Lo Gar It Mi

www.matematiranje.com LOGARITMI

Logaritam broja b za osnovu a je realan broj x kojim treba stepenovati osnovu a da bi se dobilo pozitivan broj b. (a > 0, a ≠ 0) ili

log a b = x ⇔ b = a x

Važno: b > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je a ∈ R, a ≠ 1, i a > 0 b-se zove numerus (logaritmand), a je osnova (baza) Osnovna svojstva logaritma

1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a ( xy ) = log a x + log a y x 4. log a = log a x − log a y y 5. log a x n = n log a x 1 6. log a s x = log a x s

7. log a b ⋅ log a a = 1 tj. log a b =

1 log b a

8. Za prelazak na neku novu bazu c: log a b =

log c b log c a

9. a log a b = b → Ako je baza (osnova) a=10 takvi se logaritmi nazivaju DEKADNI i označavaju se log10 x = log x (Znači kad nema da piše osnova, podrazumeva se da je 10) → Ako je osnova (baza) a=e ( e ≈ 2,7 ) onda se takvi logaritmi zovu PRIRODNI I označavaju se log e x = ln x → Moramo voditi računa o zapisu:

(log a x )2 = log a2 x = log a x ⋅ log a x log a x 2 = log a x ⋅ x = 2 log a x Upoznajmo se sa svojstvima logaritma kroz sledeće primere:

1

www.matematiranje.com Izračunati: 1)

log 5 1 = ? log 6 1 = ?

Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 0. Znači, za bilo koju osnovu, od jedinice rešenje je 0 ( log a 1 = 0 )

log 1 1 = ? 2

log 1 = ? ln 1 = ?

2)

log12 12 = ? log 2 3

2 =? 3

Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 1, jer je log a a = 1 PAZI: log 10 = log10 10 = 1

ln e = log e e = 1

log10 = ? ln e = ?

3)

a) log 6 2 + log 6 3 = ? b) log 30 2 + log 30 5 + log 30 3 = ?

Primenićemo svojstvo 3:

log a x + log a y = log a ( xy )

Dakle: a) log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 ⋅ 3) = log 6 6 = ( po drugom svojstvu)=1 b) log 30 2 + log 30 5 + log 30 3 = log 30 (2 ⋅ 5 ⋅ 3) = log 30 30 = 1

4)

a) log 5 10 − log 5 2 = ? b) log 2 20 − log 2 10 = ?

Primenićemo:

log a x − log a y = log a

x y

Dakle: 10 = log 5 5 = 1 2 20 b) log 2 20 − log 2 10 = log 2 = log 2 2 = 1 10

a) log 5 10 − log 5 2 = log 5

2

www.matematiranje.com 5) Izračunati:

a) log 2 8 = ? 1 b) log 5 =? 125

Ovde ćemo upotrebiti log a x n = n log a x n

v) log a 5 a 2 = ?

Podsetnik:

m

an = a m i

1 = a −n an

a) log 2 8 = log 2 23 = 3 log 2 2 = 3 ⋅1 = 3 b) log 5

1 1 = log 5 3 = log 5 5−3 = −3log 5 5 = −3 ⋅1 = −3 125 5

v) 2 5

log a a = log a a = 2

5

2 2 2 log a a = ⋅1 = 5 5 5

6) Izračunati:

a) log 81 3 = ? b) log 2 2 = ? v) log

3

27 = ?

1 Ovde ćemo upotrebiti da je log a s x = log a x s a)

log 81 3 = log 34 3 =

b)

log

v)

log

1 1 1 log 3 3 = ⋅1 = 4 4 4

1 log 2 2 = 2 ⋅1 = 2 1 2

2

2 = log 1 2 =

3

27 = log 1 33 = 3 ⋅

22

32

1 log 3 3 = 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6 1 2

3

www.matematiranje.com

7) Izračunati:

a) log 5 2 ⋅ log 2 5 = ? b) log10 15 ⋅ log15 10 = ?

Važi: log a b ⋅ log b a = 1

Dakle rešenja oba ova zadačića je 1. 8) Izračunati:

a) log 3 2 ⋅ log 4 3 ⋅ log 5 4 ⋅ log 6 5 ⋅ log 7 6 ⋅ log8 7 = ? b) Ako je log 5 2 = a i log 5 3 = b izračunati log 45 100 = ? Rešenje:

Ovde ćemo primeniti prelazak na novu osnovu: log a b =

log c b log c a

a) Ajde recimo da uzmemo novu osnovu 10 tada je: log 3 2 =

log 2 log 3 ; log 4 3 = , log 3 log 4

itd. Dakle: log 3 2 ⋅ log 4 3 ⋅ log 5 4 ⋅ log 6 5 ⋅ log 7 6 ⋅ log 8 7 =

log 2 log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8

log 2 = (sad vidimo da je bilo bolje da log 8 log c a uzmemo osnovu 2, ali nema veze vraćamo se u = = log b a ) log c b 1 1 1 = log8 2 = log 23 2 = log 2 2 = ⋅1 = 3 3 3

Kao što vidimo dosta toga se ‘’skratiti’’ =

b) log 5 2 = a ∧ log 5 3 = b

4

www.matematiranje.com log 45 100 = (ovde je jasno da nova osnova mora biti 5.) =

log 5 100 = log 5 45

=

log 5 102 2 log 5 10 2 log 5 (5 ⋅ 2) 2 ( log 5 5 + log 5 2 ) = = = = log 5 (5 ⋅ 9) log 5 5 + log 5 9 1 + log 5 32 1 + 2 log 5 3

=

2(1 + log 5 2) 2(1 + a) = 1 + 2 log 5 3 1 + 2b

9) Izračunati:

a) 3log3 81 = ? b) 10log 5 = ? 3log3 81 = 81

Dakle:

Primenjujemo: a log a b = ? i

10 log 5 = 5

Sad kad smo se upoznali sa osnovnim svojstvima logaritama , pokažimo još neke osnovne tipove zadataka: 1) Logaritmovati sledeće izraze za osnovu 10.

x⋅ y z x2 ⋅ y3 b) B = z5 3 x v) C = 5 y2 ⋅ y a) A =

d) D = 3 5 x 4 y 3 Rešenja: a) A=

x⋅ y z

log A = log

xy = log( xy ) − log z = log x + log y − log z z

b) B=

x2 ⋅ y3 z5

x2 ⋅ y3 log B = log 5 = log( x 2 ⋅ y 3 ) − log z 5 = log x 2 + log y 3 − log z 5 = z = 2 log x + 3 log y − 5 log z

5

www.matematiranje.com v) C=

3 5

PAZI:

y2 ⋅ z

log C = log

1

n

x 3 5

x

y2 ⋅ z

m

an = a m ,

= log 3 x − log

(

5

a = a2

)

1 2 1 ⎛ ⎞ y 2 ⋅ z = log x 3 − ⎜ log y 5 + log z 2 ⎟ = ⎝ ⎠

1 2 1 = log x − log y − log z 3 5 2 g) D = 3 5x4 y3 1

4

D = 3 5 x 4 y 3 = 3 5 3 x 4 3 y 3 = 5 3 ⋅x 3 ⋅ y ⎛ 13 43 ⎞ log D = log⎜⎜ 5 ⋅ x ⋅ y ⎟⎟ ⎝ ⎠ 1 4 = log 5 + log x + log y 3 3 2) Rešiti po x jednačine:

a) log x = log 4 + 2 log 5 + log 6 − log15 b) log x + log 3 = 2 log r + log π + log H 1 v) 2 log x − 3 log a = log 5 + log b + log c 2 Rešenje: Ideja je da se upotrebom svojstva logaritma ‘’spakuju’’ obe strane!!! Dobićemo izraz log x = log ⊗, ovde izvršimo takozvano ANTILOGARITMOVANJE, tj. skratimo logaritme i dobijemo x = ⊗ a) log x = log 4 + 2 log 5 + log 6 − log15 SAVET: Prvo brojeve ispred prebacimo kao stepen numerusa!!! n log a x = log a x n log x = log 4 + log 52 + log 6 − log15 4 ⋅ 25 ⋅ 6 log x = log 15 600 log x = log 15 log x = log 40.................. / ANTILOGARITMOVANJE x = 40

6

www.matematiranje.com

b) log x + log 3 = 2 log r + log π + log H log( x ⋅ 3) = log r 2 + log π + log H log(3 x) = log(r 2π H )....................................... / ANTILOGARITMOVANJE 3 x = r 2π H x=

r 2π H ...............................................(V kupe) 3

v) 1 2 log x − 3log a = log 5 + log b + log c 2 log x − log a = log 5 + log b + log c 2

log

3

1 2

x2 = log 5 ⋅ b ⋅ c ................. / ANTILOGARITMOVANJE a3

x2 = 5b c a3 x 2 = 5a 3 b c x = 5a 3 b c

3) Ako je log14 7 = a i

log14 5 = b

Izračunati log 35 28 = ?

Rešenje: ovo je onaj tip zadataka gde moramo uzeti novu osnovu, naravno, to će biti 14.

196 log14 28 log14 196 − log14 7 log14 14 2 − log14 7 7 log 35 28 = = = = = log14 35 log14 (7 ⋅ 5) log14 7 + log14 5 log14 7 + log14 5 log14

=

2 log14 14 − log14 7 2 − a = log14 7 + log14 5 a+b

196 14 2 = . Probajte razne 7 7 opcije, nešto mora da ‘’upali’’, uglavnom, iskustvo je presudno!!!

Vi se sada naravno pitate kako smo mi znali da napišemo 28 =

7

www.matematiranje.com

8