Listado N 2 (derivacion)

´ UNIVERSIDAD DE CONCEPCION ´ ´ FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

Departamento de Matem´aticas

C´alculo Diferencial e Integral (527104) Listado 2 Derivacion ´ 1. Utilizando la definicion ´ de derivada, hallar la derivada de las siguientes funciones en el punto indicado: 1 b. f (x) = , x0 = 1 2 1 , x0 = −8 . d. f (x) = √ 1 − 3x

a. f (x) = (x2 + x)2 , x0 = 2 c. f (x) = arcsin x , x0 = 0

2. Calcular la derivada de las siguientes funciones: a. f (x) = (x2 − 4)(2x3 − 1) r sin x + cos x c. f (x) = sin x − cos x √ f. f (x) = ln(x + x2 + 1) .

b. f (x) =

1 + senx 1 − cosx

d. f (θ) = (1 + tgθ)2 . f. f (x) = arctan

x − 1

3. Calcular f ′ (1), f ′(2) y f ′ (3) si f (x) = (x − 1)(x − 2)2 (x − 3)3 . 4. Hallar los valores de a y b de manera que exista f ′ (1) si

f (x) =

 2  x, 

si −1 < x;

ax + b, si x ≥ 1

5. Hallar a y b de modo que la funcion ´  x2 + x + 1    x − 1, si x < 1; x+a f (x) =    x3 + bx2 − 5x + 3, si 1 ≤ x ≤ 3/2 sea diferenciable en el intervalo ] − ∞, 3/2] . 1

x+1

.

6. Estudie la diferenciabilidad de las siguientes funciones en todo su dominio.  2  x − 1, si 0 ≤ x < 2; a. f (x) = x|x| , b. f (x) =  4x − 2, si x ≥ 2  2  x − 1, si 0 ≤ x < 2; c. f (x) =  4x − 2, si x ≥ 2

7. Para qu´e valores de la variable x se tiene que: f ′ (x) = 0 , f ′ (x) = −2 , f ′ (x) = 10 si f (x) = (x + 1)(x + 2)2 (x + 3)3 .

8. Hallar las derivadas de las funciones 2x . 1 − x2 x = . 2 (1 − x) (1 + x)3 (1 − x)p . = (1 + x)q = √a2x−x2 . p = m+n (1 − x)m (1 + x)n . r 3 3 1 + x . = 1 − x3 1 1 1 = +√ +√ . 3 x x x q p √ = x + x + x.

(a) y = (b) y (c) y (d) y (e) y (f) y (g) y (h) y

(i) y = cos 2x − 2 sin x .

(j) y = sin(cos2 x) · cos(sin2 x) .

(k) y = sinn x cos nx .

(l) y = sin(sin(sin x)) . (m) y = tan x2 − cot x2 . (n) y = ex (1 + cot x2 ) .

sin2 x . sin x2 2 (p) y = e−x . (o) y =

(q) y = ex (x2 − 2x + 2) . 2

(r) y = ex + ee + eee .  a x  b a  x b (s) y = , (a > 0, b > 0) . b x a x

x

(t) y = xa + ax + aa , (a > 0) . a

a

x

9. Derivar por tablas a las siguientes funciones y usar la derivacion ´ de funciones del tipo (f (x))g(x) (a) y = ln(ln(ln x)) . √ √ (b) y = x + 1 − ln(1 + x + 1) . 1

(c) y = 2tan x .

(d) y = x[sin(ln x) − cos(ln x)] . (e) y = arcsin(sin x) . x √ (f) y = arctan( ). 1 + 1 − x2 x (g) y = x + xx + xx . √ (h) y = x x .

(i) y = (sin x)cos x + (cos x)sin x . (j) y = logx e 10. Hallar la derivada de la funcion ´ f (x) = ln(cos2 x +

√

1 + cos4 x).

introduciendo la variable intermedia u = cos2 x . 11. Hallar las derivadas y construir las gr´aficas de las funciones: a) y = |x| , b) y = x|x| , c) y = ln x . 12. Hallar las derivadas y construir las gr´aficas de las funciones y sus derivadas.  si −∞ < x < 1;  1 − x, (1 − x)(2 − x), si 1 ≤ x ≤ 2; (a) f (x) =  −(2 − x), si 2 < x < +∞. ( 2 −x2 x e , si |x| ≤ 1; (b) f (x) = 1 , si |x| > 1. e 13. Hallar f ′ (0) si: f (x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3) · · · (x − 100). 3

14. Hallar F ′ (x) , si: x x2 x3 F (x) = 1 2x 3x2 . 0 2 6x

15. Hallar f ′ (a) , si f (x) = (x − a)φ(x) , y la funcion ´ φ(x) es continua en x = a . 16. Construir un ejemplo de una funcion ´ continua que no tenga derivadas en los puntos dados a1 , a2 , . . . , an . 17. Deducir las formulas ´ para las sumas Pn = 1 + 2x + 3x2 + . . . + nxn−1 . Qn = 12 + 22 x + 32 x2 + . . . + n2 xn−1 . Indicacion: ´ Examinar (x + x2 + . . . + xn )′ . 18. Hallar las derivadas de las funciones dadas en forma impl´ıcita: (a) x2 + 2xy − y 2 = 2x . x2 y 2 (b) 2 + 2 = 1 . a b 2 (c) y = 2px . 19. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva √ y = (x + 1) 3 3 − x. en los puntos A(−1, 0) , B(2, 3) y (3, 0) . 20. Demostrar que la par´abola y = a(x − x1 )(x − x2 ) (a 6= 0, x1 < x2 ). corta al eje OX bajo unos a´ ngulos α, β ( 0 < α < iguales entre s´ı.

π ,0 2

21. Bajo que a´ ngulo se cortan las curvas y = x2 y x = y 2 ?. 22. ¿Cu´al es la condicion, ´ para que la cubica ´ y = x3 + px + q. sea tangente al eje OX . MU, Concepcion ´ 28 Marzo 2008 4

< β <

π 2

), que son