Logaritmos Terremotos.docx

Contenido Introducción................................................................................................................................. 2 1.1

Tema ............................................................................................................................. 5

1.2 Planteamiento del Problema ............................................................................................ 5 1.3 Objetivos ............................................................................................................................ 6 1.3.1 Objetivo General ............................................................................................................ 6 1.3.2 Objetivos Específicos...................................................................................................... 6 1.5

Justificación ................................................................................................................. 6

Capítulo 2. Revisión Bibliográfica ............................................................................................. 8 2.1 Desconocimiento de la utilidad de la matemática en la vida cotidiana. ....................... 8 2.1.1 Inadecuada forma de enseñanza del profesor ......................................................... 8 2.1.2 Las operaciones matemáticas no se aplican a la vida cotidiana. ............................ 9 2.2 Aplicación de la matemática a la vida cotidiana. ......................................................... 10 2.2.1 Logaritmos ................................................................................................................ 10 2.2.2 Sismos ........................................................................................................................ 13 2.2.3 Sismógrafo................................................................................................................. 25 2.3.3 Sismograma .................................................................................................................. 29 2.3.4 Escala de Richter ...................................................................................................... 30 Bibliografía ................................................................................................................................. 38

Introducción El ser humano es curioso por naturaleza esta característica lo ha llevado a buscar explicación de cómo funcionan las cosas o el por qué ocurren los fenómenos naturales. A lo largo de la historia se han utilizado teoremas y fórmulas matemáticas para poder comprender lo que ocurre en la naturaleza. Un terremoto, por ejemplo, es un fenómeno natural que es causado por la sacudida brusca y pasajera de la corteza terrestre provocando cambios en la geografía donde ocurrió el movimiento telúrico los efectos principales son los daños en edificaciones o estructuras rígidas causando pérdidas económicas y vidas humanas. Es importante conocer la magnitud del sismo para mejorar el diseño en las futuras construcciones. Para obtener el registro del movimiento del suelo es necesario medir la intensidad de los terremotos utilizando una escala logarítmica conocida como la Escala de Richter que asigna un numero para cuantificar la magnitud de un terremoto. Toma el nombre del sismólogo estadounidense Charles Richter (1900-1985). En esta escala se mide la energía liberada en un terremoto, mediante la amplitud máxima de las ondas que registra el sismógrafo. Debido a que existen diferencias enormes entre unos registros y otros, se define la magnitud M del seísmo utilizando logaritmos.

Resumen En este proyecto se presenta un análisis del problema que conlleva el desconocimiento de las matemáticas en la vida real. Para ello en el capítulo 1 se llevó a cabo la construcción del árbol de causa y efecto identificando el problema central y los factores que llevan a que los estudiantes de centros educativos a nivel secundario no se interesen por la asignatura de Matemática. De la misma manera para definir los objetivos se realizó el árbol de medios y fines que es la parte positiva del árbol de causa y efecto. Finalmente, se genera una alternativa de solución, que es poner en práctica la matemática cuantificando la magnitud de un evento natural. El capítulo dos expone la revisión bibliográfica existente de estudios y antecedentes que tienen que ver con el problema de investigación. Fue necesario elaborar un esquema para la realización del marco teórico en donde se presentan los temas y subtemas a desarrollar en este capítulo. Se acudió a la revisión manual de la bibliografía en la biblioteca y en bancos de datos en el internet. Después se pudo detectar, obtener, consultar la bibliografía y otros documentos pertinentes al desarrollo de la investigación, así como la extracción de información de interés que aplique al problema de investigación. Y finalmente la redacción del marco teórico. Por último, en el capítulo tres se propone un método practico de la utilización de las matemáticas en la vida real haciendo uso de un prototipo de sismógrafo en donde se realiza la medición e interpretación de un movimiento telúrico mediante la utilización de los logaritmos y la Escala de Richter.

Capítulo 1. Antecedentes La asignatura de matemáticas en las escuelas o colegios afecta directamente a los alumnos en todos los niveles de educación. Es una materia temida y odiada por muchos, pero querida por pocos. En este contexto, cuales podrían ser las causas de estos sentimientos a tan importante materia. Existe una decadencia en los alumnos que optan por los estudios dentro de la rama de Tecnología desde hace más de una década. Las carreras que tienen que ver con tecnología han sufrido una caída del 21.3%. La razón de este descenso son las matemáticas y el miedo que tienen los estudiantes a esta asignatura, ya que estas carreras tienen en su malla muchas matemáticas en casi todos los niveles. En América Latina los planes de estudio están diseñados para que los alumnos de primaria puedan resolver problemas que solo el 36% lo consigue, según un estudio realizado por la UNESCO, formando parte en el análisis del Tercer Estudio Regional Comparativo y Explicativo (TERCE) se logró mostrar que el aprendizaje entre los alumnos de tercero y sexto de primaria en 15 países de América Latina: los alumnos de sexto de primaria, 35% pudo resolver problemas complejos, 42%, problemas simples y 55% pudo reconocer objetos y elementos matemáticos. Con estos resultados se muestra que los estudiantes de tercero de primaria tienen mejores resultados en matemáticas que los de sexto de primaria. Por otro lado, la situación en el Ecuador no es alentadora según los resultados de las pruebas tomadas por el Programa para la Evaluación Internacional de Estudiantes (PISAD) en 2018, el 70,9% de los estudiantes en el país no alcanzo en matemáticas el nivel 2, siendo el nivel básico en esta área, obteniendo un promedio de 377 sobre 1000 puntos. Uno de los factores para estos resultados podría ser el modelo educativo actual en el que se fuerza al estudiante a una educación memorista y repetitiva sin razonamientos sobre el tema, es decir no se forman a personas críticas, en su lugar se forman personas que todo lo realizan mecánicamente; en matemáticas ese no es el camino; se debe usar la creatividad y la lógica para la resolución de problemas haciendo uso de una adecuada metodología ya que todas las personas no están en las mismas capacidades para aprender y comprender cierto tema.

1.1 Tema

Implementación de un sismógrafo prototipo utilizando un péndulo invertido para dar a conocer la utilidad de la matemática en la vida real. 1.2 Planteamiento del Problema

Actualmente estamos rodeados de ciencia y tecnología siendo de suma importancia que se cree una cultura matemática en los niños y jóvenes para que puedan afrontar los desafíos tanto laborales como en la vida cotidiana. Sin las matemáticas no se puede diseñar ni crear los teléfonos inteligentes que se usan hoy en día, no existiría el internet ni tampoco las edificaciones que son utilizadas como viviendas, centros de estudios o de negocios; los medios de transporte sería el lomo de un animal, no existirá la navegación siendo imposible transportarse por el agua o el aire y ni pensar sobre un viaje al espacio. Gracias a las matemáticas se puede medir y predecir desastres naturales como por ejemplo un movimiento telúrico o la erupción de un volcán, es decir sin las matemáticas viviríamos en la edad de piedra, sin avances tecnológicos y peor aún sin el conocimiento de lo que nos rodea que es el lugar donde vivimos. Cabe recalcar que la enseñanza de la matemática en los planteles educativos es una materia que se dicta en todos los niveles tanto de primaria como de secundaria y en educación superior por ende, las actitudes de los profesores favorecen a la promoción de buenas situaciones de enseñanza, el profesor en algunos casos da la clase para sí mismo es decir tiene el conocimiento de la materia pero no sabe explicar, no lleva una correcta pedagogía (inadecuada forma de enseñanza); el resultado los estudiantes no comprenden la materia. Otro factor que conlleva a una mala enseñanza a la hora de dar la clase es el desinterés y la mala actitud por parte del docente, hay casos en que un profesor de Ciencias Naturales le toca dictar clases de matemática por que el colegio carece de personal docente. Por otro lado, el Ministerio de Educación no pone en ejecución los nuevos programas ni las metodologías de enseñanza que han dado buenos resultados en países desarrollados como por ejemplo el modelo usado en Singapur o en Finlandia que es catalogada como la mejor educación del Mundo. El modelo actual no es el adecuado para la enseñanza y aprendizaje, se cree que entre más ejercicios se haga se está aprendiendo,

cuando en realidad se está repitiendo un proceso y más que nada estamos en una era donde un computador o un teléfono inteligente resuelve cualquier ejercicio. Matemáticas, programación y pensamiento computacional deberían estar dentro de las nuevas mallas curricular. Por último, las operaciones matemáticas no se aplican a la vida real, en este contexto si los estudiantes no tienen un problema no les interesa la solución a muchos problemas que no están atravesando, realmente no entienden lo que está ocurriendo ni para que sirve; es decir se debe explicar la utilidad de las matemáticas, las herramientas que proporciona y como interpretar los datos que arroja cierto problema. Las matemáticas tradicionales ya no tienen sentido y es probable que el 80% del contenido de la asignatura no es útil y nunca se lo usara fuera del aula. 1.3 Objetivos 1.3.1 Objetivo General Implementar un prototipo de un sismógrafo utilizando un péndulo invertido para conocer la utilidad de la matemática en la vida real. 1.3.2 Objetivos Específicos 

Identificar la problemática del desconocimiento en la utilidad de la matemática en la vida cotidiana.



Analizar bibliografía disponible relacionada con el funcionamiento de un sismógrafo y la utilización de los logaritmos en la medición de terremotos.



Crear un Sismógrafo Prototipo, interpretar las lecturas de un sismograma y calcular la magnitud de un sismo.

1.5 Justificación

Este proyecto esta contribuyendo con el artículo 26 de la Constitución de la República del Ecuador establece que la educación es un derecho de las personas a lo largo de su vida y un deber ineludible e inexcusable del Estado. (Asamblea Nacional Constituyente de Ecuador, 2008)

Además se está contribuyendo a la comunidad universitaria y a los estudiantes de escuelas y principalmente de colegios al analizar el bajo rendimiento en la asignatura de matemática, detectar las principales problemáticas y buscar una solución a la abulia estudiantil hacia la materia de matemáticas. El profesor al dar la clase de matemáticas con ejemplos reales, aplicados a la vida cotidiana provoca que exista interés por parte del alumnado hacia la asignatura de matemáticas ya que el estudiante tiene un problema real que podría resolver con ayuda de las matemáticas. Con la ayuda de la matemática, en este caso la utilización de los logaritmos se puede dar el valor numérico a un evento natural y así cuantificar el acontecimiento, con la ayuda de los logaritmos en el modelo de Richter un valor muy grande se le puede representar a escala.

Capítulo 2. Revisión Bibliográfica 2.1 Desconocimiento de la utilidad de la matemática en la vida cotidiana. 2.1.1 Inadecuada forma de enseñanza del profesor Existen algunos factores que inciden en la forma de enseñanza del profesor en los centros educativos del país, entre estos se pueden mencionar el nivel de preparación de cada docente, la situación en la que se encuentra trabajando, la relación alumno-profesor, el salario promedio que percibe cada maestro y la inversión por alumno que se da en el país. La preparación y capacitación de los docentes es fundamental para mejorar la calidad de la enseñanza no solo de la matemática sino en todas las otras materias existentes. Al respecto, se sostiene “que, si se aumentara el nivel de preparación de los profesores, especialmente de los primeros años de educación básica, habría un mejoramiento sustancial de la calidad educativa y una mejor preparación de niños para estudiar el bachillerato”. Para el año lectivo 2004-2005, el 81.8% (159.465) de los profesores tienen títulos docentes: postgrado 1.8% (3.490), universitario 53.3% (103.981), instituto pedagógico 17.3% (33.641) y bachiller en ciencias de la educación 9.4% (18.353). El 18% (35.062) de los profesores tienen títulos no docentes: postgrado 0.2% (299), universitario 6.9% (13.438), instituto técnico superior 1.9% (3.609) y bachiller 9.1% (17.716). El 0.1% (272) de los profesores son menor a bachiller y el 0.1% (188) no tienen título. (Andrade Herrera, 2008) Esto conlleva, a la necesidad de que se diseñe titulaciones de maestros de matemática que se convertirán en reales profesionales competentes con actitudes, destrezas y capacidades que permitan el logro de tareas y objetivos propios y de una profesión. Ahora bien, se debe describir las condiciones de enseñanza y aprendizaje de la matemática en las que se debate el profesor con el alumno, según datos del Ministerio de Educación, la relación profesor-alumno de segundo a séptimo año es de un profesor por cada 24 alumnos, sin embargo, en la zona urbana existen escuelas con grados de hasta 50 niños. En cuanto a la realidad de las escuelas. El 40.2% son unidocentes que equivalen a 5.908, pluridocentes 2, 996 que corresponde al 16.6%, sumados los dos porcentajes

(56.8%) estos establecimientos no disponen de las condiciones mínimas para desarrollar una educación de calidad. (Andrade Herrera, 2008) En cuanto al presupuesto la asignación a educación respecto del PIB no alcanzó al 3% en el 2006. pese a ello el presupuesto del Ministerio de Educación y Cultura entre el 2001 y el 2006 se duplicó (de $515 a $1.065 millones), pero ello no significó mayor acceso y permanencia a la escuela ni mejora en la calidad. Para el 2007, la asignación per-cápita por alumno de la inicial, básica y media es de $ 520 dólares anuales. La remuneración promedio anual de un profesor fiscal según el Ministerio de Educación y Cultura en el 2007, es de $ 6.936 y mensual de $ 578 Hay otros sectores del Gobierno Central cuyas remuneraciones promedio están por encima de los $ 15.000 dólares anuales, parecido a lo que sucede en Brasil según la entrevista a Paulo Freire realizada por Rosa María Torres, lo que en parte demuestra la desvalorización social del maestro, a pesar de ello las remuneraciones de los docentes fiscales en promedio son mayores que la de los establecimientos particulares. (Arteaga Montaño, 2013)

En lo que respecta a la inversión por alumno, el Programa para la Evaluación Internacional de Estudiantes (PISA), coordinado por la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE), tiene como objetivo evaluar los sistemas educativos de todo el mundo, examinando las habilidades y los conocimientos de estudiantes de 15 años, quienes se encuentran hacia el final de la educación obligatoria. Desde el 2000 hasta el 2018 han participado estudiantes de más de 80 países. La evaluación incluye las asignaturas de Ciencias, Lectura y Matemáticas. La inversión en educación por niño tiene que aumentar considerablemente. El acumulado de un niño en Ecuador desde el prekínder hasta que termina la secundaria es de 14.000 dólares, mientras que la referencia de los países de la OCDE está en 90.000 dólares. (Raad, 2019) 2.1.2 Las operaciones matemáticas no se aplican a la vida cotidiana. Como naturaleza humana siempre se busca satisfacer necesidades y solucionar problemas que se tiene en ese momento, esto también aplica en los ámbitos educativos especialmente en la matemática. La manera tradicional de enseñanza se base en enseñar primero la teoría y luego ver como se aplica, es decir se trata de explicar muchos teoremas cuando ni siquiera se sabe para qué sirve ni cuándo se va a aplicar en la vida cotidiana. (Paenza, 2019)

En muchas ocasiones se escucha el comentario “Un día más sin utilizar el trinomio cuadrado perfecto” o cosas similares, la razón podría ser que se lleva a cabo un proceso memorista y mecánico por parte del profesor a sus estudiantes. 2.2 Aplicación de la matemática a la vida cotidiana. 2.2.1 Logaritmos Considerando la función exponencial y  2 x , para determinar la función inversa se intercambia x y y obteniendo una ecuación x  2 y , pero en esta ecuación no hay forma de despejar y en la ecuación. A partir de ello se utilizan los logaritmos para solventar a esta ecuación. (Ramos Espinoza, 2004) 2.2.1.1 Propiedades de los Logaritmos

Definición Se llama logaritmo de un número real positivo N  0 , en una base dada a  0 y

a  1, al exponente " x " a que debe elevarse la base " a " de manera que se cumpla a x  N . Notación

log a N  x

N  Numero a  Base x  Exponente de base “a”

log a N  x , se lee “x” es el logaritmo de “N” en base “a”, de la definición de logaritmo se tiene: Si log a N  x  a x  N , N  0, a  0, a  1 Por lo tanto, de la definición se concluye: Si log a N  x  a x  N Si a x  N  log a N  x

Ejemplos: 1. Si log3 27  3 se tiene 33  27 2.

log3 81  4 se tiene 34  81

3. Si 53  125 se tiene log5 125  3 2.2.1.2 Identidad Fundamental del Logaritmo. Considerando el siguiente logaritmo

x  log a N

… (1)

ax  N

Por definición

… (2)

Al reemplazar (1) en (2) se tiene:

aloga N  N ,  N  0  a  0  a  1 Que es la identidad fundamental del logaritmo. Ejemplos: 1. 7 log7 10  10 2. 5log5 3  3 2.2.1.3 Propiedades sobre los logaritmos 1. loga  AB   loga  A  loga  B  , A  0, B  0, a  0  a  1 2. log am An 

n log a A, m, n,  R, A  0 m



a0

 A 3. log a    log a A  log b B, a  0 a  1, A  0, B  0 B

4. log a mn  n log a m 5. log a m  log a n  m  n 6. log A  B  

log m  A log m  B 

Grafica de funciones exponenciales y logarítmicas Las ecuaciones de la forma y  loga  x  , a  0, a  1 y x  0 , se denominan funciones logarítmicas. Para graficarlas, se debe cambiar a la forma exponencial. Características de las funciones logarítmicas: Para todas las funciones logarítmicas de la forma y  loga  x  o f  x   loga  x  , donde

a 0, a 1 y x 0: 1. El dominio de la función es  0,   . 2. El rango de la función es  ,   . 1  3. La grafica pasa por los puntos  , 1 , 1, 0  y  a,1 . a 

En casi todos los casos puede trazarse una grafica siguiendo el paso 3. 1  Cuando a  1 , la gráfica se vuelve casi vertical a la izquierda de  , 1  y casi horizontal a 

a la derecha de  a,1 . Ejemplo: Graficar y  log2  x  . Indicar el dominio y el rango de la función.

Figura 1. Grafica de función logarítmica

y  log2  x 

Fuente: AUTORES Recuperado de: (GEOGEBRA 2019)

Cuando 0  a  1, la gráfica parece casi vertical a la izquierda de  a,1 , y casi horizontal 1  a la derecha de  , 1  . a 

Ejemplo: Grafique y  log 1  x  . Indique el dominio y rango de la función. 2

Figura 2. Grafica de función logarítmica y  log 1  x  2

Fuente: AUTORES Recuperado de: (GEOGEBRA 2019)

2.2.2 Sismos Aunque la Tierra parece un lugar bastante sólido desde la superficie, en realidad es extremadamente activa justo debajo de ella. La Tierra está formada por cuatro capas básicas: una corteza sólida, un manto caliente y casi sólido, un núcleo externo líquido y un núcleo interno sólido.

Figura 3. Capas de la Tierra Fuente: EL MUNDO DEL GLOBO TERRAQUEO Recuperado de: https://globoterraqueo.world/capas-yestructura-interna-y-externa-de-la-tierra/

La corteza sólida, la capa superior y rígida del manto conforman una región llamada litosfera. La litosfera no es una pieza continua que envuelve a toda la Tierra como una cáscara de huevo. En realidad, se compone de piezas de rompecabezas gigantes llamadas placas tectónicas. Las placas tectónicas cambian constantemente a medida que se desplazan en la capa de manto viscosa o que fluye lentamente hacia abajo. (Muneo, 2018)

Figura 4. La corteza terrestre se fractura en placas tectónicas que se han estado moviendo muy lentamente sobre la superficie de la Tierra durante millones de años. Fuente: USGS Recuperado de: https://www.britannica.com/science/earthquake-geology/Methods-ofreducing-earthquake-hazards#ref59575/

Este movimiento sin parar causa estrés en la corteza terrestre. Cuando las tensiones se vuelven demasiado grandes, conduce a grietas llamadas fallas. Cuando las placas tectónicas se mueven, también provoca movimientos en las fallas. Provocando un terremoto.

Figura 4. La falla de San Andrés, una falla de 750 millas en California. Fuente: USGS Recuperado de: https://www.britannica.com/science/earthquake-geology/Methods-ofreducing-earthquake-hazards#ref59575/

Un terremoto, es una sacudida repentina del suelo causada por el paso de las ondas sísmicas a través de las rocas de la Tierra. Las ondas sísmicas se producen cuando alguna forma de energía almacenada en la corteza terrestre se libera repentinamente, por lo general cuando las masas de roca que se tensan unas contra otras se fracturan y se “deslizan” de forma repentina. Las principales líneas de falla del mundo están ubicadas en las franjas de las enormes placas tectónicas que forman la corteza terrestre. Poco se sabía sobre los terremotos hasta la aparición de la sismología a principios del siglo XX. La sismología, que involucra el estudio científico de todos los aspectos de los terremotos, ha dado respuestas a preguntas tan antiguas como por qué y cómo ocurren los terremotos. Alrededor de 50,000 terremotos lo suficientemente grandes como para ser notados sin la ayuda de instrumentos ocurren anualmente en toda la Tierra. De estos, aproximadamente 100 son de tamaño suficiente para producir daños sustanciales si sus

centros están cerca de las áreas habitadas. Terremotos muy grandes ocurren en promedio una vez al año. A lo largo de los siglos, han sido responsables de millones de muertes y una cantidad incalculable de daños a la propiedad. Los principales terremotos de la Tierra ocurren en lugares que coinciden con los bordes de las placas tectónicas. Esto ha sido evidente desde los primeros registros de terremotos y se percibe aún más fácilmente en los modernos mapas de sismicidad, que muestran epicentros determinados instrumentalmente. El cinturón de terremotos más importante es el Cinturón del Pacífico que afecta a muchas regiones costeras pobladas alrededor del Océano Pacífico, por ejemplo, las de Nueva Zelanda, Nueva Guinea, Japón, las Islas Aleutianas, Alaska y las costas occidentales del Norte y de Sur de América. Se estima que el 80 por ciento de la energía actualmente liberada en los terremotos proviene de aquellos cuyos epicentros se encuentran en este cinturón. La actividad sísmica no es de ninguna manera uniforme en todo el cinturón. Debido a que en muchos lugares el cinturón del Pacífico está asociado con la actividad volcánica, popularmente se lo ha denominado el "Anillo de Fuego del Pacífico". (Rodríguez, 2018)

Figura 5. Cinturón de Fuego Alrededor del Océano Pacífico . Fuente: CNN Recuperado de: https://cnnespanol.cnn.com/video/terremotos-cinturon-fuego-oceanopacifico-pkg-digital-original/

Un segundo cinturón, conocido como el Cinturón de Alpide, pasa a través de la región mediterránea hacia el este a través de Asia y se une al Cinturón del Circuito Pacífico en las Indias Orientales. La energía liberada en los terremotos de este cinturón es aproximadamente el 15 por ciento del total mundial. También hay llamativos cinturones conectados de actividad sísmica, principalmente a lo largo de las cordilleras oceánicas, incluidas las del Océano Ártico, el Océano Atlántico y el Océano Índico occidental, y a lo largo de los valles del este de África. Esta distribución de sismicidad global se comprende mejor en términos de su configuración tectónica de placas.

Figura 6. Cinturón de Fuego de Alpide. Fuente: WIKIPEDIA Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Cinturón_alpino

Fuerzas naturales Los terremotos son causados por la repentina liberación de energía dentro de una región limitada de las rocas de la Tierra. La energía se puede liberar por tensión elástica, gravedad, reacciones químicas o incluso el movimiento de cuerpos masivos. De todos estos, la liberación de la tensión elástica es la causa más importante, porque esta forma de energía es la única que se puede almacenar en cantidad suficiente en la Tierra para producir perturbaciones importantes. Los terremotos asociados con este tipo de liberación de energía se denominan terremotos tectónicos. (Atwater, 2015) Tectónica Los terremotos tectónicos se explican por la llamada teoría del rebote elástico, formulada por el geólogo estadounidense Harry Fielding Reid después de que la falla de San Andrés se rompiera en 1906, generando el gran terremoto de San Francisco. Según la teoría, se produce un terremoto tectónico cuando las tensiones en las masas rocosas se

acumulan hasta un punto en el que las tensiones resultantes superan la resistencia de las rocas y se producen fracturas repentinas. Las fracturas se propagan rápidamente a través de la roca, por lo general tienden en la misma dirección y, a veces, se extienden muchos kilómetros a lo largo de una zona de debilidad local. En 1906, por ejemplo, la falla de San Andrés se deslizó a lo largo de un avión de 430 km de largo. En esta línea, el terreno se desplazó horizontalmente hasta 6 metros. (Fradkin, 2005) A medida que una ruptura de falla avanza a lo largo de la falla, las masas rocosas se lanzan en direcciones opuestas y, por lo tanto, vuelven a una posición en la que hay menos tensión. En cualquier punto, este movimiento puede ocurrir no de una vez sino en pasos irregulares; estas ralentizaciones y reinicios repentinos dan lugar a las vibraciones que se propagan como ondas sísmicas. Tales propiedades irregulares de ruptura de fallas ahora se incluyen en el modelado de fuentes de terremotos, tanto física como matemáticamente. Las asperezas a lo largo de la falla se conocen como asperezas, y los lugares donde la ruptura se ralentiza o se detiene son las barreras de falla. La ruptura de fallas comienza en el foco del terremoto, un punto que en muchos casos está cerca de 5 a 15 km bajo la superficie. La ruptura se propaga en una o ambas direcciones sobre el plano de falla hasta que se detiene o disminuye la velocidad en una barrera. A veces, en lugar de detenerse en la barrera, la ruptura de la falla se reanuda en el otro lado; en otras ocasiones, las tensiones en las rocas rompen la barrera y la ruptura continúa. Tipos de faltas Las fallas normales son las grietas donde un bloque de roca se desliza hacia abajo y se aleja de otro bloque de roca. Estas fallas usualmente ocurren en áreas donde una placa se separa muy lentamente o donde dos placas se separan una de la otra. Una falla normal se define cuando el muro colgante se mueve hacia abajo en relación con el muro de pie, que se está moviendo hacia arriba.

Figura 7. Una falla normal un lado de la falla, se mueve hacia arriba el otro lado de la falla se mueve hacia abajo Fuente: BRITANNICA Recuperado de: https://www.britannica.com/science/earthquakegeology/Methods-of-reducing-earthquake-hazards#ref59575

Las fallas inversas son grietas formadas donde una placa se empuja hacia otra placa. También ocurren cuando una placa se pliega porque está siendo comprimida por otra placa que empuja contra ella. En estas fallas, un bloque de roca se desliza por debajo de otro bloque o un bloque se empuja hacia arriba sobre el otro. Una falla inversa se define cuando la pared colgante se mueve hacia arriba en relación con la pared de pie, que se está moviendo hacia abajo.

Figura 8. una falla inversa está en el lado 'down thrown', esta se mueve hacia abajo, y el 'muro colgante' está en el lado opuesto 'hacia arriba' de la falla, moviendo hacia arriba.

Fuente: BRITANNICA Recuperado de: https://www.britannica.com/science/earthquakegeology/Methods-of-reducing-earthquake-hazards#ref59575

Las fallas de deslizamiento son las grietas entre dos placas que se deslizan una sobre la otra. Puedes encontrar este tipo de fallas en California. La falla de San Andrés es una falla de deslizamiento. Es la falla más famosa de California y ha causado muchos terremotos poderosos.

Figura 9. Una falla izquierda lateral no importa en qué lado de la falla este, el otro lado se mueve a la izquierda. Una falla lateral derecha no importa qué lado de la falla este, el otro lado se mueve al derecho

Fuente: BRITANNICA Recuperado de: https://www.britannica.com/science/earthquakegeology/Methods-of-reducing-earthquake-hazards#ref59575

Estudio de los Terremotos (LAWRENCE , 2019) Onda sísmica Las ondas sísmicas generadas por un terremoto se clasifican comúnmente en tres tipos principales. Las dos primeras, las ondas P (o primarias) y las ondas S (o secundarias), se propagan dentro de la Tierra, mientras que la tercera, son las ondas Love y Rayleigh, se propaga a lo largo de su superficie. La existencia de estos tipos de ondas sísmicas se predijo matemáticamente durante el siglo XIX, y las mediciones modernas muestran que existe una estrecha correspondencia entre dichos cálculos teóricos y las mediciones reales de las ondas sísmicas. (Delanoy, 1996)

Figura 10. Onda sísmica: tipos principales Diagrama que muestra los principales tipos de ondas sísmicas: Primaria, Secundaria, Love y Rayleigh. Fuente:

BRITANNICA

Recuperado

de:

https://www.britannica.com/science/earthquake-

geology/Methods-of-reducing-earthquake-hazards#ref59575

Los sismógrafos registran la amplitud y frecuencia de las ondas sísmicas y proporcionan información sobre la Tierra y su estructura subsuperficial. Las ondas sísmicas generadas artificialmente registradas durante los levantamientos sísmicos se utilizan para recopilar datos en la prospección e ingeniería de petróleo y gas. De las ondas producidas por un sismo, la onda primaria, o P, tiene mayor velocidad de propagación y, por lo tanto, alcanza una estación de grabación sísmica más rápido que la onda secundaria o S. Las ondas P, también llamadas ondas compresionales o longitudinales, dan al medio de transmisión, ya sea líquido, sólido o gaseoso, un movimiento hacia adelante y hacia atrás en la dirección de la trayectoria de propagación, estirando o comprimiendo el medio a medida que la onda pasa. En la Tierra, las ondas P viajan a velocidades de alrededor de 6 km por segundo en la superficie de la roca a unos 10.4 km por segundo cerca del núcleo de la Tierra a unos 2.900 km por debajo de la superficie. A medida que las ondas ingresan al núcleo, la velocidad desciende a unos 8 km por segundo. Aumenta a unos 11 km por segundo cerca del centro de la Tierra. El aumento de velocidad con los resultados de profundidad del aumento de la presión hidrostática, así como de los cambios en la composición de la roca; en general, el aumento

hace que las ondas P se desplacen en trayectorias curvas que son cóncavas hacia arriba. (Espíndola, 1994)

Figura 11. Una onda p viaja a través de un medio mediante compresión y dilación. Fuente: UPSEIS Recuperado de: http://www.geo.mtu.edu/UPSeis/waves.html

El segundo tipo de onda es la onda S o la onda secundaria, que es la segunda onda que se siente en un terremoto. Una onda S es más lenta que una onda P y solo puede moverse a través de roca sólida, no a través de ningún medio líquido. Es esta propiedad de las ondas S la que llevó a los sismólogos a concluir que el núcleo externo de la Tierra es un líquido. Las ondas S mueven las partículas de roca hacia arriba y hacia abajo, o de lado a lado, perpendiculares a la dirección en la que la onda está avanzando. En la Tierra, la velocidad de las ondas S aumenta de aproximadamente 3.4 km por segundo en la superficie a 7.2 km por segundo cerca del límite del núcleo, que, al ser líquido, no puede transmitirlas.

Figura 12. Una onda de la onda viaja a través de un medio. las partículas están representadas por los cubos en este modelo. Fuente: UPSEIS Recuperado de: http://www.geo.mtu.edu/UPSeis/waves.html

ONDAS DE SUPERFICIE Viajan solo a través de la corteza, las ondas superficiales son de una frecuencia más baja que las ondas internas y, como resultado, se distinguen fácilmente en un sismograma. Aunque llegan después de las ondas corporales, son las ondas superficiales las que son casi responsables del daño y la destrucción asociados con los terremotos. Este daño y la fuerza de las ondas superficiales se reducen en terremotos más profundos. ONDAS LOVE El primer tipo de onda de superficie se llama onda Love, llamada así por A.E.H. Love, un matemático británico que elaboró el modelo matemático para este tipo de onda en 1911. Es la onda de superficie más rápida y mueve la tierra de lado a lado. Confinadas a la superficie de la corteza, las ondas de amor producen un movimiento completamente horizontal.

Figura 13. Una onda Love recorre a través de un medio. las partículas están representadas por los cubos en este modelo. Fuente: UPSEIS Recuperado de: http://www.geo.mtu.edu/UPSeis/waves.html

ONDAS RAYLEIGH El otro tipo de onda de superficie es la onda Rayleigh, llamada así por John William Strutt, Lord Rayleigh, quien predijo matemáticamente la existencia de este tipo de onda en 1885. Una onda Rayleigh rueda por el suelo como una ola rueda sobre un lago o un Océano. Debido a que rueda, mueve el suelo hacia arriba y hacia abajo, y de lado a lado en la misma dirección en que se mueve la onda. La mayor parte del temblor de un terremoto se debe a la onda Rayleigh, que puede ser mucho más grande que las otras ondas. (Hughes, 2018)

Figura 14. Una onda Rayleigh viaja a través de un medio. las partículas están representadas por los cubos en este modelo. Fuente: UPSEIS Recuperado de: http://www.geo.mtu.edu/UPSeis/waves.html

2.2.3 Sismógrafo

El sismógrafo es un instrumento que hace un registro de las ondas sísmicas causadas por un terremoto, explosión u otro fenómeno de sacudidas de la Tierra. Los sismógrafos están equipados con sensores electromagnéticos que traducen los movimientos del terreno en cambios eléctricos, que son procesados y grabados por los circuitos analógicos o digitales de los instrumentos. Los términos sismógrafo y sismómetro a menudo se usan indistintamente; sin embargo, mientras que ambos dispositivos pueden detectar y medir ondas sísmicas, solo un sismógrafo posee la capacidad de registrar los fenómenos. (Vargas Chaves, 2015) Un registro producido por

un sismógrafo en una pantalla de visualización o una copia impresa en papel se llama sismograma. Aunque originalmente diseñados para localizar terremotos naturales, los sismógrafos tienen muchos otros usos, como la exploración de petróleo, la investigación de la corteza terrestre y las capas inferiores y el monitoreo de la actividad volcánica. 2.2.3.1 Desarrollo de los primeros sismógrafos Un instrumento sísmico temprano llamado sismo sismo no registraba el tiempo de las oscilaciones del suelo, sino que simplemente indicaba que se había producido una sacudida. Un erudito chino, Zhang Heng, inventó un instrumento de este tipo desde el año 132 EC. Era de forma cilíndrica con ocho cabezas de dragón dispuestas alrededor de su circunferencia superior, cada una con una bola en su boca. Alrededor de la circunferencia inferior había ocho ranas, cada una directamente debajo de una cabeza de dragón. Cuando ocurrió un terremoto, se liberaron bolas de la boca de un dragón, probablemente por un péndulo interno que se movía hacia adelante y hacia atrás de acuerdo con la dirección de la vibración, y fueron atrapados por la boca de una rana, que produjo ruido. En 1855, el científico italiano Luigi Palmieri diseñó un sismógrafo que consistía en varios tubos en forma de U llenos de mercurio y orientados hacia los diferentes puntos de la brújula. Cuando el suelo tembló, el movimiento del mercurio hizo un contacto eléctrico que detuvo un reloj y simultáneamente inició un tambor de grabación en el que se registró el movimiento de un flotador en la superficie del mercurio. Por lo tanto, este dispositivo indicó el tiempo de ocurrencia y la intensidad relativa y la duración del movimiento del suelo.

Figura 15. Esbozo de un sismógrafo del científico italiano Luigi Palmieri en 1872 Fuente: ASHER Recuperado de: http://www.geo.mtu.edu/UPSeis/waves.html

El problema básico en la medición de los movimientos del terreno es lograr un punto estable que permanezca fijo cuando el suelo se mueva. Se han usado varios tipos de péndulos para ese propósito. El tipo más simple es un péndulo común en el cual una masa pesada es suspendida por un alambre o varilla desde un punto fijo (como en un reloj). Otras formas son el péndulo invertido, en el cual una masa pesada se fija al extremo superior de una barra vertical apuntada en su extremo inferior, y el péndulo horizontal, en el cual una barra con una masa en su extremo se suspende en dos puntos para para oscilar en un plano casi horizontal en lugar de un plano vertical. Después de una serie de terremotos cerca de Perthshire, Escocia, en 1839, se instaló un sismómetro con un péndulo invertido cerca de Comrie en 1840. El primer sismógrafo verdadero, según los sismólogos italianos, fue creado en 1875 por el físico italiano Filippo Cecchi. El sismógrafo de Cecchi también utilizó péndulos, pero fue el primero en registrar el movimiento relativo de los péndulos con respecto a los movimientos terrestres de la Tierra en función del tiempo. Los movimientos producidos por las ondas sísmicas activarían un reloj, y la superficie de grabación (que siguió el movimiento del suelo) avanzó 1 cm (0,04 pulgadas) por segundo, lo que permitiría a un lector establecer el tiempo de inicio de un terremoto, así como su duración.

Los desarrollos de sismógrafos ocurrieron rápidamente en 1880 cuando el físico escocés Sir James Alfred Ewing, el ingeniero escocés Thomas Gray y el geólogo inglés John Milne, que trabajaban en Japón en ese momento, comenzaron a estudiar los terremotos. Tras un grave terremoto ocurrido en Yokohama cerca de Tokio en ese año, organizaron la Sociedad Sismológica de Japón. Bajo sus auspicios se inventaron varios dispositivos, precursores del sismógrafo de hoy. Entre los instrumentos construidos en ese período se encontraba el famoso sismógrafo de péndulo horizontal de Milne. Milne utilizó con éxito ese sismógrafo para registrar varios terremotos en Japón. Luego, después de regresar a Inglaterra, estableció una pequeña red sismográfica mundial utilizando dichos instrumentos.

Figura 16. Milne, John: sismógrafo de péndulo horizontal Sismógrafo de péndulo horizontal, inventado por el sismólogo inglés John Milne en 1880. Un brazo (B), al que se unió la masa (M), se suspendió horizontalmente mediante un pivote (P) y un hilo de seda (T) fijado a un punto. por encima del pivote. Una placa delgada (C), en la que se cortó una ranura estrecha paralela al brazo, se unió al extremo del brazo. Una placa similar con una hendidura en ángulo recto con la placa superior se fijó en la parte superior de una caja que contenía un tambor de grabación (D). Un rayo de luz de una lámpara de aceite pasó por ambas rendijas y formó un pequeño punto de luz en una hoja de papel cuadriculado sensible a la luz (papel de bromuro) envuelto en el tambor de grabación. Fuente: BRITANNICA Recuperado de: http://www.geo.mtu.edu/UPSeis/waves.html

El sismógrafo de péndulo horizontal se mejoró mucho después de la Segunda Guerra Mundial. El sismógrafo Press-Ewing, desarrollado en los Estados Unidos para la grabación de olas de largos períodos, fue ampliamente utilizado en todo el mundo. Ese dispositivo empleó un péndulo tipo Milne, pero el pivote que soportaba el péndulo fue reemplazado por un cable elástico para evitar la fricción. 2.3.3 Sismograma Un sismograma es un registro del movimiento del suelo llevado a cabo por un sismógrafo. La energía medida en un sismograma resulta de fuentes naturales como son los sismos (o terremotos), o de fuentes artificiales como son los explosivos (sismos inducidos). Para determinar la correcta localización del arribo de las ondas sísmicas a la estación sísmica, el sismómetro registra la señal en sus dos componentes horizontales, una de dirección norte-sur (N-S) y la otra en dirección este-oeste (E-W). Además de una tercera dirección la que es vertical (down-up).

Esto con la finalidad de determinar la correcta velocidad de las ondas sísmicas y de poder localizar adecuadamente la ubicación del hipocentro del sismo. Las ondas sísmicas por lo general pueden ser de dos tipos, las corpóreas o de cuerpo (las ondas P y S) y las ondas superficiales (Love o Rayleigh). La primera onda en ser registrada es la P porque posee una mayor velocidad que la onda S que es la segunda en arribar, posteriormente y en forma conjunta las ondas superficiales. Existen diferentes formas de visualizaciones de los sismogramas que registran los sismómetros, y cada una de ellas variará de acuerdo con el tipo de evento sísmico ocurrido.

Existen sismogramas para eventos locales, regionales, tele sísmicos, explosiones nucleares, mega terremotos, tremores volcánicos, sismos volcánicos. Todos estos tipos de señales tienen sus características propias ayudándonos a determinar qué tipo de evento sísmico ocurrió en un determinado lugar.

En la figura se muestra el registro de un sismograma de evento local.

Figura 17. Sismograma de un Terremoto Evento Local Fuente: ASHER Recuperado de: http://www.geo.mtu.edu/UPSeis/waves.html

Se muestra un sismo local, es decir la distancia entre la fuente y la estación de registros 111 km. El sismo es de baja magnitud, menor que 4. Las ondas Py S generadas por el terremoto viajan por la corteza. El tiempo S-P es alrededor de 10 segundos por la distancia. La onda P esta mas pronunciada en el componente vertical. La onda S esta mas pronunciada en los componentes horizontales. La onda P esta a una frecuencia un poco mayor que la onda S.

2.3.4 Escala de Richter En la década de los treinta del siglo veinte el sismólogo norteamericano Ch. F. Richter (1900-1985) elaboró junto con B. Gutenberg (1889-1960) una escala sismológica para detectar la magnitud de un terremoto a partir de los datos suministrados por el sismógrafo. La escala de Richter es una escala logarítmica que asigna un número para cuantificar el tamaño de un terremoto.

Los sismógrafos recogen la aparición de las ondas primarias de un terremoto y las ondas secundarias. Las ondas primarias, ondas P, hacen vibrar la tierra en la misma dirección en la que se desplaza la onda en un proceso de comprensión y dilatación y tienen una gran velocidad, entre 5 y 10km/s. Las ondas secundarias luego la aparición de las ondas secundarias, ondas S, que hacen vibrar el medio perpendicularmente a la dirección en la que se desplaza la onda, son las ondas destructivas y las que producen las catástrofes. Richter llegó a la conclusión que la magnitud de un terremoto podía ser determinada conociendo los siguientes datos: a) Tiempo transcurrido entre la aparición de las ondas P y las ondas S. b) La amplitud máxima de las ondas S.

Figura 18. Grafica de una parte de un Sismograma donde se observa el inicio de la onda P, onda S y la Amplitud del sismo Fuente: ASHER Recuperado de: http://www.geo.mtu.edu/UPSeis/waves.html

En un sismo las gráficas de las ondas P se registran antes que las ondas S. El tiempo que transcurre entre ambos instantes es Δt. Asimismo en la gráfica de un sismo se puede detectar la amplitud máxima de las ondas secundarias, Amax datos fundamentales para calcular la magnitud de un terremoto en la fórmula de Richter. M  log  Amax   3  log  8  t   2,92

Donde Amax es la amplitud máxima de las ondas secundarias medidas en mm directamente en el sismógrafo y Δt el tiempo, medido en segundos desde el inicio de las ondas P al de las ondas S. Esta fórmula asigna una cantidad constante a terremotos que liberan la misma cantidad de energía. El logaritmo en la fórmula Richter hace que los valores asignados a cada nivel aumenten de forma exponencial, y no de forma lineal. La

magnitud de un terremoto se multiplica por diez al pasar de una magnitud a otra magnitud una unidad mayor. Un terremoto de magnitud 6 es 10 veces más intenso que uno de magnitud 5 y un temblor de tierra de grado 8 es mil veces más intenso que otro de grado 5. La magnitud de Richter se puede calcular gráficamente utilizando un registro sismográfico como se muestra en la figura. En donde se encuentra marcado con una letra P el momento en que el terremoto empieza a ser registrado, estas ondas son registradas primero ya que son las más veloces. A continuación, llegan las ondas S o secundarias, más lentas, y su registro empieza a marcarse donde se indica la letra S. Llegan con retraso, en este caso, de 24 segundos con respecto a las P. En el mismo sismograma se mide la

amplitud máxima de las ondas S en milímetros. En el diagrama se muestra cómo se debe marcar en la columna de la izquierda el

tiempo t de retraso de las ondas S respecto a las P y en la columna de la derecha la amplitud máxima de las ondas S. Por último, se une con una línea recta ambos puntos y se obtiene, en la columna del centre, la magnitud del terremoto. Primero realizando el cálculo analíticamente por medio de la fórmula: M  log  Amax   3  log  8  t   2,92

M  log  Amax   3  log  8  t   2,92  log  23  3  log  8  24   2,92  log  23  3  log  8  24   2,92  log  23  3  log 192   2,92  1,36172  3  2, 2833  2,92  1,36172  6,8499  2,92  5.29162

Figura 19. Escala Gráfica de Richter Fuente: ASHER Recuperado de: http://www.geo.mtu.edu/UPSeis/waves.html

Capítulo 3: Propuesta En este capítulo se presenta la descripción general del prototipo de sismógrafo, los materiales que se utilizaron y la implementación de este. 3.1 Propósito

El desarrollo de este prototipo es determinar la utilidad de la Matemática en la vida cotidiana, al crear sismogramas, interpretar los gráficos y calcular la magnitud del sismo. 3.2 Desarrollo del Prototipo Para el desarrollo del prototipo de sismógrafo se considero el uso del péndulo invertido, que consiste de una barra rígida con un peso en la parte superior, esta masa debe de moverse libremente ya que será el sensor de movimiento del terreno. Además, se dispuso de 4 resortes que sostiene a la barra rígida en el centro del sistema, esto provoca que el sistema se mantenga estable y sensible al movimiento Para simular el sismograma se utilizo un rollo de papel de sumadora que se desenrolla en la parte superior y se enrolla en la parte inferior de forma manual. Para la pluma se utilizo una barra de metal en una sola pieza que une el centro de la barra con un lápiz o esfero que dibujara el sismograma.

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