Lucrarea 2.pdf

Lucrarea 2 – Sistem de pozitionare pneutronic

Lucrarea 2 – Sistem de pozitionare pneutronic – varianta 1 1. Scopul lucrarii este studiul unui sistem simplu de pozitionare pneutronic.

2. Structura mecanica a sistemului Aceasta soluţie (figura 1) utilizează tehnica proporționala pentru controlul debitului admis către una dintre camerele unui cilindru cu dubla acțiune şi tijă unilaterala CP. Cea de-a două cameră a motorului pneumatic este conectată la o sursă de presiune constantă. Sistemul este condus cu ajutorul unui bloc electronic de control cu microcontroller. Aceasta variantă prezintă avantajul costului redus, functionarii simple dar şi flexibilitate din perspectiva blocului electronic utilizat. Sistemul prezentat nu este însă dotat şi cu echipamente care să permită conservarea poziţiei unităţii. Tpoz

CP

x

Cd

Cs

ML

Fr

Pa

P1 (2) EMP

BEC (µC)

ic

DPP

(3)

(1)

xc GPA

Figura 1 - Sistem de poziţionare liniar pneumatic, condus cu distribuitor pneumatic proporțional 2.1 Modelul matematic al sistemului Pe baza schemei de principiu din figura 3.1 a fost pus la punct un model matematic. La baza modelului matematic stau o serie de ecuații care descriu funcționarea sistemului de poziționare. A) Ecuația de mișcare a actuatorului pneumatic liniar, cu dublă acțiune și tijă unilaterală: (M L  M P )

d2y dy   F f  FL  P1 As  P2 Ad  P0 ( As  Ad 2 dt dt

(1)

unde: -

ML este sarcina de lucru; Mp reprezintă masa ansamblului mobil al cilindrului; y este deplasarea elementului mobil al cilindrului; Ff este forța de frecare din etanșările cilindrului; FL este forta utilă; P1 și P2 , presiunile absolute din cele două camere ale cilindrului, în cazul aceste aplicații, P2 = Pa (presiunea de alimentare); As și Ad sunt suprafețele active ale pistonului pentru camerele Cs, respectiv Cd; P0 este presiunea atmosferică; β – coeficient de frecare viscoasă.

Mărimile utilizate în ecuația de mișcare 1 sunt reprezentate și în figura 2, pentru sensul de mișcare descris de deplasarea y. 1

Lucrarea 2 – Sistem de pozitionare pneutronic

Mp y Ff

Cd

Cs

As Ad

P1

FL

ML

P2=Pa

Figura 2 – Schema de principiu a cilindrului B) Ecuația de deplasare a sertarului distribuitorului proporțional. Pentru a putea determina aceasta ecuație a fost necesar studiul echipamentului ales (distribuitor proporțional 3/2 VEF3121, produs de către firma SMC). Secțiunea echipamentului utilizat este prezentată în figura 3

Figura 3 – Secțiune prin distribuitor proporțional 3/2 Atunci când armătura fixă 5 este energizată, sub acțiunea armăturii mobile 7, sertarul 3 al distribuitorului se deplasează în bucșa cu găuri 4, montată presat în corpul 1. Deplasarea sertarului se face împotriva forței dezvoltată de arcul de revenire 12. Echipamentul este etanșat cu ajutorul capacelor 6 și 8, precum și prin garniturile 14, 15 și 16. Pe baza secțiunii din figura 3.3 au fost puse la punct schema echivalentă a acestui echipament (figura 4) și ecuația de deplasare a sertarului distribuitrului proporțional (2). xs

(+)

cs FE

ks Ff

Figura 3.4 – Schema echivalenta a sertarului distributorului FE  k feic 2

Ms

d x dx  cs  F f  k s   k feic dt 2 dt

2

(2)

Lucrarea 2 – Sistem de pozitionare pneutronic

unde : -

Ms este masa sertarului; x este deplasarea sertarului; Ff forta de frecare dintre sertarul distribuitorului și corpul acestuia; ks constanta arcului; kfe constanta electromagnetului proporțional; ic curentul de comandă; β este coeficientul de frecare viscoasă al aerului.

C) Ecuația debitului prin distribuitor (3) Pa P1  daca  0.528  A c C1 T , P1  m 1   1/k (k 1)/k     P P Pa P A C 1  a  1   a  , daca  0.528 c 2      P P P T 1 1 1      (3) Această expresie a fost stabilită în ipotezele în care evoluția aerului prin secțiunea de curgere Ac este adiabată, iar aerul este considerat gaz perfect. În relatia (3) T este temperatura mediului ambient, C1 respectiv C2 sunt constante ale căror expresii sunt: k 1

C1 

k  2  k 1   ; R  k 1 

k 1

C2 

2  k  2  k k 1   R  k  1  k  1 

(4)

2 2 Cunoscând coeficientul adiabat k  1,4 [] si constanta gazului ideal R  287,04 [m / s K ] se obțin

pentru cele doua constante valorile C1  0,04042 [ K s / m] și respectiv C2  0,156174 [ K s / m] . D) Ecuația secțiunii de curgere prin distribuitor Distribuitorul controlează secțiunea de curgere Ac prin intermediul sertarului 1 care se deplasează sub acțiunea electromagnetului proporțional în bucșa cu găuri 2, montată presat în corpul 3. Găurile din bucșă sunt în număr de n și sunt de raza R. Pentru echipamentul ales, secțiunea de curgere se formează între bucșa cu gauri 2 și sertarul cilindrul 1. (1) 1 4 3 x

A

M

2R

Av

R

α O

x

B

(2)

Figura 5 – Detaliu al secțiunii de curgere Secțiunea geometrică de curgere Aυ are expresia:

3

Lucrarea 2 – Sistem de pozitionare pneutronic

   x    R  x  x2 R  x  Ac  nh 2 R 2 arctan     2R  x 

(5)

E) Ecuația diferențială a presiunii în camera Cs a cilindrului Evolutia presiunii P1 în camera Cs a cilindrului poate fi descrisă de ecuația generală a presiunii: dP1 kRT nP dV  m 1  1  1 dt V1 V1 dt

unde:

V1  V01  A1 ( y0  y) (11) unde V01 reprezintă volumul camerei Cs în cazul în care y = 0. Se poate scrie astfel: dP1 kRT nP dy  m  A1 dt V01  A1 ( y0  y ) V01  A1 ( y0  y ) dt

(6) În consecință, modelul matematic este format din ecuațiile (1), (2), (3), (4) și (5). Acest model conține și doua ecuații diferențiale neliniare de ordinul 2. Făcând substituțiile: dx dy  vs v dt și dt (6) ordinul ecuațiilor diferențiale (1) și (2) se reduce, iar modelul va conține numai ecuații diferențiale de ordinul 1. în aceste condiții modelul devine:

1  dv   dt M  M ( P1 As  P2 Ad  P0 A0    v  F f  FL ) L P  dy  v  dt  dvs 1  (k fcic  c s v s  F f  2k s c s )  dt M s   dx  v s  dt  dP1 kRT nP dy  m  A1  V01  A1 ( y0  y ) dt  dt V01  A1 ( y0  y )

(8)

Intregul sistem a fost modelat prin intermediul aplicației Simulink (figura 6). Modelul a fost testat in bucla deschisă, pentru a confirma proporționalitatea între semnalul de intrare ic și cel de ieșire y. Semnalul de comandă aferent acestui răspuns este prezentat în figura 7. Răspunsul sistemului la o variație de tip treaptă a curentul de comandă ic, în bucla deschisă este prezentat în figura 8.

4

Lucrarea 2 – Sistem de pozitionare pneutronic

Figura 6 – Model Simulink Ic [A] 1 0.9

Semnal comanda

0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1

2

3

4

5

t [s]

Figura 7 – Semnal de comandă ic de tip treaptă y [mm] 150 130 110 90 70 50 30 10 1

2

3

4

5

t [s]

Figura 8 – Răspuns sistem y Sistemul a fost testat de asemenea și pentru un semnal de intrare de tip rampă (figurile 9 și 10). Ic [A] 1

Semnal comanda

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1

2

3

4

5

t [s]

Figura 9 – Semnal de comandă ic de tip rampă 5

Lucrarea 2 – Sistem de pozitionare pneutronic

y [mm] 150 130 110 90 70 50 30 10 1

2

3

4

5

t [s]

Figura 10 – Răspuns sistem 2.2 Regulatoare utilizate pentru controlul poziției sistemului de poziționare Rezultatele obținute anterior au urmărit determinarea variației în timp a parametrilor sistemului la aplicarea unui semnal de intrare (comandă în curent ic) de tip treaptă sau rampă. în aceste condiții se doreste implementarea unor algoritmi de reglare a poziției care să permită controlul poziției y cât și al vitezei v. Pentru a putea compara rezultatele obținute în urma simulării vor fi folosiți indicatorii de performanță consacrați pentru regulatoarele automate. A) Regulator de tip P Simularea sistemului a fost realizată și prin introducerea în buclă a unui regulator. Prima variantă a acestei simulări propune introducerea în bucla a unui regulator de tip proporțional. Formula utilizată pentru implementarea regulatorului este: u c (t )  K p   (t ) (9) Structura regulatorului realizat este prezentată în figura 3.11. Blocurile utilizate sunt cele pentru regulator P, un bloc pentru simularea sistemului de poziționare (sistemul de ecuații 3.8) cât și un bloc pentru adaptarea semnalului în tensiune primit de la traductorul de poziție. Eroarea este calculată conform relației:  (t )  u p (t )  u poz (t ) (10) up(t)

uc(t)

ɛ(t)

y(t)

upoz(t)

Figura 11 – Model Simulink cu regulator Rezultatele simulării pentru valori diferite ale termenului Kp sunt prezentate în figura 12. Au fost realizate 4 încercări, pentru valorile 1, 2, 5 și 10 ale termenului Kp , pentru o țintă de 100 mm, cu pornire din poziția de referință a unității (0 mm). Se poate observa ca sistemul se stabilizează dar cu eroare foarte mare. În aceste condiții se impune completarea regulatorului cu o componenta integratoare. în tabelul 1. sunt prezentați indicatorii de performanță obținuti în urma simulării. 6

Lucrarea 2 – Sistem de pozitionare pneutronic

Kp=1 0 0

Criteriu Eroare (ɛn) [mm] Timp de creștere [s] Timp de stabilizare [s] Suprareglaj pozițiv [mm] Suprareglaj negativ [mm] Valoare maximă y [mm]

Tabel 1. Kp=2 80 0.2603 4.2100 0

Kp=5 40 0.0688 1.1425 0

Kp=10 0.0110 4.4336 100.9004

0 0.0428

38.76 0.1602

83.45 0.4900

0 0

y[mm] 180 160 Kp=10

140

ɛ4

120

Tinta

100 80

ɛ3

Kp=5

60 40 20

ɛ2

ɛ1

Kp=2 Kp=1 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4.5

4

t[s]

Figura 12 – Rezultatele simulării B) Regulator de tip PI In figura 13 sunt prezentate răspunsurile sistemului la introducerea în bucla unui regulator de tip PI, cu valori diferite ale termenilor Kp și Ki. Se observa o stabilizare rapidă a sistemului, cu eroare mică de poziționare. Poziția țintă a sistemului este 100 mm cu pornire din poziția de referință de 0 mm. Indicatorii de performanță pentru acest tip de regulator sunt prezentați în tabelul 2. Se observa ca pentru valori mici ale termenlui Kp și valori mari ale termenului Ki se obțin cele mai bune rezultate. Ecuația utilizată pentru construcția regulatorului este: 1 u (t )  K p   (t )    (t )dt Ti (11) y[mm] 180 160

Kp=1, Kd=10

Tinta

Kp=1, Kd=5

140 120 100 80 60

Kp=1, Kd=1

40 20

Kp=1, Kd=0.1 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Figura 13 - Rezultatul simulării pentru regulator de tip PI Tabel 2 7

t[s]

Lucrarea 2 – Sistem de pozitionare pneutronic

Kp=1, Ki=0.1 0.01 0 0 0 0 0

Criteriu Eroare [mm] Timp de crestere [s] Timp de stabilizare [s] Suprareglaj pozițiv [mm] Suprareglaj negativ [mm] Valoare maximă y [mm]

Kp=1, Ki=1 0.01 0.9291 2.9639 0 0 0.1597

Kp=1, Ki=5 0.01 0.3538 2.5134 13.5172 0 0.2795

Kp=1, Ki=10 0.01 0.1992 2.5146 20.1310 0 0.3030

C) Regulator de tip PID În vederea eliminării suprareglajului inițial al sistemului, a fost introdusă și componenta derivativă a regulatorului. Rezultatele simulării sunt prezentate în figura 14. Introducerea acestei componente nu mai permite stabilizarea sistemului. Ecuația utilizată este: 1 u (t )  K p   (t )    (t )dt Ti (12) y[mm] Kp=10, Kd=1, Ki=0.1

180 160

Kp=10, Kd=10, Kd=10 Kp=10, Kd=5, Kd=5

140

Tinta

120 100 80 60

Kp=10, Kd=1, Kd=1

40 20 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

t[s]

Figura 14 - Rezultatul simulării pentru regulator de tip PI Criteriu Eroare [mm] Timp de crestere [s] Timp de stabilizare [s] Suprareglaj pozițiv [mm] Suprareglaj negativ [mm] Valoare maximă y [mm]

Kp=1, Kd=10, Ki=0.1 0.0055 2.8837 64.2634

Tabel 3. Kp=1, Kd=10, Kp=1, Kd=10, Ki=1 Ki=5 Sistemul nu se stabilizeaza 0.0049 0.0049 2.9136 2.9000 22.8504 21.0854

Kp=1, Kd=10, Ki=10 0.0050 2.8838 19.2529

0

0

0

0

0.3197

0.5000

0.5000

0.5000

D) Regulator de tip PI-Fuzzy În vederea îmbunătățirii stabilității sistemului a fost introdusă și o componenta de tip regulator Fuzzy. Aceasta este însumată efectului PI al regulatorului prezentat anterior. În figura 15 este prezentată schema de principiu a regulatorului utilizat.

8

Lucrarea 2 – Sistem de pozitionare pneutronic

PI Referinta u(t)

+

ɛ(t)

+

Proces

+

-

Semnal comandat y(t)

Fuzzy

Figura 15 – Structura regulatorului PI-Fuzzy utilizat In figura 16 este prezentat sistemul simulat în mediul Simulink.

Figura 16 – Model Simulink În figura 17 este prezentat rezultatul simulării pentru primul set de reguli de apartenență, asa cum sunt prezentate în figurile 18, 19 și 20. Acestea sunt de profil triunghiular, trapezoidal și respectiv curba "S". Domeniile au fost definite pentru "Eroare mare", "Eroare medie" și respectiv "Eroare admisa" . Rezultatele obținute sunt prezentate și în tabelul 4. Tabel 4 Criteriu Triunghi Trapez "S" Eroare Timp de crestere [s] 0.3074 0.2918 0.3110 Timp de stabilizare [s] 1.8180 2.2959 1.7682 Suprareglaj pozițiv [mm] 3.6572 7.8890 2.6124 Suprareglaj negativ [mm] 0 0 0 Valoare maximă y [mm] 0.2590 0.2696 0.2564 y[mm] 160 140 Triunghi

120

Tinta

100 Triunghi

Trapez

80

Trapez

60 Curba S

40

Curba S

20 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

t[s]

Figura 17 – Rezultate comparative sistem de poziționare de tip Fuzzy-PI, varianta 1 9

Lucrarea 2 – Sistem de pozitionare pneutronic

Figura 18 – Profil triunghiular

Figura 19 – Profil trapezoidal

Figura 20 – Curba S In urma acestei simulări se poate observa o imbunatatie a timpului de răspuns în cazul regulatorului de tip PI-Fuzzy, prin comparație cu cel de tip PI. Pentru a imbunatăți timpul de răspuns al sistemului s-a incercat adăugarea sau indepartarea unor reguli de apartenență (figurile 21, 22 și 23). după cum se poate observa în figura 24, respectiv tabelul 5., efectul acestei modificări este neglijabil.

Figura 21 – Profil triunghiular

Figura 22 – Profil trapezoidal

10

Lucrarea 2 – Sistem de pozitionare pneutronic

Figura 23 – Curba S y[mm] 160 140 120

Triunghi

Tinta

100 Triunghi

Trapez

80 60

Trapez Curba S

40

Curba S

20 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

t[s]

Figura 24 – Rezultate comparative sistem de poziționare de tip Fuzzy-PI, varianta 2 Tabel 5. Criteriu Triunghi Eroare Timp de crestere [s] 0.2806 Timp de stabilizare [s] 1.3842 Suprareglaj pozițiv [mm] 1.2292 Suprareglaj negativ [mm] 0 Valoare maximă y [mm] 0.2529

11

Trapez

"S"

0.2778 1.8654 2.5027 0 0.2561

0.2732 1.3758 1.2807 0 0.2530