Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA Logika Matematika adalah cabang dari ilmu matematika yang mempelajari pernyataan, pernyataan majemuk dan nilai kebenarannya berdasarkan aturanaturan dasar dalam logika matematika untuk penarikan suatu kesimpulan. WARNING ! 1. Kebenaran logika matematika berdasarkan aturan dasar yang berlaku dalam matematika Jangan meninjau dari nilai kebenaran lainnya. 2. Dalam belajar Logika matematika berlainan dengan belajar kalimat dalam Bahasa Indonesia atau bahasa lainnya. Pernyataan

Kalimat .

Pernyataan adalah kalimat yang pasti bernilai Benar atau bernilai Salah tetapi tidak sekaligus bernilai Benar dan Salah

3. KONJUNGSI DUA PERNYATAAN. Konjungsi dua pernyataan p dan q adalah pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung logika dan Kata dan dapat diganti dengan kata “ tetapi ”, “Walaupun”, “ Meskipun” Contoh: p : 2 Bilangan Prima q : 2 Bilangan genap. p ∧ q : …………………………………………………… …………………………………………………… Definisi : Konjungsi bernilai Benar bila Kedua Pernyataan bernilai benar TABEL NILAI KEBENARAN KONJUNGSI

Kalimat Terbuka

p B B S S

CATATAN : Pernyataan ditulis dengan simbol huruf kecil Contoh pernyataan atau bukan kalimat di bawah ini : 1. 5 adalah bilangan genap 2. Lukisan Affandi indah 3. Hari ini hujan 4. Semua bentuk akar adalah bilangan Rasional 5. Sate termasuk makanan enak. OPERASI OPERASI PADA PERNYATAAN. 1. INGKARAN / NEGASI. Jika p adalah pernyataan bernilai Benar maka Ingkaran p ditulis ~ p bernilai Salah, dan sebaliknya. Untuk membuat Ingkaran suatu pernyataan kita menggunakan kata : tidak benar p atau bukan p atau dengan kata bukan, tidak, dll, pada pernyataan yg sesuai. Contoh : Tentukanlah Ingkaran dari pernyataan di bawah ini : 1. p : 3 adalah bilangan prima 2. q : Bilangan genap pasti terbagi oleh 2

Contoh Soal : Tentukanlah nilai Kebenaran Pernyataan di bawah ini : 1. 2 3 = 6 dan 5 kurang dari 10 2. Hari kemerdekaan Indonesia tanggal 17 – 8 – 1945 dan hari kemerdekaan Philipina tanggal 29–2– 1941 3. 6 Bilangan Komposit dan Semua pilot Wanita 4. DISJUNGSI DUA PERNYATAAN. Disjungsi dua pernyataan p dan q adalah pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung logika atau ditulis p ∨ q dibaca p atau q TABEL NILAI KEBENARAN DISJUNGSI p B B S S

3. r : Nilai dari 2 log 8 = 3 2. INGKARAN PERNYATAAN BERKUANTOR.

KUANTOR :

Kuantor Universal ( Umum ) Menggunakan kata : Semua, Untuk setiap, seluruhnya dll. Kuantor Eksistensial ( Khusus ) Menggunakan kata : ada , beberapa

Ingkaran dari pernyataan berkuantor Universal menjadi pernyataan berkuantor Eksistensial dan sebaliknya. Contoh : Tentukanlah Ingkaran dari pernyataan di bawah ini : 1. p : Semua bilangan prima genap 2. q : Untuk setiap bilangan genap pasti terbagi oleh 2 3. r : Beberapa mausia tidak makan beras

p∧ q

q B S B S

q B S B S

p∨ q

Nb : Disjungsi bernilai …….......jika …...………………………... Contoh soal : Tentukanlah nilai Kebenaran Pernyataan di bawah ini : 1. 2 3 = 6 atau 5 kurang dari 10 2. Hari kemerdekaan Indonesia tanggal 17 – 8 – 1945 atau hari kemerdekaan Philipina tgl 29–2– 1941 3. 6 Bilangan Komposit atau Semua pilot Wanita

Pak Y, MODUL Math X 2007

5. IMPLIKASI DUA PERNYATAAN. Implikasi dua pernyataan p dan q adalah suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung logika Jika p maka q ditulis p → q

1. Semua pilot laki-laki 2. Matematika adalah pelajaran yang sulit 3. Danau Toba terletak di Sumatra Barat

TABEL NILAI KEBENARAN IMPLIKASI p B B S S

q B S B S

4. Semoga anda berhasil

p→ q

5. Buktikan bahwa sin 2 x + cos 2 x =1 II.

Tentukanlah Nilai kebenaran pernyataan di bawah ini:

1. Sudut lancip adalah sudut yang besarnya kurang dari atau sama dengan 90 0

Nb : Implikasi bernilai …….......jika …...……………………….

2. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.

Contoh soal :

3. Garis 5 x – 10 y + 1 = 0 bergradien ½

Tentukanlah nilai Kebenaran Pernyataan di bawah ini :

4. Semua bilangan komposit adalah bilangan genap

3

1. Jika 2 = 6 maka 5 kurang dari 10 2. Jika Hari kemerdekaan Indonesia 17 – 8 – 1945 maka hari kemerdekaan Philipina tgl 29–2– 1941 3. Jika 2 Bilangan prima maka 3 log 9 = 2

Bi Implikasi dua pernyataan p dan q adalah suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung logika Jika dan hanya jika, ditulis p ↔ q dibaca p Jika dan hanya jika q. TABEL NILAI KEBENARAN BI IMPLIKASI q B S B S

akar- akar riil. III Lengkapilah Tabel nilai kebenaran di bawah ini :

4. BI IMPLIKASI DUA PERNYATAAN.

p B B S S

5. Persamaan kuadrat x 2 – 5 x + 1 = 0 mempunyai

p B B S S III.

p↔ q

Contoh : p:23 =8 q : 2 log 8 = 3 p ↔ q : .............................................................................. atau : .............................................................................. Contoh soal : Tentukanlah nilai Kebenaran Pernyataan di bawah ini : 1. 6 : 3 = 2 Jika dan hanya jika 3 x 2 = 6 2. 2 < 5 bila dan hanya bila 2 x 7 > 5 x 7 3. 2 bilangan prima Jika dan hanya jika 2 bilangan genap.

I.

IV.

Manakah kalimat di bawah ini yang merupakan pernyataan

-p S S B B

-q S B S B

p→~q

~p↔q

(p ∧ q) → ~ q

Tentukanlah nilai kebenaran pernyataan majemuk berikut ini : 1. Jika ayam betina berkokok maka matahari terbit dari utara 2. Pangeran Diponegoro presiden Amerika atau Mahatir Muhammad perdana menteri Malaysia 3. 2 3 = 8 jika dan hanya jika 3 log 8 = 2 4. Persamaan Kuadrat : x 2 – 2 x – 8 mempunyai akar kembar dan sin 60 = ½ √3 5. Jika 3 log – 1 = 1/3 maka 3–1 = 1/3 6. Hari kemerdekaan Indonesia tanggal 17 Agustus 1945 dan Hari kemerdekaan Philipina tanggal 29 Februari 1948 7. Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya kurang dari 900 dan Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya lebih dari 900 8. Jika binatang mamalia adalah bintang memamah biak maka binatang Carnivora pemakan daging. 9. Jika Nilai maksimum f(x) = 5 Sin ( 2 x – ½ π) – 2 adalah 7 maka Nilai minimum f(x) = 5 Sin ( 2 x – ½ π) – 2 adalah 3 10. 2 0 = 1 jika dan hanya jika 2 log 1 = 0

Nb : BiImplikasi bernilai …….......jika …...……………………

LATIHAN SOAL LOGIKA MATEMATIKA

q B S B S

Tentukanlah Ingkaran dari pernyataan majemuk berikut ini : 1. Jika hari hujan maka awan mendung 2. Ani seorang pelajar atau Ani seorang mahasiswa 3. Jika 3 log 5 = log 5 3 maka 5 log 3 = log 3 5

Pak Y, MODUL Math X 2007

4. 5 x 3 = 15 dan 3 x 5 = 15 5. Ali seorang haji jika dan hanya jika ia telah menunaikan ibadah haji. PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN Dua pernyataan majemuk p dan q ekuivalen jika dan hanya jika kedua pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang sama. p ekuivalen dengan q dituluis p ≡ q. ILUSTRASI

1. Pernyataan : “ Jika hujan lebat maka sungai meluap” ekuivalen dengan : A. B. C. D. E.

Jika tidak hujan lebat maka sungai tidak meluap Hujan tidak lebat dan sungai meluap Hujan tidak lebat dan sungai tidak meluap Hujan tidak lebat atau sungai meluap Hujan atau tidak sungai tetap meluap

Untuk mengetahui dua pernyataan ekuivalen, lengkapilah tabel di bawah ini. p B B S S

q B S B S

p∧q

p∨q

p→q

p ↔q

q∧p

Kesimpulan : 1. p ∧ q ≡ ………….. 2. p ∨ q ≡ ………….. 3. p → q ≡ …………..

q∨p

4. p → q ≡ 5. p ↔ q ≡

Contoh : Tentukanlah pernyataan yang ekuivalen dengan : 1. Ali sakit dan Ali tidak masuk sekolah

1.

2. Matahari terbit atau bulan tenggelam

2.

3. Jika hujan deras maka sungai banjir

3. a. b.

4.

2

∼p∨q

(p → q) ∧ (q → p)

∼q →∼p

………….. …………..

log 8 = 3 jika dan hanya jika 2 3 = 8 INGKARAN/NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK

ILUSTRASI 1. Ingkaran Pernyataan : “ Jika matahari terbit maka ayam jantan berkokok ” adalah …….. A. Jika matahari tidak terbit maka ayam jantan tidak berkokok B. Jika ayam jantan tidak berkokok maka matahari tidak terbit C. matahari terbit dan ayam jantan tidak berkokok D. matahari tidak terbit atau ayam jantan berkokok E. matahari terbit dan ayam jantan tidak berkokok Untuk mengetahui dua pernyataan ekuivalen, lengkapilah tabel di bawah ini. p

q

– (p ∧ q )

– (p ∨ q)

– (p → q)

– (p ↔

–q ∧ –p

–q∨–p

q) B B S S

B S B S

Kesimpulan : Pak Y, MODUL Math X 2007

p∧∼ q

(p ∧ ∼ q) ∨ (∼ p∧ q )

1. – (p ∧ q ) ≡ 2. – (p ∨ q) ≡

3. – (p → q) ≡ ………….. 4. – (p ↔ q) ≡ …………..

………….. …………..

NB : Pahami Dua Bab ini. Ingat baik-baik aturanya. Jangan dilogika dan dianalisa sendiri. Konvers, Invers dan Kontra Posisi dari suatu Implikasi Definisi :

Jika terdapat implikasi p → q

Konversnya adalah

:q→ p

Inversnya adalah

:∼p→ ∼q

Kontraposisinya adalah : ∼ q → ∼ p Secara bagan dapat disederhanakan sebagai berikut : Konvers p→ q

q→ p

Kontraposisi Invers

Invers

∼p→ ∼q

∼q→ ∼ p Konvers

Tabel Nilai Kebenaran p B B S S

q B S B S

∼p S S B B

∼ q p→ q S B S B

q→ p

∼p→ ∼q

∼q→ ∼ p

∼(p→ q)

p∧ ∼q

Kesimpulan : Dari Tabel di atas manakah pernyataan yang ekuivalen: 1. 2. 3.

4. 5. 6.

Contoh Soal : 1. Diketahui pernyataan : “ Jika Ali rajin belajar maka Ali akan lulus ujian Nasional ”.

a. Konversnya adalah

: ……………………………………………………………………………………………………….

b. Inversnya adalah

: ……………………………………………………………………………………………………….

c. Kontra posisinya adalah

: ……………………………………………………………………………………………………….

2. Invers dari Kontraposisi : “ Jika Ali rajin belajar maka Ali akan lulus ujian Nasional ” adalah

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. Negasi dari pernyataan : “ Jika ingin lulus ujian Nasional maka harus belajar giat ”. Adalah

……………………………………………………………………………………………………………

4. Negasi dari Invers : “ Jika sungai banjir maka air sungai meluap ”. adalah

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. Kontraposisi dari pernyataan : “ Jika manusia mati maka manusia harus beramal sholeh ” ekuivalen dengan Pernyataan ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Atau pernyataan …………………………………………………………………………………………………………………………………… Pak Y, MODUL Math X 2007

6. Negasi dari Inverse pernyataan : “ Jika manusia mati maka manusia harus beramal sholeh ” ekuivalen dengan Pernyataan ………………………………………………………………………………………………………………………………… Atau pernyataan …………………………………………………………………………………………………………………………………….. 7. Kontraposisi dari Inverse pernyataan : “ Jika manusia mati maka manusia harus beramal sholeh ” ekuivalen dengan Pernyataan ………………………………………………………………………………………………………………………………… Atau pernyataan …………………………………………………………………………………………………………………………………….. IV. Lengkapilah Tabel nilai kebenaran di bawah ini : p

q

r

~p

~q

~r

(p ∨ q ) → ~ r

(~ q ∧ r) → ~ p

(~ q → r) ↔ p

((p→ q) ∧ p) → q

V. Tentukanlah nilai kebenaran pernyataan majemuk berikut ini : 11. Jika ayam betina berkokok maka matahari terbit dari utara 12. Pangeran Diponegoro presiden Amerika atau Mahatir Muhammad perdana menteri Malaysia

13. 2 3 = 8 jika dan hanya jika 3 log 8 = 2 14. Persamaan Kuadrat : x 2 – 2 x – 8 mempunyai akar kembar dan sin 60 = ½ √3 15. Jika 3 log – 1 = 1/3 maka 3–1 = 1/3 16. Hari kemerdekaan Indonesia tanggal 17 Agustus 1945 dan Hari kemerdekaan Philipina tanggal 29 Februari 1948

17. Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya kurang dari 900 dan Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya lebih dari 900 18. Jika binatang mamalia adalah bintang memamah biak maka binatang Carnivora pemakan daging.

19. Jika Nilai maksimum f(x) = 5 Sin ( 2 x – ½ π) – 2 adalah 7 maka Nilai minimum f(x) = 5 Sin ( 2 x – ½ π) – 2 adalah 3

20. 2 0 = 1 jika dan hanya jika 2 log 1 = 0 VI. Tentukanlah Ingkaran dari pernyataan majemuk berikut ini : 6. Jika hari hujan maka awan mendung 7. Ani seorang pelajar atau Ani seorang mahasiswa

8. Jika 3 log 5 = log 5 3 maka 5 log 3 = log 3 5 9. 5 x 3 = 15 dan 3 x 5 = 15 10. Ali seorang haji jika dan hanya jika ia telah menunaikan ibadah haji.

Pak Y, MODUL Math X 2007

Pak Y, MODUL Math X 2007

Pak Y, MODUL Math X 2007

Pak Y, MODUL Math X 2007