Logiques

‫ﻣﺒﺎدئ ﻓﻲ اﻟﻤﻨﻄﻖ‬

‫‪ -I‬ﺗﻌﺎرﻳﻒ وﻣﺼﻄﻠﺤﺎت‬ ‫‪ -1‬اﻟﻌﺒﺎرة – اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺒﺎرﻳﺔ‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫آﻞ ﺟﻤﻠﺔ ﺹﺤﻴﺤﺔ ﻥﺤﻮﻳﺎ و ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺤﻜﻢ ﻋﻦ ﺹﺤﺔ ﻣﻌﻨﺎهﺎ أو ﺧﻄﺄﻩ ﺏﺪون ﻥﻘﺎش ﺗﺴﻤﻰ ﻋﺒﺎرة‪.‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫‪: p1‬‬

‫ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﺼﻮص اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪3 : p 2‬ﻋﺪد زوﺟﻲ‬

‫‪− 2 × 4 = −8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪: p3‬‬

‫‪5+7‬‬

‫‪ p1‬و ‪ p 3‬ﻋﺒﺎرﺗﺎن ﺹﺤﻴﺤﺘﺎن‬ ‫‪ p 2‬ﻋﺒﺎرة ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫ب‪ -‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫آﻞ ﻥﺺ رﻳﺎﺿﻲ ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻳﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻌﻴﻨﺔ و ﻳﺼﺒﺢ ﻋﺒﺎرة آﻠﻤﺎ ﻋﻮﺿﻨﺎ هﺬا اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺏﻌﻨﺼﺮ‬ ‫ﻣﺤﺪد ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻳﺴﻤﻰ داﻟﺔ ﻋﺒﺎرﻳﺔ‪.‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫‪x ≤3‬‬

‫داﻟﺔ ﻋﺒﺎرﻳﺔ‬

‫∈‪x‬‬

‫‪x − 2y = 3‬‬

‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪ ( x ; y‬داﻟﺔ ﻋﺒﺎرﻳﺔ‬

‫‪ -2‬اﻟﻤﻜﻤﻤﺎت – اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﻤﻜﻤﻤﺔ‬ ‫أ‪ -‬اﻟﻤﻜﻤﻢ اﻟﻮﺟﻮدي‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ x ∈ E ; p ( x‬داﻟﺔ ﻋﺒﺎرﻳﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ ( ∃x ∈ E ) : p ( x‬ﺗﻌﻨﻲ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻋﻨﺼﺮا ‪ x‬ﻣﻦ ‪ E‬ﻳﺤﻘﻖ ) ‪. p ( x‬‬ ‫اﻟﺮﻣﺰ ∃ ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻜﻤﻢ اﻟﻮﺟﻮدي ‪.‬‬ ‫إذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻨﺼﺮا وﺡﻴﺪا ‪ x‬ﻣﻦ ‪ E‬ﻳﺤﻘﻖ ) ‪ p ( x‬ﻓﺈﻥﻨﺎ ﻥﻜﺘﺐ ) ‪p ( x‬‬

‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫∈ ‪ ∃x‬ﻋﺒﺎرة ﺧﺎﻃﺌﺔ‬

‫‪x 2 = −1‬‬

‫‪x‬‬ ‫∈‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫∈ ‪ ∃x‬ﻋﺒﺎرة ﺹﺤﻴﺤﺔ‬

‫= ‪cos x‬‬

‫‪x2 =4‬‬

‫ب‪ -‬اﻟﻤﻜﻤﻢ اﻟﻜﻮﻥﻲ‬

‫] ‪ ∃!x ∈ [ 0; π‬ﻋﺒﺎرة ﺹﺤﻴﺤﺔ‬ ‫∈ ‪ ∃!x‬ﻋﺒﺎرة ﺧﺎﻃﺌﺔ‬

‫‪( ∃!x ∈ E ) :‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ x ∈ E ; p ( x‬داﻟﺔ ﻋﺒﺎرﻳﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ ( ∀x ∈ E ) : p ( x‬ﺗﻌﻨﻲ أن ﺟﻤﻊ ﻋﻨﺎﺹﺮ ‪ E‬ﺗﺤﻘﻖ ) ‪ . p ( x‬ﺗﻘﺮأ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ p ( x ) , E‬ﻣﺤﻘﻖ‬ ‫) أو ﺹﺤﻴﺤﺔ(‪.‬‬ ‫اﻟﺮﻣﺰ ∀ ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻜﻤﻢ اﻟﻜﻮﻥﻲ‪.‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫‪x2 ≥0‬‬

‫∈ ‪ ∀x‬ﻋﺒﺎرة ﺹﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬

‫‪x − y =1‬‬

‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪ ∀ ( x ; y‬ﻋﺒﺎرة ﺧﺎﻃﺌﺔ‬

‫د‪ -‬اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﻤﻜﻤﻤﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ p ( x ; y‬داﻟﺔ ﻋﺒﺎرﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪E × F‬‬

‫ﻥﻄﺒﻖ أﺡﺪ اﻟﻤﻜﻤﻤﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺨﺎﺹﻴﺔ ) ‪ p ( x ; y‬ﺏﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ‪x‬‬ ‫ﻣﺜﻼ اﻟﻤﻜﻤﻢ اﻟﻜﻮﻥﻲ‪ ،‬ﻥﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ) ‪p ( x ; y‬‬

‫‪( ∀x ∈ E ) :‬‬

‫داﻟﺔ ﻋﺒﺎرﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ‪ y‬وهﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﺮﺗﺒﻄﺔ ﺏـ ‪. x‬‬ ‫ﻥﻄﺒﻖ ﻋﻠﻴﻬﺎ أﺡﺪ اﻟﻤﻜﻤﻤﻴﻦ ﺏﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ‪ . y‬ﻣﺜﻼ اﻟﻤﻜﻤﻢ اﻟﻮﺟﻮدي‪،‬‬ ‫ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪. ( ∃y ∈ F ) ( ∀x ∈ E ) p ( x ; y‬‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫‪ ( ∀x ∈ ) ( ∃y ∈ ) y 2 = x‬ﻋﺒﺎرة ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫)ﻥﺄﺧﺪ ‪( x = −1‬‬ ‫‪ ( ∀x ∈ ) ( ∃y ∈ ) x + y = −2‬ﻋﺒﺎرة ﺹﺤﻴﺤﺔ‬ ‫‪ ( ∃y ∈ ) ( ∀x ∈ ) x + y = −2‬ﻋﺒﺎرة ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫‪ ( ∀x ∈ ) ( ∀y ∈ ) x + y ≤ x + y‬ﻋﺒﺎرة ﺹﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫‪ ( ∃x ∈ ) ( ∃y ∈ ) x + y = 3‬ﻋﺒﺎرة ﺹﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﻼﺡﻈﺔ هﺎﻣﺔ‬ ‫ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﻜﻤﻤﺎت ﻣﻦ ﻥﻔﺲ اﻟﻄﺒﻴﻌﺔ ﻟﻴﺲ ﻟﻪ أهﻤﻴﺔ ﻓﻲ ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻤﻌﻨﻰ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻤﻠﻪ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﻤﻜﻤﻤﺔ ‪.‬‬ ‫ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﻜﻤﻤﺎت ﻣﻦ ﻃﺒﻴﻌﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻪ أهﻤﻴﺔ ﻓﻲ ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻤﻌﻨﻰ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻤﻠﻪ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﻤﻜﻤﻤﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -II‬اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت اﻟﻤﻨﻄﻘﻴﺔ‬ ‫‪ -1‬ﻥﻔﻲ ﻋﺒﺎرة‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻥﻔﻲ ﻋﺒﺎرة ‪ p‬هﻲ ﻋﺒﺎرة ﻥﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎﺏـ ‪ p‬أو ﺏـ ‪ p‬ﺗﻜﻮن ﺹﺤﻴﺤﺔ إذا آﺎﻥﺖ ‪ p‬ﺧﺎﻃﺌﺔ و ﺗﻜﻮن ﺧﺎﻃﺌﺔ إذا آﺎﻥﺖ‬ ‫‪ p‬ﺹﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺟﺪول ﺡﻘﻴﻘﺔ ‪p‬‬

‫‪ p‬ﺗﻘﺮأ ﻥﻔﻲ ‪p‬‬

‫‪p‬‬

‫‪p‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫أﻣﺜﻠﺔ‬

‫)‬

‫اﻟﻌﺒﺎرة ‪x 2 ≥ 0 ⇒ 4 + 1 = 5‬‬

‫∈ ‪ ( ∀x‬ﺹﺤﻴﺤﺔ‬

‫اﻟﻌﺒﺎرة ‪ 2 1 ⇒ −1 = 2 + 3‬ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ‪ 3 × 2 = 9 ⇒ 5 − 1 = 20‬ﺹﺤﻴﺤﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ‪x ≥ 0 ) ⇒ 2 − 1 = 1‬‬

‫∈ ∀ ( ﺹﺤﻴﺤﺔ‬

‫اﺹﻄﻼح إذا آﺎﻥﺖ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ p ⇒ q‬ﺹﺤﻴﺤﺔ ‪ ،‬ﻥﻘﻮل إن ‪ q‬اﺱﺘﻨﺘﺎج ﻣﻨﻄﻘﻲ ﻟﻠﻌﺒﺎرة ‪. p‬‬ ‫ﻣﻼﺡﻈﺔ‬ ‫* اﻟﻌﺒﺎرﺗﺎن ‪ p ⇒ q‬و ) ‪ ( p ∨ q‬ﺗﺤﻤﻼن ﻥﻔﺲ اﻟﻤﻌﻨﻰ‬ ‫* ‪ q ⇒ p‬ﻳﺴﻤﻰ اﻻﺱﺘﻠﺰام اﻟﻌﻜﺴﻲ ﻟﻼﺱﺘﻠﺰام ‪. p ⇒ q‬‬ ‫* ﻟﻠﺒﺮهﻨﺔ ﻋﻠﻰ أن ‪ p ⇒ q‬ﺹﺤﻴﺤﺔ ‪ ،‬ﻳﻜﻔﻲ أن ﻥﻔﺘﺮض أن ‪ p‬ﺹﺤﻴﺤﺔ و ﻥﺒﻴﻦ أن ‪ q‬ﺹﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻥﻘﻮل إن ‪ p‬ﺷﺮط آﺎف ﻟﺘﺤﻘﻴﻖ ‪q‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ‬

‫∈‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪−3x + 5 11‬‬ ‫ﺏﻴﻦ أن‬ ‫⇒‬ ‫≤‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x +4‬‬ ‫‪2‬‬

‫≤ ‪−2 ≤ x‬‬

‫‪−3x + 5 11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫) ﻥﻔﺘﺮض أن ≤ ‪ −2 ≤ x‬و ﻥﺒﻴﻦ أن‬ ‫‪x +4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫(‬

‫‪ -5‬اﻟﺘﻜﺎﻓﺆ اﻟﻤﻨﻄﻘﻲ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ p‬و ‪ q‬ﻋﺒﺎرﺗﻴﻦ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ p ⇒ q‬و ‪ ( q ⇒ p‬ﺗﺴﻤﻰ ﺗﻜﺎﻓﺆ اﻟﻌﺒﺎرﺗﻴﻦ ‪ p‬و ‪ q‬وﺗﻜﻮن ﺹﺤﻴﺤﺔ إذا آﺎﻥﺖ ‪ p‬و ‪ q‬ﻟﻬﻤﺎ ﻥﻔﺲ ﻗﻴﻢ‬ ‫اﻟﺤﻘﻴﻘﺔ و ﻥﺮﻣﺰ‬

‫ﻟﻬﺎ ﺏـ ‪ p ⇔ q‬و ﺗﻘﺮأ ‪ p‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ q‬أو ‪ p‬إذا وﻓﻘﻂ إذا ‪ q‬أو ‪ p‬ﺷﺮط ﻻزم و آﺎف ﻟﺘﺤﻘﻴﻖ ‪q‬‬

‫ﺟﺪول ﺡﻘﻴﻘﺔ ‪p ⇔ q‬‬

‫‪p ⇔q‬‬

‫‪q‬‬

‫‪p‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫أﻣﺜﻠﺔ اﻟﻌﺒﺎرة )‪ 5‬ﻋﺪد ﻓﺮدي ⇔ ‪ ( 3 2‬ﺹﺤﻴﺤﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة )‪ -1‬ﻋﺪد ﻣﻮﺟﺐ ⇔ ‪ ( 5 + 2 = 3‬ﺹﺤﻴﺤﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ) ∈ ‪ ( 2 1 ⇔ −1‬ﺧﺎﻃﺌﺔ‬ ‫ﻣﻼﺡﻈﺔ‬ ‫* ) ‪ ( p ⇔ q ) ⇔ (q ⇔ p‬ﻥﻘﻮل إن اﻟﺘﻜﺎﻓﺆ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺗﺒﺎدﻟﻴﺔ‬ ‫* ) ‪ ( p ⇔ (q ⇔ r ) ) ⇔ ( ( p ⇔ q ) ⇔ r‬ﻥﻘﻮل إن اﻟﺘﻜﺎﻓﺆ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺗﺠﻤﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﺏﺎﺱﺘﻌﻤﺎل ﺟﺪاول اﻟﺤﻘﻴﻘﺔ ﺏﻴﻦ أن‬

‫)‪(p ⇒q) ⇔ (p ∨q‬‬

‫و‬

‫)‪(p ⇒q) ⇔ (p ∨q‬‬

‫) ‪ p ⇒ q ⇔ ( p ∧ q‬ﺹﺤﻴﺤﺔ‬ ‫‪ -III‬اﻟﻘﻮاﻥﻴﻦ اﻟﻤﻨﻄﻘﻴﺔ‬ ‫آﻞ ﻋﺒﺎرة ﻣﻜﻮﻥﺔ ﻣﻦ ﻋﺒﺎرﺗﻴﻦ أو ﻋﺪة ﻋﺒﺎرات ‪ ...r ; q ; p‬ﻣﺮﺗﺒﻄﺔﺏﻴﻨﻬﺎ ﺏﺎﻟﻌﻤﻠﻴﺎت اﻟﻤﻨﻄﻘﻴﺔ و ﺗﻜﻮن ﺹﺤﻴﺤﺔ ﻣﻬﻤﺎ آﺎﻥﺖ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرات ‪ ...r ; q ; p‬ﺗﺴﻤﻰ ﻗﺎﻥﻮﻥﺎ ﻣﻨﻄﻘﻴﺎ‬ ‫‪ -1‬أﻥﺸﻄﺔ‬ ‫ﺏﻴﻦ أن اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻗﻮاﻥﻴﻦ ﻣﻨﻄﻘﻴﺔ‬ ‫‪، p⇔p ، p∨p‬‬

‫‪( p ∧ ( p ⇒ q )) ⇒ q‬‬

‫) ‪( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r )  ⇒ ( p ⇒ r‬‬

‫ﻣﻼﺡﻈﺔ و اﺹﻄﻼح‬ ‫* ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ ( p ∧ ( p ⇒ q ) ) ⇒ q‬ﻗﺎﻥﻮن ﻣﻨﻄﻘﻲ و ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻼﺱﺘﺪﻻل اﻻﺱﺘﻨﺘﺎﺟﻲ ‪.‬‬ ‫ﻟﻠﺒﺮهﺎن ﻋﻠﻰ ﺹﺤﺔ اﻟﻌﺒﺎرة ‪q‬‬

‫ﻥﺒﻴﻦ أن اﻻﺱﺘﻠﺰام ‪ p ⇒ q‬ﺹﺤﻴﺤﺎ ﺡﻴﺚ ‪ p‬ﻋﺒﺎرة ﻣﺎ ﺹﺤﻴﺤﺔ‪ ،‬ﺙﻢ ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪ q‬ﺹﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫* ﻟﺪﻳﻨﺎ ) ‪ ( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r )  ⇒ ( p ⇒ r‬ﻗﺎﻥﻮن ﻣﻨﻄﻘﻲ ﻥﻘﻮل إن اﻻﺱﺘﻠﺰام ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻣﺘﻌﺪﻳﺔ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺏﻌﺾ اﻟﻘﻮاﻥﻴﻦ اﻟﻤﻨﻄﻘﻴﺔ‬

‫*أ‪ -‬ﻗﻮاﻥﻴﻦ ﻣﻮرآﺎن ‪LOIS DE MORGAN‬‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻗﻮاﻥﻴﻦ ﻣﻨﻄﻘﻴﺔ‬

‫‪(p ∧q) ⇔ p ∨q‬‬ ‫‪(p ∨q) ⇔ p ∧q‬‬ ‫) ‪p ∨ (q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r‬‬ ‫) ‪p ∧ (q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r‬‬ ‫ﺡﻞ ﻓﻲ‬

‫ﺗﻄﺒﻴﻖ‬

‫‪2‬‬

‫اﻟﻨﻈﻤﺔ‬ ‫‪ 2x − y = 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x − y = 0‬‬

‫اﻟﺤﻞ‬ ‫) ‪⇔ 2x − y = 2 ∧ ( x − y = 0 ∨ x + y = 0‬‬

‫‪(x ; y ) ∈ S‬‬

‫) ‪ ( 2x − y = 2 ∧ x − y = 0‬‬ ‫‪⇔‬‬ ‫) ‪∨ ( 2x − y = 2 ∧ x + y = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪⇔ ( x = 2 ∧ y = 2) ∨  x = ∧ y = − ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ 2 2 ‬‬ ‫اذن ‪S = ( 2; 2 ) ;  ; −  ‬‬ ‫‪ 3 3 ‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫اﻋﻂ ﻥﻔﻲ اﻟﻌﺒﺎرات‬ ‫‪x +y‬‬ ‫‪≤1‬‬ ‫‪1 + xy‬‬

‫‪: x +1 ≥ 0 ∨ x 2 −1 ≺ 0‬‬

‫≤ ‪( x ; y ) ∈ [0;1] ⇒ 0‬‬

‫∈ ‪∀y‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬

‫*ب‪ -‬ﻗﺎﻥﻮن اﻟﺘﻜﺎﻓﺆات اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ ( A ⇔ B ) ∧ ( B ⇔ C )  ⇒ ( A ⇔ C‬ﻗﺎﻥﻮن‬

‫ﻣﻨﻄﻘﻲ‪.‬‬

‫ﻥﺘﻴﺠﺔ ) اﻻﺱﺘﺪﻻل ﺏﺎﻟﺘﻜﺎﻓﺆات اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ(‬ ‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ هﺬا اﻟﻘﺎﻥﻮن أﻥﻪ اذا آﺎن ) ‪ ( A ⇔ B‬و ) ‪ ( B ⇔ C‬ﻓﺎن ) ‪ ( A ⇔ C‬ﺹﺤﺒﺤﺎ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ‬

‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪(x ; y‬‬

‫‪x +y‬‬ ‫ﺏﻴﻦ أن ) ‪⇔ ( x ; y ) = ( 2;8‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪x −1 + 2 y − 4‬‬

‫* د‪ -‬ﻗﺎﻥﻮن اﻻﺱﺘﻠﺰام اﻟﻤﻀﺎد ﻟﻠﻌﻜﺲ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ ( A ⇒ B ) ⇔ ( B ⇒ A‬ﻗﺎﻥﻮن ﻣﻨﻄﻘﻲ‬ ‫ﻣﻼﺡﻈﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﺏﻌﺾ اﻷﺡﻴﺎن ﻳﺼﻌﺐ اﻟﺒﺮهﺎن ﻋﻠﻰ ﺹﺤﺔ ‪A ⇒ B‬‬ ‫ﻓﻨﻠﺠﺄ اﻟﻰ اﻟﺒﺮهﺎن ﻋﻠﻰ ﺹﺤﺔ ‪ B ⇒ A‬ﺙﻢ ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ ﺹﺤﺔ ‪A ⇒ B‬‬

‫هﺬا اﻟﺒﺮهﺎن ﻳﺴﻤﻰ اﻻﺱﺘﺪﻻل ﺏﺎﻻﺱﺘﻠﺰام اﻟﻤﻀﺎد ﻟﻠﻌﻜﺲ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ‬

‫∈‪x‬‬

‫‪x +2‬‬ ‫ﺏﻴﻦ أن ‪≠ 2‬‬ ‫‪x +5‬‬

‫⇒ ‪x ≠ −8‬‬

‫ﻥﺘﻴﺠﺔ‬ ‫) ‪ ( A ⇔ B ) ⇔ ( A ⇔ B‬ﻗﺎﻥﻮن ﻣﻨﻄﻘﻲ‬ ‫*ج‪ -‬ﻗﺎﻥﻮن اﻟﺨﻠﻒ‬ ‫‪ (( B ⇒ C ) ∧ ( B ⇒ C )) ⇒ B‬ﻗﺎﻥﻮن ﻣﻨﻄﻘﻲ‬ ‫ﻥﺘﻴﺠﺔ ) اﻻﺱﺘﺪﻻل ﺏﺎﻟﺨﻠﻒ(‬ ‫ﻥﻔﺘﺮض أن ‪ B‬ﺹﺤﻴﺤﺔ ‪ ،‬وﻥﺒﻴﻦ أن ‪ B ⇒ C‬ﺹﺤﻴﺤﺔ) أي ‪C‬‬

‫ﺹﺤﻴﺤﺔ ( ﺡﻴﺚ ‪ C‬ﻋﺒﺎرة ﻣﺎ ﺹﺤﻴﺤﺔ ) أي ‪ B ⇒ C‬ﺹﺤﻴﺤﺔ(‬ ‫و هﺬا ﺗﻨﺎﻗﺾ ﻷن ‪ C‬ﻻ ﻳﻤﻜﻦ أن ﺗﻜﻮن ﺹﺤﻴﺤﺔ و ﺧﺎﻃﺌﺔ ﻓﻲ ﻥﻔﺲ اﻟﻮﻗﺖ ‪.‬ﺙﻢ ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪ B‬ﺹﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫هﺬا ﻥﻮع ﻣﻦ اﻻﺱﺘﺪﻻل ﻳﺴﻤﻰ اﻻﺱﺘﺪﻻل ﺏﺎﻟﺨﻠﻒ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫ﺏﺮهﻦ أن‬

‫∉‪2‬‬

‫* ر‪ -‬ﻗﺎﻥﻮن ﻓﺼﻞ اﻟﺤﺎﻻت‬ ‫‪ (( A ⇒ B ) ∧ ( B ⇒ C )) ⇒ ( A ∨ B ) ⇒ C ‬ﻗﺎﻥﻮن ﻣﻨﻄﻘﻲ‬ ‫ﻣﻼﺡﻈﺔ‬ ‫إذا آﺎﻥﺖ ‪ A ∨ B‬ﺹﺤﻴﺤﺔ ﻓﺎﻥﻪ ﻟﻠﺒﺮهﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﺹﺤﺔ ‪ ، C‬ﻥﺒﻴﻦ أن ‪ A ⇒ C‬ﺹﺤﻴﺤﺔ و ‪ B ⇒ C‬ﺹﺤﻴﺤﺔ ‪،‬‬ ‫ﺙﻢ ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أن ‪ C‬ﺹﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫هﺬا اﻻﺱﺘﺪﻻل ﻳﺴﻤﻰ اﻻﺱﺘﺪﻻل ﺏﻔﺼﻞ اﻟﺤﺎﻻت‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺎ ﻥﻄﺒﻖ ‪ ( A ⇒ C ) ∧ ( A ⇒ C )  ⇒ C‬ﻷن ‪ A ∨ A‬ﺹﺤﻴﺤﺔ داﺉﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﺡﻞ ﻓﻲ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪x 2 − x − 1 + 1 = 0‬‬

‫‪ -IV‬ﻣﺒﺪأ اﻟﺘﺮﺟــــﻊ‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ p ( n‬ﺧﺎﺹﻴﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ‪ n‬ﺹﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ‬ ‫اذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺹﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ ‪ n 0‬ﺏﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮن اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ p ( n 0‬ﺹﺤﻴﺤﺔ ‪.‬‬ ‫و اذا آﺎﻥﺖ اﻟﻌﺒﺎرة )‪ ∀n ≥ n 0 p ( n ) ⇒ p ( n + 1‬ﺹﺤﻴﺤﺔ‪ .‬ﻓﺎن اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ ( ∀n ≥ n 0 ) : p ( n‬ﺹﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﻼﺡﻈﺔ‬ ‫ﻟﻠﺒﺮهﺎن ﻋﻠﻰ أن ) ‪ ( ∀n ≥ n 0 ) : p ( n‬ﺹﺤﻴﺤﺔ‪ ،‬ﻥﺘﺒﻊ اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫• اﻟﺘﺤﻘﻖ ‪:‬‬

‫ﻥﺘﺤﻘﻖ أن اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ p ( n 0‬ﺹﺤﻴﺤﺔ‬ ‫• اﻓﺘﺮاض اﻟﺘﺮﺟﻊ ‪:‬‬

‫ﻥﻔﺘﺮض أن اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ p ( n‬ﺹﺤﻴﺤﺔ ‪ n ≥ n 0‬و ﻥﺒﻴﻦ أن )‪ p ( n + 1‬ﺹﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫هﺬا اﻻﺱﺘﺪاﻻل ﻳﺴﻤﻰ اﻻﺱﺘﺪﻻل ﺏﺎﻟﺘﺮﺟﻊ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺏﻴﻦ ﺏﺎﻟﺘﺮﺟﻊ ‪∀n ≥ 4 2n ≥ n 2‬‬ ‫)‪n ( n + 1)( 2n + 1‬‬ ‫‪6‬‬

‫= ‪12 + 22 + .... + n 2‬‬

‫*‬

‫∈ ‪∀n‬‬