  f (x, y) =

3, x ≥ 0, 2, x < 0,

(a) má limitu v bode (1, 2), (b) nemá limitu v bode (1, 2), (c) má limitu vzhľadom na množinu x > 0, y > 0 v bode (0, 0), (d) má limitu vzhľadom na množinu x < 0, y < 0 v bode (0, 0). 5. T4-5 (2b) Rovnica dotykovej roviny, ku ploche z = f (x, y), v bode T = (a, b))je (a)

fx (T )(x − a) + fy (T )(y − b) + (z − f (x, y)) = 0,

(b)

fx (T )(x − a) + fy (T )(y − b) − (z − f (a, b)) = 0,

(c)

−fx (T )(x − a) − fy (T )(y − b) + (z − f (a, b)) = 0,

(d)

x−a y−b z − f (a, b) = = . fx (T ) fy (T ) −1

6. T4-6 (2b) Nech z = f (x, y), M = (a, b). Ktoré tvrdenie je pravdivé? (a) Ak funkcia f je spojitá v bode M , tak fxy (M ) = fyx (M ). (b) Ak funkcie fxy , fyx sú spojité v bode M , tak fxy (M ) = fyx (M ). 7. T4-7(2b) Je pravdivé tvrdenie: Ak funkcia z = f (x, y) má v bode M = (a, b) lokálny extrém, tak musí byť vždy fx (M ) = 0 a fy (M ) = 0? a) Áno. b) Nie.

8. T4-8(3b) Funkcia z = f (x, y) má v stacionárnom bode M vždy lokálny extrém, keď pre fxx (M ) fxy (M ) , platí D = fyx (M ) fyy (M ) a) D > 0,

b) D = 0,

c) D < 0.

5

Elementárne metódy riešenia obyčajných diferenciálnych rovníc 1. rádu

Cieľ Oboznámenie sa s riešením niektorých diferenciálnych rovníc prvého rádu a ich aplikáciami v elektrotechnike .

Otázky • Vysvetlite pojmy: riešenie (všeobecné, partikulárne) diferenciálnej rovnice y ′ = f ( x, y ) . • Uveďte postup pri riešení diferenciálnej rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými a pri riešení lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu.

Leonhard Euler (1707 - 1783) - ovplyvnil pozitívne rozvoj takmer všetkých odvetví čistej matematiky. Euler sa preslávil vyriešením známeho problému siedmych Konigsbergských mostov, ktoré treba prejsť tak, aby po každom moste prešiel človek práve raz. Inšpirovaný týmto problémom Euler položil základy teórie grafov. Rozpracoval detailne teóriu matematickej analýzy a ostatných častí matematiky, doplnil svoje výsledky o dôkazy tvrdení. Eulerova metóda riešenia lineárnych homogénnych systémov diferenciálnych rovníc je základným prostriedkom teórie diferenciálnych rovníc (Institutiones calculi differentialis 1735).

5.1

Základné pojmy 5

Pri matematickej formulácii niektorých úloh z technickej praxe sú rovnice, v ktorých sa vyskytujú neznáme funkcie a ich derivácie. Takéto rovnice nazývame diferenciálne rovnice. Budeme sa zaoberať prípadom, kde neznáma funkcia je reálna funkcia a derivácie sú obyčajné (nie parciálne) derivácie. Takéto diferenciálne rovnice nazývame obyčajné diferenciálne rovnice. Teda obyčajná diferenciálna rovnica je vzťah medzi nezávisle premennou x, neznámou funkciou y(x) a jej deriváciami. Možno ju zapísať v tvare F (x, y, y 0 , . . . y (n) ) = 0. Diferenciálna rovnica je n - tého rádu, ak v nej vystupuje n - tá derivácia neznámej funkcie, ale už nijaká derivácia rádu vyššieho ako n. Príklad 5.1 Pre určenie prúdu I v závislosti na čase t v elektrickom obvode je možné zostaviť použitím Ohmovho a Kirchoffovho zákona rovnicu RI + LdI/dt = U . Po úprave dostávame U dI R + I= . dt L L Tejto rovnici vyhovuje každá funkcia I(t) =

U + Ce−(R/L)t , R

kde C je ľubovoľná konštanta. O tom sa môžeme presvedčiť dosadením tejto funkcie a jej derivácie do pôvodnej rovnice. Ak doplníme úlohu o "začiatočnú podmienku" I(0) = 0, dostaneme výpočtom príslušnej konštanty C funkciu I(t) =

U (1 − e−(R/L)t ). R

Funkciu y = ϕ(x), definovanú na intervale J, ktorá pre každé x ∈ J splňuje vzťah F (x, ϕ(x), ϕ0 (x), . . . , ϕ(n) (x)) = 0, nazývame riešenie diferenciálnej rovnice na intervale J. Vyriešiť diferenciálnu rovnicu F (x, y, y 0 , . . . y (n) ) = 0 znamená nájsť všetky jej riešenia. Graf riešenia diferenciálnej rovnice nazývame integrálnou krivkou tejto diferenciálnej rovnice. Rovnice, v ktorých neznáma funkcia je funkciou viac premenných a v ktorej sa vyskytujú parciálne derivácie neznámej funkcie nazývame parciálne diferenciálne rovnice. Napríklad rovnica ∂2u ∂2u ∂2u + + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

je tzv. Laplaceova rovnica. Niektoré úlohy vedú k sústavam diferenciálnych rovníc. Pretože sa budeme zaoberať len obyčajnými diferenciálnymi rovnicami, budeme označenie obyčajné vynechávať. V tejto kapitole sa budeme zaoberať diferenciálnymi rovnicami, v ktorých sa vyskytuje len prvá derivácia neznámej funkcie, t.j. diferenciálnymi rovnicami prvého rádu a to takými, ktoré sa dajú zapísať v tvare y 0 = f (x, y). Uvedieme niekoľko typov takýchto diferenciálnych rovníc a metód, ktoré nám umožnia nájsť riešenia týchto rovníc. Metódy riešenia niektorých ďaľších typov rovníc sú uvedené v prílohe resp. v citovanej literatúre Definícia 5.1 Nech funkcia y : I → R je riešením diferenciálnej rovnice y 0 = f (x, y) a y(x0 ) = y0 . Potom hovoríme, že riešenie y : I → R prechádza bodom (x0 , y0 ) alebo spĺňa (Cauchyho) začiatočnú podmienku y(x0 ) = y0 . Diferenciálnu rovnicu spolu so začiatočnou podmienkou nazývame Cauchyho (alebo začiatočnou) úlohou. Riešiť začiatočnú úlohu znamená nájsť všetky riešenia danej diferenciálnej rovnice, ktoré prechádzajú bodom [x0 , y0 ].

5.2

Smerové pole diferenciálnej rovnice

Predpokladajme, že f : Q → R, kde Q ⊂ R2 . Potom každej usporiadanej dvojici [x, y] ∈ Q môžeme priradiť usporiadanú trojicu [x, y, f (x, y)], ktorú nazývame lineárnym elementom diferenciálnej rovnive y 0 = f (x, y) v bode [x, y]. Množinu všetkých lineárnych elementov nazývame smerovým poľom diferenciálnej rovnice y 0 = f (x, y). Touto rovnicou je priradená každému bodu definičného oboru funkcie f hodnota y 0 , t.j. smernica dotyčnice integrálnej krivky y = ϕ(x), ktorá prechádza týmto bodom, teda daná rovnica definuje smerové pole. Krivky, ktoré spájajú body s rovnakou smernicou k = f (x, y) nazývame izoklíny. Smerové pole nám umožňuje získať približnú predstavu o riešení danej diferenciálnej rovnice bez toho, aby sme poznali analytické riešenie danej diferenciálnej rovnice.

5.3 5.3.1

Postup pri riešení niektorých diferenciálnych rovníc prvého rádu Diferenciálna rovnica y 0 = f (x)

Je to najjednoduchšia diferenciálna rovnica typu y 0 = f (x, y). Veta 5.1 Nech f : (a, b) → R je spojitá funkcia. Potom každým bodom [x0 , y0 ] oblasti P = {[x, y] : x ∈ (a, b), y ∈ R} = (a, b) × R prechádza práve jedno riešenie y : (a, b) → R diferenciálnej rovnice y 0 = f (x). Toto riešenie môžeme zapísať v tvare Zx y = y0 +

f (t)dt. x0

5.3.2

Diferenciálna rovnica y 0 = f (x)g(y)

Rovnica y 0 = f (x)g(y)

(1)

sa nazýva rovnica so separovateľnými premennými a metóda, ktorou ju budeme riešiť, sa nazýva separácia premenných. Pri označení derivácie y 0 = dy/dx môžeme danú rovnicu zapísať v tvare dy = f (x)g(y). dx Budeme predpokladať, že funkcie f : (a, b) → R, g : (c, d) → R sú spojité a pre každé u ∈ (c, d) je g(u) 6= 0. Ak y je riešením danej diferenciálnej rovnice na intervale (a, b), tak y 0 (x) = f (x)g[y(x)] pre každé x ∈ (a, b) a teda y 0 (x) = f (x). g[y(x)] Túto rovnosť môžeme integrovať v hraniciach od x0 po x pre každé x ∈ (a, b). Dostávame Zx

y 0 (t) dt = g[y(t)]

Z

x

f (t)dt. x0

x0

Použitím substitučnej metódy dostaneme Zy y0

Ak F : (a, b) → R, F (x) =

Rx x0

dy = g(y)

Z

x

f (t)dt. x0

f a G : (c, d) → R, G(y) =

Ry

1/g, tak G[y(x)] = F (x) pre každé

y0

x ∈ (a, b). Túto rovnicu vieme jednoznačne riešiť vzhľadom na y, pretože G0 (y) = 1/g(y) 6= 0 na intervale (c, d) a teda funkcia G je rýdzomonotónna. Ak G−1 je inverzná funkcia k funkcii G, tak y(x) = G−1 [F (x)].

Poznámka 5.1 Ak F , resp. G je ľubovoľná primitívna funkcia k funkcii f , resp. k funkcii 1/g, tak G(y) = F (x) + C, kde C je ľubovoľná konštanta. Vzťahom y(x) = G−1 [F (x) + C] sú určené všetky riešenia rovnice y 0 = f (x)g(y) , kde je zdôraznená ľubovoľnosť konštanty C bez určenia začiatočných podmienok. Takéto riešenie sa často nazýva všeobecným riešením danej diferenciálnej rovnice. Partikulárne riešenie, ktoré vyhovuje začiatočnej podmienke y(x0 ) = y0 dostaneme zo všeobecného riešenia, kde C je riešením rovnice y0 = G−1 [F (x0 ) + C]. 5.3.3

Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu

Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica y 0 = a(x)y +b(x). Budeme predpokladať, že funkcie a, b sú spojité funkcie na intervale I. Homogénna rovnica Keď b(x) = 0 pre každé x ∈ I hovoríme o lineárnej diferenciálnej rovnici bez pravej strany alebo o homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnici, v opačnom prípade hovoríme o diferenciálnej rovnici s pravou stranou alebo o nehomogénnej lineárnej diferenciálnej rovnici prvého rádu. Tento názov vznikol zo zápisu rovnice v tvare y 0 − a(x)y = b(x). Homogénna rovnica y 0 = a(x)y má riešenie y = 0 pre každé x ∈ I. Pomocou metódy separácie premenných budeme hľadať len tie riešenia y = y(x), pre ktoré platí y(x) 6= 0, x ∈ I. Pre y 6= 0 dostaneme Z dy = a(x)dx, ln |y| = a(x)dx + c, y R

|y| = e

a(x)dx+c

R

=e

a(x)dx c

e,

kde c je ľubovoľná konštanta. Funkcia y je na intervale I spojitá a teda na tomto intervale je R R a(x)dx a(x)dx c c . a pre y < 0 je y = −e e buď kladná alebo záporná. Pre y > 0 je y = e e Teda všetky riešenia lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice (všeobecné riešenie) môžeme zapísať v tvare R y = Ce a(x)dx , C ∈ R, x ∈ I, (2) pretože riešenie y = 0 dostaneme pre C = 0. Partikulárne riešenie, ktoré vyhovuje začiatočnej podmienke y(x0 ) = y0 dostaneme zo všeobecného riešenia v tvare x R

y = y0 ex0

a(t)dt

.

(3)

Nehomogénna rovnica Riešenie nehomogénnej rovnice nájdeme pomocou metódy variácie konštánt. Riešenie R a(x)dx budeme hľadať v tvare y = C(x)y1 , kde y1 = e je riešenie homogénnej rovnice a C(x) je nejaká diferencovateľná funkcia na I. Potom pre každé x ∈ I je y 0 (x) = C 0 (x)y1 (x)+C(x)y10 (x) a pretože y je riešenie nehomogénnej rovnice, tak C 0 (x)y1 (x) + C(x)y10 (x) = a(x)C(x)y1 (x) + b(x).

Keďže y1 je riešenie rovnice y 0 = a(x)y, tak pre každé x ∈ I platí y10 (x) = a(x)y1 (x). Potom z predchadzajúcich rovníc dostávame C 0 (x)y1 (x) + C(x)a(x)y1 (x) = a(x)C(x)y1 (x) + b(x). Po úprave C 0 (x) = y1−1 b(x). Vzhľadom na spojitosť funkcií y1 , a je Z Z R −1 C(x) = y1 b(x)dx + k = e− a(x)dx b(x)dx + k, kde k je ľubovoľná konštanta. To znamená, že všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice má tvar Z  R R − a(x)dx y= e b(x)dx + k e a(x)dx . Pre partikulárne riešenie vyhovujúce začiatočnej podmienke y(x0 ) = y0 dostávame  x  x R Z − Rt a(s)ds a(t)dt) x x y= e 0 b(t)dt + y0  e 0 . x0

(4)

5.4

Cvičenia 5

1. Riešte diferenciálnu rovnicu: 1 1 : a) y 0 = 2 x√ x √+ 1 b) ( xy + x)y 0 − y = 0; c) 2x+y + 3x−2y y 0 = 0; d) yy 0 + x = 1; e) (y + xy)dx + (x − xy)dy = 0; f) x2 y 0 + y = 0; g) x + xy + yy 0 (1 + x) = 0; √ h) (1 + x2 )y 0 + y 1 + x2 = xy; i) (1 + ex )yy 0 = ex ; j) y 0 = −2x/y;

[ 12 ln(x2 + 1) + C] √ √ [2 y + ln |y| − 2 x = C] ( 2 )x 18−y = C] [ 32 − ln 18 ln 3 [(x − 1)2 + y 2 = C 2 ] [x − y + ln |xy| = C] [y = Ce1/x ] [x + y = ln[C(x + 1)(y √ + 1)]] C 1 + x2 √ [y = ] x + 1 + x2 [y 2 /2 − ln(1 + ex ) = C] [y 2 = −2x2 + C]

2. Nájdite všetky riešenia diferenciálnej rovnice, ktoré prechádzajú bodom A; a) y 2 + x2 y 0 = 0, A = (−1, 1); [x + y = 0] 2 b) 2(1 + ex )yy 0 = ex , A = (0, 0); [2ey = ex + 1] c) (1 + y 2 )dx = xydy, A = (2, 1); [x2 = 2 + 2y 2 ] √ 0 [y = [x(ln x − 1) + 1]2 , x ∈ (0, ∞)] d) y = 2 y ln x, A = (e, 1); x , A = (1, π/3); [y = arccos (1 − 12 x2 ), x ∈ (0, 2)] e) y 0 = sin y sin y , A = (1, π/2); [y = 2arctg x, x ∈ R+ ] f) y 0 = x 1 + y2 0 g) y = , A = (−1, 0); [y = tg ln(−x), x ∈ (−eπ/2 , −e−π/2 )] x h) y 0 = ex ey , A = (1, −1); [y = − ln(2e − ex )] i) y 0 = −ytg x, A = (0, −2); [y = −2 cos x, x ∈ (−π/2, π/2)] y ln y j) y 0 = − , A = (−1, e). [y = e−1/x , x ∈ R− ] x 3. Riešte diferenciálnú rovnicu: a) y 0 + 2xy = 4x; b) y 0 + y = ex ; c) y 0 − ycotg x = sin x; d) (x2 + 1)y 0 + 4xy = 3; e) xy 0 + y = x sin x. f) xy 0 + y = ln x + 1; g) y 0 + x2 y = x2 ; h) y 0 + y/(1 + x) + x2 = 0; xy 1 = ; 2 1+x x(1 + x2 ) j) y 0 − 2y = 3e2x ; k) y 0 + y = 2x2 − 2x + 1; l) y 0 + 4y = 5 sin 3x. i) y 0 +

2

[y = Ce−x + 2, x ∈ R] [y = ex /2 + Ce−x , x ∈ R] [y = (x + C) sin x] 2 [y(x + 1)2 = x3 + 3x + C] [y = − cos x + (sin x + C)/x] [y = ln x + C/x] 3 [y = 1 + Ce−x /3 ] C − x3 /3 − x4 /4 [y = ] 1√ +x 1 −1 + 1 + x2 [y = √ (C + ln | |)] x 1 + x2 [y = (3x + C)e2x ] [y = Ce−x + 2x2 − 6x + 7] −4x [y = Ce + 4/5 sin 3x − 3/5 cos 3x]

4. Nájdite riešenia daných diferenciálnych rovníc, ktoré prechádzajú bodom A: 2x a) y 0 = y, A = (1, 2); [y = 1 + x2 , x ∈ R] 2 1+x x 2 R 2 0 b) y = 2xy + 1, A = (0, 0); [y = ex e−t dt, x ∈ R] c) y 0 + 3y/x = 2/x3 , A = (1, 1); d) y 0 + y = x + 1, A = (0, 1); e) y 0 − y sin x = sin x cos x, a = (−π/2, 1); f) y 0 + y/x − 3x = 0, A = (1, 2); g) y 0 cos x − y sin x = 2x, A = (0, 0);

0

[y = −1/x3 + 2/x2 ,x > 0] [y = x + e−x ] [y = 1 − cos x, x ∈ R] [y = 1/x + x2 , x > 0] x2 , x ∈ (−π/2, π/2)] [y = cos x

5.5

Test 5

1. T5-1 (1b) Ak y 0 = f (x) je diferenciálna R x rovnica , kde f : (a, b) → R je spojitá funkcia, x, x0 ∈ (a, b). Potom y(x) = y(x0 ) + x0 f (t)dt je: (a) Všeobecné riešenie danej diferenciálnej rovnice. (b) Partikulárne riešenie danej diferenciálnej rovnice. (c) Nie je riešením danej diferenciálnej rovnice. 2. T5-2 (3b) Majme diferenciálnu rovnicu y 0 = f (x)g(y), f : (a, b) → R, g : (c, d) → R, g(y) 6= 0 sú spojité funkcie, x, x0 ∈ (a, b). Potom y(x) = G−1 [F (x) + C] (C je riešením rovnice y0 = G−1 [F (x0 ) + C]) je partikulárne riešenie danej diferenciálnej rovnice ak je: R y dy Rx (a) F (x) = x0 f (t)dt, G(y) = y0 g(y) , Rx R y ds (b) F (x) = x0 f (s)ds, G(y) = y0 g(s) , Ry Rx (c) G(y) = y0 g(t)dt, F (x) = x0 fdx . (x) 3. T5-3 (4b) Majme diferenciálnu rovnicu y 0 = a(x)y + b(x), funkcie a, b sú spojité na intervale J, x, x0 ∈ J. Potom riešením danej diferenciálnej rovnice je: ! Rt Rx − R t a(t)dt a(t)dt x0 (a) y(x) = e b(t)dt + y(x0 ) e x0 , x0

(b) y(x) =

Rx

Rt

e

x0

! a(t)dt

−

Rt

b(t)dt + y(x0 ) e

x0

a(t)dt

,

a(t)dt

,

x0

(c) y(x) =

Rx

Rt

e

x0

! b(t)dt

−

Rt

a(t)dt + y(x0 ) e

x0

x0

(d) y(x) =

Rx

−

e

Rt x0

! a(s)ds

Rx

b(t)dt + y(x0 ) e

x0

a(t)dt

.

x0

4. T5-4 (2b) Majme diferenciálnu rovnicu y 0 =

y x

+ x. Funkcia y = x2 je:

(a) riešením danej rovnice na intervale (−1, 1), (b) riešením danej rovnice na intervale (0, 1), (c) riešením danej rovnice a prechádza bodom A = (1, −1), x > 0, (d) riešením danej rovnice a prechádza bodom A = (−1, 1), x > 0. 5. T5-5 (2b) Majme diferenciálnu rovnicu y 0 + 2xy = 4x. Jej všeobecným riešením je: 2

(a) Funkcia y = Ce−x + 2, 2

(b) Funkcia y = 100Ce−x + 2,

2

(c) Funkcia y = Cex + 2, 2

(d) Funkcia y = Ce−x .

6. T5-6 (2b) Majme diferenciálnu rovnicu y 0 + y = ex . Jej všeobecným riešením je funkcia:

(a) y = Ce−x + 2e−x , (b) y = Ce−x +

e−x , 2

(c) y = Ce−x + 2ex , (d) y = Ce−x +

ex . 2

6

Diferenciálne rovnice n - tého rádu

Cieľ Oboznámenie sa so základnými vlastnosťami a metódami riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc n - tého rádu..

Otázky • Čo rozumiete pod pojmom fundamentálny systém riešení lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi? Uveďte jednoduchý príklad. • Ako určíte všeobecné riešenie lineárnej homogénnej (bez pravej strany) diferenciálnej rovnice n- tého rádu s konštantnými koeficientmi? • Ako určíte všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej (s pravou stranou) diferenciálnej rovnice n- tého rádu s konštantnými koeficientmi pomocou variácie konštánt? (Ukážte na diferenciálnej rovnici druhého rádu.) • Ako určíte všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej (s pravou stranou) diferenciálnej rovnice n-tého rádu s konštantnými koeficientmi so špeciálnou pravou stranou? • Uveďte postup pri riešení sústav diferenciálnych rovníc eliminačnou metódou.

Otakar Borůvka (10.5.1899-22.7.1995) Profesor Otakar Borůvka bol skvelý učiteľ a predovšetkým veľmi skromný a výnimočný človek. Otakar Borůvka podstatne obohatil rozvoj matematického myslenia svojimi výsledkami v matematickej analýze, diferenciálnej geometrii, v algebre a teórii diferenciálnych rovníc. V jeho vedeckej práci sa zrkadlí história vývoja československej a svetovej matematiky. Svetoznáma je jeho pionierska práca z teórie grafov. „O jistém problému minimálním“ z roku 1926. Algoritmicky rozriešil z praxe vzniknutý problém minimalizácie nákladov na vybudovanie elektrorozvodnej siete. Je to základná práca z odboru dopravných problémov, ktorý sa intenzívnejšie začal rozvíjať o niekoľko desaťročí neskôr a dnes predstavuje jednu zo základných kapitol teórie grafov. Najväčšia časť Borůvkových prác sa zaoberá štúdiom diferenciálnych rovníc. Vytvoril a publikoval aj vo svojej monografii globálnu teóriu transformácií lineárnych diferenciálnych rovníc. Publikoval 90 pôvodných vedeckých prác. 50 rokov pôsobil na univerzite v Brne, potom a až do konca života pracoval v Matematickom ústave ČSAV v Brne. Na Bratislavskej univerzite pôsobil viac ako 10 rokov, tiež prednášal na Univerzite P.J. Šafárika v Košiciach, mimo rámec svojich povinností tak prispel k rozvoju matematiky na Slovensku. V Brne založil a viedol úspešnú školu z teórie diferenciálnych rovníc O. Borůvka vychoval mnohých významných slovenských matematikov pracujúcich v teórii diferenciálnych rovníc, ako napríklad: Valter Šeda, Michal Greguš a Marko Švec. Celým svojím životom sa Otakar Borůvka zapísal do pokladnice svetovej matematickej literatúry.

6.1

Základné pojmy 6

Vieme , že ak F je daná funkcia n + 2 premenných na nejakom obore, tak rovnicu F (t, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0 nazývame obyčajnou diferenciálnou rovnicou rádu n pre neznámu funkciu y. V praxi sa často vyskytujú problémy, ktoré sa dajú vyjadriť pomocou systémov diferenciálnych rovníc. Budeme sa zaoberať systémom n diferenciálnych rovníc prvého rádu s n neznámymi funkciami x1 , . . . , xn i = 1, . . . , n (1) x0i = fi (t, x1 , . . . , xn ), kde fi sú reálne funkcie definované na nejakej množine D ⊂ R × Rn . Často budeme skúmať systém (1) s n začiatočnými podmienkami xi (t0 ) = x0i ,

i = 1, . . . , n.

(2)

Výhodné je vektorové označenie x0 = f (t, x)

(3)

x(t0 ) = x0 ,

(4)

so začiatočnými podmienkami kde x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t))T , f (t, x) = (f1 (t, x), . . . , fn (t, x))T . Definícia 6.1 Nech f : D → Rn . Nech J je interval a nech funkcia u : J → Rn má spojitú deriváciu u0 : J → Rn . Nech platí (t, u(t)) ∈ D ∀ t ∈ J a u0 (t) = f (t, u(t)). Potom funkciu u nazývame riešením systému (1). Nech x je riešenie systému (1). Rovnice x1 = x1 (t), . . . , xn = xn (t) pre t ∈ J určujú v Rn+1 tzv. integrálnu krivku . Poznámka 6.1 Diferenciálnu rovnicu x(n) = f (t, x, x0 , . . . , x(n−1) ) môžeme nahradiť systémom n diferenciálnych rovníc x0i = xi+1 ,

i = 1, . . . , n − 1, x0n = f (t, x1 , . . . , xn ).

Predpokladajme, že u = u(t) je riešením problému (3), (4) definované na nejakom intervale J. Integráciou (3) od t0 do t ∈ J dostávame integrálnu rovnicu Z t u(t) = x(t0 ) + f (τ, u(τ ))dτ. (5) t0

Začiatočný problém (2) je ekvivalentný nájdeniu všetkých spojitých funkcií u na J, ktoré spĺňajú integrálnu rovnicu (5). O existencii a jednoznačnosti riešenia problému (3), (4) hovorí nasledujúca veta:

Veta 6.1 Nech vektorová funkcia f je spojitá na uzavretej oblasti ω = {(t, x) ∈ R × Rn : | t − t0 |≤ a, k x − x0 k≤ b}, kde a, b sú dané kladné reálne čísla. Nech funkcia f splňuje Lipschitzovu podmienku na ω (t. j. ∃ taká konštanta L > 0, že pre ľubovoľné (t, x), (t, y) ∈ ω platí k f (t, x) − f (t, y) k≤ L k x − y k) a nech M = max k f (t, x) k . (t,x)∈ω Potom existuje jediné riešenie problému (3), (4), ktoré je definované v intervale ht0 − δ, t0 + δi, kde   b δ = min a, . M Poznámka 6.2 Postačujúcou podmienkou pre to aby funkcie fi , i = 1, . . . , n spĺňali Lipschitzovu podmienku na ohraničenej uzavretej oblasti, je spojitosť parciálnych derivácií funkcií fi (t, x1 , . . . , xn ) podľa všetkých premenných xi , i = 1, . . . , n na tejto oblasti.

6.2

Riešenie niektorých diferenciálnych rovníc n-tého rádu

Nech f ∈ C(I), I = ha, bi a y (n) = f (t). Potom riešenie danej diferenciálnej rovnice nájdeme postupným integrovaním, teda Z x (n−1) f (x)dx + c1 , y = x0

y

(n−2)

Z

x

= x0

y0 =

Z

x

Z (. . .

x

y= x0

x0

x

x0

f (x)dx + c1 )dx + c2 , ...

x

f (x)dx + c1 )dx + c2 )dx . . . )dx + cn−1 ,

x0

Z x Z x Z ( (. . . ( x0

Z (

x0

x0

Z

x

Z (

x

f (x)dx + c1 )dx + c2 )dx . . . )dx + cn−1 )dx + cn .

x0

Takto dostaneme všeobecné riešenie danej diferenciálnej rovnice, ktoré v sebe zahŕňa všetky riešenia danej rovnice v danom intervale. Odtiaľ zároveň môžeme nájsť partikulárne riešenie danej rovnice vyhovujúce začiatočným podmienkam y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y00 , . . . , y (n−1) (x0 ) = (n−1) y0 . Ďalej uvedieme postup pri riešení diferenciálnej rovnice typu F (x, y (k) , y (k+1) , . . . , y (n) ) = 0,

k ≥ 1.

Zavedieme substitúciu y (k) = z. Potom daná rovnica bude mať tvar F (x, z, z 0 , . . . , z (n−k) ) = 0,

k ≥ 1.

Táto rovnica je (n − k)-teho rádu. Ak vieme riešiť túto rovnicu, tak všeobecné riešenie je z = g(x, C1 , . . . , Cn−k ). Vzhľadom na danú substitúciu je y (k) = g(x, C1 , . . . , Cn−k ), čo je jeden z predchádzajúcich typov diferenciálnych rovníc, ktoré vieme riešiť postupným integrovaním.

6.3

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu

Nech a0 , a1 , . . . , an a f je n + 2 spojitých funkcií na intervale J a nech a0 (x) 6= 0 pre všetky x ∈ J. Pod lineárnou diferenciálnou rovnicou n-tého rádu s pravou stranou budeme rozumieť diferenciálnu rovnicu a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an (x)y = f (x).

(LP )

Diferenciálnu rovnicu a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an (x)y = 0

(L)

budeme nazývať lineárna diferenciálna rovnica bez pravej strany. Uvedieme niektoré základné vlastnosti diferenciálnej rovnice (L). Pre funkcie y ∈ C n (J) zavedieme tzv. lineárny diferenciálny operátor L(y) = a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an (x)y. Potom diferenciálnu rovnicu (L) môžeme zapísať v tvare L(y) = 0 a diferenciálnu rovnicu (LP ) v tvare L(y) = f (x). Ak funkcia ϕ ∈ C n (J) a L(ϕ(x)) = 0 pre každé x ∈ J, tak ϕ(x) je riešením diferenciálnej rovnice (L). Veta 6.2 Nech y1 , . . . , yk sú funkcie, ktoré majú prvých n derivácií na intervale J. Nech c1 , . . . , ck sú čísla. Potom L(c1 y1 + · · · + ck yk ) = c1 L(y1 ) + · · · + ck L(yk ). Veta 6.3 Nech y1 , . . . , yk sú riešenia diferenciálnej rovnice (L). Potom každá ich lineárna kombinácia je riešením diferenciálnej rovnice (L). Špeciálne pre c1 = c2 = · · · = ck = 0 dostávame nulové, alebo triviálne riešenie. Zavedieme pojem lineárnej závislosti a lineárnej nezávislosti funkcií. Nech f1 , . . . , fk sú reálne, resp. komplexné funkcie reálnej premennej, definované na intervale J. Budeme hovoriť, že tieto funkcie sú na intervale J lineárne závislé, ak existuje taká nenulová k-tica reálnych, resp. komplexných čísel (c1 , . . . , ck ), že pre každé číslo x ∈ J platí: c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + · · · + ck fk (x) = 0.

(1)

Ak niektoré z čísel c1 , . . . , ck je nenulové, ľahko sa dá ukázať, že funkcie f1 , . . . , fk sú na intervale J lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak jedna z nich je lineárnou kombináciou ostatných. Ak funkcie f1 , . . . , fk nie sú na intervale J lineárne závislé, tak sú na tomto intervale lineárne nezávislé. Ak funkcie f1 , . . . , fk majú na intervale J derivácie k-tého rádu, môžeme o lineárnej nezávislosti rozhodnúť pomocou Wronského determinantu funkcií (tiež wronskián) f1 , . . . , fk f1 (x), f2 (x), ..., fk (x) f10 (x), f20 (x), ..., fk0 (x) W (f1 , . . . , fk ) = . ... ... ... (k−1) (k−1) (k−1) f (x), f (x), . . . , f (x) 1 2 k Veta 6.4 Ak sú funkcie f1 , . . . , fk lineárne závislé na J, tak W (f1 , . . . , fk ) = 0 pre každé x ∈ J. Ak sa teda W (f1 , . . . , fk ) nerovná nule aspoň v jednom čísle intervalu J, sú funkcie f1 , . . . , fk lineárne nezávislé na J.

Príklady lineárne nezávislých funkcií: a) Funkcie 1, x, x2 , . . . , xk sú nezávislé na každom intervale. b) Nech r1 , r2 , . . . , rk sú navzájom rôzne komplexné čísla (ri 6= rj ) pre i 6= j. Funkcie er1 x , er2 x , . . . , erk x sú lineárne nezávislé na každom intervale. c) Nech r je komplexné číslo. Funkcie erx , xerx , . . . , xk erx sú lineárne nezávislé na každom intervale. d) Nech α, β sú reálne čísla a nech β 6= 0. Nech k ∈ N . Funkcie eαx cos βx, xeαx cos βx, . . . , xk eαx cos βx, eαx sin βx, xeαx sin βx, . . . , xk eαx sin βx, sú lineárne nezávislé na každom intervale. 6.3.1

Lineárna závislosť a nezávislosť riešení lineárnej diferenciálnej rovnice (L)

Veta 6.5 Nech y1 , y2 , . . . , yk sú riešenia diferenciálnej rovnice (L). Ak je k > n, tak sú tieto riešenia lineárne závislé. Veta 6.6 Existuje n riešení diferenciálnej rovnice (L), ktoré sú lineárne nezávislé. Systém n lineárne nezávislých riešení diferenciálnej rovnice (L) budeme nazývať jej fundamentálnym systémom riešení. Veta 6.7 Nech y1 , y2 , . . . , yn je fundamentálny systém riešení diferenciálnej rovnice (L). Potom každé riešenie diferenciálnej rovnice (L) sa dá napísať ako vhodná lineárna kombinácia riešení z tohto fundamentálneho systému. Nech y1 , y2 , . . . , yn je fundamentálny systém riešení rovnice (L), potom funkciu y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + cn yn (x)

(2)

premenných x, c1 , . . . , cn nazývame všeobecným riešením diferenciálnej rovnice (L). Poznámka 6.3 Každé riešenie diferenciálnej rovnice (L) dostaneme z jej všeobecného riešenia, ak za c1 , . . . , cn dosadíme vhodné čísla. Zníženie rádu lineárnej diferenciálnej rovnice Nech ϕ(x) je riešením diferenciálnej rovnice (L) a pre každé x ∈ J je ϕ(x) 6= 0. Použitím R substitúcie y = ϕ zdx dostaneme diferenciálnu rovnicu rádu n − 1. Ukážeme si tento postup na diferenciálnej rovnici druhého rádu. Potom Z 0 0 y = ϕ (x) zdx + ϕ(x)z, 00

00

y = ϕ (x)

Z

zdx + 2ϕ0 (x)z + ϕ(x)z 0 .

Dosadením do diferenciálnej rovnice (L) dostaneme Z Z Z 00 0 0 0 a0 [ϕ (x) zdx + 2ϕ (x)z + ϕ(x)z ] + a1 [ϕ (x) zdx + ϕ(x)z] + a2 ϕ zdx = 0.

Po úprave je 00

0

0

00

0

[a0 ϕ (x)]z + [2a0 ϕ (x) + a1 ϕ(x)]z + [a0 ϕ (x) + a1 ϕ (x) + a2 ϕ(x)]

Z zdx = 0.

Výraz v poslednej hranatej zátvorke je rovný nule, pretože ϕ je riešením danej diferenciálnej rovnice, teda dostávame rovnicu [a0 ϕ00 (x)]z 0 + [2a0 ϕ0 (x) + a1 ϕ(x)]z = 0 čo je diferenciálna rovnica prvého rádu. Nech jej riešenie je z = ψ(x). Potom všeobecné riešenie pôvodnej rovnice je Z z = C1 ϕ(x) + C2 ϕ(x) ψ(x)dx.

Príklad 6.1 Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y 00 −4y 0 +4y = 0, ak poznáme jedno jej riešenie y1 = e2x . R Riešenie. Použitím substitúcie e2x z(x)dx, po úprave dostaneme e2x z 0 = R 0. Riešením 2x tejto rovnice je napríklad z(x) = 1. Potom riešenie pôvodnej rovnice y2 = e 1 · dx = xe2x . 2x 2x Všeobecné riešenie je y = C1 e + C2 xe . Riešenie diferenciálnej rovnice s pravou stranou Budeme sa zaoberať diferenciálnou rovnicou (LP ). Veta 6.8 Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice (LP ) (s pravou stranou) na intervale J je súčet jej ľubovoľného riešenia a všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice (L) (rovnice bez pravej strany). Pri riešení diferenciálnej rovnice (LP ) môžeme postupovať takto: 1. Riešime príslušnú diferenciálnu rovnicu (L) (bez pravej strany). Nájdeme jej všeobecné riešenie y = c1 y1 + · · · + cn yn . 2. Nájdeme jedno riešenie diferenciálnej rovnice (LP ) (s pravou stranou) y ∗ . 3. Potom všeobecné riešenie rovnice (LP ) je y = c1 y1 + · · · + cn yn + y ∗ . Ďalej ukážeme, že ak vieme riešiť diferenciálnu rovnicu (L), tak vieme riešiť aj diferenciálnu rovnicu (LP ). Metóda, pomocou ktorej môžeme nájsť riešenie rovnice (LP ) je Lagrangeova metóda variácie konštánt. Ukážeme postup pre diferenciálnu rovnicu druhého rádu. Nech y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) je riešením diferenciálnej rovnice a0 y 00 + a1 y 0 + a2 y = 0, potom je a0 yi00 (x) + a1 yi0 (x) + a2 yi (x) = 0,

i = 1, 2.

Hľadajme také funkcie c1 (x), c2 (x), že funkcia y ∗ (x) = c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 bude riešením diferenciálnej rovnice s pravou stranou a0 y 00 + a1 y 0 + a2 y = f (x). Potrebujeme dve rovnice na určenie funkcií c1 (x), c2 (x). Vypočítajme deriváciu y ∗0 : y ∗0 = c01 (x)y1 (x) + c02 (x)y2 (x) + c1 (x)y10 (x) + c2 (x)y20 (x). Prvá rovnica nech je c01 (x)y1 (x) + c02 (x)y2 (x) = 0 pre každé x ∈ J. Potom y ∗00 (x) = c01 (x)y10 (x) + c02 (x)y20 (x) + c1 (x)y100 (x) + c2 (x)y200 . Po dosadení do danej diferenciálnej rovnice a vzhľadom na to, že funkcie y1 , y2 sú riešeniami diferenciálnej rovnice bez pravej strany je a0 [c01 (x)y10 (x) + c02 (x)y20 (x)] = f (x), čo je druhá potrebná rovnica na výpočet neznámych funkcií c1 (x), c2 (x). Keby sme zachovali podobný postup pre diferenciálnu rovnicu n-tého rádu, tak by sme dostali sústavu c01 (x)y1 (x) + c02 (x)y2 (x) + · · · + c0n (x)yn (x) = c01 (x)y10 (x) + c02 (x)y20 (x) + · · · + c0n (x)yn0 (x) = ... (n−1) (n−1) (n−1) 0 0 0 a0 [c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x) + · · · + cn (x)yn (x)] =

0, 0, ..., f (x).

Je to systém rovníc, ktorý má práve jedno riešenie (wronskián je nenulový). Riešenie danej 0 Rsústavy môžeme potom zapísať v tvare ci (x) = ϕi (x) a po integrovaní dostaneme ci (x) = ϕi (x)dx, i = 1, . . . , n. Teda ∗

y (x) =

n X i=1

Z yi (x)

ϕi (x)dx.

6.4

Lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientmi

Nech je daná diferenciálna rovnica a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + an y = 0,

(L1)

kde ai , i = 1, . . . , n sú reálne konštanty. Budeme uvažovať a0 = 1. Riešenie rovnice (L1) budeme hľadať v tvare erx . Platí veta: Veta 6.9 Funkcia erx je riešením diferenciálnej rovnice (L1) vtedy a len vtedy, ak r je koreňom rovnice rn + a1 rn−1 + · · · + an−1 r + an = 0. (CH) Dôkaz. Nech y = erx , potom y 0 = rerx , y 00 = r2 erx , . . . , y (n) = rn erx . Po dosadení do rovnice (L1) a po úprave dostaneme rovnicu (CH). Túto rovnicu nazývame charakteristickou rovnicou diferenciálnej rovnice (L1) a jej korene charakteristickými koreňmi diferenciálnej rovnice (L1). Ak korene charakteristickej rovnice sú reálne rôzne, tak platí veta: Veta 6.10 Nech r1 , r2 , . . . , rn sú reálne charakteristické korene diferenciálnej rovnice (L1) a navzájom rôzne. Potom všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je y = c1 er1 x + c2 er2 x + · · · + cn ern x . Príklad 6.2 Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y 00 − 7y 0 + 12y = 0. Riešenie. Odpovedajúca charakteristická rovnica r2 − 7r + 12 = 0 má korene r1 = 3, r2 = 4, ktorým odpovedajú riešenia y1 = e3x , y2 = e4x . Všeobecné riešenie je y = C1 e3x + C2 e4x . Ak koreň r1 je viacnásobný, tak podľa vety 6.10 vieme zostrojiť iba jedno riešenie odpovedajúce koreňu r1 . Ďalšie riešenia nájdeme podľa nasledujúcej vety: Veta 6.11 Nech r1 je k-násobným charakteristickým koreňom rovnice (L1). Potom funkcie er1 x , xer1 x , . . . , xk−1 er1 x sú riešeniami diferenciálnej rovnice (L1) a sú lineárne nezávislé. Príklad 6.3 Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y − 4y 0 + 4y = 0. 00

Riešenie. Odpovedajúca charakteristická rovnica r2 −4r +4 = 0 má dvojnásobný koreň r = 2, ktorému odpovedajú riešenia y1 = e2x , y2 = xe2x . Všeobecné riešenie je y = C1 e2x + C2 xe2x . Pre komplexné korene charakteristickej rovnice (L1) platia vety: Veta 6.12 Nech z(x) = u(x) + iv(x) je komplexná funkcia reálnej premennej a nech je riešením (L1). Potom riešením diferenciálnej rovnice (L1) je reálna funkcia u(x), ako aj reálna funkcia v(x). Veta 6.13 Nech r = α+iβ je k-násobným charakteristickým koreňom rovnice (L1). Potom funkcie eαx cos βx, xeαx cos βx, . . . , xk−1 eαx cos βx, eαx sin βx, xeαx sin βx, . . . , xk−1 eαx sin βx sú lineárne nezávislé riešenia rovnice (L1). Príklad 6.4 Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y − 2y 0 + 2y = 0. 00

Riešenie. Odpovedajúca charakteristická rovnica r2 − 2r + 2 = 0 má korene r12 = 1 ± i, ktorým odpovedajú riešenia y1 = ex cos x, y2 = ex sin x. Všeobecné riešenie je y = C1 ex cos x + C2 ex sin x.

6.5

Riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi so špeciálnou pravou stranou

Nech v diferenciálnej rovnici a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y 0 + an y = f (x),

(L1P )

kde ai , i = 1, . . . , n sú reálne čísla, má funkcia f špeciálny tvar. 1. Ak f (x) = Pm (x)eαx , kde α je k-násobným charakteristickým koreňom príslušnej lineárnej diferenciálnej rovnice (L1), k ≥ 0, tak riešenie y ∗ rovnice (L1P ) má tvar y ∗ = xk Qm (x)eαx , kde polynóm Qm je polynóm m-tého stupňa. (1)

(2)

(1)

(2)

2. Ak f (x) = eαx (Pn1 (x) cos βx+Pn2 (x) sin βx), kde polynómy Pn1 , resp. Pn2 sú polynómy stupňa n1 , resp. n2 , α, β ∈ R a β 6= 0, k je násobnosť charakteristického koreňa príslušnej diferenciálnej rovnice (L1), tak riešenie y ∗ rovnice (L1P ) má tvar (1) (2) (1) (2) y ∗ = xk eαx (Qm (x) cos βx+Qm (x) sin βx), kde polynómy Qm , Qm sú vhodné polynómy stupňa m = max{n1 , n2 }. 3. Ak f (x) = f1 (x) + f2 (x) a yi∗ je riešenie diferenciálnej rovnice L(y) = fi (x), i = 1, 2, tak y ∗ = y1∗ + y2∗ . Príklad 6.5 Nájdime všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y − 3y 0 + 2y = e1·x + 6e−1·x . 00

Riešenie. Odpovedajúca charakteristická rovnica r2 − 3r + 2 = 0 má korene r1 = 1 a r2 = 2, ktorým odpovedajú riešenia y1 = ex , y2 = e2x . Všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany je y = C1 ex + C2 e2x . Riešenie pravej strany y ∗ budeme hľadať v tvare y1∗ + y2∗ , kde y1∗ = Ax1 e1·x (r1 = 1 je koreňom odpovedajúcej charakteristickej rovnice)a y2∗ = Be−1·x . Po dosadení do pôvodnej rovnice (postupne y1∗ , y2∗ ) a porovnaní koeficientov dostaneme y1∗ = −xex , y2∗ = e−x . Teda všeobecné riešenie danej rovnice s pravou stranou je y1∗ = C1 ex + C2 e2x − xex + e−x .

6.6

Systémy obyčajných diferenciálnych rovníc

Uvedieme najjednoduchšiu metódu riešenia systémov diferenciálnych rovníc, nazývanú eliminačná metóda. Princíp tejto metódy vysvetlíme na nasledujúcom príklade Príklad 6.6 Nájdime partikulárne riešenie sústavy diferenciálnych rovníc 4z 0 − 2y 0 + 4z − y = e−x , z 0 + 8z − 3y = 5e−x , vyhovujúce začiatočným podmienkam z(0) = 1, y(0) = 2. Riešenie. Z druhej rovnice vypočítame y a dosadíme ho do prvej rovnice. Po úprave dostaneme diferenciálnu rovnicu z 00 + z 0 − 2z = −4e−x . Riešením tejto diferenciálnej rovnice je z = C1 ex + C2 e−2x + 2e−x . Vypočítané z dosadíme do druhej rovnice a dostaneme y = 3C1 ex + 2C2 e−2x + 3e−x . Nájdeme partikulárne riešenie. Pre výpočet hodnôt konštánt C1 , C2 dostaneme sústavu rovníc: 1 = C1 + C2 + 2,

2 = 3C1 + 2C2 + 3.

Riešením dostaneme C1 = 1, C2 = −2. Teda z = ex − 2e−2x + 2e−x ,

y = 3ex − 4e2x + 3e−x

je partikulárne riešenie danej sústavy. Podrobnejšie sa budeme zaoberať vlastnosťami systémov diferenciálnych rovníc v nadväzujúcich matematických predmetoch.

6.7

Cvičenia 6

1. Nájdite lineárnu diferenciálnu rovnicu tretieho rádu bez pravej strany, ktorej fundamentálny systém je: a) ex , e−x , e2x ; [y 000 − 2y 00 − y 0 + 2y = 0] 2 2x 2 x y 00 − −x2 +2x−2 y 0 − −x2 +2x−2 y = 0] b) ex , x, x2 ; [y 000 + −x2 +2x−2 −2 000 −1 00 −2 0 c) x, x , −x ln x. [y + 3x y − 2x y + 2x−3 y = 0] 2. Nájdite riešenia diferenciálnych rovníc: a) y 00 − 5y 0 + 4y = 0; b) y 00 − 5y 0 + 6y = 0; c) y 00 + 2y 0 + y = 0; d) y 00 + 4y 0 + 4y = 0; e) y 00 + 2y 0 + 4y = 0; f) y 00 + 9y = 0.

[y = C1 ex + C2 e4x ] [y = C1 e2x + C2 e3x ] [y = C1 e−x + C2 xe−x ] −2x [y =√C1 e−2x + C2 xe √ ] −x [y = e (C1 cos 3x + C2 sin 3x)] [y = C1 cos 3x + C2 sin 3x]

3. Nájdite riešenia diferenciálnych rovníc: a) y 000 − 4y 00 + 5y 0 = 0; [y = C1 + e2x (C2 cos x + C3 sin x)] 000 00 0 3x b) y − 6y + 11y − 6y = 0; [y = C1 e√x + C2 e2x + C 3e ] √ c) y 000 + 8y = 0; [y = C1 e−2x + ex (C2 cos 3x + C3 sin 3x)] d) y 000 + 3y 00 + 3y 0 + y = 0; [y = e−x (C1 + C2 x + C3 x2 )] (4) 000 00 e) y + y + 5y + 4y = 0. √ √ √ √ [y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + C3 cos 3x + C4 sin 3x] 4. Nájdite riešenia diferenciálnych rovníc: a) y 00 − 4y 0 = 4; [y = C1 + C2 e4x − x − 1/4] 00 b) y + y = tg x; [y = C1 cos x + C2 sin x + [ln tg (π/4 − x/2)]] 00 0 x c) y − y = e ; [y = C1 + C2 ex − ex + xex ] 00 0 −3x 2 d) y − 6y + 9y = xe +1−x ; [y = C1 e3x + C2 xe3x + e−3x (x + 1/3)/36 − x2 /9 − 4x/27 + 1/27] e) y 00 − 6y 0 + 9y = sin 2x. [y = C1 e3x + C2 xe3x + (5 sin 2x + 12 cos 2x)/169] 5. Nájdite riešenia diferenciálnych rovníc: a) y 00 − 5y 0 + 6y = 13 sin 3x; [y = C1 e2x + C2 e3x + (5 cos 3x − sin 3x)/6] b) y 00 + 9y = ex cos 3x; [y = (C1 + ex /37) cos 3x + (C2 + 6ex /37) sin 3x] 00

2

x

c) y + y = 4 cos x + (x + 1)e ; d) y 00 − 4y 0 + 4y = xe2x ; e) y 00 − 3y 0 + 2y = 3x + 5 sin 2x.

[y = C1 cos x + C2 sin x + 2x sin 2x + ex (1 − x + x2 /2)] [y = e2x (C1 x + C2 + x3 /6] [y = C1 ex + C2 e2x + 3x/2 + (9 − sin 2x + 3 cos 2x)/4]

6. Nájdite riešenia diferenciálnych rovníc: a) y 00 + 4y = 1/ cos 2x; [y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + 0, 25 cos 2x ln cos 2x + 0, 5x sin 2x] 00 0 −2x b) y + 4y + 4y = e ln x; [y = (C1 + C2 x + 0, 5x2 ln x − 3x2 /4)e−2x ]

c) y 00 + y 0 = e2x cos ex ; d) y 00 − 2y 0 + y = ex /x; e) y 00 + 2y 0 + y = e−x /x.

[y = C1 + C2 ex − cos ex ] [y = e (C1 + C2 x) + xex ln |x|] [y = e−x (C1 + C2 x) + xe−x ln |x|] x

7. Nájdite riešenia diferenciálnych rovníc: a) y 00 + 4y = x sin 2x; [y = C1 cos 2x + C2 sin 2x − (2x2 cos 2x − x sin 2x)/16] b) y 00 − 4y 0 + 3y = e2x sin x; [y = C1 ex + C2 e3x − 0, 5e2x sin x] 00 −x c) y + y = sin x − 2e ; [y = C1 cos x + C2 sin x − 0, 5x cos x − e−x ] d) y 00 + y = tg2 x; [y = −2 + C1 cos x + C2 sin x + sin x ln tg (x/2 + π/4)] e) y 00 − y 0 = 1/(1 + ex ), ak y(0) = 1, y 0 (0) = 2 . [y = −x + ex (3 − ln 2 − x) + (1 + ex ) ln(1 + ex ) − 2 − ln 2] 8. Riešte sústavu diferenciálnych rovníc: a) y 0 + 2y + 4z = 1 + 4x; z 0 + y − z = 3x2 /2; [y = C1 e2x + C2 e−3x + x2 + x] [z = −C1 e2x + 0, 25C2 e−3x − 0, 5x2 ] b) y 0 = y + 5z; z 0 + y + 3z = 0; [y = e−x (C1 cos x + C2 sin x)] [z = 0, 2e−x [(C2 − 2C1 ) cos x − (C1 + 2C2 ) sin x]] c) y 0 = −3y − z; z 0 − y + z = 0; [y = (C1 − C2 − C1 x)e−2x , z = (C1 x + C2 )e−2x ] d) y = −3y − 4z + 2x; z − y − z = x pre y(0) = z(0) = 0; [y = 14(1 − e−x ) − 2x(3 + 4e−x )] [z = −9(1 − e−x ) + x(5 + 4e−x )] 0 2 0 e) y = y /z; z − y/2 = 0; [y = 2C1 /(C2 − x)2 , z = C1 /(C2 − x)] 0

0

6.8

Test 6

1. T6-1 (2b) Je pravdivé tvrdenie: Nech y1 , y2 sú riešenia homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice druhého rádu, potom všeobecné riešenie má tvar y = C1 y1 + C2 y2 ? (a) Áno.

(b) Nie.

2. T6-2 (2b) Existuje lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi, ktorej fundamentálny systém tvoria funkcie y1 = 1, y2 = x? (a) Áno.

(b) Nie.

3. T6-3 (2b) Existuje lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi, ktorej fundamentálny systém tvoria funkcie y1 = 1, y2 = ex ? (a) Áno.

(b) Nie.

4. T6-4 (2b) Existuje lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi, ktorej fundamentálny systém tvoria funkcie y1 = 1, y2 = sin x? (a) Áno.

(b) Nie.

5. T6-5 (4b) Majme diferenciálnu rovnicu y 00 + y = 0. Každé jej riešenie sa dá napísať ako lineárna kombinácia funkcií: (a) sin x, cos x,

(c) sin x, − cos x,

(b) sin x + 5 cos x, cos x,

(d) sin x, cos x + 5.

6. T6-6 (4b) Majme diferenciálnu rovnicu y 00 − y = xe−x , jej partikulárne riešenie hľadáme v tvare: (a) y ∗ (x) = Axe−x ,

(c) y ∗ (x) = (Ax2 + Bx)e−x ,

(b) y ∗ (x) = (Ax + B)e−x ,

(d) y ∗ (x) = Ae−x .

7. T6-7 (4b) Majme diferenciálnu rovnicu y 00 − y = sin x, jej partikulárne riešenie hľadáme v tvare: (a) y ∗ (x) = A sin x,

(c) y ∗ (x) = A cos x + B sin x,

(b) y ∗ (x) = A(cos x + sin x),

(d) y ∗ (x) = e−x (A cos x + B sin x).

7

Viacrozmerné integrály

Cieľ V tejto časti uvedieme základné vlastnosti dvojných a trojných integrálov, definície, spôsoby ich výpočtu a ich aplikácie.

Otázky • • • • • • •

Definujte dvojný integrál a uveďte jeho základné vlastnosti. Uveďte postup pri výpočte dvojných integrálov. Uveďte geometrické aplikácie dvojných integrálov. Uveďte postup pri transformácii dvojného integrálu pomocou polárnych súradníc. Definujte trojný integrál a uveďte jeho základné vlastnosti. Aká je geometrická aplikácia trojných integrálov? Uveďte postup pri výpočte trojných integrálov. Uveďte postup pri transformácii trojného integrálu pomocou cylindrických a sférických súradníc.

Taylor Brook (1685-1731) - anglický matematik, ktorý má významné práce v matematickej analýze (vlastnosti funkcií), mechanike a balistike. Našiel všeobecný vzorec pre aproximáciu funkcie pomocou mocninového radu. Ako prvý položil základy k matematickému riešeniu kmitania struny (rovnice matematickej fyziky). Známe sú jeho výsledky v numerickej matematike. Je po ňom pomenovaný kráter na mesiaci.

7.1

Dvojný integrál

Nech f : R2 ⊃ A → R je spojitá funkcia a nech σ ⊂ A je ohraničená uzavretá oblasť, ktorá je zjednotením konečného počtu elementárnych oblastí. Rozdelíme oblasť σ na n častí tak, aby σ = ∪ni=1 σi a dve rôzne oblasti σi , σj nemali spoločné vnútorné body. Nech bod Pi je ľubovoľným bodom oblastí σi . Nech f (Pi ) je hodnota funkcie f v bode Pi a 4σi je plošný obsah oblastí σi , i = 1, . . . , n. Ak f ≥ 0, potom f (Pi )4σi môžeme geometricky interpretovať ako objem valcovitého telesa s postavou σi a výškou f (Pi ). Celkový objem telesa zostrojeného nad oblasťou σ ohraničeného základnou rovinou z = 0 a grafom funkcie n P f je Vn ≈ f (P i)4σi = S(f, Dn ). Túto sumu (nielen pre nezápornú funkciu) nazývame i=1

integrálnym súčtom pre dvojný integrál prislúchajúci danému deleniu Dn a danému výberu bodov Pi . Ak delenie je také, že oblasti σi sú dvojrozmerné intervaly so stranami 4xi , 4yi , tak S(f, Dn ) = n P f (P i)4xi 4yi . Nech pre n ∈ N je Dn delenie oblasti σ na malé oblasti σi také, že pre n → ∞ i=1

priemer d(σi ) oblasti σi konverguje k nule. Takúto postupnosť delení nazývame normálnou postupnosťou delení. Nech interval J = ha, bi × hc, di. Nech D(1) je delenie intervalu ha, bi, D(1) = (hxi−1 , xi i)ni=1 a D(2) je delenie intervalu hc, di, D(2) = (hyj−1 , yj i)m j=1 . Množinu intervalov hxi−1 , xi i × hyj−1 , yj i, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m nazývame delením intervalu J. Všimneme si úplnú analógiu integrálneho súčtu funkcie dvoch premenných s integrálnym súčtom funkcie jednej premennej. Teraz vyslovíme definíciu integrálu podobnú ako pre funkciu jednej premennej. Definícia 7.1 Číslo I nazývame dvojným integrálom z funkcie f na oblasti σ, ak pre každú normálnu postupnosť delení (Dn )∞ n=1 oblasti σ a pre ľubovoľné výbery bodov v súčtoch S(f, Dn ) je lim S(f, Dn ) = I. n→∞

Integrál funkcie f na oblasti σ označujeme znakom ZZ ZZ f (x, y)dσ alebo f (x, y)dxdy. σ

σ

Je možné ukázať, že lim n→∞ d(σi ) → 0

S(f, Dn ) = I ⇔ (∀ε > 0)(∃δ = δ(ε) > 0)(∀Dn :k Dn k< δ) : |S(f, Dn ) − I| < ε.

Ak existuje dvojný integrál funkcie f na intervale J, tak funkciu f nazývame integrovateľnou funkciou na intervale J. Nech σ je ohraničená na množine Rn . Funkciu χσ (X) = 1, pre X ∈ σ a χσ (X) = 0, pre X 6∈ σ, nazývame charakteristickou funkciou množiny σ. Funkcia f je integrovateľná na množine σ, ak funkcia Fσ = χσ f je integrovateľná na ľubovoľnom intervale J, ktorý obsahuje množinu σ a platí ZZ ZZ f (x, y)dxdy = Fσ (x, y)dxdy. σ

J

Nech σ je ohraničená množina. Ak existuje

RR

dxdy, nazývame množinu σ merateľnou.

σ

Jej obsahom (mierou) nazývame číslo ZZ m(σ) =

dxdy. σ

Ak existuje dvojný integrál funkcie f na oblasti σ, tak funkciu f nazývame integrovateľnou funkciou na oblasti σ. V opačnom prípade hovoríme, že funkcia f nie je integrovateľná na oblasti σ. Poznámka 7.1 Každá spojitá funkcia na merateľnej množine σ je na tejto množine integrovateľná. Poznámka 7.2 Ak funkcia f je na oblasti σ ohraničená a množina jej bodov nespojitosti má nulový obsah, tak je integrovateľná na oblasti σ.

7.2

Základné vlastnosti dvojného integrálu

Veta 7.1 Nech funkcie f, g sú integrovateľné na oblasti σ a nech c ∈ R. Potom aj funkcie f + g, cf sú integrovateľné na oblasti σ a platí ZZ ZZ ZZ (f (x, y) + g(x, y))dσ = f (x, y)dσ + g(x, y)dσ, σ

σ

ZZ

σ

ZZ cf (x, y)dσ = c

σ

f (x, y)dσ. σ

Veta 7.2 Nech oblasti σ1 , σ2 tvoria delenie oblasti σ. Nech funkcia f je integrovateľná na oblasti σ1 , σ2 . Potom funkcia f je integrovateľná aj na oblasti σ a platí ZZ ZZ ZZ f (x, y)dσ = f (x, y)dσ + f (x, y)dσ. σ

σ1

σ2

7.3

Výpočet dvojného integrálu

Výrazom σxy označme elementárnu oblasť vzhľadom na os Ox určenú takto: σxy = {(x, y)| a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}, kde funkcie ϕ, ψ sú spojité pre x ∈ ha, bi. Výrazom σyx označme elementárnu oblasť vzhľadom na os Oy určenú takto: σyx = {(x, y)| c ≤ y ≤ d, Φ(y) ≤ x ≤ Ψ(y)}, kde funkcie Φ, Ψ sú spojité pre y ∈ hc, di. Veta 7.3 Nech funkcia f je integrovateľná na oblasti σxy (σyx ). Nech pre každé x ∈ ha, bi ψ(x) Ψ(y) R R existuje f (x, y)dy (nech pre každé y ∈ hc, di existuje f (x, y)dx). Potom platí ϕ(x)

Φ(y)

Zb

ZZ f (x, y)dσ = σxy

a



Zd

ZZ f (x, y)dσ =

  σyx



 ψ(x) Z   f (x, y)dy  dx,  ϕ(x)



Ψ(y) Z

  c





  f (x, y)dx dy  .

Φ(y)

Výraz Zb



 ψ(x) Z   f (x, y)dy  dx 

a

ϕ(x)

nazývame dvojnásobným integrálom. Používa sa tiež označenie Zb a

ψ(x) Z dx f (x, y)dy. ϕ(x)

7.4

Trojný integrál

Úplne analogická je definícia integrálnych súčtov a integrálu, ako aj integrovateľnosti funkcie vo viacrozmernom priestore. Nech f : R3 ⊃ A → R je spojitá funkcia a nech ω ⊂ A je ohraničená uzavretá oblasť, ktorá je zjednotením konečného počtu elementárnych oblastí. Rozdelíme oblasť ω na n častí tak, aby ω = ∪ni=1 ωi a dve rôzne oblasti ωi , ωj nemali spoločné vnútorné body. Nech bod Pi je ľubovoľným bodom oblasti ωi . Nech f (Pi ) je hodnota funkcie f v bode Pi . Sumu S(f, Dn ) =

n X

f (P i)4ωi ,

i=1

nazývame integrálnym súčtom pre trojný integrál prislúchajúcim danému deleniu Dn a danému výberu bodov Pi . Ak delenie je také, že oblasti σi sú trojrozmerné intervaly so stranami 4xi , 4yi , 4zi , tak S(f, Dn ) =

n X

f (P i)4xi 4yi 4zi .

i=1

Nech pre n ∈ N je Dn delenie oblasti ω na malé oblasti ωi také, že pre n → ∞ priemer d(ωi ) oblasti ωi konverguje k nule. Takúto postupnosť delení nazývame normálnou postupnosťou delení. Nech J je trojrozmerný interval. Množinu intervalov hxi−1 , xi i × hyj−1 , yj i× ×hzk−1 , yk i, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, k = 1, . . . , s nazývame delením intervalu J. Definícia 7.2 Číslo I nazývame trojným integrálom z funkcie f na oblasti ω, ak pre každú normálnu postupnosť delení (Dn )∞ n=1 oblasti ω a pre ľubovoľné výbery bodov v súčtoch S(f, Dn ) je lim S(f, Dn ) = I. n→∞

Integrál funkcie f na oblasti ω označujeme znakom ZZZ ZZZ f (x, y, z)dω alebo f (x, y, z)dxdydz. ω

ω

Funkcia f je integrovateľná na množine ω, ak funkcia Fω = χω f je integrovateľná na istom intervale J, ktorý obsahuje množinu ω a platí ZZZ ZZZ f (x, y, z)dxdydz = Fω (x, y, z)dxdydz. ω

J

Nech ω je ohraničená množina. Ak existuje

RRR

dxdydz, nazývame množinu ω merateľnou.

ω

Jej objemom nazývame číslo ZZZ m(ω) =

dxdydz. ω

Poznámka 7.3 Pre trojný integrál platia podobné vety ako pre dvojný integrál.

7.5

Výpočet trojného integrálu

Nech σxy je elementárna oblasť v R2 . Nech f1 , f2 sú spojité funkcie dvoch premenných na oblasti σxy . Množinu všetkých bodov takých, že (x, y) ∈ σxy a f1 (x, y) ≤ z ≤ f2 (x, y) nazývame elementárna oblasť v R3 a budeme ju označovať ωxyz . ωxyz = {(x, y, z) ∈ R3 | a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x), f1 (x, y) ≤ z ≤ f2 (x, y)}. Podobne môžeme definovať elementárne oblasti ωxzy , ωyxz , . . . . Veta 7.4 Nech funkcia f je integrovateľná na elementárnej oblasti ωxyz . Nech pre každý f2 R (x,y) bod (x, y) ∈ σ existuje f (x, y, z)dz. Potom platí f1 (x,y)

ZZ Z

Z Z h f2Z(x,y) i f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz dxdy =

ωxyz

σxy

f1 (x,y)

ψ(x) f2Z(x,y) Zb n Z h i o = f (x, y, z)dz dy dx. a

ϕ(x)

f1 (x,y)

Výraz ψ(x) f2Z(x,y) Zb n Z h i o f (x, y, z)dz dy dx a

ϕ(x)

f1 (x,y)

nazývame trojnásobným integrálom. Používa sa tiež označenie ψ(x) f2Z(x,y) ψ(x) f2Z(x,y) Zb n Z Zb Z h i o f (x, y, z)dz dy dx = dx dy f (x, y, z)dz. a

ϕ(x)

f1 (x,y)

a

ϕ(x)

f1 (x,y)

Podobne môžeme postupovať pri výpočte trojných integrálov vzhľadom na oblasti ωyxz , ωxzy , . . . .

7.6

Transformácia dvojného a trojného integrálu

Pre ďalšie potreby je výhodné vysloviť vetu o substitúcii pre určitý integrál takto: Veta 7.5 Nech ϕ je funkcia definovaná na intervale J = hα, βi. Nech ϕ(t) má spojitú deriváciu ϕ0 (t), nerovnajúcu sa nule na J. Nech funkcia f (x) je spojitá na ϕ(J) = ha, bi. Potom platí Z Z b

β

f (ϕ(t))|ϕ0 (t)|dt.

f (x)dx = a

α

Tento vzorec môžeme zapísať aj takto Z Z f (x)dx = f (ϕ(t))|ϕ0 (t)|dt. ϕ(J)

J

Podobnú vetu môžeme vysloviť tiež pre viacrozmerné integrály. Pritom úlohu funkcie ϕ bude zastávať zobrazenie Φ, ktoré každému bodu T = (t1 , . . . , tn ) nejakej množiny G v nrozmernom priestore priradí bod X = (x1 , . . . , xn ) = Φ(T ) v n-rozmernom priestore. Množinu G nazývame oborom zobrazenia Φ. Nech zobrazenie Φ je dané rovnicami xi = ϕi (t1 , . . . , tn ), i = 1, . . . , n je prosté na množine G. Ak funkcie ϕ1 , . . . , ϕn majú prvé parciálne derivácie podľa všetkých premenných na otvorenej množine G, tak determinant ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂t1 , ∂t2 , . . . ∂tn ∂ϕ ∂ϕ2 ∂ϕ2 2 , , . . . ∂t1 ∂t2 ∂tn ... . . . . . . . . . ∂ϕn ∂ϕn ∂ϕn ∂t , ∂t , . . . ∂t 1

2

n

nazývame Jacobiho funkcionálnym determinantom zobrazenia Φ (jakobiánom) a označujeme ho DΦ (T ) alebo DΦ (t1 , . . . , tn ). Ak funkcie ϕ1 , . . . , ϕn majú spojité prvé parciálne derivácie podľa všetkých premenných na otvorenej množine G a pre každý bod T ∈ G je DΦ (T ) 6= 0, tak zobrazenie Φ nazývame regulárnym na množine G. Príklad 7.1 Nech zobrazenie Φ priradí každej dvojici čísel (ρ, ϕ) bod (x, y) podľa vzťahov

x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ.

(1)

Toto zobrazenie sa volá transformácia pomocou polárnych súradníc a je regulárne pre ρ > 0 a 0 < ϕ < 2π. Ak utvoríme jakobián, tak cos ϕ, −ρ sin ϕ = ρ. (2) sin ϕ, ρ cos ϕ

Príklad 7.2 Nech zobrazenie Φ priradí každej trojici čísel (r, ϕ, γ) bod (x, y, z) podľa vzťahov

x = r sin γ cos ϕ, y = r sin γ sin ϕ, z = r cos γ.

(3)

Toto zobrazenie sa volá transformácia pomocou sférických (guľových) súradníc a je regulárne pre r > 0 a 0 < ϕ < 2π, 0 < γ < π . Ak utvoríme jakobián, tak |DΦ | = r2 sin γ. Príklad 7.3 Nech zobrazenie Φ priradí každej trojici čísel (r, ϕ, γ) bod (x, y, z) podľa vzťahov

x = r cos γ cos ϕ, y = r cos γ sin ϕ, z = r sin γ.

(4)

Toto zobrazenie sa volá transformácia pomocou sférických (guľových) súradníc a je π π regulárne pre r > 0 a 0 < ϕ < 2π, − < γ < . Ak utvoríme jakobián, tak |DΦ | = r2 cos γ. 2 2 Príklad 7.4 Nech zobrazenie Φ priradí každej trojici čísel (ρ, ϕ, z ) bod (x, y, z) podľa vzťahov x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z.

(5)

Toto zobrazenie sa volá transformácia pomocou cylindrických (valcových) súradníc a je regulárne pre ρ > 0 a 0 < ϕ < 2π . Ak utvoríme jakobián, tak |DΦ | = ρ. Veta 7.6 1. Nech zobrazenie Φ, dané rovnicami x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), je prosté a regulárne na oblasti G ⊂ R2 a túto oblasť zobrazí na oblasť Φ(G). 2. Nech B ⊂ G a σ ⊂ Φ(G) sú pri zobrazení Φ sebe odpovedajúce uzavreté merateľné oblasti. 3. Nech f (x, y) je integrovateľná funkcia na σ. Potom platí: ZZ ZZ f (x, y)dxdy = f [ϕ(u, v), ψ(u, v)] · |DΦ (u, v)|dudv. σ

B

Príklad 7.5 Vypočítajme ZZ σ

dxdy p , x2 + y 2

ak oblasť σ je ohraničená priamkami y = 0, y = x a kružnicou x2 + y 2 = 2x.

(6)

Riešenie. Zavedieme polárne súradnice. Kružnica, ohraničujúca oblasť σ, má tvar ρ = 2 cos ϕ. Oblasť σ môžeme popísať takto: 0 ≤ ϕ ≤ π/4; 0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ. Platí ZZ σ

dxdy p = x2 + y 2

Zπ/4 2Zcos ϕ 1 p ρdρ = dϕ ρ2 0

0

Zπ/4 2Zcos ϕ Zπ/4 Zπ/4 √ = [ dρ]dϕ = [ρ]20 cos ϕ dϕ = 2 cos ϕdϕ = 2. 0

0

0

0

Veta 7.7 1. Nech zobrazenie Φ, dané rovnicami x = ϕ(u, v, w), y = ψ(u, v, w), z = µ(u, v, w) je prosté a regulárne na oblasti G ⊂ R3 a túto oblasť zobrazí na oblasť Φ(G). 2. Nech B ⊂ G a ω ⊂ Φ(G) sú pri zobrazení Φ sebe odpovedajúce uzavreté merateľné oblasti. 3. Nech f (x, y, z) je integrovateľná funkcia na ω. Potom platí: ZZZ f (x, y, z)dxdydz = ω

ZZZ f [ϕ(u, v, w), ψ(u, v, w), µ(u, v, w)] · |DΦ (u, v, w)|dudvdw.

= B

Príklad 7.6 Vypočítajme

ZZZ z

p x2 + y 2 dxdydz,

ω

ak oblasť ω je ohraničená rovinami y = 0, y = x, z = 0, z = 4 a valcom x2 + y 2 = 2x. Riešenie. Oblasť ω môžeme popísať takto:

0 ≤ ϕ ≤ π/4, 0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ, 0 ≤ z ≤ 4.

Ohraničenie pre súradnice ρ a ϕ určíme z priemetu oblasti ω do roviny (x, y). Platí ZZZ p Zπ/4 2Zcos ϕ Z4 Zπ/4 2Zcos ϕ 2 z 2 z x2 + y 2 dxdydz = dϕ ρ dϕ zdz = dϕ ρ2 [ ]40 dρ = 2 ω

0

0

0

0

0

Zπ/4 2Zcos ϕ Zπ/4 3 2 ρ 2 z 4 dϕ ρ [ ]0 dρ = 8 [ ]20 cos ϕ dϕ = · · · = 128/9. 2 3 0

0

0

(7)

Príklad 7.7 Vypočítajme ZZZ dxdydz, ω 2

2

ak oblasť ω je ohraničená plochou (x + y + z 2 )3 = 3xyz, ak x > 0, y > 0, z > 0. Riešenie. Oblasť ω môžeme popísať takto: 0 ≤ ϕ ≤ π/2; 0 ≤ γ ≤ π/2; 0 ≤ r ≤ p √ 3 3 3 sin ϕ cos ϕ sin2 γ cos γ. Platí ZZZ

Zπ/2 Zπ/2 dxdydz = dϕ sin γdγ

ω

0

√ 3

√

3 3 sin ϕ cos ϕ sin2 γ cos γ

Z

r2 dr =

0

0

Zπ/2 Zπ/2 √ √ 3 3 3 sin ϕ cos ϕ sin2 γ cos γ 3 = dϕ sin γ[r /3]0 dγ = 0

0

Zπ/2 Zπ/2 = sin ϕ cos ϕdϕ sin3 γ cos γdγ = 0

Zπ/2

0

π/2

sin ϕ cos ϕ[(sin4 γ)/4]0 dϕ = · · · = 1/8.

= 0

Poznámka 7.4 Ak jakobián zobrazenia nemení znamienko a rovná sa nule - v jednotlivých bodoch alebo krivkách (pri dvojných integráloch), - v jednotlivých bodoch alebo krivkách alebo plochách (pri trojných integráloch), potom v mnohých prípadoch zostáva veta o transformácii dvojných, resp. trojných integrálov v platnosti. Opodstatnenosť tohto postupu v každom prípade treba vyšetriť zvlášť. V prípade transformácie pomocou polárnych, cylindrických alebo sférických súradníc posledné dve vety o transformácii platia aj za takto rozšírených predpokladov.

7.7

Geometrické aplikácie dvojných a trojných integrálov

Nech σ je merateľná množina v R2 . Potom pre jej obsah platí ZZ dxdy.

(1)

σ

Nech ω je uzavretá merateľná množina z R3 . Pre objem množiny ω platí ZZZ V = dxdydz.

(2)

ω

Nech S je plocha určená rovnicou w = r(u, v), (u, v) ∈ B. Nech σ je taká merateľná podmnožina B, že je časťou roviny ohraničenou po častiach hladkou jednoduchou uzavretou krivkou. Nech parciálne derivácie r 0u , r 0v sú spojité na množine σ, t. j. plocha S je na množine σ hladká. Potom pre obsah P (σ) plochy S(σ) platí: ZZ P (σ) = |r 0u × r 0v |dudv. (3) σ

Ak plocha S je určená rovnicou z = f (x, y), (x, y) ∈ σ, pričom zx0 , zy0 sú spojité funkcie na množine σ, potom ZZ q 1 + (zx0 )2 + (zy0 )2 dxdy. (4) P (σ) = σ

Fyzikálne aplikácie dvojných a trojných integrálov budú uvedené v nadväzujúcich matematických predmetoch.

7.8

Cvičenia 7

1. Vypočítajte: R2 R1 a) dy (x2 + 2y)dx; 0 R4

[14/3]

0 R2

dy ; 2 1 (x + y) 3 R1 R1 x2 dy c) dx ; 2 0 0 1+y Rx x2 dy R2 ; d) dx 2 1 1/x y √ 1−x R 2p R1 1 − x2 − y 2 dy. e) dx b)

dx

[ln(25/24)] [π/12] [9/4] [π/6]

0

0

2. Vypočítajte: RR x a) dxdy, D : x = 2 + sin y, x = 0, y = 0, y = 2π; D 2 RR dxdy , D : x = 3, x = 4, y = 1, y = 2; b) 2 (x + y) D RR √ c) 2ydxdy, D : x + y = 2, y = 0, y = x; D RR d) x2 y −2 dxdy, D : y = x, y = 1/4, x = 2; RRD x e) e dxdy, D : x = 0, y = 2, x = ln y.

[9π/4] [ln(25/24)] [5/6] [9/4] [1/2]

D

3. Vypočítajte: RR dxdy p a) dxdy, D : x2 + y 2 = a2 , x > 0, y > 0; [aπ/2] 2 2 2 a − x − y D RR p b) x2 − y 2 dxdy, D : je trojuholník s vrcholmi A = (0; 0), B = (1; −1), C = (1; 1); D

RR p c) xy − y 2 dxdy,

[π/6)] D : je trojuholník s vrcholmi A = (0; 0), B = (10; 1), C = (1; 1);

D

d)

RR

x/y

e

dxdy,

2

D : y = x, y = 1, x = 0;

[6] [1/2]

D

e)

RR xdxdy , 2 2 D x +y

D : y = x2 /2, y = x.

[ln 2]

4. Vypočítajte: RRR 2 2 a) (x +y )dxdydz, ak oblasť V je ohraničená rovinou z = 2 a paraboloidom x2 +y 2 = V

2z; [16π/3] RRR p 2 2 b) z x + y dxdydz, ak oblasť V je ohraničená rovinami y = 0, z = 0, z = a a V

valcomp x2 + y 2 = 2x; [8a2 /9] RRR x2 + y 2 + z 2 dxdydz, ak oblasť V je ohraničená plochou x2 + y 2 + z 2 = z; [π/10] c) V RRR d) dxdydz, ak oblasť V je ohraničená rovinou z = 0, guľovou plochou x2 + y 2 + z 2 = V

4R2 a valcovou plochoux2 + y 2 = 2Rx;

e)

RRR

2

2

2

2 −1/2

(a − x − y − z )

[(π/2 − 2/3)16R3 /3] dxdydz, ak oblasť V je ohraničená rovinami z = 0, y = 0,

V

z = 0 a guľovou plochou x2 + y 2 + z 2 = a2 ; [π 2 a2 /8] f) (x + y + z) dxdydz, ak oblasť V je spoločná časť plôch 2az = x +y , x +y 2 +z 2 = V √ 3a2 . [πa2 (18 3 − 97/6)/5] RRR dxdydz g) , ak oblasť V je ohraničená rovinami x + y + z = 1, x = 0, y = 0, (x + y + z + 1)3 V z = 0. [0, 5 ln 2 − 5/16] RRR

2

2

2

2

5. Vypočítajte obsah oblasti ohraničenej danými krivkami: a) 2x − y = 0, 2x − y = 7, x − 4y + 7 = 0, x − 4y + 14 = 0; [7] b) y = −2, y = x + 2, y = 2, y 2 = x; [40/3] c) xy = a2 , x2 = ay, y = 2a, x = 0, a > 0; [a2 (23/24 √ + ln 2)] 2 2 d) y = 10x + 25, y = −6x + 9; [ 1516/3] [3(π/4 + 1/2)] f) (x − a)2 + y 2 = a2 , e) x2 + y 2 = 2x, x2 + y 2 = 4x, y = x, y = 0; x2 + (y − a)2 = a2 ; [a2 (π/2 − 1)] 2 2 g) kružnicou x + √ y = 5, jej dotyčnicou v bode A = (1, 2) a priamkou y = 0; [5 − 2, 5arcsin (2/ 5)] h) (x2 + y 2 )2 = 2a2 xy; [a2 ] g) (x2 + y 2 )2 = 2ax3 , a > 0. [5πa2 /8] 6. Nájdite objemy telies ohraničených plochami: a) x − y√+ z = 6, √ x + y = 2, x = y, y = 0, z = 0; b) y = x, y = 2 x, z = 0, x + z = 6; c) z = 4 − x2 − y 2 , 2zp= 2 + x2 + y 2 ; d) 2z = x2 + y 2 , z = x2 + y 2 ; e) x2 + y 2 = 2x, x2 + y 2 = 2y, z = 2y + x, z = 0; f) z = x2 + y 2 , z = x2 + 2y 2 , y = x, y = 2x, x = 1; g) z = x2 + y 2 , z 2 = xy; h) x2 + y 2 + z 2 = 2z, x2 + y 2 = 2 − z; i) x2 + y 2 + z 2 = 16, x2 + y 2 + z 2 − 8z = 0; j) (x2 + y 2 + z 2 ) = a3 x.

[16/3] √ [48 6/5] [3/π] [4π/3] [3(π/2 − 1)/2] [7/12] [π/96] [7π/6] [80π/3] [πa3 /3]

7. Vypočítajte obsah časti danej plochy: √ a) z = 2xy, ohraničenej rovinami x = 0, y = 0, x + y = 1; [π/ 2] b) z = (x2 + y 2 )/2, ohraničenej rovinami x − y = 1, x − y = −1, x √ + y = 1 x + y = −1; [−2π/3 + 2 2(1 + (7 ln 3)/4)/3] c) z = xy, ohraničenej valcovou plochou x2 + y 2 = a2 ; [2π((1 + a2 )3/2 −√1)/3] d) x2 −p y 2 = z 2 , ohraničenej rovinou y + z = a a ležiacou v prvom oktante; [a2 2/2] 2 2 2 2 2 2 2 2 e) z = x + y , ohraničenej valcovou plochou (x + y ) = a (x − y ); √ [a2 2] f) R2 = x2 + y 2 , ohraničenej rovinami z = mx a z = nx, m > n > 0; [4(m − n)R2 ] g) ax = x2 + y 2 , ohraničenej plochou x2 + y 2 + z 2 = a2 . [4a2 ]

7.9

Test 7

1. T7-1 (1b) Je pravdivé tvrdenie: Každé delenie oblasti pre n → ∞ je normálnym delením? (a) Nie.

(b) Áno.

2. T7-2 (2b) Nech σxy je elementárna oblasť vzhľadom na os Ox určená takto: σxy = {(x, y)| a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}, kde funkcie ϕ, ψ sú spojité pre x ∈ ha, bi. Potom platí:   ψ(x) ZZ Zb Z   f (x, y)dy  dx, f (x, y)dσ =  (a) σxy

a

Zb

ZZ f (x, y)dσ =

(b) σxy

ϕ(x)



 ψ(x) Z   f (x, y)dx dy. 

a

ϕ(x)

3. T7-3 (2b) Nech σxy je elementárna oblasť vzhladom na os Ox určená takto: σxy = {(x, y)| a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}, a ωxyz = {(x, y, z) ∈ R3 | a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x), f1 (x, y) ≤ z ≤ f2 (x, y)}. Potom

ZZ Z f (x, y, z)dxdydz = ωxyz f2Z(x,y)

ZZ (a)

=

[

f (x, y, z)dz]dxdy,

σxy f1 (x,y)

(b)

ψ(x) f2Z(x,y) Zb Z = { [ f (x, y, z)dz]dy}dx. a

ϕ(x) f1 (x,y)

4. T7-4 (2b) Oblasť (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ 1, môžeme popísať pomocou nerovností: (a) −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1, (b) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, √ √ (c) −1 ≤ x ≤ 1, − 1 − x2 ≤ y ≤ 1 − x2 , √ (d) −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x2 . 5. T7-5 (2b) Oblast ρ ≤ 1, môžeme popísať pomocou nerovností:

(a) 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1,

(c) 0 ≤ ϕ ≤ 2π, −1 ≤ ρ ≤ 1,

(b) 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ 1,

(d) −π ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1.

√ 6. T7-6 (4b) Nech oblasť D : x + y = 2, y = 0, y = x, potom ZZ 2ydxdy = D

Z1 (a)

=



Z2−y    2ydx dy,

0

Z2 (b)

=



Z2

0

0

=

 2ydy  dx,



(c)

Z2−y dy 2ydx,

0

y2



Z1

y2

Z1 (d) quad = 0

√

Zx Z2 Z2−x dx 2ydy + dx 2ydy. 0

1

0

8

Parametrické integrály

Cieľ Uvedenie základných vlastností parametrických integrálov.

Otázky • Ako môžeme definovať funkciu pomocou parametrického integrálu. Uveďte príklad. • Uveďte základné vlastnosti funkcií zadaných pomocou parametrických integrálov.

8.1

Integrály závislé od parametra

Uvažujme funkciu f : J → R, kde J = ha, bi × hc, di. Nech pre každé y ∈ hc, di je funkcia ϕ(x) = f (x, y) integrovateľná v intervale ha, bi. Nech hα, βi ⊂ ha, bi. Potom funkciu Zβ F (y) =

f (x, y)dx α

nazývame parametrickým integrálom alebo integrálom závislým od parametra. Pomocou parametrických integrálov sú definované niektoré významné funkcie, zároveň ich môžeme použiť pri výpočte niektorých integrálov. Budú nás zaujímať vlastnosti funkcie F v závislosti na vlastnostiach funkcie f . Veta 8.1 Nech funkcia f je spojitá na intervale J, potom funkcia F je spojitá na intervale hc, di. Veta 8.2 Nech parciálna derivácia fy0 (x, y) je spojitá na intervale J. Potom pre každé y ∈ hc, di platí Zb Zb d ∂f (x, y) f (x, y)dx = dx. F 0 (y) = dy ∂y a

a

Veta 8.3 Nech funkcia f je spojitá vzhľadom na interval J a funkcie α(y), β(y) sú spojité na intervale hc, di, pričom ich obory hodnôt ležia v intervale ha, bi. Potom parametrický integrál β(y) Z F (y) = f (x, y)dx α(y)

je spojitá funkcia v intervale hc, di. Veta 8.4 Nech funkcia f je spojitá vzhľadom na interval J a funkcie α(y), β(y) sú spojité na intervale hc, di, pričom ich obory hodnôt ležia v intervale ha, bi. Nech existujú derivácie α0 (y), β 0 (y) v intervale hc, di a fy0 (x, y) je spojitá vzhľadom na interval J, potom 0

β(y) Z

F (y) = α(y)

∂f (x, y) dx + β 0 (y)f [β(y), y] − α0 (y)f [α(y), y]. ∂y

8.2

Nevlastné parametrické integrály

Nech funkcia f (x, y) je definovaná na intervale ha, ∞) × hc, di a pre každé y ∈ hc, di existuje R∞

f (x, y)dx. Potom funkciu

a

Z∞ F (y) =

f (x, y)dx a

nazývame nevlastným parametrickým integrálom alebo nevlastným integrálom závislým od parametra y. Podobne môžeme definovať aj nevlastné parametrické integrály vzhľadom na dolnú hranicu. Pre nevlastné parametrické integrály platia podobné vety ako pre parametrické integrály. Okrem elementárnych funkcií majú veľký význam i niektoré neelementárne funkcie. Istým zovšeobecnením pojmu faktoriál je tzv. gama funkcia. Funkciu

Z∞ Γ(y) =

e−x xy−1 dx,

0

ktorá je definovaná pre každé y > 0 nazývame gama funkciou. Uvedieme niektoré základné vlastnosti gama funkcie: • Funkcia Γ má deriváciu na svojom obore definície. • Pre každé y > 0 je Γ(y + 1) = yΓ(y). • Pre každé prirodzené číslo n platí Γ(n) = (n − 1)!. Funkciu

Z1 B(p, q) =

xp−1 (1 − x)q−1 dx,

0

ktorá je definovaná pre p > 0, q > 0, nazývame beta funkciou. Γ(p) · Γ(q) Platí: B(p, q) = B(q, p) a B(p, q) = . Γ(p + q)

8.3

Test 8

1. T8-1 (2b) Nech f (y) = 0, 5 + y, pre y ∈ h1, 2i, g(y) = (a) Áno. 2. T8-2 (2b) Nech g(y) = (a) Áno.

(b) Nie. R1 0

(x + y)dx. Je

dg(y) dy

= 1? (b) Nie.

R1 0

(x + y)dx. Je f (y) = g(y)?

9

Krivkové integrály

Cieľ V tejto časti definujeme dva druhy krivkových integrálov a ukážeme niektoré možnosti ich geometrických aplikácií.

Otázky • Definujte krivkový integrál prvého druhu a uveďte jeho základné vlastnosti. • Uveďte postup pri výpočte krivkového integrálu prvého druhu. Uveďte príklad. • Definujte krivkový integrál druhého druhu a uveďte jeho základné vlastnosti. • Uveďte postup pri výpočte krivkového integrálu druhého druhu. Uveďte príklad. • Vyslovte Greenovu vetu.

Gauss, K.F. (30.4.1777-23.2.1855) - nemecký matematik, astronóm, fyzik... . Zaoberal sa teoretickou, ale aj aplikovanou matematikou. Jeho práce mali veľký vplyv na ďalší rozvoj vyššej algebry, teóriu čísel, diferenciálnu geometriu, boli využité v elektrotechnike, magnetizme, geodézii, teoretickej astronómii, v numerickej matematike... .

9.1

Jednoduchá hladká krivka. Orientované krivky

Definícia 9.1 Množinu bodov P ∈ R3 nazývame jednoduchá hladká krivka C, ak súradnice bodu P (x, y, z) možno určiť pomocou funkcií ϕ, ψ, χ : hα, βi → R a platí 1. x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t), kde t ∈ hα, βi (tieto rovnice nazývame parametrickými rovnicami jednoduchej hladkej krivky C). 2. Funkcie ϕ, ψ, χ majú spojité derivácie pre t ∈ hα, βi. 3. ϕ02 (t) + ψ 02 (t) + χ02 (t) > 0 pre t ∈ hα, βi. 4. Každým dvom rôznym hodnotám parametra t ∈ hα, βi odpovedajú dva rôzne body, t. j. P (t1 ) 6= P (t2 ) pre t1 6= t2 ∈ hα, βi. Ak podmienku (4) definície 9.1 nahradíme podmienkou: 40 . Každým dvom rôznym hodnotám parametra t ∈ hα, βi odpovedajú dva rôzne body, t. j. P (t1 ) 6= P (t2 ) pre t1 6= t2 ∈ hα, β) a P (α) = P (β), tak hovoríme o jednoduchej uzavretej hladkej krivke. Parametrické vyjadrenie krivky C môžeme vyjadriť tiež pomocou vektorovej funkcie r(t) = (ϕ(t), ψ(t), χ(t)), t ∈ hα, βi. Túto funkciu spravidla názorne interpretujeme tak, že t je čas a r(t) je poloha pohybujúceho sa bodu. Bod sa môže pohybovať po krivke C dvoma navzájom opačnými smermi. Skutočnosť, že bod P1 je pred bodom P2 , krátko zapíšeme takto: P1 ≺ P2 . Oblúk C je orientovaný súhlasne [nesúhlasne] s parametrickým vyjadrením r(t), t ∈ hα, βi, ak pre ľubovoľné body P1 , P2 oblúka C, pre ktoré je t1 < t2 [t1 < t2 ], je P1 ≺ P2 [P2 ≺ P1 ]. Ak je krivka C orientovaná súhlasne [nesúhlasne] s parametrickým vyjadrením r(t), t ∈ hα, βi, tak bod r(α) [r(β)] je jej prvým a bod r(β) [r(α)] jej posledným bodom. Pre určenie orientácie uzavretých kriviek potrebujeme ľubovoľné tri rôzne body P1 = r(t1 ), P2 = r(t2 ), P3 = r(t3 ). Krivku C nazveme cyklicky orientovanou súhlasne s parametrickým vyjadrením, ak trojicu bodov (P1 , P2 , P3 ) považujeme za usporiadanú v zmysle orientácie vtedy a len vtedy, keď nastane jedna z týchto možností: t1 < t2 < t3 ,

t3 < t1 < t2 ,

t2 < t3 < t1 .

Uzavreté krivky cyklicky orientované súhlasne alebo nesúhlasne s parametrickým vyjadrením nazývame cyklicky orientované. Ak výslovne nebudeme predpokladať iné, tak pod orientovanými krivkami budeme rozumieť krivky orientované súhlasne, resp. nesúhlasne s parametrickým vyjadrením ako aj cyklicky orientované krivky. Je zrejmé, že na to, aby sme určili orientáciu oblúka, stačí udať, ktorý z koncových bodov je prvý a ktorý posledný. Podobne na to, aby sme určili cyklickú orientáciu uzavretej krivky, stačí udať jednu usporiadanú trojicu jej bodov. Nech C je orientovaný oblúk (cyklicky orientovaná krivka). Nech na krivke C sú dané body P0 , P1 , . . . , Pm tak, že P0 ≺ P1 ≺ · · · ≺ Pm , pričom P0 a Pm sú koncové body krivky C (P0 = Pm a (Pi−2 , Pi−1 , Pi ) sú usporiadané trojice bodov pre i = 2, 3, . . . , m). Potom hovoríme, že na krivke C je dané delenie D krivky C, ktoré pozostáva z čiastočných kriviek Pi−1 Pi , i = 1, 2, . . . , m. Je zrejmé, že ak C je orientovaná krivka, tak každá jej čiastočná krivka (oblúk) je tiež orientovanou krivkou. Orientovanú krivku C nazývame po častiach hladkou, ak existuje také jej delenie, že všetky čiastočné krivky Pi−1 Pi tohto delenia sú hladké oblúky. Normou delenia D krivky C rozumieme číslo k D k= max {d(Pi−1 , Pi ), i = 1, 2, . . . , p}

Postupnosť (Dn )∞ n=1 delení krivky C nazývame normálnou, ak lim k Dn k= 0. n→∞

Krivkový integrál prvého druhu Nech f (P ) je ohraničená reálna funkcia definovaná v každom bode krivky C. Nech D je delenie krivky C, dané deliacimi bodmi P0 , P1 , . . . , Pm . Nech Ki ∈ Pi−1 Pi , i = 1, 2, . . . , m a nech dĺžka oblúka Pi−1 Pi je 4si = |Pi − Pi−1 |. Potom číslo S(f, D) =

m X

f (Ki )|Pi−1 Pi | =

i=1

m X

f (Ki )4si

i=1

nazývame integrálnym súčtom funkcie f (P ) pre delenie D krivky C a danú voľbu bodov Ki . Tento integrálny súčet sa nazýva integrálny súčet prvého druhu. Definícia 9.2 Číslo I nazývame integrálom z funkcie f po krivke C, ak pre každú normálnu postupnosť (Dn )∞ n=1 delení krivky C a pre ľubovoľné výbery bodov Ki je I = lim S(f, Dn ). n→∞ Tento integrál nazývame krivkovým integrálom prvého druhu po krivke C a označujeme R ho znakom f (P )ds. C

Krivkový integrál druhého druhu Nech pôsobením sily, ktorej hodnota v ľubovoľnom bode krivky C je daná vektorom f (P ), sa hmotný bod pohybuje po krivke C. Našou úlohou je zistiť, akú prácu vykoná sila pri premiestnení bodu P po celej krivke C. Prácu, ktorú vykoná sila f (P ) po krivke C, môžeme približne vypočítať takto: Nech D je delenie krivky C dané deliacimi bodmi P0 , P1 , . . . , Pm . Na každom čiastočnom oblúku Pi−1 Pi si zvolíme ľubovoľný bod Ki . Ak je norma delenia dosť malá, môžeme oblúk Pi−1 Pi nahradiť úsečkou Pi−1 Pi . Pretože f (P ) je spojitou funkciou, je na oblúku Pi−1 Pi sila f (P ) približne rovná sile f (Ki ), i = 1, 2, . . . , m a prácu sily f (P ), pôsobiacej po krivke C môžeme približne vyjadriť ako m X

f (Ki ) · (Pi − Pi−1 ),

i=1

kde f (Ki ) · (Pi − Pi−1 ) je skalárny súčin vektora f (Ki ) a vektora Pi − Pi−1 a jeho hodnota je práca, ktorú vykoná sila f (Ki ) pri premiestnení hmotného bodu z bodu Pi−1 do bodu Pi . Nech C je ľubovoľná orientovaná krivka. Nech f (P ) je ohraničená vektorová funkcia definovaná v každom bode krivky C.Nech D je delenie krivky C dané deliacimi bodmi P0 , P1 , . . . , Pm . Nech Ki ∈ Pi−1 Pi . Číslo m X S(f, D) = f (Ki ) · (Pi − Pi−1 ) i=1

nazývame integrálnym súčtom funkcie f pre delenie D a pre daný výber bodov Ki , pričom Pi − Pi−1 = 4xi i + 4yi j + 4zi k. Číslo I nazývame integrálom funkcie f po krivke C, ak pre každú normálnu postupnosť (Dn )∞ n=1 delení krivky C a pre ľubovoľné výbery bodov Ki je I = lim S(f , Dn ). Tento integrál n→∞ nazývame krivkovým integrálom druhého druhu po krivke C a označujeme ho znakom R f (P ) · ds. C

Poznámka 9.1 Ak je v rovine zvolený pravouhlý súradnicový systém, v ktorom je f (P ) = p(x, y)i + q(x, y)j, ds = dxi + dyj, potom krivkový integrál druhého druhu označujeme tiež znakom Z p(x, y)dx + q(x, y)dy. C

Poznámka 9.2 Ak je v priestore zvolený pravouhlý súradnicový systém, v ktorom je f (P ) = p(x, y, z)i + q(x, y, z)j + r(x, y, z)k, ds = dxi + dyj + dzk, potom krivkový integrál druhého druhu označujeme tiež znakom Z p(x, y, z)dx + q(x, y, z)dy + r(x, y, z)dz. C

Ak existuje integrál z funkcie f (f ) po krivke C hovoríme, že funkcia f (f ) je integrovateľná na krivke C. Veta 9.1 Nech C je po častiach hladká orientovaná krivka, ktorej parametrické vyjadrenie je r(t), t ∈ hα, βi. Nech f je reálna funkcia definovaná na krivke C. Potom Zβ

Z f (P )ds =

f (O + r(t))|r 0 (t)|dt,

α

C

pričom krivkový integrál vľavo existuje vtedy a len vtedy, keď existuje obyčajný (Riemannov) integrál vpravo. Veta 9.2 Nech C je po častiach hladká orientovaná krivka, ktorej parametrické vyjadrenie je r(t), t ∈ hα, βi. Nech f je vektorová funkcia definovaná na krivke C. Potom Zβ

Z f (P ) · ds = ±

f (O + r(t)) · r 0 (t)dt,

α

C

pričom krivkový integrál vľavo existuje vtedy a len vtedy, keď existuje obyčajný (Riemannov) integrál vpravo. Ak krivka C je orientovaná súhlasne s daným parametrickým vyjadrením, platí znamienko +. Ak krivka C je orientovaná nesúhlasne s daným parametrickým vyjadrením, platí znamienko −. Poznámka 9.3 • Ak v danom pravouhlom súradnicovom systéme v rovine je r(t) = ϕ(t)i + ψ(t)j, potom Zβ

Z f (P )ds =

p f [ϕ(t), ψ(t)] ϕ02 (t) + ψ 02 (t)dt,

(1)

α

C

Zβ

Z f (P ) · ds = C

Zβ = α

p(x, y)dx + q(x, y)dy = α

{p[ϕ(t), ψ(t)]ϕ0 (t) + q[ϕ(t), ψ(t)]ψ 0 (t)}dt.

(2)

• Ak v danom pravouhlom súradnicovom systéme v priestore je r(t) = ϕ(t)i + ψ(t)j + χ(t)k, potom Zβ

Z f (P )ds =

p f [ϕ(t), ψ(t), χ(t)] ϕ02 (t) + ψ 02 (t) + χ02 (t)dt,

α

C

Zβ

Z f (P ) · ds =

=

p(x, y, z)dx + q(x, y, z)dy + r(x, y, z)dz = α

C

Zβ

(3)

{p[ϕ(t), ψ(t), χ(t)]ϕ0 (t) + q[ϕ(t), ψ(t), χ(t)]ψ 0 (t) + r[ϕ(t), ψ(t), χ(t)]χ0 (t)}dt.

(4)

α

Uvedieme niektoré základné vlastnosti krivkových integrálov. • Krivkový integrál prvého, resp. druhého druhu po orientovanej a po častiach hladkej krivke C pre spojitú reálnu funkciu f , resp. vektorovú funkciu f , existuje. • Nech C je orientovaná krivka a C ∗ je krivka, ktorá vznikne z nej zmenou orientácie. Nech existuje integrál z funkcie f , resp. z funkcie f po krivke C. Potom existuje aj integrál z funkcie f , resp. f po krivke C ∗ a platí Z Z f (P )ds = f (P )ds, C∗

C

Z

Z f (P ) · ds = −

C∗

f (P ) · ds. C

• Nech existujú krivkové integrály z funkcie f a g, resp. z funkcie f a g, po krivke C a nech c1 , c2 sú čísla. Potom existuje aj integrál z funkcie c1 f + c2 g, resp. integrál z funkcie c1 f + c2 g po krivke C a platí: Z Z Z [c1 f (P ) + c2 g(P )]ds = c1 f (P )ds + c2 g(P )ds, C

C

Z

C

Z [c1 f (P ) + c2 g(P )] · ds = c1

C

Z f (P ) · ds + c2

C

g(P ) · ds. C

• Nech orientované krivky C1 a C2 tvoria delenie krivky C. Ak existuje integrál funkcie f , resp. funkcie f , po krivkách C1 , C2 , potom existuje aj integrál z funkcie f , resp. funkcie f po krivke C a platí: Z Z Z f (P )ds = f (P )ds + f (P )ds, C

Z

C1

Z f (P ) · ds =

C

C2

Z f (P ) · ds +

C1

f (P ) · ds. C2

Z

ds

Príklad 9.1 Vypočítajte

p l

x2

+ y2 + 4

, kde l je úsečka AB, A = (0; 0), B = (1; 2).

Riešenie. Rovnica priamky AB je y = 2x. Pre danú krivku l je ds = Teda √ Z1 Z 5dx ds p √ = = 2 2 2 x + 4x2 + 4 x +y +4

√

1 + 22 dx =

√

5dx.

0

l

1 √ p √ Z dx 5+3 1 = 5 √ = [ln |x + x2 + 4/5|]0 = ln . 2 2 5x + 4 0

Z

y 2 ds, kde l je časť cykloidy x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t),

Príklad 9.2 Vypočítajte l

t ∈ h0; 2πi. Riešenie. Pre výpočet použijeme vzťah (5.1). Teda Z

Z2π

2

y ds =

=

p

[a(1 − cos t)]2 + [a sin t]2 dt =

0

l

√

a2 (1 − cos t)2

Z2π Z2π √ √ 2a3 (1 − cos t)5/2 dt = 2a3 4 2 sin5 (t/2)dt = · · · = 256a3 /15. 0

0

Z

(x2 − 2xy)dx + (y 2 − 2xy)dy, kde l je časť paraboly y = x2 , od

Príklad 9.3 Vypočítajte l

bodu A = (−1; 1) do bodu B = (1; 1). Riešenie. Pre výpočet použijeme vzťah (5.2), kde x = ϕ(t) = t, y = ψ(t) = t2 . Teda Z (x2 − 2xy)dx + (y 2 − 2xy)dy = l

Z1 = −1

{(t2 − 2tt2 ) + ((t2 )2 − 2tt2 )2t}dt = · · · = −14/15.

9.2

Nezávislosť krivkového integrálu od integračnej cesty

Pri výpočte integrálov druhého druhu sa stretneme s integrálmi, ktoré nezávisia od integračnej cesty C, ale iba od začiatočného bodu A a koncového bodu B integračnej cesty. Také RB integrály budeme označovať f (P ) · ds. A R Veta 9.3 Nech f je spojitá vektorová funkcia na oblasti G. Krivkový integrál f (P ) · ds nezávisí od integračnej cesty na množine vtedy a len vtedy, keď existuje taká funkcia U (P ), že f (P ) = grad U (P ) =

∂U ∂U ∂U i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

na oblasti G. Funkciu U nazývame potenciálom funkcie f . Veta 9.4 Nech R množina G je oblasť. Nech f je vektorová funkcia definovaná na množine G. Ak integrál f (P ) · ds nezávisí od integračnej cesty na množine G, tak pre ľubovoľnú C

uzavretú krivku C0 ležiacu v oblasti G platí: I f (P ) · ds = 0. C0

Otvorená množina G v R2 sa nazýva jednoducho súvislá, ak množina G je súvislá a ak vnútro ľubovoľnej jednoduchej uzavretej krivky C obsiahnuté v množine G je celé obsiahnuté v množine G. Veta 9.5 (Greenova veta). Nech A je uzavretá množina, ktorá má tú vlastnosť, že jej hranica C je kladne orientovanou, jednoduchou, uzavretou a po častiach hladkou krivkou. Nech funkcie p(x, y), q(x, y), p0y (x, y), qx0 (x, y), sú spojité na A. Potom platí ZZ I 0 0 [qx (x, y) − py (x, y)]dxdy = p(x, y)dx + q(x, y)dy. (1) A

C

Príklad 9.4 Pomocou Greenovej vety vypočítajte

H

2(x2 + y 2 )dx + (x + y)2 dy, kde l je

l

obvod trojuholníka s vrcholmi A = (1; 1), B = (2; 2), C = (1; 3), pričom (A, B, C) je trojica usporiadaná v zmysle orientácie krivky l. Riešenie. Pre výpočet použijeme vzťah (5.5). Teda I Z Z 2 2 2 2(x + y )dx + (x + y) dy = [2(x + y) − 4y]dxdy = 4ABC

l −x+4 Z

Z2

(x − y)dy = · · · = −4/3.

dx

=2 1

x

9.3

Cvičenia 9

1. Vypočítajte krivkové integrály: √ R ds a) , kde l je úsečka AB, A = (0; −2), B = (4; 0); [ 5 ln 2] Rl x − y b) (x + y)ds, kde l je obvod trojuholníka ABC, A = (1; −1), B = (2; −1), C = (1; 0); l √ [1 + 2] R c) x2 ds, kde l je oblúk AB krivky y = ln x, A = (2; ln 2), B = (1; 0); l √ √ 5 − 2 2)/3] [(5 Rp 2 2 2 2 x + y ds, kde l je kružnica x + y = ax, a > 0; [2a2 ] d) Rl e) x2 yds, kde l je oblúk elipsy r = a cos ti + b sin tj, 0 ≤ t ≤ π/2, ktorého prvý bod je l

A = (a; 0), a > b > 0; f)

R

[a6 b[arcsin (c/a) − bc(b2 − c2 )/a4 ]/8c3 , c2 = a2 − b2 ] (x2 + y 2 )ds, kde l je krivka r = a[(cos t + t sin t)i + (sin t − t cos t)j],

l

0 ≤R t ≤ 2π; √ g) zds, kde l je krivka r = t cos ti + t sin tj + tk, 0 ≤ t ≤ 2.

2 [2π 2 a3 (1 + √2π )] [(8 − 2 2)/3]

l

2. Vypočítajte integrály druhého druhu: H 2 2 krivkové 2 a) (x +y )dx+(x −y 2 )dy, kde l je obvod trojuholníka s vrcholmi A = (1; 1), B = (2; 2), l

C= krivky l; [0] R (1;2 3), pričom (A, 2B, C) je trojica usporiadaná v zmysle orientácie 2 b) (x − 2xy)dx + (y − 2xy)dy, kde l je oblúk paraboly y = x od bodu A = (−1; 1) l

po Rbod B = (1; 1); [−14/15] c) ydx + xdy, kde l je kružnica r = a(cos ti + sin tj), 0 ≤ t ≤ π/2 a bod A = (a; 0) je l

jej Rprvý bod; [0] d) [(2a−y)i+xj]ds, kde l je orientovaný oblúk cykloidy r = a(t−sin t)i+a(1−cos t)j), l

0 ≤ t ≤ 2π a bod A = (0; 0) je jej prvý bod; e)

R

[−2πa2 ] xdx + ydy + (x + y − 1)dz, kde l je úsečka AB, bod A = (1; 1; 1) je jej prvý bod a

l

B R= (2; 3; 4); [13] f) yzdx + xzdy + xydz, kde l je oblúk skrutkovice r = a cos ti + a sin tj + btk/(2π) od l

bodu A = (1; 0; 0) po bod B = (a; 0; b).

[0]

9.4

Test 9

1. T9-1 (4b) Ak v danom pravouhlom súradnicovom systéme v rovine je r(t) = ϕ(t)i + ψ(t)j,f (P ) = p(x, y, z)i + q(x, y, z)j, t ∈ hα, βi, tak: (a) (b)

R

f (P )ds =

Rβ

C

α

R

f (P ) · ds =

Rβ

(d)

R

Rβ p(x, y)dx + q(x, y)dy = {p[ϕ(t), ψ(t)]ϕ0 (t) + q[ϕ(t), ψ(t)]ψ 0 (t)}dt.

α

C

(c)

f [ϕ(t), ψ(t)]dt,

f (P )ds =

Rβ

C

α

R

f (P ) · ds =

α

p f [ϕ(t), ψ(t)] ϕ02 (t) + ψ 02 (t)dt, Rβ

Rβ p(x, y)dx + q(x, y)dy = {p[ϕ(t), ψ(t)] + q[ϕ(t), ψ(t)]}dt.

α

C

α

2. T9-2 (2b) Nech C je orientovaná krivka a C ∗ je krivka, ktorá vznikne z nej zmenou orientácie. Nech existuje integrál z funkcie f , resp. z funkcie f po krivke C. Potom existuje aj integrál z funkcie f , resp. f po krivke C ∗ a platí Z Z Z Z (a) f (P )ds = − f (P )ds, (c) f (P )ds = f (P )ds, C∗

C∗

C

Z

Z f (P ) · ds = −

(b) C∗

C

Z f (P ) · ds,

Z f (P ) · ds =

(d) C∗

C

f (P ) · ds, C

R 3. T9-3 (4b) Nech Ii = Ci (xy 2 + 1)dx + (yx2 − 1)dy, nech Ci je oblúk AB, A = (0, 0), B = (1, 1), kde C1 : y = x2 ; C2 : y = x; C3 : y = 0 pre x ∈ h0, 1i, x = 1 pre y ∈ h0, 1i. Potom (a) I1 = 12 ,

(c) I1 = 2I3 ,

(b) I1 = −I2 ,

(d) I1 = I2 = I3 .

4. T9-4 (2b) Nech A je uzavretá množina, ktorá má tú vlastnosť, že jej hranica C je kladne orientovanou, jednoduchou, uzavretou a po častiach hladkou krivkou. Nech funkcie p(x, y), q(x, y), p0y (x, y), qx0 (x, y), sú spojité na A. Potom platí: RR 0 R (a) [qx (x, y) − p0y (x, y)]dxdy = p(x, y)dx + q(x, y)dy, A

(b)

RR

C

[qy0 (x, y)

−

p0x (x, y)]dxdy

=

A

(c)

RR RR A

p(x, y)dx + q(x, y)dy,

C

[qx0 (x, y) − p0y (x, y)]dxdy =

A

(d)

R R

p(x, y)dx − q(x, y)dy,

C

[qy0 (x, y) + p0x (x, y)]dxdy =

R

p(x, y)dx + q(x, y)dy.

C

H 5. T9-5(2b) Nech I = Ci (xy 2 + 1)dx + (yx2 − 1)dy, nech C1 : 1 = x2 + y 2 ; C2 : x = cos t, y = sin t, t ∈ h0, 2πi. Potom

(a) I1 = I2 = 0,

(b) I1 = −I2 .

10

Vybrané state z teórie funkcie komplexnej premennej

Cieľ Cieľom tejto časti je vybudovať základy diferenciálneho a integrálneho počtu funkcie komplexnej premennej a poukázať na spoločné a odlišné vlastnosti v porovnaní s funkciou reálnej premennej.

Otázky • Ako rozhodnete o konvergencii postupnosti a číselných radov s komplexnými členmi? • Definujte komplexnú funkciu komplexnej premennej. Definujte limitu a spojitosť komplexnej funkcie reálnej premennej a komplexnej funkcie komplexnej premennej. • Definujte exponenciálnu funkciu a uveďte jej základné vlastnosti. • Definujte logaritmickú funkciu a uveďte jej základné vlastnosti. • Ako sú definované funkcie sin z, cos z, tg z, cotg z, sinh z, cosh z? • Definujte deriváciu komplexnej funkcie komplexnej premennej. Vyslovte Cauchy-Riemannove podmienky. • Čo rozumiete pod pojmami: funkcia analytická v bode a na množine, singulárny bod funkcie? • Ako je definovaný krivkový integrál z komplexnej funkcie komplexnej premennej? Ako vypočítame takýto integrál po neuzavretej krivke? Uveďte príklad. • Formulujte Cauchyho vetu. Uveďte Cauchyho integrálny vzorec a aplikujte ho na príklade. • Uveďte zovšeobecnený Cauchyho integrálny vzorec a aplikujte ho na príklade. • Aký je tvar Laurentovho radu? Ako určíme jeho koeficienty? • Ako definujete rezíduum funkcie v izolovanom bode? Ako vypočítate krivkový integrál z komplexnej funkcie po uzavretej krivke pomocou rezíduí?

Weierstrass, K.Th.W. (31.10.1815-19.2.1897) - nemecký matematik, ktorý dosiahol vynikajúce výsledky v matematickej analýze, variačnom počte, diferenciálnej geometrii a lineárnej algebre. Významné sú jeho výsledky z oblasti teórie analytických funkcií. Napríklad formuloval vetu o možnosti rozvoja analytickej funkcie do mocninového radu s celými kladnými a zápornými mocninami premennej. Túto vetu neskôr dokázal P. Loran a nesie aj jeho meno.

10.1

Metrika v rovine komplexných čísel

V tejto stati predpokladáme základné znalosti o komplexných číslach z predmetu Lineárna algebra. Tieto vlastnosti sú stručne uvedené v Prílohe. Zavedieme niektoré pojmy, ktoré budeme potrebovať v ďalších častiach. Definícia 10.1 Nech z1 = x1 + i y1 , z2 = x2 + i y2 sú ľubovoľné komplexné čísla. Ich vzdialenosťou ρ(z1 , z2 ) rozumieme euklidovskú vzdialenosť ich obrazov v Gaussovej rovine, t. j. p ρ(z1 , z2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 = |z1 − z2 |. Množinu C ∗ = C ∪{∞} nazývame rozšírenou (uzavretou) Gaussovou (komplexnou) rovinou. Prvky množiny C nazývame konečnými komplexnými číslami (bodmi) a prvok ∞ ∈ C ∗ nazývame nevlastným alebo nekonečným komplexným číslom resp. bodom. Pojem δ-okolia konečného komplexného čísla z0 ∈ C môžeme definovať analogicky ako okolie bodu v euklidovskej rovine. Definícia 10.2 Nech z0 ∈ C, δ ∈ R, δ > 0. Množinu bodov Oδ (z0 ) = {z ∈ C :

ρ(z, z0 ) < δ} = {z ∈ C :

nazývame δ-okolím bodu z0 . Množinu bodov  Oδ (∞) = z ∈ C ∗ :

1 |z| > δ

|z − z0 | < δ}



nazývame δ-okolím bodu ∞. ˚δ (z0 ) = Oδ (z0 ) − {z0 } budeme nazývať prstencovým δ-okolím bodu z0 . Množinu bodov O Na rozdiel od reálnych čísel na množine komplexných čísel nie je zavedený vzťah usporiadania. Vzorce, v ktorých sa vyskytujú symboly <, >, ≤, ≥, majú len vtedy zmysel, ak na ich oboch stranách vystupujú reálne čísla.

10.2

Postupnosti komplexných čísel a číselné rady s komplexnými členmi

V MA(1) sme sa zaoberali vlastnosťami postupností a radov reálnych čísel. V MA(2) sme sa zaoberali postupnosťami bodov vo viacrozmerných priestoroch. Teraz sa budeme zaoberať vlastnosťami postupnosti a radov, ktorých členmi sú komplexné čísla. Uvedieme niektoré základné vlastnosti postupností komplexných čísel a číselných radov s komplexnými členmi. Nech zn ∈ C pre každé n ∈ N , zn = xn + i yn , xn , yn ∈ R. Potom postupnosť (zn )∞ n=1 nazý∞ postupnosť , resp. (y ) vame postupnosťou komplexných čísel a postupnosť (xn )∞ n n=1 n=1 jej reálnych , resp. imaginárnych častí. V prípade, keď bude z textu zrejmé, aké hodnoty nadobúda index n, budeme označovať postupnosti iba (zn ), (xn ), (yn ). Pojem limity postupnosti komplexných čísel definujeme podobne ako pri postupnostiach reálnych čísel. Definícia 10.3 Nech (zn )∞ n=1 je postupnosť komplexných čísel. Hovoríme, že postupnosť ∗ ∞ (zn )n=1 má limitu z ∈ C , ak k ľubovoľnému okoliu O(z) existuje n0 ∈ N také, že pre všetky n ∈ N , n > n0 platí zn ∈ O(z). Píšeme zn → z alebo lim zn = z. n→∞

Postupnosť (zn ), ktorá má limitu v C, sa nazýva konvergentná, ak nemá limitu v C, nazýva sa divergentná. 0

0

0

Veta 10.1 Nech zn = xn + i yn ∈ C, zn = xn + i yn ∈ C pre všetky n ∈ N , potom platí: • postupnosť (zn ) má najviac jednu limitu, • postupnosť (zn ) je ohraničená práve vtedy, keď sú ohraničené postupnosti (xn ), (yn ), • zn = xn + i yn → z = x + i y vtedy a len vtedy, keď súčasne platí xn → x, yn → y, • ak zn → z, tak pre ľubovoľnú vybranú postupnosť (znk )∞ k=1 platí znk → z, • ak postupnosť (zn ) konverguje v C, tak je ohraničená, 0

0

0

0

0

0

0

• nech zn → z, zn → z , potom zn + zn → z + z , zn · zn → z · z a ak zn ∈ C − {0} pre 0 všetky n ∈ N , pričom z ∈ C − {0}, potom zzn0 → zz0 . n

Definícia 10.4 Nech je daná postupnosť (zn ), zn ∈ C. Výraz ∞ X

zn = z1 + z2 + · · · + zn + . . .

n=1

sa nazýva komplexný číselný rad a číslo zn n-tý člen radu. Číslo

n P

zk sa nazýva n-tý

k=1

čiastočný súčet a postupnosť (sn ) postupnosť čiastočných súčtov tohto radu. Konvergenciu, divergenciu, absolútnu a relatívnu konvergenciu číselných radov definujeme podobne ako pre rady, ktorých členy sú reálne čísla. Absolútna konvergencia tu má väčší ∞ P význam, pretože rad |zn |, kde zn ∈ C pre všetky n ∈ N , je rad s reálnymi nezápornými n=1

členmi. To znamená, že pri rozhodovaní o absolútnej konvergencii radov s komplexnými členmi môžeme použiť kritériá konvergencie radov, ktorých členy sú reálne čísla. Tieto kritériá môžeme použiť tiež pri rozhodovaní o relatívnej konvergencii radov s komplexnými členmi.

Veta 10.2 Nech zn ∈ C, zn = xn + i yn , pre n ∈ N . Rad len vtedy, keď konvergujú rady ∞ P n=1

xn + i

∞ P n=1

∞ P n=1

yn .

xn ,

∞ P n=1

yn . Ak rad

∞ P n=1

∞ P

zn konverguje vtedy a

n=1

zn konverguje, potom platí

∞ P n=1

zn =

10.3

Komplexná funkcia komplexnej premennej

Pojem komplexnej funkcie komplexnej premennej, tak ako aj pojem limity a spojitosti v komplexnom obore sa formálne nelíši od známych pojmov z funkcie reálnej premennej. V teórii komplexnej premennej sa stretávame aj s takými typmi funkcií, ktoré nie sú zobrazeniami definičného oboru do oboru hodnôt ako to bolo pri funkcii reálnej premennej (tzv. jednoznačné funkcie). Také funkcie môžu jednému bodu z ∈ C ∗ svojho definičného oboru priradiť niekoľko hodnôt f (z) z oboru hodnôt. Množinu týchto hodnôt označme {f (z)}. V takom prípade ide o mnohoznačné (viacznačné) funkcie alebo multifunkcie, ako to bolo naznačené pri pojme Arg z. Komplexné čísla sú definované ako dvojice reálnych čísel (viď príloha). V súvislosti s týmto označením javí sa funkcia f komplexnej premennej ako funkcia dvoch premenných. Táto funkcia je definovaná na určitej množine všetkých dvojíc (x, y) ∈ Df ⊂ R2 , pričom komplexné číslo z = x + i y je z oboru definície funkcie f komplexnej premennej a jej hodnota v dvojici (x, y) sa zhoduje s hodnotou f (z). Nasledujúca definícia funkcie (jednoznačnej funkcie) je podobná ako pri funkcii reálnej premennej. Definícia 10.5 Nech A ⊂ C ∗ , A 6= ∅. Zobrazenie f : A → C ∗ nazývame komplexnou funkciou komplexnej premennej. Množina A je definičným oborom funkcie f a označujeme ju Df . Množinu Hf = f (A) = {w ∈ C ∗ : ∃ z ∈ A, w = f (z)} nazývame oborom hodnôt funkcie f . Funkcia je konečná práve vtedy, keď Hf ⊂ C. Ak Df ⊂ R, vtedy je f komplexná funkcia reálnej premennej. Nech A ⊂ C ∗ , A 6= ∅. Predpisom f je na množine A definovaná mnohoznačná komplexná funkcia komplexnej premennej (multifunkcia) práve vtedy, keď je týmto predpisom každému z ∈ A priradená neprázdna množina {f (z)} hodnôt f (z) ∈ C ∗ . Mnohoznačná funkcia f je konečná práve vtedy, keď Hf ⊂ C. Ak f je mnohoznačná funkcia, potom funkciu ϕ : Dϕ → C ∗ nazývame jednoznačnou vetvou funkcie f práve vtedy, keď platí 1. Dϕ ⊂ Df , 2. pre každý bod z ∈ Dϕ je ϕ(z) ∈ {f (z)}. Viacznačnú funkciu f komplexnej premennej z možno definovať aj ako reláciu f ⊂ C ∗ ×C ∗ . Môžeme o nej uvažovať tiež ako o množine jednoznačných funkcií, ktoré sme nazvali vetvami. Jednu z nich obvykle považujeme za základnú a nazývame ju hlavnou vetvou viacznačnej funkcie. Na geometrickú interpretáciu funkcie w = f (z), w = u+i v, zx+i y obyčajne používame dve roviny. V rovine z znázorňujeme nezávisle premennú (s osami ox , oy ) a v rovine w závisle premennú (s osami ou , ov ). Potom u + i v = f (x + i y). Porovnaním reálnych a imaginárnych častí dostaneme, že u = u(x, y) = Re f (z) (reálna časť funkcie), v = v(x, y) = Im f (z) (imaginárna časť funkcie). Komplexná funkcia komplexnej premennej je teda určená dvojicou reálnych funkcií u = u(x, y), v = v(x, y) a môžeme ju vyjadriť v tvare w = f (z) = u(x, y) + i v(x, y). Príklad 10.1 Predpisom w = f (z) = 1/z, z ∈ C − {0} je definovaná jednoznačná funkcia, kde Df = C − {0}, Hf = C − {0}, u(x, y) = x/(x2 + y 2 ) , v(x, y) = −y/(x2 + y 2 ) .

√ Príklad 10.2 Predpisom w = f (z) = z, z ∈ C je definovaná dvojznačná konečná komplexná funkcia komplexnej kde: √ √ premennej, √ √ Hf = C, f (0) = 0, f (1) = {1, −1}, f (−1) = {i, −i}, f (i) = { 2/2+i 2/2, − 2/2−i je napríkp 2/2}. i Jednoznačnou vetvou tejto funkcie p lad funkcia F1 , kde F1 (0) = 0, F1 (z) = |z|exp( 2 arg z) pre z 6= 0, u(x, y) = |z| cos( 12 arg z), p v(x, y) = |z| sin( 12 arg z) pre z 6= 0. Podobne by sme určili F2 . Analogicky ako v reálnom obore definujeme pojmy ohraničenej, inverznej a zloženej funkcie. Definícia 10.6 Hovoríme, že funkcia f : C ∗ ⊃ M → C ∗ je ohraničená na množine M práve vtedy, ak existuje číslo K ∈ R, K > 0 tak, že pre všetky z ∈ M platí |f (z)| ≤ K, t. j. ak je množina f (M ) ohraničená. Definícia 10.7 Nech je daná funkcia f : C ∗ ⊃ Df → C ∗ , w = f (z),Hf = {w ∈ C ∗ : w = f (z), z ∈ Df }. Funkciu g (vo všeobecnosti viacznačnú) definovanú na Hf ⊃ C ∗ nazývame inverznou funkciou k funkcii f a označujeme f −1 práve vtedy, keď každému w ∈ Hf priraďuje práve tie z ∈ Df , pre ktoré platí f (z) = w. Píšeme z ∈ {f −1 (w)}. Nech sú dané funkcie f : C ∗ ⊃ Df → C ∗ a g : C ∗ ⊃ Dg → C ∗ a nech Hg = g(Dg ) ⊂ Df . Potom funkciu h definovanú na Dg predpisom: w = f (g(z)) nazývame zloženou funkciou s vnútornou zložkou g a vonkajšou zložkou f . Poznámka 10.1 V ďalších úvahách pod pojmom funkcia budeme rozumieť jednoznačnú funkciu. V prípade viacznačnej funkcie to bude vždy uvedené. Definícia 10.8 Nech je daná funkcia f : C ∗ ⊃ Df → C ∗ , z0 je hromadný bod množiny M , w0 ∈ C ∗ . Funkcia f má v bode z0 limitu rovnajúcu sa číslu w0 vzhľadom na množinu M práve ˚δ (z0 ) bodu z0 tak, že vtedy, keď ku každému okoliu Oε (w0 ) bodu w0 existuje prstencové okolie O ˚ f (Oδ (z0 ) ∩ M ) ⊂ Oε (w0 ) a zapisujeme lim f (z) = w0 . z → z0 z∈M

˚δ (z0 ) ⊂ M Ak M = Df a ak existuje ku každému okoliu Oε (w0 ) bodu w0 prstencové okolie O ˚δ (z0 ) ∩ Df ) ⊂ Oε (w0 ), ide o limitu funkcie f v bode z0 a píšeme lim f (z) = bodu z0 tak, že f (O z→z0 w0 Veta 10.3 Nech funkcia f : C ⊃ Df → C, f (z) = u(x, y) + i v(x, y), z = x + iy, z0 = x0 + i y0 ∈ C, w0 = u0 + i v0 ∈ C. Potom lim f (z) = w0 vtedy a len vtedy, keď z→z0

lim (x,y)→(x0 ,y0 )

u(x, y) = u0 a

lim (x,y)→(x0 ,y0 )

v(x, y) = v0 .

Poznámka 10.2 O limitách komplexných funkcií komplexnej premennej platia tvrdenia analogické vetám o limitách funkcií reálnej premennej. Spojitosť komplexnej funkcie komplexnej premennej definujeme podobne ako sme definovali spojitosť funkcie v reálnom obore. Definícia 10.9 Nech je daná funkcia f : C ∗ ⊃ Df → C ∗ a nech M ⊂ Df , z0 ∈ M . Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode z0 vzhľadom na množinu M práve vtedy, keď ku každému Oε (f (z0 )) existuje okolie Oδ (z0 ) bodu z0 také, že f (Oδ (z0 ) ∩ M ) ⊂ Oε (f (z0 )). Hovoríme, že funkcia f je spojitá na množine M práve vtedy, keď je spojitá vzhľadom na množinu M v každom bode množiny M . Ak M = Df a z0 je vnútorný bod množiny M , ide o spojitosť funkcie f v bode z0 .

Poznámka 10.3 Ak z0 je izolovaný bod množiny M , je funkcia f spojitá v bode z0 vzhľadom na množinu M . Ak z0 je hromadným bodom množiny M , tak funkcia f je spojitá v bode z0 vzhľadom na množinu M práve vtedy, keď existuje lim f (z) = f (z0 ). z → z0 z∈M

Veta 10.4 • Nech je daná funkcia f : C ⊃ Df → C, f (z) = u(x, y)+i v(x, y). Funkcia f je spojitá v bode z0 = x0 + i y0 vtedy a len vtedy, keď funkcie u : R2 ⊃ Df → R, v : R2 ⊃ Df → R sú spojité v bode (x0 , y0 ). • Nech sú v bode z0 ∈ M spojité funkcie f : C ∗ ⊃ Df → C ∗ , g : C ∗ ⊃ Dg → C ∗ . Nech k1 , k2 ∈ C, M ⊂ Df ∩ Dg , potom v bode z0 sú spojité vzhľadom na množinu M funkcie: |f |, k1 f + k2 g, f · g, f /g, ak je v bode z0 príslušná operácia definovaná. • funkcia f je spojitá v bode z0 ∈ M ⊂ Df vtedy a len vtedy, keď pre každú postupnosť (zn ) ⊂ M takú, že lim zn = z0 platí lim f (zn ) = f (z0 ). n→∞

n→∞

• Nech funkcia g je spojitá v bode z0 ∈ Dg , funkcia f je spojitá v bode w0 = g(z0 ) a nech Hg ⊂ Df . Potom zložená funkcia f (g(z)) je spojitá v bode z0 .

10.4

Komplexná funkcia reálnej premennej a krivky v Gaussovej rovine

V súvislosti s určovaním rovinných kriviek v Gaussovej rovine sa budeme zaoberať špeciálnym prípadom komplexnej funkcie komplexnej premennej f : R∗ ⊃ Df → C, ktorú nazývame komplexnou funkciou reálnej premennej. Teda w = f (t) = u(t) + i v(t) (tiež z = x(t) + i y(t)), t ∈ Df . Pretože ide o špeciálny prípad komplexnej funkcie komplexnej premennej, zostávajú v platnosti vety o limitách a spojitosti tak, ako boli uvedené v predchádzajúcej časti. Komplexné číslo w = f (t) možno chápať ako vektor v rovine. Ak funkcia f : ha, bi → C je spojitá na množine ha, bi, tak koncový bod f (t) tohto vektora opisuje v Gaussovej rovine krivku, ktorú nazývame hodografom vektora w = f (t). Funkcia f : R∗ ⊃ Df → C má v bode t0 ∈ Df deriváciu f 0 (t0 ) práve vtedy, keď existuje konečná limita f (t0 + 4t) − f (t0 ) f (t) − f (t0 ) = lim = f 0 (t0 ). lim t→t0 4t→0 t − t0 4t Je zrejmé, že x(t0 + 4t) − x(t0 ) f (t0 + 4t) − f (t0 ) = lim + 4t→0 4t→0 4t 4t lim

y(t0 + 4t) − y(t0 ) = x0 (t0 ) + i y 0 (t0 ) = f 0 (t0 ). 4t→0 4t

+i lim

Podobne definujeme tiež f−0 (t0 ), f+0 (t0 ). Body krivky z = f (t), v ktorých f 0 (t) = 0 nazývame singulárnymi bodmi krivky (dvojné body, body vratu a pod.). Pre výpočet derivácie komplexnej funkcie reálnej premennej platia rovnaké pravidlá ako pre funkciu reálnej premennej (derivácia súčtu, rozdielu, súčinu, podielu), neplatia však vety o strednej hodnote. Určitý integrál, resp. neurčitý integrál funkcie f definujeme vzťahmi Z b Z b Z b Z Z Z f (t)dt = x(t)dt + i y(t)dt, f (t)dt = x(t)dt + i y(t)dt. a

a

a

Pojem krivky je nám známy z MA(1), kde sme sa stretli s pojmami: parametrické rovnice krivky, jednoduchá krivka, jednoduchá uzavretá krivka, hladká a po častiach hladká krivka. Ak množina γ je grafom krivky f : ha, bi → C ∗ , nazývame túto množinu krivkou a funkciu f jej parametrizáciou. Často budeme potrebovať rôzne vyjadrenia kriviek. Majme napríklad kružnicu so stredom v bode (x0 , y0 ) a polomerom R. Uvedieme niektoré možnosti vyjadrenia jej rovnice: • (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 – poznáme už zo strednej školy, • x = x0 + R cos t, y = y0 + R sin t – parametrické vyjadrenie, • z = (x0 + R cos t) + i (y0 + R sin t) = z0 + Rei t , kde z0 = x0 + y0 – ako graf komplexnej funkcie reálnej premennej, • |z − z0 | = R. Pod pojmom orientovanej krivky rozumieme ľubovoľné zobrazenie γ : ha, bi → C, kde bod γ(a) je začiatočný bod a bod γ(b) je koncový bod krivky. Krivka γ¯ (t) = γ(−t), t ∈ h−b, −ai je opačne orientovanou krivkou ku krivke γ.

Nech γ : ha, bi → C je jednoduchá uzavretá krivka. Predstavme si, že sa pohybujeme po krivke γ od bodu odpovedajúcemu parametru a spojite s rastúcim parametrom t do bodu odpovedajúcemu parametru b. Ak pri tomto pohybe máme vnútro krivky po ľavej ruke – pohybujeme sa proti smeru pohybu hodinových ručičiek, tak o krivke γ hovoríme, že je kladne orientovaná, v opačnom prípade hovoríme, že je záporne orientovaná.

10.5

Derivácia komplexnej funkcie komplexnej premennej

Pojem derivácie komplexnej funkcie komplexnej premennej sa zavádza podobne ako derivácia funkcie reálnej premennej, ale niektoré vlastnosti diferencovateľných komplexných funkcií komplexnej premennej sa od vlastností diferencovateľných funkcií reálnej premennej značne odlišujú. Definícia 10.10 Nech je daná funkcia f : C ⊃ Df → C ∗ a nech z0 je vnútorným bodom množiny Df . Hovoríme, že funkcia f má v bode z0 deriváciu f 0 (z0 ) práve vtedy, keď existuje konečná limita f (z) − f (z0 ) lim = f 0 (z0 ). z→z0 z − z0 Nezavádza sa pojem nevlastnej derivácie komplexnej funkcie komplexnej premennej a ani derivácia v bode ∞. Veta 10.5 Nech funkcie f , g majú v bode z0 derivácie, potom • funkcie f, g sú spojité v bode z0 , • v bode z0 majú deriváciu aj funkcie kf , k ∈ C, f + g, f · g a platí (kf )0 (z0 ) = kf 0 (z0 ), (f + g)0 (z0 ) = f 0 (z0 ) + g 0 (z0 ), (f · g)0 (z0 ) = f 0 (z0 )g(z0 ) + f (z0 )g 0 (z0 ). Ak okrem toho je g(z0 ) 6= 0, má v bode z0 deriváciu aj funkcia f /g, pričom platí  0 f f 0 (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g 0 (z0 ) , (z0 ) = g g 2 (z0 ) • ak má funkcia f deriváciu f 0 (w0 ) v bode w0 = g(z0 ), potom má zložená funkcia h(z) = f (g(z)) deriváciu v bode z0 a platí h0 (z0 ) = f 0 (g(z0 ))g 0 (z0 ), • nech f 0 (z0 ) 6= 0. Nech f (z0 ) = w0 ∈ C a nech existujú okolia Oδ (z0 ), Oε (w0 ) tak, že f : Oδ (z0 ) → Oε (w0 ) je vzájomne jednoznačné zobrazenie. Potom inverzné zobrazenie f −1 : Oε (w0 ) → Oδ (z0 ) má deriváciu v bode w0 a platí (f −1 )0 (w0 ) = f 0 (z1 0 ) (z0 = f −1 (w0 )). Pre derivovanie elementárnych funkcií komplexnej premennej platia podobné vzorce ako pri reálnych funkciách. Podobne ako pri funkcii reálnej premennej sa definujú tiež vyššie derivácie, diferencovateľnosť a diferenciál jednoznačnej komplexnej funkcie komplexnej premennej. Uvedieme vetu o nutnej podmienke existencie derivácie komplexnej funkcie komplexnej premennej. Veta 10.6 (nutná podmienka existencie derivácie) Nech je daná funkcia f : C ⊃ Df → C, f (z) = u(x, y) + i v(x, y) a nech z0 = x0 + i y0 je vnútorný bod množiny Df . Nech funkcia f má deriváciu v bode z0 . Potom sú funkcie u, v diferencovateľné v bode (x0 , y0 ) a platí ux (x0 , y0 ) = vy (x0 , y0 ), uy (x0 , y0 ) = −vx (x0 , y0 ). Sú to tzv. Cauchy-Riemannove podmienky, kde ux , uy , vx , vy sú parciálne derivácie funkcií u, v. Ak sú splnené predpoklady poslednej vety, tak platí f 0 (z0 ) = ux (x0 , y0 ) + i vx (x0 , y0 ) = vy (x0 , y0 ) − i uy (x0 , y0 ). Veta 10.7 (postačujúca podmienka existencie derivácie) Nech funkcie u : R2 ⊃ D → R, v : R2 ⊃ D → R sú diferencovateľné v bode (x0 , y0 ) ∈ R2 , ktorý je vnútorným bodom D a nech v tomto bode vyhovujú Cauchy-Riemannovym podmienkam. Potom funkcia f : C ⊃ D → C, f (z) = u(x, y) + i v(x, y) má deriváciu v bode z0 = x0 + i y0 .

Poznámka 10.4 • Funkcia f : C ⊃ Df → C má vo vnútornom bode z0 = x0 + i y0 ∈ Df deriváciu práve vtedy, keď funkcie u = Re f (z), v = Im f (z) sú diferencovateľné v bode (x0 , y0 ) a vyhovujú v ňom Cauchy-Riemannovym podmienkam. • Nech funkcie u, v majú vo vnútornom bode (x0 , y0 ) spojité parciálne derivácie 1. rádu a vyhovujú v ňom Cauchy-Riemannovym podmienkam. Potom funkcia f (z) = u(x, y) + i v(x, y), má deriváciu v bode z0 = x0 + i y0 . Definícia 10.11 Hovoríme, že funkcia f je analytická (holomorfná) v bode z0 vtedy a len vtedy, keď existuje okolie O(z0 ) bodu z0 tak, že f má deriváciu na O(z0 ). Bod z0 ∈ C nazývame regulárny, resp. singulárny bod funkcie f práve vtedy, keď funkcia f je, resp. nie je analytická v bode z0 . Hovoríme, že funkcia f je analytická na otvorenej množine G ⊂ C práve vtedy, keď je analytická v každom bode z ∈ G. Definícia 10.12 Nech z0 ∈ C ∗ je ľubovoľný daný bod. Bod z0 sa nazýva izolovaný singulárny bod funkcie f vtedy a len vtedy, keď funkcia f : C ∗ ⊃ Df → C je analytická ˚ 0 ) ⊂ Df bodu z0 , ale nie je analytická v bode z0 . Bod z0 sa v nejakom prstencovom okolí O(z nazýva izolovaný singulárny bod funkcie f . Príklad 10.3 Nájdime analytickú funkciu f na množine Ω ⊂ C, ak jej reálna časť je u(x, y) = 3x2 − 3y 2 − 2xy + 2y a f (0) = i. Riešenie. Pretože funkcia f je analytická na množine Ω, pre každý bod (x, y) musia platiť Cauchy-Riemannove podmienky. Dostávame ux = 6x − 2y = vy (prvá podmienka). Odtiaľ dostaneme Z v(x, y) = (6x − 2y)dy + ϕ(x) = 6xy − y 2 + ϕ(x), kde ϕ je diferencovateľná funkcia. Odtiaľ použitím druhej Cauchy-Riemannovej podmienky je vx = 6y + ϕ0 (x) = −(−6y − 2x + 2) = −uy . Čiže ϕ0 (x) = 2x − 2 ⇒ ϕ(x) = x2 − 2x + k,

k ∈ R.

Teda v(x, y) = 6xy − y 2 + x2 − 2x + k a f (z) = 3x2 − 3y 2 − 2xy + 2y + i (6xy − y 2 + x2 − 2x + k) = (3 + i)z 2 − 2iz + i k. Hodnotu konštanty k určíme z podmienky f (0) = i, t. j. k i = i. Teda k = 1.

10.6

Elementárne funkcie komplexnej premennej

V tejto časti uvedieme niektoré elementárne funkcie a ich základné vlastností. • Polynómy komplexnej premennej Polynómom komplexnej premennej nazývame funkciu w = a0 z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an komplexnej premennej, pričom a0 , . . . , an ∈ C a n = 0, 1, 2, . . . . Vlastnosťami polynómov sme sa zaoberali v predmete Lineárna algebra. • Racionálna funkcia Podiel dvoch polynómov komplexnej premennej, pričom menovateľ nie je nulový polynóm, nazývame racionálnou funkciou komplexnej premennej. Rozkladom racionálnej funkcie na parciálne zlomky sme sa zaoberali v predmete Lineárna algebra. • Exponenciálna funkcia Pre každé z = x + i y ∈ C je daná funkcia ez = ex cos y + i ex sin y. Niektoré základné vlastností: 1. exponenciálna funkcia nenadobúda v žiadnom bode svojho definičného oboru hodnoty 0, ∞, lim ez neexistuje, z→∞

z

x

2. Re e = e cos y, Im ez = ex sin y, 3. pre z ∈ C platí |ez | = ex , 4. ez je periodická funkcia s periódou 2π i, t. j. ∀z ∈ C : ez+2π i = ez , 5. ez1 = ez2 ⇔ z2 − z1 = k · 2π i, k ∈ Z, 6. podobne ako pri reálnej premennej pre z ∈ C je ez =

∞ X zn n=0

n!

,

7. pre ľubovoľné m ∈ Z platí (ez )m = emz ; pre racionálne číslo r = m funkcia (ez )r je n-značná na množine C, n 8. funkcia ez je pre každé α ∈ R injektívna na každom z pásov Pk = {z ∈ C : α + (k − 1)2π < Im z ≤ α + k2π}, k ∈ Z, 9. funkcia ez je analytická na C, pričom (ez )0 = ez , zobrazenie w = ez je konformné v každom bode z ∈ C, je však konformné len na takej oblasti, na ktorej je injektívne. • Logaritmická funkcia Logaritmickú funkciu definujeme ako inverznú funkciu k exponenciálnej funkcii. Definícia 10.13 Pre každé z ∈ C\{0} definujeme logaritmickú funkciu Ln z vzťahom Ln z = {w ∈ C :

z = ew }

Množinu Ln z nazývame logaritmus komplexného čísla z a jej prvky hodnoty logaritmu čísla z. Je zrejmé, že inverzná funkcia k funkcii ez je nekonečne mnohoznačná. Ku každému pásu {w ∈ C : (2k − 1)π < Im w ≤ (2k + 1)π}, k ∈ Z, ktorý odpovedá pásu Pk (popísaného pri vlastnostiach funkcie ez ) pre α = π existuje taká jednoznačná vetva logaritmickej funkcie, ktorá zobrazuje množinu C\{0} na tento pás. Pre k = 0 dostaneme pás, ktorý je obrazom množiny C\{0} pri zobrazení w = ln z, t. j. pri zobrazení určenom hlavnou vetvou logaritmu. Funkcia ln z je analytická, pričom pre každé z ∈ C\{(−∞, 0i} platí (ln z)0 = z1 . Logaritmus ľubovoľného nenulového komplexného čísla z môžeme zapísať v tvare Ln z = ln |z| + i(arg z + 2kπ) = ln |z| + iArg z,

k ∈ Z.

Hlavná hodnota logaritmu odpovedá hodnote k = 0. Známe vlastnosti logaritmu reálnych čísel platia tiež v množine komplexných čísel. Z reálnej analýzy vieme, že pre x ∈ (0, ∞) je mocnina xa , kde a ∈ R definovaná vzťahom xa = ea ln x . Podobne budeme definovať z a pre z ∈ C − {0}, a ∈ C. Definícia 10.14 Pre číslo a ∈ C definujeme funkciu a-tá všeobecná mocnina predpisom z a = {w ∈ C : w = eaLn z }, kde z ∈ C − {0} • Goniometrické funkcie Pre každé číslo z ∈ C definujeme sin z =

eiz + e−iz sin z cos z eiz − e−iz , cos z = tg z = , cotg z = . 2i 2 cos z sin z

Základné vlastnosti: 1. Nech z ∈ C. Potom ∞ X

z 2n+1 sin z = (−1) , (2n + 1)! n=0 n

cos z =

∞ X

(−1)n

n=0

z 2n . (2n)!

2. Funkcie sin, cos sú na C jednoznačné, analytické a platí (cos z)0 = − sin z, (sin z)0 = cos z. 3. Nech z, z1 , z2 ∈ C. Potom platí: sin2 z + cos2 z = 1, sin(z1 ± z2 ) = sin z1 cos z2 ± 2 2 cos z1 sin z2 , cos(z1 ±z2 ) = cos z1 cos z2 ∓sin z1 sin z2 , sin z1 ±sin z2 = 2 sin z1 ±z cos z1 ∓z , 2 2 z1 +z2 z1 −z2 z1 +z2 z1 −z2 cos z1 + cos z2 = 2 cos 2 cos 2 , cos z1 − cos z2 = −2 sin 2 sin 2 . 4. Funkcie sin, cos sú na C sú periodické s periódou 2π. 5. Zobrazenie w = sin z je konformné vo všetkých bodoch množiny {z ∈ C : z 6= (2k + 1) π2 , k ∈ Z}, zobrazenie w = cos z je konformné vo všetkých bodoch množiny {z ∈ C : z 6= kπ, k ∈ Z}. 6. Nech z ∈ C. Potom platí: tg (−z) = −tg z, cotg (−z) = −cotg z, tg z = (cotg z)−1 , 1 + tg2 z = cos12 z , 1 + cotg2 z = sin12 z (ak sú výrazy definované). 7. Funkcie tg z, cotg z sú jednoznačné a periodické s periódou π.

8. tg z je analytická v oblasti Ω1 = C\{z ∈ C : z = (2k + 1) π2 , k ∈ Z}, (tg z)0 = cos12 z , funkcia cotg z je analytická v oblasti Ω2 = C\{z ∈ C : z = kπ, k ∈ Z}, (cotg z)0 = − sin12 z . • Hyperbolické funkcie Pre každé z ∈ C definujeme sinh z =

ez −e−z ez +e−z sinh z cosh z , cosh z = , tgh z = , cotgh z = . 2 2 cosh z sinh z

Platí: sinh z = −i sin iz, sin z = −i sinh iz, cosh z = cos iz, cos z = cosh iz, tgh z = −i tg iz,tg z = −i tgh iz, cotgh z = i cotg iz, cotg z = i cotgh iz. • Cyklometrické funkcie Budeme sa zaoberať inverznými funkciami ku goniometrickým funkciám: Arcsin z = {w ∈ C :

sin w = z} pre z ∈ C,

Arccos z = {w ∈ C :

cos w = z} pre z ∈ C,

Arctg z = {w ∈ C :

tg w = z} pre z ∈ C ∗ ,

Arccotg z = {w ∈ C :

cotg w = z} pre z ∈ C ∗ .

Cyklometrické funkcie sú nekonečne mnohoznačné funkcie. √ √ Arcsin z = −i Ln (iz + 1 − z 2 ), Arccos z = −i Ln (iz + z 2 − 1), i i−z i z+i Arctg z = − Ln , Arccotg z = Ln , 2 i+z 2 z−i pričom Arctg ∞ = (2k + 1)π/2, Arccotg ∞ = kπ, k ∈ Z.

z ∈ C,

• Hyperbolometrické funkcie Budeme sa zaoberať inverznými funkciami ku hyperbolickým funkciám: Arcsinh z = {w ∈ C :

sinh w = z} pre z ∈ C,

Arccosh z = {w ∈ C :

cosh w = z} pre z ∈ C,

Arctgh z = {w ∈ C :

tgh w = z} pre z ∈ C ∗ ,

Arccotgh z = {w ∈ C :

cotgh w = z} pre z ∈ C ∗ .

Hyperbolometrické funkcie sú nekonečne mnohoznačné funkcie. √ √ Arcsinh z = Ln (z + 1 + z 2 ), Arccosh z = Ln (z + z 2 − 1), 1 1+z 1 z+1 Arctgh z = Ln , Arccotgh z = Ln , 2 1−z 2 z−1 pričom Arctgh ∞ = (2k + 1)π i/2, Arccotgh ∞ = kπ i, k ∈ Z.

z ∈ C,

10.7

Integrál funkcie komplexnej premennej

V tejto časti budeme sa zaoberať integrálom z funkcie komplexnej premennej, ukážeme jeho súvislosť s krivkovým integrálom 2. druhu reálnej funkcie. Nech v oblasti Ω ⊂ C je daná funkcia f : Ω → C a orientovaná krivka konečnej dĺžky Γ = {z ∈ Ω : z = z(t) = x(t) + i y(t), t ∈ ha, bi}. Nech D = (zk )nk=0 , zk = z(tk ), k = 0, 1, 2, . . . , n je delenie krivky Γ a Dt = (tk )nk=0 , a = t0 < t1 < · · · < tn = b jemu zodpovedajúce delenie intervalu ha, bi. Nech τk , k = 1, 2, . . . , n je ľubovoľný bod z intervalu htk−1 , tk i, ξk = z(τk ), kde τk . Urobme súčet n n X X Sf (D) = f (ξk )(zk − zk−1 ) = f (ξk )4zk . k=1

k=1

Súčet Sf (D) nazývame integrálny súčet funkcie f pre delenie D krivky Γ a pre daný výber bodov ξk , k = 1, 2, . . . , n. Podobne ako pri krivkových integráloch funkcie reálnej premennej definujeme aj ďalšie pojmy ako norma delenia, normálna postupnosť delení, integrovateľná funkcia. Ak funkcia f je integrovateľná na krivke Γ a delenie Dn je normálne, n R P tak lim f (ξk )4zk sa nazýva integrál funkcie f po krivke Γ a označujeme ho f (z)dz. n→∞ k=1

Γ

Veta 10.8 Nech funkcia f je spojitá na oblasti Ω. Nech f (z) = u(x, y) + i v(x, y) a nech Γ je po častiach hladká (orientovaná) krivka. Potom existuje integrál funkcie f na krivke Γ a platí Z Z Z f (z)dz = u(x, y)dx − v(x, y)dy + i v(x, y)dx + u(x, y)dy. Γ

Γ

Γ

Teda výpočet integrálu funkcie komplexnej premennej po krivke v Gaussovej rovine môžeme nahradiť výpočtom dvoch krivkových integrálov druhého druhu funkcie reálnej premennej. Špeciálnym prípadom je integrál komplexnej funkcie reálnej premennej f (z) = f (t) = u(t) + i v(t). Platí Z Zb Zb f (t)dt = u(t)dt + i v(t)dt. a

Γ

Pre výpočet

R

a

f (z)dz platí

Γ

Zb

Z f (z)dz = Γ

f (z(t))z 0 (t)dt =

Zb

[u(x(t), y(t))x0 (t) − v(x(t), y(t))y 0 (t)]dt+

a

a

Zb +i

[v(x(t), y(t))x0 (t) + u(x(t), y(t))y 0 (t)]dt.

a

Integrál funkcie komplexnej premennej má podobné vlastnosti ako krivkový integrál druhého druhu v reálnom obore. Nech Γ : ha, bi → C je po častiach hladká krivka. Nech fk : C ⊃ Dfk → C, sú integrovateľné funkcie na krivke Γ a ck ∈ C, k = 1, 2 sú dané čísla. Potom platí: R R R • (c1 f1 (z) + c2 f2 (z))dz = c1 f1 (z)dz + c2 f2 (z)dz, Γ

Γ

Γ

¯ (opačne orientovanej) a platí • funkcia f jeRintegrovateľná na krivke Γ R f (z)dz = f (z)dz, ¯ Γ

Γ

L • nech Γ = Γ1 Γ2 , kde Γ1 , Γ2 sú po častiach hladké krivky a funkcia f je integrovateľná na platí R R Γ1 , Γ2 . Potom R f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz, Γ

Γ1

Γ2

R

R

Γ

Γ

• | f (z)dz| ≤

|f (z)|ds.

Príklad 10.4 Vypočítajme: a)

R

zdz, kde krivka γ je úsečka z(t) = 3t + 4t i, t ∈ h0, 1i, b)

γ

R

(z − 1)−1 dz, kde Γ je kladne orientovaná časť kružnice z(t) = 1 + Rei t , t ∈ h0, π/2i, R > 0 .

Γ

Riešenie. a) Na výpočet daného integrálu použijeme vzťah Zb

Z f (z)dz = γ

Z1

0

f (z(t))z (t)dt = a

(3t + 4i t)(3 + 4 i)dt = (3 + 4 i)2 /2.

0

b) Grafom krivky Γ je časť kružnice so stredom v bode z0 = 0 a polomerom R so začiatočným bodom R a koncovým bodom i R. Podobne ako v a) platí Zb

Z f (z)dz = γ

f (z(t))z 0 (t)dt =

Zπ/2

a

π i Rei t dt = i . i t Re 2

0

Definícia 10.15 Nech Ω ⊂ C je oblasť a nech sú dané funkcie f : Ω → C, F : Ω → C a nech funkcia F je analytická na oblasti Ω. Hovoríme, že funkcia F je primitívna funkcia k funkcii f na oblasti Ω práve vtedy, keď pre všetky z ∈ Ω platí F 0 (z) = f (z). Veta 10.9 Nech funkcia f : C ⊃ Df → C je spojitá a má v oblasti Ω ⊂ Df primitívnu funkciu F . Nech krivka Γ leží v oblasti Ω a je po častiach hladká so začiatočným bodom z1 ∈ Ω aR koncovým bodom z2 ∈ Ω. Potom platí f (z)dz = F (z2 ) − F (z1 ), t. j. hodnota integrálu nezávisí od integračnej cesty. Γ

V nasledujúcej časti sa budeme zaoberať integrálmi z analytických funkcií po uzavretých krivkách, kde je podstatný rozdiel medzi analýzou v komplexnom a reálnom obore. Veta 10.10 (Cauchyho základná veta) Nech Ω ⊂ C je jednoducho súvislá oblasť a nech funkcia f : Ω → C je analytická na Ω. Nech Γ ⊂ Ω je ľubovoľná po častiach hladká uzavretá krivka. Potom platí I f (z)dz = 0. Γ

Veta 10.11 (Cauchyho veta pre viacnásobne súvislú oblasť) Nech Γ, Γ1 , . . . , Γn sú jednoduché uzavreté kladne orientované krivky a nech Γ1 , . . . , Γn ležia vo vnútri krivky Γ tak, že žiadne dve ani ich vnútra nemajú spoločné body. Nech krivka Γ a jej vnútro, bez vnútorných bodov kriviek Γ1 , . . . , Γn ležia v oblasti Ω. Nech funkcia f je analytická na oblasti Ω. Potom platí I I I I f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz + · · · + f (z)dz. Γ

Γ1

Γ2

Γn

Pomocou Cauchyho vety sa dá ukázať, že za určitých predpokladov sa dajú hodnoty analytickej funkcie vo vnútorných bodoch oblasti určiť na základe hodnôt tejto funkcie na hranici oblasti. Veta 10.12 (Cauchyho integrálna formula) Nech na oblasti Ω je funkcia f analytická. Nech Γ je jednoduchá uzavretá kladne orientovaná krivka, ktorá leží so svojím vnútrom A v oblasti Ω. Nech bod z leží vo vnútri krivky Γ (z ∈ A). Potom platí: I 1 f (ξ) f (z) = dξ. 2π i ξ−z Γ

Príklad 10.5 Vypočítajme I z2

1 dz, +1

γ

kde γ je: a) kladne orientovaná kružnica |z −1| = 1, b) kladne orientovaná kružnica |z −i| = 1, c) kladne orientovaná kružnica |z| = 2. Riešenie. Daný integrál upravíme a použijeme Cauchyho integrálnu vetu v a) časti a Cauchyho integrálnu formulu v časti b), c). Dostávame I 1 dz = 0, 2 z +1 γ

pretože podintegrálna funkcia je analytická na nejakej otvorenej oblasti Ω, pričom kružnica |z − 1| = 1 spolu so svojím vnútrom leží v oblasti Ω. b) Daný integrál upravíme tak, aby funkcia v čitateli bola analytická vo vnútri kružnice |z−i| = 1 a podľa Cauchyho integrálnej formuly necháme v menovateli z − z0 , z0 = i, t. j. bod z0 je bod, v ktorom podintegrálna funkcia nie je analytická   I I 1 (z + i)−1 1 1 = 2π i dz = dz = 2π i = π. z2 + 1 z−i z + i z=i 2i γ

γ

c) Podintegrálna funkcia teraz nie je analytická vo vnútorných bodoch kružnice |z| = 2, a to v bodoch i, −i. Použijeme Cauchyho vetu pre viacnásobne súvislú oblasť a potom v bodoch i, −i Cauchyho integrálnu formulu I 1 dz = 2 z +1 γ

I = |z−i|=1

(z + i)−1 dz + z−i

I

(z − i)−1 dz = 2π i z+i



1 1 + 2i −2i

 = 0.

|z+i|=1

Veta 10.13 (Zovšeobecnená Cauchyho integrálna formula) Nech na oblasti Ω je funkcia f analytická. Nech Γ je jednoduchá uzavretá kladne orientovaná, po častiach hladká krivka, ktorá leží so svojím vnútrom A v oblasti Ω. Potom funkcia f má v každom bode z ∈ A deriváciu ľubovoľného rádu a platí: I n! f (ξ) (n) f (z) = dξ, n = 1, 2, . . . . 2π i (ξ − z)n+1 Γ

Príklad 10.6 Vypočítajme I

1 (z −

1)3 (z

+ 1)3

dz,

γ

ak γ je kladne orientovaná kružnica: a)|z − 1| = 1, b) |z + 1| = 0.5, c) |z| = 2. Riešenie. Budeme postupovať podobne ako v predchádzajúcom príklade s tým, že podintegrálnu funkciu prispôsobíme zovšeobecnenej Cauchyho integrálnej formule. a) I I 1 (z + 1)−3 dz = dz = (z − 1)3 (z + 1)3 (z − 1)3 |z−1|=1

|z−1|=1



12 2π i [(z + 1)−3 ]00z=1 = π i = 2! (z + 1)5 b) Postupujeme podobne ako v prípade a) I 1 dz = 3 (z − 1) (z + 1)3 |z+1|=0.5

 = z=1

12π i 3π i . = 5 2 8

(z − 1)−3 dz = (z + 1)3

I |z+1|=0.5

   2π i  12π i 3π i 12 −3 00 = (z − 1) z=−1 = π i = =− . 5 5 2! (z − 1) z=−1 −2 8 c) I

1 dz = (z − 1)3 (z + 1)3

|z|=2

I = |z−1|=1

1 dz + 3 (z − 1) (z + 1)3

I

1 (z −

1)3 (z

+ 1)3

dz = 0.

|z+1|=0.5

Nasledujúca veta je v istom zmysle obrátenou vetou ku Cauchyho základnej vete. Veta 10.14 (Morerova veta)H Nech funkcia f je konečná a spojitá v jednoducho súvislej oblasti Ω ⊂ Df ⊂ C a nech Γ f (z)dz = 0, kde Γ je ľubovoľná jednoduchá, uzavretá, po častiach hladká orientovaná krivka, ktorá leží celá v oblasti Ω. Potom je funkcia f analytická na Ω. Veta 10.15 (Liouvilleova veta) Nech funkcia f : C → C je analytická a ohraničená na C. Potom funkcia f je na C konštantná.

10.8

Postupnosti a rady komplexných funkcií komplexnej premennej

V predmete MA(1) sme sa zaoberali postupnosťami a radmi funkcií reálnej premennej. Ak členy funkcionálneho radu sú funkcie komplexnej premennej, hovoríme o rade funkcií komplexnej premennej. Definície bodovej konvergencie, rovnomernej konvergencie, absolútnej konvergencie, relatívnej konvergencie, divergencie, majorantného radu zavedené v reálnom obore sa zavádzajú nezmenené aj pre rady funkcií komplexnej premennej. Budeme sa zaoberať mocninovými radmi. Nech z0 , a0 , a1 , . . . , an , . . . sú komplexné čísla. Rad funkcií 2

n

a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 ) + · · · + an (z − z0 ) + · · · =

∞ X

an (z − z0 )n

n=0

nazývame mocninový rad so stredom v bode z0 . Podobne ako v reálnom obore definujeme (ale aj určujeme) obor a polomer konvergencie mocninového radu s komplexnými členmi. Je ∞ P zrejme, že mocninový rad an (z − z0 )n konverguje aspoň v bode z0 . n=0

Veta 10.16 (Abelova veta) Ak mocninový rad

∞ P

an (z − z0 )n konverguje v bode z1 6= z0 ,

n=0

potom

• konverguje, a to absolútne, v kruhu o polomere |z1 −z0 | so stredom v bode z0 (t. j. |z−z0 | < |z1 − z0 |), • rovnomerne konverguje v ľubovoľnom uzavretom kruhu so stredom v bode z0 a polomerom ρ < |z1 − z0 |. Je zrejmé, že ak rad funkcií

∞ P

an (z − z0 )n diverguje v bode z2 , tak diverguje v každom

n=0

bode množiny {z ∈ C : 10.8.1

|z − z0 | > |z2 − z0 |}.

Taylorov rad

Nech funkcia f má v bode z0 derivácie všetkých rádov. Mocninový rad ∞ X f (n) (z0 ) n=0

n!

(z − z0 )n

nazývame Taylorovým radom funkcie f so stredom v bode z0 . Veta 10.17 Nech funkcia f je analytická na oblasti Ω a nech bod z0 ∈ Ω je ľubovoľný pevný bod. Nech Kr = {z ∈ C : |z − z0 | = r > 0} je taká kružnica so stredom v bode z0 , že celé jej vnútro leží v oblasti Ω. Potom Taylorov rad funkcie f v bode z0 konverguje vo vnútri kružnice Kr pričom platí ∞ X f (n) (z0 ) (z − z0 )n = f (z) n! n=0 pre každý bod z vnútra kružnice Kr . Nech z je ľubovoľný bod vnútra kružnice Kr a ρ = |z − z0 | < r. Iste existuje kružnica Ks so stredom v bode z0 (Ks (t) = z0 + sei t , t ∈ h0, 2πi) o polomere s, že platí: 0 < ρ < s < r

a kružnica Ks spolu so svojím vnútrom leží v oblasti Ω, v ktorej je funkcia f analytická. Koeficienty Taylorovho radu sú jednoznačne určené vzťahom Z 1 f (ξ)dξ an = , n = 0, 1, 2, . . . . 2π i (ξ − z0 )n+1 Ks

Bod z0 ∈ Df sa nazýva nulovým bodom funkcie f , ak platí f (z0 ) = 0. Ak funkcia f je analytická v bode z0 ∈ Df , tak v nejakom okolí O(z0 ) platí f (z) =

∞ X

an (z − z0 )n =

n=0

∞ X f (n) (z0 ) n=0

n!

(z − z0 )n .

Teda bod z0 je nulový bod funkcie f , keď a0 = 0. Bod z0 je m-násobný nulový bod práve vtedy, keď f (z0 ) = f 0 (z0 ) = · · · = f (m−1) (z0 ) = 0, f (m) (z0 ) 6= 0, t. j. keď a0 = a1 = · · · = am−1 = 0, am 6= 0. Veta 10.18 Nech funkcia f : C ⊃ Df → C je analytická v nejakej oblasti Ω ⊂ Df . Bod z0 ∈ Ω je m-násobný nulový bod funkcie f práve vtedy, keď na nejakom okolí O(z0 ) bodu z0 možno funkciu f vyjadriť v tvare f (z) = (z − z0 )m g(z), kde funkcia g : O(z0 ) → C je analytická funkcia na O(z0 ), pre ktorú platí g(z0 ) 6= 0. 10.8.2

Laurentov rad a singulárne body funkcie

V tejto časti sa budeme zaoberať Laurentovym radom, ktorý je určitým zovšeobecnením Taylorovho radu a umožňuje nám klasifikáciu singulárnych bodov funkcií, podobne ako sme klasifikovali nulové body analytických funkcií pomocou Taylorovho radu. Definícia 10.16 Nech z0 , an ∈ C pre všetky n ∈ Z sú dané čísla. Rad tvaru ∞ X

an (z − z0 )n

n=−∞

nazývame Laurentovym radom so stredom v bode z0 a koeficientami an . Rad ∞ X

an (z − z0 )n

n=0

sa nazýva analytická časť a rad −1 X n=−∞

n

an (z − z0 ) =

∞ X

a−m (z − z0 )m m=1

hlavná časť Laurentovho radu. Hovoríme, že Laurentov rad konverguje v bode z ∈ C práve vtedy, keď v tomto bode konvergujú obe jeho časti.

Množinu všetkých bodov z ∈ C, ktoré spĺňajú nerovnosti: 0 ≤ r < |z − z0 | < R alebo 0 ≤ r < |z − z0 |, kde r, R sú dané reálne čísla, nazývame otvoreným medzikružím so stredom v bode z0 . Množinu všetkých bodov z ∈ C, ktoré spĺňajú nerovnosti: 0 ≤ r ≤ |z − z0 | ≤ R alebo 0 ≤ r ≤ |z − z0 |, kde r, R sú dané reálne čísla, nazývame uzavretým medzikružím so stredom v bode z0 . Veta 10.19 Nech funkcia f je analytická na medzikruží M = {z ∈ Df : Potom pre každý bod z ∈ M platí ∞ X

f (z) =

r < |z−z0 | < R}.

an (z − z0 )n ,

n=−∞

pričom pre koeficienty an platí vzťah I 1 f (ξ)dξ an = , 2π i (ξ − z0 )n+1

n = 0, ±1, ±2, . . . ,

Γ

kde Γ je ľubovoľná jednoduchá uzavretá kladne orientovaná po častiach hladká krivka, ktorá leží v medzikruží M . Rad ∞ X an (z − z0 )n n=−∞

konverguje rovnomerne na každom uzavretom medzikruží M 0 , ktoré leží v M . Príklad 10.7 Nájdime Laurentov rad (rozvoj) funkcie f (z) =

1 (z − 1)(z − 2)

pre medzikružie 1 < |z| < 2 so stredom v bode z0 = 0. Riešenie. Daná funkcia má dva singulárne body z1 = 1, z2 = 2. Rozvoj danej funkcie do Laurentovho radu môžeme nájsť rozkladom funkcie na parciálne zlomky a využitím znalosti o konvergencii geometrického radu. Pretože 1 1 1 = − (z − 1)(z − 2) z−2 z−1 nájdeme rozvoj oboch funkcií. Pre |z| < 2 je q = |z|/2 < 1, a teda   1 1 1 1 z z2 1 + + 2 + ... = =− =− z−2 2 1 − z2 2 2 2

1 z z2 zn − 2 − 3 − · · · − n+1 − . . . 2 2 2 2 Pre |z| > 1 je q = 1/|z| < 1, a teda   −1 1 1 1 1 1 =− =− 1 + + 2 + ... = z−1 z 1 − z1 z z z =

1 1 1 1 − 2 − 3 − ··· − n − .... z z z z Sčítaním oboch radov dostaneme požadovaný výsledok. Singulárnym bodom funkcie f komplexnej premennej nazývame každý bod, v ktorom funkcia f nie je analytická. Ak bod z0 je singulárnym bodom funkcie f a existuje také okolie O(z0 ) bodu z0 , že v ňom funkcia f nemá iný singulárny bod, tak bod z0 nazývame izolovaným singulárnym bodom funkcie f . Izolovaný bod funkcie f sa nazýva: =

• odstrániteľným singulárnym bodom, ak existuje konečná limita lim f (z) = A 6= ∞

z→z0

(Laurentov rad funkcie f so stredom v bode z0 obsahuje iba analytickú časť); • pólom (nepodstatne singulárnym bodom), ak lim f (z) = ∞;

z→z0

• podstatne singulárnym bodom, ak lim f (z)

z→z0

neexistuje (hlavná časť Laurentovho radu funkcie f so stredom v bode z0 pre medzikružie M má nekonečný počet členov s nenulovými koeficientami). Bod z0 je pólom m-tého rádu (stupňa, násobnosti) funkcie f vtedy a len vtedy, keď pre hlavnú časť Laurentovho radu funkcie f pre medzikružie M platí a−m 6= 0 a a−k = 0 pre k > m. Druh singulárneho bodu funkcie f v bode z = ∞ zisťujeme tak, že vyšetríme druh singulárneho bodu funkcie g(ξ) = f ( 1ξ ) v bode ξ = 0. Veta 10.20 Nech z0 je izolovaným singulárnym bodom funkcie f . Bod z0 je pólom násobnosti m funkcie f práve vtedy, keď v nejakom prstencovom okolí bodu z0 platí f (z) =

g(z) , (z − z0 )m

kde funkcia g : O(z0 ) → C je analytická v bode z0 , g(z0 ) 6= 0. Pól násobnosti m = 1 nazývame jednoduchý pól. Príklad 10.8 Dokážeme, že funkcia f (z) = z −2 (1 − cos z) má v bode z0 = 0 odstrániteľný singulárny bod.

Riešenie. Nájdime Laurentov rad danej funkcie v bode z0 = 0 pre medzikružie 0 < |z|. Platí 1 − cos z 1 z2 z4 z6 − + − ...) = = (1 − 1 + z2 z2 2! 4! 6! 1 z2 z4 = − + − .... 2! 4! 6! Pretože Laurentov rad obsahuje len analytickú časť, bod z0 = 0 je odstrániteľným singulárnym bodom danej funkcie. Príklad 10.9 Dokážeme, že funkcia f (z) = z −4 (1 − cos z) má v bode z0 = 0 pól násobnosti m = 2. Riešenie. Nájdime Laurentov rad danej funkcie v bode z0 = 0 pre medzikružie |z| < ∞. Platí 1 − cos z 1 z2 z4 z6 − + − ...) = = (1 − 1 + z4 z4 2! 4! 6! 1 1 z2 = − + − .... 2!z 2 4! 6! Pretože pre Laurentov rad danej funkcie platí c−2 6= 0 a c−n = 0 pre n > 2, bod z0 = 0 je pólom násobnosti m = 2 danej funkcie.

10.9

Rezíduum funkcie

V predchádzajúcej časti sme ukázali: ak z0 je izolovaný singulárny bod funkcie f analytickej na medzikruží M = {z ∈ Df : 0 < |z − z0 | < R}, potom pre každý bod z ∈ M platí f (z) =

∞ X

an (z − z0 )n .

n=−∞

Pre koeficienty an platí vzťah 1 an = 2πi

I

f (ξ)dξ , (ξ − z0 )n+1

n = 0, ±1, ±2, . . . ,

Γ

kde Γ je ľubovoľná jednoduchá uzavretá kladne orientovaná po častiach hladká krivka, ktorá H leží v medzikruží M . Určité výnimočné postavenie má koeficient a−1 , pretože f (z)dz = Γ

2π ia−1 . Koeficient a−1 v tomto Laurentovom rade sa nazýva rezíduum funkcie f v bode z0 a označujeme ho res[f (z)]z=z0 alebo resf (z0 ), alebo res[f (z), z0 ]. Teda I 1 f (z)dz, resf (z0 ) = 2π i Γ

kde Γ je jednoduchá uzavretá kladne orientovaná po častiach hladká krivka, ktorá leží v medzikruží M a v jej vnútri leží bod z0 . Veta 10.21 Nech funkcia f má v bode z0 m-násobný pól, potom platí res[f (z)]z=z0 =

dm−1 1 lim m−1 [(z − z0 )m f (z)]. (m − 1)! z→z0 dz

Veta 10.22 (základná veta o rezíduách). Nech funkcia f je analytická v oblasti Ω s výnimkou konečného počtu izolovaných singulárnych bodov. Nech Γ je jednoduchá uzavretá po častiach hladká kladne orientovaná krivka taká, že aj so svojím vnútrom leží v oblasti Ω. Nech z1 , z2 , . . . , zn sú všetky izolované singulárne body funkcie f , ktoré ležia vo vnútri krivky Γ. Potom platí I n X f (z)dz = 2π i res[f (z)]z=zk . k=1

Γ

Príklad 10.10 Vypočítajme rezíduum funkcie f (z) = (z + 2)/[(z − 2 i)2 (z + 1)] v bode z0 = 2 i. Riešenie. Bod z0 = 2 i je pólom násobnosti m = 2. Platí d z+2 3 + 4i [(z − 2ß)2 ]= . 2 z→2 i dz (z − 2 i) (z + 1) 25

res[f (z), 2 i] = lim

Nech funkcia f je analytická v okolí |z| > r bodu z = ∞. Rezíduum funkcie f v bode z = ∞ nazýva sa záporne vzatý koeficient a−1 v Laurentovom rade funkcie f so stredom v bode z = ∞ pre medzikružie |z| > r. Pre rezíduum funkcie f v bode z = ∞ platí I 1 res[f (z)]z=∞ = f (z)dz, 2π i Γ∗

kde Γ∗ je záporne orientovaná kružnica |z| = R, R > r.

Veta 10.23 Nech funkcia f je analytická na C ∗ s výnimkou konečného počtu jej singulárnych bodov z1 , z2 , . . . , zn , potom platí n X

res[f (z)]z=zk + res[f (z)]z=∞ = 0.

k=1

Nech funkcia f je analytická v bode z0 . Logaritmickým rezíduom funkcie f v bode z0 nazýva sa rezíduum jej logaritmickej derivácie [ln f (z)]0 =

f 0 (z) f (z)

v bode z0 .

10.10

Cvičenia 10

1. Zistite, aké množiny v rovine C sú dané nasledujúcimi vzťahmi: a) z = ei t + e−i t ; b) |z − 2| < |z|; c) Im (1/z) = 2.

[elipsa] [polrovina Re z > 1] [ kružnica]

2. Nájdite všetky hodnoty nasledujúcich komplexných čísel: a) (3 − 4 i)1+i ; b) Ln (1 + i); c) cos(2 + 2i); d) Arctg (1 + 2 i); e) sinh(2 − i); 1+i f) ( √ )2 i ; 2√ −1 g) 2 ( 3 + i)1+i .

4 4 4 [5eArctg 3 +2kπ [cos(ln 5 − arctg ) + i sin(ln 5 − arctg )] 3 3 [ 21 ln 2 + i π/4 + 2kπ i [cos 2 cosh 2 − i sin 2 sinh 2 [kπ + 21 arctg 2 + 4i ln 5 [cosh 2 cos 1 − i cosh 2 sin 1

3. Nájdite obrazy daných kriviek pri zobrazení w = 1/z: a) x = 1; b) y = x; c) (x − 1)2 + y 2 = 1.

] ] ] ] ]

[e−(2k+1/2)π ] [ e−s cos s + i e−s sin s, s = π/6] [(u − 1/2)2 + v 2 = 1/4] [u + v = 0] [1/2]

4. Nájdite analytickú funkciu f = u + i v na množine C, ak: a)u = 2x2 − 2y 2 − 6xy + x − y + 3 a f (i) = i; [f (z) = (2 + 3 i)z 2 + (1 + i)z + 3 + 3 i] 2 2 b) u = x − y + xy, f (0) = 0; [f (z) = z 2 (2 − i)/2] c) v = 2xy + 3x; [f (z) = z 2 + 3 iz + c] d) u = x/(x2 + y 2 ) − 2y; [f (z) = 1/z + 2 iz + c i] e) v = y/(x2 + y 2 ), f (2) = 0. [f (z) = 1/2 − 1/z] R 5. Vypočítajte (1 + i − 2¯ z )dz, po krivke spájajúcej body z1 = 0, z2 = 1 + i: K

a) po priamke; [2(i − 1)] 2 b) po parabole y = x . [−2 + 4i/3] R 6. Vypočítajte |z|¯ z dz, kde K je uzavretá kladne orientovaná krivka, zložená z polkružnice K

|z| = 1, Im z > 0 a úsečky −1 ≤ Re z ≤ 1, Im z = 0. R 7. Vypočítajte z sin z dz, kde K je:

[π i]

K

a) úsečka so začiatočným bodom 0 a koncovým i, b) parabola z = t2 − t + i t, t ∈ h0, 1i, orientovaná súhlasne s parametrickým vyjadrením. [i(sinh 1 − cosh 1)] I z+4 8. Vypočítajte dz, ak pre K platí: 2 z + 2z + 5 K

a) |z| = 1;

[0]

b) |z + 1 − i| = 2; [(2 − 3 i)/4] c) |z + 1 + i| = 2. [(2 + 3 i)/4] Z 1 9. Vypočítajte dz, kde K je jednoduchá uzavretá po častiach hladká krivka, pričom: 2 z +9 K

a) 3 i leží vo vnútri K, −3 i zvonku K; b) −3 i leží vo vnútri K, 3 i zvonku K; c) −3 i, 3 i ležia vo vnútri K. I 10. Vypočítajte √

[π/3] [−π/3] [0]

ez dz, ak krivka K je kladne orientovaná elipsa z = cos t + i (1 + (z 2 + 1)2

K

2 sin t), t ∈ h0, 2πi. [π i/2] I cos z 11. Vypočítajte dz, kde K je kladne orientovaný obvod štvorca určeného vrcholmi (z − i)3 K

1, 1 + 2 i, −1 + 2 i, −1. I cosh zdz 12. Vypočítajte . (z + 1)3 (z − 1)

[−πi cosh 1] [−π i/(2e)]

|z|=6

13. Nájdite singulárne body danej funkcie f a zistite druh týchto singulárnych bodov : z a) 2 ; (z + i)3 √ [z1,2 = ± 22 (1 − i) sú poly 3. rádu; ∞ je odstr. sing. bod] cos z b) 2 ; [z = 0 je pól 2. rádu; z = ∞ je podst. sing. bod] z 5 z c) . [z = 1 je pól 2. rádu; z = ∞ je pól 3.rádu] (1 − z)2 14. Nájdite rezíduum funkcie f v jej izolovaných singulárnych bodoch: 1 a) f (z) = ; [res f (0) = 1,res f (±1) = −1/2, res f (∞) = 0] z(1 − z 2 ) z2 b) f (z) = ; [res f (i) = −i/4, res f (−i) = i/4] (1 + z 2 )2 z3 + z2 + 2 c) f (z) = ; z(1 − z 2 )2 [res f (0) = 2, res f (1) = −3/4, res f (−1) = −5/4] eπz d) f (z) = . [res f (−i) = i/2, res f (i) = −i/2, res f (∞) = 0] 1 + z2

10.11

Test 10

1. T10-1 (3b) δ- okolím bodu z0 = x0 + iy0 nazývame množinu bodov: (a) Oδ (z0 ) = {z ∈ C :

ρ(z, z0 ) < δ},

(b) Oδ (z0 ) = {z ∈ C :

|z − z0 | < δ}, p (c) Oδ (z0 ) = {(x, y) ∈ R2 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ}.

2. T10-2 (4b) Kružnicu so stredom v bode z0 = x0 + iy0 a polomerom r = 2, môžeme vyjadrit v tvare: (a) (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = 4, (b) x = x0 + 2 cos t, y = y0 + 2 sin t, t ∈ h0, 2πi, (c) z = (x0 + 2 cos t) + i (y0 + 2 sin t) = z0 + 2ei t , t ∈ h0, 2πi, (d) |z − z0 | = 4. 3. T10-3 (2b) Nech je daná funkcia f : C ⊃ Df → C, f (z) = u(x, y) + i v(x, y) a nech z0 = x0 + i y0 je vnútorný bod množiny Df . Nech funkcia f má deriváciu v bode z0 . Potom sú funkcie u, v diferencovatelné v bode (x0 , y0 ) a platí (a) ux (x0 , y0 ) = vy (x0 , y0 ), (b) ux (x0 , y0 ) = −vy (x0 , y0 ),

uy (x0 , y0 ) = −vx (x0 , y0 ), uy (x0 , y0 ) = vx (x0 , y0 ),

(c) f 0 (z0 ) = ux (x0 , y0 ) + i vx (x0 , y0 ) = vy (x0 , y0 ) − i uy (x0 , y0 ), (d) f 0 (z0 ) = ux (x0 , y0 ) − i vx (x0 , y0 ) = vy (x0 , y0 ) + i uy (x0 , y0 ). 4. T10-4 (3b) Exponenciálna funkcia ez má vlastnost: (a) ez = ex cos y + i ex sin y, (b) je periodická funkcia s periódou 2π i, (c) je periodická funkcia s periódou 2π, ∞ X zn z , (d) pre z ∈ C je e = n! n=0 (e) funkcia ez je analytická, pričom (ez )0 = ez . 5. T10-5 (2b) Goniometrické funkcie pre každé číslo z ∈ C definujeme takto: ∞ X

n

∞ X

n

z 2n+1 , (a) cos z = (−1) (2n + 1)! n=0 z 2n (b) sin z = (−1) , (2n)! n=0

(c) sin z =

eiz − e−iz , 2i

(d) cos z =

eiz + e−iz . 2i

6. T10-6 (3b) Nech funkcia f je spojitá na oblasti Ω. Nech f (z) = u(x, y) + i v(x, y) a nech Γ je po castiach hladká (orientovaná) krivka. Potom existuje integrál funkcie f na krivke Γ a platí:

(a)

R

f (z)dz =

Γ

(b) (c)

R

R

u(x, y)dx + v(x, y)dy,

Γ

f (z)dz =

R

Γ

Γ

R

f (z)dz = i

Γ

u(x, y)dx − v(x, y)dy + i

R

v(x, y)dx + u(x, y)dy,

Γ

R

v(x, y)dx + u(x, y)dy.

Γ

7. T10-7 (3b) Nech na oblasti Ω je funkcia f analytická. Nech Γ je jednoduchá uzavretá kladne orientovaná krivka, ktorá leží so svojím vnútrom A v oblasti Ω. Nech bod z leží vo vnútri krivky Γ(z ∈ A). Potom platí: I 1 f (ξ) dξ, (a) f (z) = 2π i ξ−z Γ H (b) f (z)dz = 0, Γ

(c) f

(n)

n! (z) = 2π i

I

f (ξ) dξ, (ξ − z)n+1

n = 1, 2, . . ..

Γ

8. T10-8 (2b) Funkcia f (z) = z −2 (1 − cos z) má v bode z0 = 0: (a) odstránitelný singulárny bod, (b) má v bode z0 = 0 pól násobnosti m = 2. 9. T10-9 (2b) Nech funkcia f má v bode z0 m-násobný pól, potom platí (a) res[f (z)]z=z0 = (b) res[f (z)]z=z0

1 dm−1 lim m−1 [(z − z0 )m f (z)]. (m − 1)! z→z0 dz

1 dm−1 = lim [f (z)]. (m − 1)! z→z0 dz m−1

11

Laplaceova transformácia

Cieľ Oboznámenie sa s integrálnou transformáciou, ktorá sa využíva na zjednodušenie riešení niektorých úloh a jej aplikáciu pri riešení diferenciálnych rovníc.

Otázky • Definujte Laplaceovu transformáciu, predmet a jeho charakteristiky. • Dokážte vetu o lineárnosti, o tlmení, o posunutí predmetu a o derivovaní predmetu. • Definujte spätnú Laplaceovu transformáciu. Uveďte postup pri výpočte predmetu pomocou rezíduí a rozkladu na parciálne zlomky. • Ako definujete konvolúciu predmetov. Uveďte príklad jej použitia. • Ako riešime diferenciálne rovnice pomocou Laplaceovej transformácie? Uveďte príklad.

Pierre-Simon Laplace (1749-1827) Laplaceov operátor umožňuje úspešne riešiť rôzne úlohy počnúc vyšetrovaním stability solárneho systému, cez popis poľa v okolí elektrického náboja, až po šírenie tepla v hrnci na piecke. Laplace využil teóriu matematickej analýzy pri budovaní teórie pravdepodobnosti. Laplace považoval pravdepodobnosť za zdravý rozum spojený s matematickou analýzou. Obojstranná Laplaceova transformácia, ktorá je rozšírením Fourierovej transformácie zjednodušuje a sprehľadňuje riešenie problémov matematickej analýzy.

11.1

Definícia Laplaceovej transformácie

V tejto časti sa budeme zaoberať myšlienkou zjednodušenia riešenia niektorých úloh (napríklad diferenciálnych rovníc). Každej funkcii f (t) z určitej triedy funkcií, budeme ju nazývať vzorom (originálom, predmetom), určíme na základe určitých pravidiel jej obraz F (p), pričom zložitejším operáciám v množine vzorov {f (t)} by mali odpovedať jednoduchšie operácie v množine obrazov {F (p)}. Napríklad pri riešení diferenciálnych rovníc budeme postupovať takto: 1. Rovnicu, ktorú máme riešiť v oblasti originálov, pomocou určitých pravidiel, prepíšeme (pretransformujeme) do rovnice v oblasti obrazov. 2. Riešime získanú rovnicu v oblasti obrazov (nájdeme obraz riešenia pôvodnej úlohy). 3. Spätnou transformáciou určíme originál. Definícia 11.1 Komplexnú funkciu reálnej premennej f (t) budeme nazývať predmetom (originálom, vzorom) práve vtedy, keď spĺňa podmienky: 1. f (t) = 0 pre t < 0. 2. f (t) je na intervale h0, ∞) po častiach spojitá funkcia, t. j. na každom konečnom intervale ha, bi má konečný počet bodov nespojitosti prvého druhu. 3. Existujú také reálne čísla M > 0 a α, že pre ľubovoľné t ∈ h0, ∞) platí |f (t)| ≤ M eαt . Číslo α0 = inf{α ∈ R : |f (t)| ≤ M eαt } nazývame index rastu predmetu f (t). Dôležitým predmetom je jednotková (Heavisidova) funkcia  0, t < 0, η(t) = 1, t ≥ 0. Ak bude v ďalšom texte reč o predmetoch sin t, cos t, et , atď., budeme uvažovať funkcie η(t) cos t, η(t) sin t, η(t)et , atď. Nech f (t) je komplexná funkcia reálnej premennej t ∈ (−∞, ∞) a nech p = σ + i s ∈ C je komplexná premenná. Nech nevlastný integrál Z∞ f (t)e−pt dt (1) 0

existuje a má konečnú hodnotu aspoň pre jeden bod p ∈ C. Integrál (1) nazývame Laplaceov integrál funkcie f (t). Definícia 11.2 Nech je daná komplexná funkcia f (t) reálnej premennej t ∈ (−∞, ∞). Nech D je množina tých hodnôt parametra p ∈ C, pre ktoré je konvergentný Laplaceov integrál. Komplexnú funkciu F (p) určenú predpisom Z∞ F (p) = f (t)e−pt dt, p ∈ D, (2) 0

nazývame Laplaceov obraz funkcie f (t). Transformáciu, ktorá priraďuje funkcii f (t) jej Laplaceov obraz F (p), nazývame Laplaceova transformácia (LT). Vzťah medzi funkciou f (t) a jej Laplaceovým obrazom F (p) budeme označovať takto: f (t) ÷ F (p) alebo F (p) ÷ f (t).

Budeme používať tiež označenie F (p) = L[f (t)], f (t) = L−1 [F (p)]. V praxi sa používa tiež Laplaceova-Carsonova (Heavisidova) transformácia daná vzťahom Z∞ Fk (p) = p

f (t)e−pt dt.

0

Veta 11.1 (veta o existencii Laplaceovho obrazu). Ak f (t) je predmet s indexom rastu α0 , tak Laplaceov integrál (1)konverguje v polrovine Re p > α0 a definuje obraz Z∞ F (p) =

f (t)e−pt dt,

0

ktorý je v tejto polrovine analytickou funkciou. V ďalšom texte budeme pod Laplaceovým obrazom predmetu f (t) rozumieť funkciu F (p) pre tie hodnoty p, kde je funkcia F (p) analytická. Ak funkcia F (p) je obrazom niektorého predmetu f (t), tak lim F (p) = 0.

Re p→∞

11.2

Základné vlastnosti Laplaceovej transformácie

Pomocou vzťahu (??) môžeme nájsť 1 , p−a

L[eat ] =

pre Re p > Re a.

Špeciálne pre a = 0 dostaneme obraz jednotkového predmetu η(t). Teraz uvedieme niektoré vlastností (LT), ktoré nám umožnia určiť obraz ku niektorým predmetom bez priameho výpočtu Laplaceovho integrálu. Veta 11.2 (veta o lineárnosti (LT)) Ak fk sú predmety, Fk im odpovedajúce obrazy a ck ∈ C sú ľubovoľné konštanty k = 1, 2, . . . , n, tak n X

ck fk (t) ÷

k=1

n X

ck Fk (p).

k=1

Vieme, že 1 1 i ωt e − e−i ωt , 2i 2i teda pomocou vety o lineárnosti (LT) dostávame sin ωt =

sin ωt ÷

1 1 1 1 ω − = 2 , 2ip − iω 2ip + iω p + ω2

kde Re p > |Im ω|. Podobne dostaneme cos ωt ÷

p2

p , + ω2

kde Re p > |Im ω|. Veta 11.3 (veta o podobnosti) Nech f je predmet a F jeho obraz. Ak λ ∈ R je ľubovoľná kladná konštanta, tak 1 p f (λt) ÷ F . λ λ Veta 11.4 (veta o tlmení) Ak f je predmet, F jeho obraz a s ∈ C je ľubovoľné číslo, tak est f (t) ÷ F (p − s). Pomocou vety o tlmení a obrazov predmetov sin t, cos t dostaneme eat sin ωt ÷

ω , (p − a)2 + ω 2

eat cos ωt ÷

p−a , (p − a)2 + ω 2

kde Re p > Re a + |Im ω|. Podobne eat sinh ωt ÷ kde Re p > Re a + |Re ω|.

ω , (p − a)2 − ω 2

eat cosh ωt ÷

p−a , (p − a)2 − ω 2

Veta 11.5 Nech existujú reálne kladné konštanty M, L, α také, že pre ľubovoľné (t, λ) ∈ A = h0, ∞) × h0, Li platí: |f (t, λ)| ≤ M eαt , | ∂f (t, λ)| ≤ M eαt a nech funkcie f a ∂f sú spojité ∂λ ∂λ na množine A. Ak f (t, λ) ÷ F (p, λ), tak ∂f ∂F (t, λ) ÷ (p, λ). ∂λ ∂λ Pomocou uvedenej vety môžeme nájsť obraz napríklad ku predmetu f (t) = t cos ωt. Vieme, že ω sin ωt ÷ 2 . p + ω2 Derivovaním oboch strán podľa parametra ω dostaneme t cos ωt ÷

p2 − ω 2 . (p2 + ω 2 )2

Podobne môžeme nájsť obrazy ku predmetom teωt , t sin ωt a pod. Teraz sa budeme zaoberať posunutým predmetom predmetu f (t) o konštantu τ > 0. V tomto prípade je nutné daný predmet vyjadriť pomocou jednotkového predmetu η(t), teda f (t)η(t). Posunutím jednotkového predmetu (vpravo-tzv. oneskorenie) o τ dostaneme predmet  0, t < τ , η(t − τ ) = 1, t ≥ τ . Posunutím predmetu f (t)η(t) vpravo (oneskorenie) dostaneme predmet  0, t < τ, g(t) = f (t − τ )η(t − τ ) = f (t − τ ), t ≥ τ . Nech 0 < a < b. Potom  η(t − a) − η(t − b) =

0, t < a, t > b, 1, t ∈ ha, b).

Funkcia f (t)[η(t − a) − η(t − b)] nadobúda nulové hodnoty pre t ∈ R − ha, b) a pre t ∈ ha, b) má tie isté hodnoty ako funkcia f (t). Veta 11.6 (o posunutí, oneskorení predmetu) Ak predmetu f (t) odpovedá obraz F (p) a τ > 0, tak f (t − τ ) ÷ e−τ p F (p). Ak nemôže dôjsť k nedorozumeniu, tak namiesto f (t − τ )η(t − τ ) píšeme iba f (t − τ ). Veta 11.7 (veta o obraze periodickej funkcie) Ak funkcia f je predmet s periódou T > 0, tak jej Laplaceov obraz je určený vzťahom RT F (p) =

f (t)e−pt dt

0

1 − e−T p

.

Ak posunieme graf funkcie f (t) doľava o kladnú konštantu τ (hovoríme o predstihu), tak posunutý predmet bude f (t+τ )η(t) a nie predmet f (t+τ )η(t+τ ) (nebola by splnená podmienka, že predmet nadobúda nulové hodnoty pre t < 0).

Veta 11.8 (veta o predstihu) Ak predmetu f (t) odpovedá obraz F (p) a τ > 0, tak   Zτ f (t + τ )η(t) ÷ eτ p F (p) − f (t)e−pt dt . 0

Ďalšie vlastnosti budeme môcť využiť pri riešení niektorých diferenciálnych rovníc. Veta 11.9 (veta o derivácii predmetu) Nech funkcia f a jej derivácia sú predmety a nech f je spojitá na intervale (0, ∞). Ak f (t) ÷ F (p), tak f 0 (t) ÷ pF (p) − f (0+), kde f (0+) = lim f (t). t→0+

Ak f (k) (0+) = lim f (k) (t), k = 0, 1, . . . , n − 1 a f (k) sú predmety, tak t→0+

f (n) (t) ÷ pn F (p) − pn−1 f (0+) − · · · − pf (n−2) (0+) − f (n−1) (0+).

Príklad 11.1 Nájdime obraz F (p) k predmetu f (t) = x00 (t) − 2x0 (t) + x(t) − 3 + g(t), kde   0 pre t < 0, t pre t ∈ (0, 1), g(t) =  1 pre t > 1 a x(0) = 1, x0 (0) = 2. Riešenie. Nech predmetu x(t) ÷ X(p), potom x0 (t) ÷ pX(p) − 1,

x00 (t) ÷ p2 X(p) − 1p − 2.

Predmet g(t) môžeme zapísať pomocou jednotkového predmetu takto g(t) = t[η(t) − η(t − 1)] + 1 · η(t − 1) = tη(t) − (t − 1)η(t − 1). Už vieme, že η(t) ÷ p1 a tη(t) ÷ p12 . Použitím vety o oneskorení dostaneme (t − 1)η(t − 1) ÷ e−p p12 . Použitím vety o lineárnosti dostaneme 1 1 F (p) = p2 X(p) − p − 2 − 2[pX(p) − 1] + X(p) − 3 + 2 (1 − e−p ). p p Veta 11.10 (veta o integrovaní predmetu) Ak predmetu f (t) odpovedá obraz F (p), tak Zt f (τ )dτ ÷

F (p) . p

0

Nech f je spojitý predmet na intervale h0, ∞) a f (t) ÷ F (p). Ak existuje

R∞ 0

Z∞ f (t)dt = lim F (p). p→0

0

f (t)dt, tak

Veta 11.11 (veta o derivovaní obrazu) Ak predmetu f (t) odpovedá obraz F (p), tak predmetu −tf (t) ÷ F 0 (p). Ako dôsledok tejto vety je (−1)n tn f (t) ÷ F (n) (p), n ∈ N . Veta 11.12 (veta o integrovaní obrazu) Nech f (t) ÷ F (p). Ak existuje

R∞

F (z)dz a funkcia

p f (t) t

je predmetom, tak f (t) ÷ t

Z∞ F (z)dz. p

Ak predmet

f (t) t

je spojitý na intervale h0, ∞), f (t) ÷ F (p) a existuje integrál

R∞ f (t) 0

Z∞

f (t) dt = t

0

t

dt, tak

Z∞ F (z)dz. 0

V ďalšom budeme hľadať predmet, ktorý odpovedá súčinu predmetov. Definícia 11.3 Konvolúciou (alebo konvolučným súčinom) predmetov f a g nazývame predmet h definovaný predpisom Zt f (τ )g(t − τ )dτ.

h(t) = 0

Pre predmet h používame označenie f ∗ g. Pre konvolučný súčin dvoch predmetov f a g platí f ∗ g = g ∗ f . Veta 11.13 (veta o násobení obrazov) Ak f a g sú predmety s indexami rastu α0f a α0g , f (t)÷F (p), g(t)÷G(p), tak konvolúcia h = f ∗g je predmet s indexom rastu α0 = max{α0f , α0g } a platí (f ∗ g)(t) ÷ F (p)G(p). Teda

Zt f (τ )g(t − τ )dτ ÷ F (p)G(p). 0

Použitím vety o derivácii predmetu dostávame d dt

Zt f (τ )g(t − τ )dτ ÷ pF (p)G(p) 0

alebo

Zt f (t)g(0+) +

f (τ )g 0 (t − τ )dτ ÷ pF (p)G(p).

0

Zároveň platí f (t)g(0+) + (f ∗ g 0 )(t) = f (t)g(0+) + (g 0 ∗ f )(t) ÷ pF (p)G(p). Výrazy f (t)g(0+) + (f ∗ g 0 )(t), f (t)g(0+) + (g 0 ∗ f )(t) nazývame Duhamelove integrály.

Veta 11.14 (veta o násobení predmetov) Nech f a g sú predmety a nech α0 = max{α0f , α0g }, kde α0f , resp. α0g je index rastu predmetu f , resp. g. Ak f (t) ÷ F (p), g(t) ÷ G(p), tak 1 f (t)g(t) ÷ 2π i

a+i Z ∞

F (z)G(p − z)dz, a−i ∞

kde Re p > α0 , α0 < a (ide o integrál po krivke z = a + i t, t ∈ (−∞, ∞)).

11.3

Spätná Laplaceova transformácia

Doteraz sme sa zaoberali problémom určenia obrazu F (p) v (LT) k predmetu f (t). Spätná (LT) priradí komplexnej funkcii F komplexnej premennej predmet f , ktorého Laplaceovým obrazom je funkcia F . Je potrebné riešiť problém existencie spätnej (LT), t. j. pre ktoré funkcie F existuje predmet f . Veta 11.15 (Lerchova veta) Nech f a g sú predmety s rovnakým obrazom v (LT), t. j. L{f (t)} = L{g(t)}. Potom f = g s výnimkou izolovaných bodov, v ktorých funkcia f alebo funkcia g nie je spojitá. Je zrejmé, že obraz F musí spĺňať podmienky existencie obrazu F k predmetu f : • existuje také reálne číslo α0 , že funkcia F je analytická v polrovine Re p > α0 ; • v ľubovoľnej polrovine Re p ≥ α > α0 platí

lim F (p) = 0.

Re p→∞

Uvedené podmienky sú nutné podmienky pre existenciu obrazu, nie však postačujúce. Veta 11.16 Nech f je predmet s indexom rastu α0 a nech f (t) ÷ F (p). Ak funkcia f je spojitá v bode t a má v ňom konečné jednostranné derivácie, tak platí Riemannov-Mellinov alebo Bromwichov vzorec spätnej Laplaceovej transformácie 1 f (t) = 2π i

a+i Z ∞

F (p)ept dp,

a−i ∞

kde a je ľubovoľné reálne číslo, pre ktoré platí a > α0 . Nasledujúca veta udáva postačujúce podmienky existencie predmetu f pre niektoré funkcie F. A(p) Veta 11.17 Nutnou a postačujúcou podmienkou toho, aby racionálna funkcia F (p) = B(p) (A, B sú polynómy nad množinou komplexných čísel) bola Laplaceovým obrazom nejakého predmetu je, že stupeň polynómu A je nižší ako stupeň polynómu B.

Príklad 11.2 Nájdime predmet f (t) k funkcii F (p) =

p2 (p

p+1 . − 1)(p + 2)

Riešenie. Funkcia F má póly p12 = 0, p3 = 1, p4 = −2. Potom f (t) = res[F (p)ept , 0] + res[F (p)ept , 1] + res[F (p)ept , −2] =   1 d p+1 2 pt = lim (p − 0) 2 e + (2 − 1)! p→0 dp p (p − 1)(p + 2)   1 p+1 pt lim (p − 1) 2 e + (1 − 1)! p→1 p (p − 1)(p + 2)   1 p+1 pt lim (p + 2) 2 e = (1 − 1)! p→−2 p (p − 1)(p + 2)

1 3 t 2 = − − + et + e−2t . 4 2 3 12 1 at Použitím lineárnosti (LT), už známych vzťahov e ÷ p−a , t ÷ p12 a rozkladom funkcie F na parciálne zlomky dostaneme F (p) = −

1 1 31 1 1 2 1 − + ÷ + 4 p 2 p2 3 p − 1 12 p + 2

÷−

3 t 2 t 1 − + e + e−2t . 4 2 3 12

11.4

Použitie Laplaceovej transformácie

Majme za úlohu nájsť riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientami x(n) (t) + a1 x(n−1) (t) + · · · + an−1 x0 (t) + an x(t) = f (t) pri začiatočných podmienkach (n−1)

x(0) = x0 , x0 (0) = x00 , . . . , x(n−1) (0) = x0

na intervale h0, ∞). Nech x(t) ÷ X(p), f (t) ÷ F (p). Pomocou vety o derivovaní predmetu dostaneme (n−1)

[pn X(p) − pn−1 x0 − · · · − x0

] + · · · + an−1 [pX(p) − x0 ] + an X(p) = F (p).

Odtiaľ môžeme vyjadriť obraz riešenia X(p), platí X(p) =

F (p) + Φ(p) , L(p)

kde L(p) = pn + a1 pn−1 + · · · + an−1 p + an je charakteristický polynóm (danej diferenciálnej rovnice) a Φ je polynóm stupňa najviac n − 1. Pre nulové začiatočné podmienky je Φ = 0. Riešenie x(t) danej diferenciálnej rovnice môžeme nájsť pomocou spätnej (LT). Pretože x a f považujeme za predmety, je zrejmé, že x(t) = 0 pre t < 0. Ak začiatočné podmienky nie sú zadané v bode t0 = 0 a ak chceme danú úlohu riešiť pomocou (LT), môžeme zameniť premennú t za τ = t − t0 . Príklad 11.3 Nájdime riešenie diferenciálnej rovnice x00 + x = 3 sin 2t vyhovujúce začiatočným podmienkam x(0) = x0 (0) = 0 pre t ≥ 0. Riešenie. Nech x(t) ÷ X(p), potom x0 (t) ÷ pX(p), x00 (t) ÷ p2 X(p), sin 2t ÷ dostaneme 6 2 ⇒ X(p) = 2 = p2 X(p) + X(p) = 3 2 p +4 (p + 1)(p2 + 4) =

p2

2 . p2 +4

Potom

2 2 − 2 ÷ 2 sin t − sin 2t = x(t). +1 p +4

Pri riešení diferenciálnych rovníc sme požadovali, aby začiatočné podmienky boli zadané v bode t0 = 0. Majme za úlohu riešiť diferenciálnu rovnicu x00 (t) + a1 x0 (t) + a2 x(t) = f (t) pre začiatočné podmienky x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = x00 , t0 6= 0. Môžeme postupovať takto. Položíme τ = t − t0 , u(τ ) = x(t0 + τ ) = x(t), g(τ ) = f (t0 + τ ) = f (t) a nájdeme riešenie diferenciálnej rovnice u00 (τ ) + a1 u0 (τ ) + a2 u(τ ) = g(τ ) pre začiatočné podmienky u(0) = x0 , u0 (0) = x00 . Teraz ukážeme, ako môžeme riešiť niektoré diferenciálne rovnice pomocou Duhamelovho integrálu. Nech x(n) (t) + a1 x(n−1) (t) + · · · + an−1 x0 (t) + an x(t) = f (t)

pri začiatočných podmienkach x(0) = 0, x0 (0) = 0, . . . , x(n−1) (0) = 0. Odtiaľ môžeme vyjadriť obraz riešenia X(p), platí X(p) =

F (p) , L(p)

kde L(p) = pn + a1 pn−1 + · · · + an−1 p + an . Predpokladajme, že poznáme riešenie y rovnice y (n) (t) + a1 y (n−1) (t) + · · · + an−1 y 0 (t) + an y(t) = 1 pri začiatočných podmienkach y(0) = 0, y 0 (0) = 0, . . . , y (n−1) (0) = 0. Ak v (LT) y(t) ÷ Y (p), dostaneme Y (p) =

1 , pL(p)

kde L(p) = pn + a1 pn−1 + · · · + an−1 p + an . Z vyjadrenia X(p) a Y (p) dostaneme X(p) = pF (p)Y (p). Pomocou Duhamelovho integrálu sa dá hľadané riešenie x(t) zapísať v tvare Zt x(t) =

y 0 (τ )f (t − τ )dτ

0

alebo

Zt x(t) = y(t)f (0+) +

f 0 (τ )y(t − τ )dτ.

0

Ak uvážime, že konvolúcia predmetov je komutatívna, platí Zt x(t) =

f (τ )y 0 (t − τ )dτ

0

alebo

Zt x(t) = y(t)f (0+) +

y(τ )f 0 (t − τ )dτ.

0

Laplaceovu transformáciu môžeme použiť pri riešení integrálnych alebo integrodiferenciálnych rovníc. Zároveň môžeme úspešne použiť Laplaceovu transformáciu pri riešení úloh z elektrotechniky.

Zhrnutie Pre lepší prehľad uvedieme základné vety (iba tvrdenia) tabuľky korešpondencií predmetobraz. n n X X ck fk (t) ÷ ck Fk (p) veta o lineárnosti k=1

k=1

1 p f (λt) ÷ F ( ), λ > 0 λ λ

veta o podobnosti

eat f (t) ÷ F (p − a)

veta o tlmení

Ak f (t, λ) ÷ F (p, λ), tak ∂f (t, λ) ∂F (t, λ) ÷ ∂λ ∂λ

veta o derivovaní podľa parametra

f (t − τ )η(t − τ ) ÷ e−τ p F (p), τ > 0 Zt

τp

f (t + τ )η(t) ÷ e [F (p) −

f (t)e−pt dt]

veta o oneskorení

veta o predstihu

0

f 0 (t) ÷ pF (p) − f (0+) Zt f (τ )dτ ÷

F (p) p

veta o derivovaní predmetu

veta o integrovaní predmetu

0

−tf (t) ÷ F 0 (p) f (t) ÷ t

veta o derivovaní obrazu

Z∞ F (z)dz

veta o integrovaní obrazu

p

(f ∗ g)(t) ÷ F (p)G(p)

veta o násobení obrazov

pF (p)G(p) ÷ f (0+)g(t) + (f 0 ∗ g)(t) = = g(0+)f (t) + (g 0 ∗ f )(t)

Duhamelov integrál

1 f (t)g(t) ÷ 2π i

a+i Z ∞

F (z)G(p − z)dz a−i ∞

veta o násobení predmetov

Teraz uvedieme niektoré základné korešpondencie predmetov a obrazov v (LT): Por. č. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Predmet

Obraz 1 η(t) p n! tn n+1 p 1 eat , a ∈ C p−a n! tn eat , a ∈ C (p − a)n+1 ω sin ωt, ω ∈ R 2 p + ω2 p cos ωt, ω ∈ R 2 p + ω2 p sinh ωt, ω ∈ R 2 p − ω2 p cosh ωt, ω ∈ R 2 p − ω2 2pω t sin ωt, ω ∈ R 2 (p + ω 2 )2 p2 − ω 2 t cos ωt, ω ∈ R (p2 + ω 2 )2 Γ(a + 1) ta , a ∈ R, a > −1 pa+1

Oblasť anal. funkcie F Re p > 0 Re p > 0 Re p > Re a Re p > Re a Re p > 0 Re p > 0 Re p > |ω| Re p > |ω| Re p > 0 Re p > 0 Re p > 0

Teraz uvedieme niektoré základné korešpondencie racionálnych obrazov a predmetov v (LT): Por.č. Obraz 1. 1 1 2. 1 + ap 1 3. (p − a)2 1 4. (p − a)(p − b) p 5. (p − a)2 p 6. (p − a)(p − b) 1 7. p 2 + a2 p 8. 2 p + a2

9.

10. 11. 12.

p2

1 + ap + b

1 (p − a)3 1 (p − a)(p − b)2 p (p − a)3

Predmet δ(t) 1 −t ea a teat eat − ebt a−b (1 + at)eat aeat − bebt a−b 1 sin at a cos at √ 1 −at 2 √ e 2 sin Kt, K = b − a4 > 0 K −at te 2 , K = 0 √ −at 1 √ e 2 sin −Kt, K < 0 −K 1 2 at te 2 eat − [1 + (a − b)t]ebt (a − b)2 1 (t + at2 )eat 2

11.5

Cvičenia 11

1. Nájdite Laplaceov obraz funkcie f , ak: a) f (t) = sin2 t; b) f (t) = cos3 t; c) f (t) = sin mt cos nt; d) f (t) = (t + 1) sin 2t; e) f (t) = t(et + cosh t); f) f (t) = t2 cos t.

2 ] + 4) p3 + 7p [ 2 ] (p + 9)(p2 + 1) m(p2 + m2 − n2 ) [ 2 ] (p + m2 + n2 )2 − 4m2 n2 2p2 + 4p + 8 [ ] (p2 + 4)2 2(p2 + p + 1) [ ] (p2 − 1)2 2p3 − 6p ] [ 2 (p + 1)3 [

2. Nájdite Laplaceov obraz funkcie f , ak: et − 1 a) f (t) = ; t 1 − e−t b) f (t) = ; t sin2 t c) f (t) = ; t cos t − cos2t d) f (t) = ; t et − 1 − t e) f (t) = ; t et − e−t . f) f (t) = t

p ] p−1 p+1 [ln ] p p p2 + 4 1 [ ln ] 2 p 1 p2 + 4 [ ln 2 ] 2 p +1 p 1 [ln − ] p−1 p p+1 [ln ] p−1 [ln

3. Nájdite Laplaceov obraz funkcie f , ak: a) f (t) = e3t sin2 t; b) f (t) = e−t t3 ; c) f (t) = et sinh t; d) f (t) = tet cos t; e) f (t) = cos2 (t − b)η(t − b); f) f (t) = et−2 η(t − 2).

p(p2

[

1 p−3 1 − ] 2(p − 3) 2 (p − 3)2 + 4 3! [ ] (p + 1)4 1 [ ] (p − 1)2 − 1 p2 − 2p [ 2 ] (p − 2p + 2)2 e−bp pe−bp [ + ] 2p 2(p2 + 4) e−2p [ ] p−1

4. Nájdite Laplaceov obraz funkcie f , ak: a) f (t) = 2−1 e3t (sin 5t + sin t); b) f (t) = e−t

sin 7t sin 3t . t

1 5 1 [ ( + )] 2 2 (p − 3) + 25 (p − 3)2 + 1 1 (p − 1)2 + 100 [ ] 4 (p − 1)2 + 16

5. Nájdite predmet f , ak je daný jeho Laplaceov obraz: 4p + 3 a) ; (p − 1)(p2 + 2p + 5) 1 b) (p + 3); (p + 1)3 e−p c) 2 ; (p − 1)p2 p ; d) (p + 1)(p2 + 4) p . e) 2 (p + 1)(p2 + 9)

[(7et − e−t (7 cos 2t − 9 sin 2t))/8] [(2t2 e−t − 2te−t + et − e−3t 9/8] [(sinh(t − 1) − (t − 1))η(t − 1)] [(2 sin 2t + cos 2t − e−t )/5] [(cos t − cos 3t)/8]

6. Nájdite predmet f , ak je daný jeho Laplaceov obraz: 1 a) 2 ; [e−2t sin t] p + 4p + 5 p2 + 2p − 1 ; [e−t (1 − t2 )] b) 3 p + 3p2 + 3p + 1 2p + 3 c) 3 ; [3/5 + e−2t (4 sin t − 3 cos t)/5] p + 4p2 + 5p e−3p d) ; [(t − 3)e3−t η(t − 3)] (p + 1)2 e−p pe−2p + 2 . [sinh(t − 1)η(t − 1) + cosh 2(t − 2)η(t − 2)] e) 2 p −1 p −4 7. Nájdite riešenie danej diferenciálnej rovnice pri daných začiatočných podmienkach: a) x0 + 2x = sin t, x(0) = 0; [x(t) = (e−2t − cos t + 2 sin t)/5] 00 0 t 0 b) x + 3x = e , x(0) = 0, x (0) = −1; [x(t) = et /4 + 5e−3t /12 − 2/3] c) x00 + 2x0 − 3x = e−t , x(0) = 0, x0 (0) = 1; [x(t) = (3et − e−3t − 2e−t )/8] d) x00 + 2x0 = t sin t, x(0) = 0, x0 (0) = 0; [x(t) = (2e−2t − 2 cos t + 14 sin t − 5t sin t − 10t cos t)/25] e) x000 + x00 = sin t, x(0) = x0 (0) = 1, x00 (0) = 0; [x(t) = 2t + (e−t + cos t − sin t)/2] f) x00 − x0 = tet , x(0) = 0, x0 (0) = 0. [x(t) = et (1 − t + t2 /2) − 1] 8. Nájdite riešenie danej diferenciálnej rovnice pri daných začiatočných podmienkach: a) x00 − 2x0 + x = t − sin t, x(0) = 0, x0 (0) = 0; [x(t) = 2 + t − (cos t + tet − 3et )/2] b) x00 + x = t cos t, x(0) = 0, x0 (0) = 0; [x(t) = (t2 sin t + t cos t − sin t)/4] c) x00 + 4x = η(t) − η(t − 1), x(0) = 0, x0 (0) = 0; [x(t) = [sin2 tη(t) − sin(t − 1)η(t − 1)]/2] d) x00 + x0 = 4 sin2 t, x(0) = 0, x0 (0) = −1; [x(t) = 2t − 3 + 3e−t − (sin 2t − 2 cos 2t + 2e−t )/5] e) x00 − x0 = t2 , x(0) = 0, x0 (0) = 1; [x(t) = 3et − 3 − 2t − t2 − t3 /3] f) x00 + 4x = sin t, x(0) = 0, x0 (0) = 0. [x(t) = (2 sin t − sin 2t)/6] 9. Nájdite riešenie  danej diferenciálnej rovnice pri daných začiatočných podmienkach:  0 pre t < 0 a t > 2, 00 1 pre t ∈ (0, 1), a) x + x = , x(0) = 0, x0 (0) = 0;  −1 pre t ∈ (1, 2), [x(t) = 2[sin2 2t η(t) − 2 sin2 t−1 η(t − 1) + sin2 t−2 η(t − 2)]] 2 2

 

0 pre t < 0 a t > 2, t pre t ∈ (0, 1), b) x + 4x = , x(0) = 0, x0 (0) = 0;  1 − t pre t ∈ (1, 2), [x(t) = 2[sin2 2t η(t) − 2 sin2 t−1 η(t − 1) + sin2 t−2 η(t − 2)]] 2 2   0 pre t < 0, 00 1 pre t ∈ (0, 1), , x(0) = 1, x0 (0) = 0; c) x + x =  2 pre t ∈ (1, ∞), [x(t) = η(t) + [1 − cos(t − 1)]η(t − 1)]  0 pre t < 1 a t > 3,  t − 1 pre t ∈ (1, 2), d) x00 + x = , x(0) = 0, x0 (0) = 1.  3 − t pre t ∈ (2, 3), [x(t) = 31 sin 3tη(t) + 19 [(t − 1) − 13 sin 3(t − 1)]η(t − 1)] − 92 [(t − 2) − 13 sin 3(t − 2)]η(t − 2)] + 91 [(t − 3) − 31 sin 3(t − 3)]η(t − 3)] 00

10. Pomocou Duhamelovho integrálu nájdite riešenie danej diferenciálnej rovnice pri daných začiatočných podmienkach: e2t , x(0) = 0, x0 (0) = 0; a) x00 − x0 = (1 + et )2 [x(t) = (et − 1)/2 + ln 2 − ln(1 + et )] −t e , x(0) = 0, x0 (0) = 0; b) x00 + 2x0 + x = 1+t [x(t) = e−t[(t+1) ln(t+1)−t] ] e2t c) x00 − x0 = , x(0) = 0, x0 (0) = 0. 2 + et [x(t) = (et + 2)[ln(et + 2) − ln 3 − et + 1]] 11. Nájdite  0 riešenie danej sústavy diferenciálnych rovníc pri daných začiatočných podmienkach: x + y = 0, a) , x(0) = 1, y(0) = −1; [x(t) = et , y(t) = −et ] 0 y + x = 0,  0 x + x = y + et , b) [x(t) = et , y(t) = et ] 0 t , x(0) = 1, y(0) = 1; y + y = x + e ,  0 x = −y, c) , x(0) = 1, y(0) = 1; y 0 = 2x + 2y, [x(t) = et (cos t − 2 sin t), y(t) = et (cos t + 3 sin t)]  0 x = 3y − x, d) , x(0) = 1, y(0) = 1; y 0 = x + y + eat , 3e−2t (11 − 4a)e2t 3eat + + 2 , [x(t) = 4(2 + a) 4(2 − a) a −4 e−2t (11 − 4a)e2t (a + 1)eat y(t) = − + + ] 2−4 4(2 + a) 4(2 − a) a  0  x = −y − z, y 0 = −x − z, , x(0) = −1, y(0) = 0, z(0) = 1; e)  0 z = −x − y, [x(t) = e−t , y(t) = 0, z(t) = et ]  0  x = 2x − y + z, y 0 = x + z, f) , x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 0;  0 z = −3x + y − 2z, [x(t) = 2 − e−t , y(t) = 2 − e−t , z(t) = 2e−t − 2]  0  x = −2x − 2y − 4z, y 0 = −2x + y − 2z, , x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 1. g)  0 z = 5x + 2y + 7z,

[x(t) = 6et − e2t − 4e3t , y(t) = 3et − 2e3t , z(t) = 6e3t + e2t − 6et ]

11.6

Test 11

1. T11-1 (5b) Komplexnú funkciu reálnej premennej f (t) budeme nazývať predmetom (originálom, vzorom) práve vtedy, keď spĺňa podmienky(označte správne formulované podmienky): (a) f (t) = 0 pre t < 0. (b) f (t) je na intervale h0, ∞) po častiach spojitá funkcia, t. j. na každom konečnom intervale ha, bi má konečný počet bodov nespojitosti prvého druhu. (c) f (t) je na intervale h0, ∞) po častiach spojitá funkcia. (d) f (t) je na intervale h0, ∞) po častiach spojitá funkcia, t. j. na každom konečnom intervale ha, bi má konečný pocet bodov nespojitosti druhého druhu. (e) Existujú také reálne čísla M > 0 a α, že pre ľubovolné t ∈ h0, ∞) platí |f (t)| ≤ M eαt . 2. T11-2 (4b) Ktorá z nasledujúcich funkcií je predmetom? (a) f (t) = 2 + t, t ∈ (−4, ∞).

(c) f (t) = η(t) t21−1 .

(b) f (t) = η(t) sin t.

(d) f (t) = η(t)t5 .

3. T11-3 (2b) Komplexnú funkciu F (p) určenú predpisom: (a) F (p) = (b) F (p) =

R∞

f (t)e−pt dt,

0 R∞

p ∈ D,

(c) F (p) =

R∞

f (t)ept dt,

p ∈ D,

0

f (t)e−pt dt,

p ∈ D,

(d) F (p) =

−∞

Rp

f (t)e−pt dt,

p ∈ D,

0

nazývame Laplaceov obraz funkcie f (t). 4. T11-4 (4b) Ak f je predmet, F jeho obraz, s ∈ C je ľubovoľné číslo,τ > 0, tak: (a) est f (t) ÷ F (p − s).

(c) f (t − τ ) ÷ eτ p F (p).

(b) est f (t) ÷ pF (p).

(d) f (t − τ ) ÷ e−τ p F (p).

5. T11-5 (4b) Nech funkcia f a jej derivácia sú predmety a nech f je spojitá na intervale (0, ∞) a f (0+) = lim f (t). Ak f (t) ÷ F (p), tak: t→0+

(a) f 0 (t) ÷ pF (p),

(c) f 0 (t) ÷ F (p) − f (0+),

(b) f 0 (t) ÷ pF (p) − f (0+),

(d) f 0 (t) ÷ pF 0 (p) − f (0+).

6. T11-6 (4b) Ak predmetu f (t) odpovedá obraz F (p), tak: (a) (−1)n tn f (t) ÷ F (n) (p), n ∈ N. Zt (b) 0

F (p) f (τ )dτ ÷ . p

(c) tf (t) ÷ F 0 (p). Z0 f (τ )dτ ÷

(d) t

F (p) . p

7. T11-7 (3b) Nutnou a postačujúcou podmienkou toho, aby racionálna funkcia F (p) = A(p) (A, B sú polynómy nad množinou komplexných čísel) bola Laplaceovým obrazom B(p) nejakého predmetu je: (a) Stupeň polynómu A je nižší ako stupeň polynómu B. (b) Stupeň polynómu B je nižší ako stupeň polynómu A. (c) Existuje vždy. 8. T11-8 (3b) Ktoré korešpondencie predmet obraz sú pravdivé? (a) η(t) ÷ 1, (b) eat ÷

1 , p−a

1 (c) η(t) ÷ , p

p , + ω2 ω (e) sin ωt ÷ 2 , p + ω2 ω (f) sin ωt ÷ 2 , p − ω2

(d) sin ωt ÷

p2

12 12.1

Príloha Spojitosť, integrovanie a derivovanie radov funkcií

Veta 12.1 Nech postupnosť spojitých funkcií (fn )∞ n=1 rovnomerne konverguje na A k funkcii f : A → R. Potom aj funkcia f je spojitá. Poznámka 12.1 Podobne platí: Ak

∞ P

fn je rad spojitých funkcií na A, ktorý konverguje

n=1

na A rovnomerne k funkcii s : A → R, tak aj funkcia s je spojitá. ∞ P

Veta 12.2 Nech

fn je rad spojitých funkcií na ha, bi. Nech rad

n=1

na ha, bi k funkcii s : ha, bi → R. Nech x0 ∈ ha, bi. Potom Rx rovnomerne na ha, bi k funkcii S : ha, bi → R, kde S(x) = x0 s(t)dt.

∞ P

fn konverguje rovnomerne n=1 ∞ R P x f (t)dt konverguje x0 n n=1

Uvedený výsledok zapisujeme takto: x

∞ X

x0

n=1

Z

∞ P

Hovoríme, že rad

! fn (t) dt =

∞ Z X n=1

x

 fn (t)dt .

x0

fn integrujeme po členoch.

n=1

Veta 12.3 Nech a nech rad

∞ P

∞ P

fn je rad spojito diferencovateľných funkcií na ha, bi. Nech x0 ∈ ha, bi

n=1

fn (x0 ) je konvergentný. Ďalej nech rad

n=1

funkcii S : ha, bi → R. Potom rad R a platí s0 = S. 12.1.1

∞ P

∞ P

fn0 rovnomerne konverguje na ha, bi k

n=1

fn rovnomerne konverguje na ha, bi k funkcii s : ha, bi →

n=1

Normovaný lineárny priestor

Z lineárnej algebry poznáme pojem lineárneho priestoru. Definícia 12.1 Lineárny priestor V nazývame normovaný, ak na V je definovaná norma, t. j. reálna funkcia k · k : u → kuk týchto vlastnosti: (N 1) kuk > 0, ak je u 6= 0; kuk = 0 vtedy a len vtedy, ak u je nulový prvok priestoru V , (N 2) kαuk = |α| kuk pre u ∈ V a každý skalár α, (N 3) ku + vk ≤ kuk + kvk pre každé u, v ∈ V . Veta 12.4 Funkcia ρ : V × V → R definovaná vzťahom ρ(u, v) = ku − vk je metrikou na V .

(1)

Príklad 12.1 V priestore µ(A) je definovaná norma takto kf k = sup |f (t)|. t∈A Príklad 12.2 Nech P 2 (ha, bi, R) = P 2 (a, b) je priestor po častiach spojitých funkcií f : ha, bi → R. Potom s Z b f 2 (t)dt. kf k = a

Príklad 12.3 V priestore reálnych štvorcových matíc sú dôležité nasledujúce normy pre A = (aik )ni,k=1 : a) Riadková norma n X kAkR = max |aik | (tzv. maximálny riadkový súčet). i

k=1

b) Stĺpcová norma n X kAkS = max |aik | k

(tzv. maximálny stĺpcový súčet).

i=1

c) Euklidovskávnorma uX u n kAkE = t |aik |2 . i,k=1

d) Spektrálna norma kAk =

p |λmax |, kde λmax je najväčšie charakteristické číslo matice AT A.

Nech u, v sú prvky lineárneho priestoru V so skalárnym súčinom u · v, potom k · k pre každé u ∈ V definujeme takto: √ kuk = u · u.

Príklad 12.4 V lineárnom priestore R so skalárnym súčinom (??) normu u = (u1 , . . . , un ) ∈ R definujeme takto: v u n uX √ kuk = u · u = t u2i . n

i=1

Príklad 12.5 V lineárnom priestore P 2 (a, b) platí s Z b p kf k = hf, f i = f 2 (t)dt. a

12.1.2

Normovaný lineárny priestor

Z lineárnej algebry poznáme pojem lineárneho priestoru. Definícia 12.2 Lineárny priestor V nazývame normovaný, ak na V je definovaná norma, t. j. reálna funkcia k · k : u → kuk týchto vlastnosti: (N 1) kuk > 0, ak je u 6= 0; kuk = 0 vtedy a len vtedy, ak u je nulový prvok priestoru V , (N 2) kαuk = |α| kuk pre u ∈ V a každý skalár α,

(N 3) ku + vk ≤ kuk + kvk pre každé u, v ∈ V . Veta 12.5 Funkcia ρ : V × V → R definovaná vzťahom ρ(u, v) = ku − vk

(2)

je metrikou na V . Príklad 12.6 V priestore µ(A) je definovaná norma takto kf k = sup |f (t)|. t∈A Príklad 12.7 Nech P 2 (ha, bi, R) = P 2 (a, b) je priestor po častiach spojitých funkcií f : ha, bi → R. Potom s Z b kf k = f 2 (t)dt. a

Príklad 12.8 V priestore reálnych štvorcových matíc sú dôležité nasledujúce normy pre A = (aik )ni,k=1 : a) Riadková norma n X |aik | (tzv. maximálny riadkový súčet). kAkR = max i

k=1

b) Stĺpcová norma n X kAkS = max |aik | k

(tzv. maximálny stĺpcový súčet).

i=1

c) Euklidovskávnorma uX u n |aik |2 . kAkE = t i,k=1

d) Spektrálna norma kAk =

p |λmax |, kde λmax je najväčšie charakteristické číslo matice AT A.

Nech u, v sú prvky lineárneho priestoru V so skalárnym súčinom u · v, potom k · k pre každé u ∈ V definujeme takto: √ kuk = u · u.

Príklad 12.9 V lineárnom priestore R so skalárnym súčinom (??) normu u = (u1 , . . . , un ) ∈ R definujeme takto: v u n uX √ kuk = u · u = t u2i . n

i=1

Príklad 12.10 V lineárnom priestore P 2 (a, b) platí s Z b p kf k = hf, f i = f 2 (t)dt. a

12.2

Eulerova diferenciálna rovnica

Diferenciálnu rovnicu tvaru (ax + b)n y (n) + a1 (ax + b)n−1 y (n−1) + · · · + an−1 (ax + b)y 0 + an y = f (x), kde ai , i = 1, . . . , n, a 6= 0, b sú čísla, nazývame Eulerovou diferenciálnou rovnicou. Túto rovnicu budeme vedieť riešiť, ak vieme riešiť danú rovnicu bez pravej strany. Ukážeme si postup pre n = 2. Zavedením substitúcie ax + b = et dostaneme   d2 y dy d2 y dy dy −t 0 00 2 −2t y = = ae , y = 2 = a e − + 2 . dx dt dx dt dt Potom dostaneme diferenciálnu rovnicu   dy dy d2 y 2 −2t 2t ae e − + 2 + a1 ae−t et + a2 y = 0 dt dt dt a po úprave dostaneme diferenciálnu rovnicu s konštantnými koeficientmi, kde neznáma funkcia y je funkciou premennej t, ktorú už vieme riešiť.

12.3

Rovina komplexných čísel

V tejto stati uvedieme stručne niektoré poznatky o komplexných číslach tak, ako boli uvedené v predmete Lineárna algebra [?]. Komplexné číslo je usporiadaná dvojica reálnych čísel (x, y), pričom je definovaná rovnosť dvoch komplexných čísel a operácie sčítania a násobenia takto: 1. Dve komplexné čísla (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) sa rovnajú práve vtedy, ak x1 = x2 a y1 = y2 . 2. Súčet dvoch komplexných čísel (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) je komplexné číslo (x1 + x2 , y1 + y2 ). 3. Súčin dvoch komplexných čísel (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) je komplexné číslo (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ). Na označenie množiny komplexných čísel použijeme označenie C. Komplexné číslo i = (0, 1) nazývame imaginárnou jednotkou, pričom i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, . . . . Pomocou neho ľubovoľné komplexné číslo z ∈ C môžeme zapísať v v algebraickom tvare z = x + i y, kde x, y ∈ R, kde číslo x = Re z nazývame reálna a číslo y = Im z imaginárna časť komplexného čísla z. Komplexné číslo z¯ = x − i y nazývame komplexne združeným číslom k číslu z = x + i y a p |z| = x2 + y 2 nazývame modulom (absolútnou hodnotou) komplexného čísla z. Rovine so zvoleným pravouhlým súradnicovým systémom (O; ox , oy ), ktorej body (x, y) znázorňujú komplexné čísla z = x + i y, hovoríme Gaussova rovina. Os ox sa nazýva reálna os, os oy imaginárna os. Nech z 6= 0, z = x + i y. Každé číslo ϕ ∈ R, pre ktoré platí y x ; sin ϕ = cos ϕ = |z| |z| nazveme hodnotou argumentu čísla z. Za základný budeme považovať argument z intervalu (−π, πi, tzv hlavná hodnota argumentu komplexného čísla, a označujeme ho ϕ = arg z. V literatúre sa niekedy definuje hlavná hodnota argumentu komplexného čísla z ∈ C − {0} takto ϕ ∈ h0, 2π). Nech ϕ0 je hodnota argumentu čísla z, z 6= 0. Množinu čísel tvaru ϕ = ϕ0 + 2kπ, kde k ∈ Z, nazývame argument komplexného čísla a označujeme ju Arg z. Teda Arg z = {ϕ ∈ R : ϕ = ϕ0 + 2kπ, k ∈ Z}. Každé komplexné číslo z 6= 0 môžeme zapísať, a to jednoznačne, v tvare z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)

(1)

(tzv. goniometrický tvar), alebo v tvare z = |z|ei ϕ

(2)

(tzv. exponenciálny tvar komplexného čísla), kde ϕ ∈ Arg z. Z toho, čo sme doteraz uviedli vyplýva, že p každé číslo z ∈ C môžeme chápať ako pevný rovinný vektor z = (x, y) s normou k z k= x2 + y 2 vychádzajúci zo začiatku súradnicovej sústavy a v prípade z 6= (0, 0) zvierajúceho s kladnou reálnou polosou uhol veľkosti argz. Pre ľubovoľné reálne (aj komplexné) číslo ϕ platí Eulerov vzťah: ei ϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Ak z1 , z2 6= 0, z1 = |z1 |eiϕ1 , z2 = |z2 |eiϕ2 , tak:

• z1 z2 = |z1 | |z2 |ei (ϕ1 +ϕ2 ) , •

z1 z2

=

|z1 | i (ϕ1 −ϕ2 ) e , |z2 |

• z1n = |z1 |n ei nϕ1 , √ • pre hodnoty n z1 platí: √ n

z1 =

p ϕ1 +2kπ n |z1 |ei n ,

k = 0, 1, . . . , n − 1.

12.4

Geometrický význam derivácie komplexnej funkcie komplexnej premennej

Teraz sa budeme sa zaoberať geometrickým významom derivácie komplexnej funkcie komplexnej premennej. Predpokladajme, že funkcia f je analytická v bode z0 ∈ C a nech f 0 (z0 ) 6= 0. Deriváciu f 0 (z0 ) môžeme zapísať v tvare f 0 (z0 ) = |f 0 (z0 )|ei ϕ , kde ϕ = arg f 0 (z0 ). Nech γ : ha, bi → C, pričom pre nejaký bod t0 ∈ (a, b) je γ(t0 ) = z0 , γ 0 (t0 ) 6= 0. Nech krivka γ leží v nejakom okolí O(z0 ) bodu z0 , na ktorom má funkcia f deriváciu. Smerový vektor dotyčnice Sγ (t0 ) ku krivke γ v bode t0 je Sγ (t0 ) = γ 0 (t0 )/|γ 0 (t0 )|. Číslo α = arg Sγ (t0 ) = arg γ 0 (t0 ) udáva veľkosť uhla, ktorý zviera smerový vektor dotyčnice Sγ (t0 ) so smerovým vektorom kladnej časti reálnej poloosi v rovine z. Nech zobrazenie w = f (z) priradí bodu z0 roviny z bod w0 = f (z0 ) roviny w a krivke γ roviny z priradí krivku Γ roviny w, pričom Γ(t0 ) = f (γ(t0 )) = f (z0 ) = w0 a Γ0 (t0 ) = f 0 (z0 )γ 0 (t0 ) 6= 0. Smerový vektor dotyčnice ku krivke Γ má podobný význam v rovine w ako smerový vektor ku krivke γ v rovine z, pričom SΓ (t0 ) =

f 0 (z0 ) γ 0 (t0 ) Γ0 (t0 ) = . |Γ0 (t0 )| |f 0 (z0 )| |γ 0 (t0 )|

Nech β = arg SΓ (t0 ) = arg Γ0 (t0 ), potom β = ϕ + α − 2kπ, kde celé číslo k zvolíme tak, aby bolo β ∈ (−π, πi. Odtiaľ dostávame arg f 0 (z0 ) = arg SΓ (t0 ) − arg Sγ (t0 ) + 2kπ. Číslo |z − z0 | udáva vzdialenosť bodov z, z0 v rovine z a číslo |f (z) − f (z0 )| vzdialenosť bodov f (z), f (z0 ) v rovine w. Ak f 0 (z0 ) 6= 0, tak |f (z) − f (z0 )| ≈ |f 0 (z0 )||z − z0 |. O geometrickom význame derivácie komplexnej funkcie komplexnej premennej hovorí veta: Veta 12.6 Nech funkcia f je analytická v bode z0 ∈ C a nech f 0 (z0 ) 6= 0. Potom • arg f 0 (z0 ) udáva veľkosť uhla, o ktorý je potrebné pootočiť smerový vektor dotyčnice ľubovoľnej krivky γ v bode t0 na to, aby sme dostali smerový vektor dotyčnice krivky Γ v bode t0 pri zobrazení w = f (z); • |f 0 (z0 )| charakterizuje veľkosť dilatácie (predĺženia, skrátenia) vektora z − z0 pri zobrazení w = f (z) vzhľadom na vektor f (z) − f (z0 ) (nazýva sa aj koeficient dilatácie zobrazenia f v bode z0 ). Uvažujme teraz v rovine z dve krivky γ1 , γ2 podobných vlastností ako krivka γ v predchádzajúcom prípade. Bod z0 je spoločným bodom týchto kriviek. Nech v zobrazení w = f (z) im odpovedajú krivky Γ1 , Γ2 v rovine w. Priesečníkom ich grafov je bod w0 = f (z0 ). Ak je funkcia f analytická v bode z0 a f 0 (z0 ) 6= 0, tak zobrazenie f zachováva veľkosti orientovaných uhlov, ktoré zvierajú krivky vychádzajúce z bodu z0 (t. j. zachováva uhly z hľadiska veľkosti aj orientácie). Definícia 12.3 Hovoríme, že zobrazenie f na oblasti Ω ⊂ C na oblasť Ω1 ⊂ C je konformné v bode z0 ∈ Ω práve vtedy, keď je v bode z0 spojité a zachováva uhly, ktoré v bode z0 zvierajú krivky prechádzajúce týmto bodom. Hovoríme, že zobrazenie f je konformné v oblasti Ω ⊂ C práve vtedy, keď je injektívne a konformné v každom bode z ∈ Ω.

Ak funkcia f : C ⊃ Df → C je analytická v oblasti Ω ⊂ Df , potom zobrazenie w = f (z) je konformné v každom bode z0 ∈ Ω, v ktorom platí f 0 (z0 ) 6= 0. Nech funkcia f (z) = u(x, y) + i v(x, y) je analytická v oblasti Ω ⊂ C. Ukázali sme, že na oblasti Ω musia byť splnené Cauchy-Riemannove podmienky ux = vy ,

uy = −vx .

Po derivovaní prvej rovnosti podľa x a druhej podľa y dostávame uxx = vxy ,

uyy = −vxy .

Po sčítaní posledných dvoch rovníc dostaneme uxx +uyy = 0. Derivovaním prvej rovnosti podľa y a druhej podľa x po odčítaní dostaneme vxx + vyy = 0 pre ľubovoľný bod (x, y) ∈ G. Definícia 12.4 Hovoríme, že funkcia F : R2 ⊃ Ω → R je harmonická v oblasti Ω práve vtedy, keď má v oblasti Ω spojité parciálne derivácie druhého rádu a pre všetky (x, y) ∈ Ω platí 4F = Fxx + Fyy = 0, t. j. v oblasti Ω vyhovuje Laplaceovej diferenciálnej rovnici. Definícia 12.5 Nech funkcie u, v sú harmonické funkcie v oblasti Ω. Hovoríme, že funkcie u, v sú združené harmonické funkcie v Ω práve vtedy, keď v oblasti Ω spĺňajú CauchyRiemannove podmienky. Veta 12.7 Ak je funkcia f = u + i v analytická v oblasti Ω ⊂ C, tak jej zložky u : Df → R, v : Df → R sú združené harmonické funkcie v Ω práve vtedy, keď v oblasti Ω spĺňajú Cauchy-Riemannove podmienky.

12.5

Výpočet určitých a nevlastných integrálov pomocou rezíduí

Základnú vetu o rezíduách funkcie môžeme využiť pri výpočte niektorých integrálov funkcie reálnej premennej. R 2π • Integrál typu 0 R(sin x, cos x)dx, kde R je spojitá racionálna funkcia premenných sin x, cos x na intervale h0, 2πi môžeme vypočítať nasledujúcim spôsobom. Vieme, že sin x =

ei x − e−i x , 2i

cos x =

ei x + e−i x . 2

Substitúciou z = ei x , x ∈ h0, 2πi dostaneme sin x =

z − z −1 , 2i

cos x =

z + z −1 , 2

dz = i ei x dx = i zdx,

odkiaľ dx = −i z −1 dz. Potom platí I Z 2π R(sin x, cos x)dx = f (z)dz, 0

|z|=1

kde

−i z − z −1 z + z −1 f (z) = R( , ). z 2i 2 Zo základnej vety o rezíduách vyplýva Z

2π

−i R z

I

R(sin x, cos x)dx = 0



z − z −1 z + z −1 , 2i 2

 dz = 2π i

|z|=1

n X

res f (ak ),

k=1

kde ak sú všetky singulárne body funkcie f , pre ktoré je |ak | < 1. Rb Ak potrebujeme vypočítať a R(sin x, cos x)dx musíme najskôr interval ha, bi transformovať na interval h0, 2πi. Príklad 12.11 Vypočítajme

Rπ 0

adx , a2 +sin2 x

a > 0.

Riešenie. Najprv použijeme substitúciu x = t/2. Platí Zπ

adx = 2 a + sin2 x

0

Z2π 2a2

adt . + 1 − cos t

0

Pomocou substitúcie z = ei t dostaneme Z2π 0

adt = 2 2a + 1 − cos t

I K

2a i dz, 1 − (2 + 4a2 )z + z 2

pričom K je √ kladne orientovaná kružnica √ |z| = 1. Podintegrálna funkcia má póly z1 = 1 + 2a2 + 2a 1 + a2 , z2 = 1 + 2a2 − 2a 1 + a2 . Vo vnútri kružnice K leží len bod z2 . Dostaneme I 2a i 2a i dz = 2π ires[ , 2 i] = 2 2 1 − (2 + 4a )z + z 1 − (2 + 4a2 )z + z 2 K

−i π = 2π i √ =√ . 2 1 + a2 1 + a2 • Nech konverguje integrál

R∞ −∞

f (x)dx, kde

– f je analytická funkcia v každom bode množiny M = {z ∈ C : Im z ≥ 0} s výnimkou konečného počtu izolovaných singulárnych bodov a1 , a2 , . . . , an , pre ktoré platí Im ak > 0, k = 1, 2, . . . , n, lim |zf (z)| = 0.

– platí

z→∞ z∈M

Potom platí

Z∞ f (x)dx = 2π i −∞

n X

res f (ak ).

k=1

n Poznámka 12.2 Racionálna funkcia f = QPm spĺňa dané predpoklady, ak polynóm Qm nemá reálne nulové body, m ≥ n + 2 (stupeň polynómu v menovateli je aspoň o dva väčší ako stupeň polynómu v čitateli).

12.6

Postačujúce podmienky existencie predmetu v LT

Veta 12.8 Nech pre komplexnú funkciu F komplexnej premennej p platí: • Existuje také reálne číslo α0 , že F je analytická funkcia v polrovine Re p > α0 . • Nech ďalej pre ľubovoľné a > α0 existuje taká postupnosť kružníc (Kn ) so stredmi v bode 0 a s polomermi Rn , pre ktoré platí |a| < R1 < R2 < · · · < Rn a lim Rn = ∞, že n→∞

ak označíme symbolom Mn+ maximum modulu funkcie F na časti kružnice Kn ležiacej v polrovine Re p ≥ a, tak lim Mn+ = 0. n→∞

• Integrál

a+i R∞

|F (p)|dp má konečnú hodnotu.

a−i ∞

Potom funkcia f , definovaná Riemannovym-Mellinovym vzorcom je predmet s indexom rastu, ktorý nie je väčší ako α0 , pričom funkcia f je spojitá na (−∞, ∞) a platí f (t) ÷ F (p). Predmet f (t) je výhodné počítať pomocou základnej vety o rezíduách a modifikácií Jordanovej lemy. Veta 12.9 Nech funkcia F je analytická v C s výnimkou konečného počtu singulárnych bodov a1 , a2 , . . . , am , ak ∈ C, k = 1, 2, . . . , m a nech pre ľubovoľné reálne číslo a také, že a > max{|a1 |, |a2 |, . . . , |am |}, platí: • Existuje taká postupnosť kružníc (Kn ) so stredmi v bode 0 a s polomermi Rn , pre ktoré platí |a| < R1 < R2 < · · · < Rn < . . . a lim Rn = ∞, že ak označíme Mn = max |F (p)| n→∞

(p sú z vnútra Kn ), tak lim Mn = 0. n→∞

• Integrál

a+i R∞

|F (p)|dp má konečnú hodnotu.

a−i ∞

Potom existuje spojitý predmet f na (−∞, ∞), ktorý je určený predpisom f (t) =

m X

res[F (p)ept ]p=ak ,

t > 0,

k=1

f (t) = 0,

t ≤ 0,

pričom f (t) ÷ F (p). Lema 12.1 (modifikácia Jordanovej lemy) Nech a je ľubovoľné reálne číslo a nech je daná postupnosť kružníc (Kn ), kde Kn (τ ) = Rn ei τ , τ ∈ h0, 2πi, |a| < R1 < R2 < · · · < Rn < . . . a lim Rn = ∞. Tú časť kružnice Kn , ktorá leží v polrovine Re p ≥ a, označme Kn+ . Nech n→∞ komplexná funkcia F komplexnej premennej p je konečná a spojitá vo vnútri Kn , n ∈ N . Označme Mn+ = max |F (p)| pre p z vnútra Kn+ . Nech lim Mn+ = 0 a nech t < 0 je dané číslo. n→∞ Potom platí Z lim

n→∞ + Kn

F (p)ept dt = 0.

13

Výsledky testov

V tejto časti čitateľ nájde správne odpovede na testy uvedené v jednotlivých kapitolách Test 1 Test Test Test Test

T1-1 T1-2 T1-3 T1-4

(a); (b); (a); (b);

Test Test Test Test

T1-5 T1-6 T1-7 T1-8

(c); (a); (d); (a);

Test T1-9 (a), (b), (d);

Test 2 Test T2-1 (b); Test T2-2 (a); Test T2-3 (b);

Test T2-4 (a), (b), (c); Test T2-5 (b); Test T2-6 (b);

Test T2-7 (a); Test T2-8 (b);

Test 3 Test T3-1 (a); Test T3-2 (a); Test T3-3 (b);

Test T3-4 (c); Test T3-5 (b), (d); Test T3-6 (c);

Test 4 Test T4-1 (b); Test T4-2 (a), (b), (c); Test T4-3 (b);

Test T4-4 (a), (c), (d); Test T4-5 (b), (c); Test T4-6 (b);

Test T4-7 (b); Test T4-8 (a);

Test 5 Test T5-1 (b); Test T5-2 (a), (b); Test T5-3 (d);

Test T5-4 (b), (d); Test T5-5 (a), (b); Test T5-6 (d);

Test 6 Test T6-1 (b); Test T6-2 (a); Test T6-3 (a);

Test 7

Test T6-4 (b); Test T6-5 (a), (b), (c); Test T6-6 (c);

Test T6-7 (c);

Test T7-1 (a); Test T7-2 (a); Test T7-3 (a), (b);

Test T7-4 (c); Test T7-5 (b), (d); Test T7-6 (a), (c); (d);

Test 8 Test T8-1 (a);

Test T8-2 (a);

Test 9 Test T9-1 (b); Test T9-2 (b), (c);

Test T9-3 (a), (d); Test T9-4 (a);

Test T9-5 (a), (b);

Test 10 Test Test Test Test

T10-1 T10-2 T10-3 T10-4

(a), (a), (a), (a),

(b), (c); Test T10-5 (b), (c), (d); Test T10-6 (c); Test T10-7 (b), (d), (e); Test T10-8

(c); (b); (a), (b), (c); (b);

Test T10-9 (a).

Test 11 Test T11-1 (a), (b), (e); Test T11-2 (b), (d); Test T11-3 (a);

Test T11-4 (a), (d); Test T11-5 (b); Test T11-6 (a), (b);

Test T11-7 (a); Test T11-8 (b), (c), (e).

14

Použitie MATLAB-u

Cieľ V tejto časti, ktorú uvádzame ako prílohu, chceme študentov oboznámiť s možnosťou riešenia úloh z predmetu Matematická analýza II pomocou MATLABu. Vzhľadom na ohraničený časový priestor uvedieme iba niektoré možnosti, ktoré nemusia byť vo všeobecnosti najefektívnejšie v zmysle častejšieho riešenia podobných úloh.

MATLAB poskytuje užívateľovi výborné grafické a výpočtové možnosti, má rozsiahlu knižnicu funkcií a tiež výkonný programovací jazyk. Je využiteľný prakticky vo všetkých oblastiach ľudskej činnosti. MATLAB umožňuje pohodlnú prácu so súbormi rôzneho formátu, zvukový vstup a výstup, animácie, jadro pre programy je písané napríklad v C- jazyku ... . Jadrom programu sú operácie s maticami komplexných čísel. Názov MATLAB pozostáva zo slov “matica” a “laboratórium”. Grafika MATLABu umožňuje zobrazenie rôznych druhov grafov, tiež grafov niekoľkých funkcií v jednom okne. MATLAB podstatne rozširuje možnosti práce s trojrozmernými objektmi. Výhodou je možnosť použitia jadra MAPLU na symbolické výpočty (riešenie rovníc, derivovanie, integrovanie, aproximácie funkcií, riešenie diferenciálnych rovníc, integrálne transformácie,...). Jeden nezamestnaný muž sa uchádzal o miesto upratovača vo firme Microsoft. Personálny šéf si ho pozval na pohovor a ku vstupnému testu (zametenie podlahy). V priebehu pohovoru mu hovorí: „Ste prijatý, dajte mi Váš e-mail, ja Vám pošlem formulár a zároveň inštrukcie, kde a kedy sa máte hlásiť do zamestnania.“ Nezamestnaný zúfalo odpovie, že nemá počítač a e-mail nevlastní. „Keď nemáte e-mail, tak virtuálne neexistujete a nemôžete túto prácu dostať“. Sklamaný muž nevie čo robiť a má už len 10 $ v peňaženke. Nakoniec sa rozhodne a kúpi na trhu bedňu s 10 kg paradajok a behom dvoch hodín ich predá za dvojnásobok. Takto to zopakuje ešte trikrát a ide domov s 80 $. Zmení štýl svojho života a myslenia. Každý deň vstáva skoro ráno, poctivo pracuje a neskoro večer sa vracia domov s niekoľkonásobným ziskom. Neskôr si kúpi auto, potom flotilu nákladných áut. Po niekoľkých rokoch vlastní tento muž jeden veľkoobchod so zeleninou. Myslí na budúcnosť rodiny a rozhodne sa uzavrieť životné poistenie. Zavolá poisťovaciemu agentovi a zvolí si poistný plán. V závere rozhovoru ho agent požiada o e-mail adresu, aby mu mohol poslať poistnú zmluvu. Muž odpovie, že žiadnu e-mail adresu nemá. „To je zvláštne“ hovorí agent. „Vy nemáte žiadny e-mail a predsa ste dokázali vybudovať také impérium. Predstavte si, kde by ste dnes boli, keby ste mali e-mail“. Muž sa dlho zamyslel a povedal: „Bol by som upratovačom v Microsofte“. Poučenie č.1: Internet Ti život neusporiada. Poučenie č.2: Ak chceš byť upratovačom v Microsofte, zadováž si e-mail. Poučenie č.3: Ak nemáš e-mail a veľa pracuješ, môžeš sa stáť milionárom. Poučenie č.4: Vzhľadom k tomu, že tento príbeh sa ku Vám mohol dostať e-mailom, ste bližšie k tomu byť upratovačom ako milionárom!

Poučenie: ”Nie všetko, čo je momentálne zlé, nemôže byť v budúcnosti na prospech”.

14.1 Rady ∞

∞ ∞ 1 xk n . , s = x , s = ∑ ∑ 2 3 2 n =1 ( n + 3n + 2) n=0 k =1 k Riešenie. Použitím MATLABu dostávame: >> syms x n >> s1 = symsum(1/(n^2+3*n+2),1,inf) s1 = 1/2

Príklad Vypočítajte: s1 = ∑

>> s2 = symsum(x^n,n,0,inf) s2 = -1/(x-1) >> syms x k >> s3 = symsum(x^k/k,k,1,inf) s3 = -log(1-x) Príklad Nájdite prvých osem členov rozvoja funkcie f 1 ( x) = cos x a

Taylorovho radu v okolí bodu x = 0 .

f 2 ( x) =

1 − cos x do x2

Riešenie. Použitím MATLABu dostávame:

>> syms x >> f1= cos(x) f1 = cos(x) >> T1= taylor(f1,8) T1 = 1-1/2*x^2+1/24*x^4-1/720*x^6 >> f2=(1-cos(x))/x^2 f2 =(1-cos(x))/x^2 >> T2 = taylor(f2,8) T2 =1/2-1/24*x^2+1/720*x^4 Príklad Nájdite aproximáciu funkcie f ( x) = x, x ∈ − π , π pomocou časti Fourierovho

radu. Riešenie. Riešenie hľadáme v tvare ∞ a f ( x) = 0 + ∑ a n cos nx + bn sin nx , 2 n =1

kde a 0 =

1

π

π

∫ f ( x)dx,

−π

an =

1

π

π

∫ f ( x) cos nxdx,

−π

Použitím MATLABu dostávame:

bn =

1

π

π

∫ f ( x) sin nxdx .

−π

>> syms x n >> f=x f=x >> a0=1/pi*int(x,x,-pi,pi),an=1/pi*int(x*cos(n*x),x,-pi,pi), bn=1/pi*int(x*sin(n*x),x,-pi,pi) a0 =0 an =0 bn =-5734161139222659/9007199254740992*(-sin(pi*n)+pi*n*cos(pi*n))/n^2 Teda danú funkciu môžeme aproximovať pomocou radu: >> s = symsum(bn*sin(n*x),n,1,inf) s= sum(-5734161139222659/9007199254740992*(-sin(pi*n)+pi*n*cos(pi*n))/n^2*sin(n*x),n = 1 .. inf) Ak aproximujeme danú funkciu pomocou Fourierovho radu pre n = 1 dostaneme >> s1 = symsum(bn*sin(n*x),n,1,1) s1 =5734161139222659/9007199254740992*pi*sin(x) Ak aproximujeme danú funkciu pomocou Fourierovho radu pre n = 3 dostaneme >> s3 = symsum(bn*sin(n*x),n,1,3) s3 = 5734161139222659/9007199254740992*pi*sin(x)5734161139222659/18014398509481984*pi*sin(2*x)+1911387046407553/90071992547409 92*pi*sin(3*x) Postup pre zostrojenie grafov funkcie f ( x) = x, x ∈ − π , π

a aproximácie tejto funkcie

pomocou jej Fourierovho radu pre n = 1 a n = 3 : >> syms x n >> x = -pi:pi/20:pi; >> plot (5734161139222659/9007199254740992*pi*sin(x),'b'); >> hold on; >> plot(5734161139222659/9007199254740992*pi*sin(x)5734161139222659/18014398509481984*pi*sin(2*x)+1911387046407553/90071992547409 92*pi*sin(3*x),'r'); >> hold on >> plot(x, 'k'); >> hold off

14.2 Funkcia viac premenných Príklad Vypočítajte c =

df ( x) d 2 f ( x) a c2 = , ak f ( x) = sin 2 x + sin x 2 + sin 2 x . 2 dx dx

Riešenie. >> syms x >> f = sin(2*x)+sin(x^2)+(sin(x))^2 f= sin(2*x)+sin(x^2)+sin(x)^2 >> c=diff(f,x) c= 2*cos(2*x)+2*cos(x^2)*x+2*sin(x)*cos(x) >> c2=diff(f,x,2) c2 = -4*sin(2*x)-4*sin(x^2)*x^2+2*cos(x^2)+2*cos(x)^2-2*sin(x)^2 Príklad Vypočítajte s =

∂ 2 g ( x, y ) ak g ( x, y ) = x 3 y + y − x . ∂x∂y

Riešenie. >> syms a x y >> g=x^3*y+y-x g= x^3*y+y-x >> s=diff(diff(g,x),y) s= 3*x^2 Príklad Nájdime lokálne extrémy funkcie f ( x, y ) = x 3 + 3 xy 2 − 15 x − 12 y . Riešenie. >> syms x y >> f=x^3+3*x*y^2-15*x-12*y f = x^3+3*x*y^2-15*x-12*y

>> fx=diff(f,x) fx = 3*x^2+3*y^2-15 >> fy=diff(f,y) fy = 6*x*y-12 >> [x,y] = solve(fx, fy) x= [ 2] [ 1] [ -1] [ -2]

y= [ 1] [ 2] [ -2] [ -1]

Teda body P1 = (2;1), P2 = (1;2 ), P3 = (− 1;−2 ), P4 = (− 2;−1), sú stacionárne body danej funkcie. Nájdeme druhé derivácie: >> fxy=diff(diff(f,x),y) fxy = 6*y >> fxx=diff(diff(f,x),x) fxx = 6*x >> fyy=diff(diff(f,y),y) fyy = 6*x >> D=fxx*fyy-(fxy)^2 D = 36*x^2-36*y^2 Teraz overíme podmienky pre existenciu lokálnych extrémov v stacionárnych bodoch. Pre prvý bod P1 = (2;1) dostávame: >> x=2, y=1 x= 2 y= 1 >> DP1=36*x^2-36*y^2 DP1 = 108 čo je kladné a teda v bode P1 = (2;1) funkcia má lokálny extrém. Pretože fxx(2,1) = 6*2>0 daná funkcia f ( x, y ) = x 3 + 3 xy 2 − 15 x − 12 y má v bode P1 = (2;1) lokálne maximum = f ( P1 ) . Pričom >> fP1=x^3+3*x*y^2-15*x-12*y fP1 = -28 V bode P2 = (1;2 ) je >> x=1, y=2 x= 1 y= 2 >> DP1=36*x^2-36*y^2 DP1 = -108 čo je záporné a teda v bode P2 = (1;2 ) daná funkcia nemá lokálny extrém. Podobne postupujeme v bodoch P3 = (− 1;−2 ), P4 = (− 2;−1) . Príklad Nájdime lokálne extrémy funkcie z = f ( x, y ) = xe − x Riešenie. >> syms x y >> z=x.*exp(-x.^2-y.^2) z = x*exp(-x^2-y^2)

>> fx=diff(z,x),fy=diff(z,y) fx = exp(-x^2-y^2)-2*x^2*exp(-x^2-y^2) fy = -2*x*y*exp(-x^2-y^2) >> [x,y] = solve(fx, fy) x=

2

− y2

.

[ 1/2*2^(1/2)] [ -1/2*2^(1/2)] y= [ 0] [ 0] >> syms x y >> fxy=diff(diff(z,x),y) fxy = -2*y*exp(-x^2-y^2)+4*x^2*y*exp(-x^2-y^2) >> fxx=diff(diff(z,x),x) fxx = -6*x*exp(-x^2-y^2)+4*x^3*exp(-x^2-y^2) >> fyy=diff(diff(z,y),y) fyy = -2*x*exp(-x^2-y^2)+4*x*y^2*exp(-x^2-y^2) >> D=fxx*fyy-(fxy)^2 D= (-6*x*exp(-x^2-y^2)+4*x^3*exp(-x^2-y^2))*(-2*x*exp(-x^2-y^2)+4*x*y^2*exp(-x^2-y^2))(-2*y*exp(-x^2-y^2)+4*x^2*y*exp(-x^2-y^2))^2 Teraz overíme podmienky pre existenciu lokálnych extrémov v stacionárnych bodoch. Pre prvý bod P1 = ( 1/2 * 2^ (1/2);0 ) dostávame: >> x= 1/2*2^(1/2),y=0 x = 0.7071 y= 0 >> DP1=(-6*x*exp(-x^2-y^2)+4*x^3*exp(-x^2-y^2))*(-2*x*exp(-x^2-y^2)+4*x*y^2*exp(x^2-y^2))-(-2*y*exp(-x^2-y^2)+4*x^2*y*exp(-x^2-y^2))^2 DP1 = 1.4715 čo je kladné a teda v bode P1 funkcia má lokálny extrém. Pretože >> x= 1/2*2^(1/2),y=0 >> fxx=-6*x*exp(-x^2-y^2)+4*x^3*exp(-x^2-y^2)

fxx(P1) = -1.7155 je záporná, daná funkcia má v bode P1 lokálne maximum, pričom >> lokmaxf=x.*exp(-x.^2-y.^2) lokmaxf = 0.4289 Podobne by sme vyšetrili aj bod P2 . Graf danej funkcie v okolí uvedených bodov dostaneme takto: >> [x,y]=meshgrid(-3:0.025:3,3:0.025:3);

>> z=x.*exp(-x.^2-y.^2); >> meshc(x,y,z);

Diferenciálne rovnice Príklad Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice

dI R U + I= . dt L L

Riešenie. >> I= dsolve('DI+R/L*I=U/L') I= U/R+exp(-R/L*t)*C1 Príklad Nájdite partikulárne riešenie diferenciálnej rovnice x ′ = −3 bodom A = (1,1) . Riešenie. Zadanie v MATLABe: >> x= dsolve('Dx=-3*x/t+2/t^3','x(1)=1') Riešenie: x= 2/t^2-1/t^3

Príklad

Nájdite

všeobecné

riešenie

diferenciálnej

rovnice

a partikulárne riešenie pre x(0) = 0, x ′(0) = 1 . Riešenie. Zadanie v MATLABe pre všeobecné riešenie: >> syms x t >> x= dsolve('D2x+3*Dx+2*x=sin(t)') Výsledok (všeobecné riešenie): x= -3/10*cos(t)+1/10*sin(t)+C1*exp(-t)+C2*exp(-2*t)

x 2 + , ktoré prechádza t2 t3

d 2x dx + 3 + 2 x = sin t 2 dt dt

Zadanie v MATLABe pre partikulárne riešenie: >> syms x t >> x= dsolve('D2x+3*Dx+2*x=sin(t)', 'x(0) = 0, Dx(0) = 1') Výsledok (partikulárne riešenie): x= -3/10*cos(t)+1/10*sin(t)-6/5*exp(-2*t)+3/2*exp(-t)

Príklad Nájdite partikulárne riešenie sústavy diferenciálnych rovníc

di1 = −50i1 + 50i 2 + 5 dt di 2 = −50i1 − 50i2 + 5 dt

so začiatočnými podmienkami

i1 (0) = 0,5 i2 (0) = 0,3

.

Riešenie: Zadanie v MATLABe: [i1,i2] = dsolve('Di1=-50*i1+50*i2+5, Di2 =-50*i1-50*i2+5', 'i1(0) = 0.5, i2(0) = 0.3') Výsledok: i1 =

1/10+exp(-50*t)*(2/5*cos(50*t)+3/10*sin(50*t)) i2 = -exp(-50*t)*(2/5*sin(50*t)-3/10*cos(50*t))

14.4 Integrály Príklad Vypočítajte objem telesa ohraničeného rovinami: z = 0, z = x + y, y = x, y = 0, x = 1 . Riešenie. Priemetom daného telesa do roviny o xy je oblasť σ : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ x . Objem

daného telesa môžeme vypočítať pomocou dvojného integrálu V = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ ( x + y )dxdy . σ

σ

Tento integrál môžeme vypočítať pomocou dvojnásobného integrálu. Dostávame 1

x

V = ∫∫ ( x + y )dxdy = ∫ dx ∫ ( x + y )dy . σ

0

0

Výpočet dvojnásobného integrálu môžeme urobiť pomocou MATLABu takto: Zadanie v MATLABe: >> syms x y v real >> v=int(int(x+y,y,0,x),x,0,1) Výsledok k= ½ Príklad Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami: z = x 2 + y 2 , z = 2 − x 2 − y 2 . Riešenie. Objem môžeme vypočítať pomocou trojného integrálu s použitím cylindrických súradníc. Oblasť V ohraničujúcu dané teleso môžeme popísať takto: 0 ≤ ϕ ≤ 2π V : 0 ≤ ρ ≤1

ρ ≤ z ≤ 2− ρ2 V = ∫∫∫ ρdϕdρdz . ω

Teda 2π

1

0

0

V = ∫ dϕ ∫ dρ

2− ρ 2

∫ρ ρdz .

Zadanie v MATLABe: >> syms phi rho z real >> V=int(int(int(rho,z,rho,2rho^2),rho,0,1),phi,0,2*pi) V = 5/6*pi Graf daného telesa môžeme pomocou MATLABU zobraziť takto: >> [x,y]=meshgrid(-1:0.025:1,-1:0.025:1); >> z=2-x.^2-y.^2; >> meshc(x,y,z); >> hold on; >> z=sqrt(x.^2+y.^2); >> meshc(x,y,z); >> hold off;

Príklad Vypočítajte hmotnosť telesa tvaru oblasti ohraničenej rovinami: z = 0, z = x + y, y = x, y = 0, x = 1 , ak jeho objemová hustota je µ ( x, y, z ) = kz . Riešenie. Hmotnosť môžeme vypočítať pomocou trojného integrálu, kde m = ∫∫∫ µ ( x, y, z )dxdydz . ω

Oblasť ω môžeme popísať pomocou nerovníc takt ω : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ x + y . Potom 1

x

x+ y

0

0

0

m = ∫∫∫ µ ( x, y, z )dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ kzdz . ω

Uvedený trojnásobný integrál môžeme vypočítať pomocou MATLABu takto: Zadanie v MATLABe: >> syms x y z m k real >> m=int(int(int(k*z,z,0,x+y),y,0,x),x,0,1) Výsledok: m= 7/24*k.

Príklad Vypočítajte hmotnosť drôtu tvaru krivky r (t ) = 2 cos t i + 2 sin t j + t k , t ∈ 0,10π . Prierezová hustota drôtu je

µ ( x, y , z ) = z . Riešenie. pomocou druhu:

Hmotnosť drôtu vypočítame krivkového integrálu prvého

m = ∫ µ ( x, y, z )ds = l

10π

∫ tds , 0

kde ds = (2 cos t )′ 2 + (2 cos t )′ 2 + (t )′ 2 dt . Použitím MATLABU dostávame: >> syms t real; >> d=sqrt((diff(2*cos(t),t))^2+(diff(2*sin(t),t))^2+(diff(t,t))^2) d= (4*sin(t)^2+4*cos(t)^2+1)^(1/2) >> m=int(t*d,t,0,10*pi) m= 50*pi^2*5^(1/2)

14.5 Laplaceova transformácia Príklad Nájdite Laplaceov obraz F (s ) funkcie f (t ) = te t cos t +

e t − e −t . t

Riešenie. a) Zadanie v MATLABe s využitím funkcií MAPLU >> maple('with(inttrans);') ans = [addtable, fourier, fouriercos, fouriersin, hankel, hilbert, invfourier, invhilbert, invlaplace, invmellin, laplace, mellin, savetable] >> maple('laplace(t*exp(t)*cos(t)+(exp(t)-exp(-t))/t, t, s)') Výsledok ans = -1/((s-1)^2+1)+2*(s-1)^2/((s-1)^2+1)^2-log(s-1)+log(s+1)

b) Zadanie v MATLABe bez použitia MAPLU >> syms s t F real >> F=laplace(t*exp(t)*cos(t)+(exp(t)-exp(-t))/t) F= -1/((s-1)^2+1)+2*(s-1)^2/((s-1)^2+1)^2-log(s-1)+log(s+1) −1 2( s − 1) 2 s +1 (Môžeme ho upraviť do tvaru F ( s ) = + + ln ). 2 2 2 s −1 ( s − 1) + 1 ( s − 1) + 1

(

)

Príklad Nájdite predmet f (t ) , ak jeho Laplaceov obraz je F ( s ) =

Riešenie. a) Zadanie v MATLABe s použitím MAPLU je: >> maple('invlaplace((s^2+2*s-1)/(s^3+3*s^2+3*s+1), s, t)') Výsledok ans = -t^2*exp(-t)+exp(-t) b) Zadanie v MATLABe bez použitia MAPLUje: >> syms s t f real >> f=ilaplace((s^2+2*s-1)/(s^3+3*s^2+3*s+1), s, t) f= -t^2*exp(-t)+exp(-t)

s 2 + 2s − 1 . s 3 + 3s 2 + 3s + 1

15

POUŽITIE MAPLE-u

Cieľ V tejto časti, ktorú uvádzame ako prílohu, chceme študentov oboznámiť s možnosťou riešenia úloh z predmetu Matematická analýza II pomocou MAPLE-u. Vzhľadom na ohraničený časový priestor uvedieme iba niektoré možnosti, ktoré nemusia byť vo všeobecnosti najefektívnejšie v zmysle častejšieho riešenia podobných úloh.

Maple je matematický software vhodný pre symbolické a numerické výpočty. Poskytuje presné analytické, ako aj numerické riešenia mnohých matematických problémov obsiahnutých v predmete Matematická analýza, ako aj v ďalších matematických a odborných predmetoch štúdia na FEI TU v Košiciach. Časť materiálu bola spracovaná pomocou Software Maple 9.5 zakúpeného Katedrou matematiky FEI TU v Košiciach.

15.1 Rady Taylorov rad niektorých funkcií s uvedením zvyšku > Taylor( exp(x), x=0, 4 )=taylor( exp(x), x=0, 4 ); 1 1 Taylor( e x , x = 0, 4 ) = 1 + x + x 2 + x 3 + O( x 4 ) 2 6 > Taylor( 1/x, x=1, 3 )=taylor( 1/x, x=1, 3 ); 1 Taylor , x = 1, 3  = 1 − ( x − 1 ) + ( x − 1 ) 2 + O( ( x − 1 ) 3 ) x  >

Taylor( sin(x), x=0, 7 )=taylor( sin(x), x=0, 7 ); 1 1 5 Taylor( sin( x ), x = 0, 7 ) = x − x 3 + x + O( x 7 ) 6 120

Aproximácia funkcie f ( x ) = sin x pomocou častí jej Taylorovho radu na intervale (− 2π ,2π ) . Nakreslí graf funkcie f ( x ) = sin x a aproximáciu tejto funkcie po n = 5 . > f :=
plot([x,x-x^3/6,x-x^3/6+1/120*x^5,sin(x)],x=2*Pi..2*Pi,y=2..2,linestyle=[2,3],color=[green,red,blue,black]);

Aproximácia funkcie pomocou častí jej Fourierovho radu Funkciu

 −1  f( x ) :=  1   0

x<1 x<2 otherwise

aproximuje pomocou N členov Fourierovho radu. Možné riešenie pomocou Maplu: > with(plots): > N:=50: > f:=x->piecewise(x<1,-1,x<2,1,0):bf:=array(1..N): > B := plot(f(x),x=0..2,discont = true, color=blue): Postupne vypočíta N integrálov (koeficienty bf(k) rozvoja do radu sinusov): > for k to N do bf[k]:=evalf(2*int(sin(k*Pi*x)*f(x),x=1..2)) od: Vypočíta súčet prvých N členov radu > ts:=(x,t)->sum(bf[n]*sin(n*Pi*x),n=1..N):

> A:=plot(ts(x),x=0..2,axes=normal): Zobrazí graf danej funkcie a jej aproximáciu pomocou častí jej Fourierovho radu na intervale [0,2]: > display(A,B,axes=normal,title="N=50"); >

>

15.2 Funkcia viac premenných Grafy niektorých funkcií > f := 2*x*y /(x^2+y^2); f :=

2xy x2 + y2

> plot3d(2*x*y /(x^2+y^2),x=0..1,y=0..1,coords=spherical,style=patch);

> f := (x-1)^2-(y-1)^2; f := ( x − 1 ) 2 − ( y − 1 ) 2

> plot3d((x-1)^2-(y-1)^2,x=-1..3,y=-1..3,orientation=[65,75]);

> f:= 1/((x-1)^2+(y-1)^2); f :=

1 ( x − 1 ) + ( y − 1 )2 2

> plot3d(1/((x-1)^2+(y1)^2),x=0..3,y=0..3,axes=boxed,orientation=[32,68]);

> f := (x-1)^2+(y-1)^2; f := ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2

> plot3d((x-1)^2+(y-1)^2,x=-1..3,y=-1..3,axes=normal, orientation=[27,84]);

> f := ([1.3])^x * sin(y); f := [ 1.3 ] x sin( y ) > plot3d((1.3)^x * sin(y),x=1..2*Pi,y=0..Pi,coords=spherical);

> f:= cos(x)*sin(y); f := cos( x ) sin( y )

> plot3d(cos(x)*sin(y),x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi);

Výpočet limít a derivácií > Limit((x^2-y^2)/(x^2+y^2), {x=0,y=0})=limit((x^2y^2)/(x^2+y^2), {x=0,y=0}); 2 2 x −y  Limit 2 , { x = 0, y = 0 }  = undefined 2 x +y  > Limit(sin(x*y)/x, {x=0,y=1})=limit(sin(x*y)/x, {x=0,y=1}); sin( x y ) sin( x y ) Limit , { x = 0, y = 1 }  = limit , { x = 0, y = 1 }  x x     > Diff((x^2+3*y)*e^(2*x-y^3),x,y)=diff((x^2+3*y)*e^(2*xy^3),x,y); 3 (2 x − y ) ∂2 ( ( x2 + 3 y ) e )= ∂ y ∂x −6 x e

3 (2 x − y )

y 2 ln( e ) + 6 e

3 (2 x − y )

ln( e ) − 6 ( x 2 + 3 y ) e

3 (2 x − y )

y 2 ln( e ) 2

Implicitné funkcie (dy/dx , ak funkcia y(x ) je zadaná implicitne pomocou funkcie f:

> f := x^2+y^3=1; f := x 2 + y 3 = 1

> Implicitdiff(f,y(x),x)=implicitdiff(f,y(x),x); 2 x Implicitdiff( x 2 + y 3 = 1, y( x ), x ) = − 3 y2 > implicitdiff(f,x(y),y); −

3 y2 2 x

> implicitdiff(f,y,z); 0

Grafy - animácie > with(plots): animate3d(cos(t*x)*sin(t*y),x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi,t=1..2);

15.3 Riešenie diferenciálnych rovníc(všeobecné, partikulárne, grafy riešení): Príklad 1: Hľadá riešenie diferenciálnej rovnice 2 d d  de1 :=  2 y( x )  − 3  y( x )  + 2 y( x ) = 0  dx   dx  > de1 :=diff(y(x),x$2)-3*diff(y(x),x)+2*y(x)=0; 2 d d  de1 :=  2 y( x )  − 3  y( x )  + 2 y( x ) = 0 d  x   dx  Všeobecné riešenie > dsolve(de1,y(x)); y( x ) = _C1 e

(2 x )

+ _C2 e x

Partikulárne riešenie postupne pre začiatočné podmienky in1, in2,in3 > in1 :=y(0)=1,D(y)(0)=0; in1 := y( 0 ) = 1, D( y )( 0 ) = 0 > in2 :=y(0)=2,D(y)(0)=0; in2 := y( 0 ) = 2, D( y )( 0 ) = 0 > in3 :=y(0)=3,D(y)(0)=0; in3 := y( 0 ) = 3, D( y )( 0 ) = 0 > dsolve({de1,in1},{y(x)}); (2 x ) y( x ) = −e + 2 ex > dsolve({de1,in2},{y(x)}); (2 x ) y( x ) = −2 e + 4 ex > dsolve({de1,in3},{y(x)}); (2 x ) y( x ) = −3 e + 6 ex Nakreslí grafy jednotlivých riešení > with(DEtools): DEplot({de1},\ {y(x)},x=0..2,[[in1],[in2],[in3]],linecolor=[blue,black,red],y =-5..5,stepsize=.5);

Príklad 2: Hľadá riešenie diferenciálnej rovnice 2 d d  de2 :=  2 y( x )  + 3  y( x )  + 2 y( x ) = 0 d  x   dx  > de2 :=diff(y(x),x$2)+3*diff(y(x),x)+2*y(x)=0; 2 d  d de2 :=  2 y( x )  + 3  y( x )  + 2 y( x ) = 0  dx   dx  Všeobecné riešenie > dsolve(de2,y(x)); y( x ) = _C1 e

( −2 x )

+ _C2 e

( −x )

Nakreslí grafy jednotlivých riešení pri zadaných začiatočných podmienkach > DEplot({de2},\ {y(x)},x=0..10,[[in1],[in2],[in3]],linecolor=[blue,black,red], y=-5..5,stepsize=.5);

Vidíme, že dané riešenia s rastúcim x sa približujú ku triviálnemu riešeniu. Riešenie systému diferenciálnych rovníc r1, r2: > r1 := diff(y(x),x)=z(x); r1 :=

d y( x ) = z( x ) dx

> r2 :=diff(z(x),x)=0.3*y(x)-0.02*z(x);

r2 :=

Začiatočné podmienky > in1 :=y(0)=1,z(0)=0; > in2 :=y(0)=2,z(0)=0; > in3 :=y(0)=3,z(0)=0;

d z( x ) = 0.3 y( x ) − 0.02 z( x ) dx

in1 := y( 0 ) = 1, z( 0 ) = 0 in2 := y( 0 ) = 2, z( 0 ) = 0 in3 := y( 0 ) = 3, z( 0 ) = 0

> > r3 :=diff(z(x),x)=-.3*y(x)-.02*z(x); d r3 := z( x ) = −0.3 y( x ) − 0.02 z( x ) dx Nakreslí graf riešení odpovedajúcich začiatočným podmienkam in1, in2 pre sústavu r1, r3. > with(DEtools): > DEplot3d({r1,r3},{y(x),z(x)},x=0..200,[[in1],[in3]],linecolor= [blue,black],colour=black,stepsize=0.5);

> ode := diff(y(x),x)=z(x),diff(z(x),x)=-0.3*y(x)-0.02*z(x); d d ode := y( x ) = z( x ), z( x ) = −3 y( x ) − 2 z( x ) dx dx > in4 := y(0)=1,z(0)=0;

in4 := y( 0 ) = 1, z( 0 ) = 0

> fun := {y(x),z(x)}; fun := { y( x ), z( x ) }

Všeobecné riešenie sústavy : ode := > dsolve( {ode},fun);

d d y( x ) = z( x ), z( x ) = −3 y( x ) − 2 z( x ) dx dx

{ z( x ) = e

( −x )

( −_C1 sin( 2 x ) + _C1 cos( 2 x ) 2 − _C2 cos( 2 x ) − _C2 sin( 2 x ) 2 ),

y( x ) = e

( −x )

( _C1 sin( 2 x ) + _C2 cos( 2 x ) ) }

Partikulárne riešenie odpovedajúce začiatočnej podmienke in1: > dsolve( {ode,in1},fun); ( −x )  1 3 ( −x ) 1 cos( 2 x )  } { z( x ) = − e 2 sin( 2 x ), y( x ) = e 2 sin( 2 x ) +  20 10  20  > Fázový portrét sústavy ode :=

d d y( x ) = z( x ), z( x ) = −3 y( x ) − 2 z( x ) : dx dx

> with(DEtools): phaseportrait([D(y)(x)=z(x),D(z)(x)=-3*y(x)-2*z(x)], \ [y(x),z(x)],x=0..20,[[y(0)=10,z(0)=-1],[y(0)=20,z(0)=1]],stepsize=.05, \ scene=[y(x),z(x)], linecolor=[gold,blue],method=classical[foreuler]);

15.4 Výpočet dvojných a trojných integrálov Výpočet dvojného integrálu: > with (student): > Int(Int(exp(x+y+1)/((5*x+1)*(10*y+2)), x=0..4), y=0..3); 3

4

(x + y + 1) ⌠⌠ e     ( 5 x + 1 ) ( 10 y + 2 ) dx dy  ⌡0 ⌡0

> evalf(%); 10.39387059

Výpočet trojného integrálu: > Int(Int(Int(exp(x+y+z)/((5*x+1)*(10*y+2)*(15*z+3)), x=0..4), y=0..3), z=0..sqrt(2)); ⌠     ⌡0

2

3

4

(x + y + z) ⌠⌠ e     ( 5 x + 1 ) ( 10 y + 2 ) ( 15 z + 3 ) dx dy dz  ⌡0 ⌡0

> > evalf(%); 0.9331611325

15.5 Laplaceova transformácia Hľadanie obrazu ku predmetu y(t) v premennej t a obrazu v premennej s: > with(inttrans): Príklad 1: > y(t) :=t^3+sinh(3*t);

y( t ) := t 3 + sinh( 3 t )

> Y(s):= laplace(t^3+sinh(3*t)=y(t), t, s); 6 3 Y( s ) := 4 + 2 = laplace ( y( t ), t, s ) s s −9 Príklad 2: > y(t) := e^(-2*t)*sin(3*t)*cos(5*t); ( −2 t ) y( t ) := e sin( 3 t ) cos( 5 t ) > Y(s):=laplace(e^(-2*t)*sin(3*t)*cos(5*t), t, s); 4 1 Y( s ) := 2 − 2 2 s + 4 s ln( e ) + 4 ln( e ) + 64 s + 4 s ln( e ) + 4 ln( e ) 2 + 4

Inverzná Laplaceova transformácia: > with(inttrans): > Y(s):=1/(s-a)+1/(s^2+b)+1; Y( s ) :=

1 1 + 2 +1 s−a s +b

> y(t):= Invlaplace(1/(s-a)+1/(s^2+b)+1, s, t)=invlaplace(1/(sa)+1/(s^2+b)+1, s, t); (a t ) 1 1 sin( b t ) + 2 + 1, s, t  = e y( t ) := Invlaplace  + + Dirac( t ) s−a s +b  b   > restart:with(inttrans): > Y(s):=1/(((s-a)^2+1)*((s-a)^2+4)); 1 Y( s ) := 2 ( ( s − a ) + 1 ) ( ( s − a )2 + 4 ) > y(t):=Invlaplace(1/(((s-a)^2+1)*((s-a)^2+4)), s, t)=invlaplace(1/(((s-a)^2+1)*((s-a)^2+4)), s, t); 1 1 (a t ) y( t ) := Invlaplace  , s, t  = e ( 2 sin( t ) − sin( 2 t ) )  ( ( s − a )2 + 1 ) ( ( s − a )2 + 4 )  6   >

Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie: > > de1 := diff(y(t),t$2) + 5*diff(y(t),t) + 6*y(t) = 0; 2 d d  de1 :=  2 y( t )  + 5  y( t )  + 6 y( t ) = 0 d  t   dt  > dsolve({de1, y(0)=0, D(y)(0)=1}, y(t),method=laplace); ( −3 t ) ( −2 t ) y( t ) = −e +e

16

Niektoré aplikácie

Cieľ V tejto časti, ktorú uvádzame ako prílohu, chceme študentov oboznámiť s možnosťou použitia niektorých častí predmetu Matematická analýza II na riešenie úloh z rôznych oblastí technickej praxe. Vzhľadom na ohraničený časový priestor uvedieme iba niektoré konkrétne aplikácie.

Použitie Fourierovych radov Príklad Nájdime periodické riešenie rovnice y ′′ − y = sin t . Riešenie. Funkciu sin t rozvinieme do Fourierovho radu sin t =

2

−

π

4

∞

cos 2kt 2 −1 k =1

∑ 4k π

Riešenie rovnice predpokladáme v tvare ∞ A y = 0 + ∑ Ak cos kt + Bk sin kt , 2 k =1 ∞

(

)

y ′′ = ∑ − k 2 Ak cos kt − k 2 Bk sin kt , po dosadení do riešenej rovnice k =1

y ′′ − y = −

[

]

A0 ∞ 2 4 ∞ cos 2kt + ∑ (− k 2 − 1) Ak cos kt + (− k 2 − 1) Bk sin kt = − ∑ 2 . π π k =1 4k − 1 2 k =1

Odtiaľ

(

A0 2 =− , π 2

)

− A2 k 4k 2 + 1 = −

Bk = 0, 4

1

π 4k − 1

y=−

2

2

π

+

4

∞

A2 k −1 = 0, A2 k =

,

4

1 π 16k 4 − 1

cos 2kt . 4 −1

∑ π 16k k =1

Diferenciálne rovnice I. rádu Príklad V elektrickom obvode s rezistorom odporu R a cievkou indukčnosti L , ktorý je pripojený na zdroj konštantného napätia U 0 určíme, aký je prúd v závislosti na čase.

Riešenie. Použitím Ohmovho a Kirchhoffovho zákona zapíšeme rovnicu U di R + i= 0 dt L L Riešením tejto rovnice je každá funkcia vo všeobecnom tvare

R R R t − t − t   U0 U 0 L RL t  U L L     i(t ) = e  c + e dt  = e  c + e  = ce L + 0 ∫ L L R R     U Z podmienky i (0 ) = 0 dostaneme konštantu c = − 0 a po úprave R R − t  U  i (t ) = 0 1 − e L  . R   R − t L

Príklad Vypočítajme množstvo rádioaktívnej látky m v ľubovoľnom okamihu t .

Riešenie. Predpokladajme, že v čase t = t 0 je m0 jednotiek látky. Rýchlosť rozpadu rádioaktívnej látky je úmerná množstvu prítomnej látky. Podľa uvedeného zákona rozpadu platí dm = −km , dt kde m = m(t ) je spojitá funkcia, k > 0 je konštanta úmernosti. Riešením uvedenej rovnice spolu s počiatočnou podmienkou m(t 0 ) = m0 je funkcia m = m 0 e − k (t − t 0 ) .

Sústavy diferenciálnych rovníc Príklad Stanovme prúdy i1 (t ) a i2 (t ) v obvode na obrázku, keď cievkou v okamihu pripojenia zdroja konštantného napätia u (t ) = U 0 preteká prúd i0 a na kondenzátore bolo v tomto okamihu napätie U C . Pripojenie napätia uvažujeme v okamihu t = 0 . Úlohu doriešime s hodnotami U 0 = 10 V, i0 = 0,5 A, U C = 20 V, R = 100 Ω, L = 2 H, C = 10 −4 F .

Riešenie. Na základe Kirchhoffových zákonov dostaneme tieto rovnice di L 1 + R (i1 − i2 ) = U 0 dt t 1 R (i2 − i1 ) + ∫ i2 ( s ) ds + U C = 0 . C0

Začiatočná podmienka je i1 (0) = i0 . Prvá rovnica je diferenciálna, druhá rovnica je integrálna. Ak ju zderivujeme, dostaneme di  1  di R 2 − 1  + i2 (t ) = 0 .  dt dt  C Integráciou tejto rovnice v hraniciach od 0 do t dostaneme

R[i2 (t ) − i 2 (0) − i1 (t ) − i1 (0)] + Ak platí

t

1 i 2 ( s ) ds = 0 . C ∫0

R[i1 (0) − i2 (0)] = U C , čiže

UC + i0 , R pôvodná sústava so začiatočnou podmienkou i1 (0) = i0 je ekvivalentná so sústavou diferenciálnych rovníc di L 1 + R(i1 − i2 ) = U 0 dt di  1  di R 2 − 1  + i 2 = 0 .  dt dt  C Odtiaľ U di1 R R = − i1 + i 2 + 0 L L L dt U di 2 R 1  R = − i1 +  −  i2 + 0 . dt L L  L RC  Túto sústavu s konkrétnymi hodnotami doriešime eliminačnou metódou. di1 = −50i1 + 50i2 + 5 dt di 2 = −50i1 − 50i2 + 5 dt so začiatočnými podmienkami i1 (0) = 0,5 i 2 ( 0) = −

i2 (0) = 0,3

Riešením tejto sústavy je

i1 (t ) = 0,4e −50t cos 50t + 0,3e −50t sin 50t + 0,1 i2 (t ) = 0,3e −50t cos 50t − 0,4e −50t sin 50t . Príklad. Model Lovec -korisť Nech x(t ) , y (t ) sú populácie predátorov a ich koristi v čase t . Predpokladáme, že (i) (ii) (iii)

Neprítomnosť predátorov znamená, že korisť rastie rýchlosťou priamo úmernou veľkosti svojej populácie. Ak nie je prítomná korisť, tak populácia lovcov klesá úmerne svojej veľkosti. Prítomnosť aj koristi aj predátorov spôsobuje rast populácie predátorov a pokles populácie koristi, t.j. populácia predátorov rastie a populácia koristi klesá úmerne súčinu oboch populácii.

Tieto predpoklady vedú k nasledujúcemu systému diferenciálnych rovníc dx = ax − bxy = x(a − by ), a, b > 0, dt dy = − py + qxy = − y ( p − qx), p, q > 0. dt

Je zrejmé, že obe derivácie dx / dt , dy / dt sú nulové ak p a , y = ye = . q b

x = xe =

Hodnoty x e , y e predstavujú ekvilibrium (rovnováhu). •

Model súperenia

Nech x(t ) , y (t ) sú dve populácie súperiace o zdroje potravy. Potom neprítomnosť jednej populácie pôsobí priaznivo na rast druhej populácie a naopak prítomnosť jednej populácie spôsobuje pokles druhej populácie. Tieto podmienky vedú k nasledujúcemu systému diferenciálnych rovníc. dx a  = ax − bxy = bx − y , a, b > 0, dt b  p  dy = py − qxy = qy − x , p, q > 0. dt q  Je zrejmé, že ekvilibrium nastáva v bode ( p / q, a / b ) . Ak uvažujeme súperenie v rámci toho istého druhu, tak máme dx = ax − a11 x 2 − bxy, dt dy = py − p11 y 2 − qxy. dt

Aplikácie dvojných trojných a krivkových integrálov
Geometrické a fyzikálne aplikácie dvojných a trojných integrálov. •

Nech σ je merateľná množina v R 2 . Potom pre jej obsah platí

P = ∫∫ dxdy . σ

•

Ak f ( x, y ) ≥ 0 na množine σ , tak pre objem telesa zostrojeného nad množinou σ platí

V = ∫∫ f ( x, y )dxdy . σ

•

Nech ω je uzavretá merateľná množina z R 3 . Pre objem množiny ω platí V = ∫∫∫ dxdydz . ω

•

Nech je plocha S určená rovnicou w = r (u , v) , (u , v) ∈ B . Nech σ je taká merateľná podmnožina B , že je časťou roviny ohraničenou po častiach hladkou jednoduchou uzavretou krivkou. Nech parciálne derivácie ru′ , rv′ sú spojité na množine σ , t.j. plocha S je na množine σ hladká . Potom pre obsah P (σ ) plochy S platí:

P (σ ) = ∫∫ ru′ × rv′ dudv . σ

•

Ak je plocha S určená rovnicou y = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ σ , pričom z ′x , z ′y sú na množine σ spojité funkcie, potom P (σ ) = ∫∫ 1 + ( z ′x ) 2 + ( z ′y ) 2 dxdy . σ

•

Nech je rovinná oblasť σ dvojrozmerná merateľná množina, ktorej plošná hustota v jej ľubovoľnom bode X = ( x, y ) je µ ( x, y ) . Majme za úlohu určiť hmotnosť rovinnej oblasti σ . Celková hmotnosť rovinnej oblasti σ je m = ∫∫ µ ( x, y )dxdy . σ

Poznámka. Podobne môžeme postupovať pri riešení úlohy výpočtu prietokového množstva tekutiny, ktorá preteká cez potrubie veľkých rozmerov a v jednom reze kolmom na os potrubia je daná rýchlosť prúdenia (v jednotlivých bodoch rezu je funkciou v( x, y ) ). • Pri výpočte statických momentov hmotnej oblasti σ vzhľadom na os o x , resp. o y je S x = ∫∫ yµ ( x, y )dxdy, S y = ∫∫ xµ ( x, y )dxdy . σ

•

•

σ

Súradnice ťažiska T = ( xT , yT ) hmotnej oblasti σ v pravouhlom súradnicovom systéme sú: Sy S xT = , yT = x . m m Moment zotrvačnosti hmotnej oblasti σ vzhľadom na os o x , resp. o y , resp. o z je: I x = ∫∫ y 2 µ ( x, y )dxdy, I y = ∫∫ x 2 µ ( x, y )dxdy, I z = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) µ ( x, y )dxdy . σ

•

σ

σ

Nech teleso V je trojrozmerná merateľná množina, ktorého objemová hustota v ľubovoľnom bode X = ( x, y, z ) je µ ( x, y, z ) . Hmotnosť telesa V je: m = ∫∫∫ µ ( x, y , z )dxdydz . V

•

Statický moment telesa V vzhľadom na rovinu o xy , resp. o yz , resp. o xz je

S xy = ∫∫∫ zµ ( x, y, z )dxdydz, S yz = ∫∫∫ xµ ( x, y, z )dxdydz , S xz = ∫∫∫ yµ ( x, y, z )dxdydz . V

•

•

V

V

Súradnice ťažiska T = ( xT , yT , zT ) telesa V v pravouhlom súradnicovom systéme sú: S yz S xy S . , yT = xz , zT = xT = m m m Moment zotrvačnosti telesa V vzhľadom na os o x , resp. o y , resp. o z je: I x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) µ ( x, y, z )dxdydz, I y = ∫∫∫ ( x 2 + z 2 ) µ ( x, y, z )dxdydz , V

V

I z = ∫∫∫ ( x + y ) µ ( x, y, z )dxdydz. 2

2

V

•

Nech je dané teleso A a bod X 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) mimo neho. Máme vypočítať gravitačný potenciál tohto telesa v bode X 0 . Potenciál v bode X 0 možno vypočítať podľa vzorca v( E ) = − k ∫∫∫ E

µ( X ) ρ(X , X 0 )

dX

pre každú časť E telesa A , kde k je gravitačná konštanta.

•

V priestore je rovina a v tejto rovine množina, ktorá predstavuje vrstvu elektrického náboja s plošnou hustotou náboja µ . Je daný bod X 0 mimo A a je potrebné určiť elektrický (coulombovský) potenciál v v bode X 0 budený vrstvou A . Pre hľadaný potenciál platí v=

1

4πε ∫∫

µ ( x, y )

( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + z 02 pričom ε je dielektrická konštanta.

dxdy ,

A


Fyzikálne aplikácie krivkového integrálu

Nech µ (M ) je lineárna hustota v ľubovoľnom bode M po častiach hladkej krivky C orientovanej súhlasne s jej parametrickým vyjadrením, potom: • Hmotnosť m krivky C je: m = ∫ µ ( M )ds . C

•

Súradnice ťažiska T = ( xT , yT , zT ) krivky C sú: S yz S xy S 1 1 1 xT = ∫ xµ ( M )ds = , yT = ∫ yµ ( M )ds = xz , zT = ∫ zµ ( M )ds = . mC m mC m mC m

•

Nech je silové pole dané vektorovou funkciou f (M ) , potom práca A tohto poľa po krivke C je: A = ∫ f ( M ) ⋅ ds . C

Ak táto práca nezávisí od integračnej cesty, silové pole sa nazýva konzervatívne a potenciál funkcie f sa nazýva potenciál silového poľa. Ak táto práca závisí od integračnej cesty, silové pole sa nazýva disipatívne. Nech G je otvorená plošne jednoducho súvislá množina. Nech f je vektorová funkcia spojitá na množine G , ktorá má spojité parciálne derivácie na množine G . Nutná a postačujúca podmienka na to, aby existoval potenciál U funkcie f , f = gradU , je rot f ( M ) = 0 na množine G . Teda ak funkcia f = P( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R( x, y, z )k má potenciál U na množine G , potom dU = P ( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R ( x, y, z )dz je totálnym diferenciálom funkcie U a platí: ∂U ∂U ∂U = P( x, y, z ), = Q ( x, y, z ), = R ( x, y , z ) . ∂x ∂y ∂z Teda ∂P ∂Q ∂Q ∂R ∂R ∂P = , = , = . ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z

Príklad Je dané pole F : R 2 → V (R 2 ), F ( x, y ) = (2 xy, x 2 + 9 y 2 ) . Zistíme, či je pole potenciálne a nájdeme jeho potenciál.

∂P (x, y ) = 2 x, ∂Q (x, y ) = 2 x , teda ∂P = ∂Q a pole je potenciálne. ∂y ∂x ∂y ∂x Potenciál U ( x, y ) nájdeme takto

Riešenie. Platí

U ( x, y ) = ∫ 2 xy dx = x 2 y + ψ ( y )

(☺)

∂U = x 2 + ψ ′( y ) = x 2 + 9 y 2 ∂y Odtiaľ vyplýva

ψ ′( y ) = 9 y 2 ψ ( y) = 3 y 3 + k Po dosadení do (☺) dostaneme potenciál U ( x, y ) = x 2 y + 3 y 3 + k .

Laplaceova transformácia Príklad Určíme prúd i (t ), t ∈ 0, ∞ ) v obvode na obrázku, ktorý bol v čase t = 0 pripojený na zdroj napätia u (t ) = U 0 sin ωt , ak i (0 + ) = i0 , ω ∈ R .

Riešenie. Priebeh prúdu i v danom obvode opisuje diferenciálna rovnica di (t ) L + Ri (t ) = U 0 sin ω t , dt ktorá sa za predpokladu, že i ∈ DL , L {i (t )} = I ( p ) , transformuje do tvaru U ω pLI ( p ) − Li0 + RI ( p ) = 2 0 2 , p +ω odkiaľ U i ω I ( p) = 0 + 0 R R L  p2 + ω 2  p +  p + L L  Keďže platí R   − p + L ω ω 1  = +  R  R R2  p2 + ω 2 2 2  2 p+ p +ω  p +  ω + 2 L  L L   z (☼) dostaneme

(

(

)

)

(☼)

R   − p + L i 1  + + 0  2  2 2 R R R p +ω p+  p+ ω 2 + 2  L  L L  z čoho použitím tabuľky originálov a obrazov Laplaceovej transformácie, dostaneme U I ( p) = 0 L

U i (t ) = 0 L

ω

R R − t  − t  R R sin ω t − Lω cos ω t + Lω e L  L  sin t − cos t + e + i e = U0 ω ω 0 2   R Lω L2ω 2 + R 2  ω2 + 2  L

ω

R − t L

+ i0 e

R − t L

Literatúra [1] Aramanovič, I.A. – Lunc, G.L. – Eľsgoľc, L.E.: Funkcia komplexnej premennej, Operátorový počet, Teória stability, ALFA-SNTL, Bratislava-Praha 1973 (preklad z ruštiny). [2] Borodin, A, I. – Bugaj, A.S.:Vydajuščiesia matamatiky, Radianskaja škola, Kijev 1987. [3] Brabec, J. – Martan, F. – Rozenský, Z.: Matematická analýza I, SNTL/ALFA, Praha 1985. [4] Brabec, J. – Hrůza, B.: Matematická analýza II, SNTL/ALFA, Praha 1986. [5] Brauer, F. – Nohel, J.A.: Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations, W.A. Benjamin, INC., New York, Amsterdam 1969. [6] Bučko, M. – Buša, J. – Schrötter, Š.: Lineárna algebra, Acamemic Press ELFA, s.r.o., Košice 1998. ISBN 80-88786-91-6. [7] Demidovič, B. P.: Sbornik zadač i upražnenij po matematičeskomu analizu, Nauka, Moskva 1977. [8] Demlová, M. P.– Hamhalter, J.: Calculus I, CVUT, Praha 1998. ISBN 80-01-011110-0. [9] Djubjuk, P. R.: Sbornik zadač po vyššej matematike dľja vtuzov, GI Vysšaja škola, Moskva 1963. [10] Driels, M.: Linear Control Systems Engineering, McGRAW-HILL, INC., New York St.Louis - San Francisko - Aucland - Bogota - Caracas - Lisabon - London - Madrid Mexico City - Milan - Montreal - New Delhi - San Juan - Singapore - Sydney - Tokyo Toronto,ISBN 0-07-017824-D, 1996. [11] Eliaš, J. – Horváth, J. – Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky 2, ALFA, Bratislava 1966. [12] Eliaš, J. – Horváth, J. – Kajan, J. – Šulka, R.: Zbierka úloh z vyššej matematiky 4, ALFA, Bratislava 1968. [13] Galajda, P. – Schrötter, Š.: Funkcia komplexnej premennej a operátorový počet, ALFA, Bratislava 1991. [14] Garner, E.L.: Calculus and analytic geometry, Dellen publishing company, San Francisco, Collier Macmillan Publishers, London 1988. ISBN 0-02-340590-2. [15] Greguš, M. – Švec, M. – Šeda, V.: Obyčajné diferenciálne rovnice, ALFA/SNTL, Bratislava/Praha 1985. [16] Howard, A.: Multivariable Calculus, fourth edition, John wiley & sons, New York - Chichester - Brisbane - Toronto -Singapore 1992. ISBN 0-471-58247-6. [17] Ignatjeva A.V. – Krasnoščekova, T.I. – Smirnov, V.F.: Kurs vysšej matematiky, Vysšaja škola, Moskva 1964. [18] Kermit, Sigmon: MATLAB Primer, Kermit Sigmon Universiy of Florida 1989. [19] Kluvánek, I. – Mišík, L. – Švec, M.: Matematika I, SVTL, Bratislava 1966.

[20] Kluvánek, I. – Mišík, L. – Švec, M.: Matematika II, SVTL, Bratislava 1961. [21] Kneschke, A.: Používaní diferenciálnych rovníc v praxi, ALFA, Bratislava 1969. [22] Kozák, Š.– Kajan, S.: MATLAB-SIMULINK I, STU Bratislava 1999. ISBN 80-227-1213-2. [23] Krasnov, M.L. – Kiselev, A.I. – Makarenko, G.I.: Funkcii komplexnogo peremennogo. Operacionnoe isčislenie. Teoria ustojčivosti, NAUKA, Moskva 1981. [24] MAPLE 9: Learning Guide, Maplesoft a division of Waterloo Maple Inc. 2003. ISBN 1-894511-42-5. [25] Moravčík, J.: Matematická analýza (3), ALFA, Bratislava 1992. [26] Moravský, L. – Moravčík, J. – Šulka, R.: Matematická analýza (2), ALFA, Bratislava 1992. [27] Sinha, N.K.: Linear Systems, John Wiley & Sons, Inc., New York -Chichaster-BrisbaneToronto-Singapore 1991, ISBN 0-471-62341-5. [28] Neubrun, T. – Vencko, J.: Matematická analýza I, UK Bratislava 1985. [29] Pirč, V. – Haščák, A.: Matematická analýza I, Acamemic Press ELFA, s.r.o., Košice 1998. ISBN 80-88786-92-4. [30] Pirč, V. – Haščák, A.: Matematická analýza II, ELFA, s.r.o., Košice 2000. ISBN 80-8896439-3. [31] Polcerová, M.: Doprovodný text k počítačovým cvičením - MATEMATIKA I, Brno 2001. [32] Pták, P.: Calculus II, CVUT, Praha 1997. ISBN 80-01-01207-7. [33] Šoltés, V. – Juhásová, Z.: Zbierka úloh z vyššej matematiky I, Edičné stredisko TU v Košiciach 1992. [34] Šulka, R. – Moravský, L. – Satko, L.: Matematická analýza (1), ALFA/SNTL, Bratislava 1986. [35] Zaporožec, G. I.: Rukovodstvo k rešeniju zadač po matematičeskomu analizu, GI Vysšaja škola, Moskva 1961.