Lo Gar It Mi
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Lo Gar It Mi as PDF for free.
More details
- Words: 1,824
- Pages: 8
www.matematiranje.com LOGARITMI
Logaritam broja b za osnovu a je realan broj x kojim treba stepenovati osnovu a da bi se dobilo pozitivan broj b. (a > 0, a ≠ 0) ili
log a b = x ⇔ b = a x
Važno: b > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je a ∈ R, a ≠ 1, i a > 0 b-se zove numerus (logaritmand), a je osnova (baza) Osnovna svojstva logaritma
1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a ( xy ) = log a x + log a y x 4. log a = log a x − log a y y 5. log a x n = n log a x 1 6. log a s x = log a x s
7. log a b ⋅ log a a = 1 tj. log a b =
1 log b a
8. Za prelazak na neku novu bazu c: log a b =
log c b log c a
9. a log a b = b → Ako je baza (osnova) a=10 takvi se logaritmi nazivaju DEKADNI i označavaju se log10 x = log x (Znači kad nema da piše osnova, podrazumeva se da je 10) → Ako je osnova (baza) a=e ( e ≈ 2,7 ) onda se takvi logaritmi zovu PRIRODNI I označavaju se log e x = ln x → Moramo voditi računa o zapisu:
(log a x )2 = log a2 x = log a x ⋅ log a x log a x 2 = log a x ⋅ x = 2 log a x Upoznajmo se sa svojstvima logaritma kroz sledeće primere:
1
www.matematiranje.com Izračunati: 1)
log 5 1 = ? log 6 1 = ?
Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 0. Znači, za bilo koju osnovu, od jedinice rešenje je 0 ( log a 1 = 0 )
log 1 1 = ? 2
log 1 = ? ln 1 = ?
2)
log12 12 = ? log 2 3
2 =? 3
Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 1, jer je log a a = 1 PAZI: log 10 = log10 10 = 1
ln e = log e e = 1
log10 = ? ln e = ?
3)
a) log 6 2 + log 6 3 = ? b) log 30 2 + log 30 5 + log 30 3 = ?
Primenićemo svojstvo 3:
log a x + log a y = log a ( xy )
Dakle: a) log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 ⋅ 3) = log 6 6 = ( po drugom svojstvu)=1 b) log 30 2 + log 30 5 + log 30 3 = log 30 (2 ⋅ 5 ⋅ 3) = log 30 30 = 1
4)
a) log 5 10 − log 5 2 = ? b) log 2 20 − log 2 10 = ?
Primenićemo:
log a x − log a y = log a
x y
Dakle: 10 = log 5 5 = 1 2 20 b) log 2 20 − log 2 10 = log 2 = log 2 2 = 1 10
a) log 5 10 − log 5 2 = log 5
2
www.matematiranje.com 5) Izračunati:
a) log 2 8 = ? 1 b) log 5 =? 125
Ovde ćemo upotrebiti log a x n = n log a x n
v) log a 5 a 2 = ?
Podsetnik:
m
an = a m i
1 = a −n an
a) log 2 8 = log 2 23 = 3 log 2 2 = 3 ⋅1 = 3 b) log 5
1 1 = log 5 3 = log 5 5−3 = −3log 5 5 = −3 ⋅1 = −3 125 5
v) 2 5
log a a = log a a = 2
5
2 2 2 log a a = ⋅1 = 5 5 5
6) Izračunati:
a) log 81 3 = ? b) log 2 2 = ? v) log
3
27 = ?
1 Ovde ćemo upotrebiti da je log a s x = log a x s a)
log 81 3 = log 34 3 =
b)
log
v)
log
1 1 1 log 3 3 = ⋅1 = 4 4 4
1 log 2 2 = 2 ⋅1 = 2 1 2
2
2 = log 1 2 =
3
27 = log 1 33 = 3 ⋅
22
32
1 log 3 3 = 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6 1 2
3
www.matematiranje.com
7) Izračunati:
a) log 5 2 ⋅ log 2 5 = ? b) log10 15 ⋅ log15 10 = ?
Važi: log a b ⋅ log b a = 1
Dakle rešenja oba ova zadačića je 1. 8) Izračunati:
a) log 3 2 ⋅ log 4 3 ⋅ log 5 4 ⋅ log 6 5 ⋅ log 7 6 ⋅ log8 7 = ? b) Ako je log 5 2 = a i log 5 3 = b izračunati log 45 100 = ? Rešenje:
Ovde ćemo primeniti prelazak na novu osnovu: log a b =
log c b log c a
a) Ajde recimo da uzmemo novu osnovu 10 tada je: log 3 2 =
log 2 log 3 ; log 4 3 = , log 3 log 4
itd. Dakle: log 3 2 ⋅ log 4 3 ⋅ log 5 4 ⋅ log 6 5 ⋅ log 7 6 ⋅ log 8 7 =
log 2 log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8
log 2 = (sad vidimo da je bilo bolje da log 8 log c a uzmemo osnovu 2, ali nema veze vraćamo se u = = log b a ) log c b 1 1 1 = log8 2 = log 23 2 = log 2 2 = ⋅1 = 3 3 3
Kao što vidimo dosta toga se ‘’skratiti’’ =
b) log 5 2 = a ∧ log 5 3 = b
4
www.matematiranje.com log 45 100 = (ovde je jasno da nova osnova mora biti 5.) =
log 5 100 = log 5 45
=
log 5 102 2 log 5 10 2 log 5 (5 ⋅ 2) 2 ( log 5 5 + log 5 2 ) = = = = log 5 (5 ⋅ 9) log 5 5 + log 5 9 1 + log 5 32 1 + 2 log 5 3
=
2(1 + log 5 2) 2(1 + a) = 1 + 2 log 5 3 1 + 2b
9) Izračunati:
a) 3log3 81 = ? b) 10log 5 = ? 3log3 81 = 81
Dakle:
Primenjujemo: a log a b = ? i
10 log 5 = 5
Sad kad smo se upoznali sa osnovnim svojstvima logaritama , pokažimo još neke osnovne tipove zadataka: 1) Logaritmovati sledeće izraze za osnovu 10.
x⋅ y z x2 ⋅ y3 b) B = z5 3 x v) C = 5 y2 ⋅ y a) A =
d) D = 3 5 x 4 y 3 Rešenja: a) A=
x⋅ y z
log A = log
xy = log( xy ) − log z = log x + log y − log z z
b) B=
x2 ⋅ y3 z5
x2 ⋅ y3 log B = log 5 = log( x 2 ⋅ y 3 ) − log z 5 = log x 2 + log y 3 − log z 5 = z = 2 log x + 3 log y − 5 log z
5
www.matematiranje.com v) C=
3 5
PAZI:
y2 ⋅ z
log C = log
1
n
x 3 5
x
y2 ⋅ z
m
an = a m ,
= log 3 x − log
(
5
a = a2
)
1 2 1 ⎛ ⎞ y 2 ⋅ z = log x 3 − ⎜ log y 5 + log z 2 ⎟ = ⎝ ⎠
1 2 1 = log x − log y − log z 3 5 2 g) D = 3 5x4 y3 1
4
D = 3 5 x 4 y 3 = 3 5 3 x 4 3 y 3 = 5 3 ⋅x 3 ⋅ y ⎛ 13 43 ⎞ log D = log⎜⎜ 5 ⋅ x ⋅ y ⎟⎟ ⎝ ⎠ 1 4 = log 5 + log x + log y 3 3 2) Rešiti po x jednačine:
a) log x = log 4 + 2 log 5 + log 6 − log15 b) log x + log 3 = 2 log r + log π + log H 1 v) 2 log x − 3 log a = log 5 + log b + log c 2 Rešenje: Ideja je da se upotrebom svojstva logaritma ‘’spakuju’’ obe strane!!! Dobićemo izraz log x = log ⊗, ovde izvršimo takozvano ANTILOGARITMOVANJE, tj. skratimo logaritme i dobijemo x = ⊗ a) log x = log 4 + 2 log 5 + log 6 − log15 SAVET: Prvo brojeve ispred prebacimo kao stepen numerusa!!! n log a x = log a x n log x = log 4 + log 52 + log 6 − log15 4 ⋅ 25 ⋅ 6 log x = log 15 600 log x = log 15 log x = log 40.................. / ANTILOGARITMOVANJE x = 40
6
www.matematiranje.com
b) log x + log 3 = 2 log r + log π + log H log( x ⋅ 3) = log r 2 + log π + log H log(3 x) = log(r 2π H )....................................... / ANTILOGARITMOVANJE 3 x = r 2π H x=
r 2π H ...............................................(V kupe) 3
v) 1 2 log x − 3log a = log 5 + log b + log c 2 log x − log a = log 5 + log b + log c 2
log
3
1 2
x2 = log 5 ⋅ b ⋅ c ................. / ANTILOGARITMOVANJE a3
x2 = 5b c a3 x 2 = 5a 3 b c x = 5a 3 b c
3) Ako je log14 7 = a i
log14 5 = b
Izračunati log 35 28 = ?
Rešenje: ovo je onaj tip zadataka gde moramo uzeti novu osnovu, naravno, to će biti 14.
196 log14 28 log14 196 − log14 7 log14 14 2 − log14 7 7 log 35 28 = = = = = log14 35 log14 (7 ⋅ 5) log14 7 + log14 5 log14 7 + log14 5 log14
=
2 log14 14 − log14 7 2 − a = log14 7 + log14 5 a+b
196 14 2 = . Probajte razne 7 7 opcije, nešto mora da ‘’upali’’, uglavnom, iskustvo je presudno!!!
Vi se sada naravno pitate kako smo mi znali da napišemo 28 =
7
www.matematiranje.com
8
Logaritam broja b za osnovu a je realan broj x kojim treba stepenovati osnovu a da bi se dobilo pozitivan broj b. (a > 0, a ≠ 0) ili
log a b = x ⇔ b = a x
Važno: b > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je a ∈ R, a ≠ 1, i a > 0 b-se zove numerus (logaritmand), a je osnova (baza) Osnovna svojstva logaritma
1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a ( xy ) = log a x + log a y x 4. log a = log a x − log a y y 5. log a x n = n log a x 1 6. log a s x = log a x s
7. log a b ⋅ log a a = 1 tj. log a b =
1 log b a
8. Za prelazak na neku novu bazu c: log a b =
log c b log c a
9. a log a b = b → Ako je baza (osnova) a=10 takvi se logaritmi nazivaju DEKADNI i označavaju se log10 x = log x (Znači kad nema da piše osnova, podrazumeva se da je 10) → Ako je osnova (baza) a=e ( e ≈ 2,7 ) onda se takvi logaritmi zovu PRIRODNI I označavaju se log e x = ln x → Moramo voditi računa o zapisu:
(log a x )2 = log a2 x = log a x ⋅ log a x log a x 2 = log a x ⋅ x = 2 log a x Upoznajmo se sa svojstvima logaritma kroz sledeće primere:
1
www.matematiranje.com Izračunati: 1)
log 5 1 = ? log 6 1 = ?
Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 0. Znači, za bilo koju osnovu, od jedinice rešenje je 0 ( log a 1 = 0 )
log 1 1 = ? 2
log 1 = ? ln 1 = ?
2)
log12 12 = ? log 2 3
2 =? 3
Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 1, jer je log a a = 1 PAZI: log 10 = log10 10 = 1
ln e = log e e = 1
log10 = ? ln e = ?
3)
a) log 6 2 + log 6 3 = ? b) log 30 2 + log 30 5 + log 30 3 = ?
Primenićemo svojstvo 3:
log a x + log a y = log a ( xy )
Dakle: a) log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 ⋅ 3) = log 6 6 = ( po drugom svojstvu)=1 b) log 30 2 + log 30 5 + log 30 3 = log 30 (2 ⋅ 5 ⋅ 3) = log 30 30 = 1
4)
a) log 5 10 − log 5 2 = ? b) log 2 20 − log 2 10 = ?
Primenićemo:
log a x − log a y = log a
x y
Dakle: 10 = log 5 5 = 1 2 20 b) log 2 20 − log 2 10 = log 2 = log 2 2 = 1 10
a) log 5 10 − log 5 2 = log 5
2
www.matematiranje.com 5) Izračunati:
a) log 2 8 = ? 1 b) log 5 =? 125
Ovde ćemo upotrebiti log a x n = n log a x n
v) log a 5 a 2 = ?
Podsetnik:
m
an = a m i
1 = a −n an
a) log 2 8 = log 2 23 = 3 log 2 2 = 3 ⋅1 = 3 b) log 5
1 1 = log 5 3 = log 5 5−3 = −3log 5 5 = −3 ⋅1 = −3 125 5
v) 2 5
log a a = log a a = 2
5
2 2 2 log a a = ⋅1 = 5 5 5
6) Izračunati:
a) log 81 3 = ? b) log 2 2 = ? v) log
3
27 = ?
1 Ovde ćemo upotrebiti da je log a s x = log a x s a)
log 81 3 = log 34 3 =
b)
log
v)
log
1 1 1 log 3 3 = ⋅1 = 4 4 4
1 log 2 2 = 2 ⋅1 = 2 1 2
2
2 = log 1 2 =
3
27 = log 1 33 = 3 ⋅
22
32
1 log 3 3 = 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6 1 2
3
www.matematiranje.com
7) Izračunati:
a) log 5 2 ⋅ log 2 5 = ? b) log10 15 ⋅ log15 10 = ?
Važi: log a b ⋅ log b a = 1
Dakle rešenja oba ova zadačića je 1. 8) Izračunati:
a) log 3 2 ⋅ log 4 3 ⋅ log 5 4 ⋅ log 6 5 ⋅ log 7 6 ⋅ log8 7 = ? b) Ako je log 5 2 = a i log 5 3 = b izračunati log 45 100 = ? Rešenje:
Ovde ćemo primeniti prelazak na novu osnovu: log a b =
log c b log c a
a) Ajde recimo da uzmemo novu osnovu 10 tada je: log 3 2 =
log 2 log 3 ; log 4 3 = , log 3 log 4
itd. Dakle: log 3 2 ⋅ log 4 3 ⋅ log 5 4 ⋅ log 6 5 ⋅ log 7 6 ⋅ log 8 7 =
log 2 log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8
log 2 = (sad vidimo da je bilo bolje da log 8 log c a uzmemo osnovu 2, ali nema veze vraćamo se u = = log b a ) log c b 1 1 1 = log8 2 = log 23 2 = log 2 2 = ⋅1 = 3 3 3
Kao što vidimo dosta toga se ‘’skratiti’’ =
b) log 5 2 = a ∧ log 5 3 = b
4
www.matematiranje.com log 45 100 = (ovde je jasno da nova osnova mora biti 5.) =
log 5 100 = log 5 45
=
log 5 102 2 log 5 10 2 log 5 (5 ⋅ 2) 2 ( log 5 5 + log 5 2 ) = = = = log 5 (5 ⋅ 9) log 5 5 + log 5 9 1 + log 5 32 1 + 2 log 5 3
=
2(1 + log 5 2) 2(1 + a) = 1 + 2 log 5 3 1 + 2b
9) Izračunati:
a) 3log3 81 = ? b) 10log 5 = ? 3log3 81 = 81
Dakle:
Primenjujemo: a log a b = ? i
10 log 5 = 5
Sad kad smo se upoznali sa osnovnim svojstvima logaritama , pokažimo još neke osnovne tipove zadataka: 1) Logaritmovati sledeće izraze za osnovu 10.
x⋅ y z x2 ⋅ y3 b) B = z5 3 x v) C = 5 y2 ⋅ y a) A =
d) D = 3 5 x 4 y 3 Rešenja: a) A=
x⋅ y z
log A = log
xy = log( xy ) − log z = log x + log y − log z z
b) B=
x2 ⋅ y3 z5
x2 ⋅ y3 log B = log 5 = log( x 2 ⋅ y 3 ) − log z 5 = log x 2 + log y 3 − log z 5 = z = 2 log x + 3 log y − 5 log z
5
www.matematiranje.com v) C=
3 5
PAZI:
y2 ⋅ z
log C = log
1
n
x 3 5
x
y2 ⋅ z
m
an = a m ,
= log 3 x − log
(
5
a = a2
)
1 2 1 ⎛ ⎞ y 2 ⋅ z = log x 3 − ⎜ log y 5 + log z 2 ⎟ = ⎝ ⎠
1 2 1 = log x − log y − log z 3 5 2 g) D = 3 5x4 y3 1
4
D = 3 5 x 4 y 3 = 3 5 3 x 4 3 y 3 = 5 3 ⋅x 3 ⋅ y ⎛ 13 43 ⎞ log D = log⎜⎜ 5 ⋅ x ⋅ y ⎟⎟ ⎝ ⎠ 1 4 = log 5 + log x + log y 3 3 2) Rešiti po x jednačine:
a) log x = log 4 + 2 log 5 + log 6 − log15 b) log x + log 3 = 2 log r + log π + log H 1 v) 2 log x − 3 log a = log 5 + log b + log c 2 Rešenje: Ideja je da se upotrebom svojstva logaritma ‘’spakuju’’ obe strane!!! Dobićemo izraz log x = log ⊗, ovde izvršimo takozvano ANTILOGARITMOVANJE, tj. skratimo logaritme i dobijemo x = ⊗ a) log x = log 4 + 2 log 5 + log 6 − log15 SAVET: Prvo brojeve ispred prebacimo kao stepen numerusa!!! n log a x = log a x n log x = log 4 + log 52 + log 6 − log15 4 ⋅ 25 ⋅ 6 log x = log 15 600 log x = log 15 log x = log 40.................. / ANTILOGARITMOVANJE x = 40
6
www.matematiranje.com
b) log x + log 3 = 2 log r + log π + log H log( x ⋅ 3) = log r 2 + log π + log H log(3 x) = log(r 2π H )....................................... / ANTILOGARITMOVANJE 3 x = r 2π H x=
r 2π H ...............................................(V kupe) 3
v) 1 2 log x − 3log a = log 5 + log b + log c 2 log x − log a = log 5 + log b + log c 2
log
3
1 2
x2 = log 5 ⋅ b ⋅ c ................. / ANTILOGARITMOVANJE a3
x2 = 5b c a3 x 2 = 5a 3 b c x = 5a 3 b c
3) Ako je log14 7 = a i
log14 5 = b
Izračunati log 35 28 = ?
Rešenje: ovo je onaj tip zadataka gde moramo uzeti novu osnovu, naravno, to će biti 14.
196 log14 28 log14 196 − log14 7 log14 14 2 − log14 7 7 log 35 28 = = = = = log14 35 log14 (7 ⋅ 5) log14 7 + log14 5 log14 7 + log14 5 log14
=
2 log14 14 − log14 7 2 − a = log14 7 + log14 5 a+b
196 14 2 = . Probajte razne 7 7 opcije, nešto mora da ‘’upali’’, uglavnom, iskustvo je presudno!!!
Vi se sada naravno pitate kako smo mi znali da napišemo 28 =
7
www.matematiranje.com
8
Related Documents
Lo Gar It Mi
July 2020 7
Sh Lo Mi
November 2019 4
Gar Gar Ella
June 2020 8
A Mi Nov It
November 2019 9
Lo Lo Lo Lo
December 2019 84
Lo Positivo De Mi Comunidad
May 2020 1More Documents from ""
Rpt_229.pdf
June 2020 27
Test O Padezima.docx
June 2020 19
Plan Oplate.pdf
November 2019 29
Bosanski.docx
June 2020 22
