Logic A Especialidad

MINISTERIO DEDUCACION

Universidad Nacional de Piura Facultad de Ciencias Sociales y Educación

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN Y CAPACITACIÓN PERMANENTE

ESPECIALIDAD MATEMATICA MODULO No 06 ITEM 33

LOGICA

PIURA - 2008

I. DESARROLLO DE CONTENIDOS TEORICO Definición La lógica es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida

cotidiana,

para

resolver

una

multitud

de

problemas.

Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad. II. PROPOSICIONES LOGICAS Definición: Una proposición es una oración que puede ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica. A continuación se tienen algunos ejemplos de enunciados. •

La tierra es plana.

•

-17 + 38 = 21.

•

x > y-9.

•

El Grau es campeón en la presente temporada de fútbol.

•

Hola ¿como estas?

•

Lava la ropa por favor.

Las proposiciones se representan por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo. p: La tierra es plana. q: -17 + 38 = 21. r: El Grau es campeón en la presente temporada de fútbol.

Los incisos p, q y r sabemos que pueden tomar un valor de verdadero o falso; por lo tanto son proposiciones lógicas. Un ejemplo de enunciado abierto es x > y-9, porque el valor de verdadero o falso depende del valor asignado a las variables x e y en determinado momento. Los enunciados “Hola ¿como estas?” y “Lava la ropa por favor” no son proposiciones, ya que no pueden tomar un valor de verdadero o falso, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden por lo tanto son solamente enunciados. Clases de Proposiciones Proposición Simple o atómica: formada por un solo sujeto y predicado, es decir carece de conectores lógicos monódicos o binádicos. Ejemplo. Las plantas son seres vivos. Vanessa y Manuel se aman. Silvana y Liliana son gemelas. Proposiciones compuestas o Moleculares: son aquellas que se obtiene al combinar las proposiciones simples unidas por uno o mas conectores lógicos (símbolos matemáticos que sirven de enlace) o también aquellas proposiciones que se pueden representar por lo menos por una variable y la palabra no (negación). Ejemplo El deporte es divertido y ayuda a la salud. Vanessa y Manuel son profesores de comunicación. Si el cielo esta nublado entonces lloverá. Es falso que la matemática sea una ciencia formal. III. VALOR DE VERDAD

Se llaman valores de verdad o valores veritativos de una proposición a sus dos valores posibles: verdadero(V) o falso(F) Estos valores se pueden esquematizar en una tabla como se muestra a continuación: p

Ejemplo: p: 17-6=11, el valor de verdad de esta proposición es Verdadero (V). q: Piura es la capital del Perú, el valor de verdad de esta proposición es Falso (F). IV. VARIABLES PROPOSICIONALES Es la representación literal de una proposición simple ó atómica: p, q, r,etc. V. CONECTORES LOGICOS Definición: Reciben también la denominación de términos funcionales, relacionales u operadores; permiten unir o enlazar las proposiciones simples para formar proposiciones compuestas. Clases Monódicos: Son los que afectan a una sola proposición simple (Negador). Binádicos: Enlazan a dos proposiciones simples (Conjuntor, Disyuntor, Inclusivo, Disyuntor Exclusivo, Implicador, Replicador, Biimplicador). A continuación se presentan los principales conectores lógicos:

Nombre Conjuntor Es un conector binario (Diádico) que enlaza dos proposiciones simples, cuya función es compatibilizar dos proposiciones. Disyuntor Inclusivo (Débil) Conector binario, de función inclusiva, es decir se da la posibilidad de que se den ambas proposiciones a la vez. Disyuntor Exclusivo (Fuerte) Conector binario, de función exclusiva, es decir excluye la posibilidad que se den ambas proposiciones a la vez. Es la negación del biimplicador Implicador Conector binario, cuya función es conectar a una proposición compuesta que es el antecedente(hipótesis) con otra que es el consecuente(tesis) Replicador Conector que indica que la operación de implicación esta invertida. Biimplicador Conector binario ,que desempeña la función de doble implicador, es decir, es la conjunción de la condicional y su reciproca. Negador Operador monádico, por que afecta mayormente a una proposicion cambiando

Operador

Significado o interpretación

Λ * “Y” & • V

Expresiones Verbales Equivalentes Incluso, aunque, pero, además, sino, tambien, así mismo, no obstante, tal como, así como, sin embargo, a pesar, aun cuando, del mismo modo, de la misma forma, también, así igual que, al mismo tiempo, es compatible con . p y q. A menos que, o bien , o también , salvo que, o en todo caso, o de lo contrario, o en su defecto, y/o

Simbolización pΛq p*q p&q p•q pVq

“O” poq

+

p+q

O...o…, o bien…o bien…, o tan solo, o únicamente, o (en sentido excluyente). ∆

p∆q “O…O…”

opoq

⊕

→

“Si… entonces...”

Implica, por consiguiente, por cuanto, por lo tanto, luego, en conclusión, en consecuencia, de manera que, por ende, de ahí que, se concluye, solo si, en efecto, es obvio que, es condición suficiente para.

p

⊕q

p

→q

Si p entonces q

←

“… si…”

↔

Dado que, puesto que, porque, ya que, siempre que, cuando, si, cada vez que, en vista que, de modo que. Estas expresiones se indican entre dos variables proposicionales. p si q Si y solo si, siempre y cuando, es equivalente, se define lógicamente como, es idéntico, es lo mismo que

p←q

p

↔q

“si y sólo si” ≡ ˜ ─

¬

p si y sólo si q “No”…

No ,Es falso que ,es inconcebible que, Jamás, Nadie que sea, es absurdo que, es imposible que, es mentira que, no es innegable que, de ninguna forma se da.

p≡q ˜p ─p

¬p

su valor de verdad.

FORMALIZACIÓN PROPOSICIONAL 1. Constante y Variable: Una constante lógica es una estructura lógica, de los cuales existen una gran variedad, y cada parte de la Lógica Formal, se encarga de estudiarlos y simbolizarlos. A las constantes lógicas o estructuras lógicas o estructuras del pensamiento, al ser simbolizados en algún sistema lógico, se les llama “operadores lógicos”. Ejemplo: Lógica Estructura Lógica Operador → (1) Proposicional Si … entonces … ∀ (2) Cuantificacional Todos … son … Una variable lógica es una proposición o concepto que se interrelaciona con otros similares por medio de las constantes lógicas. En los ejemplos anteriores los puntos suspensivos van variables lógicas: En (1) van proposiciones, en (2) van conceptos. 2. Formalización Proposicional: Es el procedimiento mediante el cual se identifican proposiciones simples y estructuras lógicas proposicionales (estudiadas en la unidad anterior), asignándoles a cada uno un determinado símbolo del lenguaje de Lógica Proposicional organizándolos con signos de agrupación. A las proposiciones simples se les reemplaza por variables proposicionales. A los operadores lógicos, llamados constantes lógicas, se les reemplaza, con los símbolos siguientes: N° 1 2 3 4 5 6 7

Operador Nombre Forma Básica Negador “no” Conjuntor “… y …” Disyuntor incluyente “… o …” Disyuntor excluyente “o … o …” Implicador “si … entonces …” Replicador “… porque …” Biimplicador “… si y solo sí …”

Símbolos ¬ - ~ ∧ • ∨ + ∨    , 

3. Procedimiento de Formalización Ejemplo: “Ya que Inicial es un nivel educativo tanto como la primaria o secundaria, por ello es gratuito y no es educación superior” Paso 1.- Identificar proposiciones simples y asignarles variables en orden alfabético. p: Inicial es un nivel educativo”. q: La primaria es un nivel educativo. r: La secundaria es un nivel educativo. s: Inicial es gratuito. t: Inicial es educación superior. Paso 2.- Identificar la estructura formal: “Ya que …p… tanto como …q… o …r…, por ello …s… y no …t…” Paso 3.- Escribir la formula lógica(Formalización):

[ p ∧ ( q ∨ r ) ] → ( s ∧ ¬t ) 4. Recomendaciones para Formalizar: A continuación te presentamos un conjunto de recomendaciones que puedes utilizar para formalizar. El negador: 1. La doble negación de una proposición simple la convierte en una compuesta. Ejemplo: “Es mentira que Marleny no es profesor”. Se formaliza: ¬¬ p 2. La formalización debe ser literal (tal y como está escrita) Ejemplo: “ Miguel no es millonario”. La formalización correcta es: ¬p El conjuntor: Cuando se usan comas (,) y el último operador es “y”, las comas se formalizan como conjunciones.

Ejemplo: • “Felipe, Alex y Cinthia son profesores que participan en el programa PRONAFCAP”. Se formaliza: p ∧ q ∧ r . •

"Mariátegui fue político, escritor y poeta”.

Se formaliza: p ∧ q ∧ r Excepción: Cuando en una proposición se utilizan términos relacionales, aunque utilice el término “y” se considera proposición simple. Ejemplo: • “José y Augusto son vecinos”. Se formaliza: p

Igual Semejante Contemporáneo Vecino Amar Compañero Amigo

Términos Relacionales Juntos Similar Camarada Correligionario Gemelo Siamés Etc.

El disyuntor incluyente a) Al igual que la conjunción, las comas seguidas de una “o”, se formalizan como tal. Ejemplo: “Daul, Justo o Arnulfo son profesores de PRONAFCAP”. Se formaliza: p ∨ q ∨ r

VERDAD FORMAL La verdad formal es aquella que se obtiene evaluando esquemas moleculares haciendo uso de reglas de conectores lógicos y tablas de verdad. Esquemas Moleculares

Podemos clasificar los esquemas moleculares en: 1. Esquemas moleculares por el conector de mayor jerarquía. 2. Esquemas moleculares por la matriz principal. 1. Esquemas moleculares por el conector de mayor jerarquía Si tenemos en cuenta este criterio los esquemas moleculares son fórmulas compuestas por variables, operadores lógicos y en algunos casos signos de agrupación. El nombre del esquema molecular, lo determina el conector de mayor jerarquía. Para ello debemos tener en cuenta la jerarquía de conectores lógicos. Ejemplo:

 p  q

Es un esquema molecular condicional.

  p  q  r

Es un esquema molecular disyuntivo incluyente o débil.

 p  q   r  s

Es un esquema molecular bicondicional.

  p  q

Es un es esquema molecular negativo.

p

Esquema molecular negativo.

pq  r

En este caso se hace necesario utilizar la jerarquía de conectores.

Para el último ejemplo del cuadro, el conector de menor jerarquía es el conjuntor (  ), por ello obtenemos:  p  q   r , que es la formalización correcta y representa a un esquema molecular implicativo. 2. Esquemas moleculares por la matriz principal Por ahora sólo mencionaremos que estos esquemas pueden ser: a. Esquemas tautológicos. b. Esquemas contingentes. c. Esquemas contradictorios. Tablas de Verdad Sirven para evaluar esquemas moleculares. Este esquema muestra cómo valores de verdad de proposiciones compuestas dependen de los conectivos usados y de los valores de verdad de las proposiciones componentes simples.

La siguiente tabla de verdad muestra sus elementos, a un esquema molecular como ejemplo y a su matriz principal. Variables

p

q

 p  q



( p



q)

Arreglos

V V F F

V F V F

V F V V

V V V V

F F V V

V F V V

V F V F

Donde el número de arreglos por columna o el número de filas de la matriz, n. se calcula mediante la fórmula:

2

n  Número de variables con los que cuenta el esquema molecular. Para el ejemplo, tenemos dos variables proposicionales, por tanto tenemos 22=4 arreglos por columna. V V F F Valores para p

V F V F Valores para q

Para evaluar los esquemas moleculares necesitamos las reglas de conectores lógicos, los cuales dependen de la combinación de los valores de verdad de las variables o como resultado de afectarlos. Tablas de Verdad de los conectores lógicos: p

q

V V F F

V F V F

 p F F V V

 q F V F V

pq

pq

pq

p q

V F F F

V V V F

V F V V

V V F V

Regla Práctica: • V ∧V =V • F∨F=F • V → F=F • F←V =F • V ↔ V =V , F ↔ F =V • V ∆V = F , F ∆ F = F

pVq F V V F

pq

V F F V

Ejercicios Propuestos Dar el valor de verdad resultante 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

V  V  .... F  V  ....  F  V  .... V  F  .... ¬ ( F ∧ V ) = .... V ∨ ¬ F = .... ¬ ( F → ¬V ) ∨ F = ....

Clases de Esquemas Moleculares Según los resultados que se obtenga en la matriz final en la tabla de verdad, los esquemas moleculares se clasifican en: a) Esquemas tautológicos: Se caracterizan porque en su matriz final los valores son sólo verdaderos(V). p

q

 p  q



p  q

V V F F

V F V F

V F V V

V V V V

F F V V

V F V V

Como en su matriz principal sólo existen valores verdaderos(V) el esquema es tautológico.

V F V F

b) Esquema contingente: Se caracteriza porque en su matriz final los valores son verdaderos(V) y falsos(F). p

q

 p  q

V V F F

V F V F

V F F F

 (( (  p  V F V V F F F V V F V V

q ) V F V F

Como existen valores verdaderos y falsos el esquema es contingente.

c) Esquemas contradictorios: Se caracterizan porque en su matriz principal sólo existen valores falsos(F).

p V V F F

q (p V V F V V F F F

 q ) F F V V F F F V

 F F F F

(¬ F F V V

p ∨ q) V V F F V V V F

Como todos los valores son F, entonces el esquema es contradictorio.

Ejemplo. Evaluar el esquema molecular:  p  q    p  q  p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

 p  q



p

 q

Ejemplo: Dadas las siguientes proposiciones: p: “El dos es número primo” q: “Los números pares no son primos”. r: “Todo número elevado al cuadrado es siempre positivo”. Encontrar el valor de verdad de: [( p  q )  r ]  [(q  r )  p] Solución: Paso 1: Definir el valor de verdad de cada proposición. p: V q: F r: V Paso 2: Asignar el valor de verdad a las variables [( p  q )  r ]  [(q  r )  p] V F V F V V Paso 3: Aplicar reglas de los conectores de acuerdo a su jerarquía. [( p  q )  r ]  [(q  r )  p] V F V F V V F V V V V

DEDUCCIONES MEDIATAS E INMEDIATAS Los razonamientos se dividen en deductivas e inductivas. Razonamiento deductivo: Es el paso de asociación conocida, llamada premisa (o premisas) a otra asociación ignorada llamada conclusión. Ejemplos. 1) Si hay vida en la luna, entonces hay atmósfera. No hay atmósfera en la luna. Luego: No hay vida en la luna. Este ejemplo es un razonamiento deductivo con dos premisas por lo que se le llama razonamiento deductivo mediato. 2) No es posible que llueva y nieva. Luego: no llueve o no nieva. Este ejemplo, posee sólo una premisa por lo que recibe el nombre de razonamiento deductivo inmediato. Reglas de la Inferencia Inmediata Estas reglas son conocidas como equivalencias notables (leyes del álgebra proposicional). Consiste en la aplicación de ciertos criterios o principios equivalentes con la finalidad de encontrar una expresión equivalente a una fórmula dada. Estos principios son aplicados para simplificar fórmulas proposicionales. En el siguiente cuadro se presenta las leyes de equivalencia más importantes. Ley de Equivalencia

01

Doble negación

02

Leyes de D ´Morgan

Aplicaciones

p   ( p )  p    (  p ) 

 ( p )  p      p    p

  p  q    p   q p  q    p   q    p  q    p   q p  q    p   q 

Ejemplo La proposición: “Es falso que la lógica no sea una ciencia formal”. Es equivalente a: “La lógica es una ciencia formal”. La proposición: “Es inadmisible que, ni Dante ni André son puntuales”. Es equivalente a: “Dante es puntual a no

ser que puntual”.

03

04

Conmutación (, ,/, , ,  )

Asociación (, , ,  )

05

Distribución

06

Definición del implicador

( p  q )  (q  p )

( p  q )  (q  p )

André

es

La proposición: “Los médicos curan a los pacientes pero José Augusto es un paciente”. Es equivalente a: “José Augusto es un paciente pero los médicos curan a los pacientes”.

( p  q  r )  [( p  q )  r ]  [ p  (q  r )] ( p  q  r  s )  [( p  q )  (r  s )]

La proposición: “Fiorella fue al Puente de los Suspiros, pero no a la Plaza de San Martín aunque estuvo en la Alameda de los Descalzos” Es equivalente a: “Fiorella fue al Puente de los Suspiros aunque no a la Plaza de San Martin, e incluso estuvo en la Alameda de los Descalzos”.

p  (q  r )  ( p  q )  ( p  r ) p  (q  r )  ( p  q )  ( p  r )

La proposición: “Romy está de viaje. Pero Ricardo tiene fiebre o también esta agripado”. Es equivalente a: “Romy está de viaje sin embargo Ricardo tiene fiebre, a menos que, Luis está de viaje aunque Ricardo esté agripado”

p  q  p  q

p  q  ( p  q)

La proposición: “Si haces la tarea, entonces ves televisión”. Es equivalente a: “No es cierto que, haces la tarea al mismo tiempo

07

Idempotencia

pp p

p p  p

08

Complemento

p p  F

p  p V

09

Identidades

p V  p pF  F

p V  V pF  p

no ves televisión” La proposición: “Lima es la capital peruana y Lima es la capital peruana”. Es equivalente a: “Lima es la capital peruana”. La proposición: “Silvana trabaja aunque Silvana no trabaja”. Es equivalente a: una proposición falsa.

 CIRCUITOS LÓGICOS A CONMUTADORES Representación de circuitos mediante operaciones proposicionales.

 ELEMENTOS: INTERRUPTOR O CONMUTADOR Es la llave o palanquita que permite el paso o interrupción de la corriente eléctrica. Los conmutadores son representados por las variables proposicionales que pueden ser verdaderos o falsas. a. Circuito cerrado: A (Foco encendido) en donde A=V ó 1 b. Circuito abierto: ∼ (Foco apagado) en donde A=F ó 0

 CLASES Circuito en serie Representación gráfica A

B

Representación simbólica

(AB)

Circuito en paralelo Representación gráfica A B Representación simbólica (AB) Circuito serie – paralelo Representa a un esquema molecular y viceversa. Representación gráfica ∼ D

B C E

Representación simbólica [A(BC)](DE)

 SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS Para simplificar circuitos le sugerimos los siguientes pasos: 1. Si el circuito está dado en forma gráfica lo primero será formalizarlo. 2. Haciendo uso de las leyes lógicas deberás proceder a la simplificación de aquella expresión obtenida del gráfico. Nota: Deberás recordar la mayor cantidad de reglas posibles para que puedas simplificar, ten presente que todas las reglas son importantes, con lo cual debes cuidar no olvidar ninguna.

CAP. VII: INFERENCIAS LÓGICAS

 IMPLICACIÓN LÓGICA Existe implicación lógica cuando una fórmula “A” unida a otra fórmula “B” a través de una condicional, siendo “A” el antecedente y “B” el consecuente, el resultado es una tautología. Una implicación lógica no es lo mismo que una condicional; será implicación solo cuando se trata de un esquema TAUTOLÓGICO, si no es tautológico (consistente o contradictorio), Se dirá que simplemente es un esquema condicional.

 DEFINICIÓN DE INFERENCIAS LÓGICA: Son esquemas condicionales tautológicos, por lo que representa inferencias válidas. En consecuencia, teniendo la (s) premisa la(s) podemos derivar inmediatamente su respectiva conclusión. Forma canónica P1: …………….. P2. ……………..Premisas  Pn: …………….. ∴

C

Conclusión

Forma lineal de una inferencia: ( P1 ∧ P2 ∧, …… ∧ Pn ) → C premisas

conclusión

 RAZONAMIENTO DEDUCTIVO MEDIATO Es un razonamiento donde de un conjunto de premisas se obtiene una conclusión siguiendo un orden, si se trata de una tautología la inferencia es valida.

 REGLAS DE INFERENCIA Son implicaciones notables y son: I.

Modus Ponendo Ponens (MPP) En una fórmula condicional si se afirma el antecedente entonces se concluye con la afirmación del consecuente p → q

a) p

b) p

p ↔ q

∴q

∴q

Modus Tollendo Tollens (MTT) En una fórmula condicional, si se niega el consecuente, se concluye negando el antecedente. a) p→q b) p ↔ q II.

∼q

∼q

∴ ∼p III.

Silogismo Disyuntivo (SD) Es una fórmula disyuntiva inclusiva si se niega una de sus partes componentes se concluye la afirmación del otro componente. a) p ∨ q b) p∨ q ∼q ∴p

IV.

∴ ∼p

∼p ∴q

Silogismo Hipotético Puro (SHP) Se tienen dos premisas condicionales en donde el consecuente de la primera es antecedente de la segunda se concluye en otra condicional, donde el antecedente será el antecedente de la primera y el consecuente será el consecuente de la segunda p → q q → r ∴p → r Dilema constructivo (DC) p → q

V.

r → s p ∨ r ∴q ∨ s Dilema Destructivo (DD) p → q

VI.

r → s ∼q ∨ ∼ s ∴∼p ∨ ∼ r Conjunción

VII. P q

∴p∧q

VIII.

Adición

P ∴p∨q

IX.

Simplificación a) p ∧ q ∴p b)

p∧q ∴q

CAP. VIII: PROPOSICIONES CATEGÓRICAS

 DEFINICIÓN: La lógica predicativa llamada también lógica de predicados realiza un análisis interno de la proposiciones con el fin de poder determinar la validez de los razonamientos haciendo uso de formulas Booleanas y los diagramas de Venn. En el estudio de la estructura interna de las proposiciones la lógica predicativa va a encontrar la relación entre clase, mas específicamente de clase sujeto y de clase predicado.

 PROPOSICIONES CATEGÓRICAS Noción: Son aquellas proposiciones que afirman o niegan que la clase sujeto está incluida en la clase predicado de manera parcial o total. Clasificación de las Proposiciones Categóricas A. Según su cantidad 1. Universales: Son aquellas proposiciones en las cuales se hace referencia a la totalidad de la clase sujeto en relación con la clase predicado. Ejemplo: Todo investigador es estudioso. Ningún insecto es mamífero.

2.

Particulares: Son aquellas proposiciones en las cuales se hace referencia a una parte de la clase sujeto en relación con la clase predicado. Ejemplo: Algún escritor es poeta. Algún filósofo no es idealista.

B. Según su Cualidad Cuando afirman o niegan una relación. 1. Afirmativas: Son aquellas en las cuales se afirman una relación. Ejemplo: Algún obrero es trabajador. Todo gato es felino. 2. Negativas: Son aquellas en las cuales se niega una relación. Ejemplo: Algún médico no es abogado. Ningún vegetariano es carnívoro. Combinando los dos criterios de clasificación, obtendríamos los siguientes tipos de proposiciones categóricas. A. Universales Afirmativas: Son aquellas proposiciones en las clases establece una relación de inclusión total entre el sujeto y el predicado. Ejemplo: Todo peruano es americano. B. Universales Negativas: Son aquellas proposiciones en las cuales establece una relación de exclusión total entre el sujeto y el predicado. Ejemplo: Ningún orangután es cocodrilo. C. Particulares Afirmativas: Son aquellas proposiciones en las cuales establece una relación de inclusión parcial entre el sujeto y el predicado. Ejemplo: Algún profesor es crítico . D. Particulares Negativas: Son aquellas proposiciones en las cuales establece una relación de exclusión parcial entre el sujeto y el predicado. Ejemplo: Algún biólogo no es deportista. Cuantificador Universal

se

se

se

se

Símbolo: ∀x Traducción Verbal Se lee Para todo x Quienquiera que sea x Para cada x Todo x Para cualquier x Las x Cualquier x Para cada una de las x Cuantificador Particular Símbolo: ∃x Traducción Verbal Se lee Existe x Algunos x Hay x La mayoría de x Pocos x Hay exactamente un x Algunos x Casi todo x La mayoría de x Existe al menos un x

 FORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS Elementos de formalización: 1) El cuantificador que se presenta por una “∀” cuando es de cantidad universal y “∃” cuando es de cantidad particular. 2) El símbolo “x” que es la variable individual y que presenta el universo del discurso. 3) Las variables predicativas o letra predicativa que está representada por la primera letra del predicado. Ejemplo: “Todos son abogados”; la variable predicativa es “A”. 4) Los operadores proposicionales, se usa cuando la fórmula tiene dos predicados; siendo los operadores “→”; “∨” cuando es universal y “∧” cuando es particular.

 Criterios para la formulación

1º Identificar el cuantificador, si es de cantidad universal se usará “∀” y si es de cantidad particular se usará “∃”. 2º Identificar el verbo copulativo; si es afirmativo se leerá “es” y si es negativo se leerá “no es”. 3º Elegir la variable predicativa para asignarlo con la primera letra en que comienza el término predicativo,. Ejemplo: Mamífero = M; Vertebrado = V, Cetáceo = C. Si es una fórmula con dos predicados cuyos términos comienzan en igual letra; se designará eligiendo la segunda letra del segundo predicado. Ejemplo: “Todos los metales son maleables”, Se formaliza: ∀x (Mx → Ax) 4º Utilizar el operador respectivo cuando es de dos predicados; siendo “→” y “∨” cuando es de cantidad universal afirmativa y “→ ∼” cuando es universal negativo, así mismo el operador “∧” cuando es de cantidad particular afirmativa y “∧ ∼” cuando es particular negativa. 5º Identificar si la variable individual está traducido; está seguirá siendo “x”.

 EQUIVALENCIAS DE CUANTIFICADORES CON UN PREDICADO 1) ∼∀x (Px) ≡ ∃x (∼Px) 2) ∼ ∃x (Px) ≡ ∀x (∼Px) 3) ∼ ∃x (∼Px) ≡ ∀x (Px) 4) ∼ ∀x (∼Px) ≡ ∃x (Px)

 EQUIVALENCIAS DE CUANTIFICADORES CON DOS PREDICADOS 1) ∀X (Px → Qx) ≡ ∼ ∃x (Px ∧ ∼ Qx) 2) ∀x (Px → ∼ Qx) ≡ ∼∃x (Px ∧ Qx) 3) ∃x (Px ∧ Qx) ≡ ∼∀x (Px → ∼ Qx) 4) ∃x (Px ∧ ∼ Qx) ≡ ∼ ∀x (Px → Qx) De esto concluimos que:

A ≡ ∼ O E = ∼ I I ≡ ∼ E O ≡ ∼ A

 CUADRO DE BOECIO

E

Subalternante

Subalternante

Contrarias

A

Subalterna

Subalterna

I

Subcontrarias

O

 FORMAS TÍPICAS DE LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICAS – SIMBOLIZACIÓN FORMA REPRESENTA TIPICA CIÓN LITERAL

REPRESENTA CIÓN SIMBÓLICA

A

Todo S es P

SaP

E

Ningún S es P

SeP

I

Algún S es P

SiP

O

Algún S no es P S o P

A: Inclusión total A: Inclusión total E: Exclusión total I: Inclusión Parcial O: Exclusión Parcial

PROBLEMAS PROPUESTOS

TIPO

Universal Afirmativo Universal Negativo Particular Afirmativo Particular Negativo

REPRESENTACIÓ N SIMBÓLICA CON CUANTIFICADOR ES ∀x (Sx→Px) ∀x (Sx→¬Px) ∃x (Sx∧Px) ∃x (Sx∧¬Px)

Practiquemos en el aula

1.

Si

Hallar el valor de verdad de:

:   : p  q   p  : p      r  s   q

  A  201  A  127  

es verdadera. ¿Cuáles son los valores de s, p, r y q respectivamente. a) VFFF b) VFVV c) FVFF d) FVVV e) VVVF 2.

3.

a) V b) F

5.

Leo. Como. Bebo. a y b. Bebo y no leo.

Al simbolizar: “El hombre es libre si y sólo si controla sus sentimientos. Si controla sus sentimientos entonces es libre. Si no controla sus sentimientos entonces se enamora. Si se enamora entonces no es libre”. Su matriz principal es:

A  202 

d)

A  128 

Utilizar la tabla de verdad para determinar la ordenación de la matriz principal de: “Si se cumplen las demandas de los terroristas, entonces será vulnerada la legalidad. Si las demandas de los terroristas no se cumplen, entonces serán asesinadas personas inocentes. Por lo tanto, o bien se vulnerará la legalidad o serán asesinadas personas inocentes” a) FVVFFVVV b) FVFVVVFV c) VFFFVVFF d) FVVVFVVV e) VFFFVFFF

a) VVVFVFVV

6.

b) FVFFFFVF

Simplificar fórmula:

la

:  : p   : q  p  

c) FVFFFVVF d) VVVVVVVV

: p: a) : p: b) : p  : q c)  d) :  p  : q e) p  q

e) FVFVFVFV Dado el siguiente esquema:   p   q  : r     : s   t  : u     v  Y sea A(n) el valor de verdad en la fila “n” de la matriz principal del esquema anterior.

c)

e) No se puede determinar

Si se sabe que la siguiente afirmación es no verdadera: “No es cierto que si puedo comer entonces puedo beber, por lo tanto no puedo leer”. Se puede concluir: a) b) c) d) e)

 

 A  107   A  193   A  11  A  254  

4.

w

7.

q q

Simplificar: :  q  : r    p  : p

siguiente



a) p b) q c) p  q d) F e) V 8.

Reducir al máximo siguiente proposición:

   p  q  p a) b) c) d) e) 9.

que el sol es el centro del universo.

la



 :  q  p   :  p  : q

: pq

4. El sol tal como la tierra son el centro del universo según lo afirma el heliocentrismo como el geocentrismo, respectivamente. 5. Ni el sol ni la tierra son el centro del universo, según la realidad. Son ciertas:

:  p  q pq

a)

1 y 2.

pq

b)

2 y 3.

c)

3 y 4.

d)

4 y 5.

e)

Todas.

:  p  q

La

fórmula

proposicional:

______________________________ _____________ __ ___









  A  B    B A       

___

 B

Equivale a: a)

B

b)

: B

c)

B B

d)

: A

e)

A B

11.

“El geocentrismo afirma que la tierra es el centro del universo sin embargo para el heliocentrismo es el sol, a no ser que para el heliocentrismo el centro del universo es el sol”, equivale a: 1. La tierra es el centro del universo, según el geocentrismo.

Simplificar circuito:

el

siguiente

10.

2. El sol en efecto es el centro del universo como lo afirma el heliocentrismo. 3. Es absurdo que sea falso que heliocentrismo afirma

 p

 q

r

q q

r

r

r

a)

: p : q : r

b)

: pq r

c)

 r

 q

: p : q r

27

d)

: p: q r : p  : q : r

e) 12.

Simplificar circuito:

el

siguiente

p

q

q

p

p

p r

q  p

 r

 q

p

q

p

p

q

r

Su esquema lógico es: a) b) c) d) e)

r

a)

 p

b) r

: p pq qp qp : q

p

c)

p

q 14.

d) e)

13.

Al simplificar circuito:

el

siguiente

a)

Diseñar el respectivo circuito reducido para: “Hay desocupación es condición necesaria para que no hay fuentes de trabajo; esto es condición necesaria para que al iniciar programas de inversión es suficiente que no hay desocupación”  q

p p  q

b) c)

p

q

d)

28

Se infiere deductivamente: a) ~ p ~ t b) ~ p ~ q c) ~ t  r d) ~ q e) p

p q

e) q p

r

15.

En el siguiente circuito:

Foco  q

 p

18.

Si:

r

a) b) c) d) e)

q  p

El foco está encendido. Los estados de las llaves p, r, q respectivamente son: a) Apagado, encendido.

encendido,

b) Encendido, encendido.

encendido,

c) Encendido, encendido.

apagado,

d) Encendido, apagado.

apagado,

e) Apagado, encendido.

apagado,

16.

De las siguientes premisas formales: P1: s  q P2: t  ~q P3: ~ t  r Se infiere deductivamente: a) q b) : s c) ~ r  t d) r  s e) T

17.

De las siguientes premisas formales: P1: s ~ w P2: t  u P3: u  w P4: (p  q)  (s  r)

P1 : : p  : q P2 : : q  (r  s) P3 : (t  r)  p ¿Qué se infiere? t : s : ts t s t : s : ts

Los ingenieros son profesores a menos que también matemáticos. Los mismos son empresarios excepto que tengan capital. Sin embargo los ingenieros no son profesores o tampoco empresarios. Luego: 1. Si no tiene capital los ingenieros, son matemáticos 2. Los ingenieros no son matemáticos o no tienen capital. 3. Son matemáticos o también tengan capital, los ingenieros. 4. No tienen capital salvo que no sean matemático los ingenieros. 5. Es mentira que los ingenieros no sean matemáticos y no tengan capital Son absolutamente falsas: a) 2, 4 b) 1, 2, 4 c) 1, 3, 5 d) 2, 3, 5 e) Solo 5 19.

29

20.

Si los compuestos son isómeros, tienen la misma fórmula molecular. Si la diferencia de potencial entre los electrones es suficientemente elevada, se produce un fenómeno llamado electrólisis. A menos que los compuestos sean isómeros, la diferencia de potencial entre los electrones es suficientemente elevada 1. Los compuestos son isómeros o la diferencia del potencial entre los electrones es grande. 2. Los compuestos tienen la misma fórmula molecular y se produce un fenómeno llamado electrólisis. 3. Es absurdo que los compuestos no tienen la misma fórmula molecular

así como no se produce un fenómeno llamado electrólisis. 4. Es innegable que los compuestos tengan la misma fórmula molecular o también que se produzca un fenómeno llamado electrólisis. 5. Los compuestos son isómeros o la diferencia de potencial es elevada. Son ciertas a) b) c) d) e)

1y2 3y4 1y5 2y4 2y3

30

Bibliografía 1. Matemáticas Universitarias, 3º ed., México: Mc Graw-Hill. 2. AYRES, Frank (1991): Teoría y problemas de álgebra moderna, México: D.F: McGRAW-HILL. 3. BLAS, Jerónimo (1983) Matemáticas I, Lima: Instituto Matemático Superior Beta. 4. CARRANZA, César (1993) Matemática básica, Lima: CONCYTEC. 5. FIGUEROA, Ricardo (2006): Matemática básica I, 9ª ed., Lima: RFG. 6. GÓMEZ, Pedro (1995): Matemática básica, México: Iberoamérica. 7. MEDINA, Mario (1987): Matemática 1000 problemas, Lima: San Marcos. 8. PINZÓN, Álvaro (1973): Conjuntos y estructuras, México: Harla, S.A. de C.V. 9. POLYA, George (1965) Cómo plantear y resolver problemas, México D.F.: Trillas. 10. SANTIVÁÑEZ, José (1988): Aritmética, Lima: Grafotécnica editores e impresores.

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