Loes Blatt 13
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- Words: 2,263
- Pages: 9
Institut f¨ur Stochastik Prof. Dr. G. Last · Dr. M. Folkers · B. Ebner
¨ Ubungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik 1 fu ¨r die Fachrichtung Wirtschaftswissenschaften im WS 2007/08 Die folgenden Aufgaben geh¨oren zum Thema ”differenzierbare Funktionen”. Die L¨osungen zu diesen Aufgaben werden in der 14. Vorlesungswoche am Freitag, den 8. Februar 2008 im H¨orsaal vorgef¨ uhrt. Aufgabe 59 (Wird im H¨orsaal vorgef¨ uhrt.) Vorgegeben sei in Abh¨angigkeit vom reellen Parameter t > 0 die Funktion ft : (−t, ∞) → R, x → ft (x) := (x + t)2 · log(x + t) − 12 · x2 − t · x . Die Ableitung der Funktion ft lautet ft (x) = 2 · (x + t) · log(x + t), 1. Bestimmen Sie f¨ ur t > 0 den Grenzwert
lim
x→(−t)+
x > −t.
ft (x).
2. Bestimmen Sie die zweite Ableitung der Funktion ft . 3. Bestimmen Sie in Abh¨angigkeit vom Parameter t > 0 die station¨aren Punkte der Funktion ft . 4. Bestimmen Sie in Abh¨angigkeit vom Parameter t > 0 die lokalen Extremstellen der Funktion ft . 5. Bestimmen Sie in Abh¨angigkeit vom Parameter t > 0 die Wendepunkte der Funktion ft . L¨ osung: 1. Es gilt lim ft (x) = lim (x + t)2 · log(x + t) −
x→−t+
x→−t+
= lim
log(x + t)
1 x→−t+ (x+t)2 1 l’H. x+t = lim − x→−t+ −2 3 (x+t)
1 2 ·x −t·x 2
1 − lim ( · x2 − t · x) x→−t+ 2
1 2 · t + t2 2
1 1 = lim − · (x + t)2 + · t2 x→−t+ 2 2 1 = · t2 . 2
2. Es gilt ft (x) = (2 · (x + t) · log(x + t)) = 2 · log(x + t) + 2 · (x + t) · = 2 · log(x + t) + 2.
1 x+t
3. Es gilt !
x>−t
ft (x) = 2 · (x + t) · log(x + t) = 0 ⇐⇒ x + t = 1 ⇐⇒ x = 1 − t ∈ (−t, ∞) Also hat die Funktion ft (x) genau einen station¨aren Punkt, und zwar in x = 1 − t. 4. Es gilt ft (1 − t) = 2 · log(1) + 2 = 2 > 0, also besitzt die Funktion ft (x) im Punkt x0 := 1 − t ein (strenges) lokales Minimum. 5. Es gilt ft (x) = 2 · log(x + t) + 2 = 0 ⇐⇒ log(x + t) = −1 ⇐⇒ x + t = e−1 ⇐⇒ x = e−1 − t ∈ (−t, ∞). !
Da die zweite Ableitung ft (x) beim Durchgang durch den Punkt x1 := e−1 − t ihr Vorzeichen wechselt (von ”-” auf ”+”), besitzt die Funktion ft (x) im Punkt x1 = e−1 − t einen Wendepunkt.
2
Aufgabe 60 (Wird im H¨orsaal vorgef¨ uhrt.) Vorgegeben sei die durch f (x) := ex
2 −2·|x|+2
, x ∈ R,
definierte Funktion f : R → R. 1. Ist die Funktion f stetig auf R ? 2. Man bestimme alle Punkte x ∈ R, in denen die Funktion f differenzierbar ist und berechne dort die Ableitung. 3. Man bestimme alle lokalen Maxima und Minima von f . L¨ osung:
7 6 5 4 3 –2
–1
0
1 x
Schaubild des Graphen Funktion f (x) = ex
3
2 2 −2|x|+2
.
1. Die Funktion f ist als Komposition (Hintereinanderausf¨ uhrung) von auf R stetigen Funktionen auf ganz R stetig. 2. Die Funktion f ist gegeben durch f (x) = ex
2 −2·x+2
x2 +2·x+2
f (x) = e
f¨ ur x ≥ 0 und f¨ ur x < 0.
Daher ist f offensichtlich differenzierbar in allen Punkten x = 0, und in diesen Punkten gilt f¨ ur x > 0 : f (x) = (2x − 2) · ex
2 −2·x+2
x2 +2·x+2
f¨ ur x < 0 : f (x) = (2x + 2) · e
, .
Wegen lim f (x) = −2 · e2 und lim f (x) = +2 · e2
x→0+
x→0−
folgt wegen der Stetigkeit von f , dass f nicht differenzierbar ist im Punkt x0 := 0 (beachte die Aussage des Mittelwertsatzes). 3. Da f rechts von x0 = 0 streng monoton f¨allt und links von x0 = 0 streng monoton w¨achst und da u ¨berdies f stetig ist, besitzt f im Punkt x0 = 0 ein lokales Maximum. Weiter gilt f¨ ur x = 0 f (x) = 0 ⇔ x = +1 oder x = −1. Wegen lim f (x) = +∞ und lim f (x) = +∞
x→∞
x→−∞
ussen sowohl in x = −1 als und der obigen Diskussion von f in der N¨ahe von x0 = 0 m¨ auch in x = +1 lokale Minimalstellen von f vorliegen.
4
Aufgabe 61 (Wird im H¨orsaal vorgef¨ uhrt.) Vorgegeben sei in Abh¨angigkeit vom reellen Parameter u > 0 die Funktion fu : R → R, x → fu (x) :=
u . 1 + u2 · x2
Die ersten beiden Ableitungen der Funktion fu lauten fu (x)
−2 · u3 · x = (1 + u2 · x2 )2
fu (x)
und
3 · u2 · x2 − 1 =2·u · . (1 + u2 · x2 )3 3
ur a = b, a, b > 0, in 1. Zeigen Sie, dass sich die Graphen der Funktionen fa und fb f¨ genau zwei Punkten (x1 , y1 ) und (x2 , y2) der xy-Ebene schneiden, und bestimmen Sie diese beiden Punkte. 2. Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen der Funktion fu . 3. Zeigen Sie, dass die Wendepunkte der Funktion fu in Abh¨angigkeit von u > 0 auf dem Graphen einer Funktion von der Form R \ {0} x → y =
c |x|
mit c ∈ R liegen. Bestimmen Sie die Konstante c. L¨ osung: 1. Es seien a, b > 0. Es gilt fa (x) :=
a b = = fb (x) ⇐⇒ a · (1 + b2 · x2 ) = b · (1 + a2 · x2 ) 2 2 1+a ·x 1 + b2 · x2 ⇐⇒ a − b = (b · a2 − a · b2 ) · x2 = a · b · (a − b) · x2 ,
und f¨ ur a = b ergibt sich (a · b) · x2 = 1 ⇐⇒ x2 =
fb (± √
1 1 . ⇐⇒ x = ± √ a·b a·b
a 1 1 a a·b ) = fa (± √ )= = 2 = 1 a 2 2 a+b 1 + a · (± √a·b ) 1 + a·b a·b a·b
Damit lauten die beiden gesuchten Schnittpunkte (x1 , y1) =
a·b √ , a·b a+b 1
und
5
(x2 , y2 ) =
a·b −1 √ , . a·b a+b
2. Station¨are Punkte der Funktion fu , u > 0 fu (x) =
−2 · u3 · x ! = 0 ⇐⇒ x = 0. (1 + u2 · x2 )2
Wegen u > 0 gilt fu (0) = −2 · u3 < 0, und folglich besitzt die Funktion fu , u > 0, an der Stelle x0 = 0 eine lokale Maximalstelle. Weitere lokale Extremstellen gibt es nicht. 3. Bestimmung der Wendepunkte fu (x) = 2 · u3 ·
3 · u2 · x2 − 1 ! 1 . = 0 ⇐⇒ 3 · u2 · x2 − 1 = 0 ⇐⇒ x1/2 = ± √ 3 (1 + u2 · x2 ) 3·u
fu (x1/2 ) = fu (± √
u 1 u )= = 1 2 2 √ 1 + u · (± 3·u ) 1+ 3·u
1 3
=
3 ·u 4
Da die zweite Ableitung von fu beim Durchgang durch x1 bzw. x2 das Vorzeichen wechselt, besitzt die Funktion fu die zwei Wendepunkte 3 +1 , · u) (x1 , y1 ) = ( √ 3·u 4
und
3 −1 (x2 , y2 ) = ( √ , · u). 3·u 4
Weiter gilt √ √ c 3 c ! 3 = = c · 3 · u = · u ⇐⇒ c = , |x1 | |x2 | 4 4 die beiden Wendepunkte (x1 , y1 ) und (x2 , y2) liegen (in Abh¨angigkeit vom Parameter u) auf dem Graphen der Funktion √
R \ {0} x → y =
6
3 . 4 · |x|
Aufgabe 62 (Wird im H¨orsaal vorgef¨ uhrt.) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
a) lim
x→∞
x · (x + 1) − x
sin(2 · x) − 2 · sin(x) x→0 x · (cos(x) − 1) e2·x − e−2·x d) lim x→0 sin(x)
b) lim
1
c) lim (cos(x)) x2 x→0
e) lim sin(π · x) · cos( x→1
1 ) x−1
1
f) lim (sin(x)) log(x) x→0+
L¨ osung: a) Es gilt
x · (x + 1) + x x · (x + 1) − x = x · (x + 1) − x · x · (x + 1) + x x x = = x · (x + 1) + x x· 1+
1 x
+1
1 1 1 x→∞ = −→ = . 1+1 2 1 + x1 + 1 b) Erste Mo ¨glichkeit: mit der Regel von de l´Hospital sin(2 · x) − 2 · sin(x) de l´Hospital 2 · cos(2 · x) − 2 · cos(x) = lim x→0 x→0 cos(x) − 1 − x · sin(x) x · (cos(x) − 1) −6 −4 · sin(2 · x) + 2 · sin(x) de l´Hospital −8 · cos(2 · x) + 2 cos(x) de l´Hospital = = 2. = lim = lim x→0 −2 · sin(x) − x · cos(x) x→0 −3 · cos(x) + x · sin(x) −3 lim
Zweite M¨ oglichkeit: mit Potenzreihen, es gilt 2 · x − 43 · x3 + x5 · (. . .) − 2 · x − 13 · x3 + x5 · (. . .) sin(2 · x) − 2 · sin(x) = x · (cos(x) − 1) − 12 · x3 + x5 · (. . .) =
−x3 + x5 · (. . .) x→0 −→ 2. − 12 · x3 + x5 · (. . .)
7
Dritte M¨ oglichkeit: mit dem Additionsgesetz des sinus : sin(2 · x) = 2 · sin(x) · cos(x), es folgt 2 · sin(x) · (cos(x) − 1) 2 · sin(x) x→0 sin(2 · x) − 2 · sin(x) −→ 2. = = x · (cos(x) − 1) x · (cos(x) − 1) x c) Logarithmieren ergibt 1 1 log (cos(x)) x2 = 2 · log(cos(x)). x Weiter gilt log(cos(x)) lim x→0 x2
de l´Hospital
=
lim
1 cos(x)
· (− sin(x)) 2·x
x→0
− sin(x) 1 =− x→0 2 · x · cos(x) 2
= lim
wegen sin(x) = 1. x→0 x lim
Es folgt 1
1
lim (cos(x)) x2 = e− 2 .
x→0
e2x − e−2x x→0 sin(x)
d) lim
Fall ” 00 ”
=
2 · e2x + 2 · e−2x = 4. x→0 cos(x) lim
e) Es gilt lim sin(π · x) · cos(
x→1
1 ) = 0, x−1
1 da die Funktion cos( x−1 ), x = 1, beschr¨ankt ist und sin(π) = 0 gilt.
f) Logarithmieren ergibt 1
log((sin(x)) log(x) ) =
1 · log(sin(x)), log(x)
und mit der Regel von de l’Hospital erh¨alt man log(sin(x)) = lim lim x→0+ x→0+ log(x)
1 sin(x)
· cos(x) x−1
x · cos(x) = 1, x→0+ sin(x)
= lim
also 1
lim (sin(x)) log(x) = e1 = e.
x→0+
8
Aufgabe 63 (Wird im H¨orsaal vorgef¨ uhrt.) Berechnen Sie die folgenden Funktionsgrenzwerte, soweit diese existieren. log(1 + x1 ) , x→0+ log(x) 1 1 d) lim − . x→2 x − 2 log(x − 1)
1 a) lim 5 · x2 · sin( ), x→∞ x
b) lim
sin2 (x) − x2 , x→0 x sin(x)
c) lim
L¨ osung: sin( x1 ) 1 a) lim 5 · x · sin( ) = lim 5 · −2 x→∞ x→∞ x x 2
de l´Hospital
=
cos( x1 ) · (−x−2 ) lim 5 · x→∞ −2 · x−3
1 5 · x · cos( ) = +∞. x→∞ 2 x
= lim
log(1 + x1 ) x→0+ log(x)
b) lim
sin2 (x) − x2 x→0 x · sin(x)
c) lim
de l´Hospital
=
de l´Hospital
=
de l´Hospital
=
lim
1 1+x−1
x→0+
· (−x−2 ) −1 −1 −1 = −1. = lim · x = lim x→0+ 1 + x−1 x→0+ x + 1 x−1
2 · sin(x) · cos(x) − 2 · x x→0 sin(x) + x · cos(x) lim
2 · cos2 (x) − 2 · sin2 (x) − 2 = 0. x→0 cos(x) + cos(x) − x · sin(x) lim
log(x − 1) − (x − 2) 1 1 d) lim ( − ) = lim x→2 x − 2 x→2 log(x − 1) (x − 2) · log(x − 1) 2−x x→2 (x − 1) · log(x − 1) + (x − 2)
= lim
de l´Hospital
=
1 −1 =− . x→2 log(x − 1) + 2 2
= lim
9
de l´Hospital
=
lim
x→2
1 x−1
log(x − 1) +
−1 x→2 log(x − 1) + (x − 1) · lim
−1
1 x−1
+1
x−2 x−1
¨ Ubungsaufgaben zur Vorlesung Mathematik 1 fu ¨r die Fachrichtung Wirtschaftswissenschaften im WS 2007/08 Die folgenden Aufgaben geh¨oren zum Thema ”differenzierbare Funktionen”. Die L¨osungen zu diesen Aufgaben werden in der 14. Vorlesungswoche am Freitag, den 8. Februar 2008 im H¨orsaal vorgef¨ uhrt. Aufgabe 59 (Wird im H¨orsaal vorgef¨ uhrt.) Vorgegeben sei in Abh¨angigkeit vom reellen Parameter t > 0 die Funktion ft : (−t, ∞) → R, x → ft (x) := (x + t)2 · log(x + t) − 12 · x2 − t · x . Die Ableitung der Funktion ft lautet ft (x) = 2 · (x + t) · log(x + t), 1. Bestimmen Sie f¨ ur t > 0 den Grenzwert
lim
x→(−t)+
x > −t.
ft (x).
2. Bestimmen Sie die zweite Ableitung der Funktion ft . 3. Bestimmen Sie in Abh¨angigkeit vom Parameter t > 0 die station¨aren Punkte der Funktion ft . 4. Bestimmen Sie in Abh¨angigkeit vom Parameter t > 0 die lokalen Extremstellen der Funktion ft . 5. Bestimmen Sie in Abh¨angigkeit vom Parameter t > 0 die Wendepunkte der Funktion ft . L¨ osung: 1. Es gilt lim ft (x) = lim (x + t)2 · log(x + t) −
x→−t+
x→−t+
= lim
log(x + t)
1 x→−t+ (x+t)2 1 l’H. x+t = lim − x→−t+ −2 3 (x+t)
1 2 ·x −t·x 2
1 − lim ( · x2 − t · x) x→−t+ 2
1 2 · t + t2 2
1 1 = lim − · (x + t)2 + · t2 x→−t+ 2 2 1 = · t2 . 2
2. Es gilt ft (x) = (2 · (x + t) · log(x + t)) = 2 · log(x + t) + 2 · (x + t) · = 2 · log(x + t) + 2.
1 x+t
3. Es gilt !
x>−t
ft (x) = 2 · (x + t) · log(x + t) = 0 ⇐⇒ x + t = 1 ⇐⇒ x = 1 − t ∈ (−t, ∞) Also hat die Funktion ft (x) genau einen station¨aren Punkt, und zwar in x = 1 − t. 4. Es gilt ft (1 − t) = 2 · log(1) + 2 = 2 > 0, also besitzt die Funktion ft (x) im Punkt x0 := 1 − t ein (strenges) lokales Minimum. 5. Es gilt ft (x) = 2 · log(x + t) + 2 = 0 ⇐⇒ log(x + t) = −1 ⇐⇒ x + t = e−1 ⇐⇒ x = e−1 − t ∈ (−t, ∞). !
Da die zweite Ableitung ft (x) beim Durchgang durch den Punkt x1 := e−1 − t ihr Vorzeichen wechselt (von ”-” auf ”+”), besitzt die Funktion ft (x) im Punkt x1 = e−1 − t einen Wendepunkt.
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Aufgabe 60 (Wird im H¨orsaal vorgef¨ uhrt.) Vorgegeben sei die durch f (x) := ex
2 −2·|x|+2
, x ∈ R,
definierte Funktion f : R → R. 1. Ist die Funktion f stetig auf R ? 2. Man bestimme alle Punkte x ∈ R, in denen die Funktion f differenzierbar ist und berechne dort die Ableitung. 3. Man bestimme alle lokalen Maxima und Minima von f . L¨ osung:
7 6 5 4 3 –2
–1
0
1 x
Schaubild des Graphen Funktion f (x) = ex
3
2 2 −2|x|+2
.
1. Die Funktion f ist als Komposition (Hintereinanderausf¨ uhrung) von auf R stetigen Funktionen auf ganz R stetig. 2. Die Funktion f ist gegeben durch f (x) = ex
2 −2·x+2
x2 +2·x+2
f (x) = e
f¨ ur x ≥ 0 und f¨ ur x < 0.
Daher ist f offensichtlich differenzierbar in allen Punkten x = 0, und in diesen Punkten gilt f¨ ur x > 0 : f (x) = (2x − 2) · ex
2 −2·x+2
x2 +2·x+2
f¨ ur x < 0 : f (x) = (2x + 2) · e
, .
Wegen lim f (x) = −2 · e2 und lim f (x) = +2 · e2
x→0+
x→0−
folgt wegen der Stetigkeit von f , dass f nicht differenzierbar ist im Punkt x0 := 0 (beachte die Aussage des Mittelwertsatzes). 3. Da f rechts von x0 = 0 streng monoton f¨allt und links von x0 = 0 streng monoton w¨achst und da u ¨berdies f stetig ist, besitzt f im Punkt x0 = 0 ein lokales Maximum. Weiter gilt f¨ ur x = 0 f (x) = 0 ⇔ x = +1 oder x = −1. Wegen lim f (x) = +∞ und lim f (x) = +∞
x→∞
x→−∞
ussen sowohl in x = −1 als und der obigen Diskussion von f in der N¨ahe von x0 = 0 m¨ auch in x = +1 lokale Minimalstellen von f vorliegen.
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Aufgabe 61 (Wird im H¨orsaal vorgef¨ uhrt.) Vorgegeben sei in Abh¨angigkeit vom reellen Parameter u > 0 die Funktion fu : R → R, x → fu (x) :=
u . 1 + u2 · x2
Die ersten beiden Ableitungen der Funktion fu lauten fu (x)
−2 · u3 · x = (1 + u2 · x2 )2
fu (x)
und
3 · u2 · x2 − 1 =2·u · . (1 + u2 · x2 )3 3
ur a = b, a, b > 0, in 1. Zeigen Sie, dass sich die Graphen der Funktionen fa und fb f¨ genau zwei Punkten (x1 , y1 ) und (x2 , y2) der xy-Ebene schneiden, und bestimmen Sie diese beiden Punkte. 2. Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen der Funktion fu . 3. Zeigen Sie, dass die Wendepunkte der Funktion fu in Abh¨angigkeit von u > 0 auf dem Graphen einer Funktion von der Form R \ {0} x → y =
c |x|
mit c ∈ R liegen. Bestimmen Sie die Konstante c. L¨ osung: 1. Es seien a, b > 0. Es gilt fa (x) :=
a b = = fb (x) ⇐⇒ a · (1 + b2 · x2 ) = b · (1 + a2 · x2 ) 2 2 1+a ·x 1 + b2 · x2 ⇐⇒ a − b = (b · a2 − a · b2 ) · x2 = a · b · (a − b) · x2 ,
und f¨ ur a = b ergibt sich (a · b) · x2 = 1 ⇐⇒ x2 =
fb (± √
1 1 . ⇐⇒ x = ± √ a·b a·b
a 1 1 a a·b ) = fa (± √ )= = 2 = 1 a 2 2 a+b 1 + a · (± √a·b ) 1 + a·b a·b a·b
Damit lauten die beiden gesuchten Schnittpunkte (x1 , y1) =
a·b √ , a·b a+b 1
und
5
(x2 , y2 ) =
a·b −1 √ , . a·b a+b
2. Station¨are Punkte der Funktion fu , u > 0 fu (x) =
−2 · u3 · x ! = 0 ⇐⇒ x = 0. (1 + u2 · x2 )2
Wegen u > 0 gilt fu (0) = −2 · u3 < 0, und folglich besitzt die Funktion fu , u > 0, an der Stelle x0 = 0 eine lokale Maximalstelle. Weitere lokale Extremstellen gibt es nicht. 3. Bestimmung der Wendepunkte fu (x) = 2 · u3 ·
3 · u2 · x2 − 1 ! 1 . = 0 ⇐⇒ 3 · u2 · x2 − 1 = 0 ⇐⇒ x1/2 = ± √ 3 (1 + u2 · x2 ) 3·u
fu (x1/2 ) = fu (± √
u 1 u )= = 1 2 2 √ 1 + u · (± 3·u ) 1+ 3·u
1 3
=
3 ·u 4
Da die zweite Ableitung von fu beim Durchgang durch x1 bzw. x2 das Vorzeichen wechselt, besitzt die Funktion fu die zwei Wendepunkte 3 +1 , · u) (x1 , y1 ) = ( √ 3·u 4
und
3 −1 (x2 , y2 ) = ( √ , · u). 3·u 4
Weiter gilt √ √ c 3 c ! 3 = = c · 3 · u = · u ⇐⇒ c = , |x1 | |x2 | 4 4 die beiden Wendepunkte (x1 , y1 ) und (x2 , y2) liegen (in Abh¨angigkeit vom Parameter u) auf dem Graphen der Funktion √
R \ {0} x → y =
6
3 . 4 · |x|
Aufgabe 62 (Wird im H¨orsaal vorgef¨ uhrt.) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
a) lim
x→∞
x · (x + 1) − x
sin(2 · x) − 2 · sin(x) x→0 x · (cos(x) − 1) e2·x − e−2·x d) lim x→0 sin(x)
b) lim
1
c) lim (cos(x)) x2 x→0
e) lim sin(π · x) · cos( x→1
1 ) x−1
1
f) lim (sin(x)) log(x) x→0+
L¨ osung: a) Es gilt
x · (x + 1) + x x · (x + 1) − x = x · (x + 1) − x · x · (x + 1) + x x x = = x · (x + 1) + x x· 1+
1 x
+1
1 1 1 x→∞ = −→ = . 1+1 2 1 + x1 + 1 b) Erste Mo ¨glichkeit: mit der Regel von de l´Hospital sin(2 · x) − 2 · sin(x) de l´Hospital 2 · cos(2 · x) − 2 · cos(x) = lim x→0 x→0 cos(x) − 1 − x · sin(x) x · (cos(x) − 1) −6 −4 · sin(2 · x) + 2 · sin(x) de l´Hospital −8 · cos(2 · x) + 2 cos(x) de l´Hospital = = 2. = lim = lim x→0 −2 · sin(x) − x · cos(x) x→0 −3 · cos(x) + x · sin(x) −3 lim
Zweite M¨ oglichkeit: mit Potenzreihen, es gilt 2 · x − 43 · x3 + x5 · (. . .) − 2 · x − 13 · x3 + x5 · (. . .) sin(2 · x) − 2 · sin(x) = x · (cos(x) − 1) − 12 · x3 + x5 · (. . .) =
−x3 + x5 · (. . .) x→0 −→ 2. − 12 · x3 + x5 · (. . .)
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Dritte M¨ oglichkeit: mit dem Additionsgesetz des sinus : sin(2 · x) = 2 · sin(x) · cos(x), es folgt 2 · sin(x) · (cos(x) − 1) 2 · sin(x) x→0 sin(2 · x) − 2 · sin(x) −→ 2. = = x · (cos(x) − 1) x · (cos(x) − 1) x c) Logarithmieren ergibt 1 1 log (cos(x)) x2 = 2 · log(cos(x)). x Weiter gilt log(cos(x)) lim x→0 x2
de l´Hospital
=
lim
1 cos(x)
· (− sin(x)) 2·x
x→0
− sin(x) 1 =− x→0 2 · x · cos(x) 2
= lim
wegen sin(x) = 1. x→0 x lim
Es folgt 1
1
lim (cos(x)) x2 = e− 2 .
x→0
e2x − e−2x x→0 sin(x)
d) lim
Fall ” 00 ”
=
2 · e2x + 2 · e−2x = 4. x→0 cos(x) lim
e) Es gilt lim sin(π · x) · cos(
x→1
1 ) = 0, x−1
1 da die Funktion cos( x−1 ), x = 1, beschr¨ankt ist und sin(π) = 0 gilt.
f) Logarithmieren ergibt 1
log((sin(x)) log(x) ) =
1 · log(sin(x)), log(x)
und mit der Regel von de l’Hospital erh¨alt man log(sin(x)) = lim lim x→0+ x→0+ log(x)
1 sin(x)
· cos(x) x−1
x · cos(x) = 1, x→0+ sin(x)
= lim
also 1
lim (sin(x)) log(x) = e1 = e.
x→0+
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Aufgabe 63 (Wird im H¨orsaal vorgef¨ uhrt.) Berechnen Sie die folgenden Funktionsgrenzwerte, soweit diese existieren. log(1 + x1 ) , x→0+ log(x) 1 1 d) lim − . x→2 x − 2 log(x − 1)
1 a) lim 5 · x2 · sin( ), x→∞ x
b) lim
sin2 (x) − x2 , x→0 x sin(x)
c) lim
L¨ osung: sin( x1 ) 1 a) lim 5 · x · sin( ) = lim 5 · −2 x→∞ x→∞ x x 2
de l´Hospital
=
cos( x1 ) · (−x−2 ) lim 5 · x→∞ −2 · x−3
1 5 · x · cos( ) = +∞. x→∞ 2 x
= lim
log(1 + x1 ) x→0+ log(x)
b) lim
sin2 (x) − x2 x→0 x · sin(x)
c) lim
de l´Hospital
=
de l´Hospital
=
de l´Hospital
=
lim
1 1+x−1
x→0+
· (−x−2 ) −1 −1 −1 = −1. = lim · x = lim x→0+ 1 + x−1 x→0+ x + 1 x−1
2 · sin(x) · cos(x) − 2 · x x→0 sin(x) + x · cos(x) lim
2 · cos2 (x) − 2 · sin2 (x) − 2 = 0. x→0 cos(x) + cos(x) − x · sin(x) lim
log(x − 1) − (x − 2) 1 1 d) lim ( − ) = lim x→2 x − 2 x→2 log(x − 1) (x − 2) · log(x − 1) 2−x x→2 (x − 1) · log(x − 1) + (x − 2)
= lim
de l´Hospital
=
1 −1 =− . x→2 log(x − 1) + 2 2
= lim
9
de l´Hospital
=
lim
x→2
1 x−1
log(x − 1) +
−1 x→2 log(x − 1) + (x − 1) · lim
−1
1 x−1
+1
x−2 x−1
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