Master 1e`re ann´ ee
Universit´ e Paris 1
Probabilit´ es 1 - Feuille de TD 2 - Corrig´ e Exercice 4 Soit I = −∞ exp (−x ) dx. Calculer I 2 en utilisant le th´eor`eme de Fubini et un changement de variables adapt´e. En d´eduire I. R +∞
2
Solution : On calcule 2
Z
+∞
I =
−x2
e
2 dx
Z = 2
−∞
+∞
−x2
e
2 dx
Z
+∞
=4
−x2
e
0
Z
+∞
dx
−y 2
e
0
dy .
0
La fonction (x, y) → exp(−(x2 + y 2 )) ´etant continue (donc mesurable) positive, le Th´eor`eme de Fubini-Tonelli entraˆıne Z +∞ Z +∞ Z +∞ Z +∞ 2 2 2 −x2 −y 2 I =4 e e dxdy = 4 e−(x +y ) dxdy 0
0
0
0
Un changement de variables en coordonn´ees polaires est n´ecessaire : x = ρ cos θ y = ρ sin θ Le diff´eomorphisme associ´e est (v´erifier que c’est bien un diff´eomorphisme !) i πh Φ : ]0, ∞[ × 0, −→ R∗+ × R∗+ 2 (ρ, θ) −→ (ρ cos θ, ρ sin θ) La matrice Jacobienne de Φ est JΦ (ρ, θ) =
∂Φ1 ∂ρ ∂Φ2 ∂ρ
∂Φ1 ∂θ ∂Φ2 ∂θ
!
=
cos θ −ρ sin θ sin θ ρ cos θ
et le d´eterminant de la matrice Jacobienne est donc cos θ sin θ det JΦ (ρ, θ) = = ρ cos2 θ + ρ sin2 θ = ρ. −ρ sin θ ρ cos θ Par le th´eor`eme de changement de variable, on en d´eduit Z +∞ Z π Z +∞ Z +∞ 2 2 2 2 2 −(x2 +y 2 ) e dxdy = e−(ρ cos θ+ρ sin θ) ρdθdρ 0 0 0 0 " #+∞ Z +∞ Z +∞ Z π ! −ρ2 2 π −e π π 2 2 e−ρ ρdρ = = e−ρ ρ = dθ dρ = 2 0 2 2 4 0 0 0
Ceci montre que Z
2
+∞
Z
+∞
I =4 0
et puisque I ≥ 0, I =
√
e−(x
2 +y 2
0
) dxdy = 4 π = π 4
π.
Exercice 5 Soit (X, Y ) un couple de variables al´eatoires sur R2 de densit´e : f (x, y) =
1 e (−x) ID (x, y) avec D = (x, y) ∈ R2 /0 < y < x x
On pose U = X et V =
Y . X
1. D´eterminer la loi de (U, V ). 2. D´eterminer les lois marginales de U et de V . Ces variables al´eatoires sont-elles ind´ependantes ?
Solution : 1. La loi de (U, V ) : Y On consid`ere le couple (U, V ) = Φ (X, Y ) = X, X , o` u Φ : D = (x, y) ∈ R2 , 0 < y < x → D0 = (u, v) ∈ R2 , 0 < u, 0 < v < 1 y . (x, y) → (u, v) = Φ (x, y) = x, x V´erifier que Φ est bien un diff´eomorphisme. L’application r´eciproque est Φ−1 = Ψ d´efinie par Ψ(u, v) = (u, uv) puisque x = u et y = uv. La matrice Jacobienne de l’application r´eciproque Ψ est JΨ (u, v) =
∂Ψ1 ∂u ∂Ψ2 ∂u
∂Ψ1 ∂v ∂Ψ2 ∂v
=
1 0 v u
et son d´eterminant est det JΨ (u, v) = u La densit´e du couple (U, V ) s’´ecrit donc : f(U,V ) (u, v) = f(X,Y ) (Ψ (u, v)) | det JΨ (u, v) |1D0 (u, v) 1 = f(X,Y ) (u, uv) u1D0 (u, v) = e−u 1D0 (u, v) u −u = e 1]0,+∞[ (u)1]0,1[ (v).
2. Les lois marginales : Pour u ≤ 0, on a fU (u) =
R
f(U,V ) (u, v) dv = 0. Pour tout u > 0,
Z
Z
fU (u) =
1
e−u dv = e−u
f(U,V ) (u, v) dv = 0
et donc U ∼ Exp (1), c’est `a dire que U suit une loi exponentielle de param`etre 1. R Pour v ∈]0, / 1[, fV (v) = f(U,V ) (u, v) du = 0 tandis que pour 0 < v < 1, on a : Z fV (v) =
Z
∞
f(U,V ) (u, v) du =
e−u du = 1
0
et donc V ∼ U (0, 1). De plus, on remarque que f(U,V ) (u, v) = fU (u) fV (v) pour tout (u, v) ∈ D0 . Les variables U et V sont donc ind´ependantes. Exercice 6 Soient X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes, de loi respective Γ (1, a) et Γ (1, b) o` u a et b sont des r´eels strictement positifs. X D´eterminer la loi du couple (S, Z) o` u S = X + Y et Z = X+Y . Calculer les lois de S et Z. Les variables al´eatoires S et Z sont-elles ind´ependantes ? A quelle condition, Z est-elle de carr´e int´egrable ?
Solution : La loi de (S, Z) : X On consid`ere le couple (S, Z) = Φ (X, Y ) = X + Y, X+Y , Φ : D = R∗+ × R∗+ → D0 = R∗+ × ]0, 1[ (x, y) → (s, z) = Φ (x, y) =
x x + y, x+y
V´erifier que Φ est bien un diff´eomorphisme. L’application r´eciproque Ψ est d´efinie pour 0 < s et 0 < z < 1 par x = zs, et y = s − x = s(1 − z), soit Ψ(s, z) = (sz, s(1 − z)) pour (s, z) ∈ D0 . La matrice Jacobienne de Ψ est : JΨ (s, z) =
∂Ψ1 ∂s ∂Ψ2 ∂s
∂Ψ1 ∂z ∂Ψ2 ∂z
=
z s 1 − z −s
et son d´eterminant est donc det JΨ (s, z) = −sz − s (1 − z) = −s
La densit´e du couple (S, Z) s’´ecrit donc : f(S,Z) (s, z) = f(X,Y ) Φ−1 (s, z) | det JΦ−1 (s, z) |1D0 (s, z) = f(X,Y ) (sz, s (1 − z)) | − s|1D0 (s, z) Comme les variables X et Y sont ind´ependantes, f(X,Y ) (x, y) = fX (x) fY (y). On en d´eduit f(S,Z) (s, z) = fX (sz) fY (s (1 − z)) s1D0 (s, z) 1 −sz 1 −s(1−z) = e (sz)a−1 e (s (1 − z))b−1 s1D0 (s, z) Γ (a) Γ (b) 1 b−1 −s a+b−1 a−1 = e s 1]0,+∞[ (s) z (1 − z) 1]0,1[ (z) . Γ (a) Γ (b) On remarque que cette densit´e est le produit de deux fonctions d´ependant respectivement seulement de s et de z. Les deux variables al´eatoires S et Z sont donc ind´ependantes. Les lois marginales : On reconnaˆ, sauf pour le coefficient de normalisation, que la fonction de s est la densit´e d’une loi Γ(1, a + b). On normalise donc en r´ecrivant f(S,Z) (s, z) = g(s)h(z), o` u g(s) =
1 Γ(a + b) a−1 e−s sa+b−1 1]0,+∞[ (s) et h(z) = z (1 − z)b−1 1]0,1[ (z). Γ(a + b) Γ (a) Γ (b)
On remarque que g est une densit´e. On en d´eduit donc que Z Z fZ (z) = f(S,Z) (s, z) ds = h(z) g(s) ds = h(z). La loi de Z a donc pour densit´e la fonction h dont l’int´egrale vaut donc 1. La variable al´eatoire Z suit une loi B(a, b). La densit´e de S est alors Z Z fS (s) = f(S,Z) (s, z) dz = g(s) h(z) dz = g(s) et S suit une loi Γ(1, a + b).