M Iii (13-16)

UNIDAD

XII..

.

POLINOMIOS ,.

,

Introducción.

En esta última unidad presentamos el estudio de las funciones polinomiales, uno de los mas importantes del ,álgebra. Se plantean sus operaciones fundamentales, representacÍón gráfic~, los teoremas del residuo y del factor apoyados en el.algoritmo de la división, así como su consecuenCia que es el teorema fundamental del álgebr~. Se ilustra el manejo de la división sintética ,y su empleo en los métodos para la determinación de los diferentes tipos de raíces.

"

219

ObjetivosGenerale-s

Al terminar de estudiar esta unid4d, el alumno:

'l.

2. 3. 4.

220

Resolverá operaciones básicas que involucren funciones polinolDiaWs. Graficará funoiones polinomiales aplicando los diferentes teoremas existentes (teorema del residuo, del factor, fundamental del álgebra). Determinará las raíces reales (racionales e irracionales) ~xistentes en funciones polinomiales dadas. Determinará cuantas raíces imaginarias contienen las funciones polinomiales dadas.

Diagrama temáticoestructural

Operaciones "

Funciones

Gráfica

Teorema del Residuo ,Polinomio

Funciones Polinomi ales Teorema del Factor

Teorema fundamental del AIgebra

Determinación de raíces

221

Glosario

Función. PoIinomial: Toda funcibri que puede representarse mediante la ecuación n n-1 + n-2 + ... + lO f(x ) "= 8nX + 8n-1X IIn-2X ao donde n e Wy 8n. 8n-1. 8n-2 Son constantes reales o complejas. Algoribno: Cualquier procedimiento de cálculo. División Sintética: Proceso que simplifica la división de un polinomio en x entr~ un binomio de la forma x-c. Teorema del" residuo: Cuando se divide un polinomio f(x) entre x-e hasta -obtener un residuo independiente de x el residuo es igual a f(e). O. Teorema del factor: Un polinomio f(x) tiene a x"~ccomo factor si y sólo si f(c) Teorema fundamental del álgebra: Toda ecuación polinomial f(x) Ode grado mayor que cero tiene al menos una raíz, real o compleja. Regla de los signos de Descartes: Regla que nos permite en una ecuación polinomial determinar el máximo posible de raíces reales positivas o negativas. Raíz real: Número real que al sustituir a x en una ecuación polinomialla satisface.

=

Raíz Racional: Toda, raíz-de la forma -S,a,be

Raíz "imaginaria:Toda raíz de la forma 8 + b i Raíz Irracional: Toda raJz real no racional.

"222

1, b *. O.

=

Módulo13

'

OBJETIVOSESPECIFICOS Al termin~r de estudiar este módulo, el alumno:

l. 2. 3. 4. 5. 6.

Explicará en que consisten las funciones polinomiales. Definirá cuando dos funciones plinomiales son iguales entre si f(x) Sumará funciones

polinomiales.

=.(x).

/

/

Resolverá multiplicacione~ de dos funciones polinomiales. Aplicará un algoritmo en la división de funciones polinoiniales. Resolverá divisiones sintéticas con funciones polinomiales.

..

.

ESQUEMA-RESUMEN' Función Funciones lineales (Unidad IX)

Funcionés Guadráticas (Unidad XI) I

"

Polinqmio

Funciones polinomiales

I~aldad

,

Suma

Operaciones

Algoritmo de la division

Multiplicación

División ,

División sintética.

223 ,

.

13.1 Funcionea PoIinomialea En la Unidad IX estudiaste funciones lineales. y en la Unidad ~ 01

,

..,,;;,

XI estudiaste funciones cuadráticas 'y aprendiste cómo resolver ecuamoneS linealea ycuadráticaa. Estudiaremos ahora, otro tipo, de funciones que llamaremos funciones poHnomiales., las que podemos escribir como:

..

-donde n es un entero no negativo y 8n, 8n-1, 8n-2,...80' son núMeros reales o conplejos. A cada uno de los monomios 8kXk se les

llama término del polinomio.

,

'

Los coeficientes Para el estudio de las funciones polinomialea sólo trabajaremos de lu funciones ' ',con coeficienies reales o complejos, aunque podemos tener coefi'

polinomiales son elementos del conjunto da. . .

¿Qué valores puede tomar la variable x?

cientes que sean elementos de cualquier otro sistema. Sin embargo" para lo que nos interesa estudiar acerca de este tipo de funciones, nos concretaremos sólo a coeficientes que sean elementos del conjunto de los números reales o complejos. Si 8n * O decimos que la función polinomial (1) es de..grado n y podemos decir que el grado de la función es el mayor exponente ~e aparezca en ena. . ' Aunque aquí la x representa una variable a la que pueden' asignársele valores reales o complejos, 'hay part~s de la matemática donde tiene otro significado por lo que a menudo es conveniente ver a x sólo como un símbolo sin un sentido específico unido a él; si h~cemos esto, las funciones, polinomiales pueden aplicarse a una gran variedad de sistemas y el significado de 'quedará determinado por el sistema particular que se esté estudiando. Definiremos algunas operaciones con funciones polinomiales y para ello supondremos que en cualquier conjunto "finito de funciones polinomiales, madiendo coeficientes iguales a cero, podemos hacer que én todas ellas aparezcan'las mismas potencias ~e x.

'Por ejemplo:'fex)

= 4X4 -

3X2 +: 1 Y g(x) '

podemos reescrihirlas como

y

224

fex)

= 4X4 - 0~3 - 3X2 +OJt

g(x)

= OX4+

3x3

- 2X2 +

+ 1

x + O

= 3X3 -

2X2

+ x.

Sean

n f( x) - InX

-

. n-2 + + In-1 xn-1 +. an-2x

+ lO

= bnxn

+ bn-1xn-1 + bn~2Xn-2 +

+hO

g(X)

en donde I¡, b¡ E e

y.

n E W.

Igualdad defunciones

Definición: Dos funciones polinomiales f(x). y g(x) son g(x) si y sólo si los coeficientes de potencias iguales de x son iguales, es decir,

igualesy escribimos f(x)

=

Definición: La suma de f(x) y g(x) se define como .

S~ma de

.

polinomios. ..

.

fhu+g(x)::(an + bn)Xn+(ln-1+bn-1)Xn-1+(ln-2 + bn--2)Xn-2+ ... +

(lO

+ bo)

Como se puede ver" los coeficientes de f(x) + g(x) son la suma de los correspondientes ,coeficientes de f(x) y-' g(x). A part;ir de esto, podemos ver que la suma de funciones polinomiales es con-' mutativa, asociativa y que h~y una función polinomial O

= Oxn

,

+ Oxn-1 + 'Oxn-2 +

.J

...+ O

que es el elemento identidad para la suma, ya que si '

.f (x ) O

y

= InXn '

+

= Oxn +

an-2x

n-2 +

Oxn-1 + Oxn-2 +

....

"

'n-1

an-1 x

+

.

+ ao '+ O '.

f(~d .

f(x)

+

O

+ O

= (an + O)'5n + = InXn

+ In-1Xn-1

(In-1 + 0)xn-1 + (In-2 + 0)xnr-2 + .

+ (~ + O)

Definición de suma de funciones polinomiales

+

8n-2Xn-2

+

'

+ ao

.

Elementos identida<J para la suma. También tenemos un inverso para la 5uma que namar~mos

- f(x)= (-8n)xn

+ (-ln-1)Xn-1 + (-ln-2)Xn-:2 + ...:+ (-lO)

I .Inversopara la suma

así: f.(x) + (-f(x)

= (an -

8nhén -+(8n-1 - 8n-1)~n-1 + (In--2 - 8n-2)Xn-2 +

(8o-ao) ) 225

= Oxn + oxn-1 + oxn-2, +

+ O

=0 Productode dos funciones Polinomiales

La multiplicación de dos funciones polinomiales se lleva a cabo de la manera usual aplicando las propiedades de los números reales. Si f(x) tiene grado n y g(x) grado m, podemos escribir:

f(x) ,

9 (x, )

+ + In-1X n-1 + In-2X n-2 + m-2 m-1 m + bm-2X + = bmX + bm-1X

= InX n

'

.

'

Entonces' . (1) f(x).

g(x)

lO

+

'

= Inbmxn + m +

'

bO

(Inbm-~ + In-1.bm)xn+ m~1 +

+ (11bo' + lob1)x. + lobo Para efectuar este producto, es necesario que recuerdes las leyes.de los exponentes cuando se.multiplican potencias de la misma base. . , Como In

=1=O

Y bm

tanto el grado de f(x)

=1=

O tenemos que Inbm =1='0y por lo

. g(x) es n + m, lo que podemos escribir

como la siguiente definición. Grado de la lRultiplicaci6n ~ dos funciones

Implica que: El grado del producto. de dos funciones polinomiales €fueno sean O, es igual a la'suma de los grados de las dos funciones polinomiales. (1) Ejemplo:

,

Si f(x) ,= 3X3 + 4x + 1 y ces el término de mayor grado en f(x)

el grado del producto es 7.

g(x) = 2X4 + x

. g(x)

-

1 enton-

es 6x', por lo tanto '

Aunque no demostraremos ninguna de las propiedades de cam-

po para la multiplicación, podemos d"cir que es conmutativa y asociativá y que también se cumple la ley distributiva, que hay un elemento identidad para la multiplicación que es la función polinomiall de grado O. Sólo hay una propiedad de campo que no, se cumple, y es la que se refiere a los inversos multiplicativos ya que sólo las funciones polinomiales de grado O tienen un inverso multiplicativo, lo que demostraremos de la siguiente manera: sea f(x) = lo,

.-

226

lo

=1=O, como lo

e R entonces tiene un inverso

,

multipJicativo 801 por lo que la función polinomial.l(x) := 801 Demostraci6n tiene la propiedad f(x) g(x) 80' 801 = 1. Por tanto g(x) es delinverso multiplicativo el inversomultiplicativo de f(x). .

.

.

=

Podemosagregaru~aúltimapropiedadque dice: si f(x)

.'

. g(x) = O, entonces f(x) = O Ú g(x) = O.

13.11 Algoritmo. de la Divisón de Funciones PoIinomiales

Sean 8 Y b, dos números enteros b > O, xisten dos números únicas r y q tales que 8 b C! + r en donde O .$.r < b. En la divisiónde a por b, 8 se llama diVidendo, b divisor, q cociente y r residuo. Ejemplo: Encuentra el cociente y el residuo cuando¡186se divide por 15. . IS6' ~ . 15 12. 36 30 6

= .

Entonces el coCiente es 12 y el residuo 6, podemos escribir es~o' como 186 = 15 12 + 6 que es equivalentea la expresión 8 b q + r

.

.

= .

Usemosahora el algoritmode la divisiónpara funcionespo-

linomiales.

~~~o:

.

Encuentra el cociente v el residuo cuando X4 + se dividepor X2 + 2x + 1 Escribimosprimero el dividendo como X4+ Ox3 + 3X2 + Ox 16 Y efectuamos la divisiónde ~asÍguientemanera:

3X2

- 16

-

+ OX3 + 3~2. + Ox X4 + 2X3 + X2 - 2X3 + 2x2 + Ox -:. 4X2 - 2x .2X3 --'-'--X4

- 16

I x2 X2

+ 2x + 1 6

- 2x +

6X2 + 2x - 16 . 6X2 + 12x + 6

-

'

10x.

- 22

*Algoritmo es el nombredado a cualquier procedimiento de céSlculo.El nombre procede del matemático árabe del siglo IX llamado al-Huwarizmi quien escribi6 un libro explicando el uso de los n.umerales indo-arábigos. . 227

obten~mos q(x)

= X2 -

r(x) '= -10x - 22

y

2x + 6

Al hacer la división pro~edimos como lo hiciste en el módulo . )

14 de la unidad IV y como en los enteros podemos es~ribir la división como . ,,(4 + 3X2 16 (X2 + 2x + 1') (X2 2x + 6) + (;;",10x, 22)

- =

o sea a(x)

,

-

-

-

= b(x) . qbC) +

r(x)

En general si f(x) y g(x). son dos funciones plinomiale~y . g(x) =/:= O,existen funcionespolinomialesúriicasq(x) y r(x) tales que f(x) '= g(x) q(x) + r(x)

.

=

donde r(x)' ,q si g(x) es factor de f(x) o el grado r(x) es menor al grado de g(,,)' si g(x) no es factor de f(x).

\

Ejemplo: E~cuentra el cociente y el residuo cuando X4- 5X3+ 4x 2

se divide por x

-

- 3.

Escribimos el dividendo como X4 y efectuamos la división. X4 - 5X3 .X4 - 3X3

~ Ox2 +

4x

-

2

I

- 5X3

+ Ox2+ 4x-

x - 3 X3 - 2x2 - 6x - 14

-::- 2X3 -+ OX2

- 2X3 + '6X2

- 6x2 + - 6X2+ --

-

4x 18x 14x':" 2 14x + 42 - 46

-

2X2 6x - 14 Y el residuo es - 46. La división de una función polinomial por otra función polinomialla podemos resumir en los pasos siguientes:

Luego, el cociente es X3.

1.

2.

228

Se arreglan los términos del dividendo y del divisor en potencias descendentes en ia variable x,. si no aparece alguna potencia de x se sobreentiende que el coeficiente del término en dicha potencia es O.. . Se obtiene el primer término del cociente' dividiendo el primer término del divid.endo por el primer término del divisor. .

..

3. 4.

5.

S~ multiplica el divisor por este término del cociente y este producto se resta del dividendo. El residuo de esta resta junto con los términ~ no usados del divisor, se usan comO un nuevo dividendo. y se repiten 'los p~os del 2 al 4 obteniendo cada vez un nuevo término del cociente. Cuando el residuo sea O o tenga grado inferior que el divisor, termina el proceso.

División Sintética Algunas veces es necesario dividir un polin~Duoen x por binomios de la fOrina x - e, e E R. Cuando tenemos este cuo,el trabajo de la división.sesimptifica mucho si,usamos el proceso llamado diWsión sintética el cual Qustraremos mediante el .iente

ejemplo:

.

Si el polinomio

se divide por x 2X4

2X4

-

-

-

2X4

-

5x3 + 3X2 + 2x

-1

2 de la 'manera usual, obtenemos.

5x3. + 3X2 + 2x 4X3

~.

- 1 Ix - 2 2x3

- x2 + x + 4

x3 + 3X2 X3 + 2X2 . x2

+ 2x

X2

-

2x

4x 4x

.

-1 ...

8 7.

Si hacemos esto mismo escribiendo solamente los coeficientes de cada término, tenemos

2-5+3+2-12 -. 4 1 + 3

11 - 2 2-1+1+4

- 1+ ~ 1 + '2

1- 2 4 - 1 .4 - 8 7 229

. ., .

De la forma anterior vemos que las expresiones repetidas' que

corresponden a los términos 2X4,

- X3,

X2

y 4x se pueden supri-

mir sin dar lugar a dudas, y también es innecesario bajar los términos 1 dd dividendo como está indicado. ~i eliminamos 3X2, 2x y estas repeticiones la forma anterior queda

-

2

-

5 + 3 + 2 ~ 1.1.1 - 2 . 2- 1 + 1 + 4

'- - 4 - 1

+ 2 1 - 2 4 - 8 7 Como se han eliminado los términos donde interviene el coeficiente de la x del divisor, eliminamos el 1 y movemos todos los

númeroshaeia arriba quedando lo siguiente:

'

~

. 2 -...:45 ++ 23 -+ .22 -- 81, I-2 2- 1 + 1 + 4 -1+1+4+7 Si ahora bajamos el primer co~ficiente del dividendo a\ primer lugar de la última fila, los primeros coeficient~s de esa fila serán .

2, -1, 1 Y 4 que no son otros que los coeficientes del cociente y el número final 7 es el residuo~ Elimin~do

los coeficientes del coCien-

te, ~I arreglo queda

2-5+3+2-1 -4+2-2-8 2 - 1 + 1 + 4 + 7 Del esquema anterior vemos que cada elemento de la segunda fila, se obtiene multiplicando el elemento precedente de la tercera' fila por -2 y después restamos este producto del correspondiente elemento de la primerafilá. Para evitar tener que hacer estas restas, podemos cambiarle de signo a -2 y entonces cuando usamos el proceso anterior, los sign,osde los elementos de la segunda fila aparecen cambiados y,I por . lo tanto, para encontrar los elementos de la tercera fila sumamos el número que está arriba de cada uno de ellos'

230

.

con el correspondiente de la primera fila. Haciendo este cambio tenemos

~

4-2+2+8 2-5.+3+2-1

'2

2-1+1+4+7

\ ,

,.

Luego, los primeros números de la tercera fila son los coefi.. ' cientes del cociente y el, último número es el residuo. Así podemos escribir:

coCiente

= 2X3

-' X2 +, x + 4 y residuo

=7

De lo anterior tambiénp,odemos ver cple 'el gradó def cociente . siempre es menor en una unidad que el grado del dividendo, y que en este tipo de división el residuo siempre es independiente de x, es

decir una constante.

'

'RE'ACTIVOS DE AUTOEV ALUACION l.

=

-

Si fb,) 2X3 3X2 + 2x + 1 y g(x) = 3X3 + '4X2 -+ '2x + 1 Encuentra: ',a) fbd + g(x) g(x) 'b) f(x)

-

.

g(x) c) f(x) d) f(x)

-

2.

.

Encuentra el coCientey ef residuo cuando 2X4 ~ 3x2 + 8~ + 2 se divide por X2 + '2x 1. Expresa el resultado como

-

f(x)

3.

,

=g(x)

. q(x)

+ r(x).

.

En los siguientes problemas usa división sintética para encontrar el cociente y el residuo si el primer polinomio,se divide

por el segundo.

.

4X3';"

b)

3X4 + 2X2 " x5 X2 +

c)

-

3X2

,

+ 2x - 1 ; x + 2

a)

-

1

2

; x

-

1

; x + 1

d) 3x3 - 2)(.2+ ex - 3' ; x - 3 ' 'e) '-X4 + 5X3 -3x + 1 ; x + 2 231

2X2

f)

+ 3x -

2.

- 3x + 2 5X5 - 1 X3 + 8X2 + x + 3e 2X3 - 2eX2 + 3e2x -

.

,

x-

.!.

2

3

.

g)8X4

; x + -.2

h)

; .x + 3, ; x + 8

i) j)

4.

X

-

8

En los .siguientes problemas encuentra un valor de k de tal . \

a)

483;

manera que al dividir la prilnera ex presión por la segunda~ el residuo tenga el valor que se indica. 2x3

b)

X3i

c)

Xl

=

- 3x2+ 4k x - 2 ; residuo 12 + 2X2. + kx + 3,; x +', ; residijo -8 + kX2 + .2kx + 30; 'x + 3 ; residuo = 3 l'

=

.'\

232

, '

'Módulo 14

nSJETIVOSESPEClFICOS Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:

1.

2. 3.

Confirmará el teorema del residuo en diferentes funciones polinomiales. Confirmará el teorema del factor en diferentes funciones polinomiales.

Graficará funciones polinomialesutilizando divisiónsintética.

.

ESQUEMA-RESUMEN.

Funciones polinomiales

Gráfica

Teorema del residuo

Algoritmo de la división

Su estudio Teorema del factor

Teorema fundamental del álgebra. 233

14.1 Gráficas de Funciones Polinomiales

¿C6moestablecen Un método sencillo nos permi te conocer las coordenadas de los cerosde algunos puntos de la gráfica de una función poIinomial; el diagramar unafunci6n? un número suficiente de estos puntos y unirlos mediante una línea suave nos proporciona una idea bastante clara de dicha gráfica; en algunos casos podemos determinar con relativa facilidad los ceros de" la' función y en otros, estas raíces pueden determinarse con la apro-

ximación que se desee. Para describir el método, es necedSrioque primero establezcamos algunas p.ropiedades o características de estás funciones o bien del polinomio al que represente , . fex). 14.11 T~remad~Reüduo

Si uri polinomio f(x) se divide por un bin~mio de la e eptonces el residuo es 'f(c). forma x

-

De acuerdo con el algoritmo de la división para polinomios f(x)

= (x '-

e) '. q(x) + r

y cuando hacemos x f(c)

= e tenemos

= (e - e)' . q(c)

+ ,r

efectu aildo f(c)

f(e)

= O . q(c)

=r

+ r

EjeDplo: Confirma el teorema d~1residuo para , f.(x)

= x'

+ 2X2- 25x

- 50

Y'

e

=5

Solueióo:,primero determinamos. f(5) por sustitución así f(6) (5)' + 2 (6)~ 26 ~ 50

f(5)

f(6)

= = 126

=O

+ 60

.

-

. -

- 125 - 50 .

Para confirmar el teorema dividimos ahora fbd enÍre x el residUodebe ser O.

- 6,

'

1 + 2

- ,26 -

&O

+&+3&+60

1 + 7 + 10 + O que es lo que deseábamos confirmar.

14.12 Teorema del Factor

,

Un polinon.Uo fex) tiene un 'factor 'x

- e si y sólo si fee) = O. ,

De nuevo, nos auxiliamos del algoritmo de/la división'

- e) . q(x) r+

f(x). =(x

=.f(et,

pero como r' ,

f(x)

= (x - e)

r

entonces

. q(x)

+ f(e)

En esta igualdad es,'fácil notar que si x f(xt, es necesario que f(e) O,o sea

=

,

fex)

= ex- e) . q(x)

y que recíprocamente si f(e) . del polinomio f(x).

= r = O entonces x '-

,

e es un factor

.

f(2)

= (2)3 - 4(2)2

+ 3(2t + 2

f(2)

:::¡ 8

+ 2'

=O

,

.

Ejemplo: Prueba que x '- 2 es un factor de fb't= Solución a) Usando la sustitUción tenemos:

,f(2)

- e es un factor de

- 18 + 8

X3 -.4X2~ 3x.+2

,

Lu~go, si el reSiduo es O, entonces x - 2.es,factor de f(x). Solución b) Utilizando división sintética tenemos:

1 +2-4--22 ~ 4 + 3 + 2

1-2-1+0 Como r

= Oconcluimos

~.

.,

, \

que x ~ 2 es factor de f(.x).

235

14.13

Rafzreal ocompleja

Teorema Fundamental de~Algebra

. . O de grado mayor que Toda ecuación polinomial' fbd cero, tiene al menos tina raíz real o cempleja.

=

Este teorema aunque fundamental por su importancia no nos es posible demostrártelo en forma elemental, por lo que nos concretamos a enunciarlo. Sin embargo, lo usaremos para. d~mostrar una propiedad acerca del número de raíces de una ecuación polinomial.

Ra(ces de unaecuaci6n po¡inomial

T~da ecuaciónpolin~núal

f(x)

= ~nxn

+

tiene exactamente

de la forma

8n-1Xn-1

+

...~

+

80\

=O,

8n

=1='

O

n raíces.

Demostración: partiendo del teorema fundamental aceptamos que f(x) O tiene al menos una raíz, lIamémosla CI, entonces el teorema .del factor nos permite afirmar que x él, es factor de f(x) por lo que

=

f(x}

= (x -

-

CI)

. q.cx) -

Siendo ql (x) el cociente de la división f(x) entre x C, un polinomio en x,existe un valor de x para el cual ql (x) O,sea ese valór .x ~ por tanto q 1(x) (x C2) q2 (x)

= -

=

=

.

Siendo q2 (~d el cociente de la división de q 1(x) entre. x

-~

entonces

E~te proceso podemos continuarlo hasta que f(x)

Propiedad del número de raíces.

236

= (x - CI)

(x

- ~)

(x

- cn) . .qn(x)

y y~ que en esta expresión existen n factores (x ser la constante 8n por lo que.

.

- e¡), qn (x)

debe

en donde cada c¡ es un cero. de f(x).

=

Como en esta expresión f(x) .0 si y sólo si x toma el valor de una CI concluimos que f(x) tiene n ceros y sólo n ceros.' De las propiedades que estudiaste en el párrafo anterior, pof(x) al asignar a x demos concl~ir que en una función polinomial y una v~or; el correspondiente valor. de y lo podemos conocer va-. liéndonos de la divi$ión sintética, ya que el residuo en esta operación esr y, o sea que cuando x e tenemos la siguiente situación: . (f(c) y

=

=

=

=

pero como entonces

=r =r

f(c) y

/

teorema del residuo propiedad transitiva de igualdades

Ejemplo: . Sea f(x) 2X3 + X2 3x + 5 una función polinomial~tengamos por meta f(2), es deCirla ordenada del punto en el que x=2.

-

=

.

Usando la división sintética tenemos:

+ 4.+ 10 + 14 2+1-3+5~ 2 + 5 + 7 + l' f(2)

= 19,

2

el punto tiene por cordenadas (2,19)

Este hecho es el que nos permite tabular dtf forma simple y llegar de este modo a la gráfica de la función; sin embargo, el proceso se simplifica aún más cuando logramos determinar un intervalo en el cual están incluidas las raíces reales.

.

Para ello nos v~emos del siguiente .hecho cuya demostración se

omite.

I

.

.'

Cuando dividimos mediante división sintética .

f(x)

= 8nXn

lC.6mo , obtenemos el

+ 8n-1x"-1 + 8n-2Xn-2+ ..... aoentrex - e númeroderaíces pormediode

con. 8n > O 1.

divisi6n sint6tica?

Si e > Oy. todos los números de la tercera fila ~on positivos,

entonces

e es mayor

o igual que cualquiera

de las raíces de f(x)

= O.

2. Sie < Oy los signos de la tercera fila,son alternados, es decir uno positivo y el siguiente negativo y así sucesivamente, entonces' e es menor o igual que cualquiera de las raíces' de f(x) = O. . 237

Ejemplo:

.

a)

Busca un número e que sea mayor o igual que todas las raíces de X3 + 5X2 2x 24 O..

b)

Encuentra un número e que sea menor o igual que cualqui~ra de las raíces de x3 + 5X2 - 2x.- 24 o.

-

-

=

=

= 3; entonces

Solución a) Sea e

+ 3 + 24Z-24~ ,+ 66 1+51 + .,.+ 22 + 42

3

.

¡;

ti

a = 1 > O, 3 >. O

Y todos' los números de la tercera fila son positivos. Luego 3 es mayor o igual que cualquiera de las raíces de X3 + 5X2 2x 24 =.O.

- -

Solución b) Sea e

= -6

-' 8 + 8 1+5-Z-Z4~

24

-8.

1-1+4-48

Luego, -6 es menor o igual que cualquier raíz de X3 + 5X2 2x 24 O~

-

Ejemplo:-Graficar

-

f(x)

=

= X3

+

5X2

-

2x

-

24

En el ejemplo anterior se vio que las raíces de la ecuación que resúlta al hacer f(x)

=O

en dicha igualdad están coñtenidas en

-e 5 x 5 3' esto significa que si X > 3 Ó x < -61a gráfica de la funciónf(x)=x3 + 5X2 2x 24no toca el eje X.

-

-

Medi~nte dhisión sintética, construimos la siguiente tahla de \ valores.

I

l'

X

-7

Y

-108

- 6 -48

- 5 -14

'

-4

-3

-2

O " O

-8

-1. -18

O -24

1 -20

2 3 O 42

y graficamos* ..

238

<;>bservaque en este ejemplo se h~n usado escalas diferentes para los dos ejes.

"

x

Figura 1 Ejemplo: Grafica Ía 'función polino~al

f(x)

= - 2X3 'X4

definida por

7X2 + 10x + 8

De nuevo construimos la tabla de valores usando' división sintética.

X

-3

-2

-1

O

1

2

Y

60

-8

-8

8

10

O

6 ¡.

..7 1.

3

4

2

84

239

En este caso sólo una de las raíces es un número entero si

X

=2, Y =O,sinembargo, esta tabla de valores nos permite localizár

el resto de las raíces; observa que al pasar X de -1 a O,f(x) cambió de signo,y para que se produzca este cambio en y es necesario que la gráfica cmce el eje X, un número impar de veces entonces una raíz está entre -3 y -2, otra entre -1 y ~, una tercera entre! y 3 siendo la cuarta X

=2.

2

y 80 &O 40

X

-20 -30

Figura 2

Ejemplo:Graficar fex)' = X4 + 2X3- 7X2.- 8x + 20

.'

240

x

-4

-3

-2

-1

,y

68

8

8

20

O 20

1 8

2 8

3 68

-5

-4

.-3

-2

o

-1

1

X

2,

,Figura 3 Se presenta de nuevo el caso en que la figura no toca el eje X; esto significa que las raíces de X4 + 2X3 7X2 8x + 20 O son números complejos. La dett~rminación de raíces complejas así como la de las, reales no enteras, te será presentado en un párrafo posterior a éste.

-

-

=

REACTIVOSDE AUTOEVALUACION Grafica las siguie'ntesfunciones con el dominio que se especifica: a) f(x) =- x3 10X2 + 25x 8; -6 5. x 5. 7 b) f(x) = X3 - 10X2+ 25x - 8; -2 5. x 5. 7

-

e) 'f(x) = d) f(x) = e) '(x) = f} .(x) = g) .(x) = h) '(x) =

x' X4 + X4 + x' X4 + X4 -

-

9x2 + 15x + 8; -8 5.. X 5. 2 X3 - 18x2; -5 5. x 5. 4 9X3 + 12x2 - 28x - 48; -7 :5,',X 5. 2 13x2 +,48x - 46; O 5. x 5. 8 4X3 - 12x2 - 32x - 17; -6 ~ X ~ 4

4x3- 12x2+

32x

-

17; -6 5.

X 5. 4

241

,.

OBJETIVOSESPECIFICOS Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:

1.

Determinará los factores de ao y de an en una función poli~omial dada: anxn + n 1 . '¡ , an-1x - +...+ a,x + aO, aO =1=0 .

') ....

3.

l!tiliiará la división sin~ética para determinar .las raíces racionales de funciones polinomiales dadas. Aplica~á la regla de los signos de Descart~s para simplificar la determinación de

'

,

raíces racionales en fun~ionespolinomiales dadas. 'ESQUEMA,RESUMEN :

.

,-

Funciones

,r

polinomiales

Determinación de raíces

I I

,.

---DIvisión sintética'

..

de factores

Raíes racionales "

/

"-

... Regla

de ,los

, signos de Descartes. I

-

Determinación

.

...

Raíces real,es

(

positivas y f

negativas

243

15.1 Raíces Racionales

La determinación de los ceros de una función polinomial se fundamenta en el siguiente hecho:

Seaf(x)

= 8nXn + 8n-1Xn-1 '+

+ 81X + aO, 80

=t=

O

una función polinomial con coeficientes enteros; para toda raíz racional (¡) de f(x), e es un factor de 80 Y'd es un factor de an (e y d sonprimos entre sí* y e > O). Ejemplo: Encuentra todas las raíces racional~s de 3X4 + 2X3 18x2 /+ 8 O .Como primera etapa del proceso 'determinamos los factores' . de 80 + 8 y 8n 3 los factores de + 8 son :t: 1, :!: 2, :!:4, :t: 8, 'pero como e > O entonces eliminamos los negativos y quedan 1, 2, 4, 8. Los fa'ctores de 3 son:!: 1, :t 3. Entonces cualquier raíz racional es uno de los números si. guiente~que son las raíces racionales p
-

"

=

=

=

:t: 1, :t 2, :t 4, :t 8, :t

!3 ,

:t

'3

! , :t !3"'"', + !.' 3

De estas dieciseis posibilida~es, no más de cuatro pueden ser raíces; para determinar cuáles lo son nos valemos de la división- sin. + 2, entonces tética ,sea x

=

~+ 2

~

18 + O + 8

6 + 16

-

3 + 8

2

,Por lo que + consecuencia

-

-

-

4 8 4 + O

2 es una raíz

yx

-

2 un factor de f(x) como

-

-

3X4 + 2X3 18x2 + 8 = (x 2) (3X3 + Yel resto de las raíces se busca'en el polinomio 3X3 + 8X2

- 2x -

8X2

- 2x - 4)

4.

. Siendo 3X3.+ 8X2 - 2x - 4

=O

la ecuación en donde

'debemos buscar las otras raíces:'h~amos ahora x

esigualdividamosentre x + !

3

=-

! ó lo que

,3

* IDosn~meros' son primos entre sí si no tienen factores primos comunes.

244

= - -3 es otra raíz y x 2

entonces x

f(xt

'2

= (x - 2) ,(X +

+ -otro factor, por lo que 3

~,) (3X2

+ ex -

6)

Las dos raíces que faltan resultan 'de la ecuación

3X2 + 6x ó

X2

- 6 =O

+ 2x -, 2 ~ O

La que, por ser cuadrática podemos resolver usando la fórmula general, en~onces

x

= -2

t .J(2)2

-

4(1) (-2)

2(1)

= -2 :t: .J4+8 = -2

x=-1:t:

2

.

:t: 2 2

.J3

.J3

con lo cual conlcuimos que sólo dos raíces son racionales y las otras dos son irracionales, entonces.

f(x) = (x - 2) (x + '!) (x + '1 - v'3)(x + 1 +- .J3) 3

,

Como las posibilidades para una raíz racional pueden ser muchas, el probar cada una de ellas hasta reducir la función polinomial a una cuadrática es naturalm~nte un proceso tedioso, Con obj~to de simplificarlo te vamos a enunciar una regla o criterio cuya aplicación te permite d~terminar el número má'ximo de raíces re.ales positivas o de raíces reales negativas; esta regla .pr:ecisa que el polinomio f(x) esté ordenado en forma creciente o decreciente y nosotros de.bemos conocer qué se entiende por un cambio de signos. Se dice que exiSte un' cambio de signos si los signos de dos términos consecutivos son

diferenteso

Reglapara determinar el

númerom_ximo de rafces

.

Ejemplo: en el polinomio

2X4 +. 7 .X3

~

- 2x% - 13x +

6

~.

245

Existen dos cambios de signo porque los términos 20. y 30. tienen signos diferentes; y otros dos términos consecutivos 40. y 50. . también difieren en signo. Asimismoen el polinomio ,

x4

~~

-

X3

-

+ 6X2 + 4x

8

hay tres cambios de signo. Ahora te enunciamos y ejemplificamos el criterio que es conocido como Regla de los signos de Descartes. f

15.11 Regla de los Signos.de Descartes El número m.áximo 'de raíces reales positivas de una e~uación Ono es mayór que el número de cambios de signo polinomial f(x) en f(x). El número de raíces reales negativas del,la misma ,ecuación no es mayor que el número de cambios de signo, en f(- x).

=

Ejemplo: En f(x) =, 2X4 - 3X3 - 7X2 + 5x-1

"-/'--/

'-J

-

hay tres cambios de

-

"

signoppr lo que la ecuación 2x4 3X3 7X2 + '5x tiene un máximo de tres raíces reales positivas.Ahora en

= 2(-X)4-

f(--x) 'Ó

f(- x)

= 2x4

1 =O

3(-X)3- 7(-x)2 + 6(-x) - 1

+ 3X3

-

- 5x - 1

7X2

hay un"cambio de signo, por lo tanto 'tiene cuando mucho una raíz real negativa:

Ejemplo:,

'~

,

Encuentra las raíces racionales de la ecuación 3X4

- x3 -

21x2

-

1'1x + 6

=O

Solución: Cualqui,er raíz racional., de esta ecuación está formada por un factor positivo de 6 dividido por un factor de 3.. Entonces: factóres positivos de 6: 1,'2,3,6, ' factores de 3: :t: 1, :t: 3 Raíces racionales poaibles: :t: 1, :t: 2, :t: 3, :t: 6, :t: i,

246

:t: .¡

en el polinomio

~3X4

-

- 21x2

X3

"i 11x

~'.

t 8 =Ohay dos cam-

bios de signo, entonces tenemos un máximo de dos raíces reales positivas.

si x es sustituida por (-x) tenemos ó

3(-X)4 - (-X)3 - 21(~X)1 - 11(-x). + 6, 3X4 + X3 21x2 + 11x + 6 = O

-

.~~

=O

Resultan dos cambios de signo por lo que existen cuando mucho dos raíces reales,negativas. Existen las mismas posibilidades para las raíces positivas que para las raíces negativas. Si trabajamos con la función f(x)' 3x4 X3 21x2 -11x + 6 y le asignamos a x los valores Oy 1 tenemos que

=

-

-

feO)

=8

f(1)

2 -- 19 ;= -24 porque 3 - 31 + - 21 11 -+ 30 61~1

y

3+2-'19-30-

24

Puedes notar que al pa~r x de O á 1, f(x) cambió de signo lo cual significa que al ,menos en una ocasión c~zó el eje X; si en el .

(los) puntos (s) de intersección la x es racional su valor es'¡ ó ¡'; probemos con .1 .

3

- -

-

7-63 3 +1+1 21()- 11. + 6 3 + O - 21 - 18 + O

~ =

'~ es raíz de la ecuación f(x) O,el resto de las raíces se busca en la ecuación definida por el cociente de la divisiónsintética a la cualllamam08 ecuación degradada;ésta es

Ox2 -

3X3 + OX2

ó

X3

+

probemos ahora con 1 -+ O

-

7 -

21x

-

7x

-

x

=2

6'

+2+4~~ 1 + ~ - 3 - 12

=

18 O 6 =, O

.

I 247

2 no es raíz de la ecuación; probemos con

X

=3

+ 3 + 9 + 6 3 1+0-7-6~ 1+ 3 + 2 + O 3 es raíz de la ecuación y la ecuación degrada es ahora una cuadráO por lo que tica. X2 + 3x + 2

=

x= - 3

:f:

.

Jg::s 2

X

= -3

x

= -2 6

:f: 1

2

x

=-

1

entonces las raíces racionales de3x4

- - 21x2 X3

11x + 6

=O

esel conjunto{-2, -1, -i, 3} Yel polinomiofactorizadoes 1

3(x + 2) (x + 1) (x

- '3) (x - 3) = O

Ej~..lo: Encuentra el conjunto solución de la ecuación X4

- 7X3 +

18x2 - 20x + 8

=O

Solución: Factores positivos de 8: 1, 2, 4, 8 Factores de 1: :f: 1 '

raíces racionales posibles

:f: 1, ::t:'2, :f: 4, :f: 8.

'En la ecuación hay cuatro cambios de signo por lo qqe, existen' posibilidades de hasta cuatro raíces positivas, por lo que nos, concretamos a probar con estas posibilidades, sea x = 1 +

+ 1 - 6 + 12 - '8 1 1-7+18-20+8.~ 1 - 6 + 12 - 8 + O 1 es raíz de la ecuación, (x

X3

248

- 6x2 +

12x

- 8 =.0

-

1) factor .del polinomio y la ecuación degradada' en la que bus-

camos el resto de las raíces, ahora si x = 2.

+28+8 1-6+12-8~ 1-4+ 4+0

2.

2 es raíz, (x - 2) factor y x2-4x +4=0 la e"cuacióndegradada.

-

= -

-

Pero )(2 4x + 4 (x 2) (x 2) con lo que concluimos que la ecuación tiene cuatro rL'lcesracionalesque son 1,2,2,2. A 2 se le denomina raíz I:epetidaya que aparece como raíz en tres ocasiones. Ya que en una ecuación pueden existir raíces repetidas se recomienda que al obtener una raíz se pruebe este -ralar en la ecua-

ción degrad~para determinar si es repetida o no.

.

REACTIVOSDE AUTOEVALUACION

1. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) 1)

Encuentra el conjunto solución de las ecuaciones dadas:

- 10 = O O - 11x - 8 = O

X3 + 8X2 + 3x 4X3 X3

- 7x - 3

-

"4X2

:;

~3 _X2 + 2x - 1

=O

- 7x~ - 4. + 4 = O - 2x2 - 13x + 8 = O 3X4 - x3 .:..21x2 - 11x + 8 = O 3X4 + 4X3 2x4 + 7X3 8X4 + 8X3 X4

-

4x4

X3

-

- 61x2 +

X2

- 8X3 +

11x + 8

- X - 2 =O

19x2 + Zx

=O

- 6 =O

+ 19x4+ 26X3+ 26X2+ 19x + 8=0 X5- X4- x + 1 = O

8X5

'249

Módulo16. 'qSJETIVO$ ESPECIFICOS. Al terminar de ~\8tudiar este módulo, el alumno: ,

l.

Obtendrá

tod~s las raíces reales de una función

polinomial

dada~ utilizando

la

división sintética.

2.

3.

.

Después de '1t~izar la división sintética y cuando la ecuación quede de grado 2 utilizará la fórmula generalpara obtener las raíces imaginari~. . . Obtendrá las raíces irracionales de funciones polinomiales dadas útilizando el mé-

todo gráfico.

-

.

ESQUEMA-RESUMEN

Funciones

Determinación

--

de raíces

polinomiales

."

División sin tétic a

Ecuación degradada.

Raíces imaginarias

'

,\

Método -gráfico

Raíces irracionales.

251

16.1 Raíces lmapnarias El método para determinar las raíces imaginarias de una ecuación 'poli'nomial, está fuera del 8Icance del fin que se persigue en este texto.

¿Qué significatener una conjugada?

Aunque no se demuestra cuándo una ecuación polinomial tie. ne raíces imaginarias éstas siempre' aparecen por pares, siendo' en cada par una conjugada de la Qtra~ Cuando sólo son dos las raíces imaginarias que tiene una ecuación, lo que hacemos es obtener primero todas las raíces realés por el método de la división.sintética, y cuando la ecuación degradada quede de grado 2, se resuelve mediante la fórmula general, obteniéndose las dos últimas raíces 'que son las

que suponemos imaginarias. Ejemplo:

'

,

Encontrar todas las raíces de la ecuación X3 ; 5X2 + 9x

-5

Usamos división sintética para encontrar las raíces reales

+1-4+51 1-5+9-6~ 1-4+5+0 Como el residuo es O, 1 es ,raíz de la ecuación y la ecuación degradada es X2

-

4x + 5

=O

Resolvemos esta ecuación usando la fórmula general: (

!

x = - (-4) :t: '

x

= 4:J:

x=4:tvC4

x=

"16 2

"(-4)2 2(1)

- 4(1 )(~i)

-2,0

2

ti :!: 21 2

x=2:!:i Luego, la ,ecuación original tiene dos raíces imaginarias que son

2 + i 252

ó

2 - i

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación X5.

-

8X4 + 21x3

- 12x2 - 22.

+ 20

=O

.'

Luego, la ecuación degradada de segundo grado que. queda es: X2

- 8x +

10

=O

Para encontrar las dos raíces restantes usamos la ecuación degradada

X2

==

O Y resolvem~s por la fónnula generaL

- (-l. :t J (-1)2 - 4(" (10)

= 2(" x = 1 :t .J231 - 40 x

.

- 8x + 10

\

X=I:t.J:4

2

x = 1 :1:21 .

2

x=3:1:i Luego, las raíces de la ecuación original son:

6

3

-I

.

Como se puede ver de los dos ejemplos anteriores, las raíces imaginariasaparecieron por pares y son conjugadas. .

Ejemplo: Demuéstrese que"la ecuación 2X4

.

'

+ 3X2 + 1 = Otiene cua-

tro raíces imaginarias.

En este ejemplo sólo se demostrará que la ecuación tiene 4 raíces imaginarias per9 no determinaremos cuáles son, para ello procedemos de la manera siguiente:

.

253

=

Hagamos f(x) 2X4 + 3X2 + 1 El nÚ!nerode variaciones de signo en f(x) es O, por lo tanto de acuerdo con la regla de los signos de Descartes, el número de raíces positivases o.

Encontremos fe-x). fe-x) fe-x)

= 2(-X)4 = 2x4

+ "3(-x):a" + 1

+ 3X2 + 1

El número de variaciones de signo en f(- x) es O, por lo que el "número de raíces negativas es O. .

Cómo una,consecuenciadel Teorema fundamental del Algebra,

esta ecuacion debe tener 4. raíces ya que es de 40. grado, sin embargo, no tiene raíces reales positivas ni negativas o cero por lo que concluimos que sus cuatro raíces deben ser ~magi~arias. 16.2 Raíces Irracionales

Utilizando Cuando una ecuación polinomial tiene raíc~s irracionales, poel m'todo gr6fl~o demos en~ontrar éstas con el grado de exactitud que se desee usando encontramos el método crár~; este método está basado en que si dos valores de

lu rafces...

,la variable están m,uy próximos uno de otro, la gráfica entre ellos se puede considerar una recta. Ejemplo: Encontrar con aproximación de tres Icifras decimales, una raíz 2 ;::: O irracional de la ecuación X3 2X2

-

-

Usando divisi6n sintética localizamos entre ,qué enteros consecutivos hay una raíz.

.

f(1)

= -3

f(3)

=7

. + 2 + O+ 1-2+0-2~

O 2,

1+0+0.-2

+3-+3+93 1-2+0-2~ 1+1+ 3+ 7 Como

254

f(2)

= -2 Y f(3) = 7 hay cuando.menos una raíz

= -

-

entre 2 Y 3. Construimos la gráfica de f(x) X3 2X2 2 usando los puntos que acabamos de obtener por diyisiónsintética y que son: (2,:"'"2), (3, 7) (figura 1 en papel milimétrico). ,""

Los dos puntos se unieron mcxliante u~a línea recta, y en la gráfica obsérvamos que la recta cruza el eje X' entre 2.2, 2.3.ó 2.4; calculamos dos nuevos puntos por donde pasa la gráfica, usando los valores 2.2, 2.3 ó 2.4 en la división sintética te~emo8:

1-2

+0 2.2

1 + 0.2 +

-2 0.44 +

~ 0.44 - 1.032

Figura 1

I

~

+ 1.587 2.3 1-2 2.3 +00.69 -2

1 + 0.3 + 0.69' - 0.413

1(2.2)

= -1.032

f(2.3)

=

-0.413

255

~

1-2 2.4 + +00.96 + -2 2.304 2.4 1 + 0.4 + 0.96 + 0.304

= 0.304

f(2.4) .

Luego, la gráfica cruza el eje X entre 2.3 ó 2.4; con el objeto de que la aproximación sea mayor, usaremos una escala 10 veces mayor en él eje X que en el eje V. 'Para construir la gráfica usamos los puntos (2.3, -0.413), (2.4,

0.304).

.

Usaremos solamente la' región de plano donde se localizan es.tos puntos. (ver fIgUra 2). ' . .. ., ' .1:.' I : H,'I :"¡I.'UI11' 1 1":I~1, I¡l' t r., tj f I t~i ¡. tI.. .J.i

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Figura 2 En la gráfica observa~o8 que la recta cruza eJ eje X entre 2;35 Ó 2.36. Usamos estos valores en la división sintética.

~

+ 1~932875 2.35 f(2.35) 1-2. 2.35 +0 0.8225 -2

1 + 0.35+ O8225- 0.067125 256

= -0.067125

2.36

1-2

~

+ 0.8496 '+ +0 -2 2.005056 2.36 1(2.36). = 0.005066

1 + 0.36 + 0.8496+ 0.005056

Constrnimos la gráfica ,usando los puntos, (2.35, -0.067125),

0.005056).

(2.36,

.

En este caso tambIén usamos escalas diferentes en cada eje. (ver figura 3).

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Figura 3

En ]a gráfica observamos que la recta cruza el eje X entre '2.359 Y 2.360, por lo que podemos considerar el valor de la raíz como una aproximaci6n aceptable a tres cifras decimales, sin em257

bargo, esta misma gráfica nos puede servir.para aproximar el valor de. la raíz una cifra d cimal más, ya que se observa Claramente qu~ la recta croza el eje X en x aproximadamente 2.3593, ,y si probamos este valor por me.' o de la división sintética enco~tramos que el residuo es igual a -0.0000299 o sea I

i I

'f (2.3593)

.

- 0.0000299

=1

Luego, pOde os concluir que una de las raíces de la ecuación \

.

con'aproximación a tres'cifras decim,aleses: 2.359. . Si la raíz se

-.

ecesita aproximar con más cifras deci~alest se

~

sigue repitiendo el ro?eso de la división sintética y, se grafica tantas veces como sea necesano.

REACTIVOSDE AUTOEV ALUACION

l.

Las siguientes ecuaciones tienen 12 raíces imaginarias y las restantes son reales. Encuentra todas sus raíces.

a) 4X3 + 2X2 b): 3X3

-3

22x - 12

=b

.

= 01

1

.

- .1= O .2

c) x3

- -2

d ) X3

+ -3782X2 . + -3 x + -3

+ x

X2

I

O

=1

e) X4 - X3 -. X2 - X - 2 = f) X4 2x~ + X2 + 2x 2 F' O g) 4x4 8X3 + 19x2'+ 2x -15 O h) 2X5 2X4 2x + 2'

-

2. 3. ~ 5. 6.

7.

=

-

Demuestra que la ecuación 2X4

+ ~x2 + 1

l

==

Demuestra que la ecuación3X.7 .+ x 3 + x + 1 Demuestra: que I~ ecuación3x' + 2X2 + 3

Otiene cuatro raíces imaginarias.

= Otiene sei~ raíces ima~inarias.

=

Otiene seis raíces imaginarias. con tres cifras decimal s la raíz que está entre 2. y 3 en la ecuación X3 x 9 O.Con la raíz oht 1nida calcula f(r). . Encuentra con tres cifras d~cimale la raíz que elltcientre -2 y.-3 en la ecuación x3 + 2x + 20 O.Con' la-raíz obtenida calcula f(r). . Encuentra con cuatro cifras deci ales la raíz quc está entre 1 y 2 en la ecuación Encuentra

-

-

=

=

x3 + 3X2

258

-

-

2x

- 5 = O.

~

Con Ir r~íz obt~nida calcula f(r).

8.

Encuentrá con 4 cifras decimales la ra.íz que está entre 1 y 2en la ecuación X3 + 4X2 7 O. Con la raíz obtenida calcula f(d.

- =

"

259

Bibliografíaparac,onsulta. UnidadXII

ALGEBRA Florence M.Lovaglia MerritA. Elmore DonaldConwey Harla,S.A. deC.V. 1972 ' INTRODUCCION A LAMATEMA TICAMÓDERNA ElbridgeP.VaRce '

'

FondoEducativo'lnteramericano, S.A. '.

1968.

260

...

\.

Panelesdeverificación

Conjunto de Problemas XII-13.

l.

a)

5X3

+

X2

+ 4x + 2

b) . -x3 - 7X2 . c) 8X6- x' - 2x4 + 7X3 + &x2+ 4x + 1 d) ~ 2X3 + 3X2 - 2x ~ 1 . C) ....

cociente

= .2X2- 4x + ,7

residuo =. -12x + 9 2X4 - 3X2 + 8x + '2) = bC2+ '2x - 1) (2X2 - 4x + 7) + (-12x + 9)

3.

11)

-

coden te = 4X2 residuo = -49

11x + 24

3X3. + 3X2 + 5x + 5 b) cociente residuo =4 c)

cociente

=' X4

.residuo

=0

-

X3

+

- 2x

x2

d) cociente = 3X2 + 7x +27 residuo = 78

-

e) cociente = X3 + 7X2 residuo = -49 f)

cociente:;::: 2x residuo = O .

+

=

14x + 25

4 9X2

-

15x3 + 45X2

+

27 x 2

-

!!. 4

295

8

h) cociente = 5X4

residuo =

2

-

-

g) cociente == 6X3 . residuo

-

+

1216

135x + 405:

..

'i)' cociente = X2 + 1

residuo = 28

261

= 2X2

j) cociente .. \

4.

+

= -83

residudo

382

=2 = 10. k =O

a) k

b) k

I

c)

I

Conjunto

de 'Problemas XII-14

Nota: Como su solución es gráfica, se deja para que el alumno la compruebe.

Conjunío

1.

,de.1 Problemas XII-15

a) {-5, -2, 1}

:

1 '3

b) {-1, - 2' 2} c) {-1, 6} , I

d)

{-i,

i,

e)

{-2,

-1,

.¡} 2 i' 1

1}

1) {~3, -2, 2' 1) g) {-2, -1, ~, 3}

, 1

h) {-3, - i'

2' 2}

i) {-i, i" -1, 2} j) {- j, j, 1,- 2i, 1 +. 2i} k) {- !2' -1 , - !3' - i, i} 1) {1, -1, - i, i} Conj':lnto de Problemas XII-16

L

- 1. '+ 1. v23 i - 1. - ~ ~3 a) { 1. 2' 2 2 '2 2 b) {1,~- j c) {j,

262

i, -i}

+ 'j

.J3 i, - ~ - í. .J3 i}

, i}

1

d) {- "3'-1 + 1,-1 - i} .e) {-1; 2, i, - n f) {1, -1, 1 + 1, 1 - 1} 1

g) {¡,

- ¡,1

1 + 2 i, 1

-. 2 i}

h) {-1, 1, 1, -1} f(x) 2x4 + 3x2 + 1

=

2.

cambios de signo O cambios de signo O

fe-x) = 2JC4+3x2 + 1

por tanto, no tiene raíces reales y siendo de 40. grado sus 4 raíces serán imaginarias.

3.

.

f(x)

= 3x" +

x3 + x + 1 cambiosde signo O

= -3x"- x, - x

f(- x) + 1. cambios designo 1, por tanto, tiene una raíz real negativa y siendo la ecuación de 70. grado 6 restantes serán imaginariaS.

4.

f(x)

~

= =

3x6 + '2JC2+. 3 cambios de sipo O f(- x) '3X6 + 2X2 + 3 carilbiode signo O por tanto, no tiene raíces reales y siendo la ecuación de 60. grado las 6 raíces serán .

Un~naria~

5. 6. 7. 8.

.

r

= 2.240

f(2.240)

r

=-

f(- 2.489)

= 0.011079

f(1.33OO)

= 0.000883

f(1.1642)

= - 0.0008416

r r

2.489

= 1.3300 = 1.1642

=-

0.000&78

263