Lkm Fix Titik Titik.docx

LKM LEMBAR KERJA MAHASISWA

Nama / NIM :…………………………………… …………………………………… Mata Kuliah : Matematika Ekonomi

……………………………………

Materi

: Utilitas Marginal dan

……………………………………

Produk Marginal

…………………………………… …………………………………… …………………………………… ……………………………………

Kelompok 2 : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Lizza Ulfa Fauziah Faiqotul Himmah P.M Amalia Warniasih S. Alvi Hidayati Ulfa Amalia Febriyanti Yola Ariestyan W Nur Holis Jazilatul Firda

(120210101002) (120210101006) (120210101008) (120210101081) (120210101118) (120210101121) (120210101122) (120210101135)

Utilitas Marginal Utilitas Marginal adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen akibat bertambahnya satu unit barang yang dikonsumsi. Fungsi utilitas marginal adalah turunan pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total adalah U = f(Q) maka utilitas marginalnya adalah : MU  U ' 

Keterangan : U : Utilitas total Q : Jumlah barang yang dikonsumsi

dU dQ

Pada umumnya fungsi utilitas total yang non-linear berbentuk fungsi kuadrat sehingga fungsi utilitas marginal akan berbentuk fungsi linear. Dalam kurvanya, kurva utilitas marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva utilitas total berada pada titik ekstrimnya. Contoh Soal : Fungsi utilitas dinyatakan dalam persamaan 𝑈 = 15𝑄 − 5𝑄 2 . tentukanlah persamaan utilitas marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi utilitas totalnya!. Berapa utilitas marginal jika barang yang diproduksi ditambah dari 2 unit menjadi 3 unit? Penyelesaian : a. Persamaan MU 𝑈 = 15𝑄 − 5𝑄 2

→

𝑀𝑈 = 𝑈 ′ = 15 − 10𝑄

→

0 = 15 − 10𝑄

b. Titik Ekstrim U maksimum jika MU = 0

10𝑄 = 15 𝑄=

15 10

𝑄 = 1,5 →

Untuk Q = 1,5

𝑈 = 15𝑄 − 5𝑄 2 𝑈 = 15(1,5) − 5(1,5)2 𝑈 = 11,25

Jadi titik ekstrim fungsi utilitas total berada pada koordinat (1,5;11,25) c. Jika Q = 2

→

𝑀𝑈 = 15 − 10(2) = −5

Jika Q = 3

→

𝑀𝑈 = 15 − 10(3) = −15

Jadi pada saat konsumen mengkonsumsi 2 unit barang utilitas tambahan sudah menurun dan akan semakin menurun jika ditambah 1 unit lagi, sehingga konsumen harus mengurangi konsumsi terhadap produk tersebut untuk meningkatkan kembali utilitas tambahannya.

Latihan Soal : Fungsi utilitas dinyatakan dalam persamaan 𝑈 = 90𝑄 − 5𝑄 2 . Tentukanlah persamaan utilitas marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi utilitas totalnya! Berapa utilitas marginal jika barang yang diproduksi ditambah dari 2 unit menjadi 3 unit?

Berdasarkan permasalahan di atas, dapat dituliskan hal-hal yang diketahui antara lain: U = 90Q – 5Q2 Q1 = 2 unit Q2 = 3 unit

a. Persamaan MU

Apa yang ditanyakan

b. Titik ekstrim c. Grafik

a. Persamaan MU 𝑈 = 90𝑄 − 5𝑄 2

→

𝑀𝑈 = 𝑈 ′ = ⋯ − ⋯

b. Titik Ekstrim U maksimum jika MU = 0 

MU = … – … 0 = …–… Q= Q=

... ...



Untuk Q = 9

U = 90Q – 5Q2 = 90 (…) – 5 (…)2 =…–… =…

Jadi, titik ekstrim fungsi utilitas total berada pada koordinat (9, 405) c. Grafik

U, MU 405

U = 90Q – 5Q2

90

0

MU = 90Q – 10Q

Q 9

18

Produk Marginal Produk marginal ialah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik, fungsi produk maginal merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan dengan 𝑃 = 𝑓(𝑋) dimana P melambangkan jumlah total dan X adalah jumlah masukan, maka produk marginalnya : 𝑀𝑃 = 𝑃′ =

𝑑𝑃 𝑑𝑋

Karena fungsi produk total yang nonlinier pada umumnya berbentuk fungsi kubik, fungsi produk marginalnya akan berbentuk fungsi kuadrat (parabolik). Kurva produk marginal (MP) selalu mencapai nilai ekstrimnya, dalam hal ini nilai maksimum, tepat pada saat kurva produk total (P) berada pada posisi titik beloknya ;kedudukan ini mencerminkan berlakunya hukum tambahan hasil yang semakin berkurang. Produk total mencapai puncaknya ketika produk marginalnya nol. Sesudah kedudukan ini, produk total menurun bersamaan dengan produk marginal menjadi negatif. Area dimana produk marginal negatif menunjukkan bahwa penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan mengurangi jumlah produk total, mengisyaratkan terjadinya disefisiensi dalam kegiatan produksi. Dalam area ini, jika produk total hendak ditingkatkan, jumlah masukan yang digunakan hasrus dikurangi.

Contoh Soal : Fungsi produk dinyatakan dalam persamaan P = 9X2 – 3X3. Tentukanlah persamaan produk marginal serta berapa titik ekstrim dan titik belok dari fungsi produk totalnya! Penyelesaian : P = 9X2 – 3X3

→

MP = P′ = 18X – 9X2 MP′ = P′′ = 18 – 18X

P maksimum jika MP = 0

→

0 = 18X – 9X2

→

P = 9X2 – 3X3

X = 2 (dicari dengan rumus abc) Untuk X = 2

P = 9(2)2 – 3(2)3 = 12

MP′ = 0 →

P belok jika

0 = 18 – 18X X=1

→

Jika X = 1

P = 9X2 – 3X3 P = 9(1)2 – 3(1)3 = 6

→

Maka

MP = 18X – 9X2 MP = 18(1) – 9(1)2 = 9

Jadi, titik ekstrim fungsi produk total berada pada koordinat (2,12), titik beloknya pada titik (1,6). Fungsi produk marginal ada pada titik ekstrim di koordinat (1,9).

Latihan Soal : Tentukan fungsi produk marginalnya dan gambarkan kurvanya! 𝑃 = 9𝑋 2 − 𝑋 3 Penyelesaian : P maksimum pada P’ = 0; 𝑃 = 9𝑋 2 − 𝑋 3 𝑃′ = ⋯ − ⋯

……. (Fungsi Produk Marjinal)

0 = ⋯− ⋯ 0 = 𝑋(… − ⋯ ) 𝑋 = ⋯ ∨…− ⋯ = 0 …=⋯ …

𝑋=… 𝑋=⋯ 𝑋 = 6 𝑃 = 9𝑋 2 − 𝑋 3 = 9(… )2 − (… )3 = 9(… ) − ⋯ = ⋯− ⋯ =⋯

MP maksimum pada (MP)’ = 0; (𝑀𝑃)′ ↔ 𝑃′′ = 0; ↔ ⋯− ⋯ = 0 ↔⋯=⋯ ↔𝑋=⋯ Jika 𝑋 = 3

→ 𝑀𝑃 = 18𝑋 − 3𝑋 2 =18(… ) − 3(… )2 = … − 3(… ) = …− ⋯ =… 𝑃 = 9𝑋 2 − 𝑋 3 = 9(… )2 − (… )3 = 9 (… ) − ⋯ = …− ⋯ =…

Jika 𝑋 = 6

→ 𝑀𝑃 = 18𝑋 − 3𝑋 2 =18(… ) − 3(… )2 = … − 3(… ) = …− ⋯ =…

𝑃 = 9𝑋 2 − 𝑋 3 = 9(… )2 − (… )3 = 9 (… ) − ⋯ = …− ⋯ =… Jadi P maksimum pada P’ = 0; yakni pada X = 6, dengan 𝑃𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 = 108. P berada di titik belok dan MP maksimum pada (MP)’= P” = 0; yakni pada X = 3.

P, MP

108

54 27

0

X 3

6