Logaritmos.docx

Logaritmos Comenzamos por revisar las funciones básicas como en la sección 2.3 de Calcúlo Aplicado al Mundo Real. Si te gusta, también puede mirar el Resumen del tema sobre logaritmos. Logaritmos base b El logaritmo de x con base b, logbx, es la Potencia a la cual hay que elevar b para obtener x. Simbólicamente, significa logbx = y Forma Logarítmica Notas 1. El número logbx sólo está definido si tanto b como x son positivos, y b ≠ 1. 2. El número log10 x se llama el logaritmo común de x, y a veces se escribe como log x. 3. El número logex se llama el logaritmo natural de x y a veces se escribe como ln x.

by = x. Forma Exponencial

Ejemplos En la siguiente tabla enumeramos algunas ecuaciones exponenciales y sus formas logarítmicas equivalentes. Forma Exponenc 103 = 1,000 42 = 16 ial

33 = 27

51 = 5

70 = 1

4−2 = 1/16

251/2 = 5

Forma log10 1,000 log416 = log327 = log55 = log71 = log4(1/16) = Logarítmi =3 2 3 1 0 −2 ca

log25 5 = 1 /2

Aquí están algunos para que tu intentes Forma Exponencial

102 = 100 log

=

3−2 = 1/9 log

=

Forma Logarítmica

=

^ =

log31 = 0

log5(1/125) = − 3

^ Forma Exponencial

Forma Logarítmica

Ejemplo 1 Cálculo manual de Logaritmos

(a) log28

(b) log41

Potencia a la que hay que elevar 2 = para obtener 8 3 Porque = 3 2 =8 Potencia a la que hay que elevar =4 para obtener

1 0 Porque = 0 4 =1 Potencia a la que hay que elevar 10 (c) log1010, 000 = para obtener 10,000 4 = Porque 104 = 10,000 Potencia a la que hay que elevar 10 (d) log101/100 = para obtener 1/100 −2 = Porque −2 10 = 1/100 (e) log327

=

(f) log93

=

(g) log3(1/81) = Propiedades Algebraicas de Logaritmos Las siguientes identidades se aplican para cualquier positivo a≠1 y cualquiera números positivos x e y. Identidad

Ejemplo

(a) log216 = log28 + log22 loga(xy) = logax + logay (b) loga

( x y

log2

( 5 3

)

)

= logax − logay

= log25 − log23

(c) loga(xr) = rlogax

log2(65) = 5log26

(d) logaa = 1 loga1 = 0 (e) loga

( 1 x

) = − logax (f) logax = log x log a = ln x ln a

log22 = 1 log31 = 0

log2

( 1 3

) = − log23

log25 = log 5 log 2 ≈ 2.3219

Ejemplo 2 Utilizando las propiedades de los logaritmos Sea a = log 2, b = log 3, c = log 5. Escriba lo siguiente en términos de

a, b, c. Nota Si cualquier respuesta que ingresas no es simplificada -- por ejemplo, si dices a+a en lugar de 2a -- se marcará incorrecto. Respuesta (a)

log 6

log 2 + log 3 = a + b

(b) log 15 (c)

log 30

log 2 + log 3 + log 5 = a + b+c

(d) log 12 (e)

log 1.5

log 3 − log 2 = b − a

(f) log(1/9) (g)

log 32

log 25 = 5log 2 = 5a

(h) log(1/81)

P ¿De dónde vienen las identidades? R En términos generales, reformulaciones en forma logarítmica de las leyes exponenciales. P ¿Por qué es logaxy = logax + logay ? R Sea s = logax, y sea t = logay. En forma exponencial, estas ecuaciones dicen que as = x y at = y. Multiplicando estas dos ecuaciones juntas nos da

asat = xy, Es decir, as + t = xy. Volvamos a escribir esto en forma logarítmica loga(xy) = s + t = logax + logay como comprobación. Aquí está una forma intuitiva de pensar sobre ello: Ya que los logaritmos son exponentes, esta identidad expresa la ley familiar que el exponente de un producto es la suma de los exponentes. La segunda identidad logarítmica se muestra casi de la misma forma, y lo dejamos para ti para la práctica. P ¿Porqué es loga(xr) = rlogax ? R Sea t = logax. Escriba esto en forma exponencial at = x. Elevar esta ecuación a la potencia rª da art = xr. Reescribiéndolo en forma logarítmica da loga(xr) = rt = rlogax , que tuvimos que comprobar. Comprobara la identidad (d) la dejaremos para que practiques. P ¿Por qué es loga(1/x) = − logax ? R Esto se desprende de las identidades (b) y (d) (piensa en ello).

P ¿Por qué es logax = log x log a

= ln x ln a

? R Sea s = logax. En forma exponencial, esto dice que as = x. Tomando el logaritmo con base b de ambos lados, obtenemos logbas = logbx, y luego usa la identidad (c): slogba = logbx, y por lo tanto s= logbx logba

Ya que los logaritmos son exponentes, podemos utilizarlos para resolver ecuaciones donde la incógnita es en el exponente. Ejemplo 3 Solucionar para el exponente Soluciona las ecuaciones siguientes para x. (a) 4−x = 1/64. 2

(b) 5(1.12x + 3) = 200 Solución Podemos solucionar estas ecuaciones traduciendo de forma exponencial a forma logarítmica. (a) Escriba la ecuación dada en forma logarítmica:

4−x = 1/64 log4(1/64) = − x2 −x2 = log4(1/64) = − 3 x = ±31/2. 2

Por lo tanto, dan do

Forma Exponencial Forma Logarítmica

(b) Antes de convertirlo a forma logarítmica, primero divida ambos lados de la ecuación por 5: 5(1.12x + 3) = 200 1.12x + 3 = 40 log1.140 = 2x + 3 Esto da 2x + 3 = ln 40/ln 1.1 ≈ 38.7039, y por lo tanto x ≈ 17.8520.

Forma Exponencial Forma Logarítmica Identidad (e)