Listado1_520145_t1_2019 (1).pdf

´ UNIVERSIDAD DE CONCEPCION ´ FACULTAD DE CIENCIAS F´ ISICAS Y MATEMATICAS

´ LISTADO 1: LOGICA ´ n a la Matema ´ tica Universitaria - 520145 Introduccio Observaci´ on: Los ejercicios marcados con (P) son los ejercicios a resolver en las clases pr´acticas. 1) Verifique cu´ ales de las siguientes afirmaciones son proposiciones. De cada proposici´on diga si es simple o compuesta y determine su valor de verdad, justificando adecuadamente. 1.1)

√

25 − 9 =

√

25 −

√

9,

1.5) ¿A qu´e hora sales de clases?,

2

1.2) (y + 5) = y 2 + 52 , 2x + y y 1.3) =2+ , x x 1.4) 3 es un n´ umero par,

1.6) si 3 es un n´ umero par, entonces 9 tambi´en lo es, 1.7) 2 es un n´ umero impar si y s´olo si 4 tambi´en lo es.

2) Con la informaci´ on entregada en cada caso, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: 2.1) (P) p ∧ (p → q), sabiendo que p → q tiene valor de verdad falso, 2.2) ∼ p → (p ∨ q), sabiendo que q tiene valor de verdad verdadero, 2.3) (P) [p ∨ [(p → r) ↔∼ r]] → (r ∧ p), sabiendo que r tiene valor de verdad falso, 2.4) (p → r) ∧ (∼ p ∨ q), sabiendo que p tiene valor de verdad falso, 2.5) (∼ p ∧ r) →∼ (∼ q ∨ p), sabiendo que (p ∧ q) → r tiene valor de verdad falso. 3) Conociendo el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas y la informaci´on adicional entregada, determine en cada caso el valor de verdad de la proposici´on r. 3.1) q →∼ r tiene valor de verdad falso, 3.2) p → (q∧ ∼ r) tiene valor de verdad falso y q tiene valor de verdad verdadero, 3.3) ∼ r ↔ q tiene valor de verdad verdadero y (p ∧ q) → s tiene valor de verdad falso. 4) Sean p, q, r y s proposiciones l´ ogicas. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique en cada caso. 4.1) p ∧ q ⇒ p,

4.3) (P) (p → q) ⇔ ((p∧ ∼ q) → F ),

4.2) [p → (q ∨ r)] ⇔ [(p∧ ∼ q) → r],

4.4) [(p ↔ q) ∧ (r → q)∧ ∼ p] ⇔ r.

5) Sean p, q y r proposiciones l´ ogicas. Construya la tabla de verdad asociada a cada una de las siguientes proposiciones e indique en cada caso si la proposici´on dada es tautolog´ıa, contingencia o contradicci´ on. Justifique su respuesta. 5.1) (p ∨ q) → (r∧ ∼ r),

5.3) (∼ p ∨ q) ∧ [p ∧ (p ∧ q)] ↔ (p ∧ q),

5.2) (P) (p ∧ q) ∨ (q ∧ ∼ r),

5.4) [[p ∧ (q ∧ r)] ∨ [p ∧ (q∧ ∼ r)]] ↔ (p ∧ q).

6) Considere las siguientes proposiciones l´ogicas: p1 : Existe un u ´nico n´ umero real x que satisface |x| ≤ 0. p2 : Existe un u ´nico n´ umero real x mayor o igual que cero tal que x2 = 1. p3 : Existe un u ´nico n´ umero entero x que satisface x2 = 1. 1

2

´ LISTADO 1: LOGICA, IMU (520145)

p4 p5 p6 p7

: : : :

Todo n´ umero natural x satisface que ´el es divisible por 8 si y s´olo si es divisible por 12. Si un n´ umero x ∈ N es m´ ultiplo de 12, tambi´en es m´ ultiplo de 8. Existe un n´ umero real x ∈ [−1, 1] tal que para todo y ∈ [−1, 1] se cumple que x2 + y 2 ≤ 1. Para cualquier n´ umero real x ∈ [−1, 1] existe otro n´ umero real y ∈ [−1, 1] tal que x2 + y 2 ≤ 1.

6.1) Escr´ıbalas simb´ olicamente y determine su valor de verdad, justificando su respuesta en cada caso. 6.2) Niegue las proposiciones p1 , p4 y p6 , escribiendo las negaciones tanto en forma simb´olica como en lenguaje usual. En pr´ actica: p1 , p2 , p6 y p7 . 7) Sean p(x), q(x) y s(x) las siguientes funciones proposicionales. p(x) : |x − 1| = 2,

q(x) : x − 4 ≤ 0,

s(x) : ∃ y ∈ R+ : x + y 2 = 4.

7.1) Determine el conjunto de validez de cada una de las funciones proposicionales dadas. 7.2) Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones l´ogicas, justificando sus respuestas y niegue las proposiciones i, ii, v y vi. i. ∃ x ∈ {−3, −1, 1, 3} : p(x), ii. ∃ ! x ∈ {−3, −1, 1, 3} : p(x), iii. ∀ x ∈ ] − ∞, 4[ : q(x),

iv. ∃ x ∈ [2, +∞[ : s(x) v. ∀ x ∈ R : q(x) → s(x), vi. (∀ x ∈ {−5, 5} : q(x)) → (∀ x ∈ {−5, 5} : s(x)).

8) (P) Determine el valor de verdad de la proposici´on l´ogica ∀ x ∈ A : ∃ y ∈ A : y − x < 1 si A = {−2, −1, 0, 1}. Justifique su respuesta y escriba la negaci´on de la proposici´on dada. 9) (P) Sea M el siguiente conjunto M = {1, 2, 3, 4, 5}. Decida si la proposici´on ∀ x ∈ M : ∃ y ∈ M : x+y < 8 es verdadera y ni´eguela. 10) Determine, justificando, el valor de verdad de las siguientes proposiciones y escriba su negaci´on. 10.1) 10.2) 10.3) 10.4) 10.5) 10.6)

∃x ∈ R : x2 > 0, ∀x ∈ R : x2 > 0, ∀x ∈ ]0, +∞[ : x2 + x ≥ 0, (P) ∀x ∈ R : ∃ y ∈ R : x2 + y = 2, (P) ∀x ∈ R : ∃ ! y ∈ R : x2 + y = 2, (P) ∀y ∈ R : ∃ x ∈ R : x2 + y = 2,

10.7) (P) ∀y ∈ R : ∃ ! x ∈ R : x2 + y = 2, 10.8) ∃ ! x ∈ N : x2 = x, 10.9) ∀x ∈ R : ∃ ! y ∈ R : xy = 1, 10.10) ∀x ∈ R : x < 0 → |x| > x, 10.11) ∀x ∈ R : x < 0 ↔ |x| > x,

11) Considere las siguientes proposiciones l´ogicas p : ∃x ∈ R : ∀y ∈ R : x + y = 1

q : ∀ y ∈ R : ∃ x ∈ R : x + y = 1.

11.1) Escriba la negaci´ on de las proposiciones dadas. 11.2) Determine el valor de verdad de cada una de ellas. Justifique sus respuestas. 12) Sean R, el conjunto de los n´ umeros reales y Z+ umeros enteros mayores o iguales que cero. 0 , el de los n´ Considere las siguientes proposiciones: p1 : ∀ x ∈ R : ∃ z ∈ Z+ 0 : x > z,

p2 : ∃ x ∈ R : ∀ z ∈ Z+ 0 : x > z,

p3 : ∀ z ∈ Z+ 0 : ∃ x ∈ R : x > z,

p4 : ∃ z ∈ Z+ 0 : ∀ x ∈ R : x > z.

12.1) Escriba p1 en lenguaje usual. 12.2) Escriba la negaci´ on de p2 . 12.3) Determine el valor de verdad de p3 o p4 . Justifique su respuesta. LB/VB/JG/DI/RO/RR/CR/MW/lb

Trimestre 1, 2019