Logaritma

•

xn

log x m =

m n

•

b

log x + blog y = blog (x.y)

•

b

•

(alog b)(blog c) = alog c

•

b

log xn = n.blog x

•

b

log x =

log x - blog y = blog (x:y)

k k

log x log b

Terdapat beberapa bentuk persamaan logaritma yang akan dibahas dalam bab ini, antara lain adalah sebagai berikut: a.

a

log f(x) = alog p

b.

a

c.

a

d.

f(x)

e.

A{alog x}2 + B{alog x} + C = 0

log f(x) = alog g(x) log f(x) = blog f(x) log g(x) = f(x)log h(x)

dengan f(x), g(x), dan h(x) merupakan fungsi aljabar; a ≠ 1, a,b > 0, A ≠ 0, p, A, B, C bilangan real. 3.1.2. Menyelesaikan Persamaan Logaritma 1.

Bentuk alog f(x) = alog p, dengan a > 0, a ≠ 1

Sesuai dengan sifat logaritma, alog b akan sama dengan clog d jika basisnya sama, yaitu a = c dan numerusnya sama, yaitu b = d. adapun, penyelesaian persamaan logaritma pada prinsipnya adalah menggunakan kesamaan ini. Oleh karena itu, tentu dapat dipahami jika alog ƒ(x) = alog p, maka alog ƒ(x) = p. jadi dapat disimpulkan bahwa: Jika alog ƒ(x) = alog p, maka ƒ(x) = p, dengan ƒ(x) > 0. Contoh 1: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut! b.

2

log (x2-2x-6) = 1

c.

2

log (x+1) + 2log (5-x) – 2log (x-2)

Jawab: a. 2log (x2 – 2x – 6) = 1

2log (x2 – 2x – 6) = 2log 21 Dari persamaan di atas terlihat ƒ(x) = x2 – 2x – 6 dan p = 2 sehingga x2 – 2x – 6 = 2 x2 – 2x – 6 = 0 (x+2) (x-4) = 0

x = -2 atau x = 4 kemudian nilai x diujikan pada titik-titik berikut ini. Untuk x = - 2 maka f(-2) = (-2)2 – 2(-2) – 6 = 2 > 0. Untuk x = 4 maka f(4) = (4)2 – 2(4) – 6 = 2 > 0. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 4}. b.

2

log (x+1) + 2log (5-x) – 2log (x-2) = 3

2log (

( x +1)( 5 − x ) )=3 x −2

2log (

− x 2 + 4x + 5 ) = 2log 23 x −2

2log () = 2log 8 Dari persamaan di atas terlihat bahwa ƒ(x) =

dan p = 8,

sehingga = 8 -x2+ 4x + 5 = 8(x-2) -x2 – 4x +21 = 0 -(x+7)(x-3) = 0 x = -7 atau x = 3

Untuk x = -7, maka f(-7) =

49 − 28 + 5 − 72 = =8>0 −7 −2 −9

Untuk x = 3, maka f(3) =

9 +12 + 5 =8>0 3 −2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-7, 3} Contoh 2: Diketahui persamaan 3log (x2 + x – 6) = 0. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan tersebut, tentukan: a. x1 + x2; b. x1x2; c. x12+ x22.

Jawab: 3

log (x2 + x – 6) = 0

3log (x2 + x – 6) = 3log 1 x2 + x – 6 = 1 x2 + x – 7 = 0 Persamaan kuadrat yang diperoleh, secara umum berbentuk ax2+ bx + c = 0, dengan a = 1, b = 1, dan c = -7. Dengan demikian,

a. x1 + x2 = −

b = -1 a

b. x1x2 =

c = -7 a

c. x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

= (-1)2 – 2(-7) = 15 2. Bentuk alog f(x) = alog g(x), dengan a > 0 dan a ≠ 1

Dengan menggunakan prinsip kesamaan seperti pada bentuk persamaan

logaritma

sebelumnya,

himpunan

penyelesaian

persamaan logaritma alog f(x) = alog g(x), dapat ditentukan sebagai berikut:

Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x), dengan syarat f(x), g(x) > 0. Contoh 1.

Tentukan

himpunan

penyelesaian

persamaan logaritma berikut! a.

3

log (2x-3) + 3log 4 = 3log (2x + 6)

b. log (2x2 – 1) = log (4 – 3x)

Jawab:

dari

a.

3

log (2x-3) + 3log 4 = 3log (2x + 6)

3log ((2x – 3)4) = 3log (2x + 6) 3log (8x – 12) = 3log (2x + 6) Dari persamaan di atas terlihat bahwa f(x) = 8x – 12 dan g(x) = 2x + 6. Dengan demikian, 8x – 12 = 2x + 6 6x = 18 x = 3 Untuk x = 3, maka f(3) = 8(3) – 12 = 12 > 0 g(3) = 2(3) + 6 = 12 > 0 Karena untuk x = 3 nilai f(3) dan g(3) positif, maka x = 3 merupakan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma di atas. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3}. b. log (2x2 – 1) = log (4 – 3x)

2x2 – 1 = 4 – 3x 2x2+ 3x – 5 = 0 (2x + 5)(x – 1) = 0

x = −

g( −

5 atau x = 1 2

5 5 )= 4 – 3( − ) = 11,5 > 0 2 2

Untuk x = 1, maka f(1) = 2(1)2 – 1 = 1 > 0 g(x) = 4 – 3(1) = 1 > 0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { −

2.

Jika

5 , 1}. 2

1 log (2x2 – x – 2) = log (x + 20), 2

maka nilai maksimum f(y) = -y2 + 4xy + 5x2 sama dengan…. Jawab: 1 log (2x2 – x – 2) = log (x + 20) 2

log (2x2 – x – 2)1/2 = log (x + 2) (2x2 – x – 2) = (x + 2)2 (2x2 – x – 2) = x2 + 4x + 4 x2 – 5x – 6 = 0 (x – 6)(x + 1) = 0 x1 = 6 atau x2 = -1 (tidak mungkin) Jika x = 6, maka f(y) = -y2 + 4(6)y + 5(6)2

f(y) = - y2 + 24y + 180

nilai maksimum f(y) =

D − 4a

=

676 − 4( −1)(180 ) − 4( −1)

=

576 + 720 4

=

1296 4

= 324

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari

3.

persamaan log (x2 + 7x + 20) = 1, maka (x1 + x2)2 – 4x1x2 adalah…. Jawab: log (x2 + 7x + 20) = 1 = log 10 (x2 + 7x + 20) = 10 x2 + 7x + 20 – 10 = 0 x2 + 7x + 10 = 0 maka (x1 + x2)2 – 4x1x2 = (-7)2 – 4(10) = 9

3. Bentuk alog f(x) = blog f(x)

Misalkan terdapat persamaan alog f(x) = blog f(x), dengan a > 0, a ≠ 1, dan a ≠ b. karena bilangan dasar (basis) tidak sama,

kedua ruas harus bernilai nol. Logaritma suatu bilangan bernilai nol, jika numerusnya bernilai satu. Dengan demikian, pernyataan a

log f(x) = blog f(x) bernilai benar untuk a > 0, a ≠ 1, dan a ≠ b ,jika

dipenuhi f(x)=1. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut. Jika alog f(x) = blog f(x), maka f(x) = 1. Contoh: 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut. a.

3

log (3x + 10) = 5log (3x + 10)

b.

4

a.

3

log (x2 + 2x – 14) = 7log (x2 + 2x – 14)

Jawab: log (3x + 10) = 5log (3x + 10), bernilai benar jika:

3x + 10 = 1 3x = -9 x = -3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-3}. b.

4

log (x2 + 2x – 14) = 7log (x2 + 2x – 14)

x2 + 2x – 14 = 1

x2 + 2x – 15 = 0 (x + 5)(x – 3) = 0 x = -5 atau x = 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-5, 3}. 2. Nilai x yang memenuhi persamaan

(5-4x)

log (x2 – 7x – 5) =

log 10 adalah…. Jawab: (5-4x)

log (x2 – 7x – 5) = log 10 = 1

(5-4x)

log (x2 – 7x – 5) = (5-4x)log (5 – 4x)

x2 – 7x – 5 = 5 – 4x x2 – 3x – 10 = 0 (x – 5)(x + 2) = 0 x1 = 5 (tidak memenuhi syarat 5 – 4x > 0) x2 = -2 4. Bentuk f(x)log g(x) = f(x)log h(x)

Pernyataan

f(x)

log g(x) =

dan hanya jika: (a) f(x) > 0, f(x) ≠ 1,

f(x)

log h(x) akan bernilai benar jika

(b) g(x) > 0, h(x) > 0, dan (c) g(x) = h(x). Dengan demikian, dapat dituliskan sebagai berikut. Jika (x)log g(x) = f(x)log h(x), maka g(x) = h(x), dengan syarat: 1) f(x), g(x), h(x) > 0; 2) f(x) ≠ 1. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma xlog (2x 2 + 11x – 6) = xlog (x2 + 10)! Jawab: Dari persamaan ini diperoleh f(x) = x, g(x) = 2x 2 + 11x – 6, dan h(x) = x2 + 10. Dengan demikian, 2x 2 + 11x – 6 = x2 + 10 x2 + x – 6 = 0 (x + 3)(x – 2)= 0 x = -3 atau x = 2 Untuk x = -3, maka f(-3) = -3 < 0. (karena salah satu syarat tidak terpenuhi, nilai x = -3 bukan merupakan penyelesaian.

Untuk x = 2, maka f(2) = 2, berarti f(x) > 0 dan f(x) ≠ 1. g(2) = 2(2)2 + 11(2) – 6 = 24 > 0 h(2) = 22 + 10(2) = 24 > 0 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2}. 5. Bentuk A{alog x}2 + B {alog x} + C = 0

Himpunan penyelesaian bentuk A{alog x}2 + B {alog x} + C = 0 dapat ditentukan dengan memisalkan y = alog x, sehingga persamaan menjadi Ay2 + B y + C = 0. Kemudian mencari nilai y dengan cara: 1) Pemfaktoran; 2) Melengkapkan kuadrat; 3) Rumus abc. Contoh: 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut! a. (log x)2 – 7 log x + 12 = 0 b. (3log x)2 – 2 3log x2 – 3 = 0

Jawab:

a. (log x)2 – 7 log x + 12 = 0

Misal : y = log x. dengan demikian diperoleh: y2 – 7y + 12 = 0 (y – 3)(y – 4) = 0 y = 3 atau y = 4 Untuk y = 3, maka log x = 3log x = log 103 x = 103 x = 1.000 Untuk y = 4, maka log x = 4log x = log 104 x = 104 x = 10.000 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1.000, 10.000} b. (3log x)2 – 2 3log x2 – 3 = 0

Misalkan y = 3log x. dengan demikian diperoleh: y2 – 2y – 3 = 0 (y +1)(y – 3) = 0 y = -1 atau y = 3

Untuk y = -1, maka 3log x= -1 3log x = 3log 3-1  x = 3-1 x=c Untuk y = 3, maka 3log x = 3 3log x = 3log 33 x = 33 x = 27

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {

2.

1 , 27}. 3

Dari persamaan:

x

log (2x + 8) – 3 log 4 + 1 = 0 dan 3(x + 4y) =

Jawab: • xlog (2x + 8) – 3 log 4 + 1 = 0 x

log (2x + 8) – xlog 43 + xlog x = xlog 1

x

log

( 2 x + 8) x = xlog 1 64

2x2 + 8x = 64 2x2 + 8x – 64 = 0 X2 + 4x – 32 = 0

1 81

diperoleh y = ….

(x + 8)(x – 4) = 0 X1 = -8 (tidak mungkin) atau x2 = 4

• 3(x + 4y) =

1 81

= 3-4, diperoleh:

x + 4y = - 4 4 + 4y = -4 4y = -8 y = -2

3.1. Fungsi Logaritma 3.2.1. Pengertian Fungsi Logaritma Suatu fungsi g memetakan x ke ax ( ditulis g(x) = ax), inversnya adalah fungsi logaritma yang memetakan x ke alog x (ditulis f(x) = g-1(x) = alog x). jika g(x) = ax, maka f(x) = alog x. Jadi, fungsi logaritma merupakan fungsi invers (kebalikan) dari fungsi exponent (perpangkatan). Sehingga dapat diberikan suatu definisi tentang fungsi logaritma sebagai berikut. Fungsi logartma merupakan fungsi f yang memetakan x ke a

log x atau dapat dituliskan f : x → alog x atau f(x) = alog x, dengan a

> 0, a = 1, dan x > 0.

Misalkan diketahui g(x) = 2x, dengan Dg = {x‌‌| -3 < x < 3, x R}. Hubungan x dan g(x) dapat disajikan dalam table berikut. x

-3

-2

-1

0

1

2

3

g(x)

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

Pada definisi tentang fungsi logaritma, telah dijelaskan bahwa fungsi logaritma merupakan invers (kebalikan) dari fungsi exponent, sehingga f(x) =2log x dapat disajikan dalam table berikut. x

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

f(x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

Dari table di atas, terlihat bahwa untuk nilai x makin besar, nilai g(x) = 2x juga makin besar. Demikian juga fungsi f(x) = 2log x, untuk nilai x makin besar nilai f(x) juga makin besar. Dari table tersebut juga terlihat untuk nilai x selalu positif, akan menghasilkan f(x) = 2log x bilangan negative atau positif. Untuk x lebih kecil dari satu, f(x) bernilai negative, sedangkan untuk x lebih besar dari satu, f(x) bernilai positif.

Dari uraian di atas, dapat diambil kesimpulan bahwa suatu fungsi logaritma f : x → alog x akan terdefinisi apabila x atau numerusnya bernilai positif (x > 0). Contoh: Tentukan interval x agar fungsi f(x) = 3log (x2 + 3x – 4) terdefinisi pada himpunan bilangan real! Jawab: Syarat agar fungsi f(x) terdefinisi pada himpunan bilangan real adalah: (x2 + 3x – 4) > 0 (x+ 4)(x – 1) > 0

---------

+++++ ++ -4

+++++ ++ 11

Jadi interval x agar fungsi tersebut terdefinisi pada himpunan bilangan real adalah x > -4 atau x > 1. 3.2.2. Grafik Fungsi Logaritma

a.

Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis Lebih Besar

daripada Satu. Langkah-langkah

untuk

menggambar

grafik

fungsi

logaritma adalah sebagai berikut. Langkah 1: Memilih beberapa nilai x sehingga y = f(x) = alog x mudah ditentukan. Kemudian, membuat table yang menghubungkan x dan y. Langkah 2: Menggambar titik-titik (x,y) yang telah diperoleh pada bidang cartesius, kemudian menghubungkan titik-titik tersebut dalam kurva mulus. Contoh: Gambarlah grafik fungsi logaritma f(x) = 3log x! Jawab:

X

…

27

9

3

1

1 3

1 9

1 27

…

F(x)

…

3

2

1

0

-1

-2

-3

…

(x, y)

…

(27, 3)

(9, 2)

(3,1)

(1, 0)

1 -1) 3

(, -2)

(,-3)

…

Langkah 1:

(

Membuat table beberapa nilai x untuk y = f(x) = 3log x sebagai berikut: Langkah 2: Menggambar titik (x, y) yang telah diperoleh dalam bidang cartesius sehingga diperoleh grafik sebagai berikut. Y

F(x) = 3log x (9,2 (3,1) O

X

Dengan memperhatikan grafik di atas, terlihat bahwa jika nilai x semakin besar, nilai y semakin besar atau dapat ditulisakan bahwa jika x1 < x2 maka alog x1 < alog x2, dengan a > 1. Jadi, f(x) = alog x merupakan fungsi monoton naik untuk a> 1. Jika ditulis dalam bentuk pertidaksamaan logaritma, sifat ini dapat ditulis sebagai berikut: i. Jika alog f(x) ≥ alog g(x), dengan a > 1 maka f(x) ≥ g(x). ii. Jika alog f(x) ≤ alog g(x), dengan a > 1, maka f(x) ≤ g(x).

3.

Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis antara 0 dan 1

Langkah-langkah yang digunakan untuk menggambar grafik fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1 sama dengan langkah-langkah menggambar grafik logaritma berbasis a > 1. Contoh: Gambarlah grafik fungsi f(x) = 1/3log x! Jawab: Table fungsi f(x) = 1/3log x adalah sebagai berikut. 1 27

x

…

f(x)

…

3

(x,y)

…

(,3)

1 9

1 3

1

3

9

27

…

2

1

0

-1

-2

-3

…

(, 2)

(,1)

(1,0)

(3, -1)

(9,-2)

(27,-3) …

Dari table di atas diperoleh titik-titik potong koordinat cartesius. Kemudian, titik-ititk tersebut dihubungkan dalam dalam bidang cartesius dengan curva mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma f(x) = 1/3log x sebagai berikut.

Y

(1,0) (3, -1)

(9,22)

X F(x) =

1/3

log x

Dengan memperhatikan grafik fungsi di atas, dapat dikatakan jika nilai x semakin besar, maka f(x) =

1/3

log x semakin kecil.

Jika x1 < x2 maka alog x1 > alog x2, untuk 0 < a < 1. Dengan demikian grafik fungsi logaritma f(x) = alog x, dengan 0 < a < 1 merupakan fungsi monoton turun. Jika dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan, dapat dituliskan sebagai berikut. 1.

Jika alog f(x) ≥ alog g(x), dengan 0 < a< 1 maka

f(x) ≤ g(x). 2.

Jika alog f(x) alog g(x), dengan 0 < a< 1 maka f(x)

≥ g(x).

4.

Grafik fungsi f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x

Jika grafik fungsi f(x) = 3log x dan f(x) =

1/3

log x

digambarkan dalam satu bidang koordinat, akan terlihat sebagai berikut.

F(x) =3log x

Y

(1,0) X

(3, -1) (9,2) F(x) =

1/3

log x

Dari grafik tersebut dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. 1. 1/a

Grafik fungsi y = alog x dengan grafik fungsi y =

log x simetris terhadap sumbu X. hal ini berarti, grafik

fungsi y = alog x dadengan mencerminkan grafik fungsi pat diperoleh y = 1/alog x terhadap sumbu X dan sebaliknya. 2. 1/a

Grafik fungsi y = alog x dengan grafik fungsi y =

log x saling berpotongan di titik (1, 0).

Grafik fungsi y = /alog x dan grafik fungsi y =

3.

1/a

log

x tidak pernah memotong sumbu Y, sehingga sumbu Y merupakan asimtot tegak bagi kedua grafik fungsi tersebut. Grafik fungsi y = /alog x dan grafik fungsi y =

4.

1/a

log

x selalu berada di sebelah kanan sumbu Y atau berada di daerah x positif, sehingga daerah asal kedua fungsi adalah himpunan real positif Df = (0, ∞) dan daerah hasilnya adalah (-∞, ∞) 5.

Grafik fungsi f(x) = ax dan g(x) = alog x Grafik fungsi f(x) = ax dan g(x) = alog x, untuk a > 1

1.

Dari pembahasan terdahulu, misalkan a = 3, grafik fungsi f(x) Y

x

f(x) = 3x

3

= 3 dan g(x) = log x dapat digambarkan dalam satu bidang Y=x

koordinat berikut.

f(x) = 3log x

1

O

1

X

Grafik fungsi f(x) = ax dan g(x) = alog x, untuk 0 <

2.

a< 1

Misalkan =

.

grafik fungsi f(x) =

()

dan g(x) =

1 3

log x

dapat digambarkan dalam satu bidang koordinat cartesius sebagai berikut.

Y

Y=x

F(x)=( EMBED Equation .3 )x

1

O

1

X

Y

F(x)=log x

Dengan memperhatikan dua grafik di atas, dapat diambil kesimpulan tentang grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan grafik fungsi logaritma g(x) = alog x sebagai berikut. 1. Grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan grafik fungsi logaritma

g(x) = alog x simetris terhadap garis y = x. hal ini berarti, dapat diperoleh grafik fungsi logaritma g(x) = alog x dengan cara mencerminkan grafik fungsi eksponen f(x) = ax terhadap garis y = x dan sebaliknya. 2. Fungsi eksponen f(x) = ax merupakan invers (kebalikan) dari

fungsi logaritma g(x) = alog x dan sebaliknya. 3.2. Pertidaksamaan logaritma Pertidaksamaan logaritma dapat diselesaikan dengan menggunakan langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan logaritma, tetapi tetap harus memperhatikan prinsip-prinsip ketidaksamaan dan pertidaksamaan. Di samping itu, untuk membantu menyelesaikan pertidaksamaan logaritma,

juga harus memperhatikan fungsi monoton naik dan fungsi monoton turun. Pada fungsi logaritma yang berbasis 0 < a <1, fungsi ini termasuk fungsi turun, sedangkan fungsi logaritma yang berbasis a > 1termasuk fungsi monoton naik.

Pada fungsi monoton naik, jika x1 < x2 maka f(x1) < f(x2). Pada fungsi monoton turun, jika x1 > x2 maka f(x1) > f(x2). Kedua sifat ini nanti akan diterapkan pada pertidaksamaan logaritma. Dengan memperhatikan Y uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut. 1.

Untuk basis a > 1, f(x) > 0, dan g(x) > 0;

a

log f(x) > alog g(x), maka f(x) > g(x);

a

log f(x) < alog g(x), maka f(x) < g(x).

2.

Untuk basis 0 < a < 1, f(x) > 0, dan g(x) > 0;

a

log f(x) > alog g(x), maka f(x) > g(x); 1

X

O

Y 0
O

1

X y= a log x

y = alog x a rel="nofollow">1

a

log f(x) < alog g(x), maka f(x) < g(x).

Sifat-sifat di atas juga berlaku untuk tanda ketidaksamaan dan ≥ . Contoh: 1.

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut!

a. – 1 < log (x – 5) < 2 b. 2log x + 2log (x – 3) > 4

Jawab: 1.a. – 1 < log (x – 5) < 2 log 10-1 < log (x – 5) < log 102 10-1 < (x – 5) < 102

(Tanda ketidaksamaan tidak berubah karena basis 10 > 1) 5,01 < x < 105

b.2log x + 2log (x – 3) > 4 2log x(x – 3) > 2log 22 x(x – 3) > 22

(tanda ketidaksamaan tiak berubah karena basis 10 >1)

x2 – 3x – 4 > 0 (x + 1)(x – 4) > 0

Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh hasil seperti gambar di bawah: 1

+++++ ++

4

---------------

+++++ ++

Jadi, penyelesaiannya adalah x < -1 atau x > 4.