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Fundamentos Matemáticos Cuaderno de Ejercicios

Nombre: _________________________________________________________________ Matrícula: _____________________ Grupo: ___________ Salón: ___________

1

CONTENIDO Módulos

Módulo 1 Bases de álgebra, funciones y límites

Módulo 2

Temas Tema 1 Fundamentos de álgebra

4

Tema 2 Funciones

17

Tema 3 Función básicas

23

Tema 4 Funciones Trascendentales y su inversa

32

Tema 5 Límites y límites al infinito

36

Tema 6 Definición de derivada e interpretación

47

Tema 7 Reglas de derivación de funciones básicas

53

La derivada Tema 8 Reglas de derivación de funciones compuestas y sus aplicaciones Tema 9 Derivación Implícita y de orden superior Tema 10 Aplicaciones puntos de inflexión

Módulo 3

Página

62 67

de la derivada, concavidad y

72

Tema 11 Integral indefinida de funciones básicas y compuestas

80

Tema 12 La integral y sus Tema 13 aplicaciones Tema 14 Tema 15

Integración por partes

86

Integración por sustitución trigonométrica

88

Integración por fracciones parciales

91

Integral definida

94

2

CUADERNO DE EJERCICIOS Estimado alumno, bienvenido a tu cuaderno de ejercicios Fundamentos Matemáticos de profesional, es importante que recuerdes y refuerces lo aprendido en la preparatoria, es por ello que te invitamos a que ejercites tus habilidades matemáticas. Para lograr un aprendizaje significativo, te pedimos realices los ejercicios que se te presentan en este cuaderno de trabajo en cada tema, tomando en cuenta las indicaciones y tiempos que te señale tu profesor, así como la forma de trabajar individual y colaborativa.

Te invitamos a participar activamente en la construcción de tu conocimiento personal y colectivo.

3

Tema 1 Fundamentos de álgebra Conjuntos Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado. Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:

I. Instrucciones: Relaciona las siguientes columnas, según su definición. Concepto a. Conjunto Infinito b. Por comprensión. c. Subconjunto

Definición ( ) Es el número de elementos diferentes que contiene un conjunto. ( ) Tienen un número conocido de elementos. ( ) Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud.

d. Conjunto Vacío

( ) Forma, cuando se describe a cada uno de los elementos. Ejemplo: A = {a, e, i, o, u}

e. Conjunto Unitario.

( ) Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos. Ejemplo: A = {x | x es una vocal}

f. Cardinalidad

( ) Cuando definimos un conjunto, si tomamos una parte de sus elementos y los agrupamos en un nuevo conjunto. ( ) Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia. ( ) Son aquellos que no tienen ningún elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.

g. Por extensión. h. Conjunto Finito

4

i. Conjunto Universo j. Conjuntos disjuntos o ajenos

( ) Es el conjunto que tiene un solo elemento. ( ) Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento. A pesar de no tener elementos se le considera como conjunto y se representa de la siguiente forma: { }

II. Instrucciones. Relaciona las siguientes columnas, el símbolo y su significado.

( ( ( (

Significado ) Subconjunto ) Todos los elementos de A menos los elementos de B ) Unión ) Pertenencia

e. 

(

) Todos los elementos de B menos los elementos de A

f. A  B g. B  A h. 

( ( (

) Intersección. ) Complemento de A ) No pertenencia.

a.  b.  c. AC o d. 

Símbolo

A

III. Instrucciones. Se dan los siguientes 3 conjuntos.

{x | x es una letra del alfabeto} B = {x | x es una letra perteneciente a la palabra Tecmilenio} C = {x | x es una vocal} A=

Determina, si es falso o verdadero las siguientes aseveraciones.

( B  C)  A b) C  A c) C   A d) ( BUC)  {e, i, o} e) ( B  C)  {e, i, o} f) C    A g) C     h) C    C i) ( B  C )  ( B  C ) C  A j) ( B  C )  ( B  C ) C   a)

_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____

IV. Instrucciones: Selecciona la opción correcta. 1) Vertebrados

Animales

Perros

5

El enunciado que explica el diagrama anterior es: a) Algunos perros son vertebrados. b) Todos los vertebrados son perros c) Todos los perros son vertebrados d) Algunos vertebrados son perros. 2)

Deportistas

Mujeres

El enunciado que explique el diagrama anterior es: a) Algunas mujeres son deportistas. b) Todas las mujeres son deportistas c) Todos los deportistas son mujeres d) Ninguna mujer es deportista. 3) El enunciado que indica la zona sombreada es: a) Los carros deportivos que son rojos y cuestan menos de $300,000 b) Los carros que son deportivos, que son rojos pero cuestan más de $300,000 c) Los carros que son rojos y que cuestan menos de $300,000 d) Los carros que son deportivos y cuestan menos de $300,000

V. Instrucciones. Resuelve el siguiente problema razonado empleando Conjuntos. 1) Se realizó una encuesta a 50 atletas sobre los deportes que les gusta, dando los siguientes resultados: 28 les gusta el futbol 22 les gusta el básquet 29 les gusta atletismo 14 les gusta el futbol y atletismo 10 les gusta el futbol y basquetbol 13 les gusta el basquetbol y atletismo 8 les gusta los 3 deportes.

6

Realiza el diagrama de Venn

a) ¿A cuántos les gusta solo el futbol? _____ b) ¿A cuántos les gusta solo el basquetbol? _____ c) ¿A cuántos les gusta solo atletismo? _____ d) ¿A cuántos les gusta exactamente dos deportes? _____ e) ¿Existe alguno que no le gusto alguno de estos 3 deportes? _____ 2) En una escuela secundaria se tiene la información de 860 estudiantes. 566 aprobaron Matemáticas 554 aprobaron Física 581 aprobaron Química 360 aprobaron Matemáticas y Física 379 aprobaron Matemáticas y Química. 387 aprobaron Química y Física 275 aprobaron las 3 materias (Matemáticas, Física y Química) Realiza el diagrama de Venn.

7

a) ¿cuántos aprobaron solo una materia? b) ¿cuántos aprobaron exactamente dos materias? c) ¿cuántos aprobaron al menos una materia? d) ¿cuántos no aprobaron ni una materia? e) ¿cuántos aprobaron cuando mucho dos materias?

_____ _____ _____ _____ _____

Álgebra.

Una expresión algebraica es una combinación de números, variables y operaciones.

Término de una expresión. Son las expresiones separadas por signo de más o menos.

Términos semejantes. Son aquellos que difieren solamente en sus coeficientes.

Sumas y restas. Números de signos iguales se suman y se coloca el mismo signo; signos distintos se restan y se coloca el signo del más grande.

Suma y resta de términos semejantes. I. Instrucciones: Simplifica las siguientes expresiones algebraicas. 1)

3a  2(4a  5b)  6b 

2)

 7a  5ab  4b  3(a  2b)  9b 

3)

3x  2 y  4  3( x  5 y  1)  6x 

4)

2x( x  7( x  9))  8x( x  1) 

5)

(6 y  3x)  2(9 y  x)  5x 

6)

 [2s(s  9)  3(s  1)  4] 

8

7)

2 5 x  y  2[ x  3 y ]  9  3 7

8)



3 2( y  3)  4( y  2)  5

Productos Notables 

Binomios conjugados



Binomios cuadrados



Binomios al cubo

(a  b)(a  b)  a 2  b 2 (a  b) 2  (a  b)(a  b)  a 2  2ab  b 2 (a  b) 2  (a  b)(a  b)  a 2  2ab  b 2 (a  b) 3  (a  b)(a  b)(a  b)  a 3  3a 2 b  3ab2  b 3 (a  b) 3  (a  b)(a  b)(a  b)  a 3  3a 2 b  3ab2  b 3

II. Instrucciones: Desarrolla los siguientes productos notables. Binomios conjugados 1)

( x  5)( x  5) 

2)

( y  8)( y  8) 

3)

3  3   x  y 2  x  y 2   7  7 

4)

(a 2 b  7b)(a 2 b  7b) 

5)

( x  3 y )( x  3 y ) 

6)

¿cuántos términos se tienen al desarrollar el producto de binomios conjugados? ________________________________________________

Binomios cuadrados. 1)

( x  7)( x  7) 

2)

(x  4) 2 

3)

(3 y  7) 2 

9

2

4)

4   a  2b   5 

5)

1  x  4y3    6 

2

6)

¿cuántos términos se tienen al desarrollar el producto de binomios cuadrados? ________________________________________________

Binomios al cubo. 1)

(2 x  y ) 3 

2)

(a  3b) 3 

3)

m    2p  2 

4)

(5x  2 y) 3 

5)

¿cuántos términos se tienen al desarrollar el producto de binomios al cubo? ________________________________________________

3

Factorización. 

Factor común

Se obtiene el máximo común divisor, se saca la variable que todos los términos tengan en común, es la variable con el menor exponente. Ejemplo: Expresión algebraica

4a b  6a b  2a b 3

2

4

2

Factor común 2

2a b

Expresión Factorizada

2a 2 b(2ab  3a 2  1)

10

Cuadráticas



Cuadrática Incompleta Mixta. c  0  ax 2  bx

El término independiente vale cero

Siempre se Factoriza por factor común. Expresión algebraica

Factorización

5x(2 x  3)

10 x 2  15 x



Cuadráticas Incompleta Pura. Son dos términos cuadráticos con signo negativo en medio. Y raíces cuadradas perfectas. b  0  ax 2  c 2 Expresión algebraica

16 a  9b 2

2

Factorización

(4a  3b)(4a  3b)

a 1 

Cuadrática completa.

x 2  bx  c

El término cuadrático se obtiene su raíz cuadrada y se reparte. Buscar 2 números que multiplicados me den el término independiente (c), pero sumados o restados me den el término lineal (b). Expresión algebraica

x  5x  6 2

Cuadrática completa

a 1

Factorización

( x  6)( x  1)



ax2  bx  c

A este tipo de trinomios cuando no tiene raíces cuadradas perfectas y tienen coeficiente de

x 2 diferentes de 1 se le conoce como factorización cruzada.

11

Ejemplo: 1° Obtengo todos los posibles factores del 1er y 3er término.

2 6x  5x  4  6 x 3x

4 2

x 2x

1 2

2° Hago las posibles combinaciones de multiplicación cruzada hasta que el resultado de éstas me den sumadas o restadas  5 x Por lo que la combinación correcta es: Observa cómo deben quedar los signos y regresarlo a quien lo produjo.

3x

4

2x

1

3x  8x =======

 5x

Por lo que los factores quedan:

(3 x  4)( 2 x  1)

III. Instrucciones. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas. Factor común. Expresión Algebraica 3 4 5 2 2 2 a) 6 x y  2 x y  14 x y z  2 x y 

4

 16n

2

Factorización



b)

8m

c)

2 3 3 5ab  10a b  15a b 

d)

5 4 3 6 x  3 x  12 x 

e)

2 3 8 x y  9 xy  3 xy 

12

Cuadrática Incompleta Mixta. Expresión algebraica 2 500a  100a  a)

2

Factorización

 9b 

b)

8b

c)

18 z

d)

2 2 28 a b  7 ab 

e)

14 m

2

2

 9z 

 7m 

Cuadrática Incompleta Pura. Expresión algebraica a)

25 2 x  49  16

b)

64a 2 

c)

49 z 2  9 

36

Factorización



16

Expresiones que se aplica la factorización de cuadrática pura. Recuerda simplificar a su mínima expresión.

2

b

2



d)

9a

e)

6 4 100m  49n 

f)

16 y 4  625 

g)

x 4  81 

13

Cuadrática completa

a 1

Expresión algebraica

2

x6

2

 5x  6 

2

 7x  6 

2

 5x  6 

2

 6 x  16 

a)

x

b)

x

c)

x

d)

x

e)

x

Cuadrática completa

Factorización

a 1

Expresión Algebraica a)

4x 2  11x  3

b)

2x 2  x  10

c)

3x 2  5x  2

d)

5x 2  14 x  3

e)

6x 2  13x  5

Factorización.

Recuerda que para resolver una cuadrática Se puede emplear la formula general de las cuadráticas.

x

 b  b 2  4ac 2a

14

IV. Instrucciones. Resuelve las siguientes cuadráticas empleando la fórmula general. Expresiones algebraicas a)

x  6x  8

b)

x 2  6x  5

c)

y 2  10 y  34

d)

y 2  14 y  47

e)

6x 2  13x  5

f)

2x 2  3x  1

Solución.

2



Suma y Resta de Cubos.

La fórmula para la suma de cubos es: La fórmula para la resta de cubos es:

a 3  b 3  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) a 3  b 3  (a  b)(a 2  ab  b 2 )

V. Instrucciones. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas. Expresión Algebraica a)

8x3  y3 

b)

27 m 3  8 n 3 

Factorización

15

c)

64 p 3  27m3 

d)

1000 x 3  125 y 3 

VI. Instrucciones. Despeja el valor de la incógnita de las siguientes ecuaciones lineales. Ecuación a) 7 x  11  10

b)

5 x  8  12  3x

c)

9  6a  18

d)

3 y  15  18  7 y

e)

5x  2  4x  9 7

f)

6  8 x 3x  7  5 2

g)

11b  1 

h)

4 y y2  5 5 3

Solución (incluye el procedimiento)

2 b8 3

16

Tema 2 Funciones Decimos que la variable y está en FUNCIÓN de la variable x, si se cumple que cada valor de x se relaciona con un ÚNICO valor de y. A la variable “y” se le llama variable dependiente y a la variable “x” se le llama variable independiente. La forma de denotar esta relación funcional es: y = f (x) que se lee como “y está en función de x” o “y depende de x”.

Representación de funciones.

Por Conjuntos A B C

1 2 3

Tabla de valores X F(x)

A 1

B 2

C 3

Gráficas Regla de la verticalidad

Ecuación.

y  x 2  2 x  15 y  5sen(2x)

Dominio de la función: Son los posibles valores que puede tomar la variable independiente, de una función.

Rango de la función: Son los posibles valores que puede tomar la variable dependiente, de una función.

17

I. Instrucciones: Coloca la palabra función o relación en las diferentes expresiones. En caso de ser funciones, determina el dominio y rango. a)

b)

A B C

A B C

1 2 3

Función/Relac. _________

Función/Relac. _________

Dominio: _______________

Dominio: _______________

Rango: _________________

Rango: _________________

c)

1 2

d) 1 2 3 4

A B C

A B C

Función/Relac. _________

Función/Relac. _________

Dominio: _______________

Dominio: _______________

Rango: _________________

Rango: _________________

1 2

e) Mes

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Consumo (m3)

12

14

15

15

16

16

Función/Relac. _________ Dominio: _______________ Rango: _________________ f) País Capital

México Distrito Federal

E.U. Washington

Canadá Ottawa

Inglaterra Londres

Buenos Aires.

Función/Relac. _________ Dominio: _______________ Rango: _________________

18

g) A={(a,1)(a,2)(b,3)(c,4)}

Función/Relac. _________ Dominio: _______________ Rango: _________________

h) Una función “f” cuyo dominio es el conjunto: D f  {2,1,0,1,2} está definida por

f ( x)  4x  1 Escribe f como un conjunto de pares ordenados. __________________________________________________________ Escribe la imagen o Rango de “ f ”: ________________________

    , , ,  ,2  está definida por 4 3 2 

i) Una función “f” cuyo dominio es el conjunto: D f  

f ( x)  2sen( x  3) Recuerda emplear radianes donde intervienen funciones trigonométricas. Escribe f como un conjunto de pares ordenados. __________________________________________________________ Escribe la imagen o Rango de “ f ”: ________________________

II. Instrucciones: En las siguientes gráficas determina si son funciones o relaciones. En caso de ser función determina su dominio y su rango. a) Función/Relac. _________ Dominio: _______________ Rango: _________________

19

b) Función/Relac. _________ Dominio: _______________ Rango: _________________

c) Función/Relac. _________ Dominio: _______________ Rango: _________________

d) Función/Relac. _________ Dominio: _______________ Rango: _________________

Una variable es discreta cuando solo puede tomar valores aislados, es decir, sus valores pueden enumerarse. Por ejemplo: Si la variable representa el número de autos vendidos, los valores que puede tomar se representan mediante el conjunto { x donde x = 0, 1, 2, 3, . . .} Una variable es continua, cuando puede tomar cualquier número (incluso decimales y fracciones), en este caso sus valores NO se pueden enumerar; la forma de representarla es con un intervalo, y se escribe de la siguiente forma: x 𝛜 (a, b), el intervalo puede ser abierto o cerrado, por ejemplo:

20

Peso de los alumnos de la clase de Fundamentos Matemáticos (50,100) III. Instrucciones: En los siguientes enunciados determina el tipo de variable que está involucrada si es de tipo discreto o continuo. a) La altura de las plantas de una parcela experimental __________ b) El ingreso que reciben los trabajadores de una fábrica.

__________

c) Los días de vacaciones que toman las personas.

__________

d) El número de personas que nacen por año.

__________

e) La distancia que recorres al asistir a clase.

__________

IV. Instrucciones: Observa el siguiente gráfico obtenido del INEGI. http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/asistencia.aspx?tema=P

a) ¿Qué representa la variable independiente?: _______________________________________________________________ b) ¿Qué representa la variable dependiente? _______________________________________________________________ c) ¿Cómo es el crecimiento de 1970 a 1990 comparado con lo que ocurre de 1990 a 2010? _______________________________________________________________ V. Instrucciones: Determina el dominio de las siguientes funciones. a.

f  x   3x 2  9 x  6

b.

f x  

x3  4x x6

c.

f x  

x 3  5x x 2  3x

21

d.

f x  

x2

e.

f x  

x2  9

f.

f x  

x5 x 1

g.

f x  

x3

h.

f x   senx

x4

x2

22

Tema 3 Función básicas Forma Ge ne ral

Ax  By  C  0

Pe ndie nte - Inte rse cción

y  mx  b

Punto - Pe ndie nte

y  y 0  m( x  x 0 )

Función Lineal

m

Pe ndie nte

y 2  y1 x 2  x1

I. Instrucciones: Determina la pendiente en base a la información dada. a) A(1,3) B(5,2)

b) A(4,2) B(3,1)

c) A(5,0) B(3,7)

d) 6x  2 y  10  0

e)

y

2x  9 3

f)

2 6 x  y  11 3 7

II. Instrucciones: Determina la ecuación en forma general ( Ax  By  C  0) a partir de la información dada. a) A(1,2) B(3,2)

b) A(4,7)

B(0,2)

23

m c) Determina la ecuación y gráfica.

Si se tiene:

d) Determina la ecuación y gráfica.

x y  1 4 5

3 2

b  5

III. Instrucciones. Relaciona las siguientes gráficas con la ecuación que le corresponda a) 2 x  y  5  0 b) 2 x  y  5  0 c) 2 x  y  5  0 d) 2 x  y  5  0

(

)

(

)

(

)

(

)

24

IV. Instrucciones. La siguiente gráfica representa la distancia recorrida por un vehículo en función del tiempo, el cual parte del km 50. ¿En qué km estará después de 5 hrs de recorrido? ___________________ ¿Logrará llegar al km 1000 antes de 10 hrs? _____________________ Km

Hr

V. Instrucciones. Resuelve los siguientes problemas razonados. 1) En un carpintería que fabrica puertas principales de casas se tiene gastos fijos de $ 8,000 por semana y cada pieza cuesta producirla $650. a) ¿Cuál es la función “Costo de producción”?

b) Cada pieza tiene un precio de venta de $1150 ¿Cuántas puertas se deben vender cada semana para igualar los gastos?

2) La compañía de teléfono cobra una renta mensual del equipo en $550 y por cada llamada realizada cobra $ 6 a) ¿Cuál es la función del cobro telefónico mensual?

b) Si se realizaron al mes 75 llamadas ¿cuánto deberé pagar?

c) Si no debo exceder los gastos telefónicos en $ 800 por mes ¿cuántas llamadas debo realizar como máximo?

3) Hace 4 años compré un carro con valor de 320,000, actualmente tiene un costo de $210,000, si se considera una depreciación lineal: a) ¿Cuánto se deprecia (la razón de cambio) el auto cada año? ____________________

25

b) Determina la ecuación que indique el valor del carro en función del tiempo. _________________________ c) Dentro de 2 años más ¿cuánto va a valer el carro? ____________________________________________________

4) Un terreno aumenta cada año su valor, en forma lineal el 6% de su costo inicial. Si inicialmente costó $ 1, 500,000.00 a) ¿cuánto es lo que aumenta cada año el terreno? ___________________ b) Determina la ecuación que indique el valor del terreno en función del tiempo. _________________________ c) Dentro de 3 años ¿cuánto costará el terreno? _______________________

5) La siguiente tabla muestra las ventas de botellas de agua de una embotelladora. Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Ventas 42 44 46 50 55 60 65 (miles de pesos)

Agosto 80

a) ¿Cómo fue el comportamiento de las ventas de las botellas en los meses de enero a Marzo? ______________________________________________________ b) ¿Cuál fue la razón de cambio en las ventas de los meses de Julio a Agosto? _________________________________________________________________

Función Potencia 

Ejemplo: Expresión

y  5x

3/ 4

Cuando es un solo término formado por la multiplicación de una constante y una variable elevada a una constante.

y  kx

n

Coeficiente “K” 5

Potencia 3/4

Función Polinomial  y  a n x n  a n 1 x n 1  .....  a0

Ejemplo: Expresión

y  3x 4  2 x  5

Coeficiente Principal 3

Grado de la función cuarto

Es la suma o resta de funciones potencias con exponente positivo. No. de curvas Tres

Trayectoria de la última rama. Hacia abajo

26

VI. Instrucciones. De las siguientes gráficas determina lo que se te pide: Grado de la función: ________________ Signo del coef. Principal: ____________ No. de curvas: ____________________ Raíces o ceros: ___________________ Factores: ________________________

Grado del polinomio: _______________ Signo del coef. Principal: ____________ No. de curvas _____________________ Raíces o ceros: ___________________ Factores: ________________________

Grado del polinomio: ________________ Signo del coef. Principal: ____________ No. de curvas: ____________________ Raíces o ceros: ____________________ Factores: _________________________

27

BASE

"a"

y  ba x / n

a  Factor de cambio b  Cantidad Inicial x  Re presenta el tiempo n  periodo de observación

Función Exponencial  BASE

"e"

y  berx

e  Número de Euler b  Cantidad Inicial r  Razón de crecimiento o decrecimiento x  Re presenta el tiempo

PROPIEDADES DE LOGARÍTMOS. Estas propiedades se aplican tanto para logaritmo natural como para logaritmo común.

log( ab)  log a  log b a log    log a  log b b log a r  r log a

(1) (2) (3)

(5)

ln( e)  1

( 6)

log 10  1

Factor de cambio, cuando nos dan una tasa o cambio porcentual “r”

a  1 r a  1 r

Ejemplo No.1

Cuando la función crece. Cuando la función decrece

Función Exponencial base “a”

Función

Cantidad inicial (mil)

Tasa o ritmo de crecimiento

Comportamiento.

P(t )  1.5(1.04) t

1.5

4%

Crece

P(t )  2.4(1.033) t

2.4

3.33%

Crece

P(t )  1.8(0.93) t

1.8

7%

Decrece

28

Ejemplo No. 2 Función Exponencial base “a” Determina la ecuación de la siguiente función exponencial Si se sabe que pasa por los puntos indicados en la gráfica.

(2,1.5)

(2,6)

1° Evaluando ambos puntos en nuestro modelo exponencial.

1.5  ba

6  ba

2

2

y  ba x

2° Despejando en ambas ecuaciones para “b”

b  1 .5 a 2

b

6 a2

3° Igualando ambas expresiones

1 .5a 2 

6 a2

4° Empleando un poco de álgebra y despejando la variable “a”

a  2  1.4142 5° Una vez obteniendo el valor de “a”, tomamos cualquiera de las dos expresiones obtenidas a partir de los puntos, para despejar “b” Tomamos la del punto (2,6) por verse más sencilla para despejar.

6  ba 2  6  b( 2 ) 2  b  3 6° Por lo que finalmente la ecuación queda:

y  3( 2 ) x

29

Solución de funciones exponenciales.

92  53 x  4 log 92  log 53 x  4 log 92  (3 x  4) log 5 log 92  3x  4 log 5 2.8095  4  3 x 6.8095 x 3 x  2.2698

Se aplica logaritmo en ambos lados de la igualdad. Propiedad No. 3

Despejamos el valor de “x”

VII. Instrucciones. Completa el siguiente cuadro con la información solicitada. Función

Cantidad inicial (mil)

Tasa o ritmo de crecimiento

Comportamiento.

4.5

9%

Crece

8

12%

Decrece

P(t )  2.3(1.05) t P(t )  (1.015) t P(t )  3(0.87) t

VIII. Instrucciones. Determina la ecuación de la siguiente función exponencial. Si se sabe que pasa por los puntos indicados en la gráfica.

(0,1)

(5,7.59)

IX. Instrucciones. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. a)

81  3 x

30

b)

81  3 x  5

c)

8 x  16

d)

216 x  2 x 2 4

e)

e x 5  x  8

31

Tema 4 Funciones Trascendentales y su inversa I. Instrucciones. Determina si es función lineal o exponencial (realiza los cálculos que apoyen tu conclusión). Recuerda los modelos de ambas

Modelo Lineal

Modelo Exponencial Base “a”

y  mx  b ó y  y 0  m( x  x0 ) m

y 2  y1 x 2  x1

a) X Y

2 14

4 12

6 10

8 8

b) X Y

7 8

9 32

9 128

11 512

c) T(min) C(pesos)

2 50

d) X(mes) Y(Utilidad en miles de pesos)

6 130

1 5

10 210

3 125

y  ba ( x / n ) a

y2 y1( anterior)

Modelo Exponencial Base “e”

y  be rx

14 290

5 3125

7 78125

32

II. Instrucciones. Problemas razonados a) Se tiene una inversión inicial de $100,000 con un interés al 5% anual 

Determina la ecuación que represente este hecho: ____________________________________



¿Cuánto dinero se tendrá en la inversión, después de 4 años? ______________________________________________

b) Una población de 5,800 habitantes crece a razón de 2.5% anual. 

Determina la ecuación que represente este hecho. ________________________________________



¿Cuánta población habrá dentro de 5 años? _____________________________________________

c) En una reserva ecológica viven actualmente 560 tigres y va decreciendo a razón del 2% anualmente. 

Determina la ecuación que represente este hecho. ________________________________________



¿Cuánta población habrá dentro de 2 años? _____________________________________________

d) Se tiene una colonia de bacterias, que crece en forma continua, en la cual actualmente cuenta con 300 de ellas, después de 2 hrs se triplican. 

Determina la ecuación que represente este hecho. ________________________________________



¿Cuántas bacterias habrá después de 4 horas? ____________________________________________

33

Funciones Trigonométricas. Comportamiento de las funciones Trigonométricas. III. Instrucciones. Evalúa las siguientes funciones trigonométricas, y obtén la coordenada completa, observa el ejemplo: Recuerda emplear radianes cuando estén involucradas funciones trigonométricas.

     0.9445 3

y  sen( x  4)

Encuentra f 

 cos x  3

Encuentra f 

b)

y  cos( x)  5

Encuentra f 

c)

y  5senx  3

Encuentra f 

d)

 2  y  3 tan( x  2)  3 Encuentra f    7 

e)

 5 y  2 cos(x  4)  1 Encuentra f   3

a) y

  ,0.9445  3 

 

   4    3

 3    5 

  

IV. Instrucciones. De las siguientes gráficas, determina ¿cuál es la que le corresponde? Graf. 1

a

b

( ) y  senx ( ) y  sen( x  3) ( ) y  sen( x )  3 ( ) y  sen( x )  3

c

d

34

Graf. 2

a

( ) y  cos x

b

( ) y  cos( x  5) ( ) y  cos( x )  5 ( ) y  cos( x )  5

c

d

Graf. 3

c

b a

e

( ( ( ( (

) Logarítmica ) Cuadrática ) Trigonométrica ) Lineal ) Exponencial.

d

V. Instrucciones. Determina la función inversa de las siguientes ecuaciones. a)

y  3x  8

b) y 

7x  8 4 x  10

c) y 

5  2x 3x  9

d) y  e x 5

e)

y  log( x  9)

35

Tema 5 Límites y límites al infinito Se dice que una función tiene límite en un valor determinado "a" si cumple con las siguientes 3 condiciones:

lim

f ( x)  L

Se lee “El límite unilateral por la derecha de "a" existe y vale L

lim

f ( x)  L

Se lee “El límite unilateral por la izquierda de "a" existe y vale L

lim

f (x)  lim f ( x)  L Se lee ambos límites unilaterales son iguales y valen L

x a 

x a 

x a 

x a 

Si viene la expresión

lim f ( x) , (sin signo en el exponente de "a" ), nos están x a

preguntado por lo que sucede alrededor de "a" , es decir debemos analizar las 3 condiciones anteriores para definir el límite de la función cuando se acerca el valor de “a”.

Ejemplo.

a)

lim f ( x)  50 x 10 

b)

lim f ( x)  0 x 10 

c)

lim f ( x)  No existe x 10

36

I. Instrucciones: Determina si existe o no el límite en las siguientes situaciones. 1) Voy a ir a una fiesta y le digo a mi mamá si me da permiso de llegar a la 1:00 de la madrugada, ella me dice que tengo permiso de llegar a casa a las 12:00 de la noche, no más tarde. Entonces se me ocurre pedirle permiso a mi papá y como el sí es muy consentidor me dice que puedo llegar a la 1:00 de la madrugada. a) ¿Existe un límite de permiso de mis padres (ambos) para llegar a casa? b) ¿Existe un límite de permiso de mi madre? c) ¿Existe un límite de permiso de mi padre? 2) Mi primo vive por la plaza Mariano Escobedo ubicada en el Centro de la ciudad de Monterrey, y yo vivo enfrente del Parque la Pastora ubicada en la ciudad de Guadalupe N.L. y queremos ir a pasear al parque Fundidora, por lo que nos quedamos ver en el acceso que se encuentra marcado con un punto amarillo en el plano siguiente.

a) ¿Existe un límite en la trayectoria de ambos para llegar al parque fundidora? __________ ¿cuál sería? _________

37

II. Instrucciones: Determina los límites que se te piden en base a las gráficas que se presentan. Gráfica 1

a)

lim f ( x) 

b)

lim f ( x) 

e)

lim f ( x) 

h)

x  3 

d)

c)

lim f ( x) 

f)

lim f ( x) 

i)

lim f ( x) 

c)

x  3 

x4

g)

lim f ( x) 

x  3

lim f ( x) 

x4

x  5

x 5

lim f ( x)  x4

lim f ( x)  x0

Gráfica 2

a)

lim f ( x)  x 5

b)

x 5

lim f ( x)  x 5

38

Gráfica 3

a)

lim f ( x) 

b)

d)

lim f ( x) 

b)

x0

lim f ( x) 

c)

lim f ( x) 

c)

x 5

lim f ( x)  x0

x0

x  10

lim f ( x)  x 10

III. Instrucciones: Encuentra los siguientes límites. a) lim x 2  1  x 1

b) lim x 2  x  6  x 0

c) lim 25  x 8

d) lim m  x k

e) lim mx  x k

f) lim x 3

x 3  x6

39

g) lim t 3

t 3  t2  9

x2  5x  6  x 2 x 2  3 x  2

h) lim

t3 1  t  1 t  1

i) lim

4h h 6 h  6

j) lim

k) lim

y 4

y 2  16  y4

40

En ocasiones, encontrar el límite de una función requiere otros procesos diferentes a una simple factorización. Se pueden resolver racionalizando o el proceso de aproximación. Ejemplo:

lím

x  3

x 1  2 3 1  2 0    indefinido x3 33 0

Al evaluar observamos que nos da cero en el denominador. Por lo que debemos analizar lo que pasa alrededor del No. 3 antes de tomar una decisión. Análisis por racionalización. Se vuelve evaluar la función y observamos que ya se quitó la indeterminación.

Se multiplica por su conjugado.

lím

x  3

x 1  2  x3

x 1  2 x 1  2



x 1 4 ( x  3)[ x  1  2]



x3 ( x  3)[ x  1  2]



1 x 1  2



1 3 1  2



1 4

Se realizan operaciones algebraicas. Análisis por aproximación. Se debe evaluar alrededor del punto de análisis, con valores muy cercanos.

lím

x  3

x 1  2 x3

Analizando cerca del No. 3 por la derecha (límite unilateral) lím x  3

f (3.001) 

x 1  2 3.001  1  2   0.2499 x 3 3.001  3

Analizando cerca del No. 3 por la izquierda (límite unilateral) lím  x  3

f (2.999 ) 

x 1  2 x3

x 1  2  x3

x 1  2 x3

2.999  1  2  0.25 2.999  3

Por lo que concluimos que el límite por la derecha y por la izquierda tiende a ser el mismo  0.25 o

1 que fue el resultado que nos dio por el método de racionalización. 4

41

IV. Instrucciones. Encuentra los siguientes límites.

(4  h) 2  16 h  0 h

a) lím

b) lím

x 2

c) lim

x 1

d) lim

x 9

e) lim

x 9

x2 2 x2

x 1 x2 1

x7 4 x9

4 x  36 x 3

42

Límites al infinito. Cuando tenemos la expresión

lim f ( x)  c , decimos que son límites al infinito, en otras x

palabras nos están preguntando si la función tiene asíntotas horizontales. Para encontrar el valor de “c” (asíntota horizontal) se puede encontrar por dos formas, la primera es analíticamente, y la segunda es a través del “teorema de las asíntotas horizontales”. Ejemplo, forma analítica. Encuentra la asíntota horizontal de la función: y 

3x  6 x 2 recuerda que si te preguntan 4  3x 2

por Asíntota Horizontal es tanto como que la expresión esté de la siguiente forma:

3x  6 x 2 lim 2 x  4  3 x

1° Elige la variable con mayor exponente y divides cada término de la expresión, entre esta variable.

2° Simplifica la expresión en forma algebraica.

3° Sustituyes el valor de x  

En nuestra expresión la variable con mayor exponentes es: x 2 , por lo que debemos dividir cada término de la ecuación entre este valor.

3x 6 x 2  2 2 x x y 4 3x 2  2 x2 x 3 6 y x 4 3 x2 3 6  y 4 3 2 Cualquier operación con "" da como resultado "" excepto :

Número 0  4° Finalmente se evalúa la función. 06 y  2 03 3x  6 x 2 Por lo que concluimos que la expresión. y  tiene una asíntota horizontal en 4  3x 2 y  2

43

La otra forma es a través del teorema de “las asíntota horizontales”, el cual es el siguiente. En una función racional de la forma: f ( x ) 

ax m bx n

Si m  n

El exponente mayor en el numerador

y  no existe .

Si m  n

El exponente mayor en el denominador

y0

Si m  n

Ambas funciones tienen el mismo grado

y

a Se divide el coeficiente b

principal del numerador entre el coeficiente principal del denominador. (Se toma en cuenta los signos de los coeficientes principales)

Por lo que nuestro ejemplo anterior. y 

3x  6 x 2 , vemos que ambas funciones son de segundo 4  3x 2

grado, por lo que sería el tercer caso y debemos dividir los coeficientes principales de ambas funciones.

y

6  2 3

Por lo que observamos que el resultado es el mismo por ambas formas. V. Instrucciones: Determina los límites que se te piden en base a la gráfica que se presenta. Gráfica 1

a)

lim f ( x)  x

b)

lim f ( x)  x  

44

Gráfica 2

a)

lim f ( x)  x

b)

lim f ( x)  x  

VI. Instrucciones. Encuentra los siguientes límites al infinito, recuerda que es equivalente a preguntar si existe alguna asíntota horizontal en la función. a)

3 x

lim x  4  x 

b)

c)

x 2  18 x  lim x5 x 

lim x x 

x9  3  27

d)

7  4x3  lim 3 x  8 x  125

e)

lim x  x

3

x 

45

VII. Instrucciones. Determina las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones. Observa el ejemplo: Función

x 2  3 x  10 y x 2  25

Asíntota vertical Para la asíntota vertical debo ver si es un hueco o una asíntota en el denominador. Por lo que debemos Factorizar la expresión.

y

( x  2)( x  5) ( x  5)( x  5)

El factor que se elimina es un hueco ( x  5)  x  5 Es un hueco. El factor que NO se elimina en el denominador produce una Asíntota Vertical. ( x  5)  x  5 Es una Asíntota Vertical. a) y 

x 2  6x  7 x 2  x  12

b) y 

x 3  8x x

c) y 

27  3x 2 x2 1

d) y 

x8 x2  9

e) y 

x3  8 x2  4

Asíntota Horizontal. Empleando el teorema de las asíntotas horizontales, observamos que se presenta el tercer caso, es decir ambas potencias son iguales, por lo que se deben dividir los coeficientes principales del numerador entre el denominador.

y

1 1 1

46

Tema 6 Definición de derivada e interpretación Empecemos con definir que una derivada es una razón de cambio instantánea. En otras palabras, es analizar el comportamiento de un suceso en un instante.

El siguiente dibujo nos muestra la trayectoria de Monterrey N.L. a Allende N.L.

Los Cavazos

Allende

Monterrey La distancia aproximada entre Monterrey y Allende es de 50 km, ¿cuál será la velocidad promedio que realicé en mi auto, si me tardé en llegar 40 minutos? Recordando la fórmula de Velocidad tenemos que:

V

d d 2  d1 50 km  0    1.25km / min  75 Km / hr t t 2  t1 40 min  0

¿Te recuerda a alguna fórmula matemática?

A mitad de camino tenemos un lugar llamado Los Cavazos ¿cuál será la velocidad que llevé en el preciso instante al pasar por ahí? Tendría que obtener la velocidad de tal manera que el periodo de observación del tiempo, fuera en un intervalo sumamente pequeño ( x ) para que la velocidad fuera la instantánea. Observa el dibujo siguiente. Velocidad instantánea

Allende

Moliendas Velocidad promedio

Observa: La velocidad instantánea es una recta tangente. Mientras que la velocidad promedio es una recta secante.

x

Monterrey

x  0

La ecuación que nos daría esta información es:

lim x  0

f ( x  x)  f ( x) x

Esta ecuación es la fórmula de la derivada por límites. Una forma muy simple de encontrar el valor instantáneo sería darle un valor muy pequeño al x

47

I. Instrucciones. Determina el valor del límite o razón de cambio instantánea de las siguientes funciones en el valor de “x” que se pide. Toma el valor de x  0.001 Observa el ejemplo: Función a) y  5e x 4 , en x  2

Derivada por límites

f (2) 

5e ( 2.001 4)  5e ( 24)  0.677 0.001

b) y  4 x 2  3x  8 , en x  1

c)

y  ln( x  5)

d) y  x x  4

e)

y  3sen( x  8) , en x 

 4

Nota: recuerda emplear radianes. En ocasiones es muy útil tener una fórmula que indique la derivada de una función en forma específica y solo sustituir el valor para diferentes puntos. Ejemplo: Determina la derivada de la función: f ( x)  3x 2  x  4 , en los puntos:

x  2, x  0, x  1 Como son varios puntos es preferible tener primero la función derivada, por lo que vamos a emplear la fórmula de derivación por límites.

lim x  0

f ( x  x)  f ( x) x

Se lee: La función incrementada menos la función original, entre el incremento.

48

Función incrementada

lim x 0

Función original

Proceso algebraico

3( x  x) 2  ( x  x)  4  (3x 2  x  4) 3( x 2  2 x  x  x 2 )  ( x  x)  4  (3x 2  x  4)  x x Simplificación

3x 2  6 x  x  3x 2  x  x  4  3x 2  x  4 6 x  x  3x 2  x  lim x x x 0

x(6 x  3x  1)  6 x  3x  1  6 x  1 lim x x 0 Por lo que la función derivada es:

Factor común y eliminación con el denominador. Evaluamos x  0

f ( x)  6x  1

Ahora sí, podemos dar los valores exactos de la derivada para los puntos pedidos:

f (2)  6(2)  1  11

f (0)  6(0)  1  1 f (1)  6(1)  1  7 Recuerda que la derivada en un punto específico de la función indica el valor de la pendiente tangente en ese punto. Por lo que podemos decir. Que en el punto x  2 , la pendiente es negativa y tiene un valor de 11. Observa la siguiente gráfica de la función f ( x)  3x 2  x  4 y observa el valor de la derivada obtenidos de los puntos.

x  2, x  0, x  1

f (2)  6(2)  1  11

 Pendiente tangente negativa

f (0)  6(0)  1  1

 Pendiente tangente positiva

49

f (1)  6(1)  1  7

 Pendiente tangente positiva

¿Corresponden con los valores numéricos obtenidos con la derivación por límites?

II. Instrucciones. Empleando la derivación por límites obtén la derivada de las siguientes funciones. a) f ( x)  x 2  4 x  2

en los puntos

x  4 , x  0 , x  5

3 x

en los puntos

x  8 , x 

c) f ( x)  x 3  4 x  3

en los puntos

b) f ( x) 

1 2

x  6, x  0, x  2

50

Ya aprendimos que la derivada en un punto nos da geométricamente la pendiente tangente de la función en ese punto. También es de suma importancia obtener la ecuación de ésa recta tangente que se forma, por lo que recurriremos a la ecuación punto-pendiente para obtener dicha recta. De nuestro ejemplo anterior, ahora nos piden encontrar la recta tangente en x  2 Recordando la función es: f ( x)  3x 2  x  4 Su derivada por límites es:

f ( x)  6x  1

Su pendiente tangente en x  2 es:

f (2)  6(2)  1  11

Para obtener la ecuación de la recta tangente, requiero de un punto y la pendiente. Del punto solo tengo el valor de “x”, para obtener su coordenada completa requiero evaluar ese valor de “x” en la función original para obtener su coordenada en “y”. f (2)  3(2) 2  (2)  4  10 Por lo que la coordenada del punto es: (2,10) Ahora si recordando la ecuación de la recta punto-pendiente: y  y 0  m( x  x0 ) Y sustituyendo valores tenemos:

y  10  11( x  (2)) y  10  11( x  2) y  10  11 x  22 y  11 x  22  10 y  11 x  12 Por lo que la ecuación de la recta tangente en el punto x  2 es

y  11x  12

III. Instrucciones. Determina de las siguientes funciones lo que se te pide. 1) f ( x)  4 x 2  8 a) La derivada por límite

f (x)

b) La pendiente tangente (m) en x  3

c) La recta tangente en x  3

51

2) f ( x)  3x 2  4 x  5 a) La derivada por límite

f (x)

b) La pendiente tangente (m) en x  1

c) La recta tangente en x  1

3) f ( x) 

x 3

a) La derivada por límite f (x) Una vez acomodada la función de la derivada por límites, te recomiendo que racionalices con el conjugado de la función. (Observa el ejemplo del Análisis por racionalización dentro del tema No.5)

b) La pendiente tangente (m) en x  4

c) La recta tangente en x  4

52

Tema 7 Reglas de derivación de funciones básicas La derivación por límites puede ser algo tedioso, por lo que se tienen los teoremas de derivación de funciones básicas. Primero vamos a definir lo que es una función básica. Una función básica es aquella función, en la cual su argumento es una simple “x”, en cada término. El argumento es la variable independiente de la función, que por lo general llamamos “x”, pero también podemos llamar; t, s, p….

A continuación vienen algunas reglas y propiedades de la derivada de una función.

Propiedades

Fórmulas básicas

Suma y resta de términos

Función constante.

Si

Si

entonces



donde C = constante

Función Polinomial. Coeficiente multiplicando a una función.

Si

Si

Caso particular de la Función Polinomial.

entonces

si





Función logaritmo natural. Regla de la multiplicación. Si

entonces

y  f ( x)  g ( x)  g ( x)  f ( x)

Si



Función exponencial base “e” Si



Función exponencial base “a”

Regla de la división.

Si

entonces

g ( x )  f ( x )  f ( x )  g ( x ) y  [ g ( x )] 2

Si Donde " a " es una constante positiva.



Función Trigonométrica. Si



Si



53

Las siguientes son diferentes formas de indicar la derivada de una función.

dy dx

f (x)

Dx y

*Nota: Para poder emplear la derivada de la función polinomial debemos cumplir 3 condiciones.  Términos separados  Simplificación de variables  Variables arriba.

Ejemplo: Deriva la función. f ( x) 

4 x 5  8 x 3  6 x  12 6x

La anterior es una función racional, que para poder emplear la derivada de la función polinomial debemos cumplir las 3 anteriores condiciones descritas. 1) Términos separados.

f ( x) 

4 x 5 8 x 3 6 x 12    6x 6x 6x 6x

2) Simplificación de variables

f ( x) 

2x 4 4x 2 2  1 3 3 x Ahora si estamos listos para poder emplear el teorema de las derivadas para funciones polinomiales.

3) Variables arriba

f ( x) 

2x 4 4x 2   1  2 x 1 3 3 Derivada  f ( x) 

8x 3 8x   2 x 2 3 3

 f ( x) 

8x 3 8x 2   3 3 x2

Se acomoda para dejar variables con exponentes positivos.

54

I. Instrucciones: Deriva las siguientes funciones. En funciones Algebraicas, emplea solo la función potencia para derivar, es decir no uses ninguna otra regla. Funciones a) f ( x)  12

Derivadas

b) f ( x)  4 x 3  5x 2  8x  10

4 x3

*c) f ( x)  6 x 2 

*d) f ( x)  (2 x 2  5x)(4 x 3  6 x 2 )

e) f ( x)  8e x  9 x 2  6

f) f ( x)  7  2 x

*g) f ( x)  6

3

x  8x 2  6

4

*h) f ( x )  2 x 3 

x

i)

f ( x)  3sen( x)

j)

f ( x)  9 cos(x)

k) f ( x)  8 x  3x  4 x  2 3

2

*l) g ( x)  5 x  4

3 9 x2

55

*m) h( x) 

2 4  2  5x  3 3 5x x

*n) f ( x)  5 x 3

*ñ) f ( x ) 

*o) f ( x ) 

*p) f ( x ) 

x ( x 2  4 x)

7 3

x5

9x 2  5x 3 x

q) g ( x)  (3x  9 x) 3

2

Sugerencia, desarrolla el binomio.

3  r) p ( x )   x  9  2 

2

Sugerencia, desarrolla el binomio.

56

x2  4 s) f ( x )  x2

Sugerencia: factoriza. t) h( x) 

x 2  2 x  63 ( x  9)

Sugerencia: factoriza. u) f ( x) 

x3  8 x2

Sugerencia: factoriza. *Recuerda tener las 3 condiciones para emplear el teorema de la función polinomial.

Ejemplo: Regla de la multiplicación.

Deriva la función,

y  5x 4  cos x

Observa que tenemos la función “ y ” la cual está compuesta por la multiplicación de 2 funciones. Por lo que para poder derivarla debemos emplear la regla de la multiplicación.

y  f ( x)  g ( x)  g ( x)  f ( x) Una forma fácil de realizarla, es nombrar a la función derivadas y acomodar según la fórmula.

f ( x)  5 x 4

f ( x)  20 x 3

g ( x)  cos x

g ( x)  senx

f (x) y g (x) ; obtener sus respectivas

Armando la fórmula, tenemos:

57

y   (5x 4 )(senx)  cos x(20 x 3 ) Acomodando cada término, colocando primero:  Signos  Coeficientes  Funciones algebraicas.  Funciones Trascendentales.

y   5x 4 senx  20 x 3 cos x

La derivada queda:

Ejemplo: Regla de la división.

Deriva la función,

y

f (x)

4 x  5x 6x 2  7 x 3

2

g (x)

*Observa como el denominador está compuesto por más de un término, por lo que no podemos separar términos y se debe emplear la regla de la división. Tenemos la función " y" la cual está compuesta por la división de 2 funciones. Por lo que para poder derivarla debemos emplear la regla de la división.

y 

g ( x )  f ( x )  f ( x )  g ( x ) [ g ( x )] 2

Una forma fácil de realizarla, es nombrar a la función derivadas y acomodar según la fórmula.

f ( x)  4 x 3  5 x 2 g ( x)  6 x 2  7 x

f (x) y g (x) ; obtener sus respectivas

f ( x)  12 x 2  10 x g ( x)  12 x  7

Armando la fórmula, tenemos:

y 

(6 x 2  7 x)(12 x 2  10 x)  ( 4 x 3  5 x 2 )(12 x  7) [6 x 2  7 x ] 2

y 

(72 x 4  60 x 3  84 x 3  70 x 2  (48 x 4  28 x 3  60 x 3  35 x 2 ) [6 x 2  7 x ] 2

y 

(72 x 4  60 x 3  84 x 3  70 x 2  48 x 4  28 x 3  60 x 3  35 x 2 [6 x 2  7 x ] 2

58

y 

24 x 4  56 x 3  35 x 2 [6 x 2  7 x ] 2

Para derivar las funciones trigonométrica se pueden emplear identidades trigonométricas. Vamos a recordar algunas de ellas.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

co

sen 

cos  

h cot  

csc x 

co

tan  

h

ca

h secφ  ca

co

tan x 

ca

senx

cot x 

cos x 1

cos x 

senx

cos x senx 1

ca csc  

h co

sec x  senx 

sec x

1 cos x 1 csc x

IDENTIDADES PITAGÓRICAS

sen 2 x  cos2 x  1 sen 2 x  1  cos2 x cos2 x  1  sen 2 x

1  cot 2 x  csc2 x tan 2 x  1  sec2 x

cot 2 x  csc2 x  1 tan 2 x  sec2 x  1

Identidades del doble del ángulo y ángulo medio

sen 2 x  2 senx cos x cos 2 x  cos2 x  sen 2 x sen 2 x 

1  cos 2 x 2

cos 2 x 

1  cos 2 x 2

59

II. Instrucciones. Empleando la regla de la multiplicación y la división, determina las siguientes derivadas. Donde sea posible emplea identidades trigonométricas, antes de derivar. Función a) f ( x)  (4 x 5  8x)(9  3x 2 )

Derivadas.

b) f (t )  3t 5  e t

c) f ( p ) 

d)

f ( x) 

7 p2  4 6 p  5p2

8x  5 ex

4 sen(t ) 2 cos(t )

e) f (t ) 

Sugerencia, antes de derivar puedes emplear identidades. f) f ( r ) 

6 3sen( r )

Sugerencia, antes de derivar puedes emplear identidades g) f ( x )  (t 5  3t )(5 

h) f (t ) 

t)

4t 5  2t 3 2 cos(t )

60

i) f (t ) 

8sen(t )  5 cos(t ) 2 cos(t )

j) f ( r ) 

6 2 sec(r )

III. Instrucciones. Determina la interpretación de la derivada de las siguientes situaciones. Observa el ejemplo. Función a) P( x)  2 x

Significado de variables P  Población X  Tiempo

Interpretación de la derivada.

b) A( x)  (1.5) x

A  Inversión X  Tiempo

A(x)

c) T (h)  1.08h 2

T  Temperatura h  altura sobre el nivel del mar.

T (h)

d) P( x)  (0.95) x

P  Población X  Tiempo

P(x)

e) H ( x)  1.25 x 2  2 x

H  Altura X  Tiempo

H (x )

f) s(t )  3s 2  4s  12

S  Posición T  Tiempo

S (x)

g) v(t )  5t 2  3t  2

V  Velocidad T  Tiempo

V (x)

P(x)

La rapidez con la que crece la población en función del tiempo. Observa que la base “a” es mayor a la unidad, por eso es que sabemos que crece. Si a  1 diríamos que decrece.

61

Tema 8 Reglas de derivación de funciones compuestas Al método para derivar una función compuesta se le conoce como regla de la cadena. Es importante que sepas distinguir entre una función básica y una compuesta, pues la forma de derivarlas es diferente. Recuerda que llamamos básica a una función si su argumento es solamente x; diremos que la función es compuesta si en el argumento aparece otra función, es decir, algo más que x. Observa las siguientes funciones. Función

y  ex y  e x2 y

5  5e  x ex

y  x2

Argumento

Función básica o compuesta. Función básica.

x

Función compuesta. Tiene un exponente el argumento.

x2 x En una función exponencial antes de expresar el argumento debemos tener las variables arriba

Función compuesta. Tiene un signo negativo, el argumento.

Función básica.

x Es una función algebraica de la forma y  ax n

x3

Función compuesta

x

Función básica

y  ln x 3  4 x

x3  4x

y  cos(x) y  cos( x 2  5x)

x

Función compuesta, tiene una función algebraica en el argumento. Función básica

y  ( x  3)2 y  ln x

x 2  5x

Función compuesta, tiene una función algebraica en el argumento.

Observa que, a diferencia de las funciones básicas, en las compuestas el argumento es otra función, es decir, hay dos funciones implícitas y cuando derivamos debemos de derivar las dos funciones. Llamaremos a la función compuesta

f ( x)  u y la derivada de “u” la podemos expresar como u  ,

o como du Función compuesta. Función Potencia. y  [ f ( x)]n o y  [U ]n

Fórmula de derivación.

y   n[ f ( x)]n1  f ( x) o y   n[U ]n1  du

Función logaritmo natural.

62

y  ln u

y 

Función exponencial base “e”

ye

du u

o

y 

u u

y   e u  du

u

Función exponencial base “a”

y   a u  ln u  du

y  au

Funciones trigonométrica. Nota: En funciones trigonométricas; “ du ”, significa la derivada del ángulo.

y  cos(u)  du y  sen(u)  du y   sec2 u  du y    csc2 u  du y  secu tan u  du y   cscu cot u  du

y  sen(u) y  cos(u) y  tan(u) y  cot(u) y  sec(u) y  csc(u) Ejemplo No. 1. Deriva la función y 

5

(3 x 2  4 x ) 2  y  (3x 2  4 x) 2 / 5

Observa que es una función compuesta, ya que el argumento es algo más que una simple “x” La fórmula de derivación a emplear es: y   n[U ]n 1  u  En otras palabras el resultado de esta función potencia (compuesta) derivada es: La derivada externa por la derivada interna. Derivada externa: y  U 2 / 5

 y 

Derivada interna: u  3 x 2  4 x  u   6 x  4

2 3 / 5 U 5

Acomodando la fórmula: La derivada externa por la derivada interna.

2 y   U 3 / 5  (6 x  4) , y sustituyendo el valor de “u” tendremos 5 y 

2 (3x 2  4 x) 3 / 5  (6 x  4) 5



y 

2(6 x  4) 5

5

(3x 2  4 x) 3

Ejemplo No. 2 Deriva la función. y  sen( x 2  4 x) La función compuesta “u” es: u  x 2  4 x

 u  2x  4

63

Recordando la derivada de la función seno:

y  senu



y  cos u  du

Por lo que armando la derivada tenemos, 

y   cos( x 2  4 x)  (2 x  4)

Acomodando los términos



y   (2 x  4) cos( x 2  4 x)

I. Instrucciones. Deriva las siguientes funciones compuestas. Algebraicas. a) f ( x ) 

3

2x

b) f ( x)  (3x  4 x) 2

3

c) f ( x)  (6 x )

3 12

d) f ( x ) 

1 ( x  4 x 2  5) 4 3

 6x 1    x4 

3

e) f ( x )  

f) f ( x)  4 x  (3x 2  5x) 5

g) f ( x)  3 x 2  3 7 x  8

64

Funciones Trigonométricas. a)

f ( x)  sen4x

b)

f ( x)  2 cos 3x

c)

f ( x)  6sen2x  3cos 4x

d) f ( x)  x 3  sen(2 x)

e) f ( x ) 

4 sen(3 x) 2 cos(3 x)

Sugerencia; emplea identidades antes de realizar la derivación.

f) f ( x ) 

7 cos(5 x )  8sen(5 x ) 14 cos(5 x)

g) f ( x)  6sen3 (9 x 2 )

h) f ( x ) 

5

tan( 3 x )

65

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales. a)

f ( x)  ln 3x

b) f ( x)  (ln 2 x) 8

c) f ( x)  4

d)

sugerencia: emplea propiedades.

3x

f ( x)  ln( sen3x)

e) f ( x)  e

3x

f) f ( x)  4 ln

x

g) f ( x)  x  e 5 x

h) f ( x ) 

3e 2 x ln x 2

66

Tema 9 Derivación Implícita y de orden superior Diferenciación implícita: una estrategia para derivar cuando la variable dependiente no se puede despejar. Hasta este momento, hemos encontrado derivadas de funciones cuya ecuación se encuentra escrita en forma explícita como y = f(x), es decir la variable y está escrita explícitamente como una

función de x, sin embargo, si quisiéramos encontrar la de la ecuación sería imposible despejar la variable y como función implícita de la variable x. +

,

Ejemplo: Deriva en forma implícita la siguiente ecuación: Observa, que el primer término es una multiplicación de dos variables, por lo que debemos emplear la regla de la multiplicación para derivar el primer término. Cada vez que me toque derivar a una variable “y”

3x 2 y  5 y  4 x  5 y 2  8

debo agregar

1  3 x 2 y   y (6 x)  (5) y  2  1  3 x 2 y   (5) y  2 

1 / 2

y

y   4  10 yy 

Los términos con

1 / 2

y   10 yy   4  6 xy

5   y 3x 2  y 1 / 2  10 y   4  6 xy 2  

y

se dejan de un

solo lado de la ecuación y los que no tiene

y  se trasladan del otro

Se saca

y  como factor común.

Finalmente se despeja

y 

lado del

igual teniendo en cuenta el cambio del signo.

y

4  6 xy 5 3x 2   10 y 2 y

67

I. Instrucciones. Encuentra D x y de las siguientes funciones. (Derivación implícita) a) 4 y 2  5 y  4 x 3  7 x

b)

y  2x3  9 y 2  6x  y 3

c) x ln 3 y  5 xy 3

d) 9e 3 x cos(2 y)  5 y 3  3x

e) 5 x 

9y  6y x  3y

f) 4 y 

5x 2 e xy

3

68

g) 5x  4 ln y  3xy 2  8xy

Derivadas de orden superior Cuando la derivada de una función f(x) se vuelve a derivar, se obtiene la segunda derivada de f, se denota por f (x) . Si esta a su vez se vuelve a derivar, se obtiene la tercera derivada de f y se

f (x) . Al derivar nuevamente esta última función se obtiene la cuarta derivada de f y se denota por f IV (x) . Después de la cuarta derivada se mantiene esta notación para las demás derivadas, en general la derivada de orden "n" de f se denota f n (x) . denota por

Las siguientes son algunas formas de notación para indicar las derivadas de orden superior. Derivada de orden “n” Notación (Newton) Notación (Leibniz) Primera derivada f (x) dy , Dx y Segunda derivada

f (x)

Tercera derivada

f (x)

Cuarta derivada

f

“n” derivada

f n (x)

IV

(x)

“n” representa el orden de la derivada, expresada en números romanos.

Ejemplo No. 1: De la función f ( x)  2 x 5  x 3  4 x  9 , determina

dx d2y , dx 2 d3y , dx 3 d4y , dx 4 dny , dx n

Dxx y Dxxx y Dxxxx y

D x..n y

“n” representa el orden de la derivada, expresada en números arábigos.

f (1)

f ( x)  10 x 4  3x 2  4 f ( x)  40 x 3  6 x f ( x)  120 x 2  6 Una vez que llegamos a la tercera derivada que es la que se pide, ahora la debemos evaluar cuando x  1

f (1)  120(1) 2  6  114

69

Ejemplo No. 2: De la función f ( x)  cos(3x 2 ) determina

d2y dx 2 Observa como en la derivada resultante, al derivar por segunda ocasión, ahora tendremos una regla de la multiplicación, ya que se tienen dos funciones.

dy  6 x  sen(3x 2 ) dx

d2y  (6 x) cos(3x 2 )(6 x)  sen(3x 2 )(6)  36 x 2 cos(3x 2 )  6sen(3x 2 ) dx 2 Finalmente nos queda la segunda derivada:

d2y  6(6 x 2 cos(3x 2 )  sen(3x 2 )) 2 dx II. Instrucciones. Encuentra la derivada que se te pide: a) a) f ( x)  2 x  x  3x

d3y  dx

b) f ( x) 

d3y  dx 3

4

3

3

x 2  3x 4  5

d2y  dx 2 2 Recuerda que también se puede expresar la función f ( x)  3(cos 4 x) c) f ( x)  3 cos 4 x 2

70

III. Instrucciones. Evalúa la derivada de cada función en el valor que se te pide. a) f ( x)  3x  5 x  2 4

b) f ( x) 

c)

f ( 2) 

3  2 x 3  3x  4 f (1)  4 x

f ( x)  4 cos(x  5)

  f    3

Recuerda trabajar con radianes, cuando trabajas con funciones trigonométricas.

71

Tema 10 Aplicaciones de la derivada, concavidad y puntos de inflexión Cuando nos dicen que la derivada nos da información acerca de la rapidez, razón o velocidad instantánea de cambio, a menudo no nos queda muy claro lo que eso significa; nuestro propósito en esta sección es ayudarte a interpretar el resultado de una derivada, es decir explicar lo que significa en términos prácticos el resultado obtenido. Podemos señalar infinidad de aplicaciones para las diferentes ciencias, algunas de ellas te las mostramos a continuación.

Aplicación Física Si la función indica distancia o posición

Primera Derivada

Segunda Derivada.

Es la Velocidad

Es la Aceleración

Vins tan tánea 

Ains tan tánea 

d t

v t

Existen otras aplicaciones donde solo se tiene una descripción clara de lo que significa sólo la primera derivada, algunos ejemplos son: Aplicación Función Costo

Función Ingreso

Función utilidad

Primera derivada Representa el aumento del costo de la producción, al aumentar ésta en una unidad más. Se le conoce como costo marginal. Representa el aumento del ingreso, al aumentar ésta en una unidad más. Se le conoce como ingreso marginal Representa el aumento de la utilidad al aumentar ésta, en una unidad más. Se le conoce como utilidad marginal.

Otra de las aplicaciones de las derivadas es la resolución de problemas de optimización; es decir, para encontrar los puntos en donde la función tiene un valor máximo o un valor mínimo. Este tipo de problemas es muy importante en el campo de la administración, cuando, por ejemplo, deseamos obtener el nivel de producción con el que se obtiene el ingreso máximo, la utilidad máxima o los costos mínimos de producción, por mencionar algunas de las muchas aplicaciones. Toda esta información de donde ocurre un máximo, un mínimo, intervalos donde crece la función o decrece, nos lo da el Criterio de la primera derivada.

Criterio de la primera derivada.

Máximo Mínimo Intervalo de crecimiento Intervalo de decrecimiento.

72

Ejemplo. Se tiene la función utilidad en la producción de botellas de agua U ( x)   x  5 x  6 donde “x” representa la cantidad de botellas en miles, y la utilidad representa millones de pesos, determina ¿cuál es la producción para obtener la utilidad máxima? y ¿cuál es la utilidad obtenida? 2

Vamos a graficar la función utilidad.

m=0

Claramente observamos que tiene un valor máximo cuando x=2.5, pero ahora vamos a obtener este resultado en forma analítica. Una característica importante es ver que cuando ocurre un máximo o un mínimo la pendiente tangente en ese punto vale cero m  0 Y recuerda que la pendiente tangente en cualquier punto, nos lo da la primera derivada de la función. Por lo que debemos derivar la función, igualarla a cero y despejar el valor de “x” que nos produce una pendiente cero.

U ( x)   x 2  5 x  6

U ( x)  2x  5  0 x

5  2.5 2

Derivando e igualando a cero

Despejando obtenemos el punto crítico.

Llegamos al valor que nos producía el máximo, aunque en este momento analíticamente no sabemos que es un máximo. Para esto nos vamos a auxiliar de una tabla y vamos a dar valores antes del punto crítico y después del punto crítico para conocer el comportamiento de la función. El comportamiento de la función será el siguiente: Si al evaluar cualquier punto dentro del intervalo de análisis en la primera derivada, el signo de ésta es negativo nos indica que el intervalo decrece. Si al evaluar cualquier punto dentro del intervalo de análisis en la primera derivada, el signo de ésta es positivo nos indica que el intervalo crece.

73

Signo de la primera derivada f ( x)  0 Negativo

f ( x)  0

Comportamiento del intervalo Decrece Crece

Positivo

Siguiendo con el ejemplo, tenemos la siguiente tabla. Punto crítico x  2.5 Observa que al obtener un solo punto crítico se forman 2 intervalos (antes y después del punto crítico) Se evalúa el valor prueba en la primera derivada para obtener su signo. Intervalo Valor prueba Conclusión Signo f (x) Al haber cambio de

(,2.5) (2.5,)

0

“+” positivo

Intervalo Crece

3

“–“ negativo

Intervalo Decrece

signo, es decir primero crece y después decrece indica que se forma un máximo.

Se forma un máximo en (2.5, ¿?) Para obtener la coordenada en “y” se evalúa x = 2.5 en la función original para obtener f(x).

U ( x)   x 2  5 x  6

U (2.5)  (2.5) 2  5(2.5)  6  0.25 Por lo que la utilidad cuando se producen 2,500 unidades es de $250,000 Recuerda que la producción de botellas está en miles de unidades y la utilidad en millones de pesos. Por lo que la descripción del resultado es:

Se obtiene una utilidad máxima de $ 250,000 pesos al producir 2,500 botellas. I. Instrucciones. Determina lo que se te pide de las siguientes funciones: 1) f ( x)  3x 4  28 x 3  108 x 2 Te puedes auxiliar de la tabla. Intervalo

Valor prueba

Signo

f (x)

Conclusión

74

a) ¿En qué intervalos crece la función? _____________________________ b) ¿En qué intervalos decrece la función? ___________________________ c) Si existen máximos, ¿dónde ocurre?_________ ¿cuánto vale?_________ d) Si existen mínimos, ¿dónde ocurre?_________ ¿cuánto vale?_________ 2) f ( x) 

x3  x 2  35 x 3

Te puedes auxiliar de la tabla. Intervalo

Valor prueba

Signo

f (x)

Conclusión

a) ¿En qué intervalos crece la función? _____________________________ b) ¿En qué intervalos decrece la función? ___________________________ c) Si existen máximos, ¿dónde ocurre?_________ ¿cuánto vale?_________ d) Si existen mínimos, ¿dónde ocurre?_________ ¿cuánto vale?_________ 2) f ( x)  2sen( x  5) en el intervalo de Te puedes auxiliar de la tabla. Intervalo

Valor prueba

[0,3 ]

Signo

f (x)

Conclusión

75

a) ¿En qué intervalos crece la función? _____________________________ b) ¿En qué intervalos decrece la función? ___________________________ c) Si existen máximos, ¿dónde ocurren?_________ ¿cuánto valen?_________ d) Si existen mínimos, ¿dónde ocurren?_________ ¿cuánto valen?_________ II. Instrucciones. Resuelve los siguientes problemas razonados empleando el uso de derivadas. Aplicación en la Física a) Se tiene la siguiente función que determina la distancia en metros f (t ) 

4t 3 t 2   3t , y el 3 2

tiempo en segundos, determina: 1) En qué tiempo la velocidad es nula

2) En qué tiempo la aceleración es nula

3) A qué distancia se encuentra el objeto cuando la velocidad es cero.

4) ¿Cuál es la velocidad instantánea a t  8 seg?

5) ¿Cuál es la velocidad promedio a t  8 seg y t  12 ?

Aplicación de optimización. b) Aranza va a construir un corral en forma rectangular el cual lo quiere dividir de tal forma que queden 2 corrales contiguos. Realiza el dibujo, que representa ésta situación.

¿Cuáles son las dimensiones que debe tener el corral para que tenga el área máxima? Si solo cuenta con 420 ml de malla para la construcción del mismo.

76

c) Un granjero dispone de 6000 metros de material para cercar un terreno rectangular, continuo a un río. No se requiere cercar en la orilla del río. Cuáles deben ser las dimensiones del terreno para que su área sea máxima.

Concavidad y punto de inflexión. La segunda derivada nos va a informar sobre la concavidad de la función, es decir en que intervalos la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. El punto donde se realiza el cambio de concavidad se le llama punto de inflexión.

Cóncava hacia abajo

Punto de inflexión.

Cóncava hacia arriba Ejemplo: De la función f ( x)  x 3  11x 2  42 x  360 determina en que intervalos es cóncava hacia arriba y en que intervalos es cóncava hacia abajo y en dónde sucede el punto de inflexión.

f ( x)  3x 2  22 x  42

f ( x)  6x  22

6 x  22  0

El posible punto de inflexión sucede en x 

x

22 11  6 3

11 3

Observa que emplee la palabra “posible”, ya que esto es verídico si existe un cambio en la concavidad, por lo tanto nos vamos a auxiliar en una pequeña tabla. Pero ahora buscando información de la segunda derivada. Conclusión

0

Signo f (x) “–” negativo

4

“+“ positivo

Cóncava hacia arriba.

Intervalo

Valor prueba

11     ,  3   11   ,  3 

Cóncava hacia abajo.

Al haber cambio de signo, es decir primero cóncava hacia abajo y después cóncava hacia arriba indica que existe un punto de inflexión.

77

Observa como el punto de inflexión x 

11 (obtenida analíticamente), debe coincidir con la gráfica 3

mostrada con anterioridad, al igual que los intervalos en donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. III. Instrucciones. Empleando los criterios de la primera y segunda derivada determina lo que se te pide: 

De la función f ( x)  2 x 3  30 x 2  54 x determina:

a) ¿Cuáles son los puntos críticos?

________________________________

b) ¿en qué intervalos la función crece? ________________________________

c) ¿en qué intervalos la función decrece?________________________________

d) ¿dónde ocurren los máximos?

________ ¿cuánto vale? _______

e) ¿dónde ocurren los mínimos?________ ¿cuánto vale? _______

f) ¿Existe algún punto de inflexión? ________ ¿en dónde? _________

g) ¿En qué intervalo la función es cóncava hacia arriba? __________________

h) ¿En qué intervalo la función es cóncava hacia abajo? ___________________

i) Realiza una gráfica e indica en ella toda la información antes descrita.

78



De la función f ( x)  3x 4  16 x 3  12 x 2 determina:

a) ¿Cuáles son los puntos críticos?

________________________________

b) ¿en qué intervalos la función crece? ________________________________

c) ¿en qué intervalos la función decrece?________________________________

d) ¿dónde ocurren los máximos?

________ ¿cuánto vale? _______

e) ¿dónde ocurren los mínimos?________ ¿cuánto vale? _______

f) ¿Existe algún punto de inflexión? ________ ¿en dónde? _________

g) ¿En qué intervalo la función es cóncava hacia arriba? __________________

h) ¿En qué intervalo la función es cóncava hacia abajo? ___________________

i) Realiza una gráfica e indica en ella toda la información antes descrita.

79

Tema 11 Integral Indefinida de funciones básicas y compuestas En el módulo anterior estudiamos el proceso de la derivación, en éste módulo vamos a aprender el proceso contrario a la derivación, llamado antiderivación que cuando se formaliza empleando el símbolo de la integral



(es una “s” estilizada) se le conoce como integración.

A continuación se presentan las fórmulas de integración de funciones básicas.

 x dx

x n 1 C n 1 ex  C

n

Polinomiales

 e dx x

Exponencial base e

 a dx x

Exponencial base a

1

 x dx   x dx  senx dx  cos x dx  sec x  tan x dx  sec x dx  csc x  cot x dx  csc x dx  sec x dx  csc x dx  tan x dx  cot x dx 1

2

2

ax C ln a ln x  C

 cos x  C senx  C sec x  C tan x  C  csc x  C  cot x  C ln sec x  tan x  C ln csc x  cot x  C  ln cos x  C ln senx  C

Nota: Al igual que en la derivación para poder emplear la fórmula de la antiderivada de la función polinomial, se tienen que cumplir 3 condiciones. 1) Términos separados 2) Simplificación del término (es decir una variable por término) 3) Variables arriba. Ejemplo: Determina la familia de la antiderivada de la función



4x 2  2x  8 dx 2x

La integral representa una función racional, por lo que debemos cumplir con las 3 condiciones para emplear la función potencia.

80

 x n dx 

x n 1  C y como caso particular n 1

1

 x dx   x

1

dx  ln x  C

1° condición. Términos separados



4x 2  2x  8 4x 2 2x 8 dx   (   )dx 2x 2x 2x 2x

2) Simplificación del término (es decir una variable por término)



(

4x 2 2x 8 4   )dx   (2 x  1  )dx 2x 2x 2x x

3) Variables arriba.

Observa que aquí se presenta el caso particular de

4

 (2 x  1  x )dx   (2 x  1  4 x

1

)dx

ésta es la única variable que puede quedar abajo, e integrarse directamente.

Ahora si estamos listos para integrar.

 (2 x  1  4 x 1 )dx 

1 , x

Cuando se antideriva se agrega una constante de integración.

2x 2  x  4 ln x  C  x 2  x  4 ln x  C 2

I. Instrucciones. Determina la familia de las siguientes antiderivadas. a)

 (x

4

b)



x2  7 x) dx 3

(

2

 2 x 3  5 x  9) dx

(  9x  x c)

2

) dx

 (5x  2) dx d) 2

e)

(

2 x 3  10 x 2  8 x  12 )dx 4x

81

( f)



g)

7 cos x  9senx )dx senx

2x3 3 x

 h)

 i)

dx

x (4 x 3  9 x)dx

2 dx Cscx

x 2  4 x  12  x  6 dx j)

 5e k)

l)

x

dx

9x  3 dx

Integración de funciones compuestas. Ahora se presentan las fórmulas de integración de funciones compuestas. Recuerda que una función se considera compuesta, cuando en la parte del argumento se tiene algo más que una simple “x” El método de sustitución, radica en tener dentro de la integral dos funciones, una función llamada “u” y la derivada de la función “u” llamada “du”

82

 u du

U n 1 C n 1 eu  C

n

Polinomiales

 e du u

Exponencial base e

 a du u

Exponencial base a

1

 u du   u du  senu du  cos u du  secu  tan u du  sec u du  cscu  cot u du  csc u du  secu du  cscu du  tan u du  cot u du 1

2

2

au C ln a ln u  C

 cos u  C senu  C sec u  C tan u  C  cscu  C  cot u  C ln sec u  tan u  C ln csc u  cot u  C  ln cos u  C ln senu  C

Ejemplo: Determina la integral de la función compuesta



3x 4 x 2  6 dx 5

Nombramos la función u  4 x 2  6 y buscamos su derivada du  8 xdx Para poder emplear el método de sustitución de variables, lo más importante es tener la variable requerida por el "du" los coeficientes los podemos ajustar. 1° Sacamos de la integral los coeficientes que no nos ayudan a tener la derivada completa.  Derivada completa du  8 xdx

3 x 4 x 2  6dx 5 2° Completamos el número requerido y a la vez balanceamos la integral (sacando el número que metimos en sentido contrario)

Completar Balancear

3 8 x 4 x 2  6 dx (8)5 

83

3° Sustituimos la función “U” y2 su derivada “du” Recordando u  4 x 2  6 y du  8 xdx Por lo que la integral en términos de “u” y “du” queda:

3 3 3u 3 / 2 1/ 2 u du  u du  C (8)5  40  3 40  2 6 3/ 2 1 u C  (4 x 2  6) 3  C 120 20 II. Instrucciones. Resuelve las siguientes integrales indefinidas.

 a)

4 x(3x 2  9) 5 dx



3x dx x2  8

 c)

cos 5 x dx sen5 x



9 2 x 5 dx 3

b)

d)

 e)

7 dx e5 x

84

 f)

5 x ln( 9 x 2 )dx

 g)

4 dx csc 3 x

h)

i)

j)

k)

5x





x2  4

8 x4

dx

dx



x 1 dx x ´2 x  6



x 2  3x  45 dx x 8

2

Sugerencia: Simplifica la función racional, empleando la división de polinomios, y después integra.

 l)

3x  1 dx 3x  1

Sugerencia: Simplifica la función racional, empleando la división de polinomios, y después integra.

 m)

e 2 x  3x dx e4 x

85

Tema 12 Integración por partes La integración por partes proviene de la derivación de la regla de la multiplicación de dos funciones. La cual radica su entendimiento, en que dentro de la integral voy a tener 2 funciones, una función llamada “u” y otra función representa una derivada, pero no es la derivada de la función “u”, por eso es que la llamaremos “dv”

 udv  uv   vdu

Para identificar correctamente cual es la función “u” y cuál es la función “dv” se emplea el siguiente acróstico. LATE

Logarítmicas

Exponencial Trigonométrica

Algebraicas

Ejemplo: Resuelve la siguiente integral

 3x  e

5x

dx

Observa que tenemos dos funciones, y ninguna de las dos es la derivada de la otra, por lo que no podemos resolverla por sustitución. Por lo que probaremos por integración por partes, por un lado tenemos una función algebraica (3 x ) y la otra función es exponencial (e5x ) , analizando el acróstico LATE, observamos que primero se presenta la función algebraica, y después la exponencial, por lo que la “u” será; u  3 x y la “dv” será dv  e 5 x Ahora sí comenzamos a resolverla.

u  3x Derivar

dv  e 5 x Integrar

du  3dx

v   e 5 x dx 

e5 x 5

Ahora si empezamos a armar la fórmula de integración por partes.

 udv  uv   vdu  3x  e5 x dx  3x 

e5 x e5 x  (3)dx 5 5

e5 x 3 5 x  3x   e dx 5 5

Armamos la fórmula de integración por partes.

Nos queda una integración por sustitución.

86



3x  e 5 x 3e 5 x  C 5 25

I. Instrucciones. Resuelve las siguientes integraciones por partes, recuerda identificar correctamente quien es la función “u” y cuál es la función “dv” a)

 5x  cos 3xdx

b)

x  e4x  2 dx

c)



d)

 6 x  ln 5x dx

e)

 ln 4 x dx

x  sen5 xdx

87

Tema 13 Integración por sustitución trigonométrica Cuando se tienen integrales con radicandos del tipo:

x2  a2 x2  a2

a2  x2 Se emplea el método de “Sustitución trigonométrica”, siempre y cuando no se pueda resolver primero por una simple sustitución. Éste método tiene como base su explicación en el Teorema de Pitágoras.

Caso 1.

x2  a2

 Cuando el signo entre ambos términos “x” y “a” es positivo, me indica que ambos términos son catetos. La variable (x) cuando es cateto, se coloca en la vertical y el número constante (a), cuando es cateto, se coloca en la horizontal.

x2  a2

x a

Caso 2.

x2  a2

 Cuando se tienen entre ambos términos un signo negativo, me indica que el primer término es hipotenusa y el segundo término es cateto. Para este caso, el segundo término es el número constante, por lo que es el cateto horizontal.

x

x2  a2

a Caso 3.

a2  x2

x

 Cuando se tienen entre ambos términos un signo negativo, me indica que el primer término es hipotenusa y el segundo término es cateto. Para este caso, el segundo término es la variable, por lo que es el cateto vertical.

a a2  x2

88

Ejemplo:



x 2  16

dx

x



x 16 2

4

Acomodo del triángulo

1° Debemos sustituir cada término de la integral, empleando funciones trigonométricas y para esto nos auxiliamos del triángulo. Debemos sustituir el radicando y lo involucramos con el valor de “ a ”

x 2  16 hipotenusa   sec 4 cateto  adyacente Por lo que despejando el radicando queda:

x 2  16  4 sec 

2° Ahora requiero encontrar el valor de “dx” y esto lo podemos obtener si tenemos el valor de “x” y luego lo derivo. Por lo que ahora involucro el valor de “x” con el valor de “ a “

x cateto  opuesto   tan  4 cateto  adyacente Por lo que despejando la variable “x” queda:

x  4 tan dx  4 sec2  d

Y su derivada es:

3° Sustituyo en la integral original



dx x 2  16

 sec



4 sec2  d   sec d 4 sec

d  ln sec  tan   C

Esta ya es la solución de la integral pero en términos de funciones trigonométricas

4° Se vuelve a retomar el triángulo para obtener lo equivalente en términos de “x”

ln sec  tan   C  ln

x 2  16 x   C  ln 4 4

x 2  16  x  C

89

I. Instrucciones. Resuelve las siguientes integraciones por partes, recuerda identificar correctamente quien es la función “u” y cuál es la función “dv” a)



4x x2  9

dx

Nota: No todas las integrales que tengan alguno de los tipos de radicandos de cualquiera de los 3 casos explicados con anterioridad, necesariamente se deben resolver por sustitución trigonométrica. Pueden ser una simple sustitución.



b)

c)



d)



e)



f)



4 x 9 2

dx

dx 64  x 2

dx x 2  16

dx 4x2  5

x 2 dx x 2  64

90

Tema 14 Integración por fracciones parciales El siguiente método se emplea en integrales donde se tengan funciones racionales donde el denominador tenga una potencia mayor que el numerador y que no se puedan realizar con una simple sustitución. Es decir no podemos hacer que la derivada que debe de ir coincida con la que ofrece la integral. Ejemplo: Integra la función

x

2x  2 dx 2  2x  3

Si intentamos resolverla como una simple sustitución, veamos que pasa: u  x 2  2 x  3 por lo que su derivada será: du  (2x  2)dx observa como el numerador que debe corresponder al “du”, se parece pero no logramos coincidir con los signos, por lo que esta integrar es candidata al método de fracciones parciales. El método de fracciones parciales, consiste en Factorizar el denominador y descomponerlo en fracciones, para lo cual se tienen 4 casos que a continuación se presentan en la siguiente tabla. Caso Lineales distintos Lineales repetidos

Cuadráticos distintos Cuadráticos repetidos

Función

Descomposición de fracciones.

xc ( x  a )( x  b) xc ( x  a) n

A B  ( x  a ) ( x  b) A B z   ..... n n 1 ( x  a) ( x  a) ( x  a)

xc ( x  a )( x 2  b) xc ( x 2  a) n

Ax  B Cx  d  2 2 ( x  a ) ( x  b) Ax  B Cx  D Yx  z   ..... n n 1 ( x  a) ( x  a) ( x  a)

2

Nota Si el denominador es lineal, en el numerador le corresponde un grado menos es decir una constante. Si el denominador es cuadrático (que no sea posible Factorizar), en el numerador le corresponde un grado menos es decir una función lineal.

Ejemplo: descompón en fracciones parciales la siguiente función.

x8 ( x  5)( x  1) 3 ( x 2  4) 2 ( x 2  x  1) Observa como aquí se presentan los cuatro casos por lo que la descomposición quedará:

A B C D Ex  F Gx  H I xJ       x  5 ( x  1) 3 ( x  1) 2 x  1 ( x 2  4) 2 x2  4 x2  x 1 Regresando a nuestro primer ejemplo

x

2x  2 dx 2  2x  3

Ya vimos que no lo podemos resolver por una simple sustitución por lo que debemos emplear fracciones parciales. 1° Se descompone en fracciones parciales,

91

x

2

2x  2 A B dx     2x  3 ( x  3) ( x  1)

2° Debemos encontrar los valores de las constantes A y B para poder integrar, para esto se propone valores claves, para evitar realizar un sistema de ecuaciones (esto cuando es posible), observa que hasta obtener el valor de las constantes vamos a quitar la integración.

A B   2x  2  x 2  2 x  3  x  3  x  1( x  3)( x  1)

Multiplicamos toda la expresión por el común denominador en forma factorizada (por facilidad) Observa que de esta forma nos queda una expresión mucho más cómoda de trabajar.

2x  2  A( x 1)  B( x  3)

3° Proponemos valores claves para descubrir las constantes A y B. Esos valores claves los podemos obtener haciendo cero cada factor y despejando, de tal manera que para este caso los valores propuestos de “x” son: x  1 y x  3 4° Estos valores se evalúan en toda la expresión.

2(1)  2  A(1  1)  B(1  3) 0  A(0)  B (4) Para x  1  0  4B B0

2( 3)  2  A( 3  1)  B ( 3  3)  6  2  A( 4)  B (0) Para x  3   8  4 A

8 A 4 A2 5° Una vez obtenido los valores de A y B se realiza la integración.

x

2x  2 2 0 dx    2 ln x  3  C   2  2x  3 ( x  3) ( x  1)

I. Instrucciones. Observa y determina si las siguientes integrales de funciones racionales, se deben resolver por; división de polinomios, simple sustitución o por fracciones parciales. Integración

Método de solución (justifica)

3x 2  4 x  1  x  6 dx x2  2  x 3  6 x dx

92

x2 dx 2  4x x6  x 2  36 dx

x

II. Instrucciones. Resuelve las siguientes integraciones de funciones racionales, toma en cuenta que no necesariamente todas se deben resolver por fracciones parciales. a)



x2 dx x 2  4x  5

b)



x 1 dx x  4x  4

c)



x 1 dx x  2x  8

d)



2x  2 dx ( x  1)( x  2) 2

e)

 (x

f)



2

2

5x  1 dx 2  1)( x 2  2 x  2)

x2  6x  1 dx x2

93

Tema 15 Integral Definida La integral definida calcula el área entre la curva (gráfica) y el eje de las “x”, para tal caso se tiene el teorema fundamental del cálculo. Teorema fundamental del cálculo Si f(x) es una función continua en todo punto del intervalo [a, b] y si F(x) es una antiderivada de f, entonces se puede asegurar que:

a

Donde

b

[a, b] son los límites inferior y superior del intervalo a evaluar.

I. Instrucciones. Encuentra la integral definida de las siguientes funciones. 3

a)

 (x

2

 4 x  5) dx

2

 6) dx

0

4

b)

 (x 1

5

c)



2 x dx

2

94

4 x 2  3x  2 dx 1 2x 3

d)

2

e)



sen( x )dx



2

3

f)

e

2 x

dx

0



g)

5 cos(2 x)dx   /4

5

h)

x

1

5x dx 2 4

II. Instrucciones. Encuentra el área entre curvas en los siguientes problemas, recuerda graficar las funciones para definir cuál de ellas está arriba y cuál abajo, además de encontrar los puntos de intersección que definirán los límites de la integral. a)

f ( x)  x 2  2 x  8 y la recta f ( x)  2

b)

f ( x)  x 3  2 x 2 y la curva f ( x)  5x

95

c)

f ( x)  e x y la línea f ( x)  10

d)

f ( x) 

x

y

f ( x)  x 3

III. Instrucciones. Resuelve los siguientes problemas razonados, encontrando el valor de la integral definida. 1) La siguiente gráfica representa el costo marginal de la empresa “Goma Loca” en miles de dólares en el período de sus primeros 10 años de vida.

Encuentra los costos totales durante: a) Los primeros 6 años.

b) Después del sexto año, hasta el 10° año.

2) El costo de consumo de energía eléctrica de una casa, medido en miles de pesos está dado por c(t )  0.8e 0.2t , donde “t” está en días. ¿Cuál será el costo de energía eléctrica de la casa después de 30 días?

96

IV. Instrucciones. Resuelve los siguientes problemas razonados, encontrando el valor de la constante de integración. La ecuación de aceleración de un objeto está dada por a (t ) 

t2  2t m/seg2. 4

a) Encuentra la ecuación de velocidad, considera que la velocidad inicial es de 4 m/seg.

b) Encuentra la ecuación de posición. Considera que su posición inicial es de 15 m.

97