Logiques

‫ﻣﺒﺎدئ ﻓﻲ اﻟﻤﻨﻄﻖ‬ ‫‪ -I‬ﺗﻌﺎرﻳﻒ وﻣﺼﻄﻠﺤﺎت‬ ‫‪ -1‬اﻟﻌﺒﺎرة – اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺒﺎرﻳﺔ‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫آﻞ ﺟﻤﻠﺔ ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻧﺤﻮﻳﺎ و ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺤﻜﻢ ﻋﻦ ﺻﺤﺔ ﻣﻌﻨﺎهﺎ أو ﺧﻄﺄﻩ ﺑﺪون ﻧﻘﺎش ﺗﺴﻤﻰ ﻋﺒﺎرة‪.‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﺼﻮص اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫‪3 : p 2‬ﻋﺪد زوﺟﻲ‬ ‫‪− 2 × 4 = −8‬‬ ‫‪: p1‬‬ ‫‪5+7 4‬‬ ‫‪: p3‬‬ ‫‪ p1‬و ‪ p 3‬ﻋﺒﺎرﺗﺎن ﺻﺤﻴﺤﺘﺎن‬ ‫‪ p 2‬ﻋﺒﺎرة ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫ب‪ -‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫آﻞ ﻧﺺ رﻳﺎﺿﻲ ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻳﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ و ﻳﺼﺒﺢ ﻋﺒﺎرة آﻠﻤﺎ ﻋﻮﺿﻨﺎ هﺬا اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺑﻌﻨﺼﺮ‬ ‫ﻣﺤﺪد ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻳﺴﻤﻰ داﻟﺔ ﻋﺒﺎرﻳﺔ‪.‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫داﻟﺔ ﻋﺒﺎرﻳﺔ‬ ‫∈‪x‬‬ ‫‪x ≤3‬‬ ‫‪ ( x ; y ) ∈ 2‬داﻟﺔ ﻋﺒﺎرﻳﺔ‬ ‫‪x − 2y = 3‬‬ ‫‪ -2‬اﻟﻤﻜﻤﻤﺎت – اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﻤﻜﻤﻤﺔ‬ ‫أ‪ -‬اﻟﻤﻜﻤﻢ اﻟﻮﺟﻮدي‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ x ∈ E ; p ( x‬داﻟﺔ ﻋﺒﺎرﻳﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪p ( x‬‬

‫‪( ∃x ∈ E ) :‬‬

‫ﺗﻌﻨﻲ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻋﻨﺼﺮا ‪ x‬ﻣﻦ ‪ E‬ﻳﺤﻘﻖ ) ‪. p ( x‬‬

‫اﻟﺮﻣﺰ ∃ ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻜﻤﻢ اﻟﻮﺟﻮدي ‪.‬‬ ‫إذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻨﺼﺮا وﺣﻴﺪا ‪ x‬ﻣﻦ ‪ E‬ﻳﺤﻘﻖ‬

‫) ‪ p ( x‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻜﺘﺐ ) ‪p ( x‬‬

‫‪( ∃!x ∈ E ) :‬‬

‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫∈ ‪ ∃x‬ﻋﺒﺎرة ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫‪x = −1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∈‬ ‫∈ ‪ ∃x‬ﻋﺒﺎرة ﺻﺤﻴﺤﺔ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪ ∃!x ∈ [ 0; π ] cos x‬ﻋﺒﺎرة ﺻﺤﻴﺤﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∈ ‪ ∃!x‬ﻋﺒﺎرة ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫‪x =4‬‬ ‫ب‪ -‬اﻟﻤﻜﻤﻢ اﻟﻜﻮﻧﻲ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ x ∈ E ; p ( x‬داﻟﺔ ﻋﺒﺎرﻳﺔ‬ ‫‪2‬‬

‫اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪p ( x‬‬

‫‪( ∀x ∈ E ) :‬‬

‫ﺗﻌﻨﻲ أن ﺟﻤﻊ ﻋﻨﺎﺻﺮ ‪ E‬ﺗﺤﻘﻖ ) ‪ . p ( x‬ﺗﻘﺮأ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ p ( x ) , E‬ﻣﺤﻘﻖ‬

‫) أو ﺻﺤﻴﺤﺔ(‪.‬‬ ‫اﻟﺮﻣﺰ ∀ ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻜﻤﻢ اﻟﻜﻮﻧﻲ‪.‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫∈ ‪ ∀x‬ﻋﺒﺎرة ﺻﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪x ≥0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∈ ) ‪ ∀ ( x ; y‬ﻋﺒﺎرة ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫‪x − y =1‬‬ ‫د‪ -‬اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﻤﻜﻤﻤﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ p ( x ; y‬داﻟﺔ ﻋﺒﺎرﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪E × F‬‬

‫ﻧﻄﺒﻖ أﺣﺪ اﻟﻤﻜﻤﻤﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ) ‪ p ( x ; y‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ‪x‬‬ ‫ﻣﺜﻼ اﻟﻤﻜﻤﻢ اﻟﻜﻮﻧﻲ‪ ،‬ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ) ‪p ( x ; y‬‬

‫‪( ∀x ∈ E ) :‬‬

‫داﻟﺔ ﻋﺒﺎرﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ‪ y‬وهﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﺮﺗﺒﻄﺔ ﺑـ ‪. x‬‬ ‫ﻧﻄﺒﻖ ﻋﻠﻴﻬﺎ أﺣﺪ اﻟﻤﻜﻤﻤﻴﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ‪ . y‬ﻣﺜﻼ اﻟﻤﻜﻤﻢ اﻟﻮﺟﻮدي‪،‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪p ( x ; y‬‬

‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫‪y =x‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪( ∀x ∈ E‬‬

‫) ∈ ‪( ∀x ∈ ) ( ∃y‬‬

‫)ﻧﺄﺧﺪ ‪( x = −1‬‬ ‫‪) x + y = −2‬‬

‫∈ ‪( ∃y‬‬

‫) ‪. ( ∃y ∈ F‬‬

‫ﻋﺒﺎرة ﺧﺎﻃﺌﺔ‬

‫∈ ‪ ( ∀x‬ﻋﺒﺎرة ﺻﺤﻴﺤﺔ‬

‫)‬ ‫‪ ( ∃y ∈ ) ( ∀x ∈ ) x + y = −2‬ﻋﺒﺎرة ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫‪ ( ∀x ∈ ) ( ∀y ∈ ) x + y ≤ x + y‬ﻋﺒﺎرة ﺻﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪ ( ∃x ∈ ) ( ∃y ∈ ) x + y = 3‬ﻋﺒﺎرة ﺻﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ هﺎﻣﺔ‬ ‫ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﻜﻤﻤﺎت ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻄﺒﻴﻌﺔ ﻟﻴﺲ ﻟﻪ أهﻤﻴﺔ ﻓﻲ ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻤﻌﻨﻰ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻤﻠﻪ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﻤﻜﻤﻤﺔ ‪.‬‬ ‫ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﻜﻤﻤﺎت ﻣﻦ ﻃﺒﻴﻌﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻪ أهﻤﻴﺔ ﻓﻲ ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻤﻌﻨﻰ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻤﻠﻪ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﻤﻜﻤﻤﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -II‬اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت اﻟﻤﻨﻄﻘﻴﺔ‬ ‫‪ -1‬ﻧﻔﻲ ﻋﺒﺎرة‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻧﻔﻲ ﻋﺒﺎرة ‪ p‬هﻲ ﻋﺒﺎرة ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎﺑـ ‪ p‬أو ﺑـ ‪ p‬ﺗﻜﻮن ﺻﺤﻴﺤﺔ إذا آﺎﻧﺖ ‪ p‬ﺧﺎﻃﺌﺔ و ﺗﻜﻮن ﺧﺎﻃﺌﺔ إذا آﺎﻧﺖ‬ ‫‪ p‬ﺗﻘﺮأ ﻧﻔﻲ ‪p‬‬ ‫‪ p‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺟﺪول ﺣﻘﻴﻘﺔ ‪p‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ ﻧﻔﻲ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ 1 ≺ 2‬هﻲ اﻟﻌﺒﺎرة ‪1 ≥ 2‬‬ ‫ﻧﻔﻲ اﻟﻌﺒﺎرة ∉ ‪ 3‬هﻲ اﻟﻌﺒﺎرة ∈ ‪3‬‬ ‫ب‪ -‬ﻧﻔﻲ ﻋﺒﺎرة ﻣﻜﻤﻤﺔ‬ ‫* ﻧﻔﻲ اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ ∀x ∈ E A ( X‬هﻲ اﻟﻌﺒﺎرة‬ ‫‪A (X‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪A (X‬‬

‫)‬ ‫) ‪A (X‬‬

‫‪. ∃x ∈ E‬‬

‫* ﻧﻔﻲ اﻟﻌﺒﺎرة )‬ ‫* ﻧﻔﻲ اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ ( ∀x ∈ E ) ( ∀y ∈ F ) A ( x ; y‬هﻲ اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪( ∃x ∈ E ) ( ∃y ∈ F ) A ( x ; y‬‬ ‫ﻧﻔﻲ اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ ( ∀x ∈ E ) ( ∃y ∈ F ) A ( x ; y‬هﻲ اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪( ∃x ∈ E ) ( ∀y ∈ F ) A ( x ; y‬‬ ‫ﻣﺜﺎل اﻋﻂ ﻧﻔﻲ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪( ∀z 0 ) ( ∃x ∈ ]0;1[ ) ( ∃y ∈ ]0;1[ ) : x 2 + y 2 ≺ z‬‬ ‫‪ ∃x ∈ E‬هﻲ اﻟﻌﺒﺎرة‬

‫‪. ∀x ∈ E‬‬

‫د‪ -‬ﻧﺘﻴﺠﺔ ) اﻻﺳﺘﺪﻻل ﺑﺎﻟﻤﺜﺎل اﻟﻤﻀﺎد(‬ ‫ﻟﻠﺒﺮهﺎن ﻋﻠﻰ أن ﻋﺒﺎرة ﻣﺎ ‪ p‬ﺧﺎﻃﺌﺔ ‪ ،‬ﻳﻜﻔﻲ أن ﻧﺒﻴﻦ أن ﻧﻔﻴﻬﺎ ‪ p‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻟﻠﺒﺮهﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺧﻄﺄ ‪ ( ∀x ∈ E ) : A ( x ) ‬ﻳﻜﻔﻲ أن ﻧﺒﺮهﻦ ﺻﺤﺔ ‪( ∃x ∈ E ) : A ( x ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺑﻴﻦ أن ‪ ∀x ∈ * : x + ≥ 2‬ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ادن ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ ∃x ∈ * : x + ≺ 2‬ﻋﺒﺎرة ﺻﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪x = −2‬‬ ‫‪−2 +‬‬ ‫=‬ ‫‪≺2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−2 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ‪ ∀x ∈ * : x + ≥ 2‬ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ -2‬اﻟﻔﺼﻞ اﻟﻤﻨﻄﻘﻲ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻓﺼﻞ اﻟﻌﺒﺎرﺗﻴﻦ ‪ p‬و ‪ q‬هﻮ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮن ﺻﺤﻴﺤﺔ إذا آﺎﻧﺖ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ إﺣﺪى اﻟﻌﺒﺎرﺗﻴﻦ ‪ p‬و ‪ q‬ﺻﺤﻴﺤﺘﻴﻦ ‪.‬‬ ‫و ﺗﻜﺘﺐ ) ‪ p‬أ و ‪ ( q‬ﻧﻜﺘﺒﻬﺎ أﻳﻀﺎ ‪p ∨ q‬‬ ‫ﺟﺪول ﺣﻘﻴﻘﺔ ‪p ∨ q‬‬

‫(‬

‫)‬

‫)‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫(‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫‪p ∨q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬ ‫∈‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ‪ 22 = −4‬أو ‪ −3 ≥ 1‬ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫* اﻟﻌﺒﺎرﺗﺎن ) ‪ p‬أ و ‪ ( q‬و ) ‪ q‬أ و ‪ ( p‬ﺗﺤﻤﻼن ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻨﻰ ﻧﻘﻮل ﻋﻤﻠﻴﺔ اﻟﻔﺼﻞ ﺗﺒﺎدﻟﻴﺔ‬ ‫* اﻟﻌﺒﺎرﺗﺎن ‪ r‬أو) ‪ p‬أ و ‪ ( q‬و ) ‪ r‬أو ‪ ( p‬أ و ‪ q‬ﺗﺤﻤﻼن ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻨﻰ‪ ،‬ﻧﻘﻮل ﻋﻤﻠﻴﺔ اﻟﻔﺼﻞ ﺗﺠﻤﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -3‬اﻟﻌﻄﻒ اﻟﻤﻨﻄﻘﻲ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻋﻄﻒ اﻟﻌﺒﺎرﺗﻴﻦ ‪ p‬و ‪ q‬هﻮ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮن ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ اﻟﻌﺒﺎرﺗﺎن ‪ p‬و ‪ q‬ﺻﺤﻴﺤﺘﻴﻦ ﻣﻌﺎ‪.‬‬ ‫و ﺗﻜﺘﺐ) ‪ p‬و ‪ ( q‬ﻧﻜﺘﺒﻬﺎ أﻳﻀﺎ ‪p ∧ q‬‬ ‫ﺟﺪول ﺣﻘﻴﻘﺔ ‪p ∧ q‬‬ ‫أو ‪2‬‬

‫‪ 5‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‬

‫‪p ∧q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪3‬‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة‬ ‫∈‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪x 2 ≥ 0‬‬

‫و ‪2‬‬

‫‪ 5‬ﺧﺎﻃﺌﺔ‬

‫∈ ‪( ∀x‬‬

‫و ‪ −3 ≺ 1‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫* اﻟﻌﺒﺎرﺗﺎن ) ‪ p‬و ‪ ( q‬و ) ‪ q‬و ‪ ( p‬ﺗﺤﻤﻼن ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻨﻰ ﻧﻘﻮل ﻋﻤﻠﻴﺔ اﻟﻌﻄﻒ ﺗﺒﺎدﻟﻴﺔ‬ ‫* اﻟﻌﺒﺎرﺗﺎن ‪ r‬و) ‪ p‬و ‪ ( q‬و ) ‪ r‬و ‪ ( p‬و ‪ q‬ﺗﺤﻤﻼن ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻨﻰ‪ ،‬ﻧﻘﻮل ﻋﻤﻠﻴﺔ اﻟﻌﻄﻒ ﺗﺠﻤﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬

‫‪p∨q = p ∧q‬‬

‫* ‪p ∧q = p ∨q‬‬ ‫‪ -4‬اﻻﺳﺘﻠﺰام‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫اﺳﺘﻠﺰام اﻟﻌﺒﺎرﺗﻴﻦ ‪ p‬و ‪ q‬هﻮ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮن ﺧﺎﻃﺌﺔ ﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ ‪ p‬ﺻﺤﻴﺤﺔ و ‪ q‬ﺧﺎﻃﺌﺔ‪.‬‬ ‫و ﺗﻜﺘﺐ ‪ p ⇒ q‬ﺗﻘﺮأ ‪ p‬ﺗﺴﺘﻠﺰم ‪q‬‬ ‫ﺑﻴﻦ ذﻟﻚ‬

‫ﺟﺪول ﺣﻘﻴﻘﺔ ‪p ⇒ q‬‬ ‫‪p ⇒q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ‪x ≥ 0 ⇒ 4 + 1 = 5‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫(‬

‫∈ ‪ ∀x‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‬

‫اﻟﻌﺒﺎرة ‪ 2 1 ⇒ −1 = 2 + 3‬ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ‪ 3 × 2 = 9 ⇒ 5 − 1 = 20‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‬ ‫∈ ∀ ( ﺻﺤﻴﺤﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ‪x ≥ 0 ) ⇒ 2 − 1 = 1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫اﺻﻄﻼح إذا آﺎﻧﺖ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ p ⇒ q‬ﺻﺤﻴﺤﺔ ‪ ،‬ﻧﻘﻮل إن ‪ q‬اﺳﺘﻨﺘﺎج ﻣﻨﻄﻘﻲ ﻟﻠﻌﺒﺎرة ‪. p‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫* اﻟﻌﺒﺎرﺗﺎن ‪ p ⇒ q‬و ) ‪ ( p ∨ q‬ﺗﺤﻤﻼن ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻨﻰ‬ ‫* ‪ q ⇒ p‬ﻳﺴﻤﻰ اﻻﺳﺘﻠﺰام اﻟﻌﻜﺴﻲ ﻟﻼﺳﺘﻠﺰام ‪. p ⇒ q‬‬ ‫* ﻟﻠﺒﺮهﻨﺔ ﻋﻠﻰ أن ‪ p ⇒ q‬ﺻﺤﻴﺤﺔ ‪ ،‬ﻳﻜﻔﻲ أن ﻧﻔﺘﺮض أن ‪ p‬ﺻﺤﻴﺤﺔ و ﻧﺒﻴﻦ أن ‪ q‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻧﻘﻮل إن ‪ p‬ﺷﺮط آﺎف ﻟﺘﺤﻘﻴﻖ ‪q‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ∈ ‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−3x + 5 11‬‬ ‫ﺑﻴﻦ أن‬ ‫⇒ ≤ ‪−2 ≤ x‬‬ ‫≤‬ ‫‪x +4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−3x + 5 11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫≤‬ ‫) ﻧﻔﺘﺮض أن ≤ ‪ −2 ≤ x‬و ﻧﺒﻴﻦ أن‬ ‫‪x +4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -5‬اﻟﺘﻜﺎﻓﺆ اﻟﻤﻨﻄﻘﻲ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ p‬و ‪ q‬ﻋﺒﺎرﺗﻴﻦ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ p ⇒ q‬و ‪ ( q ⇒ p‬ﺗﺴﻤﻰ ﺗﻜﺎﻓﺆ اﻟﻌﺒﺎرﺗﻴﻦ ‪ p‬و ‪ q‬وﺗﻜﻮن ﺻﺤﻴﺤﺔ إذا آﺎﻧﺖ ‪ p‬و ‪ q‬ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﻗﻴﻢ‬ ‫اﻟﺤﻘﻴﻘﺔ و ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑـ ‪ p ⇔ q‬و ﺗﻘﺮأ ‪ p‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ q‬أو ‪ p‬إذا وﻓﻘﻂ إذا ‪ q‬أو ‪ p‬ﺷﺮط ﻻزم و آﺎف ﻟﺘﺤﻘﻴﻖ ‪q‬‬ ‫ﺟﺪول ﺣﻘﻴﻘﺔ ‪p ⇔ q‬‬ ‫‪p ⇔q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫أﻣﺜﻠﺔ اﻟﻌﺒﺎرة )‪ 5‬ﻋﺪد ﻓﺮدي ⇔ ‪ ( 3 2‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة )‪ -1‬ﻋﺪد ﻣﻮﺟﺐ ⇔ ‪ ( 5 + 2 = 3‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ) ∈ ‪ ( 2 1 ⇔ −1‬ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫* ) ‪ ( p ⇔ q ) ⇔ (q ⇔ p‬ﻧﻘﻮل إن اﻟﺘﻜﺎﻓﺆ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺗﺒﺎدﻟﻴﺔ‬

‫* ) ‪ ( p ⇔ (q ⇔ r ) ) ⇔ ( ( p ⇔ q ) ⇔ r‬ﻧﻘﻮل إن اﻟﺘﻜﺎﻓﺆ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺗﺠﻤﻴﻌﻴﺔ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﺟﺪاول اﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ﺑﻴﻦ أن‬ ‫و )‪p ⇒q ⇔ (p ∨q‬‬ ‫‪(p ⇒q) ⇔ p ∨q‬‬

‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫)‪p ⇒ q ⇔ (p ∧q‬‬

‫(‬

‫ﺻﺤﻴﺤﺔ‬

‫‪ -III‬اﻟﻘﻮاﻧﻴﻦ اﻟﻤﻨﻄﻘﻴﺔ‬ ‫آﻞ ﻋﺒﺎرة ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﻋﺒﺎرﺗﻴﻦ أو ﻋﺪة ﻋﺒﺎرات ‪ ...r ; q ; p‬ﻣﺮﺗﺒﻄﺔﺑﻴﻨﻬﺎ ﺑﺎﻟﻌﻤﻠﻴﺎت اﻟﻤﻨﻄﻘﻴﺔ و ﺗﻜﻮن ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻣﻬﻤﺎ‬ ‫آﺎﻧﺖ اﻟﻌﺒﺎرات ‪ ...r ; q ; p‬ﺗﺴﻤﻰ ﻗﺎﻧﻮﻧﺎ ﻣﻨﻄﻘﻴﺎ‬ ‫‪ -1‬أﻧﺸﻄﺔ‬ ‫ﺑﻴﻦ أن اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻣﻨﻄﻘﻴﺔ‬

‫‪p∨p‬‬

‫‪، p⇔p ،‬‬

‫‪( p ∧ ( p ⇒ q )) ⇒ q‬‬

‫) ‪( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r )  ⇒ ( p ⇒ r‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ و اﺻﻄﻼح‬ ‫* ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ ( p ∧ ( p ⇒ q ) ) ⇒ q‬ﻗﺎﻧﻮن ﻣﻨﻄﻘﻲ و ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻼﺳﺘﺪﻻل اﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺟﻲ ‪.‬‬

‫ﻟﻠﺒﺮهﺎن ﻋﻠﻰ ﺻﺤﺔ اﻟﻌﺒﺎرة ‪q‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫ﻧﺒﻴﻦ أن اﻻﺳﺘﻠﺰام ‪ p ⇒ q‬ﺻﺤﻴﺤﺎ ﺣﻴﺚ ‪ p‬ﻋﺒﺎرة ﻣﺎ ﺻﺤﻴﺤﺔ‪ ،‬ﺛﻢ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪ q‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫* ﻟﺪﻳﻨﺎ ) ‪ ( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r )  ⇒ ( p ⇒ r‬ﻗﺎﻧﻮن ﻣﻨﻄﻘﻲ ﻧﻘﻮل إن اﻻﺳﺘﻠﺰام ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻣﺘﻌﺪﻳﺔ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺑﻌﺾ اﻟﻘﻮاﻧﻴﻦ اﻟﻤﻨﻄﻘﻴﺔ‬ ‫*أ‪ -‬ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻣﻮرآﺎن ‪LOIS DE MORGAN‬‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻣﻨﻄﻘﻴﺔ‬ ‫‪(p ∧q) ⇔ p ∨q‬‬ ‫‪(p ∨q) ⇔ p ∧q‬‬ ‫) ‪p ∨ (q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r‬‬ ‫) ‪p ∧ (q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r‬‬

‫ﺗﻄﺒﻴﻖ‬

‫ﺣﻞ ﻓﻲ‬

‫‪2‬‬

‫اﻟﻨﻈﻤﺔ‬

‫‪ 2x − y = 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x − y = 0‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫) ‪( x ; y ) ∈ S ⇔ 2x − y = 2 ∧ ( x − y = 0 ∨ x + y = 0‬‬ ‫) ‪ ( 2x − y = 2 ∧ x − y = 0‬‬ ‫‪⇔‬‬ ‫) ‪∨ ( 2x − y = 2 ∧ x + y = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪⇔ ( x = 2 ∧ y = 2) ∨  x = ∧ y = − ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 2 ‬‬ ‫اذن ‪S = ( 2; 2 ) ;  ; −  ‬‬ ‫‪ 3 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∀x ∈ : x + 1 ≥ 0 ∨ x − 1 ≺ 0‬‬ ‫اﻋﻂ ﻧﻔﻲ اﻟﻌﺒﺎرات‬ ‫‪x +y‬‬ ‫∈ ‪∀x‬‬ ‫∈ ‪∀y‬‬ ‫‪≤1‬‬ ‫≤ ‪( x ; y ) ∈ [0;1] ⇒ 0‬‬ ‫‪1 + xy‬‬ ‫*ب‪ -‬ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺘﻜﺎﻓﺆات اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﻣﻨﻄﻘﻲ‪.‬‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ ( A ⇔ B ) ∧ ( B ⇔ C )  ⇒ ( A ⇔ C‬ﻗﺎﻧﻮن‬

‫ﻧﺘﻴﺠﺔ ) اﻻﺳﺘﺪﻻل ﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻓﺆات اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ(‬ ‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ هﺬا اﻟﻘﺎﻧﻮن أﻧﻪ اذا آﺎن ) ‪ ( A ⇔ B‬و ) ‪ ( B ⇔ C‬ﻓﺎن ) ‪ ( A ⇔ C‬ﺻﺤﺒﺤﺎ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ‬

‫∈ ) ‪(x ; y‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x +y‬‬ ‫ﺑﻴﻦ أن ) ‪⇔ ( x ; y ) = ( 2;8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫* د‪ -‬ﻗﺎﻧﻮن اﻻﺳﺘﻠﺰام اﻟﻤﻀﺎد ﻟﻠﻌﻜﺲ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ‪ ( A ⇒ B ) ⇔ B ⇒ A‬ﻗﺎﻧﻮن ﻣﻨﻄﻘﻲ‬

‫= ‪x −1 + 2 y − 4‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﺑﻌﺾ اﻷﺣﻴﺎن ﻳﺼﻌﺐ اﻟﺒﺮهﺎن ﻋﻠﻰ ﺻﺤﺔ ‪A ⇒ B‬‬ ‫ﻓﻨﻠﺠﺄ اﻟﻰ اﻟﺒﺮهﺎن ﻋﻠﻰ ﺻﺤﺔ ‪ B ⇒ A‬ﺛﻢ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺻﺤﺔ ‪A ⇒ B‬‬ ‫هﺬا اﻟﺒﺮهﺎن ﻳﺴﻤﻰ اﻻﺳﺘﺪﻻل ﺑﺎﻻﺳﺘﻠﺰام اﻟﻤﻀﺎد ﻟﻠﻌﻜﺲ‬ ‫∈‪x‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ‬ ‫‪x +2‬‬ ‫⇒ ‪x ≠ −8‬‬ ‫ﺑﻴﻦ أن ‪≠ 2‬‬ ‫‪x +5‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪ ( A ⇔ B ) ⇔ A ⇔ B‬ﻗﺎﻧﻮن ﻣﻨﻄﻘﻲ‬

‫)‬

‫(‬

‫*ج‪ -‬ﻗﺎﻧﻮن اﻟﺨﻠﻒ‬

‫‪5‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫)‬

‫(‬

‫( )‬

‫‪ ( B ⇒ C ∧ B ⇒ C ) ⇒ B‬ﻗﺎﻧﻮن ﻣﻨﻄﻘﻲ‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ ) اﻻﺳﺘﺪﻻل ﺑﺎﻟﺨﻠﻒ(‬ ‫ﻧﻔﺘﺮض أن ‪ B‬ﺻﺤﻴﺤﺔ ‪ ،‬وﻧﺒﻴﻦ أن ‪ B ⇒ C‬ﺻﺤﻴﺤﺔ) أي ‪C‬‬ ‫ﺻﺤﻴﺤﺔ ( ﺣﻴﺚ ‪ C‬ﻋﺒﺎرة ﻣﺎ ﺻﺤﻴﺤﺔ ) أي ‪ B ⇒ C‬ﺻﺤﻴﺤﺔ(‬ ‫و هﺬا ﺗﻨﺎﻗﺾ ﻷن ‪ C‬ﻻ ﻳﻤﻜﻦ أن ﺗﻜﻮن ﺻﺤﻴﺤﺔ و ﺧﺎﻃﺌﺔ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻮﻗﺖ ‪.‬ﺛﻢ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪ B‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫هﺬا ﻧﻮع ﻣﻦ اﻻﺳﺘﺪﻻل ﻳﺴﻤﻰ اﻻﺳﺘﺪﻻل ﺑﺎﻟﺨﻠﻒ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺑﺮهﻦ أن ∉ ‪2‬‬ ‫* ر‪ -‬ﻗﺎﻧﻮن ﻓﺼﻞ اﻟﺤﺎﻻت‬ ‫‪ (( A ⇒ B ) ∧ ( B ⇒ C )) ⇒ ( A ∨ B ) ⇒ C ‬ﻗﺎﻧﻮن ﻣﻨﻄﻘﻲ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ A ∨ B‬ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻓﺎﻧﻪ ﻟﻠﺒﺮهﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺻﺤﺔ ‪ ، C‬ﻧﺒﻴﻦ أن ‪ A ⇒ C‬ﺻﺤﻴﺤﺔ و ‪ B ⇒ C‬ﺻﺤﻴﺤﺔ ‪،‬‬ ‫ﺛﻢ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪ C‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫هﺬا اﻻﺳﺘﺪﻻل ﻳﺴﻤﻰ اﻻﺳﺘﺪﻻل ﺑﻔﺼﻞ اﻟﺤﺎﻻت‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎ ﻧﻄﺒﻖ ‪ ( A ⇒ C ) ∧ A ⇒ C  ⇒ C‬ﻷن ‪ A ∨ A‬ﺻﺤﻴﺤﺔ داﺋﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪x − x − 1 + 1 = 0‬‬ ‫ﺣﻞ ﻓﻲ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ -VI‬ﻣﺒﺪأ اﻟﺘﺮﺟــــﻊ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ p ( n‬ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ‪ n‬ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ‬ ‫اذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ ‪ n 0‬ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮن اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ p ( n 0‬ﺻﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬ ‫و اذا آﺎﻧﺖ اﻟﻌﺒﺎرة )‪p ( n ) ⇒ p ( n + 1‬‬

‫‪ ∀n ≥ n 0‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‪ .‬ﻓﺎن اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ ( ∀n ≥ n 0 ) : p ( n‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫ﻟﻠﺒﺮهﺎن ﻋﻠﻰ أن ) ‪ ( ∀n ≥ n 0 ) : p ( n‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‪ ،‬ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫•‬

‫اﻟﺘﺤﻘﻖ ‪:‬‬ ‫ﻧﺘﺤﻘﻖ أن اﻟﻌﺒﺎرة‬

‫•‬

‫اﻓﺘﺮاض اﻟﺘﺮﺟﻊ ‪:‬‬ ‫ﻧﻔﺘﺮض أن اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ p ( n‬ﺻﺤﻴﺤﺔ ‪n ≥ n 0‬‬

‫) ‪ p ( n 0‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‬ ‫و ﻧﺒﻴﻦ أن )‪ p ( n + 1‬ﺻﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫هﺬا اﻻﺳﺘﺪاﻻل ﻳﺴﻤﻰ اﻻﺳﺘﺪﻻل ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺑﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ ‪∀n ≥ 4 2n ≥ n 2‬‬ ‫)‪n ( n + 1)( 2n + 1‬‬ ‫= ‪∀n ∈ * 12 + 22 + .... + n 2‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬