M3

Functions :Additional Problem Set 5(a) f ( x) = a 2 − x2 ⇒ a2 − x2 ≥ 0 x 2 ≤ a2 x2 ≤ a2 ⇒ x≤a −a ≤x≤ a 5(b)

1 3x + 2 ⇒ 3x + 2 ≠ 0 ⇒ 3 x ≠ −2 −2 ⇒x≠ 3  −2  ∴R −   3 f ( x) =

5(c).

f ( x) = x + 2 x − 1 ⇒ x ≥ 0 & 2x −1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0 & 2x ≥ 1 1 ⇒ x ≥ 0& x ≥ 2 1 1  ∴x ≥ ⇒ x∈  ,∞ 2 2 

6. a)

x x − 3x + 2 domain : f ( x) =

2

x 2 − 3x + 2 ≠ 0 x2 − 2x − x + 2 ≠ 0 x ( x − 2 ) − 1( x − 2 ) ≠ 0

( x − 2 ) ( x − 1) ≠ 0 x ≠ 2, x ≠ 1 ∴ R − { 1, 2} Range : let f ( x) = y

x x − 3x + 2 2 ⇒ y ( x − 3x + 2 ) = x ⇒y=

2

⇒ yx 2 − x ( 1 + 3 y ) + 2 y = 0 b 2 − 4ac ≥ 0 ⇒ 1 + 6 y + y2 ≥ 0 ⇒ y2 + 6 y + 9 − 9 +1 ≥ 0 ⇒ y2 + 6 y + 9 − 8 ≥ 0 ⇒ ( y + 3) − 8 ≥ 0 2

⇒ ( y + 3) ≥ 8 2

( y + 3) ≥ 8 ⇒ ( y + 3) ≥ 8 2

⇒

⇔ y + 3 ≥ 8, or , y + 3 ≤ − 8 ⇔ y ≥ 8 − 3, or , y ≤ − 8 − 3

(

∴ y ∈ −∞, − hence

(

)) (

(

f ( x) ∈ −∞, −

8 +3 ∪

(

)) (

8 +3 ∪

8 − 3, ∞

)

8 − 3, ∞

)

6.b)

3 2 − x2 domain : f ( x) =

⇒ 2 − x2 ≠ 0 ⇒ x2 ≠ 2 ⇒x≠± 2

{

∴ R − − 2, 2

}

Range : let f ( x) = y 3 2 − x2 ⇒ 2 y − yx 2 = 3 ⇒y=

⇒ yx 2 − 2 y + 3 = 0 b 2 − 4ac ≥ 0 ⇒ 4 y ( 2 y − 3) ≥ 0 3  ⇒ 8y  y −  ≥ 0 2  3  ⇒ y y −  ≥ 0 2  3  ⇒ ( y − 0)  y −  ≥ 0 2  3  ⇔ y ∈ ( −∞, 0] ∪  , ∞  2  but 3  f ( x) ∈ ( −∞, 0 ) ∪  , ∞  2 

6.c)

f ( x) = x − 3 domain : ∀x ∈ R Range : f ( x) ∈ [ 0, ∞ ) 6.d)

x 1 + x2 domain : f ( x) =

∀x ∈ R Range : let f ( x) = y x 1 + x2 ⇒ yx 2 + y − x = 0 ⇒y=

⇒ yx 2 − x + y = 0 b 2 − 4ac ≥ 0 ⇒ 1− 4 y2 ≥ 0 ⇒ 4 y2 ≤ 1 1 ⇒ y2 ≤ 4 1 ⇒ y≤ 2 1 1 ⇒− ≤ y≤ 2 2  1 1 ∴ y ∈ − ,   2 2 hence  1 1 f ( x) ∈ − ,   2 2

6.e)

f ( x ) = 16 − x 2 domain : 16 − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 ≤ 16 ⇒ x ≤4 ⇒ −4 ≤ x ≤ 4 ∴ x ∈ [ −4, 4] f ( x ) = 16 − x 2 range : let f ( x) = y ⇒ y = 16 − x 2 ⇒ y 2 = 16 − x2 ⇒ x 2 = 16 − y 2 ⇒ x = 16 − y 2 ⇔ 16 − y 2 ≥ 0 ⇒ y 2 ≤ 16 ⇒ y ≤4 ⇒ −4 ≤ y ≤ 4 ∴ y ∈ [ −4, 4] hence f ( x ) ∈ [ 0, 4]

6.f)

f ( x) =

1 x−5

domain : x −5 > 0 x>5 ⇒ x ∈ ( 5, ∞ ) Range : let f ( x) = y 1 x−5 1 ⇒ y2 = x −5 . 1 ⇒ 2 = x−5 y 1 ⇒ 2 +5= x y ⇒y=

1+ 5 y2 y2 ⇔ y≠0

⇒x=

⇒ y ∈ R − { 0} but f ( x) ∈ R +

7.a)

(2 x − 3)( x + 3) x+3 ⇒ x+3≠ 0 ⇒ x ≠ −3 ∴ Domain : f ( x) =

x ∈ R − { −3}

7.b)

f ( x) =

4 5 − cosθ

The function is defined for all real numbers. Domain: R (since cosine function is never equalto 5)

8.

f1 ( x) = 2 x + 1, 0 ≤ x < 2 f 2 ( x ) = x − 2, 2 ≤ x ≤ 5 a. for 0≤ x<2 ⇒ 0 ≤ 2x < 4 ⇒ 1 ≤ 2x +1 < 5

∴ f1 ( x) ∈ [ 1,5)

b. for 2≤ x≤5 ⇒ 0≤ x−2≤3 ∴ f 2 ( x) ∈ [ 0,3] hence range f ( x ) ∈ [ 1,5) ∪ [ 0,3]

∴ f ( x) ∈ [ 1, 5 ) 8.b. for

0≤ x≤2 F(x)=2x+1 ½=2x+1 X=-1/4

for 2≤ x≤5 f ( x) = x − 2 1 ⇒ x −2 = 2 1 ⇒ x = +2 2 5 ⇒x= 2 ⇒ x = 2.5 ∴ x = 2.5 8.c)

Domain : for x ∈ [ 0,5] for x=0 f (0) = 1 and for x=3 f (3) = 1 ∴0 → 1 3 →1 hence many − one

9.

f1 ( x) = x + 1,1 ≤ x < 2 f 2 ( x) = 2 x − 1, 2 ≤ x < 4 f 3 ( x ) = 3 x − 10, 4 ≤ x < 6 a. for 1≤ x < 2 ⇒ 2 ≤ x +1 < 3 ⇒ 2 ≤ f1 ( x) < 3

∴ f1 ( x) ∈ [ 2,3)

b. for 2≤ x<4 ⇒ 4 ≤ 2x < 8 ⇒ 3 ≤ 2x −1 < 7 ⇒ 3 ≤ f 2 ( x) < 7

∴ f 2 ( x) ∈ [ 3, 7 )

c. for 4≤ x<6 ⇒ 12 ≤ 3 x < 18 ⇒ 2 ≤ 33 x − 10 < 8 ⇒ 2 ≤ f3 ( x) < 8

∴ f 3 ( x) ∈ [ 2,8 )

hence range : f ( x ) = f1 ( x) ∪ f 2 ( x) ∪ f3 ( x) f ( x ) ∈ [ 2,3 ) ∪ [ 3, 7 ) ∪ [ 2,8 ) f ( x ) ∈ [ 2,8 ) b.

f (4) = 3 × 4 − 10 f (4) = 2 c.

domain : for x ∈ [ 1, 6 ) for x =1 f ( x) = 2 and for x=4 f ( x) = 2 ∴1 → 2 4→2 hence many − one