Luan Van

Môc Lôc Trang Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lêi nãi ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Ch−¬ng I. TËp ®ãng suy réng vµ c¸c tÝnh chÊt

3

1.1. Kh«ng gian t«p« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. PhÇn trong, bao ®ãng, tËp dÉn xuÊt . . . . . . . . . . . . .

4

1.3. ¸nh x¹ liªn tôc, ¸nh x¹ ®ãng (më)

. . . . . . . . . . . . .

6

1.4. L−íi, kh«ng gian gian ®Òu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5. Ti -kh«ng gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Ch−¬ng II. TËp më suy réng vµ T 21 - kh«ng gian

19

2.1. TËp g-më . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2. T 12 - kh«ng gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3. ¶nh cña g-®ãng (më) qua ¸nh x¹ liªn tôc . . . . . . . . . .

26

2.2. Kh«ng gian ®èi xøng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

KÕt luËn

31

Tµi liÖu tham kh¶o

32

1

Lêi nãi ®Çu

Lêi c¶m ¬n

2

ch−¬ng 1

tËp ®ãng suy réng vµ c¸c tÝnh chÊt

§1. kiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 1.1.1

kh«ng gian t«p« §Þnh nghÜa . Cho mét tËp hîp X6= ∅. Hä τ c¸c tËp con nµo ®ã cña

X ®−îc gäi lµ mét t«p« trªn X nÕu i) ∅ ∈ τ , X ∈ τ ; ii) {Gα }α∈I ⊆ τ suy ra

S

Gα ∈ τ ;

α

iii) Víi mäi G1 ∈ τ , G2 ∈ τ suy ra G1 ∩G2 ∈ τ . TËp hîp X cïng víi kh«ng gian t«p« trªn X ®−îc gäi lµ mét kh«ng gian t«p«. KÝ hiÖu (X, τ ).

1.1.2

§Þnh nghÜa. Cho (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p«. TËp G⊆X gäi lµ

tËp më trong (X, τ ) nÕu G ∈ τ .

1.1.3

NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa ta cã nhËn xÐt :

i) TËp hîp rçng vµ toµn kh«ng gian lµ tËp më; ii) Giao cña mét sè h÷u h¹n c¸c tËp më lµ mét tËp më; iii) Hîp cña mét hä tïy ý c¸c tËp më lµ mét tËp më.

1.1.4

§Þnh nghÜa ). Cho A ⊆X vµ V ⊆X. V ®−îc gäi lµ l©n cËn cña tËp

hîp A nÕu tån t¹i G ∈ τ sao cho A ⊆G ⊆V . NÕu A={x} th× V ®−îc gäi lµ l©n cËn cña x. NÕu V lµ tËp më th× V lµ l©n cËn më cña A. 3

1.1.5

§Þnh lý ([1]). G lµ mét tËp hîp më nÕu vµ chØ nÕu G lµ l©n cËn cña

mçi ®iÓm thuéc G.

1.1.6

NhËn xÐt. i) Hîp c¸c l©n cËn cña x còng lµ mét l©n cËn cña x;

ii) Giao h÷u h¹n c¸c l©n cËn cña x còng lµ mét l©n cËn cña x.

1.1.7

§Þnh nghÜa. F ⊆X ®−îc gäi lµ tËp ®ãng nÕu CF ∈ τ .

1.1.8

NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa ta cã nhËn xÐt :

i) F ®ãng nÕu vµ chØ nÕu CF ∈ τ më; ii) Giao cña hä bÊt kú c¸c tËp ®ãng lµ mét tËp ®ãng; iii) Hîp h÷u h¹n c¸c tËp ®ãng lµ mét tËp ®ãng.

1.2 1.2.1

phÇn trong, bao ®ãng, tËp dÉn xuÊt §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian t«p« (X, τ ), x ∈X vµ A ⊆X. x ®−îc

gäi ®iÓm trong cña A nÕu tån t¹i G ∈ τ sao cho x ∈G ⊆A (tøc x nhËn A lµm l©n cËn).

1.2.2

§Þnh nghÜa. PhÇn trong cña tËp hîp A lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm

trong cña A. Ký hiÖu intA hoÆc A0 .

1.2.3

§Þnh lý. intA lµ tËp më lín nhÊt chøa trong A.

1.2.4

hÖ qu¶. i) intA =

S

{G : G ⊆A};

ii) G më nÕu vµ chØ nÕu G = intG.

4

§Þnh lý. i) int∅ = ∅;

1.2.5

ii) Víi mäi A, B ⊆X, ta cã a) int(intA) = intA; b) NÕu A ⊆ B suy ra intA ⊆ intB; c) int(A ∩ B) = intA ∩ intB; d) int(A ∪ B) ⊇ intA ∪ intB.

1.2.6

§Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian t«p« vµ A ⊆ X. Giao cña hä

c¸c tËp ®ãng chøa A gäi lµ bao ®ãng cña tËp hîp A. KÝ hiÖu: [A] hoÆc A hoÆc c(A).

1.2.7

NhËn xÐt. i) c(A) lµ tËp ®ãng bÐ nhÊt chøa A;

ii) A ®ãng nÕu vµ chØ nÕu c(A) = A.

1.2.8 i)

§Þnh lý. Cho kh«ng gian t«p« (X, τ ), A ⊆ X vµ B ⊆ X

c(∅) = ∅, c(X) = X,

ii) c(c(A)) = c(A); iii) A ⊆ B suy ra c(A) ⊆ c(B); iv) c(A ∪ B) = c(A) ∪ c(B); v) c(A ∩ B) ⊆ c(A) ∩ c(B).

1.2.9

§Þnh nghÜa. Cho X lµ kh«ng gian t«p« vµ tËp A ⊆ X. §iÓm x gäi

lµ ®iÓm tô cña tËp hîp A nÕu x ∈ c(A − {x}). TËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm tô cña A gäi lµ tËp dÉn xuÊt cña tËp A, kÝ hiÖu Ad . TËp hîp A − Ad gäi lµ tËp hîp c¸c ®iÓm c« lËp cña tËp hîp A.

1.2.10

§Þnh lý. Cho X lµ kh«ng t«p« A ⊆ X. Khi ®ã

c(A) = A ∪ Ad . 5

1.3 1.3.1

¸nh x¹ liªn tôc, ¸nh x¹ ®ãng (më) §Þnh nghÜa. Cho hai kh«ng gian t«p« (X, τx ) vµ (Y , τy ) vµ ¸nh x¹

f : X → Y. i) f ®−îc gäi lµ liªn tôc t¹i x0 ∈X nÕu víi mçi l©n cËn W cña f (x0 ) (trong Y ) lu«n tån t¹i l©n cËn V cña x0 (trong X) sao cho f (V ) ⊆ W ; ii) f lµ liªn tôc trªn X nÕu f liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x thuéc X.

1.3.2

§Þnh lý. Cho X, Y lµ hai kh«ng gian t«p« vµ ¸nh x¹ f : X → Y .

Khi ®ã, f liªn tôc t¹i ®iÓm x0 ∈X nÕu vµ chØ nÕu víi mçi l©n cËn W cña f (x0 ) (trong Y ) th× f −1 (W ) lµ l©n cËn cña x0 (trong X). 1.3.3

§Þnh lý. Gi¶ sö (X, τx ) vµ (Y , τy ) lµ hai kh«ng gian t«p« vµ f lµ

¸nh x¹ tõ X vµo Y . C¸c mÖnh ®Ò sau ®©y lµ t−¬ng ®−¬ng a) ¸nh x¹ f liªn tôc trªn X; b) NghÞch ¶nh cña mçi tËp më lµ mét tËp më; c) NghÞch ¶nh cña mçi tËp ®ãng lµ mét tËp ®ãng; d) Víi mçi A ⊆ X suy ra f (c(A)) ⊆ c(f (A)); e) Víi mçi B ⊆ Y suy ra f −1 (B 0 ) ⊆ (f −1 (B))0 .

1.3.4

§Þnh nghÜa. Cho hai kh«ng gian t«p« X vµ Y , ¸nh x¹ f : X → Y

®−îc goi lµ ¸nh x¹ ®ãng (më) nÕu mçi tËp A ®ãng (më) trong X ®Òu cã f (A) lµ tËp ®ãng (më) trong Y .

1.4 1.4.1

l−íi, kh«ng gian ®Òu §Þnh nghÜa. Cho tËp D vµ quan hÖ ≥. CÆp (D, ≥) ®−îc gäi lµ

tËp cã h−íng nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau : i) NÕu m, n, p∈ D vµ m ≥ n, n ≥ p th× m ≥ p; 6

ii) m ≥ m víi mäi m ∈ D; iii) m, n ∈ D th× tån t¹i p ∈ D sao cho p ≥ m vµ p ≥ n.

1.4.2

§Þnh nghÜa. i) Cho tËp hîp X vµ tËp cã h−íng (D, ≥). Hµm

S : D → X ®−îc gäi lµ l−íi trong X vµ kÝ hiÖu lµ {Sα }α∈D hoÆc S. ii) Cho X lµ kh«ng gian t«p«. L−íi {Sα }α∈D trong X ®−îc gäi lµ héi tô vÒ ®iÓm x ∈ X nÕu víi mäi l©n cËn U cña ®iÓm x, tån t¹i α0 ∈ D sao cho Sα ∈ U víi mäi α ≥ α0 . Lóc ®ã, ta kÝ hiÖu limSα = x hoÆc limS = x. 1.4.3

§Þnh nghÜa. Cho X lµ tËp hîp vµ A ⊆ X. Gäi U , V lµ c¸c tËp con

cña X × X. Ta ®Þnh nghÜa U −1 = {(x, y) ∈ X × X : (y, x) ∈ U }; U ◦V = {(x, z) ∈ X ×X: tån t¹i y ∈ X tháa (x, y) ∈ V vµ (y, z) ∈ U }; U [A] = {y ∈ X : tån t¹i x ∈ A ®Ó (x, y) ∈ U }; TËp hîp ∆X = {(x, x) : x ∈ X} gäi lµ ®−êng chÐo; NÕu U = U −1 th× U ®−îc gäi lµ tËp ®èi xøng.

1.4.4

§Þnh nghÜa. Kh«ng gian ®Òu lµ mét cÆp (X, U) trong ®ã X lµ mét

tËp hîp, U lµ mét hä nh÷ng tËp con cña X × X tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn i) NÕu U ∈ U th× U ∈ ∆X; ii) NÕu U ∈ U th× U −1 còng thuéc U; iii) NÕu U ∈ U th× tån t¹i V ∈ U sao cho V ◦ V ⊆ U ; iv) NÕu U , V ∈ U th× U ∩ V ∈ U; v) NÕu U ∈ U vµ U ⊆ V ⊆ X × X th× V ∈ U.

1.4.5

§Þnh nghÜa. Cho (X, U) lµ kh«ng gian ®Òu. L−íi {Sα }α∈D trong

kh«ng gian X ®−îc gäi lµ l−íi cauchy nÕu mçi U ∈ U ®Òu tån t¹i γ ∈ D sao cho (Sα , Sγ ) ∈ U víi mäi α ≥ γ vµ β ≥ γ. 7

1.4.6

§Þnh nghÜa. Kh«ng gian ®Òu (X, U) gäi lµ ®Çy ®ñ nÕu mçi l−íi

cauchy trong X ®Òu héi tô vÒ mét ®iÓm nµo ®ã.

1.5 1.5.1

Ti-kh«ng gian §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ T0 -kh«ng gian nÕu víi

mçi cÆp ®iÓm x, y kh¸c nhau cña kh«ng gian, lu«n tån t¹i l©n cËn cña mét trong hai ®iÓm kh«ng chøa ®iÓm kia.

1.5.2

NhËn xÐt. X lµ T0 -kh«ng gian nÕu vµ chØ nÕu víi mçi x, y ∈ X,

x 6=y ta cã x 6∈ c(y) hoÆc y 6∈ c(x).

1.5.3

§Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ T1 -kh«ng gian nÕu víi

mçi cÆp x, y kh¸c nhau cña kh«ng gian, lu«n tån t¹i mét l©n cËn cña x kh«ng chøa y vµ mét l©n cËn cña y kh«ng chøa x.

1.5.4

NhËn xÐt. X lµ T1 -kh«ng gian nÕu vµ chØ nÕu víi mçi x, y ∈ X,

x 6= y ta cã x 6∈ c(y) vµ y 6∈ c(x).

1.5.5

§Þnh lý. X lµ T1 -kh«ng gian nÕu vµ chØ nÕu mçi tËp con gåm mét

phÇn tö cña X ®Òu lµ tËp ®ãng.

1.5.6

NhËn xÐt. NÕu X lµ T1 -kh«ng gian th× X lµ T0 -kh«ng gian. §iÒu

ng−îc l¹i nãi chung kh«ng ®óng.

1.5.7

§Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X lµ kh«ng gian chÝnh qui nÕu víi

mçi ®iÓm x ∈ X vµ víi mçi tËp ®ãng F kh«ng chøa x lu«n tån t¹i l©n cËn U cña x vµ l©n cËn V cña F sao cho U ∩ V = ∅.

8

1.5.8

§Þnh lý. X lµ kh«ng gian chÝnh qui nÕu vµ chØ nÕu víi mçi x ∈ X,

víi mçi tËp më V 3 x, tån t¹i tËp më U sao cho x ∈ U ⊆ c(U ) ⊆ V .

1.5.9

§Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X lµ kh«ng gian chuÈn t¾c nÕu víi

hai tËp ®ãng bÊt kú A, B rêi nhau trong X lu«n tån t¹i tËp më U chøa A vµ tËp më V chøa B sao cho U ∩ V = ∅.

1.5.10

§Þnh lý. X lµ kh«ng gian chuÈn t¾c nÕu vµ chØ nÕu víi mçi tËp

®ãng A, víi mçi tËp më G th× lu«n tån t¹i tËp më U sao cho A ⊆ U ⊆ c(U ) ⊆ G.

1.6

phñ më (®ãng), kh«ng gian lindelof, kh«ng gian compact

1.6.1

§Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian t«p« X. Hä U c¸c tËp nµo ®ã gäi lµ

c¸i phñ cña tËp B nÕu hîp tÊt c¶ c¸c tËp thuéc U chøa B. NÕu tÊt c¶ c¸c tËp hîp thuéc U lµ tËp më (®ãng) th× U gäi lµ mét phñ më (®ãng) cña tËp hîp B.

1.6.2

§Þnh nghÜa. Mét kh«ng gian t«p« cã tÝnh chÊt tõ mçi phñ më ®Òu

rót ra ®−îc phñ con ®Õm ®−îc ®−îc gäi lµ kh«ng gian lindelof.

1.6.3

§Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®−îc gäi lµ kh«ng gian compact

nÕu mçi phñ më cña X ®Òu tån t¹i phñ con h÷u h¹n.

1.6.4

§Þnh nghÜa. (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p«, A ⊆ X vµ A 6= ∅.

A ®−îc gäi lµ tËp compact trong X nÕu A víi t«p« c¶m sinh trªn A bëi t«p« trªn X lµ kh«ng gian compact. 9

1.6.5

§Þnh lý. TËp hîp con A cña kh«ng gian t«p« X lµ compact khi vµ

chØ khi mçi phñ më cña A ®Òu cã phñ con h÷u h¹n.

1.6.6

§Þnh lý. Mçi tËp con ®ãng K cña kh«ng gian compact X ®Òu lµ

tËp ®ãng.

1.6.7

§Þnh lý. NÕu A lµ tËp compact trong X chÝnh qui th× víi mçi tËp

më G chøa A, lu«n tån t¹i tËp më U sao cho A ⊆ U ⊆ c(U ) ⊆ G.

1.6.8

§Þnh lý. Cho hai kh«ng gian X, Y vµ mét ¸nh x¹ liªn tôc f tõ X

vµo Y. NÕu K lµ compact trong X th× f(K) lµ compact trong Y.

1.6.9

§Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X lµ kh«ng gian compact ®Þa ph−¬ng

nÕu mçi x ∈ X ®Òu tån t¹i mét l©n cËn ®ãng vµ compact.

1.6.10

nhËn xÐt. NÕu X lµ kh«ng gian compact th× X lµ kh«ng gian

compact ®Þa ph−¬ng.

10

§2. §Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt cña tËp g-®ãng 2.1 2.1.1

§Þnh nghÜa tËp g-®ãng §Þnh nghÜa ([3]). Cho X lµ kh«ng gian t«p«. Mét tËp con A cña

kh«ng gian X gäi lµ tËp ®ãng suy réng (tËp g-®ãng) nÕu víi mçi tËp më O cña X mµ A ⊆ O th× c(A) ⊆ O. 2.1.2

2.2 2.2.1

NhËn xÐt. Mçi tËp ®ãng cña kh«ng gian t«p« lµ tËp g-®ãng.

c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n §Þnh lý ([3]). Cho X lµ kh«ng gian t«p« vµ A ⊆ X. Khi ®ã, tËp A

lµ g-®ãng nÕu c(A) − A lµ kh«ng chøa tËp ®ãng kh¸c rçng.

Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn. Cho F lµ tËp ®ãng trong X vµ F ⊆ c(A) − A, ta cÇn chøng minh F = ∅. ThËt vËy, v× F ®ãng nªn CF më. Theo gi¶ thiÕt, do A lµ g-®ãng nªn nÕu A ⊆ CF th× c(A) ⊆ CF . Tõ ®ã suy ra F ⊆ Cc(A) (1). MÆt kh¸c, v× F ⊆ c(A) − A nªn F ⊆ c(A) (2). Tõ (1) vµ (2) suy ra F ⊆ c(A) ∩ Cc(A) = ∅. NghÜa lµ F = ∅. §iÒu kiÖn ®ñ. Gi¶ sö A ⊆ O víi O lµ tËp më trong X vµ c(A) − A kh«ng chøa tËp ®ãng kh¸c rçng, ta ph¶i chøng minh c(A) ⊆ O. ThËt vËy, gi¶ sö c(A) * O. Khi ®ã, c(A) ∩ CO ⊆ c(A) − A vµ c(A) ∩ CO lµ tËp ®ãng kh¸c rçng. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt lµ c(A) − A kh«ng chøa tËp ®ãng kh¸c rçng. Suy ra c(A) ⊆ O. VËy, A lµ g-®ãng. 2.2.2

HÖ qu¶ ([3]). Cho X lµ kh«ng gian t«p« vµ A lµ g-®ãng trong X.

Khi ®ã, A lµ tËp ®ãng nÕu vµ chØ nÕu c(A) - A lµ tËp ®ãng. Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn. Víi A lµ tËp ®ãng, khi ®ã v× c(A) = A suy ra c(A) − A = ∅ - ®ãng. 11

§iÒu kiÖn ®ñ. Víi c(A) − A lµ tËp ®ãng. Khi ®ã, v× A lµ g-®ãng vµ c(A) − A ⊆ c(A) − A nªn theo ®Þnh lÝ 1.2.3, c(A) − A = ∅ hay c(A) = A, suy ra A lµ tËp ®ãng.

2.2.3

HÖ qu¶. TËp con A cña kh«ng gian t«p« X lµ tËp g-®ãng nÕu vµ

chØ nÕu A = F − N , trong ®ã F lµ tËp ®ãng vµ N kh«ng chøa tËp ®ãng kh¸c rçng nµo. Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö A lµ tËp g-®ãng trong kh«ng gian t«p« X, khi ®ã theo ®Þnh lÝ 1.2.3 th× c(A) − A kh«ng chøa tËp ®ãng kh¸c rçng nµo. §Æt F = c(A), N = c(A) − A. Ta cã A = F − N , trong ®ã F lµ tËp ®ãng vµ N kh«ng chøa tËp ®ãng kh¸c rçng nµo c¶. §iÒu kiÖn ®ñ. Gi¶ sö A = F − N trong ®ã F lµ tËp ®ãng vµ N kh«ng chøa tËp ®ãng kh¸c rçng nµo. Khi ®ã, víi O lµ tËp më trong X sao cho A ⊆ O, ta cã (F − N ) ∩ (X − O) = ∅. Suy ra F ∩ (X − N ) ∩ (X − O) = ∅. §iÒu nµy kÐo theo F ∩(X −O) ⊆ N . MÆt kh¸c, v× (X −O)∩F lµ tËp ®ãng vµ N kh«ng chøa tËp ®ãng kh¸c rçng nµo nªn suy ra (X − O) ∩ F = ∅. V× thÕ c(A) ⊆ F ⊆ O. VËy, A lµ g-®ãng.

2.2.4

HÖ qu¶. Mçi g-®ãng trong T1 -kh«ng gian lµ tËp ®ãng.

Chøng minh. Víi A lµ tËp g-®ãng trong T1 -kh«ng gian X, ta cÇn chøng minh A lµ tËp ®ãng. ThËt vËy, gi¶ sö ng−îc l¹i A kh«ng lµ tËp ®ãng, nghÜa lµ c(A) − A 6= ∅. Khi ®ã, tån t¹i x ∈ X sao cho {x} ⊆ c(A) − A. V× tËp mét ®iÓm trong T1 -kh«ng gian lµ tËp ®ãng nªn c(A) − A chøa tËp ®ãng kh¸c rçng. §iÒu nµy m©u thuÉn víi ®Þnh lý1.2.3. VËy, A lµ tËp ®ãng.

2.2.5

§Þnh lý ([3]). Cho X lµ kh«ng gian t«p«, A vµ B lµ c¸c g-®ãng

trong X. Khi ®ã, A ∪ B lµ g-®ãng.

12

Chøng minh. Gi¶ sö A ∪ B ⊆ O víi O lµ tËp më trong X, ta cÇn chøng minh c(A ∪ B) ⊆ O. ThËt vËy, v× A vµ B lµ g-®ãng trong X mµ A ⊆ O vµ B ⊆ O (do A ∪ B ⊆ O) ta ®−îc c(A) ⊆ O vµ c(B) ⊆ O. Suy ra c(A) ∪ c(B) = c(A ∪ B) ⊆ O. VËy, A ∪ B lµ g-®ãng.

2.2.6

VÝ dô. Giao cña hai g-®ãng th−êng kh«ng lµ g-®ãng. ThËt vËy, cho

X = {a, b, c} vµ τ = {∅, {a}, X}. NÕu A = {a, b} vµ B = {a, c} khi ®ã A, B lµ c¸c g-®ãng nh−ng A ∩ B kh«ng lµ g-®ãng. D−íi ®©y lµ phÇn chøng minh cho c¸c kÕt qu¶ võa nªu. A{a, b} lµ g-®ãng. ThËt vËy, chän tËp O = X- më mµ A ⊆ X, khi ®ã c(A) ⊆ c(X) = X suy ra A lµ g-®ãng. T−¬ng tù B={a, c} lµ g-®ãng. B©y giê, xÐt A ∩ B = {a}. Chän O = {a}-më, ta cã {a} ⊆ {a} = O. Khi ®ã, c(A ∩ B) = c({a}) * {a}. VËy, A ∩ B kh«ng lµ g-®ãng. VËy, A, B lµ c¸c g-®ãng nh−ng A ∩ B kh«ng lµ g-®ãng.

2.2.7

§Þnh lý. Cho X lµ kh«ng gian t«p« vµ A ∈ X. Khi ®ã, A lµ tËp

g-®ãng nÕu vµ chØ nÕu víi mçi x ⊆ c(A) th× c({x}) ∩ A 6= ∅. Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö A lµ tËp g-®ãng vµ x ∈ c(A) nh−ng c({x}) ∩ A = ∅. Khi ®ã, A ⊆ X − c({x}). V× ({x}) lµ tËp ®ãng nªn X − c({x}) lµ tËp më. Do A lµ g-®ãng nªn c(A) ⊆ X − c({x}). Suy ra c({x}) ∩ c(A) = ∅. Do ®ã {x} ∩ c(A) = ∅. §iÒu nµy m©u thuÉn víi x ∈ c(A). VËy víi mçi x ∈ c(A), c({x}) ∩ c(A) 6= ∅. §iÒu kiÖn ®ñ. Víi mçi x ∈ c(A), c({x}) ∩ A 6= ∅. Ta cÇn chøng minh A lµ g-®ãng. ThËt vËy, gi¶ sö F ⊆ c(A) − A víi F lµ tËp ®ãng kh¸c rçng. Khi ®ã, tån t¹i ®iÓm x ∈ F ⊆ c(A) − A. Tõ ®ã ta cã c({x}) ⊆ F ⊆ c(A) − A. Suy ra ∅ 6= c({x}) ∩ A ⊆ F ∩ A ⊆ (c(A) − A) ∩ A = ∅. V« lý. Chøng tá c(A) − A kh«ng chøa tËp ®ãng kh¸c rçng nµo c¶, theo ®Þnh lý 1.2.3, A lµ g-®ãng. 13

2.2.8

§Þnh lý ([3]). Gi¶ sö B ⊆ A ⊆ X, B lµ g-®ãng trong A, A lµ g-®ãng

trong X. Khi ®ã, B lµ g-®ãng trong X. Chøng minh. Gi¶ sö B lµ g-®ãng trong A, A lµ g-®ãng trong X, ta cÇn chøng minh B lµ g-®ãng trong X, nghÜa lµ cÇn chøng minh c(B) ⊆ O víi O lµ tËp më trong X vµ B ⊆ O. Khi ®ã, v× B ⊆ A nªn B ⊆ A ∩ O - më trong A, vµ v× B lµ g-®ãng trong A nªn c(B) ⊆ A ∩ O, suy ra A ∩ c(B) ⊆ A ∩ O vµ A ⊆ O ∪ Cc(B). MÆt kh¸c, do A lµ g-®ãng trong X nªn ta cã c(A) ⊆ O ∪ Cc(B). V× c(B) ⊆ c(A) ⊆ O ∪ Cc(B) nªn c(B) ⊆ O. VËy, B lµ g-®ãng trong X.

2.2.9

HÖ qu¶. Cho X lµ kh«ng gian t«p« vµ A lµ mét tËp g-®ãng trong

X vµ F lµ tËp ®ãng. Khi ®ã, A∩F lµ g-®ãng. Chøng minh. V× F ®ãng nªn A ∩ F ®ãng trong A. Víi mäi O më mµ A ∩ F ⊆ O, ta cã c(A ∩ F ) ⊆ O (A ∩ F ®ãng), suy ra A ∩ F lµ g-®ãng trong A. Ta cã A ∩ F ⊆ A ⊆ X vµ A ∩ F lµ g-®ãng trong A, A lµ g-®ãng trong X nªn theo ®Þnh lÝ 1.2.10, A ∩ F lµ g-®ãng trong X.

2.2.10

§Þnh lý ([3]). NÕu A lµ g-®ãng vµ A ⊆ B ⊆ c(A) th× B lµ g-®ãng.

Chøng minh. Do B ⊆ c(A) nªn c(B) ⊆ c(c(A)) = c(A) c(B) ⊆ c(A). Tõ A ⊆ B ⊆ c(A), ta cã A ⊆ B ⊆ c(B) ⊆ c(A), suy ra c(B) − A ⊆ c(A) − A, dÉn ®Õn c(B) − B ⊆ c(A) − A. V¶ l¹i, A lµ g-®ãng nªn c(A) − A kh«ng chøa tËp ®ãng kh¸c rçng, do ®ã c(B) − B còng kh«ng chøa tËp ®ãng kh¸c rçng, theo ®Þnh lý 1.2.3, B lµ g-®ãng.

2.2.11

§Þnh lý ([3]). Cho A ⊆ Y ⊆ X vµ gi¶ sö r»ng A lµ g-®ãng trong

X. Khi ®ã, A lµ g-®ãng trong Y. Chøng minh. Gi¶ sö A ⊆ Y ∩O víi O më trong X. Khi ®ã, A ⊆ O, dÉn ®Õn c(A) ⊆ O (A lµ g-®ãng trong X). §iÒu nµy kÐo theo Y ∩c(A) ⊆ Y ∩O. 14

Do A ⊆ Y suy ra A ∩ Y ⊆ c(A) ∩ Y = c(A) ⊆ Y ∩ O ⊆ Y . Suy ra c(A) ⊆ Y ∩ O ⊆ Y . VËy, A lµ g-®ãng trong Y .

2.2.12

§Þnh lý. Cho X lµ kh«ng gian t«p« vµ A ⊆ X. Khi ®ã, tËp dÉn

xuÊt Ad cña A lµ tËp g-®ãng. Chøng minh. Tr−íc hÕt chøng minh kh¼ng ®Þnh sau : NÕu Ad ⊆ O víi O lµ tËp më nµo ®ã th× Add ⊆ O, trong ®ã Add lµ tËp dÉn xuÊt cña tËp hîp Ad . ThËt vËy, gi¶ sö cã x ∈ Add nh−ng x 6∈ O, khi ®ã x 6∈ Ad . Suy ra tån t¹i l©n cËn U cña x sao cho U ∩ (A − {x}) = ∅. §iÒu nµy kÐo theo (U ∩A)−(U ∩{x}) = ∅, hay (U ∩A)−{x} = ∅. Tõ ®ã ta cã U ∩A ⊆ {x}. L¹i v× x ∈ Add nªn ta cã U ∩(Ad −{x}) 6= ∅. Suy ra (U ∩Ad )−{x} = 6 ∅ nªn tån t¹i y ∈ X sao cho y ∈ U ∩Ad ∩(X −{x}) ⊆ U ∩O. V× y ∈ Ad vµ Y ∩O lµ l©n cËn cña y nªn ∅ = A ∩ U ∩ O ∩ (X − {y}) ⊆ A ∩ U ⊆ {x}. Do vËy A∩U ∩O∩(X−{y}) = {x}. §iÒu nµy m©u thuÉn víi x 6∈ O. VËy Add ⊆ O. Tõ kh¼ng ®Þnh trªn vµ theo ®Þnh lý 1.1.8, ta cã c(A)d = Ad ∪ Add ⊆ O. VËy Ad lµ tËp g-®ãng.

2.2.13

§Þnh lý. Trong kh«ng gian t«p« (X, τ ), τ = τF (c¸c tËp ®ãng) nÕu

vµ chØ nÕu mäi tËp con cña X lµ g-®ãng. Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn. Víi τ = τF vµ A ⊆ X. Ta cÇn chøng minh A lµ g-®ãng. ThËt vËy, gi¶ sö A ⊆ O ∈ τ , suy ra c(A) ⊆ c(O). V× τ = τF nªn O ∈ τF , suy ra O lµ tËp ®ãng, do ®ã c(O) = O nªn c(A) ⊆ O. VËy, A lµ g-®ãng. §iÒu kiÖn ®ñ. Gi¶ sö O lµ tËp g-®ãng bÊt kú trong X, O ∈ τ . Khi ®ã, v× O ⊆ O vµ O lµ g-®ãng, nªn c(O) ⊆ O. Nh−ng O ⊆ c(O) nªn c(O) = O hay O ®ãng, do ®ã O ∈ τF , suy ra τ ⊆ τF . Ng−îc l¹i, nÕu lÊy F ∈ τF . Khi ®ã, CF ∈ τ ⊆ τF suy ra CF ∈ τF , dÉn ®Õn CF ®ãng, do ®ã F më suy ra F ∈ τ nªn τF ⊆ τ . VËy, τ = τF . 15

§3. c¸c tÝnh chÊt cña tËp g-®ãng trong kh«ng gian t«p«

3.1

tËp g-®ãng trong kh«ng gian compact, lindelof

3.1.1

§Þnh lý ([3]). Cho (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p« compact vµ gi¶ sö A

lµ g-®ãng trong X. Khi ®ã, A compact. Chøng minh. Gi¶ sö A lµ g-®ãng trong X, ta chøng minh A lµ tËp compact. Gi¶ sö Φ lµ phñ më cña A. Khi ®ã, A ⊆ ∪Φi (i∈ K). V× A lµ ®ãng trong S X nªn c(A) ⊆ Φi (i ∈ K). V× c(A) lµ tËp ®ãng trong kh«ng gian compact nªn c(A) lµ tËp compact, do ®ã tõ phñ më Φ cña c(A) lÊy ra ®−îc phñ con h÷u h¹n : c(A) ⊆ O1 ∪ O2 ... ∪On víi Oi ∈ Φ mµ A ⊆ c(A) ⊆ O1 ∪ O2 ... ∪ On víi Oi ∈ Φ, suy ra A ⊆ ∪ Oi . VËy, A lµ tËp compact. 3.1.2

§Þnh lý. Cho (X, τ ) lµ kh«ng gian lindelof (paracompact hoÆc com-

pact ®Õm ®−îc) vµ gi¶ sö A lµ g-®ãng cña X. Khi ®ã, A lµ lindelof (paracompact hoÆc compact ®Õm ®−îc).

3.2 3.2.1

tËp g-®ãng trong kh«ng gian chuÈn t¾c §Þnh lý ([3]). Cho (X, τ ) lµ kh«ng gian chuÈn t¾c vµ gi¶ sö Y lµ

g-®ãng cña X. Khi ®ã, (Y , Y ∩ τ ) lµ chuÈn t¾c. Chøng minh. Cho E vµ F ®ãng trong X vµ E ∩ F = ∅. Gi¶ sö (Y ∩ E) ∩ (Y ∩ F ) = ∅. Khi ®ã, Y ⊆ (E ∩ E) ∈ τ . MÆt kh¸c, Y lµ g-®ãng trong X nªn c(Y ) ⊆ c(E ∩ F ). Do ®ã, (c(Y ) ∩ E) ∩ (c(Y ) ∩ F ) = ∅. Tõ (X, τ ) lµ kh«ng gian chuÈn t¾c vµ c(Y ) ∩ E, c(Y ) ∩ F lµ c¸c tËp ®ãng, tån t¹i c¸c tËp më O1 , O2 rêi nhau tháa m·n c(Y ) ∩ E ⊆ O1 vµ c(Y ) ∩ F ⊆ O2 . 16

KÐo theo, Y ∩ c(Y ) ∩ E ⊆ O1 ∩ Y vµ Y ∩ c(Y ) ∩ F ⊆ O2 ∩ Y . Suy ra Y ∩ E ⊆ O1 ∩ Y vµ Y ∩ F ⊆ O2 ∩ Y . VËy, (Y, Y ∩ τ ) lµ kh«ng gian chuÈn t¾c.

3.2.2

§Þnh lý ([3]). (X,τ ) lµ kh«ng gian chuÈn t¾c vµ F∩A = ∅ trong

®ã F ®ãng vµ A lµ g-®ãng. KhÝ ®ã, tån t¹i hai tËp më O1 , O2 sao cho O1 ∩ O2 = ∅ trong ®ã F⊆ O1 vµ A⊆ O2 . Chøng minh. Tõ A ∩ F = ∅ suy ra A ⊆ CF ∈ τ (1). MÆt kh¸c, v× F ®ãng nªn CF më. Khi ®ã, do A lµ g-®ãng nªn víi A ⊆ CF (theo(1)) th× c(A) ⊆ CF . Suy ra c(A) ∩ F = ∅. Nh− vËy trong kh«ng gian chuÈn t¾c (X, τ ) c(A) ®ãng, ta cã F ®ãng vµ c(A) ∩ F = ∅ nªn theo ®Þnh lý ......tån t¹i hai tËp më O1 vµ O2 sao cho O1 ∩ O2 = ∅ víi O1 ⊇ F vµ O2 ⊇ c(A). 3.2.3

VÝ dô. C¸c tËp g-®ãng rêi nhau th−êng kh«ng tån t¹i c¸c tËp më tháa

m·n ®iÒu kiÖn ®Þnh lý trªn, ch¼ng h¹n : X={a, b, c} vµ τ = {∅, {a}, X}. Khi ®ã, {b}, {c} lµ c¸c g-®ãng nh−ng kh«ng tån t¹i c¸c tËp më rêi nhau chøa {b} vµ {c}. ThËt vËy, víi mäi tËp më O = X sao cho {b} ⊆ X = c(X), suy ra c({b}) ⊆ X nªn {b} lµ g-®ãng. T−¬ng tù, ta còng cã {c} lµ g-®ãng. Khi ®ã X ⊇ {a} vµ X ⊇ {b} nh−ng X ∩ X 6= ∅.

3.3

tËp g-®ãng trong kh«ng gian ®Òu vµ kh«ng gian chÝnh quy

3.3.1

§Þnh lý ([3]). NÕu (X, U) lµ kh«ng gian ®Òu ®Çy ®ñ vµ nÕu A lµ

g-®ãng trong X. Khi ®ã, (A, A × A ∩ U) lµ ®Òu ®Çy ®ñ. Chøng minh. Cho S lµ A × A ∩ U l−íi cauchy trong A. Khi ®ã, S lµ U l−íi cauchy trong X, nghÜa lµ tån t¹i x trong X sao cho lim S = x 17

trong τ (u). B©y giê ta, sÏ chøng minh A ∩ c(x) 6= ∅. ThËt vËy, gi¶ sö . A ∩ c(x) = ∅ khi ®ã A ⊆ Cc(x) vµ x ∈ c(A) ⊆ Cc(x) (do A lµ ®ãng), do ®ã x 6∈ c(x). V« lý. Nªn y ∈ c(x) ∩ A. VËy tån t¹i y ∈ A sao cho limS = y trong A ∩ τ (u). VËy (A, A ∩ A × A ∩ u) lµ kh«ng gian ®Òu ®Çy ®ñ.

3.3.2

§Þnh lý ([3]). NÕu (X, τ ) lµ kh«ng gian chÝnh quy vµ nÕu A lµ tËp

compact, khi ®ã A lµ g- ®ãng. Chøng minh. Gi¶ sö A ⊆ O ∈ τ . Khi ®ã, tån t¹i O∗ ∈ τ sao cho A ⊆ O∗ ⊆ c(O∗ ) ⊆ O suy ra c(A) ⊆ O∗ ⊆ c(O∗ ) ⊆ O vµ do ®ã c(A) ⊆ O. VËy, A lµ g-®ãng.

3.3.3

§Þnh lý. NÕu (X, τ ) lµ kh«ng gian chÝnh quy vµ compact ®i¹ ph−¬ng,

nÕu A lµ g-®ãng trong X th× A lµ compact ®Þa ph−¬ng trong kh«ng gian t«p«. Chøng minh. LÊy x ∈ A. Khi ®ã, x ∈ N ⊆ X víi N lµ l©n cËn compact cña x. Tõ (X, τ ) lµ kh«ng gian chÝnh quy, tån t¹i O ∈ τ sao cho x ∈ O ⊆ c(O) ⊆ N ⊆ X (1). Suy ra c(O) lµ l©n cËn cña x, dÉn ®Õn A ∩ c(O) lµ l©n cËn cña x trong A. Mµ A lµ g-®ãng vµ c(O) lµ tËp ®ãng trong X nªn theo hÖ qu¶ 1.2.11, th× A ∩ c(O) lµ g-®ãng trong X. MÆt kh¸c, tõ (1) ta cã A ∩ c(O) ⊆ c(O) ⊆ N ⊆ X. Theo ®Þnh lÝ 1.2.13, suy ra A ∩ c(O) lµ g-®ãng trong N . Do (X, τ ) lµ compact ®Þa ph−¬ng nªn theo ®Þnh lÝ 1.3.2, A ∩ c(O) lµ compact ®Þa ph−¬ng. VËy, A lµ compact ®ia ph−¬ng.

18

ch−¬ng 2

tËp më suy réng vµ T 21 -kh«ng gian

§1. tËp g-më 4.1 4.1.1

§Þnh nghÜa §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian t«p« X, A ⊆ X. A ®−îc gäi lµ

tËp më suy réng (tËp g-më) nÕu CA lµ tËp ®ãng suy réng (tËp g-®ãng).

4.1.2

VÝ dô. Cho X = {a, b, c} vµ gi¶ sö τ = {∅, {a}, X}. NÕu A =

{a, c}. Khi ®ã, A lµ g-më trong X. V× CA = {b} lµ g-®ãng trong X. VËy, A lµ g-më trong X.

4.2 4.2.1

C¸c tÝnh chÊt cña tËp g-më §Þnh lý ([3]). A lµ g-më nÕu vµ chØ nÕu F ⊆ intA, trong ®ã F lµ

tËp ®ãng vµ F ⊆ A. Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö A lµ g-më vµ F ⊆ A, trong ®ã F lµ tËp ®ãng. Ta cÇn chøng minh F ⊆ intA. ThËt vËy, tõ F ⊆ A suy ra CA ⊆ CF , do F ®ãng nªn CF më, mÆt kh¸c v× A lµ g-më nªn CA lµ g-®ãng suy ra c(CA) ⊆ CF kÐo theo CintA ⊆ c(CA) ⊆ CF dÉn ®Õn F ⊆ intA. §iÒu kiÖn ®ñ. Ch−a lµm ®−îc

4.2.2

§Þnh lý ([3]). NÕu A vµ B lµ c¸c g-më vµ A∩ B=∅. Khi ®ã, A∪B

lµ g-më. Chøng minh. Cho F lµ tËp con ®ãng cña A ∪ B. Khi ®ã, F ⊆ A hoÆc F ⊆ B. NÕu F ⊆ A suy ra F ∩ c(A) ⊆ A. H¬n n÷a, F ∩ c(A) ®ãng, 19

do ®ã theo ®Þnh lý 2.1.2, F ∩ c(A) ⊆ intA. NÕu F ⊆ B t−¬ng tù ta ®−îc F ∩ c(B) ⊆ intB. MÆt kh¸c, v× F ⊆ AcupB nªn ta cã : F = F ∩(A∪B) = (F ∩A)∪(F ∩B) ⊆ F ∩c(A)∪(F ∩c(B)) ⊆ intA∪intB ⊆ int(A∪B). Do ®ã F ⊆ int(A∪B), theo ®Þnh lý 2.1.2, ta cã A ∪ B lµ g-më. Chó ý. Hîp hai g-më bÊt kú th−êng kh«ng lµ g-më.

4.2.3

VÝ dô. Cho X = {a; b; c} vµ T = {∅; {a}; X}. NÕu A = {a; b} vµ

B = {b; c} khi ®ã A vµ B lµ c¸c g-më nh−ng A ∪ B kh«ng lµ g-më. ThËt vËy, ta cã A ∪ B = {a, b, c} = X, khi ®ã CX = ∅ ∈ τ , suy ra CX kh«ng lµ g-®ãng. VËy A ∪ B kh«ng lµ g-më.

4.2.4

HÖ qu¶. Cho A vµ B lµ c¸c g-®ãng vµ gi¶ sö CA, CB lµ c¸c phÇn

bï rêi nhau cña A vµ B. Khi ®ã, A∩ B lµ g-®ãng. Chøng minh. V× A lµ g-®ãng nªn CA lµ g-më. V× B lµ g-®ãng nªn CB lµ g-më. Mµ CA ∩ CB = ∅ theo ®Þnh lý 2.1.3, ta cã CA ∪ CB lµ g-më. MÆt kh¸c, CA ∪ CB = C(A ∩ B) nªn C(A ∩ B) lµ g-më, theo ®Þnh nghÜa 2.1.1, A ∩ B lµ g-®ãng.

4.2.5

§Þnh lý. A lµ g-më trong (X, τ ), nÕu vµ chØ nÕu nÕu O = X trong

®ã O lµ tËp më vµ intA ∪ CA ⊆ O. Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö O lµ g-më trong X, O ⊇ A vµ intA ∪ CA ⊆ O. Khi ®ã, v× intA ∪ CA ⊆ O nªn CA ⊆ O dÉn ®Õn CO ⊆ A (1). MÆt kh¸c, v× A ⊆ O nªn CO ⊆ CA ⊆ c(CA) (2). Tõ (1) vµ (2) ta cã CO ⊆ c(CA) ∩ A = c(CA) − CA. Tõ CO lµ tËp ®ãng vµ CA lµ g-®ãng theo ®Þnh lý 1.2.3, CO = ∅ hay X = O. §iÒu kiÖn ®ñ. Gi¶ sö F ®ãng vµ F ⊆ A. Theo ®Þnh lý 2.1.2, ®Ó chøng minh A lµ g-më ta chØ cÇn chøng minh F ⊆ intA. ThËt vËy, tõ F ⊆ A suy 20

ra CA ⊆ CF , khi ®ã intA ∪ CA ⊆ CF ∪ intA , suy ra CF ∪ intA = X dÉn ®Õn F ⊆ intA.

4.2.6

§Þnh lý. NÕu A⊆B ⊆X, trong ®ã A lµ g-më cña B, B lµ g-më cña

X. Khi ®ã A lµ g-më cña X. Chøng minh. Gi¶ sö F lµ tËp ®ãng vµ F ⊆ A. Ta cÇn chøng minh F ⊆ intA, do A g-më trong B nªn F ⊆ intB A. V× vËy theo ®Þnh nghÜa vÒ phÇn trong A tån t¹i tËp më O sao cho F ⊆ O ⊆ A, suy ra F ⊆ O ∩B ⊆ A. V× B lµ g-më trong X nªn F ⊆ O∗ ⊆ B víi mäi tËp më O∗ trong X, vËy F ⊆ O∗ ∩ O ⊆ B ∩ O ⊆ A. Do ®ã tån t¹i tËp më O ∩ O∗ tháa m·n F ⊆ O∗ ∩ O ⊆ A do ®ã F ⊆ intA. Theo ®Þnh lý 2.1.2, A lµ g-më trong X. §Þnh lý 1.2.13 kh«ng ®óng víi tËp g-më.

4.2.7

VÝ dô. Cho X = {a, b, c} vµ gi¶ sö τ = {∅, {a}, X}. NÕu A = {b}

vµ Y = {a, b}. Khi ®ã, A lµ g-më trong X nh−ng kh«ng lµ g-më trong Y . ThËt vËy, ta cã A ⊆ Y ⊆ X, CA = {a, c} lµ g-®ãng trong X nh−ng kh«ng lµ g-®ãng trong Y nªn A kh«ng lµ g-më trong Y . §Þnh lý 1.2.12 còng kh«ng ®óng víi tËp g-më.

4.2.8

§Þnh lý. NÕu intA⊆B⊆A vµ A lµ g-më, khi ®ã B lµ g-më.

Chøng minh. Tõ B ⊆ A suy ra CA ⊆ CB(1). V× intA ⊆ B nªn CB ⊆ CintA (2). Mµ CintA ⊆ c(CA) (3). Tõ (1), (2) vµ (3) ta ®−îc CA ⊆ CB ⊆ c(CA) (4). MÆt kh¸c, v× A lµ g-më nªn CA lµ g-®ãng (5). Tõ (4) vµ (5), theo ®Þnh lý 1.2.12, CB lµ g-®ãng. VËy, B lµ g-më

4.2.9

§Þnh lý. A lµ g-®ãng nÕu vµ chØ nÕu vµ chØ nÕu c(A) − A lµ g-më.

21

Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö A lµ g-®ãng, F lµ tËp ®ãng vµ F ⊆ c(A) − A. Khi ®ã, theo ®Þnh lý 1.2.3, F = ∅ vµ do ®ã F ⊆ int(c(A) − A) theo ®Þnh lý 2.1.2, c(A) − A lµ g-më. §iÒu kiÖn ®ñ. Gi¶ sö A ⊆ O trong ®ã O lµ tËp më, suy ra CO ⊆ CA nªn c(A)∩CO ⊆ c(A)∩CA = c(A)−A vµ tõ c(A)∩CO lµ tËp ®ãng vµ c(A)−A lµ g-më, suy ra c(A) ∩ CO ⊆ int(c(A) − A) = ∅ do ®ã c(A) ∩ CO = ∅ hay c(A) ⊆ O. Do ®ã A lµ g-®ãng.

22

§2. T 1 -kh«ng gian 2 5.1 5.1.1

§Þnh nghÜa §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®−îc gäi lµ T 12 -kh«ng gian nÕu

mçi tËp g-®ãng cña X lµ tËp ®ãng.

5.1.2

VÝ dô . Cho X = {a, b, c} vµ gi¶ sö r»ng τ = {∅, {a}, {b, c}, X}.

Khi ®ã, (X, τ ) lµ T 21 -kh«ng gian.

5.2 5.2.1

c¸c tÝnh chÊt §Þnh lý. Mäi T 12 -kh«ng gian ®Òu lµ T0 -kh«ng gian.

Chøng minh. Gi¶ sö (X, τ ) kh«ng lµ T0 -kh«ng gian, ta chøng minh (X, τ ) còng kh«ng lµ T 12 -kh«ng gian, nghÜa lµ tån t¹i tËp g-®ãng A sao cho A kh«ng lµ tËp ®ãng. Do (X, τ ) kh«ng lµ T0 -kh«ng gian nªn tån t¹i hai ®iÓm x vµ y kh¸c nhau sao cho c(x) = c(y). §Æt A = c(x) ∩ C{x}. Ta chøng minh A lµ g-®ãng nh−ng A kh«ng lµ tËp ®ãng. LÊy x ∈ O ∈ τ , khi ®ã O ∩ A ⊇ {y} = 6 ∅ vµ do ®ã x ∈ c(A) (tÝnh chÊt bao ®ãng). HiÓn nhiªn x 6∈ A (theo c¸ch ®Æt A nh− trªn) nªn c(A) 6= A vµ do ®ã A lµ tËp ®ãng. B©y giê, ta chøng tá A lµ g-®ãng. ThËt vËy, Gi¶ sö A ⊆ O∗ ∈ τ , cÇn chøng minh c(A) ⊆ O∗ víi O∗ më, nghÜa lµ chøng tá c(x) ⊆ O∗ . V× c(x) ∩ C{x} = A ⊆ O∗ , do ®ã ta chØ cÇn chøng tá x ∈ O∗ . Gi¶ sö x ∈ CO∗ , suy ra c(x) ⊆ CO∗ , khi ®ã y ∈ c(x) ⊆ CO∗ , râ rµng y ∈ A ⊆ O∗ vµ do ®ã y ∈ O∗ ∩ CO∗ . V« lý, nªn x ∈ O∗ . Do ®ã, A lµ tËp g-®ãng. VËy, (X, τ ) kh«ng lµ T 21 -kh«ng gian.

23

5.2.2

§Þnh lý ([3]). Mäi T1 -kh«ng gian ®Òu lµ T 12 -kh«ng gian

Chøng minh. Gi¶ sö (X, τ ) lµ T1 -kh«ng gian vµ A lµ tËp ®ãng trong X. Ta chøng minh A lµ g-®ãng. LÊy x ∈ c(A) − A khi ®ã {x} ⊆ c(A) − A. V× A lµ tËp ®ãng, nªn c(A) = A hay c(A) − A = ∅ suy ra {x} = ∅(1). MÆt kh¸c, v× (X, τ ) lµ T1 -kh«ng gian nªn {x} ®ãng (2). Tõ (1) vµ (2), theo ®Þnh lý 1.2.3 ta cã A kh«ng lµ g-®ãng.

5.2.3

VÝ dô. Cho X = {a, b} vµ gi¶ sö τ = {∅, {a}, X}. Khi ®ã, (X, τ )

lµ T 21 -kh«ng gian nh−ng kh«ng lµ T1 -kh«ng gian. 5.2.4

HÖ qu¶. TÝnh chÊt cña T 21 -kh«ng gian n»m gi÷a T0 -kh«ng gian vµ

T1 -kh«ng gian. Chøng minh. i) (X, τ ) lµ T 21 -kh«ng gian suy ra (X, τ ) lµ T0 -kh«ng gian tõ ®Þnh lý 2.2.3 ii) (X, τ ) lµ T1 -kh«ng gian suy ra (X, τ ) lµ T 12 -kh«ng gian tõ ®Þnh lÝ 2.2.2

5.2.5

§Þnh lý. Kh«ng gian t«p« (X, τ ) lµ T 12 -kh«ng gian nÕu vµ chØ nÕu

víi mçi x ∈ X, hoÆc {x} më hoÆc {x} ®ãng. Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö X lµ T 12 -kh«ng gian. LÊy x ∈ X. Gi¶ sö tËp {x} kh«ng lµ tËp ®ãng trong kh«ng gian X, suy ra X − {x} kh«ng lµ tËp më, do ®ã chØ cã mét tËp më duy nhÊt chøa X − {x} lµ X. V× hiÓn nhiªn c(X − {x}) ⊆ X, nªn ta cã X − {x} lµ g-®ãng. MÆt kh¸c, do X lµ T 21 -kh«ng gian nªn theo ®Þnh nghÜa 2.2.1, X − {x} lµ tËp ®ãng. VËy, {x} lµ tËp më. §iÒu kiÖn ®ñ. Gi¶ sö A lµ tËp g-®ãng bÊt kú trong kh«ng gian (X, τ ). Ta cÇn chøng minh A ®ãng. ThËt vËy, víi x ∈ c(A). NÕu {x}) më th×

24

{x} lµ l©n cËn cña x nªn {x} ∩ A 6= ∅. Do ®ã x ∈ A. NÕu {x} ®ãng th× c({x} = {x} vµ do ®ã ∅= 6 c({x}) ∩ A = {x} ∩ A. V× nÕu c({x}) ∩ A = ∅ th× {x} ∩ A = ∅, lóc ®ã A ⊆ X − {x} mµ X − {x} më trong X nªn X − {x} lµ l©n cËn cña A. H¬n n÷a, A lµ g-®ãng. V× vËy, c(A) ⊆ X − {x}. MÆt kh¸c, x ∈ c(A) nªn x ∈ X − {x}. §iÒu nµy m©u thuÉn. VËy ∅ = 6 c({x}) ∩ A = {x} ∩ A. Suy ra x ∈ A. Do ®ã c(A) ⊆ A. V¶ l¹i A ⊆ c(A) thÕ nªn, c(A) = A. VËy A lµ tËp ®ãng, theo ®Þnh nghÜa 2.2.1, X lµ T 12 -kh«ng gian. 5.2.6

HÖ qu¶. X lµ T 21 -kh«ng gian nÕu vµ chØ nÕu mçi tËp con cña X lµ

giao cña tÊt c¶ c¸c tËp më vµ tÊt c¶ c¸c tËp ®ãng chøa nã. Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö X lµ T 21 -kh«ng gian vµ B lµ tËp con tuú ý cña X. Khi ®ã, víi mçi x ∈ X − B th× {x} lµ tËp më hoÆc tËp ®ãng (theo ®Þnh lý 2.2.7) nªn suy ra X − {x} lµ tËp ®ãng hoÆc lµ tËp më. Râ rµng B ⊆ X − {x}, víi x ∈ X − B vµ B = ∩{X − {x} : x 6∈ B}. VËy B lµ giao cña tÊt c¶ c¸c tËp ®ãng vµ tÊt c¶ c¸c tËp më chøa nã. §iÒu kiÖn ®ñ. Víi mçi x ∈ X, ta cã X − {x} ⊆ X. Tõ gi¶ thiÕt ®iÒu kiÖn ®ñ th× X − {x} hoÆc tËp ®ãng hoÆc lµ tËp më, v× thÕ {x} hoÆc lµ tËp më hoÆc lµ tËp ®ãng, theo ®Þnh nghÜa 2.2.1, th× X lµ T 21 -kh«ng gian.

25

§3. ¶nh cña g-®ãng (më) qua ¸nh x¹ liªn tôc ®ãng 6.1 6.1.1

¶nh cña g-®ãng qua ¸nh x¹ liªn tôc ®ãng §Þnh lý ([3]). NÕu A lµ g-®ãng trong X vµ nÕu f : X → Y liªn tôc

vµ ®ãng th× f (A) lµ g-®ãng trong Y. Chøng minh. Víi f : X → Y liªn tôc, ®ãng, A lµ g-®ãng trong X, ta cÇn chøng minh f (A) lµ g-®ãng trong Y . Gi¶ sö f (A) ⊆ O' trong ®ã O' lµ tËp më trong Y , cÇn chøng tá c(f (A)) ⊆ O'. Ta cã A ⊆ f −1 (O0 )-më trong X (do f liªn tôc vµ ®ãng) vµ v× A lµ g-®ãng trong X nªn c(A) ⊆ f −1 (O0 ), do ®ã f (c(A)) ⊆ O' vµ f (c(A)) lµ tËp ®ãng, tõ ®©y ta ®−îc c(f (A)) ⊆ c(f (c(A))) = f (c(A)) ⊆ O'. Suy ra c(f (A)) ⊆ O0 . VËy, f (A) lµ g-®ãng.

6.1.2

VÝ dô. Víi ®iÒu kiÖn f ®ãng vµ liªn tôc, tr−êng hîp g-më sÏ kh«ng 0

®óng. Ch¼ng h¹n, X = {a}, Y = {b, c}, τ = {ϕ, X}, τ = {ϕ, {b}, Y }. Cho f (a) = c, khi ®ã {c} kh«ng lµ g-më. ThËt vËy, ta cã X − {a} = ∅ lµ g-®ãng nªn {a} lµ g-më trong X. {c} 0

kh«ng lµ g-më v× Y − {c} = {b}. Tõ {b} ⊆ {b} ∈ τ nh−ng c({b} ( {b} suy ra Y − {c} kh«ng lµ g-®ãng nªn {c} kh«ng lµ g-më.

6.2

nghÞch ¶nh cña g-®ãng (më) qua ¸nh x¹ liªn tôc ®ãng

6.2.1

§Þnh lý. Cho f : X→Y liªn tôc vµ ®ãng. NÕu B lµ g-®ãng (hoÆc

g-më) cña Y th× khi ®ã f−1 [B] lµ g-®ãng (hoÆc g-më) trong X. Chøng minh. Gi¶ sö B lµ g-®ãng trong Y vµ f −1 [B] ⊆ O víi O lµ tËp më trong X, ta sÏ chøng tá f −1 [B] lµ g-®ãng trong X hay c(f −1 [B]) ⊆ O hoÆc c(f −1 [B]) ∩ CO = ∅. ThËt vËy, ta cã c(f −1 [B]) ∩ CO ⊆ c(B) − B.

26

Mµ B lµ g-®ãng trong Y nªn theo ®Þnh lý 1.2.3, c(f −1 [B]) ∩ CO = ∅ do ®ã f −1 [B] ∩ CO = ∅. T−¬ng tù ta còng chøng minh ®−îc f −1 [B] lµ g-më trong X.

6.2.2

VÝ dô. Qua ¸nh x¹ liªn tôc më, ¶nh vµ nghÞch ¶nh cña g-më (g-

®ãng) kh«ng lµ g-më (g-®ãng). Ch¼ng han :

6.3 6.3.1

c¸c tÝnh chÊt kh¸c §Þnh lý. NÕu (X, τ ) = ×{(Xα , τα } vµ nÕu Aα lµ g-®ãng trong Xα

víi mäi α ∈ ∆. Khi ®ã ×[Aα : α ∈ ∆] lµ g-®ãng trong X. Chøng minh. Cho Q = c(×[Aα : α ∈ ∆]) − ×[Aα : α ∈ ∆], theo ®Þnh lý 2.2.3, cÇn chøng tá Q kh«ng chøa tËp ®ãng kh¸c rçng nµo. ThËt vËy, gi¶ sö tån t¹i tËp ®ãng ∅ = 6 c(x) ⊆ Q víi mäi x ∈ X trong ®ã x cã d¹ng x = ×[xα : α ∈ ∆]. Suy ra cα (xα ) ⊆ cα (Aα ) víi mäi α ∈ ∆ (do c(x) ⊆ Q = c(×[Aα ) : α ∈ ∆] − ×[Aα : α ∈ ∆. V× Aα lµ g-®ãng trong Xα nªn cα (Aα ) − Aα kh«ng chøa tËp ®ãng kh¸c rçng. Ta cã cα (xα ) 6= ∅ vµ ®ãng, suy ra cα (xα ) 6∈ cα (Aα ) − Aα . VËy, cα (xα ) ∈ Aα nªn cα (xα ) ∩ Aα 6= ∅. Chän x0 ∈ cα (xα ) ∩ Aα , suy ra x0 ∈ cα (xα ) vµ x0α ∈ Aα trong ®ã x0α cã d¹ng ×[x0α : α ∈ ∆]. Khi ®ã, x0 ∈ c(x0 ) = ×[cα (x0 ) : α ∈ ∆] ⊆ cα (xα ) = c(x) ⊆ Q ⊆ C × [Aα : α ∈ ∆]. Do ®ã, x0 6∈ Aα : α ∈ ∆ m©u thuÉn víi c¸ch chän x0 nh− trªn (x0α ∈ Aα víi mäi α). VËy Q kh«ng chøa tËp ®ãng kh¸c rçng nµo.

6.3.2

VÝ dô. Trong ®Þnh lý trªn ta kh«ng thÓ thay g-®ãng b»ng g-më.

Ch¼ng h¹n, cho Xn = {a, b} vµ τn = {∅, {a}, Xn }. NÕu (X, τ )=×[(Xn , τn ) : n ∈ P ] vµ nÕu An = {a} víi mäi n ∈ P . Khi ®ã, An lµ g-më víi mäi n nh−ng ×[An : n ∈ P ] kh«ng lµ g-më. 27

6.3.3

§Þnh lý. Gi¶ sö A lµ g-më trong X, B lµ g-më trong Y. Khi ®ã, A×B

lµ g-më trong X×Y . Chøng minh. Gi¶ sö F ®ãng trong X × Y vµ F ⊆ A × B. Theo ®iÒu kiÖn ®ñ cña ®Þnh lý 2.1.2, dÓ chøng minh A × B lµ g-më ta cÇn chøng minh F ⊆ int(A × B), lÊy (x, y) ∈ F ⊆ A × B. Khi ®ã, c(x, y) = c(x) × c(y) ⊆ F ⊆ A × B. do A lµ g-më trong X, B lµ g-më trong Y , nªn c(x) ⊆ intA, c(y) ⊆ intB. DÉn ®Õn, (x, y) ⊆ c(x) × c(y) ⊆ intA × intB. Do ®ã, (x, y) ∈ c(x) × c(y) ⊆ intA × intB ⊆ int(A × B) víi mäi (x, y) ∈ F . VËy, F ⊆ int(A × B).

6.3.4

VÝ dô. TÝch cña hai T 21 -kh«ng gian th−êng kh«ng lµ T 12 -kh«ng

gian, ch¼ng h¹n X = {a, b}, τ = {∅, {a}, X}. NÕu Q = {a, b}, khi ®ã Q lµ g-më trong X, nh−ng Y kh«ng lµ g-më trong X × X. VËy, dï X lµ T 12 -kh«ng gian X × X kh«ng lµ T 21 -kh«ng gian.

28

§4. kh«ng gian ®èi xøng 7.1 7.1.1

kh«ng gian ®èi xøng §Þnh nghÜa. TËp A trong kh«ng gian (X, τ ) lµ ®èi xøng nÕu víi mäi

x vµ y trong X ta cã nÕu x ∈ c(y) dÉn ®Õn y ∈ c(x).

7.2 7.2.1

c¸c tÝnh chÊt §Þnh lý ([3]). TËp A trong kh«ng gian (X, τ ) lµ ®èi xøng nÕu vµ

chØ nÕu {x} lµ g-®ãng víi mäi x ∈X. Chøng minh. §iÒu kiÖn ®ñ. Víi mäi x ∈ X, {x} lµ tËp g-®ãng, ta cÇn chøng minh x ∈ c(y) dÉn ®Õn y ∈ c(x). ThËt vËy, gi¶ sö x ∈ c(y) nh−ng y 6∈ c(x). Khi ®ã, y ⊆ Cc(x) më trong X vµ do {y} lµ g-®ãng trong X nªn c(y) ⊆ Cc(x) do ®ã x ∈ c(y) ∈ Cc(x). V« lý. VËy y ∈ c(x). §iÒu kiÖn cÇn. Víi A lµ tËp ®èi xøng trong kh«ng gian (X, τ ), cÇn chøng minh {x} lµ g-®ãng víi mäi x ∈ X. ThËt vËy, gi¶ sö {x} ⊆ O ∈ τ víi O më trong X nh−ng c({x}) * O. Khi ®ã, c(x) ∩ CO 6= ∅. LÊy y ∈ c(x) ∩ CO, suy ra y ∈ c(x) vµ y ∈ CO. Do A ®èi xøng nªn tõ y ∈ c(x) nªn suy ra x ∈ c(y), mµ c(y) ∈ c(CO) = CO (do CO ®ãng). V× vËy, x ∈ c(y) ⊆ CO hay x 6∈ O m©u thuÉn víi x ∈ O. VËy, c({x}) ⊆ O. 7.2.2

HÖ qu¶. T1 -kh«ng gian lµ ®èi xøng.

Chøng minh. Gi¶ sö X lµ T1 -kh«ng gian vµ {x} ⊆ X. Khi ®ã, v× X lµ T1 -kh«ng gian nªn {x} lµ tËp ®ãng, suy ra {x} ®ãng, do vËy {x} lµ g-®ãng. Theo ®Þnh lý 2.4.2, A ®èi xøng. 7.2.3

VÝ dô. §èi xøng th× kh«ng suy ra T1 -kh«ng gian, ®ã lµ tr−êng hîp

cña hai ®iÓm rêi nhau trong kh«ng gian ®−îc biÓu diÔn. 29

7.2.4

HÖ qu¶. Mét kh«ng gian (X, τ ) lµ ®èi xøng vµ lµ T0 kh«ng gian

nÕu vµ chØ nÕu (X, τ ) lµ T1 -kh«ng gian. Chøng minh. §iÒu kiÖn ®ñ. Suy ra trùc tiÕp tõ ®Þnh lý 2.2.6 vµ ®Þnh lý 2.4.3. §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö (X, τ ) lµ ®èi xøng vµ T0 -kh«ng gian, ta cÇn chøng minh (X, τ ) lµ T1 -kh«ng gian. ThËt vËy, víi x 6= y. V× X lµ T0 kh«ng gian nªn ta cã x ∈ O ⊆ C{y}(1). V× X lµ ®èi xøng nªn x 6∈ c(y) suy ra y 6∈ c(x) nªn tån t¹i O∗ ∈ τ sao cho y ∈ O∗ ⊆ C{y}(2). Tõ (1) vµ (2) suy ra (X, τ ) lµ T1 - kh«ng gian. 7.2.5

§Þnh lý. Cho (X, τ ) lµ kh«ng gian ®èi xøng. Khi ®ã

i) (X, τ ) lµ T0 -kh«ng gian nÕu vµ chØ nÕu (X, τ ) lµ T 12 -kh«ng gian; ii) (X, τ ) lµ T 21 -kh«ng gian nÕu vµ chØ nÕu (X, τ ) lµ T1 -kh«ng gian. Chøng minh. i) §iÒu kiÖn cÇn. (X, τ ) lµ ®èi xøng vµ T0 -kh«ng gian nªn theo hÖ qu¶ 2.4.5 suy ra (X, τ ) lµ T1 -kh«ng gian. Tõ (X, τ ) lµ T1 -kh«ng gian, theo hÖ qu¶ 2.2.6 ta cã (X, τ ) lµ lµ T 21 -kh«ng gian. §iÒu kiÖn ®ñ. Do (X, τ ) lµ T 21 -kh«ng gian nªn theo hÖ qu¶ 2.2.6, (X, τ ) lµ T0 -kh«ng gian. ii) §iÒu kiÖn cÇn. (X, τ ) lµ T 12 -kh«ng gian nªn suy ra (X, τ ) lµ T0 kh«ng gian. MÆt kh¸c ta cã (X, τ ) ®èi xøng nªn theo hÖ qu¶ 2.4.5, (X, τ ) lµ T1 -kh«ng gian. §iÒu kiÖn ®ñ. Do (X, τ ) lµ T1 -kh«ng gian nªn theo hÖ qu¶ 2.2.6, (X, τ ) lµ T 21 -kh«ng gian

30

kÕt luËn

31

tµi liÖu tham kh¶o

[1] J. L. Kelley, T«p« ®¹i c−¬ng, Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc vµ Trung häc chuyªn nghiÖp, n¨m 1973.

[2] §Ëu ThÕ CÊp, T«p« ®¹i c−¬ng, Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc, n¨m 2005. [3] N. Levin, Generalized closed sets in topology, Rend. Cirs. Math. Palermo, 19 (1970), 89 - 96 [4] W. Dunham, T 21 - kh«ng gian, Kyungpook Math. J, 17 (1977) 161 169.

32