Logaritmi (1).pdf

Logaritmi.

loga x  b se citeste : logaritm in baza a, din b Conditii de existenta pt logaritm : - Baza a este un numar pozitiv, diferit de 1 - Argumentul x este un numar pozitiv Definitie : loga x  b  x  ab - adica : la ce putere trebuie ridicata baza a, ca sa obtin numarul x ? Ex : log2 8  3 , pentru ca 23  8

log3 9  2 , pentru ca 32  9 1 1 log4  2 , pentru ca 4 2  16 16 4

1 1 1 log 1  4 , pentru ca    16  2  16 2 Proprietati ale logaritmilor : P1) loga a  1 ; loga 1  0 P3) loga ( x  y)  loga x  loga y

P2) loga x n  n  loga x x P4) loga ( )  loga x  loga y y

Notatie lg x  log10 x Exemple :

5 La P1 : log7 7  1 ; log5    1 ; log10 1  0 3 3

La P2 : log2 32  log2 25  5  log2 2  5  1  5

log3 16  log3 (2)4  4  log3 2 La P3-4 : Calculati log3 6  log3 12  log3 8 = log3

6  12  log3 9  2 8

Exercitii

10  3 = log5 5 = 1 6 2) 2 log3 4 - 4 log3 2  log3 4 2  log3 2 4  0

1) log5 10 + log5 3 - log5 6 = log5

Ecuatii logaritmice

1) Rezolvati ecuatia log4 ( x  3)  2 Punem conditii de existenta pentru logaritm : - Argumentul, x  3  0 deci x  3 . - Baza este 4, deci nu mai sunt necesare conditii asupra ei. Domeniul de definitie va fi D= (3,) Rezolvare : x  3  42 , adica x  3  16, deci x  13

2) Rezolvati ecuatia logx (2x  4)  1 Punem conditii de existenta pentru logaritm : - Baza x  0 si diferita de 1. - Argumentul 2 x  4  0 deci x  2 . Domeniul de definitie va fi D= (2,) Rezolvare : 2 x  4  x1 , adica x  4 3) Rezolvati ecuatia log3 (6x  18)  log3 (4x  8) Punem conditii de existenta pentru logaritm : - Argumentul 6 x  18  0 deci x  3 - Argumentul 4 x  8  0 deci x  2 Domeniul de definitie va fi D= (3,) Rezolvare : Renuntam la logaritm, 6 x  18  4 x  8 , deci 6 x  4 x  18  8 , deci 2 x  10 , x  5

4) Rezolvați ecuația logx 3 ( x 2  3x  2)  2 . Punem condiții de existență pentru logaritm : Argumentul x2  3x  1  0 . Este inecuație de gradul II. Aflam soluțiile ecuației de gradul II și apoi facem tabelul.

x 2  3x  1 = 0 ; a = 1 , b = -3, c = 2. Calculăm  :   b2  4  a  c = (3) 2  4  1  2 = 9-8 = 1  ( 3)  1 b  3 1 3 1 = , deci x1  =1  2, x2  2 2a 2 2 Facem acum,tabelul de semn : x - 1 2 + +++++0 - - - - - - - - - 0 +++++++ x2  3x  2 x1,2 

Semnul lui a

semn opus lui a

Semnul lui a

Pe noi ne intereseaza când x  3x  2  0 . Din tabel, observăm că între rădăcini,avem semnul +, deci >0  x  (,1)  (2,) condiția 1 2

x  3  0 x  3 Baza >0 și diferită de 1   condiția 2  x  3  1 x  4 domeniul de definiție este D = (,1)  (2,)  (3, ) \ {4}

 (3, ) \ {4}

Rezolvarea ecuației : logx 3 ( x  3x  2)  2 2

2 x 2  3x  2 =  x  3 

x 2  3x  2 = x 2  4 x  9   3 x  4 x  9  2 deci x  7 ; cum 7 aparține domeniului, este soluție a ecuației. 5) Rezolvați Ecuația logx (2x  4)  1 Punem condiții de existență pentru logaritm :

Baza x  0 , Baza x  1 și Argumentul 2 x  4  0 deci x  2 . Domeniul de definiție va fi D= (2,) Rezolvare : 2 x  4  x , adică x  4  x  2  0, x  2 6) log2 ( x  2)  log2 x  3 . Condiții de existență :  x  0

D = ( 0, )

Rez. log2 ( x  2)  x  3  ( x  2)  x  23  x 2  2x  8  0  x1  4 , x2  2 . Doar 2 e soluție  x  2  0, x  2 7) log2 ( x  2)  log2 ( x  5)  3 Condiții de existență :  D = ( 5, )  x  5  0, x  5 x2 x2 Rez. log 2  2 3  x  2  8x  40  x  6  D 3 x5 x5 1 1 Tema 1. Calculați : a) log2 32 = b) log3 81 = c) log4 d) log1   64 25 5

e ) log9 3 

f) log3 3 

g) log3 1 

2. Determinați domeniul de definiție pentru logaritmii următori ( adică condițiile de existență ) a) logx 1(2x  4)

;

b ) logx 1( x 2  5 x  6)

3. Rezolvați ecuațiile logaritmice : a) log5 ( x  4)  log5 (8  x) b) log2 (2 x  5)  3

c) log3 ( x  1)  log3 (x  1)  2

d) log3 ( x  6)  log3 (x  2)  2

e) log2 (2 x  5)  0

f) logx 1(2 x  5)  2

4. Calculați a) lg 5 + lg 40 - lg 2 =

b) log3 6 + log3 12 - log3 8 =

5. Calculați a) log2 8 + log3

1 9

3

27 =