Lista De Numeros Complexos 1

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O conjunto dos números complexos

De números complexos você deve saber : i 2 = −1 Conjugado de um número complexo : z = a + bi ⇔ z = a − bi Divisão de dois números complexos :

z1 z1 . z 2 = z 2 z 2 .z 2

Módulo de um número complexo : z = a 2 + b 2 Argumento de um número complexo : cos(θ ) =

a b e sen(θ ) = z z

Forma trigonométrica ou polar : z = z .(cos(θ ) + i. sen(θ )) Multiplica ção na forma trigonométrica : z1 .z 2 = z1 . z 2 .(cos(θ 1 + θ 2 ) + i. sen(θ 1 + θ 2 )) Divisão na forma trigonométrica :

z1 z1 = .(cos(θ 1 − θ 2 ) + i. sen(θ 1 − θ 2 )) z2 z2

Potenciação na forma trigonométrica : z n = z .(cos(nθ ) + i. sen( nθ )) n

Exercícios resolvidos 2+i . 5 − 3i Multiplica m - se ambos os termos da fração pelo número complexo conjugado do

1) Calcule

denominado r : (2 + i) (5 + 3i) 10 + 6i + 5i + 3i 2 10 + 11i − 3 7 + 11i 7 11 = = = = + i . 2 (5 − 3i) (5 + 3i) 25 − 9i 25 − (−9) 34 34 34 i 1− i + . 1+ i i − 2 Em cada fração, multiplica mos seus termos pelo número complexo conjugado do denominado r : 2) Coloque na forma a + bi a expressão

i (1 − i ) (1 − i ) (−2 − i ) 1 − 2i + i 2 − 2i − i 2 1 − 2i − 1 − 2i − (−1) + = + = + = . . 2 2 1− i 4−i 1 − (−1) 4 − (−1) (1 + i) (1 − i ) (−2 + i) (−2 − i ) − 2i 1 − 2i − 5i + 1 − 2i 1 − 2i 1 − 7i 1 7 = + = −i+ = = = − i 2 5 5 5 5 5 5

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3) Calcule : 92 4 a) i 92 → 92 23 → i 0 = 1 0 310 4 c) i 310 → 308 77 → i 2 = −1 2

b) i 45

d) i 1081

45 4 → 44 11 → i 1 = i 1 1081 4 → 1080 270 → i 1 = i 1

e) i 4 n = i 4 = i 2 .i 2 = ( −1).(−1) = 1

f) i 4 n +1 = i 4 n .i = 1.i = i

g) i 4 n + 2 = i 4 n .i 2 = 1.( −1) = −1

h) i 4 n +3 = i 4 n .i 3 = 1.(−i ) = −i

4) Ache o módulo do número complexo

(4 − 3i )(12 − 5i )

2i Primeiramente colocamos o número na forma a + bi :

.

(33 − 56i).(− 2i) ( 4 − 3i )(12 − 5i ) (− 2i ) ( 48 − 20i − 36i + 15i 2 ).(− 2i ) . = = = 2 − 2( −1) − 2i ( 2i ) (− 2i ) 33 2 − 33 2i − 56 2 i = − 28 2 − 2 2 Agora encontramos o módulo desse número complexo :

=

2

 33 2  2178 8450  = 1568 + z = a + b = (−28 2 ) +  − = =  2  4 4  2

=

65 2

.

2

2 2

=

65 2 → 2

2

z =

65 2 2

5) Obtenha o argumento dos números complexos a seguir : a) z = 2 + 2 3i → z = 2 2 + ( 2 3 ) 2 = 4 + 12 = 16 = 4   π  0  θ = 60 = 3 b 2 3 3  sen(θ ) = = = z 4 2  cos(θ ) =

a 2 1 = = z 4 2

4225 = 2

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b) z = 4i → z = 0 2 + 4 2 = 16 = 4 a 0  = =0  z 4 π  0  θ = 90 = b 4 2 sen(θ ) = = = 1   z 4 cos(θ ) =

6) Passe o número complexo z = 8i para a forma trigonométrica. z = 0 2 + 8 2 = 64 = 8 a 0  = =0  z 8 π   θ= 2 b 8 sen(θ ) = = = 1   z 8 Passando para a forma trigonométrica : cos(θ ) =

z = z .(cos(θ ) + i. sen(θ ))  π  π  z = 8. cos  + i. sen     2   2  π   π  7) Dados z1 = 5(cos(π ) + i. sen(π )) e z 2 = 3. cos  + i.sen   , obtenha z1 . z 2 .  3   3 z1 = (5 cos(π )) 2 + (5 sen(π )) 2 = (−5) 2 + 0 2 = 25 = 5 2

2

  π   π  z 2 =  3 cos   +  3 sen    =  3    3  

9 27 36 + = = 9 =3 4 4 4

   π  θ2 = 3 3 3 3  b 2 sen(θ 2 ) = = =  2  3 z2 z1 .z 2 = z1 . z 2 .(cos(θ 1 + θ 2 ) + i. sen(θ 1 + θ 2 ))

a −5  cos(θ 1 ) = = = −1 5 z1   θ1 = π 0 b sen(θ 1 ) = = =0   z1 5

cos(θ 2 ) =

3/ 2 1 a = = 3 2 z2

  π π   z1 .z 2 = 5.3. cos π +  + i. sen  π +   3 3       4π z1 .z 2 = 15. cos   3

  4π  + i. sen    3

   

Professor PauloNiederauer Hollweg Autor: Juliano Zambom