M Ecuaciones Diferenciales Julio 2006

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ECUACIONES DIFERENCIALES (Versión Preliminar)

CARLOS IVAN BUCHELLI

COMITÉ DIRECTIVO

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Jaime Alberto Leal Afanador Rector Roberto Salazar Ramos Vicerrector Académico Sehifar Ballesteros Moreno Vicerrector Administrativo y Financiero Maribel Córdoba Guerrero Secretaria General Edgar Guillermo Rodríguez Director de Planeación

© opyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia

ISBN

2005 Centro Nacional de Medios para el Aprendizaje

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PRESENTACION

Bienvenidos al curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Este curso contiene el desarrollo de los programas correspondientes a la carrera de Ingeniería y al curso de Ecuaciones Diferenciales que imparte en esta Universidad. Por ser las Ecuaciones Diferenciales una herramienta fundamental en el estudio de muchos fenómenos físicos, este curso es parte integral de los planes de estudios de las carreras de Ciencias Básicas e Ingeniería.

Las ecuaciones que has encontrado hasta ahora responden en su mayor parte a la necesidad de obtener los valores numéricos de ciertas magnitudes. Cuando, por ejemplo, al buscar los máximos y los mínimos de funciones se resolvía una ecuación y se encontraban los puntos para los cuales se anulaba la velocidad de variación de una función, o cuando se considera el problema de hallar las raíces de un polinomio, se trata siempre de hallar números concretos. Pero en las aplicaciones de las matemáticas surgen a menudo problemas de una clase cualitativamente diferente: problemas en los que la incógnita es a su vez una función, es decir, una ley que expresa la dependencia de ciertas variables respecto de otras. Por ejemplo, al investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que determinar cómo varía la temperatura en el transcurso del tiempo; para describir el movimiento de un planeta o de una estrella o de una partícula cualquiera debe determinarse la dependencia de sus coordenadas con respecto al tiempo, etc. Con frecuencia es posible plantear una ecuación que permite encontrar las funciones desconocidas pedidas, y estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones funcionales. Su naturaleza puede ser, en general, muy diversa; de hecho podemos decir que ya conocemos el ejemplo más sencillo y primitivo de una ecuación funcional: las funciones implícitas. La clase más importante de ecuaciones funcionales son las ecuaciones diferenciales; esto es, ecuaciones en las que además de la función desconocida aparecen también algunas de sus derivadas de diversos ordenes. La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del

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curso de una reacción química, todo ello depende de la solución de ecuaciones diferenciales. Sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc., se expresan en forma de ecuaciones diferenciales.

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PR OLOGO En este material sobre Ecuaciones Diferenciales para los alumnos de la facultad de ciencias basicas e ingenieria que he construido, a lo largo de estos últimos a˜nos, he observado que, además, resulta útil para otras carreras, Visto que estos apuntes podian ser aprovechados por diversas personas con diferentes objetivos, y puesto que podían tener un publico no demasiado restringido, me decidí a darle vida en forma de Modulo. Los metodos clasicos para resolver ecuaciones diferenciales son importantes pero difłciles de recordar. Por eso nos planteamos escribir algo en principio, los apuntes antes mencionados dedicado a ellos con exclusividad, donde se pudiesen encontrar los metodos facilmente. De aqui que este libro contiene aspectos fundamentales de la teorła de ecuaciones diferenciales: existencia y unicidad de soluciones, sistemas de ecuaciones, integracion por desarrollos en serie, estabilidad, . . . , por citar solo unos pocos. Es claro que, matematicamente hablando, se puede plantearse un estudio serio de las ecuaciones diferenciales abordando los temas que aqui se tratan donde pueden explicarse a estudiantes de diversas carreras tal como aparecen desarrollados. El libro consta fundamentalmente de tres partes, de acuerdo a una primera clasifcacion general de la ecuaciones que se estudian: ecuaciones expłicitas de primer orden, ecuaciones en las que la derivada aparece implłcitamente, y ecuaciones en las que se puede reducir el orden. Cada una de estas partes abarca diversos tipos de ecuaciones, que aparecen en lo que hemos denominado “Apartados”, Por otra parte, todos los metodos de resolucion se basan, en esencia, en aplicar transformaciones diversas hasta llegar a una ecuacion de variables separadas, cuya resolucion requiere solo calcular integrales. Varios de los tipos que se estudian se subdividen a su vez en subtipos. En todo caso, siempre se analizan los procesos que hay que seguir para llegar a la resolucion, a veces por diferentes caminos. Un resumen de los metodos que se emplean, para recordarlos de un vistazo, Estos esquemas permiten clasificar facilmente las ecuaciones estudiadas y tener una rapida indicacion de como abordar su resolucion. Asł mismo, con cada tipo de ecuaciones se muestra un ejemplo tipico completamente resuelto. En el libro aparece una peque˜na bibliografia con libros exclusivamente en castellano. Al contrario que en muchos otros temas de matematicas, existen, en nuestro idioma, bastantes textos dedicados a las ecuaciones diferenciales, asł que solo he incluido unos pocos. Entre las obras citadas, no he considerado necesario indicar cuales son teoricas y cuales se dedican fundamentalmente a la resolucion de problemas, ya que me ha parecido que sus titulos son bastante descriptivos. Hay que tener presente que este es un libro, dedicado a un tema bastante puntual, con un łndice detallado, y cuyo proposito es permitir que, cuando nos encontramos ante una ecuacion diferencial, podamos facilmente distinguir su tipo para proceder a resolverla. 5

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CONTENIDO UNIDAD I. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 1.1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1.1. Conceptualización de una ecuación diferencial 1.1.2. Resolución de una ecuación diferencial 1.1.3. Clasificación de las ecuaciones diferenciales 1.1.4. Campos de aplicación de las ecuaciones diferenciales 1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 1.2.1. De variables separables 1.2.2. Homogéneas 1.2.3. Ecuaciones separables – Diferenciuales exactas 1.2.3.1. Ecuaciones con variables separables 1.2.3.2. Algunas ecuaciones reducibles a separables 1.2.3.3. Ecuaciones homogeneas 1.2.3.4. Un tipo de ecuaciones reducibles a homogeneas 1.2.3.5. El Factor integral 1.2.3.6. La ecuación lineal 1.2.4. El factor integrante 1.2.5. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Unidad II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y ORDEN SUPERIOR 2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN 2.1.1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden. 2.1.2. Solución general de ecuaciones diferenciales de segundo orden 2.1.3. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes 2.1.4. Ecuaciones diferenciales lineales no - homogéneas con coeficientes constantes 2.1.5. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden 2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 2.2.1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n 2.2.2. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes de orden n Unidad III. ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES 3.1. ESTUDIO DE SERIES 3.1.1. Conceptualización 3.1.2. Puntos singulares regulares 3.1.3. Clasificación de las series 3.2. TRANSFORMACIONES DE LAPLACE 3.2.1. Conceptualización 3.2.2. Propiedades básicas 3.2.3. Transformadas de funciones elementales 3.2.4. Solución de ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de Laplace 3.2.6. Aplicaciones de las transformadas de Laplace.

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UNIDAD I.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

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1.1.

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INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

La enseñanza de las ecuaciones diferenciales en los cursos tradicionales está dedicada a la resolución. Al dejar de lado la interpretación geométrica la conceptualización de las Ecuaciones Diferenciales es parcializada. Esto se observa en el hecho de que los estudiantes no pueden resolver problemas que involucren simultáneamente distintos registros de representación. Entre las actividades que pueden ser propuestas dentro de la enseñanza de las Ecuaciones Diferenciales deben ser destacadas las de visualización, ya que enfrentan al estudiante a dar consistencia a los resultados que obtenga. Ciertamente una alternativa didáctica muy extensa en este tema se encuentra en proporcionando un juego de marcos para solución a las ecuaciones diferenciales (numérico, gráfico y algebraico). Deseamos conocer con más detalle cuál es el efecto de las actividades Propuestas en la coordinación de los diferentes registros de representación al solucionar ecuaciones diferenciales de primer orden y orden superior. Muchas de las leyes de la naturaleza, en física, química o astronomía, encuentran su expresión más natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Son asimismo abundantes en la propia matemática, especialmente en la geometría. Es fácil comprender la razón que se oculta tras la amplia gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Recuerde que si es una función, su derivada se puede interpretar como la razón de cambio de y con respecto a . En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos básicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexión en el lenguaje matemático, el resultado es con frecuencia una ecuación diferencial. El siguiente ejemplo ilustra lo anterior. Por la segunda ley de Newton, la aceleración de un cuerpo de masa es proporcional a la fuerza total , que actúa sobre él con como constante de proporcionalidad, de modo que, o sea,

Supongamos, por ejemplo, que un cuerpo de masa m cae bajo la sola , influencia de la gravedad. En tal caso la única fuerza que actúa sobre él es donde g es la aceleración de la gravedad. Si y es la altura medida hacia abajo desde una cierta posición prefijada, entonces su velocidad es razón de cambio de su posición. Por otro lado su aceleración

es la

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Es la razón de cambio de la velocidad. Con esta notación, ecuación se convierte en

Si alteramos la situación, admitiendo que el aire ejerce una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad, la fuerza total que actúa sobre el cuerpo es

y la ecuación se reduce a

Las ecuaciones diferenciales expresan las características esenciales de los procesos físicos considerados. Razón de cambio La medición de razones y proporciones tiene gran aplicación en varias áreas de la ingeniería, es necesario saber tal magnitud para dar una aproximación a problemas de la vida real. Es posible realizar calcular diferencias para cualquier arreglo de datos. En probabilidad y estadística se obtiene razón de interés compuesto, en física el trabajo que se requiere en determinada condición de tiempo y espacio, crecimientos poblacionales, circuitos eléctricos, temperatura etc. Es prudente hacer la observación los eventos anteriores están en función del tiempo "t" La representación de estos cambios se denota usando el símbolo de incremento por lo tanto la razón de cambio "x" en el tiempo "t" se puede representa por

= El numero de habitantes se duplica cada 5 anos, encontrar la razón de cambio y represente los resultados gráficamente para ilustración

,

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La fuerza para mover un objeto es directamente proporcional a su aceleración encontrar la razón de cambio

Las anteriores razones de cambio suponen un incremento o decremento constante, la representación grafica de tales funciones es una función de la forma y=mx+b Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"

Existencia y unicidad Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por: 1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema? 2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única? 3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, determinamos?

como

la

En ésta sección nos ocuparemos de las dos primeras interrogantes: existencia y unicidad y dejamos la determinación de solución para el próximo capítulo. Ejemplo Dado el problema de valor inicial

No resulta difícil comprobar que integrando obtenemos que

es solución, pues separando variables e

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Y usando la condición inicial solución sería

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obtenemos que

, con lo cual la

. Observe que al resolver la ecuación diferencial dividimos

por lo cual supone que , pero podemos verificar que es solución, en este caso una solución singular. En conclusión, el problema de valor inicial dado tiene solución pero no es única, como poder predecir este comportamiento sin tener que resolverlo; el siguiente teorema nos da una respuesta parcial. Teorema

Sea

tal que

. Si

y

en , entonces existe un intervalo abierto , centrado en definida en , que satisface el problema de valor inicial

son continuas

y una función

Ejemplo: En el ejemplo anterior tenemos que

y

continual en el semiplano definido por garantiza que para cada punto

, las cuales son

; por consiguiente, el teorema con

de ese semiplano, hay un

intervalo centrado en en el cual la ecuación diferencial tiene una solución única. Así por ejemplo, sin resolverlo sabemos que el problema de valor inicial

Tiene solución única, mientras que para los problemas en donde el teorema no garantiza nada, es decir, podría suceder cualquier cosa: que no tenga solución, que tenga solución única o varias soluciones, como sucedió en el ejemplo anterior. Ejemplo: Hallar los valores de y para los cuales el teorema de existencia y unicidad garantiza que el problema de valor inicial 11

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Tiene solución única.

Como la derivada parcial donde

y

son continua en todo punto

, el teorema garantiza que existe una solución en el conjunto .

El teorema de existencia y unicidad nos da una condición suficiente. Por lo tanto el hecho de que no se cumplan las hipótesis no nos permite concluir nada. Por otro lado, aunque el teorema nos asegure la existencia no nos garantiza que exista un método para llegar a ella, quizás, lo mejor que podamos hacer sea aproximarla. Problemas propuestos El numero de habitantes se triplica cada ano, encontrar la razón de cambio y una función que prediga la población en un tiempo "t" La temperatura en una habitación disminuye 3 grados centígrados cada 10 minutos, encuentre la razón de cambio La masa de un elemento radioactivo decae en el tiempo, encuentre la razón de cambio Para análisis y comprensión de la grafica siguiente encuentre la razón de cambio

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1.1.1. Conceptualización de una ecuación diferencial Qué es una ecuación diferencial? Definición [Ecuación Diferencial] Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial. La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:

Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es

Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable

función derivable.

; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier

Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a como variable dependiente y a como variable independiente se acostumbra expresar en la forma

Para algún entero positivo . Si podemos despejar de esta ecuación la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden de la forma

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Ejemplo La ecuación

es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u orden, como veremos. Definición [Orden de una ecuación diferencial] El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación. De nuevo, la frase de manera no trivial tiene el fin de evitar situaciones como la siguiente

Cuyo orden es uno y no tres, como podría pensarse. Definición [Ecuación Diferencial lineal] Una ecuación diferencial ordinaria de orden la forma

Donde los coeficientes

para

es lineal si se puede escribir de

son funciones reales, con

. Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal. Algunas veces decimos que la ecuación es lineal con coeficientes constantes si las funciones

son constantes para toda

, en caso contrario, decimos que

es nula decimos es con coeficientes variables. Por otro lado, si la función que la ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea y en caso contrario no homogénea. Todos estos tipo se ecuaciones diferenciales serán estudiados posteriormente con más detalle. Ejemplo La ecuación diferencial

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es de primer orden, no lineal y no homogénea. Esta ecuación surge en sicología y representa un modelo del aprendizaje. La variable representa el nivel de habilidad del individuo como una función del tiempo . Las constantes y dependen del individuo considerado y de la naturaleza de la tarea que se este aprendiendo. Ejemplo La ecuación

Es de segundo orden, lineal con coeficientes constantes y no homogéneos. Esta ecuación diferencial surge en el estudio de circuitos eléctricos que consisten de un inductor , un resistor y un capacitor , al cual se aplica una fuerza electromotriz

.

Ejemplo La ecuación

es de orden 3, lineal con coeficientes constantes y homogénea. La ecuación

Es de primer orden, no lineal y no homogénea. La ecuación

es de segundo orden, lineal con coeficientes variables y no homogénea. El concepto de orden también se extiende a las ecuaciones parciales como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo La ecuación

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Se conoce como la ecuación de calor y es de primer orden en y de segundo orden en . La ecuación

se conoce como la ecuación de Laplace y es de segundo orden en

e .

La ecuación

se conoce como la ecuación de onda y segundo orden en

, y .

Las ecuaciones de Laplace, de calor y de onda poseen un importante significado en física teórica y su estudio ha estimulado el desarrollo de muchas ideas matemáticas relevantes. En general, las ecuaciones diferenciales parciales aparecen en problemas relacionados con campos eléctricos, dinámica de fluidos, difusión y movimiento ondulatorio. Su teoría es muy diferente de la de las ecuaciones diferenciales ordinarias y notablemente más difícil en casi todas sus facetas.

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1.1.2. Resolución de una ecuación diferencial Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales (razones de cambio infinitesimales),

Encontramos integrando

Encontramos integrando Las ecuaciones 1 y 2 son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, la característica de estas funciones es posible despejar la razón de cambio e integrar con facilidad, otro ejemplo de ecuaciones diferenciales son :

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, así llamado por el orden de la derivada. El orden de una ecuación diferencial es el mismo que el de la derivada de mayor orden que en ella aparece. Ejercicio Encuentra el grado "n" de la siguiente ecuación diferencial

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Soluciones de una ecuación diferencial. Constantes de integración Una solución o integral de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, que define a una de ellas como función de la otra, que satisface a la ecuación así.

Es una solución general de la ecuación diferencial

Ejemplo 2

En el problema anterior "a" es una constante arbitraria de la misma manera se puede representar como c1 y c2 respectivamente dan una solución mas general al problema a esta constante arbitraria se la conoce como constante de integración Ejemplo 3

Del problema anterior hallar una solución cuando y=2 dy/dx=-1 x=0 La solución general de la función es cuando x=0 aplicando relación entre variables

para y=2 e dy/dx=-1

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Sustituyendo los valores encontrados de c1 y c2 en la solución general encontramos nuestro resultado

Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresión en términos de integrales, pueda o no efectuarse la integración. Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales Antes de emprender el problema de resolver ecuaciones diferenciales, Mostraremos como se verifica una solución dada. En los tratados sobre ecuaciones diferenciales se demuestra que la solución general de una ecuación diferencial de orden "n", tiene "n" constantes arbitrarias Demostrar que

Es una solución de la ecuación diferencial

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Sustituyendo los valores en la ecuación diferencial original encontramos que la relación de variables satisface la ecuación Demostrar que

Es una solución particular de la ecuación diferencial

Sustituyendo el valor y’ en la ecuación diferencial y reduciendo obtenemos

Decimos que si

es una solución de la ecuación diferencial, en el intervalo

para toda . Es decir, una solución, es una función definida en algún intervalo que al sustituirla en la ecuación la transforma en una identidad para todo

.

Ejemplo La función para toda

es solución de la ecuación diferencial ordinaria .

Derivando la función obtenemos que

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Ejemplo La función

es solución de la ecuación diferencial

para toda

.

Derivando la función y sustituyendo obtenemos que

Ejemplo es solución de la ecuación diferencial

La función parcial

en todo

.

Calculando las derivadas parciales

Al sustituir obtenemos una igualdad

Recuerde que no toda ecuación diferencial que se nos ocurra tiene solución, por ejemplo, para la ecuación diferencial

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No existe una función real derivable que la satisfaga, pues el lado derecho es negativo y el lado izquierdo positivo. De aquí en adelante vamos a suponer que las soluciones que buscamos son reales y que el intervalo es el adecuado que permita que la solución tenga sentido.

Ejemplo La función

es una solución de la ecuación

Derivando implícitamente con respecto a

.

, obtenemos

Derivando implícitamente de nuevo, para calcular la segunda derivada

Hasta este momento hemos visto ejemplos en los cuales la solucióón esta dada en formas explícita o implícita. En los siguientes ejemplos se muestran situaciones un tanto diferentes. Ejemplo La curva dada en forma paramétrica por

es solución de la ecuación diferencial

.

Calculemos

Sustituyendo

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Ejemplo La función

es solución de la ecuación diferencial Observe que para calcular cálculo1.2

.

debemos usar el teorema fundamental del

Sustituyendo

Si la solución de una ecuación diferencial de orden tiene constantes diferentes, diremos que dicha solución es la solución general de la ecuación diferencial. Si asignamos valores a algunas o todas esas constantes obtenemos lo que se conoce como una solución particular. Ejemplo La familia de curvas ecuación

diferencial

es la solución general de la ,

mientras

que

y

son soluciones particulares. Algunas veces, a una solución de una ecuación diferencial se le llama integral de la ecuación y a su gráfica curva integral o curva solución. Como la solución tiene constantes se general de una ecuación diferencial de orden acostumbra llamarla familia n-paramétrica de soluciones y se denota por . Esto quiere decir que una ecuación diferencial tiene una cantidad infinita de soluciones que corresponden a la elección ilimitada de esos paramétros.

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Ejemplo La familia de parábolas diferencial

es la solución general de la ecuación .

Derivando implícitamente

Sustituyendo

En la figura se muestran algunas curvas solución.

Ecuación diferencial de una familia de curvas En esta sección discutimos un poco acerca del proceso inverso que nos ocupará a lo largo del curso. Recuerde que nuestro objetivo principal es determinar la solución general de una ecuación diferencial, la cual es una familia de curvas, sin embargo, ahora trataremos de determinar una ecuación diferencial cuya solución general sea una familia de curvas dada. Dada una familia de curvas

-paramétrica

básica es eliminar las constantes , para esto derivamos de la familia y formamos el siguiente sistema

, la idea veces la ecuación

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a partir del cual podemos obtener la ecuación diferencial buscada. Ejemplo Determine una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de curvas

Derivando dos veces la ecuación de la familia, obtenemos

Y observe que

es la ecuación diferencial buscada.

Observación Dada una familia de curvas -paramétrica, por lo general es fácil obtener una ecuación diferencial de orden mayor que tenga a ésta familia como solución. Por ejemplo,

sería una solución de la ecuación diferencial de

, pero por supuesto que esta no es la solución general de cuarto orden la ecuación diferencial. Algunas veces la familia de curvas se nos presenta en forma de un enunciado a partir del cual debemos obtener la ecuación, como muestran los siguientes ejemplos. Ejemplo Encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de círculos con centros sobre la recta

y tangentes al eje .

La familia de círculos se muestra en la figura. Observe que por estar centrados sobre la recta

los círculos también deben ser tangentes al eje

.

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Como los círculos están centrados en familia sería

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y tienen radio

, la ecuación de la

Desarrollando las fórmulas notables obtenemos

Derivando implícitamente con respecto a

Despejando de la ecuación y sustituyéndolo en la ecuación de la familia obtenemos la ecuación diferencial buscada

Ejemplo Encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de círculos con radio 1 y centro en

.

La ecuación de la familia de círculos con centro en

y radio 1 es

Derivando implícitamente respecto a

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Despejando el término de la familia obtenemos

la cual no contiene a constante

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de la ecuación y sustituyéndolo en la ecuación

. Para eliminar la constante

, despejemos el

término

De donde, derivando implícitamente y simplificando obtenemos la ecuación diferencial deseada

Observe que el lado derecho de la ecuación es la fórmula de curvatura y efectivamente la curvatura de los círculos es 1.

Problemas propuestos Verifica las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales

1.1.3. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Las ecuaciones diferenciales se clasifican en: Ordinarias: cuando la función desconocida o incógnita depende de una variable. Parciales: cuando la función desconocida o incógnita depende de más de una variable. Otra clasificación: Por el orden: el orden de una ecuación diferencial, es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.

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Por el grado: el grado de una ecuación diferencial es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Soluciones singulares Definición [Solucion singular de una ecuación diferencial] Una solución de una ecuación diferencial se llama singular si no se puede obtener de la solución general al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una solución particular. Ejemplo La familia de rectas diferencial

es la solución general de la ecuación . La parábola

es una solución singular.

No es difícil comprobar que ambas son solución de la ecuación diferencial dada. En la figura se muestra la solución singular y varias soluciones particulares.

Observe que la parábola es tangente en cada uno de sus puntos a una curva de la familia de rectas

, cuando sucede esto decimos que la

parábola es la envolvente de la familia de rectas como se indica en la siguiente definición.

;

Definición [Envolvente] Cualquier curva tangente a un número infinito de miembros de una familia infinita de curvas, y que por lo menos es tangente en cada uno de sus puntos a una de dichas curvas, es una parte, o el total, de la envolvente de la familia. La envolvente de una familia de curvas

satisface el sistema

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Lo cual nos permite hallarla. Ejemplo

Para hallar la envolvente de la familia de circunferencias resolvemos el sistema

Obteniendo que

,

. Al sustituir en la ecuación de la familia obtenemos que

la envolvente está formada por las rectas miembros de la familia se muestran en la figura.

. La envolvente y algunos

Ejemplo La familia de parábolas diferencial

es la solución general de la ecuación y las rectas

son soluciones singulares.

Fácilmente se comprueba que ambas son soluciones de ecuación diferencial. En la figura se muestran las soluciones singulares y varias soluciones particulares. Las rectas

son la envolvente de la familia de parábolas

.

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1.1.4. Campos de Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales La teoría de las ecuaciones diferenciales comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII, casi simultáneamente con la aparición del Cálculo diferencial e integral. En el momento actual, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para la investigación de los fenómenos naturales. En la Mecánica, la Astronomía, la Física y la Tecnología han sido causa de enorme progreso. Del estudio de las ecuaciones diferenciales del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por Kepler. En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones. Otros Campos de aplicación en la solucion de problemas de las ciencias naturales y sociales como lo es: la Salud, la medicina, la contaduría, la administración, etc. las ciencias sociales como tal. 1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Una ecuación de primer orden puede reducirse a al forma

Siendo M y N funciones de X e Y

Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden dividirse en 4 grupos

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Solución problemas implican Ecuaciones con variables separables. 1. cambios de masa. 2. cambios temperatura. 3. cambio población en el tiempo. Los anteriores ejemplos son posible solución que se puede encontrar por medio de ecuaciones de variables separables, para tal observación se be encontrar el incremento y la razón de cambio

La observación de los problemas afirma que y es directamente proporcional a x esto se representa por

Para encontrar la solución crear un igualdad necesitamos la razón de cambio representada por "k"

La solución de este tipo ecuaciones diferenciales se observa en el ejemplo anterior

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ECUACIONES DIFERENCIALES

Una masa "mo" decae a una masa "mf" en un tiempo "t" encontrar la ecuación diferencial que represente tal afirmación

la solución anterior se obtiene con la condición t=0 c=0. Problemas propuestos: Una masa de 500 Kg. decae a una masa 100 Kg. en un tiempo de 3 min. Encontrar la ecuación diferencial que represente tal afirmación y la mase cuando el tiempo sea de 2 min. La temperatura en un cuarto es de 3 grados centígrados al pasar 5 min. la temperatura es de 7 grados centígrados, encontrar la ecuación diferencial represente la razón cambio. El incremento poblacional es 3 veces la población inicial en 2 años, si la población inicial es de 300 habitantes encontrar la ecuación que defina el crecimiento en el tiempo, el numero de habitantes cuando el tiempo sea de 10 años La presión atmosférica "P" en un lugar, en función de la altura "h" sobre el nivel del mar. Cambia según la ley del interés compuesto suponiendo que P=1000 gr/cm2 cuando h=0 y P= 670 gr/cm2 cuando h=3000 m hallar: a)- la presión "p" cuando h=2000 m b)- la presión "p" cuando h=5000 m

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Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una ecuación lineal homogénea tiene la forma funciones

donde "P" y "Q" son

De "X" La solución de estas ecuaciones se obtiene haciendo

Z y U son funciones de x que deben determinarse por lo tanto

Determinamos "u" integrando la ecuación

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos que

Integrando y sustituyendo en los valores anteriores obtenemos

Solución problemas implican Ecuaciones diferenciales Homogéneas 1. Desleimiento continuo de una solución 2. Cinemática , oposición al movimiento 3. Circuitos eléctricos simples en serie

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Un tanque contiene una solución con una densidad de "s" si se la vacía la misma solución con una densidad "s1" encontrar la ecuación diferencial que defina el comportamiento del problema

Supuesto que en la mezcla de volumen total "v" la cantidad de solución "s" en , supongamos que un volumen " cualquier volumen esta dada por se vacía en el tanque. La cantidad de solución "s" esta dada por:

"

Podemos encontrar la razón de cambio

Por lo tanto –

En un circuito dado "E" y de intensidad "I" (amperios) el voltaje "E" se consume en vencer la 1.residencia en R (ohmios) del circuito La inductancia Ecuación 1: la siguiente ecuación emplearse en el caso de un circuito en serie combinación resistencia e inductancia

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Ecuación 2: la siguiente ecuación representa un circuito acumulador y resistencia

Las anteriores formulas son en fundamento la ley conservación de la carga y energía (ley de kirchoff) La intensidad o corriente se define como el cambio de carga en el tiempo

La energía electromotriz representado con la letra "E" o "V" voltaje es directamente proporcional a la corriente y resistencia del medio "R"

La capacitancía "C" (faradios) en un acumulador es directamente proporcional al voltaje "E" e inversamente proporcional a la carga "Q"

TALLER: Desarrolle: Circuito en serie combinación resistencia "R" y un acumulador "C" Circuito en seria combinación resistencia "R", acumulador "C" y transformador "L" Circuito en serie, combinación resistencia "R" y transformador "L" El movimiento de un proyectil puede ser afectado en gran proporción por la fricción (aire) Es posible usar la segunda ley de newton para dar una representación del problema

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Usando la solución general ecuaciones homogéneas con "t"=0 y "v"=0

Problemas propuestos : Un circuito en serie contiene una resistencia de 100 ohm y un transformador con L=2 henrios Conectados a una fuente de 12 volts ¿Encuentre ecuación del circuito en función del tiempo? Un circuito en serie contiene un acumulador con capacitan cía de 100 uf y una resistencia de 200 ohm conectados a una fuente de 120 voltios, ¿encuentre la ecuación del circuito en función del tiempo? Un contenedor contiene un volumen de 10,000 litros contiene una solución "s" se añade agua limpia al contenedor ¿Cuánta agua debe hacerse correr para quitar al 50% de la solución "s"" Una pelota de béisbol con un peso de "1.4 N" deja el bat con una rapidez aproximada de 100 mi/hr con una inclinación de "60" grados respecto el eje horizontal "x" si el viento ejerce una fuerza en oposición a b=0.033 N a. encontrar la ecuación que defina su movimiento en el función del tiempo b. graficar los resultados c. graficar los resultados sin considerar la fricción del viento

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1.2.1. De Variables Separables

Metodo de solucion

1.2.2. Ecuaciones Homogéneas

Si

la ecuación diferencial toma la forma

Reescribiendo, la ecuación diferencial, se expresaría como

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Si tiene la propiedad de que

La ecuación es homogénea Ejemplo: Determine si la ecuación diferencial

es homogénea

Solucion:

La ecuación es homogénea Otra forma de verificar si una ecuación es homogénea es examinando el grado de cada término de las funciones M(x,y) y N(x,y) , si todos los términos son del mismo grado la ecuación es homogénea. Ejemplo: Verifiquemos la ecuación del ejemplo anterior

Como todos los términos son del mismo grado la ecuación es homogénea

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Solucion: Si la ecuación es homogénea puede reducirse a una ecuación de variables separables usando cualquiera de las sustituciones y = ux o x = vy

Si elegimos y = ux dy = udx + xdu

Por ser homogénea podemos escribir :

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial Dándole forma Usando la sustitución x = vy dx = vdy + ydv

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1.2.3. Ecuaciones Separables - Diferenciales Exactas.

•

Una ecuación diferencial se denomina elementalmente integrable, si puede obtenerse su solución general mediante una sucesión finita de operaciones (incluyendo integraciones) con funciones elementales. En este tema y en los dos próximos, se tratará de resolver ciertos tipos de ecuaciones de primer orden, elementalmente integrables.

•

El modelo más simple es el de una ecuación de la forma f(x) continua en un intervalo I.

y´= f(x), siendo

La solución única y(x) definida en I y cuya gráfica pasa por (xo, yo), siendo xo ∈ I , y0 ∈ ℜ, es: x

y = y 0 + ∫ f ( t ) dt x0

Al variar yo en ℜ se obtendrá la solución general, que también podrá escribirse en la forma: y = ∫ f ( x ) dx •

En general, una ecuación diferencial de primer orden y primer grado en y´ la consideraremos escrita en la forma normal y´= f (x,y) , o en la forma P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0. Por Ejemplo:

y´ =

2x − y 3x + y

2

ó

(y - 2x) dx + (3x + y2) dy = 0.

1.2.3.1. Ecuaciones con Variables Separables

Son las que pueden escribirse en la forma:

f(x) dx = g(y) dy

(1)

Es decir, con las variables separadas. Se supondrá que f(x) y g(y) son continuas respectivamente en I y J . Por el teorema de existencia y unicidad, habrá solución única por cada (xo , yo) ∈ I × J, siempre que no se anule g(y) en J. Si y = ϕ (x) es una solución de la ecuación diferencial (1), habrá de cumplirse la identidad: g[ϕ(x)] ϕ´ (x) dx ≡ f(x) dx ∀ x ∈ I 41

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∫ g[ϕ(x )] ϕ´ (x ) dx = ∫ f ( x ) dx

Luego: Por el cambio de variable

, x ∈I

∫ g(y ) dy = ∫ f ( x) dx

y = ϕ (x), se obtiene:

Esta es la solución general que incluye una constante arbitraria C. Ejemplo1: Hallar la solución general de la ecuación diferencial:

x dx + y dy =0

Se trata de una ecuación diferencial con variables separables, pues puede escribirse en la forma: y dy = - x dx. Su solución general, en forma implícita, será:

x2 + y2 = C

donde habrá

de ser C > 0 para que se trate de solución real, no simplemente de solución formal. Ejemplo 2: Hallar la solución general de la ecuación diferencial:

y′ =

2x−1 3 y2

También se trata de una ecuación diferencial con variables separables, pues puede escribirse en la forma: 3 y2 dy = (2 x –1) dx. Integrando ambos miembros, su solución general será:

y3 = x2 – x + c.

Ejemplo 3: Solución general de (1- y) dx + (x+3) dy = 0. que y(-1) =0 Separando variables:

ln y − 1 = ln x + 3 + C

dx dy = . x + 3 y −1

∀ C ∈ℜ

Por tanto : ln y − 1 = ln C1 x + 3 . Podemos por tanto escribir:

ó

En particular hallar la solución tal

E integrando ambos miembros:

ln y − 1 = ln x + 3 + ln C1

C1 > 0

Luego: y-1 = ± C1 (x+3) y = 1 +k (x + 3) k ≠ 0

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En el proceso de separar variables, se han perdido las soluciones x = -3 e y = 1. Luego la solución general esta formada por: y = 1 +k (x + 3), k ∈ ℜ

La solución particular buscada es:

y la recta:

y=−

x = -3.

1 ( x + 1) 2

En este ejemplo vemos que el haz integral puede expresarse de formas variadas, sustituyendo una cte. C por ϕ (k) . Pero el haz solo será el mismo si hay correspondencia biunívoca entre los valores de C y los de k. Ejemplo 4: a) Solución general de la ecuación diferencial:

Separando variables:

dy = dx y

y´ = y

(Se ha perdido la solución y = 0 al

efectuar la división por y). Integrando: ln y = x + C . Luego y = e x + C = k e x ,

Por tanto:

k = eC > 0

 k e x si y > 0 y=  − k e x si y < 0

La solución es por tanto: y = K ex , K ∈ ℜ , y=0

válida incluso si K = 0, pues

es también solución de la ecuación diferencial dada.

b) Solución general de la ecuación diferencial: Es una generalización del ejemplo anterior.

ϕ ´( y ) dy = ψ ( x ) dx . ϕ( y )

.

Actuando de forma análoga se obtiene como solución: K∈ ℜ

ψ ( x ) dx ϕ( y ) = K e ∫ ,

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Ejemplo 5: Se sabe que la velocidad de desintegración radiactiva es proporcional a la cantidad x de la sustancia que queda aún sin desintegrar. Hallar x en función del tiempo t desde que comienza el proceso, suponiendo que para t = 0 es x(0) = xo .

dx =−k x dt

La ecuación diferencial del proceso es:

siendo k > 0 la constante

de proporcionalidad, no aportada en el enunciado y que se supone conocida. El signo negativo indica que x decrece al aumentar la t. Separando variables:

dx =−kdt x

Como para t = 0 es x = xo, resulta:

Luego x = C e − k t

x = x0 e- k t.

Ejemplo 6. La razón de enfriamiento de un cuerpo, es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente. Si una cierta barra de acero tiene una temperatura de 1230 o y se enfría a 1030 o en 10 minutos, cuando la temperatura del ambiente es de 30 o ¿cual es la expresión de la temperatura de la barra en función del tiempo? Sea T(t) la temperatura en grados centígrados en un instante t (medida desde el momento en que la barra a 1230º es colocada en un ambiente a 30º). Se supondrá en lo sucesivo que el tiempo t se mide en minutos. La ecuación diferencial a la que satisface T(t) será:

dT = − k ( T − 30 ) , k>0 dt

Donde k es la constante de proporcionalidad, no aportada en el enunciado, que a cambio proporciona el resultado de una medida experimental (a los 10 minutos la barra está a 1030 º). El signo negativo indica que la temperatura decrece al aumentar t. Separando las variables en la ecuación:

dT = − k dt T − 30

E integrando, teniendo en cuenta lo visto en el Ejemplo 4-b : T − 30 = C e − kt , es decir:

T( t ) = 30 + C e − kt .

Aplicando ahora la condición inicial, se obtiene la constante de integración: T(0) = 1230º ⇒ 1230 = 30 + C ⇒ C = 1200 .

44

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Luego: T( t ) = 30 + 1200 e − kt . El resultado de la medida experimental permitirá hallar el valor de la constante k de proporcionalidad: T (10) = 1030º ⇒ 1030 = 30 + 1200 e-10 k ⇒ 1

 10  10 −k   =e 12   t  10  10

Por tanto, la función buscada es: T(t ) = 30 + 1200    12  minutos.

donde t está en

Notas: •

Soluciones que no pueden expresarse en términos de funciones elementales

Sabemos que algunas integrales indefinidas no pueden expresarse en términos finitos con funciones elementales. Ejemplo:

2

x ∫ e dx ,

ex ∫ x dx ,

∫

sen x dx , x

∫

cos x dx.........etc x

Si aparece alguna de estas integrales en la resolución de una ecuación diferencial, deberá dejarse planteada la integración. Ejemplo 7: Sea el problema de valor inicial: Separando variables:

dy y2

2

= e x dx .

Podrá escribirse en la forma

Como y(2) = 1 , resulta:

–1 = C

2

y ′ = y 2 e x , y ( 2) = 1

Luego :

2 −1 = ∫ e x dx y

x 2 −1 = C + ∫ e t dx 2 y

Luego:

y=

1 x t2 e dt 2

1− ∫

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•

ECUACIONES DIFERENCIALES

El método de separación de variables, da en general una solución implícita de la ecuación.

En algunos casos puede obtenerse de la misma, una solución explícita. Pero en realidad se obtienen expresiones implícitas “formales” que satisfacen la ecuación diferencial, pero que quizá para ciertos valores de la constante no definen soluciones explícitas. Así la: x dx + y dy = 0 , da lugar a x2 + y2 = C que formalmente satisface a la ecuación diferencial, pero que no define implícitamente a ninguna función para c ≤ 0.

1.2.3.2. Algunas Ecuaciones Reducibles a Separables

Se van a considerar ahora unos tipos de ecuaciones que pueden transformarse en una ecuación separable por medio de una transformación o sustitución apropiada. ECUACIONES DEL TIPO: y´ = f(ax + by +c) Por medio de la sustitución u = a x + b y +c, la ecuación anterior se transforma en otra con variables separables. du = a + by´ = a + b f (u ) dx

En efecto: Es

du = dx a + b f (u )

Luego:

De donde :

du

∫ a + bf (u) = x + c

Tras resolver la integral, se deshace el cambio. Ejemplo 8: Resolver la ecuación diferencial: y ′ = ( x + y) 2

Sea Luego:

u = x +y. du 1+ u2

= dx .

Entonces u ′ =1 + y′ =1 + u 2 De donde : arctg u = x + c

Tras deshacer el cambio:

o´ u = tg( x + c)

y = tg (x + C) – x

46

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1.2.3.3 Ecuaciones Homogéneas

Nota previa: Una función f (x, y) se llama función homogénea de grado α respecto a las variables x e y, si para todo t admisible, se verifica: f (tx, ty) = tα f (x, y). Por ejemplo, la f(x, y) = x2 + x y +y2 cumple: f(tx, ty) = t2 f (x, y). Luego es homogénea de grado 2. y Análogamente, la función f ( x , y ) = cumple: f(tx, ty) = f (x, y). Por tanto es x homogénea de grado 0. Puede demostrarse que toda función f(x, y) homogénea de grado 0 admite una  y expresión en la forma: f ( x , y ) = g   .  x Si

f ( x, y) =

M( x, y) , siendo N ( x, y)

M y N

homogéneas del mismo grado α,

entonces f (x, y) es homogénea de grado 0. Definición: “Una ecuación diferencial y ′ = f ( x , y ) , se llama homogénea, si la función f es homogénea de grado 0, es decir, si la ecuación puede expresarse en la forma:

 y y´ = g    x

Resolución: “Si

(2)

y ′ = f ( x , y ) es homogénea, el cambio de función u =

transforma la ecuación en una separable en las variables x, u.”

y x

y resulta: y = u x. Luego : y ′ = u ′x + u x Por tanto la ecuación (2) se transforma en u ′x + u = g( u ) , es decir x du = [g( u ) − u ] dx

En efecto:

De

u=

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ECUACIONES DIFERENCIALES

du

dx du . Por tanto: = x g(u ) − u

Separando variables:

Tras resolver la integral de (3) :  y x = CΦ    x

x = C Φ(u)

∫ x = C e g( u )− u

(3)

se deshace el cambio:

Podría también darse la solución en paramétricas, usando u como parámetro:  x = C Φ( u )   y = C u Φ( u )

Ejemplo 9: Solución general de la ecuación diferencial:

y2 − x 2 2x y

Es evidentemente y′ =

(x2 – y2) dx +2 x y dy = 0

una ecuación homogénea. Tomamos como

nueva Función u =

y . x

Entonces:

(1 + u )

y′ =

u 2 −1 u2 −1 , es decir : u ′ x + u = 2u 2u

2

Luego u ′x = −

Y separando var iables : −

2u

∫

−2u

2 Por tanto: x = C e 1+ u

2u dx du = x u +1 2

du

Deshaciendo el cambio:

Se deduce por tanto : x = 2

2

C 1+ u2

x + y = C x.

Se trata de un haz de circunferencias pasando por el origen y con centro en el eje OX. Observaciones: Las operaciones que llevan de (2) a (3) no son válidas si g(u) ≡ u. Pero en este y caso la ecuación diferencial (2) es: y ′ = . x dy dx La ecuación puede escribirse con variables separadas: = siendo y x su solución el haz de rectas por el origen y = C x. Si g (u ) ≠ u pero hay algún valor u1 de u, tal que g (u1) = u1, entonces la recta 48

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y = u1 x fácilmente.

ECUACIONES DIFERENCIALES

es solución de (2) (quizá singular), como puede comprobarse

Propiedades geométricas: Las isoclinas del campo de direcciones ligado a una ecuacion homogénea, son y y = C . Se trata por tanto de rectas por el origen. k = g  , es decir x x y • El haz de curvas solución de la ecuacion homogénea es x = C Φ   . x En polares: r cos θ = C Φ (tg θ) , de donde se deduce que: r = C ϕ(θ). •

Por tanto dicho haz se obtiene aplicando a una de sus curvas homotecias respecto al origen.

r = ϕ(θ),

Puede desmostrarse fácilmente que, recíprocamente, todo haz de curvas homotéticas respecto al origen tiene por ecuación diferencial a una homogénea.

1.2.3.4. Un Tipo de Ecuaciones Reducibles a Homogeneas

Nos referiremos a ecuaciones de la forma bi, ci constantes (y no se verifica

 a x + b 1 y + c1  y′ = f 1   a2x + b2y + c2 

(4) con ai,

a 1 b1 c1 = = ). a 2 b2 c2

a 1 b1 = = k , el cambio de función: z = a2 a 2 b2 x + b2 y transforma la ecuación diferencial dada en otra con variables separables x, z. En el caso especial en que

•

En efecto: La ecuación diferencial:

 k z + c1   es con variables z ′ = a 2 + b 2 f   z + c2 

separables. •

En el caso general •

a1 b1 ≠ : a 2 b2

Si c1 =c2. = 0, la ecuación (4) es: 49

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 a x + b1 y y ′ = f  1  a 2 x + b2 y

•

ECUACIONES DIFERENCIALES

y    a1 + b1   x  = g  y  , es decir homogénea.  = f    y  x  a + b  2 2  x 

Supóngase ahora que al menos uno de los c1 ó c2 es distinto de cero.

x = X + α Se efectúa entonces la transformación  (traslación del ejes) siendo  y =Y + β a1 x + b1 y + c1 = 0 (α,β) la solución del sistema  a 2 x + b2 y + c 2 = 0

(Geométricamente (α,β) es el punto de intersección de las rectas descritas en el sistema. Tienen como intersección un único punto (α,β) por la condición a1 b2 ≠ b1 a2). Como

dY dy = , la transformación antes citada conduce a : dX dx

dY dy = = dX dx

 a X + b1Y  f 1   a 2 X + b2Y 

Que ya es homogénea.

Ejemplo 10: Solución general de la ecuación diferencial:

La ecuación es:

y′ = −

2 x + 3y y+2

Solución del sistema x = X + 3 Transformación:  y = Y − 2

(2x + 3y) dx + (y + 2) dy = 0

reducible a homogénea. 2 x + 3 y = 0  y + 2 = 0

(α, β) = (3, − 2)

Nueva ecuación:

2X + 3Y dY =− dX Y

En esta ecuación homogénea, se hace Y = u X. 2 + 3u Entonces : u′ X + u = − . u

Luego:

u 2 + 3u + 2 u′ X = − u

50

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Es decir:

ECUACIONES DIFERENCIALES

− u du dX = . u + 3u + 2 X 2

Por tanto:

∫

X = C e u +3u + 2 = C e

Deshaciendo el cambio Y=uX:

Por tanto :

 1

−u du 2

2 

∫  u + 1 − u + 2  du  

Y  k  + 1 X , X=  2 Y   + 2 X 

ln

u +1

2 k (u + 1) = C e (u + 2 ) = (u + 2)2

es decir: (Y + 2X)2 = k (Y+X)

[y + 2 + 2(x − 3)] 2 = k (y + 2 + x − 3) .

Y la solución de la ecuación dada será: (y +2x –4)2 = k (x+y-1)

.

1.2.3.5. Ecuaciones Diferenciales Exactas: Factor Integrante

Ecuaciones diferenciales exactas Definición: Se dice que una forma diferencial P(x, y) dx +Q(x, y) dy es exacta en un dominio D, si existe una función U(x, y) cuya diferencial es dicha forma en D, es decir:

dU =

∂U ∂U dx + dy = P ( x , y ) dx + Q( x , y ) dy ∂x ∂y

(x,y) ∈ D

Si P(x, y) dx + Q(x,y) dy es exacta, entonces la ecuación diferencial P dx + Q dy = 0 se denomina ecuación diferencial exacta, o ecuación en diferenciales totales. Integración de una ecuación diferencial exacta: En el caso citado, la solución general de la ecuación diferencial: P(x, y) dx +Q(x, y) dy = 0, es decir dU = 0, es:

U(x, y) = k.

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ECUACIONES DIFERENCIALES

Y recíprocamente, dada la familia uniparamétrica de curvas U(x, y) = k, su ecuación diferencial puede escribirse en la forma Ux dx + Uy dy = 0, es decir en forma de ecuación diferencial exacta. ¿Cómo reconocer si una ecuación diferencial dada: y = 0 es exacta?

P(x, y) dx + Q(x, y) d

Teorema: “Sea la ecuación diferencial : P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, donde P(x, y) y Q(x, y) tienen derivadas parciales primeras continuas en un dominio D simplemente conexo. ∂P ∂Q Dicha ecuación diferencial es exacta en D si y solo si en D.” = ∂y ∂x Ya se vió en Cálculo II la demostración y también la forma de obtener en su caso la función U (x,y) tal que: P dx + Q dy = dU Ejemplo 11: Resolver la ecuación diferencial: (3 x2 + 4 xy) d x + (2 x2 + 2y) dy = 0. Se verifica que Py = Qx = 4x. Y estas derivadas son continuas en cualquier dominio D simplemente conexo del plano. Luego, existe U(x,y) tal que P dx +Q dy = dU en cualquiera de tales D. Como ha de ser Y como

∂U =Q ∂y

∂U = P , resulta: U( x , y ) = ∫ P( x , y ) dx + ϕ( y ) = x 3 + 2 x 2 y + ϕ( y ) ∂x

resulta:

2x2 + ϕ´ (y) = 2x2 + 2y . Luego: ϕ´ (y) = 2y.

Por tanto: ϕ (y) = y2 + C1 . Entonces: U(x,y) = x3 + 2 x2y + y2 + C1 Luego la solución general de la ecuación diferencial dada será U(x, y) = C, es decir: x3 + 2 x2y + y2 = k Ejemplo 12: Resolver la ecuación diferencial: (3 x2 + 2 y sen2x )dx + 2 (sen2 x + 3 y2 ) dy = 0

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En este caso es:

Py = 2 sen 2x

y

ECUACIONES DIFERENCIALES

Qx = 4 sen x cos x = 2 sen 2x

En todo ℜ2 es Py = Qx y ambas derivadas son continuas en ℜ2 Como en el ejemplo anterior, es: U( x , y ) = ∫ (3x 2 + 2 y sen 2 x ) dx + ϕ( y ) = x 3 − y cos 2 x + ϕ( y ) ∂U = Q ⇒ − cos 2 x + ϕ′( y ) = 2 sen 2 x + 6 y 2 , Luego ϕ′( y ) = 6 y 2 + 2 sen 2 x + cos 2 x ∂y

es decir: ϕ′( y ) = 6 y 2 + 1. Luego ϕ( y ) = 2 y 3 + y + C1 Y por tanto: U(x, y) = x3- y cos 2x + 2 y3 +y +C1 La solución general será: x3- y cos 2x + 2 y3 +y = k

Factores integrantes: Introducción: Sea la ecuación diferencial: P(x, y) dx +Q(x, y) dy = 0 y supóngase que no es exacta. ¿Qué hacer entonces? Por ejemplo, la ecuación y dx + 2x dy = 0 no es exacta (aunque con variables separables). Pero si multiplicamos ambos miembros de la misma por y, se transforma en la ecuación esencialmente equivalente: y2 dx + 2xy dy = 0, que es exacta. La ecuación es:

d (xy2) = 0. Y su solución:

xy2 = C.

Análogamente multiplicando ambos miembros de la ecuación dada por

1 , se xy

dx dy + 2 = 0 , ya exacta (sólo se han x y perdido las soluciones x = 0 e y = 0). Esta última ecuación es: d (ln xy2) = 0. Luego la

obtiene la ecuación casi equivalente

Solución es ln (xy2) = k, es decir: perdidas.

xy2 = C tras incorporar las soluciones

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Definición: . “Sea la ecuación diferencial: P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 (5), no exacta. Si existe una función µ(x, y), tal que la ecuación µ P dx +µ Q dy = 0, es exacta en un dominio D simplemente conexo, entonces el factor µ(x, y) recibe el nombre de factor integrante de la ecuación diferencial (5)”. 1 son factores xy y dx + 2x dy = 0.

Así en el ejemplo de la introducción, tanto y como integrantes de la ecuación diferencial

La ecuación diferencial obtenida al multiplicar ambos miembros de la ecuación (5) por un factor integrante, es esencialmente equivalente a la (5). Tiene la misma familia uniparamétrica de soluciones, aunque es posible que se ganen o se pierdan algunas soluciones. Existencia: Puede demostrarse que existen factores integrantes de la ecuación diferencial (5), si y solo si dicha ecuacion es integrable. (Se omite la demostración). El problema está en obtenerlos. Obtención de los factores integrantes. Si µ(x, y) es factor integrante de la ecuación diferencial (5), entonces la ecuación µ(x, y) P(x, y) dx + µ(x, y) Q(x, y) dy = 0 es exacta en D, lo que equivale a afirmar que : ∂ ∂ ( µP ) = ( µQ ) ∂y ∂x

Es decir:

µ y P − µ x Q = µ ( Q x − P y ) (6)

Esta es la ecuación diferencial de los factores integrantes. Toda función µ(x, y) que verifique esta ecuación es factor integrante de (5) y recíprocamente. Desafortunadamente, esta ecuación diferencial (6) es una ecuación en derivadas parciales, en principio de más difícil resolución que la dada (5). Pero como nos basta con tener un único factor integrante, veremos como pueden obtenerse algunos de ciertos tipos especiales, en el caso en que existan.

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Expresión general de los factores integrantes • Si µ(x, y) es factor integrante de (5) y µ P dx + µ Q dy = dU, entonces µ(x, y) Φ(U(x, y)) es también factor integrante de (5), cualquiera que sea la función integrable Φ. µ Φ(U) P dx + µ Φ(U) Q dy = Φ(U) dU = dΨ(U) siendo En efecto: Ψ′( U ) = Φ ( U ) . Luego µ Φ(U) es factor integrante de (5). •

Recíprocamente, puede demostrarse que cualquier factor integrante ν(x, y) de (5), puede escribirse en la forma ν = µ Φ(U).

(Se omite la demostración). Así para la ecuacion diferencial y dx + 2x dy = 0, es factor integrante µ(x, y) = y, siendo y2 dx + 2xy dy = d(xy2) = dU . 1 1 y µ verifica: ν = = = 2 xy xy xy U Serán también factores integrantes, por Ejemplo:

El factor integrante ν =

ν2 =

ν1 = µ U = xy3,

µ y 1 = = , etc. U x xy 2

Ejemplo 13: Mostrar que µ(x, y) = xy2 es factor integrante de: (2y – 6x) dx + (3x- (4x2)/y) dy = 0.Usar este factor integrante para resolver la ecuación. La ecuación original no es exacta. Tras multiplicar por xy2, la nueva ecuación diferencial es: (2xy3 – 6x2y2) dx + (3x2y2- 4 x3y) dy = 0 En esta: P = 2xy3 –6x2y2,

∂P ∂Q = 6xy 2 − 12 x 2 y = ∂y ∂x es factor integrante de la ecuación

Q= 3x2y2 – 4x3y,

Luego es exacta y por tanto diferencial dada.

µ = xy2

Existe por tanto una U(x,y), tal que en cualquier dominio del plano: P dx + Q dy = dU, Siendo: Ha de ser:

U( x , y ) = ∫ (2 xy 3 − 6x 2 y 2 )dx + ϕ( y ) = x 2 y 3 − 2x 3 y 2 + ϕ( y)

∂U = Q( x , y ) . Es decir: 3x 2 y 2 − 4 x 3 y + ϕ′( y) = 3x 2 y 2 − 4 x 3 y ∂y

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Por tanto : ϕ ′( y ) = 0, de donde ϕ ( y ) = C . Luego: U(x, y) = x2y3 – 2x3y2 +C x2y3 – 2x3y2 = k

La solución será U = K, es decir:

Al introducir el factor integrante se ha añadido la solución particular y = 0 que no es solución de la ecuación original. Obtención del factor integrante en algunos casos especiales Se ha visto que la ecuación (6) que da los factores integrantes, es ecuación en derivadas parciales. Solo será interesante intentar su resolución, cuando la ecuación sea ordinaria, es decir cuando µ sea función de una sola variable.

•

Existencia y obtención de un factor integrante de la forma µ = µ(x)

Si existe, es: µ x = µ ′ ,

µ y = 0 . Y la ecuación (6) toma la forma :

− µ ′ Q = µ (Q x − Py ) .

Es decir :

µ ′ Py − Q x = µ Q

La condición para que exista un factor integrante µ = µ(x) es que:

Py − Qx = g( x ) . Q Y entonces, de

•

µ′ = g( x ) µ

resulta

µ( x ) = C e ∫

:

g ( x ) dx

Existencia y obtención de factor integrante de la forma µ = µ(y)

De forma análoga, si existe un tal µ = µ(y), se verifica: y la (6) da lugar a :

Condición:

µ ′ P = µ (Q x − Py )

Qx − P y P

= h( y ) .

ó

Entonces:

µ y = µ′ , µ x = 0 µ ′ Q x − Py = µ P

µ( y ) = C e ∫

h( y ) dy

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•

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Otros tipos:

Para resolver la (6) como ecuación diferencial ordinaria, será necesario considerar únicamente soluciones µ que sean funciones de una única variable, si existen. Tras los casos µ(x) y µ(y) ya estudiados, se cita como otro ejemplo el caso siguiente: ¿Cuándo existe y como se obtiene un factor integrante de la forma µ = µ(x·y)? En este caso µ es función de la variable t = x·y. Puede escribirse:

µ = µ(t),

µ x = yµ ′( t ),

µ y = xµ ′( t )

En (6)

x µ ′( t )P − y µ ′( t ) Q = µ (Q x − Py )

Luego :

µ ′( t ) Q x − Py = . µ( t ) xP − yQ

Condición:

Qx − Py = f(t) xP − yQ

Por tanto:

y

µ( t ) = C e ∫

f ( t ) dt

Ejemplo 14: Sea la ecuación diferencial

(x2- y2) dx + 2xy dy = 0 (Homogénea)

a) Hallar un factor integrante µ = µ(x). Integrar la ecuación diferencial con su ayuda.  y b) Hallar un factor integrante de la forma: ν = ν    x c) Expresión general de los factores integrantes. Comprobar que el factor integrante del apartado b) satisface a dicha expresión.

 y ν   , escribir de forma inmediata la solución general  x

µ(x) y

d) Conocidas

de la ecuación diferencial.

a) Es:

Py − Q x Q

=

− 4y − 2 . = 2xy x

Luego existe µ = µ(x)

−2 dx

Además:

∫ µ( x ) = C e x

. Basta tomar

1 µ1 ( x ) = x2

Multiplicando por µ1 la ecuacion dada: 57

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 y2  2y 1 − 2  dx + dy = 0 x  x  U( x, y) = x +

b) Sea

y2 x

Es diferencial exacta.

Solución: x +

y = t , ν = ν(t ) , x

νx =−

y2 =C . x

y x

2

2 ν ′ x (Q x − Py ) . Luego: = ν xP + yQ

x2 + y2 = Cx

1 ν y = ν ′( t ) x

ν ′( t ) ,

x 2 (Q x − Py ) Condición : = f (t ) xP + yQ

x 2 (Q x − Py ) x 2 ( 2 y + 2 y) 4x 2 y 4t = = = 2 2 2 2 xP + yQ x ( x − y ) + y. 2 xy x ( x + y ) 1 + t 2

Luego : ν(t ) = C e

Por tanto:

∫

4t 1+ t 2

El ν1 cumple:

dt

. Un factor integrante será: ν1 (t) = (1 + t2)2

 x 2 + y2   ν 1 ( x , y ) =    x2 

c) Expresión general:

2

ν( x , y ) = µ1 Φ(U ) =

ν1 =

1 x

ν( x , y ) = φ( U ) . Como los puntos µ( x , y ) verifican

d) Es:

Es decir:

1 y ν′ (t ) P + ν ′ ( t ) Q = ν( t )(Q x − Py ) ; x x2

En la (6) :

En efecto:

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2

1 x2

 x 2 + y2    x  

Φ 

U2

(x, y) de una curva solución

U(x, y) = k, resulta que dichos puntos cumplen:

ν /µ = C

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(x 2 + y 2 )2 Por tanto la solución es :

x4 1

= C.

Es decir:

x2 + y 2 =k x

x2

1.2.4. EL FACTOR INTEGRANTE Factor Integrante

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Procedimiento Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden, se procede de la siguiente manera:

Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 9, encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada

Soluciones

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1.2.5. LA ECUACIÓN LINEAL La ecuacion lineal Definición: Una ecuación de primer orden es lineal si puede escribirse en la forma:

a0 ( x ) y′ + a 1 ( x ) y = h( x ) Se considerará escrita en la forma canónica:

y′ + α ( x ) y = β( x ) Donde L indica el operador

ó

(1) L≡

L(y) = β (x)

d + α( x ) que es lineal: dx

L[c1 y1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) ] = c1L[y1 ( x )] + c 2 L[y 2 ( x )] , Si

c1 , c 2 constantes .

β ( x ) ≡ 0 , la ecuación se dice lineal incompleta o lineal homogénea.

u′ + α ( x ) u = 0

(2)

ó

L[u] = 0

Teoremas de Existencia El teorema básico de existencia y unicidad, para el caso de una ecuación lineal queda así: “Si α(x) y β(x) son continuas en un intervalo I = (a,b) entonces cualquiera que sea x0 ∈ I e yo ∈ ℜ, existe una y solo una solución del problema de valor inicial : y ′ + α ( x ) y = β ( x ) y(x0) = y0 , válida en todo el intervalo I .” No es mas que la traducción del teorema básico citado en el tema 2. (El segundo miembro de y′ = f ( x , y ) es f ( x, y ) = − α( x ) y + β( x ) que satisface las condiciones del teorema básico pues f(x,y) es continua y con derivada ∂f = − α( x ) continua en la franja x ∈ (a,b), y∈ ℜ ). Pero tiene de especial, ∂y que además puede demostrarse la validez de la solución y(x) en todo el intervalo I y no solo en algún entorno de x0

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Como asegura el teorema básico. a demostración directa de este teorema se propia obtención de la solución que se verá Y luego. Geométricamente el teorema para las ecuaciones lineales, implica que las gráficas de las soluciones de una tal ecuación, llenan completamente la franja vertical del plano (x,y) determinada por el intervalo (a,b), formando una especie de fibrado en el que nunca se cortan dos gráficas.

basa

en

la

(x0, y0)

x0 a

b

Ver figura.

Integración por Medio de un Factor Integrante “La ecuación lineal (1) siempre admite un factor integrante, función de x :

µ( x ) = e ∫

α ( x ) dx

(3)

En efecto: La ecuación (1) puede escribirse en la forma

P dx + Q dy = 0 :

dy + (α(x) y -β(x)) dx = 0. En este caso: P(x,y) = α(x) y- β(x), Q(x,y) =1 Py − Q x Como : = α( x ) , se deduce que existe factor integrante µ = µ(x), siendo: Q

68

X

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µ′ = α( x ) µ

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µ( x ) = e ∫

Por tanto:

α ( x ) dx

c.q.d.

Obtenido el factor integrante, puede integrarse fácilmente la ecuación:

µ( x ) y′ + [α( x ) y − β( x )]µ( x ) = 0 . Es decir:

d [µ( y)] = µβ , dx

Y como µ α( x ) = µ′ , resulta:

de donde:

µ y′ + µ′ y = µβ

µ y = C + ∫ µ( x ) β( x ) dx

− α ( x ) dx  α ( x ) dx y=e ∫ C + ∫ β( x ) e ∫ dx 

Por tanto





Ejemplo 1:

xy ′ + (2x + 1) y = 2x e −2x

Resolver la ecuación diferencial:

(2x + 1)

En forma canónica:

y′ +

Luego es factor integrante:

dx ∫ 2 x + ln x µ( x ) = e x =e = x e 2x

x

y = 2 x e −2 x

2 x +1

Multiplicando por µ( x ) ambos miembros de la ecuación: x e 2 x y ′ + (2x + 1) e 2 x y = 2 x ,

Integrando:

es decir :

x e2x y = x2 + C. Luego:

d ( xe 2 x y) = 2 x dx y=

c − 2x e + x e − 2x x

x≠0

Ejemplo 2: 1 2y Resolver el problema de valor inicial: y ′ − = x cos x x x2

Escrita la ecuación en forma canónica es:

y′ −

 π y  = 3  2 2y = x 2 cos x x

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2 Como α ( x ) = − , x

resulta :

Introduciendo el factor integrante :

[

]

d −2 x y = cos x . dx

Como

µ( x ) = e ∫

α ( x ) dx

=

1 x2

x −2 y ′ − 2 x −3 y = cos x , es decir:

Luego: x –2 y = C + sen x ó

π y  = 3 , resulta: 2

Por tanto :

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3=

 12  y = x 2 sen x +  − 1 x 2 . 2 π 

y = C x 2 + x 2 sen x

C π2 π2 + 4 4

⇒

C=

12 π2

−1

Esta solución es valida en (0,∞).

Otro Método de Integración de la Ecuación Lineal (1) Se trata ahora de introducir un método especifico para integrar la ecuación lineal, que permitirá su generalización al caso de ecuaciones lineales de orden superior: es el llamado método de Lagrange, o de variación de la constante. Consiste en lo siguiente:

• Se comienza resolviendo primeramente, la correspondiente ecuación lineal Homogénea (2), que es con variables separables: u ′ + α( x ) u = 0 . Es decir :

du = − α( x ) dx u

− α ( x ) dx Por tanto: u = C e ∫

(4)

Si se tratase únicamente de hallar la solución de (2), por (x0, u0), sería: x

∫ − α ( t ) dt

u( x ) = u0 e x0

.

Observamos en (4), que si u = u1(x) es una solución de (2), entonces la solución general de (2) es: u = C u1(x).

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Obtenida la solución u = C u1(x) de la ecuación (2), el método de variación de la constante, consiste en escribir la solución de la ecuación completa (1), en la forma : y = k(x) u1(x), donde k(x) es una función a determinar. (Se está haciendo el cambio de función y = k(x) u1(x), siendo k(x) la nueva función).

•

Sustituyendo en (1):

k ′( x ) u1 ( x ) + k ( x ) u1′ ( x ) + α( x ) k ( x ) u1 ( x ) = β( x ) . Y como u1′ ( x ) + α( x ) u1 ( x ) = 0 Resulta : k ′( x ) u1 ( x ) = β( x ) .

k( x ) = C + ∫

Luego:

β( x ) dx u1 ( x )

Basta sustituir ahora en y = k(x) u1(x). Operando aquí en el caso de la ecuación genérica (1), como u1 ( x ) = C1 e ∫

k(x) = C + ∫

Resulta:

 C + ∫ β( x ) e  C1  

y = C1 e



− ∫ α ( x ) dx 

∫ α ( x ) dx

∫ α ( x ) dx

 K + ∫ β( x ) e   

y= e

,

β( x ) ∫ α ( x )dx e dx C1

− ∫ α ( x ) dx 

Luego:

−α ( x )dx

  dx  ,   

  dx    

es decir:

(5)

Esta será la solución general de (1). y (xo) = yo, es:

La solución que obedece a la condición

x



− ∫ α ( t ) dt 

y=e

xo

t

x

 y o + ∫ β (t ) e  xo  

− ∫ α ( u ) du xo

  dt    

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Ejemplo 3:

Hallar la solución general de la ecuación diferencial:

•

Solución de la correspondiente homogénea

Es decir:

•

x y ′ − y = x 2 cos x x u´- u = 0 ó

du dx = u x

u=Cx

Escribimos ahora la solución de la ecuación completa, en la forma y = k(x) x.

Sustituyendo en la ecuación diferencial: Es decir:

k ′ = cos x

De donde :

Entonces: y(x) = x k(x), es decir:

x[k ′ x + k ] − kx = x 2 cos x

k ( x ) = C + sen x

y= Cx + x senx

El Conjunto de las Soluciones

•

− α ( x )dx “El conjunto de soluciones: u( x ) = C e ∫ = C u1 ( x ) de la ecuación lineal homogénea (2): u ′ + α ( x )u = 0 , es un espacio vectorial de dimensión unidad”.

Se ve evidentemente en la propia fórmula que da su solución general.

•

“El conjunto de soluciones de la ecuación lineal completa (1), es un espacio afín, asociado al espacio vectorial de soluciones de la correspondiente ecuación homogénea (2) ”

Es decir:

•

“La solución general de (1) es de la forma: y(x) = C u1(x) + y1(x), donde u1(x) es una solución particular de la ecuación lineal homogénea asociada (2), e y1(x) es una solución particular cualquiera de la ecuación completa (1)”.

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En efecto: -Si y1 es solución particular de (1) y u1 lo es de (2) entonces Cu1 + y1 es solución de (1) cualquiera que sea C, pues : L [C u1 + y1 ] = C L[u 1 ] + L [y1 ] = 0 + β( x ) = β( x ) . -Recíprocamente, toda solución de (1) es de la forma anterior, pues si y2 es otra solución particular de (1) entonces: L [y 2 − y1 ] = L[y 2 ] − L [y1 ] = β( x ) − β( x ) = 0 . Luego y2 - y1 es solución de (2), es decir: y2 - y1 = C1 u1 para algún C1 Por tanto: y2 = C1 u1 + y1.

Naturalmente estas conclusiones se derivan también de la formula (5) que da la solución general de la ecuación completa. Consecuencias Del estudio del conjunto de soluciones, o de las formulas (4) y (5) se deduce inmediatamente:

•

La solución general de (1) tiene la forma y(x) = u(x) + y1(x) siendo u(x) la solución general de la homogénea asociada (2), e y1(x) una solución particular de la completa (1).

•

Puede escribirse la solución general de (1) en la forma: y(x) = k ϕ(x) + ψ(x) (6), es decir que es función lineal de la constante k de integración.

•

Recíprocamente, puede comprobarse que toda familia de funciones de la forma (6), tiene como ecuación diferencial a una lineal.

•

Para resolver (1) se necesitan dos integraciones y para resolver (2) una sola.

•

Si se conoce ( a veces por simple inspección) una solución particular y1(x) de (1), basta con una integración ( la necesaria para resolver (2)), para hallar la solución general de (1).

•

Si se conocen dos soluciones particulares y1 e y2 de (1), puede escribirse directamente la solución general de (1): y(x) = y1(x) + C (y2 – y1).

En efecto: Como L [y 2 − y1 ] = L[y 2 ] − L [y1 ] = β( x ) − β( x ) = 0 , resulta y2 – y1 = u1. Por tanto: y(x) = y1(x) + C(y2 – y1).

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Ejemplo 4 Resolver la ecuación diferencial:

y ′ + y cos x = 2 cos x

La correspondiente ecuación homogénea es: u ′ + u cos x = 0 . du variables: Su solución es: u = C e − sen x = − cos x dx u Escribiendo la solución de la ecuación completa en la forma sustituyendo en la ecuación diferencial dada, se obtiene:

Separando las

y = k ( x ) e − sen x y

k ′e − sen x − k cos x e − sen x + k cos x e − sen x = 2 cos x Luego:

k ′ = 2 e sen x cos x .

k ( x ) = 2 e sen x + C

Por tanto :

y = k ( x ) e − sen x = 2e sen x + C e − sen x .

Inte gra ndo :

(

)

y = C e − sen x + 2

Es decir:

Podría haberse actuado así: Tras resolver la correspondiente homogénea, es evidente que y1(x) = 2 es una solución particular de la ecuación dada. Basta sumarla a la solución general de la homogénea. Ejemplo 5: Resolver la ecuación diferencial:

( 1 − x 2 ) y ′ − xy = x

La correspondiente homogénea (1 − x 2 ) u ′ − x u = 0

∫

ó

du x = dx , tiene como u 1− x 2

xdx

2 solución: u = C e 1− x .

Es decir :

u=

C 1− x2

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Evidentemente es solución particular de la completa y1= -1. Luego la solución general es :

C

y=

1− x

2

−1.

Ejemplo 6: Resolver el problema de valor inicial :

y ′ = 1 + x + x 2 + y , y( 0 ) = − 3 .

La correspondiente ecuación homogénea u ′ − u = 0 tiene como solución: u = C e x Para hallar una solución particular de la completa en lugar del método de variación de la constante, podría actuarse así : Parece evidente que hay una solución de y ′ − y = 1 + x + x 2 de la forma : y = ax 2 + bx + c .

Sustituyendo en la ecuación diferencial 2ax + b − ax 2 − bx − c ≡1 + x + x 2

− a = 1  Luego: 2a − b = 1 b − c = 1 

Es decir

a = −1  b = − 3 c = − 4 

Por tanto: y1 = -(x2+3x+4)

La solución general será: y = C ex – (x2+3x+4). Y la solución del problema de valor inicial :

y = ex – (x2+3x+4)

Ejemplo 7: Resolver el problema de valor inicial: y ′ + y = 3 e 2 x , La correspondiente ecuación homogénea

y( 0 ) = 1

u′ + u = 0 ,

tiene como solución

u =Ce . −x

Parece que puede existir alguna solución particular de la completa, de la forma y1 = a e 2 x .

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Sustituyendo en la ecuación diferencial : 2a e 2 x + a e 2 x = 3 e 2 x . Luego a = 1 y por tanto: y1 = e 2 x . Tenemos por tanto:

y= C e-x + e2x

Solución general:

Solución al problema de valor inicial:

y = e2x.

Nota: dy , indica que se considera a x como la variable dx independiente. Pero, en ocasiones, para resolver una ecuación diferencial, es conveniente intercambiar los papeles de las variables, tomando x como variable dependiente.

La notación habitual

Ejemplo 8: Hallar la solución general de la ecuación diferencial:

dy 1 = dx 2 x − 4 y 2

dx = 2 x − 4 y 2 , es decir considerando y como la variable dy independiente, la ecuación es lineal.

Escrita en la forma :

•

La correspondiente homogénea es:

dx = 2x dy

ó

dx = 2 dy . luego su solución x

es: x H = C e 2 y

•

Es evidente que hay una solución particular de la completa es de la forma: x = a y2 + b y + c

dx − 2 x = − 4 y 2 que dy

Sustituyendo en la ecuación diferencial: 2ay + b –2(a y2 + b y + c) = -4y2 Luego: -2a = - 4 , 2a -2b = 0 De donde: a = 2, b = 2, c = 1. Y la solución general será:

, b – 2c = 0 Por tanto: x1 = 2 y2 + 2y + 1

x = C e2y + 2 y2 + 2y + 1

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Ejemplo 9: Hallar la solución continua en [0, ∞) del problema de valor inicial:

e − x , 0 ≤ x < 2 y' + y = f(x), donde f(x) =  − 2  e , x ≥ 2

y(0) = 1

•

Correspondiente homogénea: u ´ + u = 0. Luego: u = C e -x

•

La completa: - Para 0 ≤ x < 2: La ecuación completa es: y´+ 2y = e-x . Método de variación de la constante: y = k(x) e –x . En la ecuación diferencial: k´e –x – k e –x + k e –x = e –x , es decir: k´= 1 Por tanto k(x) = C + x . Y la solución general en [0,2) es: y = (C + x) e –x Como y(0) = 1, la solución particular buscada en [0,2) es: y = (x + 1) e –x -Para x ≥ 2: La ecuación completa es:y ´ + y = e –2. Y su solución general: y = C e –x + e -2 Para que la solución sea continua en x = 2, habrá de cumplirse:

[

]

lim ( x + 1) e − x = C e − x + e −2 x = 2 −

x →2

Por tanto: 3 e-2 = C e –2 + e –2 ó C = 2

La solución particular buscada en [2, ∞) es:

Definitivamente:

y=

( x + 1) e − x  −x −2  2 e + e

y = C e –x + e –2

si 0 ≤ x < 2 si x≥ 2

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ECUACIONES DIFERENCIALES

Algunas ecuaciones reducibles a lineales Se van a considerar algunos ejercicios con ecuaciones no lineales, pero que pueden transformarse en una ecuación lineal por medio de una sustitución o cambio adecuado de la variable dependiente. Ejemplo 10: Dada la ecuación diferencial: y´ + α ( x ) y = β ( x ) y p , ( 7 ) 0 y p ≠ 1, entonces el cambio de función

1

u= y

p− 1

demostrar que si p ≠

reduce la ecuación (7) a una

lineal. Nota: La ecuación (7) se conoce como ecuación de Bernoulli. Se supondrá que α (x) y β (x) son continuas en un I = (a,b) y que p ∈ ℜ. Si p = 1, se trata de una ecuación lineal homogénea y si p = 0 es una lineal completa. Se considerará por tanto que p es distinto de 0 y 1.) En efecto : Multiplicando ambos miembros de (7) por y –p: y − p y ′ + α( x ) y1− p = β( x ) . du Si se toma u = y1-p, resulta: = (1 − p) y − p y′ . Y la ecuación anterior se dx transforma en: 1 u ′ + α( x ) u = β( x ) Es decir: 1− p

u ′ + (1 − p ) α ( x ) u = (1 − p ) β( x )

que es una ecuación lineal. Una vez resuelta ésta, se deshace el cambio.

Ejemplo 11:

Resolver la ecuación diferencial :

y ′ − y tg x = − y 2 cos x .

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ECUACIONES DIFERENCIALES

Es del tipo Bernoulli (visto en el Ejemplo 10) con p = 2. 1 u′ Se hace u = , es decir y = u −1. Entonces y′ = − y u2 ecuación diferencial:

y sustituyendo en la

u′

1 1 − tg x = − cos x . Es decir: u ´+ u tg x = cos x , que es lineal u2 u u2 du sen x • La homogénea : u ′ + u tg x = 0 ; =− ; u H = C cos x u cos x

−

•

La completa: u = k(x) cosx. Sustituyendo en la ecuación lineal : k ′ cos x − k sen x + k sen x = cos x ⇒ k ′ =1 ⇒ k ( x ) = x + C Luego: u(x) = C cos x + x cos x.

Por tanto:

y=

1 (C + x ) cos x

Ejemplo 12: Demostrar que una ecuación de la forma: y´ = α(x)y2 + β(x)y + γ(x)

1 transforma en lineal mediante el cambio y = y1 + siendo u

(8)

se

y1 una solución

particular de la ecuación dada.

(Nota: La ecuación (8) se conoce como ecuación de Riccati.Se supondrá que α(x), β(x) y γ(x) son continuas en un intervalo I. Si α(x) ≡ 0 en I, se trata de una ecuación lineal. Si γ(x) ≡ 0 en I, es una ecuación de Bernoulli y si α, β, γ son constantes ambas, la ecuación es de variables separables.Se considerará que no se trata de estos casos especiales). En efecto: y = y1 +

1 ⇒ u

y1′ −

u′ 2 1 1   = α( x )  y12 + y1 + 2  + β( x )  y1 +  + γ ( x ) 2 u u u  u  

Como y1′ = α y12 + β y1 + γ , resulta: Luego: u ′ = − (2αy1 + β) u − α

u′

α β 2α y1 + + 2 u u u u Y por tanto: −

2

=

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u ′ + ( 2 α y 1 + β) u = − α

ECUACIONES DIFERENCIALES

Que es una ecuación lineal.

Una vez resuelta ésta, se deshace el cambio. Ejemplo 13: Dada la ecuación y ′ − y 2 + 2 e x y = e 2 x + e x comprobar que y1 = ex es una solución particular de la misma. Resolver la ecuación teniendo en cuenta lo visto en el Ejemplo 12. Sustituyendo y = ex en la ecuación diferencial: ex – e2x +2 e2x ≡ e2x + ex ∀ x ∈ ℜ. Luego y1 = e x es solución de la misma. 1 Efectuando el cambio y = e x + en la ecuación diferencial: u  u′ 2 1  1  2x x  x x ex − − e 2 x + e x +  + 2 e e +  = e + e 2 2 u u  u u   Simplificando: −

u′ u2

−

2ex 1 2ex − + =0 u u u2

Es decir: u ´ + 1 = 0

Por tanto: u = C – x. Y la solución general de la ecuación dada será:

y = ex +

1 C−x

1.2.6. Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales La figura siguiente muestra un circuito que contiene una fuerza electromotriz de V volt (V), un capacitor con capacitancia de C faradios (F) y un resistor con una resistencia de R ohm ( ). La caída de voltaje a través del capacitor es Q/C, donde Q es la carga en coulomb (C). La ley de Kirchhoff establece:

80

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pero I(t)=dQ/dt, así tenemos que:

Suponga que la resistencia es de 5 , la capacitancia de 0.5F, la batería suministra un voltaje constante de 60V y que la carga inicial es de Q(0)=0C. Determine la carga y la corriente en el tiempo t. Considere ahora que: R=2

, C=0.001F, Q(0)=0 y V(t)=10sen60t-

Determine la carga y la corriente en el tiempo t.

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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales La ley de Newton del enfriamiento, dice que en un cuerpo que se está enfriando, la rapidez con que la temperatura T(t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante T0 del medio que lo rodea. Al sacar un biscuit del horno, su temperatura es de 300 ºF. Tres minutos después, su temperatura es de 200 ºF. ¿Cuánto demorará en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70 ºF? 2da. Ley de Newton

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Despejamos T

Datos para conocer K

=constante=

t=3 min

T=100=dif de temperatura Ta=70 ºF=Temp. Ambiente T0=300=Temp. en un tiempo t=0 FÓRMULA

Sustituimos k para encontrar t

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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales Sabemos que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material se observó que después de 3 hr, solamente el 80 % de la masa permanecía en ese momento. Hallar: La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t. Sea “y” la cantidad de material radiactivo

Para t=0, y=60 c=60 Para t=3, y=60(0.8)=48 Sustituyendo En Solución Presente en cualquier tiempo t. ¿Qué cantidad permanece cuando t=5 hr?

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¿Para que valor de t, la cantidad de material es ¼ de la cantidad inicial? Para tenemos

aplicando la ley de ln

Un cuerpo de 2 kg de masa se lanza verticalmente en el aire con una velocidad inicial V0=3 m/seg. El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad, hallar: La ecuación del movimiento

y como

es decir Es una ecuación lineal de primer orden.

85

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para m=2

La velocidad en un tiempo t=20 seg.

El tiempo necesario para que el cuerpo llegue a su máxima altura.

es igual

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales Un cuarto tiene 60 m3 de aire, originalmente libres de monóxido de carbono. Se prende un cigarrillo y el humo, con un contenido de 4.5% de monóxido de carbono, se introduce con una rapidez de 0.002 m3/min y se deja salir la mezcla con la misma rapidez. Encontrar: Una expresión para la concentración de monóxido de carbono en el cuarto cualquier instante.

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y la ecuación es

, es decir,

ec. Lineal no homogénea.

con solución general

para t=0, c=0 entonces , con solución particular.

La concentración de monóxido de carbono a bajos niveles, por ejemplo 0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos. Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración. Para c=0.00012 tenemos De donde t=81.11 min. t=1 hr 21 min. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales Una masa de 98 kg de peso se cuelga de un resorte con lo que éste interrumpe su estado de reposo. Sabiendo que k=4.9 kg/m, hallar el movimiento de la masa si al soporte metros.

del

resorte

se

le

imprime

una

fuerza

Se toma el origen del sistema en el centro de gravedad de la masa cuando esta en reposo y sea x el desplazamiento de la masa en un tiempo t. El alargamiento del resorte es (x-y) entonces.

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, por lo tanto de donde

, la solución de la E homogénea es

calculando, xp por el met. de coeficientes indeterminados

Tenemos: , y como x=xnxp la solución general es:

Derivando: cuando

,

; , Son dos movimientos armónicos con amplitudes diferentes. Se suspende una masa de 10 kg de un resorte, el cual se alarga 0.6533 m. La masa se pone en movimiento desde la posición de equilibrio con una velocidad inicial de 1m/seg, en la dirección hacia arriba. Hallar el movimiento resultante si la fuerza debida al aire es de 80 N. Como entonces también ,

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o sea Tenemos , Entonces De donde , con solución general para X(0), x'(0)=-1 y como

,

entonces es la solución particular.

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales Una partícula se mueve a lo largo del eje x, con la ley x''+4x'+13x=0 si, dicha partícula empieza su movimiento en x=0 con una velocidad inicial de 6 m/s hacia la izquierda; hallar: x en función de t.

para , con solución general.

para

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ECUACIONES DIFERENCIALES

Por lo tanto B=2 entonces, la solución particular es los tiempos en que se producen las paradas. Se producen paradas cuando Entonces para de donde

, , n=1,2,3,4,...radianes. Un hombre y su barca pesan 98 N. La fuerza ejercida en la dirección del movimiento es 4.9 kg y la resistencia al movimiento es igual al doble de la velocidad, determinar: La velocidad 20 seg después de que la barca haya empezado a moverse

, Ec lineal no homogénea

Integrando para , , entonces

90

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para , la distancia recorrida al cabo de los 20 seg.

integrando para t=0, x=0

entonces es la solución particular para t=20, x=36.79 metros.

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales Un circuito consta de una inductancia de 0.5H, una resistencia de 20!, un condensador cuya capacidad es de 2.5mF y una FEM de 100V. Hallar la carga y la corriente sabiendo que Q(t)=0 para I(t)=0

Entonces de donde con solución general:

y

91

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entonces

con las condiciones dadas tenemos , por lo tanto

Un circuito consta de una inductancia de 0.2H, una resistencia de 4! y un condensador de 10mF. Hallar la carga Q(t) y la corriente I(t) en el tiempo t, si en t=0 se tiene Q(t)=0.5C e I(t)=-1A.

, entonces

de donde

Simplificado:

92

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ECUACIONES DIFERENCIALES

Para las condiciones iniciales dadas t=0, q=0.5, I=-1, y

ambas funciones son transitorias.

93

Unidad II.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y ORDEN SUPERIOR

94

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

2.1.1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden. Reducción de orden. El método de reducción de orden visto para las ecuaciones lineales homogéneas, puede aplicarse igualmente a las ecuaciones lineales completas y ′′ + p( x ) y ′ + q( x ) y = h( x ) . La sustitución y = y1(x)u donde y1(x) es una solucion particular de la correspondiente ecuación homogénea, reduce la ecuación completa a otra du completa de primer orden, en la variable dependiente v = dx Ejemplo Resolver la ecuación: x2y’’ – x(x + 2)y’ + (x + 2)y = x3, buscando por inspección una solución particular de la correspondiente homogénea. Es evidente que y1 = x es una solución particular de la correspondiente homogénea. Efectuando el cambio y = xu, resulta: y =xu y’ = u + x u’ y’’ = 2u’ + x u’’

En la ecuación completa: x2 [2u’ +xu’’] – x (x +2) (u + xu’) + (x + 2) xu = x3 x3 u’’ – x3 u’ = x3,

Luego:

Tomando u’ = v , es

ν’ - ν = 1.

Por tanto: u = C1 ex – x + C2.

es decir:

u’’ - u’ = 1

Luego: ν = C1 ex – 1

Es decir:

y = C1 x ex – x2 + C2 x

También podría resolverse la correspondiente homogénea usando el método de reducción de orden y buscando luego una solución particular de la completa por el método de variación de las constantes. Ejemplo Resolver la ecuación:

y" sen 2 x − 3 y' sen x cos x + ( 1 + 2 cos 2 x ) y = 3 cos x

sabiendo

que

una

95

solución particular de la correspondiente homogénea es particular de la completa yp = cos x

y1 = sen x y una

Evidentemente la solución general buscada tendrá la forma: y = A sen x + B y 2 + cos x Basta buscar otra solución particular y2 de la homogénea. Para ello se empleará la reducción de orden en la homogénea, pues ya se conoce una solución particular de la completa. Cambio en la homogénea:

y = u sen x .

Resulta:

y = u sen x y’ = u cos x + u’ sen x y’’= 2u’cosx – u sen x + u’’senx Sustituyendo en la ecuación L[y] = 0: (sen 3 x)u’’ + (2 sen2 x cos x – 3 sen2x cos x) u’ = 0 ⇒ (sen x)u’’ – (cos x)u’ = 0 v' cos x ln sen x (sen x)v’ - (cos x)v = 0 = ⇒ v = ae u’ = v v sen x v = a·senx Una solución particular será: v = sen x . Luego u1 = cos x Y por tanto: y2 = u1 sen x = cos x sen x La solución general de la homogénea será: yH = A sen x + B cos x sen x Y la solución general de la ecuación dada: y = A sen x + B cos x sen x + cos x 2.1.2. Solución general de ecuaciones diferenciales de segundo orden Hallar la solución general de la ecuación diferencial: 8 y´´´ - 12 y ´´ + 6 y ´ - y = 0 Es una ecuación diferencial lineal homogénea, de tercer orden. Con coeficientes constantes. La ecuación característica es: 8 r3 - 12 r2 + 6 r - 1 = 0, es decir: (2r - 1)3 = 0. Sus única raiz es: r1 = 1/2 con multiplicidad 3. Luego la solución general de la ecuación diferencial es: y = ex/2 (A + Bx + Cx2)

96

Hallar la solución general de la ecuación diferencial: y´´´ + 9 y´ = 2 sen 2x Es una ecuación diferencial lineal completa, de tercer orden. con coeficientes constantes. La ecuación característica es: r3 + 9 r = 0, es decir: r (r2 + 9) = 0. Sus raices son: r1 = 0, r2 = 3i , r3 = -3i . Luego la solución general de la correspondiente ecuación homogénea es: yH = A + B cos 3x + C sen 3x Por el método de coeficientes indeterminados, se probaría como solución particular de la ecuación completa dada, una de la forma: yp = a cos 2x + b sen 2x Entonces:

Luego:

yp = a cos 2x + b sen 2x yp’ = 2b cos 2x - 2a sen 2x yp’’ = -4a cos 2x - 4b sen 2x yp’’’ = -8b cos 2x + 8a sen 2x ______________________________ yp’’’+ 9yp’ = 10b cos 2x - 10a sen 2x = 2 sen 2x

Es decir: b = 0, a = -1/5,

e

yp = -1/5 cos 2x

La solución general es por tanto: y = A + B cos 3x + C sen 3x - (1/5) cos 2x Hallar la solución general de la ecuación diferencial:

y´´´ - y´ = 2 ex

Es una ecuación diferencial lineal completa, de tercer orden. con coeficientes constantes. La ecuación característica es: r3 - r = 0, es decir: r (r + 1)(r - 1) = 0. Sus raices son: r1 = 0, r2 = 1, r3 = - 1. Luego la solución general de la correspondiente ecuación homogénea es: yH = A + B ex + C e-x Por el método de coeficientes indeterminados, se probaría como solución particular de la ecuación completa dada, una de la forma:

97

yp = a x ex yp = a ex x yp’ = a ex (x + 1) yp’’ = a ex (x + 2) yp’’’ = a ex (x + 3) ___________________ yp’’’- yp’ = 2a ex = 2 ex

Entonces:

Luego: Es decir: a = 1,

e

yp = x ex

La solución general es por tanto: y = A + B ex + C e-x + x ex

Sea la ecuación diferencial lineal: y’’’ -2 y’’ + y’ - 2 y = 5 e2x - 2 + 12 cos 2x + 10 ex sen x Se pide: a) Escribir la solución general de la correspondiente homogénea. b) ¿Qué tipo de solución particular de la ecuación dada se probaría por el método de coeficientes indeterminados?. a) Es una ecuación diferencial lineal completa, de tercer orden. con coeficientes constantes. La ecuación característica es: r3 - 2 r2 + r - 2 = 0, es decir: (r - 2)(r2 + 1) = 0. Sus raices son: r1 = 2 , r2 = i , r3 = - i. Luego la solución general de la correspondiente ecuación homogénea es: yH = A e2x + B cos x + C sen x b) Por el método de coeficientes indeterminados, se probaría como solución particular de la ecuación completa dada, una de la forma: yp = a x e2x + b + c cos 2x + d sen 2x + ex (f sen x + g cos x)

Hallar la ecuación y = y(x) de la curva que satisface a la ecuación diferencial:

98

y’’’ + 3 y’’ +2 y’ = 4 x + 10 y cuya gráfica tiene al eje OX como tangente de inflexión en el origen. Es una ecuación diferencial lineal completa, de tercer orden. con coeficientes constantes. La ecuación característica es: r3 + 3 r2 + 2 r = 0, es decir: r(r + 1) (r + 2) = 0. Sus raices son: r1 = 0 , r2 = -1 , r3 = - 2. Luego la solución general de la correspondiente ecuación homogénea es: yH = A + B e-x + C e-2x Por el método de coeficientes indeterminados, se probaría como solución particular de la ecuación completa dada, una de la forma: yp = x(ax + b) Entonces:

yp = yp’ = yp’’ = yp’’’ =

Luego:

a x2 + b x 2ax +b 2a 0

yp’’’ + 3 y’’+ 2 yp’ = 6 a + 2(2 a x + b) = 4 x + 10

Es decir: 4a = 4,

y

6a + 2b = 10. Por tanto: a = 1, b = 2, e yp = x2 + 2x

La solución general es por tanto: y = A + B e-x + C e-2x + x2 + 2x Sus derivadas:

y’’=

y’ = - B e-x -2 C e-2x + 2x + 2 B e-x +4 C e-2x + 2

Las condiciones geométricas indicadas, significan que se busca la solución y = y(x) tal que: y(0) = y’(0) = y’’(0) = 0 Es decir: 0= A + B + C 0= - B - 2C + 2 0= B + 4C + 2

A=-4 D e donde: B = 6 C=-2

Por tanto, la ecuación de la curva buscada es: y = 6 e-x - 2 e-2x + x2 + 2x - 4

99

Dada la ecuación diferencial lineal completa:

y’’’ + y’’ + y’ + y = h(x)

Escribir la solución general de la correspondiente homogénea y el formato de solución particular yp de la completa, que se probaría por el método de coeficientes indeterminados, en los distintos casos de h(x) que se indican: h(x) = 3 cos 2x h(x) = x2 e-x + ex h(x) = 1 + x sen x h(x) = x(e2x + 1) Es r3 + r2 + r + 1 = 0 , es decir: (r + 1) (r2 + 1) = 0 . Raices: r1 = -1, r2 = i, r3 = -i. Solución general de la homogénea:

yH = A e-x + B cos x + C sen x

Solución particular de la completa en los distintos casos: yp = a cos 2x + b sen 2x yp = x(a x2 + b x + c) e-x + d ex yp = a + x [(b x + c) cos x + (d x + g) sen x] yp = (a x + b ) e2x + c x + d 2.1.3. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes Las ecuaciones tiene la forma

La solución de estas ecuaciones se obtiene al usar la sustitución

Por lo tanto derivando la sustitución obtenemos

100

Sustituyendo en la forma general obtenemos que

Donde y= y distintas

es una solución de la ecuación y "r" son las raíces de la función

Cuando la raíz de la función es imaginaría y toma la forma solución será:

la

Cuando las raíces de la función son iguales r1=r2 la solución del problema será

Resolver la ecuación con la condición s=4 t=0

Usando la sustitución

y resolviendo para "r"

Sustituimos las condiciones iniciales en la solución

101

Encontrar la solución de la ecuación

Usando la sustitución encontramos

Resolviendo para "r" encontramos

Por lo tanto la solución general es:

2.1.4. Ecuaciones diferenciales lineales no - homogéneas con coeficientes constantes Aunque el motivo fundamental de este tema es el estudio de las ecuaciones LINEALES homogéneas de 2º orden, se van a dedicar los dos primeros apartados a las ecuaciones de 2º orden en general, no necesariamente lineales. Consideraciones sobre ecuaciones de 2º orden. Ecuación diferencial asociada a una familia biparamétrica de curvas. Sea

y = F( x, C1 , C 2 )

[1]

una familia biparamétrica de curvas dada en forma explícita. Supuesta F derivable dos veces respecto a x, se considera el sistema:

102

 y = F(x , C1 , C2 )   y ′ = Fx (x , C1 , C 2 )

Si este sistema define implícitamente C1 y C2 como funciones de x, y, y’, podrá escribirse: C1 = ϕ 1 (x , y , y ′ )   C2 = ϕ 2 ( x , y , y ′ ) Es decir que cada curva de la familia (para cada valor concreto de C1 y C2), viene determinada por la terna (x, y, y’), o sea, que por cada punto y pendiente dada en él, habrá una curva y sólo una de la familia que pase por dicho punto y con la pendiente dada. Si se vuelve a derivar: y ′′ = Fxx (x , C1 , C2 ) Y sustituyendo aquí las anteriores expresiones de C1 y C2 se obtiene: y ′′ = f( x, y , y ′ )

[2]

Esta es la ecuación diferencial a la que satisfacen todas las curvas de la familia [1]. Por ello se dice que [2] es la ecuación diferencial de la familia [1]. En resumen, con las condiciones establecidas, se obtiene la ecuación diferencial de [1], eliminando C1 y C2 entre [1] y sus dos primeras derivadas. Y análogamente, si la familia biparamétrica está en forma implícita G(x, y, C1, C2) =0 Nota: Ha de suponerse que los dos parámetros C1 y C2 citados en todo lo anterior son esenciales, es decir, que la familia [1] no debe poder expresarse con menos parámetros. Así, la familia no es de dos parámetros, pues y = C1 ⋅ e x + C2 y = C1 ⋅ e C2 e x = k ⋅ e x .

Solución de una ecuación diferencial de 2º orden. Problema de valor inicial. Se trata de considerar ahora el problema inverso del anterior. Dada la ecuación [2] de 2º orden en forma normal: ¿Existe una familia biparamétrica que la satisface? ¿Es única dicha familia? Para distinguir una solución particular concreta de [2] ¿qué condiciones deberán prefijarse?.

103

En las ecuaciones de primer orden y’ = f(x, y), bastaba prefijar el valor yo de la solución particular, correspondiente a un valor xo de la variable independiente. Para las ecuaciones [2] de 2º orden en forma normal, según se citará en el próximo teorema de existencia y unicidad, deberán prefijarse los valores yo y zo de la solución y su primera derivada, correspondientes al citado xo. Es decir que deberán fijarse las dos condiciones: y(xo) = yo , y’(xo) = zo

[3]

Llamadas condiciones iniciales. Un problema de valor inicial o problema de Cauchy para la ecuación diferencial [2], consiste en hallar la solución de [2] que cumple las condiciones [3]. En términos geométricos, para determinar una curva integral de la ecuación [2] deberá especificarse un punto (xo, yo) de la misma y la pendiente zo de la curva en dicho punto. Debe observarse por tanto, que por un punto (xo, yo) pasan infinitas curvas integrales, una por cada pendiente. Los xo, yo, zo estarán sometidos a unas limitaciones impuestas por el comportamiento de la función f, limitaciones que se especifican en el teorema próximo. Teorema 1. Sea la ecuación diferencial [2] : y ′′ = f( x , y , y ′ ) , en forma normal. Si f,

∂ f ∂ f , son continuas en un dominio D del espacio tridimensional (x, y, y’), ∂y ∂y ′

se verifica: Cualquiera que sea la terna (xo, yo, zo) ∈ D, existe una y sólo una solución y = ϕ ( x ) de la ecuación diferencial [2] definida en un cierto entorno de xo , y tal que ϕ(xo) = yo ϕ′(xo) = zo. Se renuncia a la demostración, por la complejidad de la misma. La solución general de [2] en el dominio D citado en el teorema, es una familia biparamétrica y = F(x , C1 , C2 ) de funciones tal que: Para los valores admisibles de C1, C2 , la

y = F(x , C1 , C2 ) es solución de [2].

Cualesquiera que sean las condiciones iniciales y(xo) = yo y’(xo) = zo, con (xo, yo, zo) ∈ D, existen valores concretos de C1 y C2 tales que y = F(x , C1 , C2 ) satisface a esas condiciones.

104

Algunos tipos de ecuaciones de 2º orden, integrables por reducción de orden. Ecuaciones del tipo y ′′ = f( x ) Sea f(x) continua en I. Evidentemente es y ′ = ∫ f( x ) dx + C1 y por tanto : y ( x ) = ∫ dx ∫ f( x ) dx + C1 x + C 2

Ecuaciones en las que falta Y:

F(x, y ′ y ′′ ) = 0

Tomando como nueva función u = y’, resulta: F(x, u, u ′) = 0 . Si esta puede resolverse y escribir su solución en forma explícita: u = g(x,C1), resulta:

y( x ) = C 2 + ∫ g( x, C1 ) dx

Ejemplo 1: Resolver la ecuación:

xy ′′ − y ′ = 3 x 2 − 1

Tomando y’ = u, es: xu ′ − u = 3x 2 − 1 una ecuación lineal de 1er orden. La solución general de ésta es: u = C x + 3x 2 + 1 . Luego para la dada será:

y = C1 x 2 + x 3 + x + C 2

Ecuaciones en las que falta X: F( y, y ′ y ′′ ) = 0 Tomando como nueva función y’ = u y como variable independiente y, resulta: du du y ′′ = = u dx dy La nueva ecuación diferencial es

 du  F  y , u, u = 0 ya de primer orden. Su d y  

solución será G( y , u, C1 ) = 0

105

- Si la solución puede escribirse en la forma u = g(y,C1), entonces

x = C2 + ∫

Luego:

dy =dx . g( y , C1 )

dy g ( y , C1 )

- Si puede escribirse en la forma: y = h(u,C1), entonces puede darse la solución en paramétricas: dy d y h ′( u, C1 ) du De u = resulta: dx= = . dx u u h ′ (u , C1 ) d u x = C2 + ∫ ; y = h(u, C1 ) Por tanto: u Ejemplo 2: Resolver la ecuación: Tomando y’ = u, es:

yy ′′ + ( y′ ) 2 = 0 y ′′ =

du du = u dx dy

 du  du + u 2 = 0 , es decir: u  y + u = 0 dy  dy  du du dy a y + u = 0 , entonces =− , luego u = , de donde: dy u y y

La nueva ecuación diferencial es: y ⋅ u Si

ydy = adx, es decir: y 2 = 2 a x + b . Por tanto

y = C1 x + C 2

Si u = 0, entonces y = C, solución ya contenida en la anterior. Nota: Podría haberse resuelto la ecuación de forma más simple, teniendo en cuenta que tal ecuación es: d ( yy ′) = 0 . Luego yy’ = a ; ydy = adx ; y2 = 2ax+b dx Ejemplo 3: Resolver la ecuación:

y′′ = f( y′ )

1ª forma: Falta y

y’ = u ;

u’= f(u) ;

du = d x; f( u)

x = C1 + ∫

du f(u )

106

u du u du = d y ; y = C2 + ∫ f(u ) f( u)

dy = udx ; 2ª forma: Falta x

du du u . En la ecuación: u = f( u) dy dy u du y = C2 + ∫ de donde f(u )

y’ = u ;

Luego d y =

u du , f( u)

Como d x =

dy u

y ′′ =

resulta: d x =

du du . Luego x = C1 + ∫ f(u ) f( u)

Ecuaciones F(X,Y,Y’,Y’’) = 0 con f homogénea de cualquier grado como función de Y, Y’, Y’’.  y ′ y ′′  G x , ,  = 0  y y y′ y ′′y − y ′y ′ Cambio de función u = . Entonces u ′ = y y2 y ′′ Luego: = u 2 + u ′ . Sustituyendo en la ecuación diferencial: G(x, u, u2+u’ ) = 0 y y′ Si puede resolverse en forma explícita: u = g(x,C1), entonces = g( x , C1 ) . De y donde:

Puede escribirse la ecuación en forma

y = C2e ∫

g( x, C1 ) d x

Ejemplo 4: Resolver la ecuación:

( yy ′′ − y′ 2 ) sen 2 x + y 2 = 0

El primer miembro es una función homogénea en y, y’, y’’, de 2º grado.

 y ′′  y ′  2  y ′′ 2 ; = u + u ′ . La ecuación es:  −    sen 2 x + 1 = 0 y  y  y   1 Luego: u 2 + u ′ − u 2 sen 2 x + 1 = 0 , u′ = − ; u= C+ctg x sen 2 x y′ u= y

[

]

107

y′ = C+ ctg x ; y

y = ke ∫

(C +ctg x ) d x

Por tanto:

y = k sen x e C x

Ejemplo 5: Resolver la ecuación:

yy ′′ = 2 y ′ 2 + y 2 2

 y′ y ′′ = 1 + 2  y  y Procediendo como en el Ejemplo 4: du = dx; arctg u = x+a ; 1 + u2

u2+u’ = 1+2u2 ;

y= Ce ∫

C cos( x − x o )

La ecuación es:

tg( x + a ) dx

⇒

y =

u = tg(x+a)

u’ = 1+u2 y′ = tg( x + a) y

2.1.5. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden Problemas de valor inicial y de frontera En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general de una ecuación diferencial, sino en una solución particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera. Definición [Problema de valor inicial] Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial de orden y de condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus primeras derivadas en un valor de la variable independiente. Es decir

108

Ejemplo Una partícula

se mueve a lo largo del eje

de manera tal que su aceleración en

cualquier tiempo está dada por . Encuentre la posición de la partícula en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en

y está viajando a una velocidad de

.

Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada la aceleración. De donde el problema de valor inicial sería

Integrando con respecto a

obtenemos

y usando la condición podemos hallar que velocidad en cualquier tiempo sería

, con lo cual la

Integrando de nuevo

y usando la condición podemos determinar que posición de la partícula en cualquier tiempo

y obtener la

Ejemplo Una familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente

109

en el punto

está dada por

por el punto

?

. ¿Hallar el miembro de esta familia que pasa

El problema de valor inicial asociado es

Para resolver la ecuación diferencial debemos separar variables e integrar

Y usando la condición inicial

obtenemos que

, con lo cual la curva

buscada es Definición [Problema de valor frontera] Un problema de valores en la frontera o de Dirichlet consta de una ecuación diferencial ordinaria de orden y de condiciones de frontera impuestas sobre la función desconocida en valores de la variable independiente. .Es decir

110

Ejemplo Una partícula

se mueve a lo largo del eje

de manera tal que su aceleración en

cualquier tiempo está dada por . Encuentre la posición de la partícula en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente la partícula está y en está en . localizada en El problema de valores de frontera asociado es

Integrando dos veces obtenemos que la posición de la partícula está dada por

Evaluando las condiciones de frontera obtenemos el siguiente sistema

de donde está dada por

y

. Y así la posición de la partícula en cualquier tiempo

111

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma

En donde "X" es una función de "x" únicamente, o una constante para integrar

El proceso anterior se repite (n-1) veces, de esta manera se obtendrá la solución general, que contendrá "n" constantes arbitrarias Ejemplo –

Las siguientes ecuaciones tiene la forma

Donde "Y" es una función de "y" únicamente

Lo anterior es valido por

El segundo miembro es una función de y. Extrayendo la raíz cuadrada, las variables "x" e "y" quedan separadas. Y podemos integrar otra vez

112

Problemas propuestos – Hallar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales

113

2.2.1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n Definición y teorema de existencia y unicidad. Se trata ahora de extender al orden n los resultados vistos, relativos a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.

las

Una ecuación diferencial lineal de orden n , es una ecuación de la forma: a 0 ( x) y ( n) + a 1 ( x) y ( n −1) +......... a n−1 ( x) y ′ + a n ( x) y = g( x)

o en forma canónica: .

y (n ) + p1 ( x )y (n − 1) + ..... + p n − 1 ( x)y ′ +p n ( x )y = h( x ) que en forma simbólica se escribirá: siendo L el operador lineal: L ≡

[1]

L[y ] = h( x)

dn d n −1 d + p ( x ) + ......... p n−1 ( x) + p n ( x) 1 n n−1 dx dx dx

La correspondiente ecuación diferencial lineal homogénea o incompleta es :

L[y ] =0

[2]

La teoría asociada a estas ecuaciones es análoga al caso en que n=2. Teorema Si las pi (x) (i=1,....,n) y h(x) son continuas en I=(a,b), entonces, cualesquiera que sean xo ∈ I e yo, b1, ......bn-1 ∈ ℜ , existe en todo I una y solo una solución y=y(x) del problema de valor inicial:

114

L[y] = h(x)

con

y( x 0 ) = y0   y' ( x 0 ) = b1   ...........  ( n 1 ) −  y ( x 0 ) = bn − 1

[3]

Se supondrá en lo sucesivo que las ecuaciones lineales utilizadas cumplen las condiciones del teorema de existencia y unicidad en un intervalo I= (a,b). Se verifica: El operador L es una aplicación lineal del espacio vectorial Cn (I) en el espacio vectorial C(I). 2.2.2. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes de orden n Son del tipo: y'' + ay' + by = 0 Este tipo de ecuaciones siempre tiene soluciones de orden exponencial y = emx es solución y m deberá determinarse de la ecuación. Las respectivas derivadas son: y' = memx y y'' = m2emx sustituyéndose en la ecuación original: m2emx+ amemx + b emx = 0 donde emx es distinta de 0. m2+ am + b = 0 es la ecuación o polinomio característico. ANÁLISIS DE RAÍCES: a) Las raíces son reales distintas: y1 = e(m1)x y y2 = e(m2)x son soluciones parciales. Como m1 y m2 son distintas, entonces y1 y y2 son linealmente independientes Y = c1y1 + c2y2 b) Las raíces son reales e iguales m1 = m2:

115

y1 = e(m1)x y y2 = xe(m1)x (la x reduce la dependencia lineal) Y = c1e(m1)x + c2xe(m1)x es la solución general. c) Las raíces son complejas conjugadas: m1 = a + bi y m2 = a - bi y1 = e(a + bi)x + c2e(a - bi)x = eax(c1eibx + c2e-ibx) Y = eax + (c1 cos bx + c1 i sen bx + c2 cos bx - c2 i sen bx) = eax [(c1 + c2) cos bx + i (c1 - c2) sen bx] = eax (A cos bx + B sen bx) d) Las raíces son imaginarias: m1 = bi y m2 = -bi Y = A cos bx + B sen bx

116

Unidad III. ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES

117

3.1. ESTUDIO DE SERIES 3.1.1. Conceptualización Nociones generales sobre series En este tema se trata únicamente de efectuar un breve repaso de las series de potencias. Se expondrán los conceptos y propiedades, sin realizar las demostraciones. Se suponen conocidas las series numéricas y también los conceptos fundamentales relativos a las series de potencias. Series convergentes y series divergentes ¿Dónde converge la serie [1]? A esta pregunta responde el teorema de Abel, que se enuncia sin demostrarlo. Teorema de Abel Una serie de potencias

∞

∑ a n ( x − x 0 )n

converge siempre para todo valor de x

n=0

de un cierto intervalo abierto I=(x0-R , x0+R) y diverge si

x − x 0 > R . En los

extremos del intervalo puede converger o no. Además en I la convergencia es absoluta, es decir, que converge en I la serie ∞

∑ a n ( x − x0 )n n=0

El intervalo I = (x0-R , x0+R) citado en el teorema anterior recibe el nombre de intervalo de convergencia de la serie y el nº R es el radio de convergencia de la misma. Si en particular es R = 0 , se entiende que la serie converge únicamente para = x0.

x

¿Cómo obtener el radio de convergencia R? Criterio:

118

1 Si existe lim n a n = λ , entonces R = λ

n→ ∞

an+ 1 = λ , entonces lim n a n = λ n→ ∞ n→ ∞ an

Si existe lim

y

R=

1 λ

(Se entiende que si λ = 0 es R = ∞ y si λ = ∞ , es R = 0 ) Ejemplo 1: ∞

¿Dónde converge la serie

∑ n=0

Es an =

( −2) n n +1

(− 2) n ( x − 3)n n+1

?

an+1 2(n + 1) = lim =2=λ n→∞ ( n + 2) an

. Luego lim

n→∞

1 y por tanto la serie converge y además absolutamente en 2 1 1   5 7  3 − , 3 +  , es decir I =  ,     2 2 2 2

Luego

En x = En x =

R =

5 , la serie es 2 7 , es 2

∞

( −1) n

∑ n +1

∞

1

∑ n +1

que diverge por ser la armónica.

n=0

que converge (armónica alternada)

n=0

Como la serie [1] converge para los puntos x ∈ I , su suma al variar x en I , será una función S(x) que se llama suma de la serie en I. ¿Es continua S(x) en I ? ¿Puede derivarse término a término la serie en I ? Es decir: La serie cuyos términos son las derivadas de los términos de [1] ¿Tiene por suma a S’(x)? Análoga pregunta para la integración. Teorema. ∞

Si la serie

∑ a n ( x − x0 )n

tiene radio de convergencia R positivo, siendo S(x) su

n=0

suma en

I = (x0 - R , x0 +R) entonces:

S(x) es continua en I.

119

Puede

derivarse

la

serie

término

a

término

en

I,

es

decir

:

∞

S ′( x ) =

∑ n ⋅ a n ( x − x 0 ) n− 1

en I.

n= 1

Puede integrarse la serie término a término en I , es decir : ∞

an ( x − x 0 )n + 1 + C + n 1 0

∫ S ( x )dx = ∑

en I.

El radio de convergencia de las series obtenidas por derivación o integración término a término es también R. Series de potencias: teorema de abel Definiciones: Una serie de potencias en torno al punto xo es una expresión de la forma: ∞

∑ a n ( x − x0 )n = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + ...+ a n ( x − x 0 )n + ...

[1]

n=0

donde los an son constantes. -

La serie [1] converge en el punto x = a , si converge la serie numérica : ∞

∑ a n ( a − x0 )

n

N

∑ a n ( a − x0 ) N →∞

, es decir, si existe y es finito el límite : lim

n =0

n

, que se

n=0

designa suma de la serie en

x = a.

- En otro caso se dice que la serie diverge en x = a. -

La serie [1] puede converger para algunos valores de x y no para otros. Siempre converge para x = xo , siendo ao su suma en dicho punto.

Funciones analíticas: desarrollo de una función en serie de potencias Definición Se dice que una función f (x) es analítica en x0 ( o desarrollable en serie de potencias en un entorno de x0 ) si existe una serie de potencias

∞

∑ an ( x − x0 )

n

n =0

cuya suma es f (x) en un intervalo abierto centrado en x0.

120

Teorema. Si f (x) es analítica en x0 , entonces es : ∞

f ( n ) ( x0 ) f ′( x ) f ′ ′( x ) ∑ n! ( x − x 0 )n = f ( x 0 ) + 1! 0 ( x − x 0 ) + 2! 0 ( x − x 0 ) 2 + ... n =0 [2] en un cierto intervalo abierto centrado en x0. f( x)=

Esta serie se llama serie de Taylor de f (x) en torno a x0. Cuando x0 = 0 , la serie suele denominarse serie de Maclaurin de f (x) Propiedades: a) Si existe desarrollo de f(x) en serie de potencias en un entorno de x0, dicho desarrollo es único y por tanto coincide con el de Taylor. b) Condición necesaria y suficiente para la existencia de desarrollo de f(x) en un entorno de x0, es que f(x) sea indefinidamente derivable en x0 y que el término complementario de la fórmula finita de Taylor, tienda a cero en el entorno anterior, cuando n → ∞ . c) Si f(x) =

∞

∑ a n ( x − x0 )

n

y g(x) =

n =0

∞

∑ b n ( x − x0 )

n

con radios de convergencia ρ1

n =0

y ρ2, entonces : ∞

f( x ) + g( x ) =

∑ (a n + b n ) ( x − x0 )

n

n=0

∞

k⋅ f( x ) =

∑ k⋅ a n ( x − x0 )

n

n= 0 ∞

f( x ) ⋅ g( x ) =

,

∑ c n ( x − x0 )

n

con c n = a n b 0 + a n −1b1 +...+a 0 b n

n= 0

siendo ρ1 el radio de convergencia de k·f(x) y los radios de convergencia de f(x) + g(x) y f(x)·g(x) al menos como el mínimo de ρ1 y ρ 2 . d) Con las condiciones citadas en c) para f(x) y g(x), también es analítica en x0 la f( x ) , siempre que g(x0) ≠ 0. Pero el radio de convergencia del cociente, puede ser g( x ) menor que el mínimo de ρ1 y ρ 2 .

121

e) Son funciones analíticas en cualquier x0, por ejemplo los polinomios, las P( x ) funciones racionales irreducibles , siempre que Q( x0 ) ≠ 0, las funciones ex , Q( x ) sen x, cos x , ex sen x, etc. f) Obsérvese que : ∞

∞

n=0 ∞

m= 0 ∞

n=2

n=0

∑ an xn = ∑ am xm ∑ a n x n = ∑ a n+2 x n+2

(Índice sumatorio mudo) (Desplazamiento del índice)

EJEMPLOS DE DESARROLLOS Por simplicidad se van a hacer desarrollos en torno a x0 = 0. En el caso de tomar x0 ≠ 0 , bastaría hacer el cambio x - x0 = t y desarrollar en torno a t0 = 0. a ) Utilizando el desarrollo de MacLaurin :

ex = 1+

∞ x x2 xn xn + ... + + + ... = ∑ 1! 2! n! n! n=0

R=∞

Como consecuencia es:

e− x =

∑

( −1) n x n n! n=0

R=∞

e3x =

3n x n ∑ n =0 n !

R=∞

x 2n n=0 n !

R=∞

2

ex =

∞

∞

∞

∑

b) Utilizando también el desarrollo de MacLaurin se obtiene : sen x = x −

∞ ( −1 ) n x 2 n + 1 x3 x5 + − ... = ∑ ( 2 n + 1 )! 3! 5! n=0

∞ ( −1 ) n x 2 n x2 x4 cos x = 1 − + − ... = ∑ ( 2 n )! 2! 4! n=0

R=∞

R=∞

122

c) En el estudio de las series geométricas

∞

∑ a0 r n

se vio que éstas son

n= 0

es r < 1 , siendo convergentes si y sólo si el valor absoluto de la razón r a0 entonces su suma . Por tanto, dado que es único, si existe, el desarrollo de 1− r una función en serie de potencias en torno a un punto, se verifica: ∞ 1 = 1 + x + x 2 + ... = ∑ x n 1− x n=0

R=1

Luego también, por ejemplo : ∞ 1 R=1 = 1 − x + x 2 − x 3 +... = ∑ ( −1) n x n 1+ x n=0 ∞ 1 2 4 6 = 1 − + − + ... = ( −1) n x 2 n R=1 x x x ∑ 1+ x2 n=0 2 4 ∞ 1  1 1 x x 2n x 9 , = = 1 +   +   + ... = ∑ 2 2n + 2 9 3 3       9 − x2 3 x   n =0 1−   3

R=3

d) Como, según se ha dicho, puede derivarse o integrarse término a término una serie, obteniéndose otra con el mismo radio de convergencia, resulta a partir de lo anterior:

1

(1 − x)

2

=

d 1 = 1 + 2 x + 3x 2 + 4 x 3 +...+ nx n−1 +... d x 1− x

∞ 1 x3 x5 x 7 ( −1) n x 2 n+1 arctg x = ∫0 + − +... = ∑ dt = x − 3 5 7 2n + 1 1+ t2 n=0 2 3 4 n +1 ∞ x x x x + − +... = ∑ ( −1) n ln (1+x) = x − 2 3 4 n +1 n =0

x <1

x

x <1

x <1

e) Utilizando nuevamente la fórmula de MacLaurin; se obtiene: ∞

 α

(1 + x ) α = ∑    n n=0

 α α(α − 1) ... (α − n + 1) x n donde   = n!  n

x <1

123

Luego en particular, p.ej:

y como

∞  1 1 1 − = (1 + x ) − 2 = ∑  2  x n   1+ x 0  n 

 1   3   5   2n − 1  −   −   −  ... −  n  − 1 2  2   2   2   2  ( −1) (2n − 1)!! = =   n! (2n)!!  n 

1 1 1 3 1 3 5 ( −1) n (2n − 1)!! n = 1 − x + ⋅ x 2 − ⋅ ⋅ x 3 +...+ x +... 2 2 4 2 4 6 (2n)!! 1+ x 1 1 1 3 1 3 5 = 1 + x 2 + ⋅ x 4 + ⋅ ⋅ x 6 +... 2 2 4 2 4 6 1 − x2

f) Hallar la suma S(x) de la serie :

resulta :

x <1 x <1

( −1) n 2 n+1 x n ∑ (n + 1)! n=0 ∞

n ∞ ∞ 2 n+1 x n+1 ∞ ( −2 x ) n ( −2 x ) n n −1 ( 2 x ) x S( x ) = ∑ ( −1) = ∑ ( −1) = −∑ = 1− ∑ (n + 1)! n=1 n! n! n! n=0 n =1 n=0 ∞

⇒

n

x S( x ) = 1 − e−2 x .

Luego :

S(x) =

1 − e −2 x x

3.1.2. Puntos Singulares Sea D un dominio y f(z) analítica en D, excepto quizás en un cierto nº de puntos Definiciones

z0 es un punto singular de f(z), si f(z) no analítica en z0 , pero sí en algún punto de todo entorno de z0 . z0 es un punto singular aislado (p.s.a) de f(z), si f(z) no analítica en z0 pero sí en un cierto entorno reducido de z0 . Ejemplos -

f (z)=

1 z

z = 0 es p.s.a.

124

- f(z)=

1 sen

π z

tiene infinitos p.s.a. z = ±

1 . Pero z=0 es singular, no aislado. n

Si z 0 es p.s.a. de f(z) existe un entorno 0 < z − z 0 < r0 en el que f(z) admite desarrollo ( único ) en serie de Laurent. ∞ ∞ ∞ bn 0 < z − z 0 < r0 Sea f (z) = ∑ a n (z − z 0 )n + ∑ = ∑ A n (z − z 0 )n n ( ) z − z −∞ n =0 n =1 0 Según la forma de la parte principal

−1

∑ A n (z − z 0 )n

la singularidad se clasifica:

−∞

Si no aparecen potencias negativas A − n = 0 z0 se llama singularidad evitable.

∀n ∈ N:

Ejemplo: f ( z ) =

senz z

z0 = 0

Si la parte principal sólo tiene un nº finito de términos o sea ∃k ∈ N tal que A −k ≠ 0 y A − n = 0 ∀n > k , el punto z 0 se llama polo de orden k de f(z). Si k = 1: polo simple. senz 1 1 Ejemplo: f ( z ) = si z ≠ 0 . Parte principal − 4 5 z 3!z 2 z z 0 es polo de orden 4. Si A− n ≠ 0 para nº infinito de valores de n : z 0 p.s. esencial de f(z). 1

1 Ejemplo. e z = 1 + + z

1 2! z

2

+ ... +

1 n! z n

+ ...

z≠0

f(z) tiene polo de orden k en z 0 ⇔ ϕ(z) = (z − z 0 )k f (z) es analítica en z 0 con ϕ(z 0 ) ≠ 0 ó ϕ(z) tiene una singularidad evitable en z 0 , asignándole un ϕ(z 0 ) ≠ 0 .

125

3.1.3. Clasisicacion en Serie Introducción En la teoría de funciones de variable compleja, tienen especial importancia las sucesiones y series funcionales, especialmente las series de potencias. Se pretende expresar las funciones analíticas mediante series. Estas expresiones muestran importantes propiedades de las funciones analíticas. Se verá la extensión al campo complejo del concepto de desarrollo en serie de Taylor visto para funciones reales. Y se verá también la noción de serie de Laurent, que generaliza la serie de Taylor. Antes de estudiar esos desarrollos se comenzará con un resumen de las principales definiciones y teoremas sobre series numéricas de complejos, series funcionales y en particular las series de potencias. SERIES NUMÉRICAS Sea

∞

∑ un = u1 + u2 + ... + un + ... una serie de números complejos. n=1

a) Se dirá que esta serie tiene por suma un nº complejo S, si lim S n = S , siendo n→∞

S n = u1 + ... + un b) Criterio de Cauchy ∞

∑ un es convergente ⇔

∀ε > 0 ∃n0 ( ε ) / ∀p , q ≥ n0 es u p+ 1 + ... + uq < ε

n=1

c) En particular, tomando q = p+1, resulta: “Condición necesaria para la convergencia de

∞

un ∑ un es que nlim →∞

= 0”

n=1

d) Si un = a n + ibn , con an ,bn∈ ℜ , ∀n ∈ N, es inmedidato que: ∞

“ ∑ u n es convergente ⇔ n=1

∞

∞

∑ an y

∑ bn son convergentes”

n= 1

n= 1

126

∞

Y además, en este caso, si S =

∑ un ,

A=

n=1

∞

∞

n=1

n=1

∑ a n , B = ∑ bn

∞

∑ un

e) •

se dice absolutamente convergente ⇔ lo es

n=1 ∞

•

∑ un

∞

∑ an

es absolutamente convergente ⇒

n=1

n=1

resulta: S = A+Bi.

∞

∞

n=1

n=1

∑ un = ∑

a n2 + bn2

∞

y

∑ bn

son absolutamente

n=1

convergentes. ∞

•

∑ un

es absolutamente convergente ⇒

n=1

∞

∑ un es convergente. n=1

SERIES FUNCIONALES Sea

∞

∑ u n (z) una serie de funciones

u n (z)

n =1

Se designará por S n (z) a S n ( z ) =

n

∑ uk ( z ) y por R n (z) a Rn ( z ) =

∞

∑ uk ( z ) k = n+ 1

k=1

a) Definiciones ∞

Se dirá que la serie funcional

∑ un ( z )

converge en un dominio D, si converge

n=1

∀z ∈ D .

Se dice que S(z) es la suma de la serie en D, si para todo z0 ∈ D , es

lim Sn ( z0 ) = S ( z0 )

n→∞

Es decir:

∞

∑ u n (z) converge en D y tiene por suma

S(z) en D ⇔

n =1

⇔Dado z ∈ D , ∀ε > 0 ∃n 0 (ε, z) / ∀n ≥ n 0 es S(z) − S n (z) < ε ⇔ ⇔Dado z ∈ D , ∀ε > 0 ∃n 0 (ε, z) / ∀n ≥ n 0 es R n (z) < ε ⇔ ⇔ ∀z ∈ D es lim R n (z) = 0 n →∞

127

∞

∑ un ( z )

Se dice que

es absolutamente convergente en D , si converge

n=1 ∞

∑ un ( z )

en D.

n=1

La convergencia absoluta en D implica la convergencia en D. ∞

∑ un ( z ) converge uniformemente en D ⇔

Se dice que

n=1

⇔

∀ε > 0 ∃n0 ( ε ) / ∀n ≥ n0 es Rn ( z ) < ε ∀z ∈ D

La convergencia uniforme en D implica la convergencia en D. b) Condición de Cauchy para la convergencia uniforme ∞

∑ un ( z ) converge uniformemente en

D⇔

n=1

q

⇔ ∀ε > 0 ∃n0 ( ε ) / ∀p, q ≥ n0 , con q>p es

∑ u k ( z0 )

< ε ∀z ∈ D

k = p+ 1

c) Criterio de Weierstrass ∞

“Si

∑ a n es

una serie numérica real convergente, de términos no negativos y

n=1 ∞

u n ( z ) ≤ a n ∀n ,

y

∀z ∈ D ,

entonces

∑ un ( z )

converge

uniforme

y

n=1

absolutamente en D”. Demostración: Sea ε > 0 .

∞

∑ a n convergente ⇒

∃n 0 (ε) / ∀p, q ≥ n 0 (q > p) es a p+1 + ... + a q < ε

n =1

Luego: u p+1 (z) + ... + u q (z ) ≤ u p+1 (z ) + ... + u q (z) ≤ a p+1 + ... + a q < ε ∀z ∈ D Por tanto

∞

∑ u n (z) converge uniforme y absolutamente en D. n =1

128

d) Teoremas 1,2 y 3 ∞

∑ u n ( z ) converge uniformemente en D y las un ( z ) son respectivamente

Si

n=1

Continuas en z0 ∈ D (continuas en D ) Analíticas en D ( por tanto integrables en D) Analíticas en D Entonces la suma S(z) es respectivamente: Continua en z0 ( continua en D) Integrable en D y ∀ contorno Γ en D:

∫Γ

∞

S ( z )dz =

∑ ∫Γ un ( z )dz

n=1

∞

Analítica en D. Además S' ( z ) =

∑ un' ( z ) que converge uniformemente en D n=1

SERIES DE POTENCIAS Según se verá más adelante, una propiedad fundamental de las funciones analíticas es que pueden representarse por medio de series de potencias. Y recíprocamente, salvo excepciones triviales, toda serie de potencias convergente define una función analítica. Por ello las series de potencias son herramienta fundamental en el estudio de las funciones analíticas. a) Definición “Una serie de potencias en torno al punto z0, es una serie funcional de la forma: ∞

∑ a n ( z − z0 ) n = a 0 + a 1 ( z − z0 ) + ... + a n ( z − z0 ) n + ...

ai ∈ C ”

n=0

Se trata de discutir su convergencia y estudiar propiedades de la suma como función de z. Como de

∞

∞

∑ a n (z − z 0 ) n se pasa a la

∑ anzn

n =0

n =0

por un simple cambio de origen, se

estudiará exclusivamente esa segunda serie. b) Teorema de Abel

129

∞

“Si

∑ a n z n converge

para z = z1 , entonces converge absolutamente ∀z

con

n =0

z < z1 ” (Se omite la demostración, que se basa en el criterio de la mayorante de Weierstrass). Como consecuencia:

∞

∑ an zn

Si

no converge para z = z2 , tampoco para z tal

n =0

que z > z2 . c) Radio de convergencia Es inmediato, según se ha dicho que la serie de potencias

∞

∑ a n z n converge n =0

siempre para z = 0. Puede ocurrir que converja ∀z ∈ C. Si no converge para un z 2 , tampoco para los z tales que z > z 2 . Luego el conjunto de los radios de los círculos en los que converge la serie, es un conjunto acotado. Por tanto tiene extremo superior R finito. Por el teorema de Abel ∀z con z > R la serie no converge. ( Pues de lo contrario no sería R el extremo superior ). Para z = R la serie puede converger o no.

Al nº R se le denomina, radio de convergencia de la serie. Al círculo abierto z < R : círculo de convergencia de la serie. Si la serie converge ∀z ∈ C se dirá que R = +∞ d) Determinación del radio de convergencia ∞

El radio de convergencia R de la serie

∑ a n z n , viene dado por la fórmula de n =0

Hadamard:

1 = lim n a n . R n →∞

130

0 ∞ Donde si lim n a n =  se entiende que es R =  respectivamente. ∞ 0

an+ 1 1 = λ o lim n a n = λ , entonces también R = λ n→ ∞ n→∞ an

Si existe lim

Demostración Sea λ = limn a n Basta aplicar el criterio de la raíz a la serie

∞

∑ anzn n =0

1 Converge ∀z / lim n a n z n = z λ < 1 ⇒ Converge ∀z / z < λ n →∞ 1 Diverge ∀z / lim n a n z n = z λ > 1 ⇒ Diverge ∀z / z > λ n →∞ 1 Luego el radio de convergencia es R = c.q.d. λ e) Ejemplo ∞

Estudiar la convergencia de la serie Es a n

( − 2)n =

. Luego lim

a n +1

∑

(− 2 )n (z − 3 )n

n =0 n + 1

2(n + 1) 1 =2=λ⇒R = 2 n → ∞ ( n + 2)

= lim

n +1 n →∞ a n 1 Luego R = y por tanto la serie converge y además absolutamente en el círculo 2 1 abierto: z − 3 < 2 f) Convergencia uniforme Puede demostrarse que la serie

∞

∑ a n z n , converge uniformemente en todo círculo n =0

cerrado interior al de convergencia. g) Series formadas por derivación término a término: convergencia

131

Sea

∞

∑ a nzn

y R su radio de convergencia.

n =0

El radio de convergencia de

∞

∑ na n z n −1 es:

R ' = lim

n =1

n →∞

na n (n + 1)a n +1

= lim

n →∞

an a n +1

=R

Luego: la serie formada por las derivadas de los términos tiene el mismo círculo de convergencia que la original. Repitiendo el proceso: R es también el radio de convergencia de la serie formada por las derivadas de cualquier orden k de los términos de la serie original. h) Aplicando los teoremas sobre continuidad, derivación e integración citados en general para las series funcionales se obtendrían los resultados correspondientes para las series de potencias, en el interior del círculo de convergencia, por ser los términos funciones enteras y ser la convergencia uniforme en dicho círculo. Será: La suma S(z) de una serie de potencias es continua en el interior del círculo de convergencia. ∞

La suma

S(z) de la serie

∑ an zn

es integrable en el interior del círculo de

n =0

convergencia y para todo contorno C interior a dicho círculo es:

∫C

∞

S ( z )dz =

∑ ∫C a n z n dz

n =0

Incluso si además g(z) es continua sobre C ⇒

∫C

∞

S ( z ) g ( z )dz =

∑ ∫C a n z n g( z )dz

n =0

∞

La suma S(z) de la serie

∑ an zn

es analítica en el interior D del círculo de

n=0

convergencia. ∞

Además S' ( z ) =

∑ na n z n−1

( Es decir, la derivada de la suma es la suma de la

n=1

serie formada por las derivadas de los términos ). Análogamente para las derivadas sucesivas.

132

i) Series de potencias negativas La serie

∞

∑

bn

n =0 z

n

= b 0 + b1z −1 + ... + b n z −n + ... puede considerarse como una serie

1 . z Será convergente en el exterior de una circunferencia z = R

de potencias ordinaria en la variable

La convergencia será uniforme en toda región z ≥ ρ > R La serie representa una función analítica en z > R y en este dominio será derivable e integrable término a término. ∞ bn Lo anterior es extensible a series ∑ n n =0 (z − z 0 ) Combinando la

∞

∑

bn

n =0 z

n

con la

∞

∑ bn zn

se obtiene una serie más general:

n =0

∞

∑ anzn n = −∞

Se dice que es convergente, si convergen por separado las

−1

∑ anzn y n = −∞

∞

∑ anzn . n =0

Como la 1ª converge en una región z > R 2 y la 2ª en z < R 1 ⇒ existe región común de convergencia R 2 < z < R 1 sólo si R 2 < R 1 y entonces la serie

+∞

∑anzn n = −∞

representa una función analítica en la corona R 2 < z < R 1 . Desarrollo en serie de taylor Se ha visto que una serie de potencias representa una función (su suma) analítica en z < R . A continuación se va a establecer un recíproco, fundamental en la teoría de funciones de variable compleja.

133

a) Teorema Si f(z) es analítica en un círculo abierto z − z0 < r0 , admite en dicho dominio una representación en serie:

f n ) ( z0 ) f ´( z0 ) (z − z0 ) + ... + (z − z0 )n + ... n! 1! ∞ f n )( z ) 0 (z − z )n que podemos escribir: f ( z ) = ∑ con f ( 0 ) ( z0 ) = f ( z0 ) . 0 n! n=0 f ( z ) = f ( z0 ) +

Esta serie de potencias es el llamado desarrollo de f(z) en serie de Taylor en un entorno de z0 . Si z0 = 0 la serie de Taylor se conoce como serie de MacLaurin de f(z). Demostración C

Sea z interior a C . Será z − z 0 = r < r0

z

Sea la circunferencia C1 de centro z0 y radio r1 z0 C 1 r < r1 < r0 . f(z) es analítica en C1 e interior y z es interior a C1. 1 f ( ξ) Luego por la fórmula integral de Cauchy: f (z) = dξ ∫ 2πi C1 ξ − z

z − z0 r 1 1 1 1 . Y como = <1 = = ξ − z0 r1 ξ − z (ξ − z 0 ) − (z − z 0 ) (ξ − z 0 )  z − z 0  1 −   ξ − z0  n  ∞ (z − z )n  z − z0  1 1  z − z 0 0  + ... = ∑ resulta: = 1+ + ... +  n +1 ξ − z ξ − z0  ξ − z0 ξ − z  0    n =0 (ξ − z 0 ) Pero

∞ (z − z )n 1 0 Luego: f (z) = f ( ξ ) dξ ∑ 2πi ∫C1 n =0 (ξ − z 0 )n +1

Como la serie de potencias 1 + Z + Z 2 + ... + Z n + ... converge uniformemente en z − z0 cualquier círculo cerrado interior a Z = 1 , tomando Z = , la serie ξ − z0 ∞  z − z n 0

∑ 



n =0 ξ − z 0 

converge uniformemente en el interior de C1.

134

f (ξ ) es continua sobre C1, por el teorema sobre integración ξ − z0 generalizado, citado en 4-h es: ∞  z − z n ∞   1 f (ξ ) 1 f (ξ ) 0  f (z) = d ξ = d ξ  (z − z 0 )n = ∑ ∑ ∫ ∫   n + 1 C C 2πi 1 n =0 ξ − z 0  ξ − z 0 2πi 1 (ξ − z 0 )  n =0

Y como

=

∞ f ( n ) (z ) 0

∑

n =0

n!

(z − z 0 ) n

c.q.d.

b) Otras conclusiones Puede demostrarse que: El desarrollo en serie de una función en torno a z0 , es único y coincide con el de Taylor. El radio de convergencia de la serie de Taylor de f(z) en torno a z0 , es la distancia de z0 al punto más próximo en el que f(z) no es analítica. c) Ejemplos. Desarrollos usuales Utilizando la definición de desarrollo de Taylor ( ó de MacLaurin ) se obtiene: Sea f ( z ) = e z . Es entera y f ( n ) ( z ) = e z , f ( n ) (0) = 1 ∀n ∈ N Luego: e z = 1 +

∞ n z z2 zn z ; R=∞ + ... + + + ... = ∑ 1! 2! n! n=0 n!

Análogamente:

senz = z −

∞ ( −1 ) n z 2 n + 1 z2n + 1 z 3 z5 ; − ... + ( −1 )n + ... = ∑ + ( 2 n + 1 )! 3! 5! n = 0 ( 2 n + 1 )!

cos z = 1 −

∞ ( −1 ) n z 2 n z2n z2 z4 − ... + ( −1 )n + ... = ∑ , + ( 2 n )! 2! 4 ! n = 0 ( 2 n )!

∞

Shz =

z2n + 1 ∑ ( 2 n + 1 )! , n=0

R=∞ ;

R=∞

R=∞

∞

Chz =

z2n ∑ ( 2 n )! , n=0

R=∞

Como consecuencia de los anteriores es inmediato que por Ejemplo:

135

e−z =

∞

(−1) n z n ∑ n! n =0 ∞

3n z n ∑ n! n =0

R=∞

∞

z 2n n! n =0

2

∑

ez =

∞

e 3z =

R=∞

sen5z =

R=∞

(−1) n 5 2n +1 z 2n +1 (2n + 1)! n =0

∑

R=∞

iii) A partir de la serie geométrica

1 1− z

= 1 + z + z 2 + ... + z n + ... =

∞

∑ zn

,

R=1

n=0

pueden obtenerse de forma inmediata:

1 1+ z

= 1 − z + z 2 − ... + ( −1 ) n z n + ... =

∑ ( −1 ) n z n

; R=1

n =0

1 1+ z

∞

= 1 − z 2 + z 4 − z 6 + ... =

2

∞

∑ ( −1 ) n z 2 n

;

R=1

n=0

2 4 ∞  1 1 z z 2n z 9 = = 1 +   +   + ... = ∑ 3  n = 0 32n + 2 9 − z 2 1 − z 2 9   3  3 1

( )

R =3

Pueden también obtenerse desarrollos por derivación o integración de los términos de otro desarrollo conocido y con el mismo círculo de convergencia.

1 2

(1 − z)

= z

arctgz = ∫

[

]

d 1 d 1 + z + z 2 + ... + z n + ... = 1 + 2 z + 3 z 2 ... + nz n − 1 + ... = dz 1 − z dz z ∞

1

2 0 1+ z

z

Log( 1 + z ) = ∫ 0

  

∞

( −1 ) n

z 2n + 1 2n + 1

z <1

dz = ∫  ∑ ( −1 ) n z n dz = ∑ ( −1 ) n

z n+1 n+1

z <1

dz = ∫ 

∑ ( −1 )n z 2 n dz =

1

z ∞



∞

0  n =0



n =0

 0  n=0

1+ z

∑ n=0

z <1

Hay que tener en cuenta en el caso de funciones multiformes como por ejemplo arctg z o log(1+z) que será necesario escoger antes una rama bien definida. En los ejemplos anteriores se han tomado las ramas de arctg z o log(1+z) que en z = 0 toman el valor cero. v) En el caso de una función racional, es conveniente usar la descomposición en fracciones simples

136

1 1 2  1 1 1  =  − =  +  = z 2 − z − 2 3  z + 1 z − 2  3 1 + z 1 − z 2  z

 z z2  1 zn =  1 − z + z 2 − z 3 + ... + (−1) n z n + ... − 1 + + + ... + + ...  =  2 22  3 2n    ∞ 1  n 1 ∞ 1 n 1 ∞  z <1 =  ∑ (−1) n z n − ∑ z  = ∑ (−1) n − z n 3 n =0 2n  n =0 2  3 n =0

(

)

vi) Utilizando nuevamente la fórmula de MacLaurin, se obtiene: ∞ α α α (1 + z) = ∑   z n , z < 1 siendo α ∈ ℜ ,   = α(α − 1)...(α − n + 1) ; n! n  n = 0 n 

α   = 1 0 

vii) Los desarrollos anteriores han sido hechos en torno a z 0 = 0 . Como ejemplo de desarrollo en torno a otro punto: 1 Desarrollo de en torno a z 0 = 2 z 1 1 1 Y según lo visto para la geométrica: = = z z − 2 + 2 2 1 + (z − 2 )

(

2 2

)

n n  1 1  z − 2  z − 2  1 1 ∞ nz − 2 nz −2  = 1− +  − ... + (−1)   + ... ⇒ = ∑ (−1)    z 2 2 2  2  z 2 n =0 2       z−2 < 2

viii) Desarrollo de un producto Si f (z) =

∞

∑anz

n

n =0

y g(z) =

∞

∑ b n z n convergen

respectivamente en z < R 1 ,

n =0

z < R 2 , entonces f(z) y g(z) son analíticas en los correspondientes dominios, luego f(z).g(z) es analítica al menos en D: z < R siendo R = min{R 1 , R 2 }. Por tanto admite f(z).g(z) un desarrollo en serie de MacLaurin en D. Sea ∞

f ( z )g ( z ) =

∑ c n z n en D. n =0

137

Puede demostrarse entonces que: c n =

n

∑ a kbn−k ,

es decir: “La serie

k =0

desarrollo del producto es la obtenida multiplicando término a término las series correspondientes a f(z) y g(z) y agrupando entonces los términos en iguales potencias de z ”. ( Es el llamado producto de Cauchy de ambas series ). Ejemplo. Desarrollo de Taylor de f (z) = Es senz = z −

senz en torno a z = 0. 1− z

z3 z5 z 2 n +1 + − ... + (−1) n + ... 3! 5! (2n + 1)!

∀z

1 z <1 = 1 + z + z 2 + ... + z n + ... 1− z   z3 z5 Luego f (z) =  z − + − ... 1 + z + z 2 + ... + z n + ... =   3! 5!   1   1  1 1 = z + z 2 + 1 − z 3 + 1 − z 4 + 1 − + z 5 + ...  3!   3!   3! 5! 

(

)

z <1

Desarrollo en serie de laurent Se ha visto que una serie de la forma

∞

∑ a n (z − z 0 )n

representa una función

−∞

analítica en una corona ( o no converge en ningún punto ). Ahora se va a establecer un recíproco. a) Teorema “Si f(z) es analítica sobre dos circunferencias concéntricas C1 y C2 de centro z0 y radios r1 y r2 respectivamente ( r2 < r1 ) y en la corona limitada por ellas, entonces en todo punto de la corona es: ∞

f (z)=

an =

∞

∑ bn (z − z0 )−n +

∑ a n (z − z0 )n ,

n= 1

n=0

f (z) 1 dz ∫ C 2πi 1 (z − z0 )n+ 1

con

( n = 0 ,1 ,2 ,...) ; bn =

f(z) 1 dz (n=1,2,..) ∫ C 2πi 2 (z − z0 )− n+ 1

donde C1 y C2 se recorren en sentido positivo”.

138

Este es el llamado desarrollo en serie de Laurent de f(z) en la corona r2 < z < r1 . Se omite la demostración. b) Observaciones i) Si f(z) es analítica en C1 e interior, excepto z0, puede tomarse r2 arbitrariamente pequeño y el desarrollo en serie de Laurent es válido en 0 < z − z0 < r1 ii) La serie de Taylor es caso particular de la de Laurent, pues si f(z) es analítica

f (n ) (z 0 ) f ( z) C1 e interior, entonces a n = y b n = 0 pues es analítica en n! (z − z 0 )−n +1 C2 e interior. iii) Como f(z) es analítica sobre C1 , C2 y la corona limitada, si C es una circunferencia de centro z0 y radio r arbitrario con r2 ≤ r ≤ r1 , por el principio de deformación de caminos, pueden sustituirse C1 y C2 por C. En definitiva podríamos escribir: +∞

f(z)=

∑ An (z − z0 )n ;

r2 < z − z0 < r1 , con An =

n = −∞

1 f(z) dz ∫ 2πi C (z − z0 )n + 1

n∈Z

Es decir:

f ( z ) = A0 + A1 ( z − z 0 ) + ... + An (z − z 0 )n + ... (Parte analítica del desarrollo) A− n A A− 2 + −1 + + ... + + ...... (Parte principal “ “ ) z − z0 (z − z0 )2 (z − z0 )n

iv) An =

No

podemos

escribir A n =

f (n ) (z 0 ) , n!

n

=

0,1,2,…

en

lugar

de

f ( z) 1 dz ∫ C 2πi (z − z 0 )n +1

salvo cuando f(z) sea analítica en el interior de C1.

139

c) Otras conclusiones Puede demostrarse que: +∞

∑ An (z − z0 )n

i) Si una serie

converge hacia f(z) en r2 < z − z0 < r1

dicha

n = −∞

serie es precisamente el desarrollo en serie de Laurent de la función f(z) en potencias de z − z0 en dicha corona. ii) El dominio de convergencia de la serie de Laurent en torno a z0, es la corona D* comprendida entre las circunferencias concéntricas C*1 y C*2 de centro z0 y tales que: -

C*1 pasa por el punto singular de f más próximo a C1 y exterior a C1 .

-

C*2 pasa por el punto singular de f más próximo a C2 e interior a C2.

Así por ejemplo, la función f (z) =

1

(z − 1)2 (z + 2i )

es analítica en C, excepto en z =

1, z = -2i. Si tomamos z 0 = 0 , puede desarrollarse f(z) en serie de Laurent en cada uno de los tres dominios: 1º) z < 1 Serie de Taylor 2º) 1 < z < 2

Serie de Laurent

3º) 2 < z

Serie de Laurent

r2 = 1 , r1 = 2

r2 = 2 , r1 = ∞ Los tres desarrollos son distintos, pues la unicidad sólo es cierta en cada dominio. d) Ejemplos Sea la función f ( z ) =

cos z . Desarrollo de Laurent en torno a z0 = 0 . z

Es analítica en z > 0 . Es cos z =

∞

∑ (−1) n n =0

z 2n 1 analítica en cualquier región z ≥ r > 0 ∀z ∈ C y z (2n )!

∞ cos z z 2n −1 1 ∞ z 2n −1 = ∑ (−1) n = + ∑ (−1) n z (2n )! z n =1 (2n )! n =0 2 n +1 cos z 1 ∞ n +1 z z≠0 = + ∑ (−1) z z n =0 (2n + 2)!

Luego en z ≥ r > 0 es: Por tanto:

140

No ha sido necesario calcular los coeficientes An de la serie de Laurent por las fórmulas citadas en el enunciado del teorema. Ha bastado con recurrir a una serie de Taylor conocida. Válido por la unicidad. 1

Sea f ( z ) = e z + e z . Desarrollo de Laurent en torno a

z0 = 0 .

1 Es e z entera y e z analítica ∀z ≠ 0 . Sea z 0 = 0 Se trata de un desarrollo de Laurent en la corona z > 0

z2 zn Es e z = 1 + z + + ... + + ... ∀z 2! n! 1 1 1 1 e z = 1+ + + ... + + ... ∀z ≠ 0 2 z 2! z n! z n   1  z2 zn 1 1 Luego f (z) =  2 + z + + ... + + ... +  + + ... + + ...    z 2!z 2 2! n! n!z n   

Sea f ( z ) =

1

z≠0

Desarrollos de Laurent en torno a z0 = 0

1− z

Es f(z) analítica ∀z ≠ 1 - En z < 1 : Se reduce a un desarrollo de Taylor: f (z) = 1 + z + z 2 + ... + z n + ... -En z > 1 :

   1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 =−  = − 1 + + + ... + + ... = − − − ... − − ... 2 n 2 n 1− z z 1 − 1  z z z z z z z  z 

Sea f ( z ) =

f (z) =

1

(z + 1)(z + 2 )

Desarrollos de Laurent en torno a z0 = 0

1 1 − z +1 z + 2 ∞

1 1+ z

Para z < 1 ; 1 − z + z 2 − ... + (−1) n z n + ... = 1 + ∑ (−1) n z n n =1

Para z > 1 ;

1 1 z 1+ 1

(

∞  ∞ (−1) n (−1) (−1) n −1 1  1 1 1− + − .. + + .. = ∑ =∑ n +1 n  z  z z 2 zn n =1 z  n =0 z n

z

)

=

141

−

Para z < 2 ; −

1 1 2 1+ z

 1 z z2 zn 1 ∞ zn = − 1 − + − ... + (−1) n + ... = − + ∑ (−1) n −1  2  2 22 2 n =1 2n 2 n +1  2

Para z > 2 ; −

1 1 z 1+ 2

 ∞ 1  2 22 2n 2 n −1 = − 1 − + − ... + (−1) n + ... = ∑ (−1) n  z  z z2 zn zn  n =1 z

(

)

1 z+2

(

)

Por tanto: ∞

1 + ∑ (−1) n z n

z <1

n =1 ∞ (−1) n −1 z n (−1) n −1 1 +∑ +∑ n 2 n =1 2 n +1 n =1 z ∞ 1 ∑ (−1) n 2 n −1 − 1 n z n =1 ∞

f (z) =

−

[

]

1< z < 2 z >2

142

3.2 . TRANSFORMACIONES DE LAPLACE 3.2.1. Conceptualizacion

La transformada de Laplace se define como:

Siendo f(t) una función continua para real; y so un valor fijo de "s". La integral impropia

; s>0; s>so ; siendo "s" un parámetro

se define como:

y se dice que si el límite existe también existe la transformada de Laplace; y decimos que la integral converge. Se puede representar la actividad de la transformada de Laplace mediante el siguiente esquema:

Ejemplo 1: Obtener la transformada de Laplace de

;para s>a. Resultado.

143

Ejemplo 2: Obtener la transformada de Laplace de f (t)= t. aplicando la integración por partes: L{t} = Resultado. Y en general : L{

}=

Ejemplo 3: Obtener la transformada de Laplace de Sen at. ; resolviendo la integral por partes:

Paso 1.Paso 2.Paso 3.Paso 4.-

; Integrando por partes:

Paso 5.- u= Cos at ; du= -a Sen at dt ;

Paso 6.Paso 7.Paso 8.Paso 9.-

Resultado.

Ejemplo 4: Método alternativo para obtener la transformada de Sen at ;y simultáneamente la transformada de Cos at : Paso 1.Paso 2.- Sustituir Sen at por

:

144

Paso 3.-

L{

}

Paso 4.- Como en el ejemplo 1,se obtuvo

; entonces en este

caso: Paso 5.- Utilizando la identidad de Euler: y aplicándola a éste caso: Paso 6.Paso 7.- Aplicando la propiedad de las igualdades en: ; se obtiene que y que

Resultados.

3.2.2. Propiedades básicas I) Si f(t), f1 (t) y f2(t) ;poseen transformadas de Laplace y,C es una constante entonces: Paso 1.- L { f(t)+ L f1(t)+ L f2(t) } = L {f(t)} + L { f1(t)} + L { f2(t) } Paso 2.- L { C f(t) } = C L { f(t) } II ) Si F(s) = L { f(t) } , entonces: L{

}=

Ejemplo: Obtener Paso 1.- L {

} = (-1)

{

}=

Paso 2.Paso 3.Paso 4.- {

Resultado.

Para s >a , n=0, 1, 2, 3...

145

3.2.3. Transformadas de funciones elementales Transformada de Laplace de derivadas. Obtener la transformada de Laplace de f ' (t). Resolviendo la integral por partes:

L {f ' ( t ) } = L { f(t) } - f(0)

Resultado.

Obtener la transformada de Laplace de f '' (t) . Haciendo f ' (t) = g(t) ; f '' (t) = g ' (t) ;y g(0)= f ' (0) ; y aplicando el resultado anteriormente obtenido de la transformada, para la primera derivada tenemos: L { f ' ' (t) } = L { f ' (g) } = s L {g (t)} - g(0) ; s L { g( t ) } = s L { f ' ( t ) } = s ( - f (0) + s L { f (t) } ) L { f ' ' (t) } = s2 L { f (t) } - s f (0) - f ' (0) Resultado. Generalizando tenemos: L{

} = sn L { f (t) } - sn-1 f (0) - sn-2 f ' (0) - .... - f n-1 (0)

Función Gamma Obtener la función gamma de 1: sustituir x=1 Resultado. Obtener la función gamma de ( x+1) : Integrando por partes: = Resultado. Generalizando tenemos que:

146

gamma.

Esta es la propiedad más importante de la función

Aplicando la función gamma obtener la transformada de Laplace de f(t) = ;siendo n ; un entero no negativo y, t L{

}=

si sustituimos tenemos que L{ }=

Resultado.

Teorema de Traslación del eje s: Si F(s) = L{f(t)} existe para s>c , entonces L { La traslación de S multiplicaciónde la función original de t por En forma semejante: L { F(s-a) }=

} existe para s>a+c : de la transformada corresponde a la

haciendo S

Aplicando éste teorema en las transformadas obtenidas anteriormente: Como

entonces

Como

entonces

Como

; entonces

Así como hay tablas de integrales para facilitar la solución de problemas de integración, utilizaremos las tablas de transformadas. de Laplace para agilizar la solución de problemas de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas, que en el tema anterior resolvimos por el método de coeficientes indeterminados.

147

A continuación se presentan las transformadas de Laplace más comunes que utilizaremos, en la solución de problemas algebraicos y en los problemas de aplicación. TRANSFORMADAS DE LAPLACE = L {f (t)}=F(s) FORMULAS _____________________|____________________________ ; s>a ; s>0 ; s>0 ; s>0 ; s>0 ; s>a ; s>a

;

148

Traslación del eje s

Ejemplo Siendo la fórmula

33. Ejemplo

Siendo la fórmula En todos los casos a, b, k, son constantes y además . 34. 35. 36. 37.

149

38. 39. 40. 41.

42.

43.

44.

45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 3.2.4. Solución de ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de Laplace La Transformación integral de Laplace Definiciones y propiedades elementales. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales.

150

Efectos especiales. Definiciones y propiedades elementales Supongamos que la función f es localmente integrable, vale decir, para todo T > 0, la integral existe. Dado un complejo diremos que la transformada de Laplace de f existe en el punto

si la integral impropia

existe y en ese caso escribimos

El conjunto de valores

para el cual el limite

en (92) existe es el dominio de la función y se designará por D(Lf). Obviamente, interesa el caso en que

es no vacío y en tal caso

una aplicación de

define

en C.

Ejemplo 7. Transformada de una función exponencial. , Designamos por

la función

=

. Un calculó simple muestra que

151

si satisface la condición manera la integral diverge. Luego,

pues de otra

Proposición 5. Dadas dos funciones f, g de [0,1[, con valores en Cd y localmente integrables, entonces para todo par de escalares a, b y para todo _ 2 D(Lf) \ D(Lg) se cumple

Vale decir, la transformación de Laplace es lineal. Ejemplo 8. Calculó de la transformada de funciones Trigonometricas.

El calculó realizado en el ejemplo anterior nos da:

152

Ejemplo 9. Consideremos ahora las funciones

En otros términos

En consecuencia, por la linealidad de la transformación de Laplace obtenemos:

Funciones de orden exponencial al Infinito Definición 10. Una función es deorden exponencial al infinito si es seccionalmente continua1 y si existen dos constantes M, _ > 0 y un valor t0 > 0 de su dominio, tales que:

Lo anterior se denota por comodidad en la forma

153

Proposición 6. La transformación de Laplace existe para toda función de orden exponencial al infinito. Mas aún, si

, entonces el dominio de su transformada de Laplace

incluye al conjunto 1O sea, la función es continua salvo en un numero finito de puntos Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales Hemos visto en clases ( † Si quiere saber mas venga a clases..) que si transformada de Laplace en un dominio D, entonces

admiten

para todo _ 2 D. Esta igualdad es la clave para la aplicación de la transformada a las ecuaciones diferenciales. De manera mas general se tiene el siguiente resultado: Teorema 12. Sea una función vectorial con derivadas continuas hasta el orden n - 1, y de orden Exponencial al infinito. Supongamos que la nesima derivada sea al menos seccionalmente continua. Entonces, para cada la transformada de Laplace de la r–´esima derivada, L_(r), existe y está dada por:

Veamos ahora como el calculó anterior puede ser aprovechado en las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Teorema 13. Considerar la ecuaci´on diferencial lineal

154

donde A es una matriz constante de d × d y b(t) es una función vectorial de d componentes. Si b es de orden exponencial al infinito, entonces cada solución de (99) es del mismo orden y tiene transformada de Laplace. Los teoremas 12 y 13 son los esenciales para la aplicación de la transformación de Laplace a las ecuaciones diferenciales. Un corolario importante del teorema 13 es el referido a ecuaciones escalares de orden n que enunciamos a continuación. Corolario 6. Sea f una función escalar de tipo exponencial al infinito. Entonces, cada solución de la ecuación

es de orden exponencial al infinito y tiene transformada de Laplace. Efectos especiales Antes de estudiar las aplicaciones de los últimos resultados, estudiemos algunos procedimientos adicionales de calculo de transformadas de Laplace. Proposición 7. Sea un entero y f una función de orden exponencial al infinito. Entonces, la función es, también, de orden exponencial al infinito y su transformada de Laplace está dada por la fórmula

Analicemos ahora la forma en que la integración indefinida modifica la transformada de Laplace. Proposición 8. Si f es de tipo exponencial al infinito, entonces su primitiva

también lo es y su transformada de Laplace es

155

Ejercicio 2. Sea f una función periódica, seccionalmente continua, de período T, definida sobre R+. Probar que f posee transformada de Laplace dada en la forma:

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GLOSARIO

Condiciones Iniciales A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. Los valores dados de la función desconocida, y(x), y de sus primeras n-1 derivadas en un solo punto x0: y(x0) = y0, y'(x0) = y1,...,y(n-1) (x0) = y(n-1) se llaman condiciones iniciales. Condiciones De Linealidad Se dice que una ecuación difenecial de la forma y(n) = f(x, y, y',..., y(n-1)) es lineal cuando f es una función lineal de y, y',..., y(n-1). Las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales: i) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo término donde aparece y es 1. ii) Cada coeficiente solo depende de x, que es la variable independiente. Conjunto Fundamental De Soluciones Todo conjunto y1, y2,..., yn de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, en un intervalo I, se llama conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. Dependencia O Independencia Lineal Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo Iv si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que C1f1(x) + C2F2(x) + ... + CnFn(x) = 0 Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente. Ecuación Auxiliar Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo orden ay + by + cy = 0 (2)

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Si probamos con una solución de la forma y = emx, entonces y = memx y y = m2emx, de modo que la ecuación (2) se transforma en am2emx + bmemx + cemx = 0 o sea emx (am2 + bm + c) = 0 Como emx nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que la función exponencial satisface la ecuación diferencial es eligiendo una m tal que sea una raíz de la ecuación cuadrática am2 + bm + c = 0 Esta ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica. Función Complementaria La combinación lineal yc(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + ... + Cn yn(x), que es la solución general de (6), se llama función complementaria para la ecuación (7). En otras palabras, para resolver una ecuación diferencial no homogénea primero se resuelve la ecuación homogénea asociada y luego se determina cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. La solución general de la ecuación no homogénea es, entonces, Y = función complementaria + cualquier solución particular. Diferencial Exacta Una ecuación diferencial M(x,y) + N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencia de alguna función F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 Es una ecuación diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. Dependencia O Independencia Lineal Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que C1f1(x) + C2f2(x) + ... + Cnfn(x) = 0 Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

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Derivadas Totales. En algunos casos x, y no son variables independientes en la función Q=f(x,y) ya que tanto x como y pueden estar en función de una tercera variable t es decir, X =f (x), y = f(t) valores que se sustituyen en la función Q, esta se convierte en una función de una sola variable “t” y su derivada puede encontrarse de manera ordinaria o mediante la expresión. De la misma forma se obtiene para una función de un número cualquiera de variables, esto es: Ecuaciones Exactas. La igualdad M (x,y) dx + N(x,y)dy = 0 es una ecuación diferencial exacta el primer miembro es una diferencial total. Es decir: Si df = fxdx + fydy por lo tanto fxdx + fydy = 0 es una ecuación diferencial exacta y fx = M(x,y), y fy = N(x,y). Encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta es hallar una función f(x,y) tal que su diferencial total sea exactamente la ecuación diferencial dada. Ecuación Integral Con Factor Integrante. Si existe una función F(x,y) tal que f(x,y)M(dx) + f(x,y)N(dy) = 0 es exacta entonces f(x,y) se llama factor de integración de la ecuación diferencial Mdx + DNI = 0 Conviene notar que una ecuación diferencial no exacta puede tener varios factores de integrantes es decir, puede convertirse en exacta Ecuación de Bernoulli La ecuación diferencial dy + P(x)y = f(x)yn dx En que n es cualquier numero real, es la ecuación de Bernoulli. La sustitución u = y 1-n reduce cualquier ecuación de la forma anterior a una ecuacion lineal. Ecuaciones Lineales No homogéneas Toda función yp libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación (7) se llama solución particular o integral particular de la ecuación; por ejemplo, se puede

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demostrar directamente que la función constante yp = 3 es una solución particular de la ecuación no homogénea y + 9y = 27. Ecuación Diferencial Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes es una ecuación diferencial. Recuérdese que linealidad quiere decir que todos los coeficientes solo son funciones de x y que y todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Entonces, cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden.

Factor Integrante El factor integrante e " P(x)dx se utiliza en las ecuaciones lineales y en las ecuaciones tipo bernoulli para poder obtener su solución. Familia De Curvas Una ecuación F(x) + c, donde c es una constante arbitraria que determina el desplazamiento vertical u horizontal de la grafica de la función, genera una familia de curvas. Función Escalón Unitario En ingeniería se presentan con mucha frecuencia funciones que pueden esta encendidas o apagadas. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o un voltaje aplicado a un circuito se pueden apartar después de cierto tiempo. Por ello, conviene definir una función especial, llamada función escalón unitario. Función De Orden Exponencial Se dice que una función f es de orden exponencial c si existen constantes c, M > 0 y T > 0 tales que | f(t) | " Mect para todo t > T. Función Seccionalmente Continua Una función es continua por tramos en [ 0, ") si, en cualquier intervalo 0 " a " t " b hay, cuando mucho, una cantidad finita de puntos tk , k = 1, 2, .... , n (t k-1 < t k ) en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo abierto t k-1 < t < t k.

160

Fracciones Parciales Usted ya sabe como combinar doso más expresiones racionales a fin de obtener una expresión racional mediante adición o sustracción. En ocasiones es necesario invertir el proceso, es decir, representar una expresión racional simple como una suma de dos o más cocientes simples, denominado fracciones racionales. En cálculo se necesita hacer esto a fin de efectuar la operación de integración de algunas funciones racionales. Con frecuencia se emplean sistemas de ecuaciones para descomponer una expresión racional en fracciones parciales. H(x) = P(x) Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Se asumirá que se tiene una fracción propia, esto es, una fracción por la cual el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x). Si se tiene una función racional para la cual el grado del numerador no es menor que el grado del denominador entonces se tiene una fracción impropia, y en este caso se divide el numerador entre el denominador entonces se tiene una fracción impropia, y en este caso se divide el numerador entre el denominador hasta que se obtenga una fracción propia. Función Homogénea Cuando una función f tiene la propiedad F(tx,ty) = ta f(x,y) Para un numero real a, se dice que es una función homogénea de grado a M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 Es homogénea si los coeficientes M y n, a la vez, son funciones homogéneas del mismo grado. Función Analítica En Un Punto En cálculo infinitesimal se demuestra que funciones como ex, cos x y ln(x -1) se pueden representar por medio de una serie de potencias desarrolladas en series de Maclaurin o de Taylor. Se dice que una función f es analitica en el punto a si se puede representar por una serie de potencias en x - a, con el radio de convergencia positivo. La noción de analiticidad en un punto será de importancia.

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Intervalo De Convergencia Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia, que es el conjunto de los números para los cuales converge la serie. Método Para Encontrar El Factor Integrante. Por inspección de la ecuación diferencial suponemos una función que luego se prueba con el teorema. Si el factor es solo función de x. Y si el factor es solo función de y Definición de transformada de Laplace Sea f una función definida para t " 0. Entonces la integral !{f(t)} = ""0 e-st f(t)dt Se llama transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja. Método De Variación De parámetros Para resolver a2y + ay + ay = g(x), primero se halla la función complementaria yc = C1y1 + C2y2, y después se calcula el wronkiano W(y1(x),y2(x)). Se divide entre a2 para llevar la ecuación a su forma reducida y + Py + Qy = f(x) para hallar f(x). Se determina u1 y u2 integrando, respectivamente u1 = W1/W y u2 = W2/W, donde se define W1 y W2 de acuerdo con (7). Una solución particular es Yp = u1y1 +u2y2, la solución general de al ecuación es, por consiguiente, y = yc + yp. Método De Heaviside Esta observación va dirigida a quienes se les pidan descomposiciones en fracciones parciales a mano. Hay otra forma de determinar los coeficientes en esas descomposiciones, enel caso especial cuando !{f(t)} = P(s) / Q(s), donde P y Q son polinomios, y Q es un producto de factores distintos: F(s) = P(s) (s - r1)(s - r2) . . .(s - rn) Operador Diferencial En calculo, la diferenciación suele indicarse con la D mayúscula; esto es dy/Dx = Dy. El símbolo D se llama operador diferencial porque transforma una función diferenciable en otra función

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Punto Ordinario Se dice que un punto xo es punto ordinario dela ecuación diferencial si P(x) y Q(x) son analíticas en xo. Punto Singular Se dice que un punto que no es ordinario es un punto singular de la ecuación. Es singular real si tanto (x -xo)P(x) como (x - xo)Q(x) son analíticas en xo. Se dice que es un punto singular que no es regular es un punto singular irregular de la ecuación. Soluciones Explicitas E Implícitas Una solución en el que las variables dependientes se expresan tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explicita. Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implícitamente a al función . Solución General Si toda solución de una ecuación de orden n, F(x, y, y´,..., y(n) ) = 0, en un intervalo I, se puede obtener de una familia n-parametrica G(x, y, c1, c2,..., cn) = 0 con valores adecuados de los parámetros c1(i = 1, 2, ..., n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial. Solución Particular Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular; por ejemplo, podemos demostrar que, por sustitución directa, toda función de la familia monoparametrica y = cex también satisface la ecuación. Solución Singular En algunos casos, una ecuación diferencial tiene una solución que no se puede obtener particularizando alguno delos parámetros en una familia de soluciones. Esa solución se llama solución singular. Teorema De Existencia Y Unicidad Sea R una región rectangular del plano xy, definida por a " x " b, c " y " d, que contiene al punto (x0,y0). Si f(x,y) y "f/"y son continuas en F, entonces existe un intervalo I.

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Teorema De Traslación Si conocemos !{f(t)} = F(s), podemos hallar la trasformada de Laplace !{eatf(t)} sin mas que trasladar, o desplazar, F(s) a F(s - a). Este resultado se llama primer teorema de translación. Transformada Inversa Dada F(s), hallar la función f(t) que corresponde a esa transformada. Se dice que f (t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa: f(t) = ! -1{F(s)} Series De Potencias Una serie de potencias en x - a es una serie infinita de la forma no cn(x - a) n. También, se dice que esa serie es una serie de potencias centradas en a.

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RESUMEN DE FORMULAS

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