Logica

Argumentos y Reglas de inferencia * ¿Qué es una implicación lógica? * ¿Qué es un argumento? * ¿Qué es un argumento válido? * ¿Cómo usar las reglas de inferencia para establecer y demostrar la validez de un argumento?

Recuerda Equivalencia

significa

igualdad sustituible por

Las leyes lógicas nos muestran algunas proposiciones equivalentes a otras. Eso equivale a conocer “atajos proposicionales”. ¿Puedes dar un ejemplo de dos proposiciones compuestas que sean lógicamente equivalentes? …. Pasemos a un concepto nuevo Prof. Niño

¿Qué es una implicación lógica? Sean r y s dos proposiciones compuestas. Decimos que r implica lógicamente a s cuando r → s es una tautología y lo denotamos por r ⇒ s. Esto significa que s es verdadera siempre que r sea verdadera. Ejemplo: Comprueba que [(p → q) ∧ p] ⇒ q. En este caso, r es [(p → q) ∧ p] y s es q Piénsalo unos minutos ...! Prof. Niño

¿Qué es una implicación lógica? Para comprobar [(p → q) ∧ p] ⇒ q usamos la definición. p V V F F

q V F V F

p → q [(p→q) ∧ p] V V F F V F V F

[(p →q) ∧ p] → q. V V V V

Esta es una implicación lógica llamada: Ponens o Modo Positivo.

Modus

Está relacionada con un modo de razonamiento: “Si tengo dinero, voy al cine. Y tengo dinero. Por lo Prof. Niño tanto, … voy al cine!”

... implicación lógica Observa que: • Una implicación lógica NO es lo mismo que una equivalencia lógica. • En una equivalencia lógica podemos sustituir una proposición por otra. • En la implicación lógica no podemos sustituir una proposición por otra. ¿Puedes dar una razón? • Que r → s sea una tautología equivale a decir que s es cierta cada vez que r sea cierta.

Prof. Niño

... implicación lógica Ejercicio 1: Decide si es o no es cierto que : a) [ ¬q ∧ (p →q) ] δ)

[ ¬q ∧ (p →q) ]

e)

[ (p ∨ q) ∧ ¬p ]

Toma

unos

⇒

p

⇒ ¬p ⇒ q

minutos para decidir ...

a) No es cierto; es falsa si p y q son falsas. b) Es cierto; a esta implicación se le llama Modus Tollens. c) Es cierto; a esta implicación se le llama Silogismo disyuntivo. Prof. Niño

¿Qué es un argumento? Un argumento es una proposición compuesta del tipo Si

(p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ..... ∧ pk) Premisas

entonces →

q

Conclusión

Ejemplo Si Juan se gana la beca, viaja a París. Y Juan se ganó la beca. Por lo tanto, viajará a París. Este argumento tiene dos premisas. Las premisas son: “Si Juan gana la beca entonces viaja a París” y “ Juan se ganó la beca”. La es: “Juan viaja a París”. Prof. conclusión Niño

¿Qué es un argumento? “Si Juan se gana la beca, viaja a París. Y Juan se ganó la beca. Por lo tanto, viajará a París”. Este argumento puede representarse como una tabla o como una implicación. Sean las proposiciones: p: “Juan gana la beca” q: “Juan viaja a París”.

Tabla:

p→ q

Implicación:

p

[(p → q) ∧ p] → q

∴ Prof. Niño

q

…Argumento Ejercicio “Fue Elisa o fue Carlos quien cometió el fraude. Pero Elisa estaba fuera de la ciudad cuando el crimen fue cometido. Si ella estuvo fuera de la ciudad, no pudo cometer el crimen. Eso nos conduce, lógicamente, a Carlos. Él es el culpable.” a) ¿Cuáles son lasProposiciones premisas en este argumento? simples p :¿Cuál “Elisa es cometió el fraude”. b) la conclusión? q : “Carlos cometió el fraude”. r : “Elisa estaba fuera de la ciudad cuando el crimen fue cometido”.

Premisa 1: p ∨ q

Premisa 2: r

Premisa 3: r → ¬ p

Hay varias premisas y la conclusión es una proposición simple.

Conclusión: q

Prof. Niño

… Argumento Ejemplo: Expresa simbólicamente “Si el hijo de Leonidas está vivo, éste se casará con Ivette. Pero el hijo de Leonidas murió, por lo tanto, él no podrá casarse con Ivette.” Proposiciones simples: p: “El hijo de Leonidas está vivo” q: “El hijo de Leonidas se casa con Ivette”

Tabla:

p→ q ¬ p ∴ ¬q

Prof. Niño

Implicación: {(p → q) ∧ ¬ p} → ¬ q ¿Es ésta una implicación lógica?

Argumento válido Se dice que: Un argumento es válido si cada vez que las premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera. Es decir, si las premisas son ciertas, está garantizada la veracidad de la conclusión. De modo que un argumento es válido si la implicación: (Premisas) → (Conclusión) es una implicación lógica. Un argumento es válido debido a su forma, no a su contenido. Prof. Niño

Argumento válido [(p → q) ∧ p] → q

Este ES un argumento válido

[(p → q) ∧ ¬ p] → ¬q

Este NO ES un argumento válido.

Para comprobar la segunda afirmación, supón que las premisas son verdaderas… y verifica que no puedes asegurar que la conclusión es verdadera Prof. Niño

Argumento válido Un argumento puede ser válido (debido a su forma) aunque el contenido de la conclusión pueda ser falso. Ejemplo Si Ud. invierte en la Bolsa, se hará rico. Si Ud. se hace rico, será feliz ___________________________ Si Ud. invierte en la Bolsa, será feliz. Comprueba que este es un argumento válido.

Prof. Niño

Reglas de Inferencia •

Son reglas que permiten establecer la veracidad de un argumento sin tener que realizar una gran tabla de verdad.

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Las reglas están asociadas a formas de razonamiento. Las reglas de inferencia tienen asociadas implicaciones lógicas.

•

•

Algunas de las más usadas son: el Modus Ponens y el Modus Tollens que ya vimos. Otras son: Silogismo, Silogismo disyuntivo, Simplificación, Amplificación, Demostración por casos. Prof. Niño

Reglas de Inferencia Nombre de la Regla Simplificación Amplificación

Implicación lógica (p ∧ q)

⇒ p

p ⇒ (p∨ q)

Modus Ponens

[ p ∧ ( p → q)]

Modus Tollens

[( p → q) ∧

Silogismo hipotético Silogismo disyuntivo

[(p → q) ∧ (q → r)] ⇒ (p → r)

Prof. Niño

⇒ q

¬q ]

[( p ∨ q) ∧ ¬p)]

Con estas reglas podemos ir de un lado a otro, pero no podemos regresarnos una vez que usamos la garrocha.

⇒ ¬p

⇒ q

Validez de argumentos Ejemplo: Dado el argumento [(¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s)] ∧ (r → t) ∧ (¬t ) ] → q a) Decida si es o no válido. b) En caso de ser válido, demuéstrelo. Si no es válido, dé un contraejemplo. a) Análisis sobre la validez: Debemos suponer que todas las premisas son ciertas y trataremos de comprobar que la conclusión también lo es. Es conveniente empezar de la premisa más sencilla. Prof. Niño

Validez de argumentos Hay tres premisas: (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s) P1

∧

(r → t) P2

∧

(¬t ) P3

Comencemos por P3: t es falsa. Por P2: r debe ser falsa. Al ver P1: si r es falsa, r ∧ s es falsa, de modo que el antecedente ¬p ∨ ¬q es falso. Pero (¬p ∨ ¬q) ⇔ ¬ (p ∧ q), por lo tanto, (p ∧ q) es verdadera. Esto ocurre, cuando tanto p como q son verdaderas. De modo que q es verdadera. Por lo tanto, el argumento es Prof. Niño válido !!!

Demostración de la validez b) Demostremos que es válido.

Los pasos de la demostración están sugeridos por la parte anterior. Partimos del antecedente y utilizando las leyes lógicas y las reglas de inferencia tratamos de tender los puentes para llegar a la conclusión. … En cada línea justificaremos el paso dado, mencionando el nombre de la ley o de la regla de inferencia que usamos …

Prof. Niño

Demostración de la validez [(¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s)] ⇔ [(¬p ∨ ¬q) Asociativa ⇒ [(¬p ∨ ¬q) → ⇒ [(¬p ∨ ¬q) → ⇔ [(¬p ∨ ¬q) → ⇒ ¬(¬p ∨ ¬q) ⇔ ¬¬p ∧ ¬¬q ⇔ p∧ q ⇒ q Prof. Niño

∧

(r → t)

- Ley usada ∧ (¬t )

→ (r ∧ s)] ∧ [(r → t) ∧ (¬t )] (r ∧ s)] ∧ ¬r Modus Tollens (r ∧ s)] ∧ (¬r ∨ ¬s) Amplificación (r ∧ s)] ∧ ¬ ( r ∧ s) De Morgan Modus Tollens De Morgan Doble negación Reducción

…Validez de argumentos Ejemplo 2: Dado el argumento [(p→ q) ∧ (¬r ∨ s) ∧ ( p∨ s)] →

(¬q → s)

a) Decida si es o no válido. b) En caso de ser válido, demuéstrelo. Si no es válido, dé un contraejemplo. a) Sobre la validez: Supongamos que todas las premisas son ciertas y trataremos de demostrar que la conclusión lo es. P1: (p → q) es cierta. P2: (¬r ∨ s) es cierta. Prof. Niño P3: ( p ∨ s) es cierta.

Decidir sobre la validez P1: (p → q) P2: (¬r ∨ s) P3: ( p ∨ s) C: ¬q → s

es cierta. es cierta. es cierta.

Por P3: p y s no pueden ser ambas falsas. Caso 1: Supongamos que s es cierta, pero no lo es p. Por P1: q puede ser verdadera o falsa. En cuyo caso, la conclusión es cierta. Caso 2: Supongamos que p es cierta, pero no lo es s. Por P1: q es cierta. En cuyo caso, (¬q → s) es cierta. Caso 3: Supongamos que p y s son ambas ciertas. Entonces q es cierta. En cuyo caso, (¬q → s) es cierta. Por lo tanto, el argumento es válido !

Prof. Niño

Demostrar la validez b) Sobre la demostración: Partiendo de las premisas, debemos arribar a la conclusión. Completa las reglas o leyes que faltan.

- Ley o Regla usada (p → q) ∧ (¬r ∨ s) ∧ ( p∨ s) ⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬r ∨ s) ∧ ( p ∨ s) sustitución 1 ⇔ [(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ s)] ∧ (¬r ∨ s) conm. y asoc. ⇔ {[(¬p ∨ q) ∧ p] ∨ [(¬p ∨ q) ∧ s] } ∧ (¬r ∨ s) distribut. ⇒ {q ∨ [(¬p ∨ q) ∧ s]} ∧ (¬r ∨ s) silog. disyuntivo ⇔ {q ∨ (¬p ∧ s) ∨ (q ∧ s)} ∧ (¬r ∨ s) ________ ⇔ [ q ∨ (¬p ∧ s) ] ∧ (¬r ∨ s) ________ Prof. Niño ⇔ [ (q ∨ ¬p) ∧ (q ∨ s) ] ∧ (¬r ∨ s) _________

¿ Y si no es válido? Se tiene el siguiente argumento, parecido al ejemplo 1 [(¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s)] ∧ (r → t) ∧ (¬t)] P1 P2 P3

→

¬q

Decidamos si es, ó no, válido. Comencemos por P3: t es falsa. Por P2:

r debe ser falsa.

Al ver P1: como r es falsa, r ∧ s es falsa; de modo que ¬p ∨ ¬q es falsa, lo cual ocurre cuando ¬p y ¬q son falsas … Prof. Niño

¿Cómo comprobar que no es válido? En el argumento: [[(¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s)] ∧ (r → t) ∧ (¬t)] P1 P2 P3

→

¬q

La conclusión puede ser falsa aún cuando las premisas son verdaderas !!! … Esto indica que el argumento NO es válido. De hecho, si p, r, s y q son V, F, V y V respectivamente, las premisas son ciertas y la conclusión es falsa. Este es el contraejemplo. contraejemplo Prof. Niño

Ejercicio Decida si el argumento es válido y si lo es, proporcione una demostración. Denote a las proposiciones por p, q, r, s, ..

“Si hay cierta probabilidad de lluvia o pierde su lazo rojo, Lucy no cortará la grama. Siempre que la temperatura supere los 80° F, no hay probabilidad de lluvia. Hoy la temperatura es de 85° F y Lucy está usando su lazo rojo. Por lo tanto, Lucy cortará la grama.”

Prof. Niño

Tarea

π

Ejercicio 2 de la página 96 Ejercicio 5 de la página 96 Ejercicios 8, 10a, 10f de la página 97.

π

Ejercicios 11 y 12

π π

de la página 98.

Adelante y mentes a la obra!

Prof. Niño