M Iii (11-12)

.

Módulo11

OBJETIVOS ESPECIFICOS ..' Al tem9nar de estudiar ~ste módulo, el alumno: .

1. ,,2.

3. 4.

Identificará desigualdadescuadráticas.

\

t

Aplicará el método gráfico en la resolución de desigQaldades cuadráticas. Aplicará el método algebraico en la resolución de desigualdades cuadráticas. Obtendrá la, suma y el producto de .las raíces de ecuaciones euadráticas, sin re.. . solverlas.

5. 6.

.

Resolverá ecuaciones que contengan radicales. Resolverá ecuaciones de la.forma:

=

8 [f(x» n + b [f(x)]l + e O, n e I reduciéndolas a la forma cuadrática.

ESQUEMA-RESUMEN

Desigualdades cuadr.áticas ax2

Condicional Propiedades

+ bx + e ~ O

8X2 + bx +- e ~'O

Absoluta

Métodos de solución

I

Gráfico

I

163

..

Funciones cuadráticas

f(x)

= ax2 +

bx + e

I

Ecuación

..... ....-

cuadrática

ax2 + x + e =, O .-

.

t

--

Raíces ó ceroS\

Análisis del discrilJlÍnante b2

Interpretación

-

4ac

geométrica

j

11.1 Desipalda~es .

Cuadráticu

En la Unidad VII estudiaste desipaldades tinealesy aprendiste

cómo se resuelven. Ahora estudiarás otro tipo de desigualdades que llamaremos desigualdades cuadrátieas siendo BUforma una de las dos siguientes expresiones: 8X2

+ bx + e ~ O

6

¿CuAntos tipos de desigualdades cuad"'ticas existen?

U2 + bx + e ~ 0-

Tenemos dos tipos de desigualdades: la desipal~d condicioque corresponde a la ecuación condicional, y la desigualdad absoluta, que corresponde a la 'identidad; en este tema solo estudiaremos el primer tipo.

Definición: Una desigualdad es condicional si es cierta sólo para algunos valores de la variable o variables que en ella

.

intervienen.

Ejemplo: La desigualdad 3x 8 < O es una desigualdadcondicional puesto que sólo es cierta para valores de la x menores que 2.

-

Definición: Una -desigualdad es absoluta si es cierta para todos' los posibles valores de la variable o variables que en. ella ,

intervienen:

Ejemplo: x2 + y2 + 1 > Oes una desigualdad absoluta puesto que es cierta para todos los valores reales de la x y y, puesto que tOdo número real elevadoal cuadrado es mayor ó igu'ala cero. Antes de estudiar los diferentes métodos para resolver una desigualdad cuadrática,,'es útil que recuerdes las siguientespropiedades de las desigualdades. 1. En toda desigualdad podemos sumar o restar un miimlOnúme- Recordemos las .propiedades de ro aJambosmiembros sin que la desigu~dad se altere. 2. El sentido de una desigualdad no se invierte si ambos miem- las desigualdades. bros se multiplican o dividen por un mismo número positivo.' 3. El sentido de una desigualdadse invierte si ambos miembros se multiplican o dividen por un mismo n~ero negativo. '

165

Estudiaremos dos métodos para resolver un~ desigualdad cua-

drática: el método gráfico y el métQdo algebraico. 11.11

'

M~odo. Gráfico Por medio de un ejemplo, estudiaremos este método.

Ejemplo: Resolver grá6caín~nte la ~esigualdad

. X2

- 5x

>

- 6.

Primero es necesario que la desigualdad nos qu'ede en la. forma

f(x) > O,

por lo que sumamos a ~mboslados

.\

X2

-

5x + 6 >

-

X2

-

5x ,+ 6 > O

-1:"

6, quedándonos

6 + 6

Si hacemos el miembro de la izquierd~ igual a y, tenemos

y

= X2 -

5x + 6

buscamos abora valores de' x tales que

y'

. =

X2

,

Construimos la grafica de y todo de tabulacióm

1,

>

o.

-

, 5x + 6 usando el me-

Dándol~ valores a la x en la ecuación, tenemos:

Cuando X = 2,

Y,= (-1).2,'- 5(-1) + &= Y = (0)2 5(0) + & =. & Y = (1)2 5(1) + & ~ 2 Y = (2)2 5(2) + & = O

Cuando X = 3,

Y = (3)2

Cuando X = 4,

Y = (4)2

'Cuando

X ,= -1,

-

Cuando x. = O, Cuando X = 1,

.

Cuando X

= 5,

Cuando X ::=&,

,

~

-

5(3) + & = O .5(4) +- & = 2 5(5) -+-& = &

Y = (5)2

-

Y=

- .5(&)+ &= 12

(&}2

12

los valores asi obtenidos los resumemos-en la siguiente tabla:

x y

,16(j

~ :21010

6, 12

. De la tabla podemos ver que la gráfica intemeca al ejé x

en porque para estos valores y '::: O; y necesitamos un punto intermedio entre estos dos valores de x, con el objeto de que te des cuenta que esta gráfica no tiene ~ngún segmento rec-

x

=2 Ó x =3,

tilíneo.

.

~

Para x

= 2"

y=-¡

1

v 13 12

(6.12)

x

-3 Figura 1

167

Constmimos la gráfica con los valores obtenidos. (Ver figura 1) De la gráfica'vemos que y > O (queda arriba del eje X) para toda x > 3 Ó x <, 2, por lo que la solución de la desigualdad 6 es: '. , X2 5x >

-

-

{x E R Ix>

3

Ó x < 2}

En general, para obtener gráficamente la solución de una desi. 'guaIdad cuadrátic~, se hace lo siguiente:

Método para ob- l. tener la solución, de la desipaldad.

Se transforma la desigualdad' dada en otra equivalente de la forma f(x) >1O Ó f(x) < O, haciendo uso de las propiedades de las desigualdades. 2. - Se iguala la expresión resul~nte a una-nueva. variable (y).

3.

4.

Graficamosla ecuación obtenida en el paso 2. Si f(x) > O en el paso lla solución es todos aquellosvalores de x para los cuales la gráfica que«!a'arriba del eje X, y si f(x) < O la solución es todos aquellos valores de x para los cuales la gráfica queda abajo del eje X. .

Ejemplo: Resolver gráficamente la siguiente desigualdad: 2X2 Sumamos -- x a a ambos lacios, quedando 2X2 - x - 10 < O . Hacemos

y

= 2,,2 -

X

-

10 ~ X.,

- 10.

Obtenemos valorespara la y dándole valores a la x.

Cuando

x

=-

3,

Cuando x = - 2, Cuando x = - 1,

Cuando,x ~ O, Cuando x

= 1,

Cuandox = 2, .Cuandox = 2.5, Cuandox = 3,'

. y = 2 (-3)2,- (-3) - 10 = 11 2 Y 2 (-2) - (-2) - 10 = O Y=.2 (-1)2 - (-1) - 10 = 7 Y= 2 (0)2 - (O)- 10= 10 Y= 2 (1)2 - (1) - 10 = - 9

-

,

Y == 2 (2)2

Los valores asiobtenidos

168

-

(2)

-

10 = - 4

y = 2 (2.5)2 - (2.5) - 10 = O Y=,2 (3)2 - (3) - 10 = 5 .los resumimos en la siguiente úÍbla:

, x

-3

-2

y

11

O

-1 -7

I

I

O

1

I -O I -9

2

2.5

-4

O

Construimos la gráfica usando los valores de la tabla anterior.

3' .5

.

y 12 11 10 9

8 7 6 & 4 3

t

I

X

I

-Figura 2 En la gráfica vemos .que bajo del eje X) para X <

f(x) < O

~ y x >

{x E R I -2

(la gráfica queda de-

- 2, -por lo qu~ la ~IUción es

fi < x < 2"}

169

11.12

.Método AJcebraico Usaremos algunos ejemplos para estudiar este métódo y después indicaremos todos los pasos a seguir para,obtener la solución de la d~aldad cuadrática. ~

.

Ejemplo: . Resolveralgebraicamentela desigualdad 3x:i > 16 4x Sumando -1& + 4x a ambos lados de la des~gualdadobtenemos .3X2 + 4x 15 > O

'-

-

Hacemos f(x)

=

3X2

+ 4x

- 15

.Se encuentran los ceros de la función por cualquiera de' los métodos que ya conoces. En este ejemplq lo hacemos por factori,

zación quedando.

f(x)

= (3x - 5) =

(x + 3)

=

Siendo los ceros x.. ~ ó x -3, si graficamosedos puntos en el eje X, tendríamos los siguientes intervalos'

-

< x < -3

00

x

6

-3

6

< x < i

i < x.<

00

=-3

Puestoque 3X1+ 4x - 16 = (3x - 6) (x + 3) escribimosla desigualdad coino

(3x

- 6)

(~.

+ 3) > O

que ~ equivalente a la desigualdad original y dado que son .dos factores, su producto será may~r que Osiámbos son positivos o si ambos son negativos. Analizamos el signo de los factores numéricos' en cada uno de los interval9s. .

-

00

< x < -3

(-) (-) > O

6

-3 < X < i (-) (+) < O

!3' < x <

00

(+) (+) > O

Lo hicimos tomando un valor de la x que que..dedentro del intervalo, y lo sustituimos en cada uno de los factores considerando sólo el signo del factor numérico que es lo que nos interesa.

170 )

Podemos ver que el signo de dos factores es negativo en el

intervalo -

00

en el intervalo

< x' < - 3, Y que los dos factores son positivos

~ <

~

< 00 por lo que la solución de la desigual-

dad dada es:

{x E R I

I

...:..

00

< X < -3

Ó

t<x<

oo},

Ejemplo: Resolver el ejemplo anterior considerando la desigualdadcomo menor que en lugarde mayorque (». '. EscribimosI~ desigUaldadfactorizada como (3x 5) (x . + 3)
«)

-

Vemos que en el ~t~rv~lo

~

3 < x<

.t el primer factor es

\

negativo y el segundo es positivo, entonces su producto .esmenor que/ceró, por lo que lasolucióri de la desigualdad'es: .'

{x E RI

-3

5

< x < "3}

A partir de los ~JeIilplos anteriores, podemos deducir los paSos para obtener la. solucióQ de una desiguald~d cuadrática por el méto-

do a~gebraico: l. .

2.

.

Se transforma la desigualdad dada a .una .equivalente de la forma f(x) > Oó f(x) < O.Si la desigualdad está en una de estas formas, se omite este paso.

Se determinan los ceros-de la función obtenida por cualquiera de los mét.odos ya conocidos.

3. 4.

5.

Pasosparaobtener la soluci6nde la desigualdad cuadr6tiCl.

~

Se encuentran 40s intervalos tomímdo en cuenta los ceros ob-' tenidos. Se determina el signo de la función en cada uno de los inter,valos obteni~os en el paso ~terior. La.solución de la desigualdades el intervalo o intervalosque la. satisfagari:

Ejemplo:

-

.

.

Resolver la desigualdad 2X2 + 2x 5 >' O usando el mé~ todo algebraico. Hacemos f(x) ~X2 + 2x 5 Yencontramos los ceros de esta función u~ndo la fórmula general.

=

-

171

x

=

x--

-2

:t

- 2

:1:.J 4

-

'1'(2)2

2(2) + 40

4

= X

2

-

--2 -

I SI

'X2

-2

-2

=

+ 6.64

4

= -2

.J44

4

Graficamos estos

-3

4(2) (-6)

- 6.64

4

1.16

aprdximadamente

= -2.16

aproximadamente

valores en el eje X, quedándonos

I

I

-1

O

lE!)

como

1

= -2.16

XI,=

sigue:

I

I

2

3

1.16

En seguida analizamos el valor de

fbe) en cad~ uno

de los

intervalos.

-

<

00

De

-2.16 < x < 1.16

x < .- 2.16

f(x)

>

acuerdo

{x

O

f(x)

con

E R

el valor de

I

-

00

<

f(x)

f(x) la solución

< x <

1.16 < x <

O

Q

-2.16

00

>O

es

< x <

1.16

oo}

,

Ii . En no

son

este ejemplo

números

sustituyendo

f(x)

racionales

no

por

se factorizó lo que

debido

el valor de

la x de cada intervalo directamente f(x)

=

2X2

+

2x

-

a que

los ceros

f(x) se encontró

en

5.

11.2 Relacion~ entre los ceros o raíces y los coeficientes' de la ecuación cuadrática ¿Qué relaciones

importantes podemos establecer entre los ceros o raíces y los coeficiéntes?

172

En

el módulo

10, se expresaron

los ceros o raíces de la ecua.

ción cuadrática en términos de loscoeficientes a, b y c. Ahora, encontraremos otras relaciones importantes entre los ceros o raíces )' los cO,eficientes a, b y e de la ecuación cuadrática.

-

Sean '1 Y '2 los ceros o raíces de 8X2 + bx + e = O,'. =1= O

donde

BUm~do las dos raíces, obtenemos

'1 + '2 =='-11 + ../b24ao " + ~II,- ../b2 - 480 28

= -11 '+ ../112= -b '2.- 11

.80'

- 'b -, ~1I2 -,480 28

'

=~ 2. =.=!!.

.

I

F, + .Fa =

-~

I

Si multiplicamos '. por '2, obtenemos

( -b -

-

112

-

4.0

2.,

- '(182 - 4.0' 4.2

,

...2

+ ../112

-

112

+ 4.0

4a2

_,4.0

- 4.2

E Ejemplo: " Sin resolver la ecuación 2X2 BUmay el producto de sus raíces.

- 4x + 8 =O, determínese la 173

De la ecuación tenemos que

= 2, b = -4 Y e =8,

8

porlo que f.1

y

+

f2

= ..! = - -42 = !2 = 2 -:'

r .02----r _c_8-

.

"

4

2

Ejemplo: Sin resolver, formar una ecuación cuadrá cuyas raíces sean el cuadrado de las raíces de la ecuación X2 5x + 6 ~ O Sean r. y f2 las raíces de la ecuación dada, en la que 8 = 1,

-

b = -5 Y c= 6,

.

lnego

'. y.puesto que ~r. + '2)2 nuevas raíces deberá ser

= ,j

o

'2

= ae --

!1

=6

+ 2f. f2 + f~, la suma de las

~ ~I producto debe ser (fl

o

= (6)2 = 36

f2)2

Entonces, la ecuación que se busca es

X2 - 13x + 36

,.

= o.

(¿Por qué?)

Si resuelves esta ecuación 'por álguno de los métodos que apren-

diste, las raíces que encontrarás son '.

= 4 . Ó '2 = 9

que son

-

4ac que

el cuadrado de las raíces de la ecuación dada. ¿A qué llamamos discriminante?

Si le llamamos discriminante .

a la expresión

b2

aparecedentro del radicalen la fórmuiageneral,del valordel discriminante dependerá qué tipo de raíces o ceros tiene una ecuación cuadrática: 1.

Si b2

-

4ac

=O

las dos raíces son iguales X

.

-

X2~

_-b -¡;

Ejemplo: 5 del módulo 10. Sí b2 - 4ac > O y tiene raíz exacta las dos raíce~ serán ra-.

2.

cionales y diferentes.

174

.

'

I '

Xl

-b

=

- 480

+ Jb2 28

Y

X2

=

:"'b -

Jb2 .;..4_80 28

Ejemplos 6 Y 7 del módulo10.

3.

Si b2 - - 4ac > O'y no .tiene raíz exacta las dos raíces serán diferentes

Xl

-b + .Jb2 - 480

=

=

Y

, 28

Ejemplo:

4.'

e irrflcÍonales. X2

-.480 = -b - -.Jb2 28

adel módulo 10.

Si b2 - 4ac < O lasraícesseránimagii1ari~.

Ejemplos 9 y 10 del mbdulo 10. . Si en lugZirde considerar las raíces de la ecuación

ax2

bx -+- c'

-+-

==

O con~ideramosla gráfica de y

= f(x) = ~X2 +

bx + e,

tendríamos lo siguiente:

L

2.

3.

-

=

4ac O, la gráfica de la parábola tiene su vértice en el eje X.' . Si b2 4ac > O, la gráfica de la parábola inte~8ecaal ~je X en dos puntos reale~." . Si b2, - 4ac < O, la gráfica de la parábola no interseca ni toc~ al eje X. Si b2

Ejemplo: Sin"resolver la ecuación, determinar cómo son las raíces de 1~ ecuacion cuadrática 2X2 + 4x - 6 o.

=

dado que

a

= 2, b = 4,

'

Y e = --6

b2 - 4ac = (4)2 - 4(2) (-6) = 16 + 48 = 64 ya que b2 - 4ac >. O Y cuadrado perfecto las raíces serán racionales.' y desigu-a1es.

-.

Ejemplo: SIn resolver la ecuación, determinar cómo son las raíceS de la ecuació~

cuadrática

X2

-

3x + 10

De 13:ecuación a =::-1, b = -3

y'

= O.

e = 10 175

Sustituyendo estos valores en el discriminante tenemos b2

y como

- 4ac = (-3)2 -

b2

-

=9 -

4(1) nO)

40

= -a1

4ac.< O las raíces de la ~cuaciónserán imaginarias.

Ejemplo: '¿Cómo debe ser K para que las raíces de la ecuación 2x2 3x + ~ = O sean iguales!

-

Para que 18$raíces de una 'ecuación cuadrática sean igu~es, b2 4ac

-

Delaecuacióntenemos8

=o.

= 2, .b =

3

Y e

=K

Sustituimos estos valores en el diacriminante y lo igualamos a

cero, quedándonos

.

(- 3)2 - 4(2) (K) 9

- 8K = O

=O .

Resolvemospara K K=!

8

Por lo tanto, para que la ecuación 2X2 9 ralceslgu ales, K ,.

.

.

- 3x + K =O tenp

=-8

11.3 E~acione8 eon Radicales

'

Estudiaremos ahora, un tipo de ecuaciones en las que la varia.ble puede aparecer dentro de un radical de según do orden, como por ejemplo:

~+1

= ../2x + 2

6

.x + ~=3 Si la ecuaci6n tiene más de un < radical.

i76

En esta sección desarrollaremos un método para resolver ecuaciones de este tipo, método que consiste en dejar el1 un lado de la igualdad un ra4ical. s91amente y elevar después al cuadrado ambos miembros de la ecuación c~n lo que se elimina el radical que quedó solo en un .lado de la igualdad; en caso de que la ecuación ten~ más de un radical, este proceso se repite tantas veces como sea necesario

hasta que se elimine, el último radical; resolviendo después la ecuación resultante por alguno de los métodos.ya conocidos.

.

Cuando se resulven ecuaciones de este tipo es n~sario probar

"

las raíces obtenidas en la ~uación original, ya que al eleva~ al ~a.. drado .ambos miembros de la ecuación, a menudo se introducen raíces que satisfacen la ecuación final pero que 8()n extraftas a la ecuación original. Resolveremos algunos' ejemplos que noa ilJlstrarán diferentes casos con écuaciones .de este tipo'":

=

Ejemplo: Resolver J3x + 4 4 Como esta ecua~ión.contiene ~lo un radical, lo eliminamos,

elevandoal cuadradoambosmiembrosde la ecuación. C.J3x + 4)2 3x- +"4

.

= 42 = 18

3x

Ix

= 18 - 4 = 12

x=.!!

3'

x=4 Sustituimos x que sí la s~tisface

= 4 en la ecuación original, y comprobamos

.J 3(4) + 4

.J

= .J12 + 4 = V1i

-

=.4

=

x='" 6 JX::3 2 Como la ecuación tiene dos radicales sumamos a ambos lados de la ecuación para que quede sólo un radical en un lado de la ecuación, y después elevamos a~s miembros al cuadrado,' quedándonos Ejemplo: Resolver ,

.¡;-:::¡

(VX+5)2 = (2 + '¡;-:'-¡)2 x+6=4+4v'X=3+x-3 reduciendo' x+6=1+4JX::3+x sumamos-1' - x a ambos lados de la ecuación

x+6-1-x=4J;":3 177

reduciendo

4=4~ elevand'o 'al cuadrado amhos lados de la ecuación

16 ,

= 16

(x

16'= 16x

. 16' + 48 64

= 16x = 16x

-

- 48

3) efectuando sumando a ambos lados efectuando

=x

64 16 4=x

se dividió amhos lados entr~ 16 efectuando

x;:::4

'simetría de la igualdad

Sustituimos que sí la ,satisface

x

=4

en la ecuación original y comp'rohamos

-

Ejemplo: Resolver ,~

JSx + 1 =- - 1

Sumamosa amhos lados de la ecuación

J;+3

J Sx

+ 1

= - .1.+ JSx + 1

Elevamos al cuádrado amhos lados de la ecuación

x +' 3

c:

+ l' - 2

~

+ 1 + Sx + 1

Reduciendo y dei~mdo de un ~oto lado el radical

"7'7x+ 1 = -2 JSx + 1 Elevando al cuadrado amhoslados de la ecuación

Efectuandq

49x2

- 14x + l' = 4(Sx + 1)

49x2

-

14x +' 1

= 32x

+ 4,

Reduciendo a una ecuación cuadrática

49x2- 46x - 3.= O ,178

+ 48

./

Resolvemos esta ecuación usando la fórmula general

x=

-(-46)

:t "'(46)2

x=

46 :t:' ,'-Í21'16 + 588 98

~

4(49)

...

(~3)

2(49)

x' = 46 :t .J2704 98

x = 46':t &2 98 46 + 52 = 1 98

Xl =

46

=

X2

98

52

-6

= 98':

;:

~i susti.tuimo~x~,,= 1 Y X2'= en la ec~ación original, encontramos que sólo X'l 1 la satisface' P9r lo que concluimos que esta ecuación'tiene sólo una raíz, siendo X2una raíz extraña a la ecuación original.

=

11.4 Ecuaciones que se pueden reducir a la ,fonna cuadrática

i.Sitenemosuna

Si tenemos una ecuación de la forma

ecuaci6n, c6mo

n '8 [f(xn

n

",

+ ,b [f(x)] 2 + e

= O,

la podemos n E I

reducir a la

forma

cuadr6tica?

decimos que el? de forma cuadrática, si el símbolo f(x) representa una expresión e x, como por ejemplo:

'2(3x2 + 1)2 + 4(3x2 + 1) - 2 =, O; f(x) = 3X2+ 1 y

3

2x

-

( x+2

1"

-

2

)

5 .2X- 1

.

( x'+,2 )

'+

3

= O; f(x) =

'2X

.+2

-1

,,'

I

'El proceso para resolver, este tipo de ecuaciones, io ilustraremos mediante algunos ejemplos. I Ejemplo: ResOlver la siguiente ecuación

(X2

-

2x)2 - (X2

.~ 2x) -.6

=O 179 . .....

Hagamos

z Z2

= (X2 - 2x) = (X2 - 2x)2

sustituyendo estas expresiones en la ecuación original, queda I . Z2

-

- 6 =Q

Z

Resolvemos esta ecuación cuadrática en z usandC) cualquiera de los métodos conocidos (en este caSo la resolveremos por el método de factorización) y procedemos como sigue:

~-.-6=O Factoriz~ndo

(z

- 3)

z=3

(z

+ ~)

=O

Ó z=-2

Sustituimos cada uno de estos valores de Z en la expresión z = X2 2x, resultando dos ecuaciones cuadráticas en .x.

-

- 2 = X2- 2x

3=~-~

Resolvemos cada una de estas ecuaciones:

3='~-b '0=~-b-3 X1- 2x - 3 ='0 (x - 3) (x + 1) = O

x = 3 ó x = -1

-2 = X2- 2x O = X2- 2x + 2 X1 - 2x + 2 =. O

-

2 :t ~

- 4('" (2)

x2(1r x- - 2 t, .J4::8 x

=

x

=

2 2 :t .¡:::¡ 2

2 :t 2i 2

x=1:ti Luego, las cuatro raíces o ceros de la ecuación original, son x = 3,

x = -1, x = 1 + i

y

x. = 1 - i .

Conjuntosolución= {3, -1, 1 + i, 1 - i} 180

Ejemplo: Resolverla siguiente ecuación: 2

3x ,x+2 (

-1

~

)

-2

.!!...::.! x+2

(

)

= 24

Hagamos

=

z

3x --1

x +2

= ~x (

Z2

2

+ 2

)

Sustituimos estas expresiones en la ecuación original, quedando

2z2

- 2z - 24 = O

Resolvemos

(2z + 6) (z 2z+6=O

- 4) = O z-4=O

z = -3

z=4

Sustituimos cada uno de estos valores dE' en la expresión

z

3)(

= -,x

-

1

I + 2 y reso vemos para x

= 3xx +- 21 - 3(x + 2) = 3x - 1 -3

-3x - 6

= 3x -

4

-

3x 1 x +2

= 3x - ,. 8 x = -1

4(x + 2)

4x + 8 =' 3x - 1

1

- ex = 5 Xl = - .! 6 I

=

X2

= --9

Luego, las raíces o ceros de la ecuación original son 6'

Xl

= - -.

,

O "2

=-9

Conjuntosolución= {- !, 6 - 9} 181

REACTIVOSDE AUTOEVALUACION

1. Resolve~gráficamente las desigualdadesde los siguientes problemas X2

a) c) d) 'e) 1)

.

X > 20

- 9 < O ,X2 > 4x

.' b),

g)

-

X2

\

x2

- 4x > -

X2

- 6x < -9

4

3X2 < 4x + .15, X2 + 1 > O .

h)

X2 + 2x +- 1 < O

2.

,Resolveralgehraicamentelas d~sigualdadesde los siguientesproblemas.

a)

b) c) d) e) 1) g) h) í) j) k) 1)

-

-

4 < O 2x2 + X - 3 > O ,. X2- 4x < -' 4 X2 > - 8x - g. (7x + 1) (2x + 3) < O (5x - 8) (Ix + 10) > O 2x~ + 3x - 7 < O X2- 6x + 7 > O X2+ 2x + 4 < O . X2 + 2x + 4 > O (x - 7) (x + 1) .> O 3X2+ 2x + 1 < O X2

3x

3. En 108pro):.lemassiguientes, encontrar una ecuación cuadrática con coeficientes enteros que tenga los siguientes números como raíces. a)

XI = 3, X2 = 2

b)

XI =

e)

XI = O, X2 = 5

d)

2 - 1 X 1 - - i' X2 - i

e) 182

.¡, X2 = -3

:1

4.

Encontrar una ecuación cuadrática cuyas'raíce's, sean los cuadr~dos de las raíces de X2 2x I

-

5.

- = o.

Encontrar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean eLtriple de las raíces de la

ecuación.X2- 3x + 2

6.

= O~

Encontrar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean los recíprocos de lás raíces de

la ecuación.4x? + 4x - 3

7.

,

-

.

= 3.

Encontrar el valor de k para que la ecuación cuadrática kX2 -, 4x + 8

'

= O, tenga'

'

Encontrar el valor de k para que la ~cuációncuadrática 3X2 tenga ~aícesreales.

12. Encontrar el valor de k para que la ecuación cuadrática 2x2

raícesimaginarias. 13.

=

.

.

raícesigu~es.' 11.

=

Encontrar el valor de K para que la ecuación cuadrática Zx2 + Kx.- 16 O, tenga una raíz

10.

= o.

,Encontrar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean un cuarto de las raíces de la ecúación. X2' 4x 32 o. I Encontrar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean la, mitad de las.raíces de la ecuación.4X2- Ix + 3 = 'O.

-

8. 9.

'

- 4kx + 2k =O

- 2kx + 8 =O

tenga

'

Encontrar el valor de k para que la gráfica de la '~unción cuadrática "f(x) ,= &X2- Ix + 2k sea tangente al eje sea tangente al eje X.

14.,

Resolver las 'siguientes ecuaciones:

a)

~2x + 5

b)

~::::

c)

~

- x =1 2x - 5 =- ~

d) .x-1=~ e)

.J2X2

1)

.J5x + 1

g)

JX+2-~=1

+ x + 2

=

= J2x +

3

2 + .J2x + 2

183

11) .J2x- 1 - Jh+2 i)

x - 4 = .J3~ + 6

j)

.J3x + 3 = ~

= - J;+3

~

+

J2x + J;"+5 = .J11 1) J X2 + X+ 3 = ~ + ~X2 + 3x + 4 k)

- .J2x - 82 =:= -

m)

.Jx

n)

v'5x

o)

.Jbx.+

15.

Resolver los siguientes problemas reduciendo primero cada ecuación a una ecuación de forma cuadrática. .

82

7"'"

-

1

= ~

b2

8

+ '~2x + 5 ,

= b + .Jbx - 2b2

,

b

=1=

O

,

I

.

,

=O

a) b) c) d) e) t) g) h) i) j). -

4X4 + 32x2 - 36

k)

4( ,x - 3 ) 2x + 1

1)

2(2x,-1) x

m)

(2x x- 1)2 - 4( 2x x- 1) + 3

n)

3~ + .8-=. 5 .J3x + 2

o)

7 .J4x - 3 = 6(4x -"'3) + 2

-

=O =O

2X4 14x2 + 24 X4 -;11x2 +' 18 3X4 (X2

7"'"

5X2 + 6

=O

-

- x)2 +(X2

-

x)

6

=O

2(2x2 + Xf12' + 11(2x2 + A) -+ 12 = O 3(X2 - 1)2 - 12(X2 - 1) + 12 = O 5X-2 + 12x-l -'9

=O

20x-2 .-3X-l

=:=

ax6 + 7x3

-

- 2 1

=O

Hacer z

.

=

X-l

y

Z2

= x-2'

O

(2xx-3 + 1)

'

-3

- 10 (~) 2x - 1

=O -1

Hacer

z

=

x' - 3. 2x + l'

-

2x + ~ x

-

3

~,O

=O Sumar - 6 a cada' miembro de la.ecuación

y hacer' z == .J3x + 2

184

1 -

Z

Módulo1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS

Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:

l. 2. 3.

4.

Aplicará el método gráfico en la resolución ~e sistemas de ecuacipnes formados por una ecuación cuadrática y una ecuación lineiJ.l. .' '. I Aplicará el método algebraico en la resolución de' sist~~as de ecuaciones formadas por una ecuación cuadrática y una ecuación lineal. Resolverá sistemas de ecuaf!iones cuadráticas formadas. por 2 ecuaciones del tipo . . ax~ + by2 = e Resolverá sistemas de ecuacion~8 de la forma: ax2 + bxy + cy2' d.

=

ESQUEMA-RESUMEN

Ecuación cuadrática

Ecuación lineal

Sistema del tipo ax2+bxy+cy2+dx+ey= gx + hy = k

Solución

Sistema del tipo f

a,x2 +bty2 a2x2

+ b2y2

= CI = C2

Sistema del tipo' a.tx2 + btxy+ Cly2 = dt a2x2 + b2xy + C1V2= d2

Solución

Solución

algebraica .

algebraica .

185

12.

Soluci6n ~e un sistema formado

~olu.ción de sistemas de ecuaciones cuadráticas

En la Unidad IX, estudiaste sistemas' de ec'uaCiones lineales y los diferentes métodos para resolverlos; algunos de esos métodos te servirán también para resolver sistem.as de ecuaciones cUad~áticas. En esta lección estudiaremos sistemas de ecuaciones fonnadas por una ecuación cuadrática y una ecuación lineal, dos ecuaciones de

=

e y por último dos ecuaciones de ia fonna por una ecuaci6n . . )a forma a?C2.+ by2 cuadrática.y una ax2 + bxy + cy2 = d. ecuaci6n lineal.

12.1 Solución de un si~temade ecuaciones fonnado por una Ecuación Cuadrática y una Ecuación Lineal lC6mo encontramos la soluci6n de un

sistemade

Un sistema de este tipo puede escribirse como

.

ax2 + bxy + ey2 + dx + ey =t gx 1+ hy k

ecuaciones?

=

donde a, b, e,. d. e, t, g, h Y k son constantes a, b y e no todos son igual a cero y 9 y h no son ambas cero. Cada ecuación representa un conjunto de puntos cuyas -coordenadas satisfacen la ecuación respectiva: la interSección de estos dos conjuntos consta de los puntos comunes a las ~urvas representadas por las ecuaciones. I Tal como en los sistemas de ecuaciones lineales, podemos re-

solver este sistema en forma gráfica o en forma aigebraica. ' 12.11 ¿C6mo obtenemos .

los puntos donde se intersectan las' Gráficas?

Método Gráfico

Este método consiste. en graficar ambas ecuaciones sobre un mismo sistema de ejes de cool'denadas, siendo la solución del sistema 19S pares ord~nados (~y) asociados con los pu~tos dond~ se inter-

secan las gráficas.

.

Ejemplo: .

Resolver gr~ficamente el siguientesisteina X2 - 6x - y = - 5

2x + y = - 7

186

.

Transformamos cada ecuación a otra equivalente .y escribimos

el sistema como

.

y

y

= X2 -

6x + 5

= 2x\- 7

Dándole valores a la x en la ecuación, y = x2 Cuando

Cuando

..,

X

= O,

x=

1,

Y= (0)2 y

==

I

tenemos:

- &(0)+ 5 = 5

(1p - &(1) + 5 = O

Y= (2)2 - 6(2) + 5 = -3

Cuando

X = 2,

Cuando

X

Cuando

x=5

,

Cuando

x=&

y = (6)2 - 6(&)+ 5 = 5

= 3,

- &x+ 5

Y= (3)2 - &(3)+ 5 =-4 y

= (5) 2

- 6( 5) + 5 = O

Resumimos estos valores en la siguiente tabla:

/

Para la ecuación y= ~x-1, Cuando

X=

Cuando

y = O,

Graficamos

obtenidos:

O,

tenemos:

-

y = 2(0) 1 = -1 o = 2 x - 1, X'= L

2

cada una de las ecuaciones usando los valores

.

Luego, a partir de la gráfica vemos que la curva y la recta se intersecán en los puntos.con coordenadas (2, -3) Y(6, 5), por lo que la solución del sistema es,el c~njun to .

187

y =

X2

- 6x + 5

L-.l -8 -7

Intersecci6n de las gráficas de I~secuaciones 'V de I~s ejes coordenados.

~3,-4)

Figura 1

.{(x, y) I X2 - 6x - y = -5} n {(x, y) I -2x + y = -7} = {(2, -3), (6,5)} 12.12 Método a1gebraico .

.

El método algebraico para este tipo de sistemas, consiste en resolver para una de las variables en función de la otra la ecuación' lineal y sustituir esta expresión en la ecuación cuadrática, quedando con esto una ecuación cuadrática con una sola variable, la que resol188

vemos por cualquie'ra de los métodos ya conocidos. Sustituyendo estos valores en ~aecuación lineal, obtenemos la solución completa del sistema. . \

~~~:

,

Resolver

algebraicamente

-

X2

el siguiente

- - =O

X Y 6 2x -, y - 2

<~

sistema

(1) (2)

=O

Resolvemos para y la ecuación (2) y obtenemos

= 2x - 2

v

Sustituimos 2x

-

(3)

2 por y en la ecuación (1) y obtenemos X2

-

-

X2

- -

X

(2x

- 2) -

6

=O

Simplificamos

X2

-

X

3x

- 6 =O

2x + 2

- 4 =O

Resolvemosla ecuación X2 ..:..,3x -, 4 = O 'por facto~ación, quedando (x 4) (x + 1) O

-

x=4

por"lo que

=

x = -1

ó

¿

'Sustituimos estos valores en la ecuación (3) y obtenemos

y

= 2(4) -

2

=6

ó

y

= 2(-1)

-2

= -4

Luego, la solución del sistema es el conjunto {(x, y) I X2

-

X ~

Y

-

6

= O} n

{(x"y) 12x

-

y

-2 = O} = {(4,6), (-1, -4»)

Ejemplo Resolver ~gebraicamente el siguientesistema X2 + y2 = 25 x + y = 1

189

Resolvemos para y la ecuación lineal y nos queda y

= -x

+ 1

Sustituimos (--x + 1)2 por y2 en la ecuación cuadrática X2

+ (- x + 1)2 = 25

Efectuamos y simplificamos

. x~ + x2 - 2x + 1 2X2 - 2x - 24 X2- X - 12

x

=

-(-1)

x

=

1 :t 7

x

=~2 =4

= -4

=O

:t J(-1)2 - 4(1) (-12) 2(1) +

~

2(1)

2

Sustituimos estos valores en y

y

25

=O

=O

Resolvemosla ecuación x2..,. x - 12 - -(-1) x -

=

+ 1 = -3

Ó

.x

= -x ó

=~2

= -3

+ 1 y obtenemos y

= - (- 3) + 1 = 4

Luego la solución del sistema es el conjun to {(x, y) I X2 + y2

= 25}

n {(x, y) I x + y =' 1} = {(4, -3), (-3, 4)}

. Cuando graficamos una ecuación' de primer grado y una de segundo grado, sus gr~ficas se intersecan en dos puntos diferentes (Ejemplos 1, 2 Y 3); se intersecan en. un .sólo punto (problema d . de los problemas de Auto-Evaluación del módulo 12) o no se intersecan en ningún punto (problema c de los problemas de AutoEvaluación del módulo 12).' .

190

12.2 Sistemas de ecuacio~es cuadráticas fonnadas POI:dos ecuacio-'

Deldel tipo

. ax2,

+ by2= e

'

Cuando se tiene un 'sistema formado por dos ecuaciones del tipO ax2 + by2 "e los métodos que más conviene usar, son los de suma o resta o el de la sustitución, métodos que ya estudiaste en la Unidad IX y en el tema anterior; por lo que .haremos ahora algo~os ejemplos para que veas cómo se aplican estos métodos en sistemas de ecuaclOnes de este tipo

=

\

Si utilizamos el método de suma

y resta.. .

Ejemplo 4: . Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de suma o resia X2 4X2

+ y2

= 26

(1) (2)

- 4y2 = 36

I

Multiplicamos por 4 la ecuacióri (1) y le sumamos la .ecuación (2),

quedando

.

4X2

+ 4y2

4X2

-

4y2

8X2

= 100 = 36 ==

x2 X2

136

--- 1368 = 17

x =tJ17 x =..ffi ó x=-J1=¡

,....

Sustituimos estos valores en cualquiera de las dos ecuaciones originales (lo hacemos en la (1» y obtenemos los correspondientes valores'dela y. (Al sustituir x=~' Ó x = se obtendrá el mismo valor debido de V debido a que la x en ambas ecuaciones aparece .elevada al cuadrado por lo que sustituiremos un solo

- .J17

.

.

valor, es decir X2 = 17)~

.

(:i: .J17)2 + y2 17 + y2 y2 y2

'

= 25

= 25 = 25 -

17

=8 Y =:J: v'i y ::;:J: 2 J2 191

si x ==-117, y = +2 ~

Ó

-2~;

si x

= -.Jfi,

y

=2~

Ó y

= -2.J2

Luego, el conjunto solución es

Ejemplo 5:

.

ResoJvet.el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución:

2X2 + 4y2 X2 2y2

-

= 20 = 50

(1) (2)

Resolvemos para 'X2 la ecuación (2) X1

= 50

+ 2y1

Sustituimos esta expresión en la ecuación (1)

.'

,

= 20

2(50 + 2y2) + 4y2 Efectuamos y s~plicamos

100 + 4y1 + 4y2 100 + 8y2 8y1

= .20 = 20

= 20 -

8Y2 = y2

-

100

80

= - 10

Y =:f: i.J1O .

Sustituimos

y2

= :"'10 en cuálqúiera

i = .J:1

de las dos eC1,1acionesoriginales

(lo hacemos en la (2» quedando .

X1

- 2(-10) = 50 X2 + ~O ~ 50

I

X~ ==50 - 20

X1 = 30 x =:t v'3O 192 '-\

Luego, el conjunto solución es

"

{("30, ¡v'1ii), (-J30, ¡v'jO), (V30,- ¡ v'tO), (-v'30, - ¡v'1iin

= { } 'sobre

el conjunto de 108números reales

En este ejemplo vemos que el sepndo co~ponente de cada par ordenado de' conjunto "solución,es un número complejo por lo que concluimos que las gráficas,de las ecuacio~esno se intersecan:.

Ejemplo6:

"

Resolver el siguiente ~tema deecuaciones usando el método de sustitución . 5X2

2X2"

- 11y2 = 69 - 7y2 = 25

(1) (2)

Resolvemos para X2 en la ecuación (2) X2

= 26

+ 7v2

2

Sustituimos esta expresión en la ecuación

& (26' +27Y')

-

11y'

(1)

= 69 . .

Efectuamos y simplificamos 126 + 36y2 126 + 35v2

2

"125

+ 35y2

-

11y2

= 89

-

22v2

= 89

- 22y2

== 138

13y2 = 138 - 125 13y2

= 1~

y2

=- 13 13

y2,-

=1

.

Y =:f:1'

193

Sustituimos y2

= 1 en la ecuación 2X2

-

(2)

= 25

7(1) 2X2

= 25

X2

=

X2

= 16

x

=:t

+ 7

32

2

4

'Luego, el conjunto solución es

{(4,1) (4, -1),

(-4,1)

'(-4, -1)~

.

Las gráficas de este tipo de ecuaciones,.se intersecan en cuatro puntos diferentes o.no se intersecan en ninguno. El m'étodo de suma ,o resta, se puede aplicar también a sistemas de ecuaciones que contengan términos en xv, C?términos de pnmer .grado ó ambos, sien.pre y cuando el término en xy aparezca en ambas ecuaciones y que después de sumar o restar ambas ecuaciones' ,

resulte una ecuación con una sola variable: l' .

Ejemplo 7: Resolver por el.método de suma o resta el siguiente sistema de ecuaciones .x2,

+ 3xy + .

xy

= -3

x

(1) (2)

-+,2x = -3

Multiplicamos por -3 la ecuacion (2) y la sumamos a la (1)

X2 + 3xy +

x

= -3

. - 3xy- 6x = 9 ¡ ",2 X2 -' Resolvemos, por fa~torización

-5x = 6 5x - 6 = O (x ~ 6)' (x + 1)

x

=6

ó

x

=O

= -1

Sustituimos cada une .de estos valores en la ecuación (2), quedando

para x = 6

(6)y + (2)(6) =.-3 '\

194

6V

= -3 -

12

6V= -15 V= -15

5 6 .= - 2

para"x = -1 (-1 )V + 2(-1) '= -3

-v - 2 = -3

-v = -1 y' ="1.

Luego, el conjunto solución es

12.3 Solueión de Sistemas de Ecuaci(Jftei de la fonna

ax2 + bxy +: cy2 =d Para obtener la solución de un sistema de ecuaciones de la forma" alx2

+ blxy

= di . C2V2 = d2

(1) (2)

'+ CIV2

a2x2 + b2xV, +

procedemos de la siguiente, manera:

1.

Eliminamos el término constante por suma O restat multiplicando la ecuación (1) por d2 y la otra por -di y sumamos después ambas ecuaciones, quedando una ecuación de la forma Ax2 + Bxy + Cy2 O. Si di 6 d2 son cero, se omi-

Pasos enla mluci6nde

te este paso y se empieza c'on el paso dos usando la e,cuación

deltipo ax2 +bxy +cy2 =d

=

con término independiente igual a Q.

2.

=

Se resuelve fa ecuación AX2 + Bxy"+ Cy2 O, para" en términos de x ó para x en términos de V por cualquiera de los métodos que ya se han estudiado, obteniendo dos soluciones de la forma V Dx ó V Ex ,6 x 01 V Ó X EI Y donde D, DI, E Y E I son constantes~

=

3.

un sistema de 8CUaciones

=

=

=

Se sustituye cada valor obtenido en el paso anterior para x ó pa~a V en cualquiera de las ecuaciones originales, obteniendo dos ecuaciones que contienen una sola variable, que puede ser la x ó la V,dependiendo si se sustituyó la V en términos .de x ó la x en términos de V.

195

4.

Se resuelve para la variable que quedó en las ecuaciones obtenidas en el paso anterior, obteniendo dos soluciones para cada ecuación.

5.

Cada solución de la ecuación obtenida a partir de y Dx ó x Di Y se sustituye en y 0)1 Ó x DI y, obteniendo así .los correspondientes valores de y o x. De igual forma cada solución de la ecuación ob~enida a partir de y Ex ó x E1Y se sustituye en y Ex ó x E 1 y, obteniendo así los corres-

=

=

=

=

=

pondientes valores de y ó x.

6.

=

=

=

.

Se ordenan las soluciones, obteniendo cuatro pares ordenados

que es el conjunto solución del sistema.

.

Ejemplo 8: .

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: X2

+ 2xy

2X2 +

- 4y2 =

18

(1) (2)

7xy + 4y2 = 104

Multiplicamos la ecuación (1) por --104, la ecuación (2) por 16 y sumamos

-104x2 - 208xy

-

t

418y2

32x2 + 112xy + 64y2 72x2 ,- 98x + 48Oy2

= -1884 = 1664

=

O

Reducimos dividiendo la ecuación entre -24

3X2 + 4xy - 2Oy2

=O

Resolvemos esta ecuación por factorlzación

(3x + 10y) (x

x=--

.

; ustitulmos

S

.33

10Y

3

O x= 2y .,

10Y

X

- 2y) = O

,

1 a ecuaClOn (1)

= - Ten

(- 10Y)2 + 2(- 10Y)Y - 4y2 = 16. .

Efectuamos y simplificamos 100y2

9

196

-

20y2 3 - 4y2= 18

100y2

- 8Oy2

= 144

38y2

= 144

4y2

= 36

y2

Y =:1:6 Sustituimo~ los' valores de y

X

=/-

130 (6)

= :1:6

en x

x

= -20,

=-

= - ':Y

10 (-8)

3

obteniendo

= 20

Sustituimos ahora, x = 2y en la ecuación (1) (se podría hacer también en la ecuación (2», quedando (2y)2 + 2(2y)y

-

4y2

= 16

Efectuamos y simplificamos

4y2 + 4y2

-

4y2

4y2 y2

= 16 = 16

=4 Y =:1: 2

Sustituimos los valores de V =:1: 2 en x ~ 2yobteniendo

x

= 2(2) = 4,

x

= 2(-2) = -4

Ordenando estos valores obtenemos el conjunto solución que es

{(-20,6),

(20, -6),

(4,2), (-4, -2)}

En este ejemplo obtuvimos cuatro pares ordenados que 88ti~ facen el sistema, lo que sucede generalmente, sin embargo en ciertos casos especiales puede baber menos de cuatro pares ordenados que satisfagan el sistema. .

197

REACTIVOS DEAUTOEVALUACION

l.

Resolver gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones

a)

X2 + 2x -' y + 4 3x-Y+6=O

b)

X2 + y2 = 38

=O

y - x =O

c) _x2 - y - 4 = O x -y+1~O d)

2.

Resolve~ algehraicamente

e) f) g) h)

3.

X2- 2x - y - 8 = O x-3=O

X2 + y2 Y 2x

-

4 -4y + x -6

=O

3x -8y -1

=O

=O - 16y2 - 11' = O

Encontrar A i)

j)

= 16

=1 X2 + y -= 3 5x + y = 7 y2 + y - 2x +

. 3X2

los siguientes sistemas de ecuacio~es.

n

B par~ 108siguientes conjuntos.

A

= {(x, y) I 7y2 - 12x - 19y = O}

B

= {(x..y) 16x -

A

= {(x, y)1

2ax -' 2bV + 2b2

B

= {(x, y)

I XV + ab

By + 14

= O} = O}

- ay = O}

a, b constantes y a ::1=O, b ::1=O 198

4.

Resolver, usando el 'método de suma o resta o de 8Ustitueióplos siguientes sistemas 'de eeuaeiones.

= 43

X2 + 3y2

a)

+

3X2

i}

.

'2

-

. 3

d) ,

2X2

9y2

5X2 - 2y2 3X2 + 7y2

ax2 + by2 bX2 .:.. ay2

h)

13x~ -' 31x2 .,---+-=-

80

X2

27 2

= - '..!!' 2

= 11

= -63 y2 = 6 y2 + 2x = 3

6y2

+

-

X2

n)

y2

=. 1~

Q)

+ 5xy + 4x -18 + 25xy .;... 3x -:::: 48

4xy

-

3xy

~4

=

48X2

, 5X2

=e

=O

y2' + 3y

=8

- y2 + ~ = O

2

29y2,

15

=-

m) 4X2 + ~xy + 3x = 15 . 5X2 + 4xy + 5x = 18

= 184

. 3

,

-2x + y2' = -1

= 47

17v2

5

1)

= 36 ==

-

2X2' +

= 14

15x2' + 9y2 'f),

k)

= 37

+ 9y2

4X2

. , e)

19y~'

8X2':+- 5y2

,

+ 3y2

-

j)

=5

X2

-

-27x2 + 13y2

7X2

x2 Y2 1 -+-=6 2' x2 y2

e)-

15x2

y2 -= 57

9X2 + y2 = 90' X2 + 9y2 = 90

b)

5.

,

,9

3

Resolver los siguientes sistemas de eeuaeiónes.

- 4X2

+ 3xy + 2y,2= 40 S-X2+ xy = 10

a)

b)

6X2 + 3xy +.2y2

e) . X2 - 2xy - y2 = -7

xi - 1xy + y2 = -5

= 24

f)

3X2 + 2xy + 2y2 := 18 j

e)

.

d)

,,2

-

X2

+ xy

X2

2X2

-

xy

- 12y2

-

xy+

,

=O

= 20 y2 = 28

1Oy2

+ 3xy - 2y2

=O

j

82 I

g)

25x2

h) .

-

= -10

'.7xy 24xy + y2,

y2 + 2xy xy

2x2

..

-

-

12

X2 + xy + .1 2,(2 + 7xy y2

-

= -35

=O

= -1

= 28

=

64

. I

Bibliografía paraconsulta..UnidadX'I -.

/

ALGEBRA MODE~A Eugene D. Nichols' RalphT. Heimer ..E.Heriry Garbmd CompañíaEditorial Continental,S. A. 1969 '. \ INTRODUCCION

A LA MATEMATICA MODERNA

Elbridge P. Vance Fondo .Ed~cativo Interamericano~ S. A~. 1968.

..

201

Paneles'deverificación Conjunto de\Problemas

l. a). ,

b)

V~rtipe en (1, 7), cóncava hacia. arriba. Vértice en (- 2, - 7), cóncava hacia arrib,:,.

c)

Vértice en (- 1., 2 !), 2

d)

Vértice en (.!, 2

,e)

Vértice en (!,2' -

cóncava'hacia abajo. .

37), 4, CÓllcavahacia abajo.

27) cóncavahacia arriba. 2

-

g)

en (O. 20), cóncava hacia an:ilia. Vértice en (4, O), cóncava hacia arriba.

h)

Vértice en (4, 18), eóncaya hacia abajo.

i)

Vértice en (1., 2 -1), cóncava hacia abajo.

j)

Vértice en (6,36), cóncava ftacia abajo

f)

Vértice

y

2. a)

202

XI-9

,

b)" y

x

-8..,.5

d)

e)

---L

x

~-

-8 -6 -4 -:-3"-2 -1 (-3,0) -1 -2

203

3. a) b) c)

10 Y 10. Terreno cuadradode 30 m por lado. 10 y 10.

. Conjunto de Problemas XI~10

1.

==3

x

Ó

ó

= -8 x= 1

.! 8

ó

x---

x

=- .

Ó

x

f)

x

=

ó

. x=--

g)

x

= -5

Ó

h)

x

=5

Ó

x x

i)

x

= !2

ó

x

j)

x

=4

Ó

x=4

k)

x

=

Ó'

x=-

1)

x=_!

ó

x

=.- .!.

m)

x

=

Ó

x

)

x

ó

x-

- o) p) q)

x

Ó.

x

x x

==6 = 3i = 4i

Ó Ó

x x

= = = =

r)

x

= .J5i

x=-.J5i

8) t)

x = 2.J3i x = 2 i

Ó Ó Ó

.

x

b)

x

c)

x

= !2

d)

x

=

e)

204

!

= -2

ó

a)

3

.!. 6

!2

.

.

10

!

7

x

3 2

= -b. 2 3

= -3

= -6 = - !2 (Es una raíz repetida) 2

-9 6 - . .2

-7

-

3i

= - 4.i

x = - 2.J3 i x = -2 i

(Es una raíz repetida)

2. a)

Xl

=1

b)

Xl

= - '2

e)

Xl

= '2

d)

Xl

=

e)

Xl

.- '2

f}

Xl

Ó 1

. Ó

7

-

= -

Ó

.-3+ 10 5

Ó

3 + i../87 8 1

g)

Xl

h)

Xl

- "6

i)

Xl

=

j)

Xl

= -1

k)

Xl

=

1)

Xl

= -5 +

m)

x_1+ 1-

n)

Xl

o)

X

1

5 + "137 8

-1

--

iJ19 2 4i

18

3

10

Ó Ó

- - -:; - 1

= -3

Ó

+ .J41 2

X2

=

-6

-

5

X2

- 3"

X2

= - '2

x2

=

3

-3 - J2g 10

-

5

= -

7

. X2 - '2 3-i.J8i X2

8

X2 - 3"

Ó

X2 .

-- -1

Ó

X2

=

Ó

X2

=-5

ó

X2

=

Ó

X2

::;:

Ó

x2

=

Ó

X2

= -3

X2

-

6.

Ó

- .J137

5

8

-1 - iJ19 '2

-5 - 4i

-

1

v'181 18

2

3

10

Conjunto de ProblemasXI.!1.

1.

\ a)

(.....4,0)

\

I

'

I/.

I (5,0)

..x

205

b) (3,0)

x

e)

x

d)

,.'".'

(2,0)

206

e)

)(

f)

y \ '.

(3;0)

x

..

'

V

(

2 4.9 -,-3. 3

) ,297

g)

x

h)

'x

2. a) b)

{x I -1 < x < '4}

c.) d)

Conjunto '",aeío

e)

{X l'

.í)

{x Ix>

t

~

~

. '2

x Ix>

208

1

Ó x<-

:

}

xx<*--;7

. 6

i

i}

}

5

Ó x < - ¡}

g)

x

{

4

-

I

3-

<x<

JU

4 -3+-tiI}

.

h)

..

Ó X <

i) j).

flx> 1+./1 onjunto yaCí; {x I x eI R}

k) 1)

{x Ix>

-s) b) e) d)

X2 - 6x + 8

e)

,,2

4.

x2 -, 20x + 84

5.

8.

- 9x + 18 = O - 4x - 4 = O - - 2 =O 18x2 - 18x + 3 = O

9. .

k

' .

Ó

7

...

. - ./I} 2,

x<

;...

8}

'\

Conjunto vacío.

2X2

=O

+ 6x

- 3 ,= O .

+ 3x

- 2 =O

....

- 5x = O

X2

9X2

-. 2 = O

=O

X2

6. -

3X2

7.

X2

X

= -1 ,~

10. k = !3 ...

11.'

k > - '2!,

12-.

- V1i <

.

k ~ O k < -112 209

.

~

.

k

13. .

9

= -,O

14

=2 =3

x

a) b) e) d).

No tiene solución. x = 1 x=2

e)

x

f)

x = 7

x

g) h)

=

-

x

=2

x

=

,

-2'

!

2 x = 10 x 2

i)

.

x

=1

.x =.1

=

.n m)

=4 = -3 x=

.n)

x

X x

82,

.

X

= 10

= 582

x

= 3b

a)

x

= 1, x = -1,

b)

x

= Ji,

e)

. x. .'

'0)

15..

x

=-

x

= 3i,

Ji,

x

'x

=-

3i'

= 2, x = - 2

= .f2 X = - .f2" x = 3

x

= -3

d)

e)

'f) 210

.x =12,

x .= -1,

x= -1 +4'J11

'

x =

+ i v'11.

-1 -. J11. 4

x;::

1

X=-1'+J3'1 4

- i v'11 x = =-L::-.J31 4

g) h)

X=~, x=! 3'

i)

.

j)

x

= -4,

X

= -21 '

X=-~ X=-! 3 x X

==

!2

.

= -1,

~

x::. 1 + 2." 3 ' X

k)

X

= -4,

1)

X

= 4'

X

m).

X

=1

X

= 3'

X

X

X

31 =- 36

1

7

n) o)

X

= 1 + 4.J3

'

X

X

- 1 - ..J3 -- 1 - 4.J3 .

= .!!6 = -2 = -1

= !3 MODULO12

- VALlDACION

1. a)

X2 + 2x - Y + 4 = ~

.'

x

, ,f 211

b).

v

x

e)

v

x

,212

v

d)

X2

Conjunto

sOlución

Conjunto solución

f)

Conjunto solución Conjunto solución Conjunto solución

.g) b)

=O

::; {(3,-6)}

2. e)

- 2x - y -.8

=

H-2+/71,

,+:1 J7i 1

'

,

)'

(-2-.¡:¡¡ , - 2.J7i

\

1,'

6

= {(4,-13), (1,2)} = {(38;8), (2, -1)} = {(3,1), (-6, -2)}

-3. i)

A n B = (e3, 4), (-1, 1)}

j)

A n 8 = { (.2 : b2, ~) . la,bl} 218

)}

.4. a) {(4;3) (~,.-3), (-4,3) (-4, -3n b)' {(3,3), (3, -3), (-3,~) (-3, -3n

J1

.

1

':

1

~.

1

e) 1.(2' 1), (2' -1), (- 2' 1) (- 2' -1)f d) {(5,2), (5, -2), (-5,2), (-5, -2n 2. 2.J& ) (2 ~2.J& ) (.-2 2.J& ) (-2 3' , 3' , {( , 3"

f) {(J17, ~),

.

-2.J& )

.

e)

(J17,

3

- V19),(- J17, ~), (-~,

} - v19n

{(V.. o: b" Vo' b: b' ), (Vo-' :\., - Vo.b: b')

g)

7

),

. ~ V.' ":b" V..b: b' (- Vo. b" - Vo'b: b' )} h) {uJ6, i"'3), uvi, - ¡'-"3), (- ¡vi, ¡Ji), (- ¡vi, ¡Jin

.J8 \.VI

"

.J8

J8

1) {( 1, "2' ) (1, - 2)' (-1~ + T)' (-1, - T) } j) {uJi, .J7), oJi, - ,J7), (-i.Ji, .J7), (-iJi, - .J7)} k) :{(-1,2), (-1, -2), (3, 2iJi), (3, -21Jin . 1)' {(5,3), (5, -3), (-3, 1v7), (-3, - lJ7n 01) {(1,2), (-3,1)} n) {(-2,3), (3, - 6)} o) { (i, ~), (- ~~, -12) }

5. a) {(-1, - 4), (1,4), (2, - 1), (-2,1)} b)

I

(2

{

,

- 3)

( ,

v'3O &.'.

2 v'3O 8

.:.v'3O ) ( 2 3) (

-

- 2m )~

"1'

&

1

"c) {(4Ji, Ji), (-4J2, - J2), (-3.vi, ¡vi), (3ivi, -.vi) , d)

(4

{

214

,

- 2) , (-4 "2)

-2V21 -4J21

2v21 4v21 ( 3'

3' )

(

3'

3

)}

e) {(4I"n, (-ti, -1),(3,2),

(-3, -2)}

'

f) )(--2" -3; l'

g)

140_'

(2 3) r

"

(

11'

~ 11

- I.JH

'

) ( I

11'

21J56 11 )}

~- ./f. -2~1. l./f. 2~1. I~j. ~al.Ij. al}

h) {(S,- 3), (-S,3),

(2, -4), (-2,4)}

215