Lista De Ejercicios 3

´ ´ PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU Estudios Generales Ciencias ´ CALCULO APLICADO Ciclo 2019-0 Lista de ejercicios No 3 Teorema de Green: simple y generalizado R 1. Calcular Γ (y 2 + x3 )dx + x4 dy donde Γ es el perimetro del cuadrado [0, 1] × [0, 1] recorrido en el sentido antihorario. 2. En cadaRuno de los siguientes casos verifique el teorema de Green a) Para Γ xdx + xydy, donde Γ es la circunferencia x2 + y 2 = 1 con la orientaci´on antihoraria. R b) Para Γ (x + y)dx + (x2 − y)dy, donde Γ es la frontera de la regi´on limitada por y = x2 √ y y = x, cuando 0 ≤ x ≤ 1. R 3. Calcule Γ (y 2 + 2xy + y)dx + (x2 y + 2xy + x2 )dy, donde Γ es la curva definida por Γ : |x| + |y − 2| = 1 recorrida con orientaci´on antihoraria. Rpta. -2 4. Sea la curva C = C1 ∪ C2 , donde C1 : |x| + |y| = 1 y C2 es el cuadrado de v´ertices (1, en sentido horario y sea el campo F (x, y) =  1), (1, −1), (3, 1), (3,−1); C1 , C2 orientadas H −y x−2 , . Hallar el valor de C F.dr. (x−2)2 +4y 2 (x−2)2 +4y 2    5. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F (x, y) = ln(x2 −y 2 ), xy+ln x+y x−y √ 2 para desplazar √ una part´ıcula a lo largo de la curva y = x − 1 desde el punto (1, 0) hasta el punto (2, 3). I 6. Calcular (2y + cos x2 )dx + (5x − ln(y 2 + 1))dy donde Γ = {(x, y) : x2 + y 2 = 1, y ≥ Γ

0} ∪ {(x, y) : x2 + 4y 2 = 1, y ≥ 0} es recorrida en sentido antihorario. R 7. Calcule la integral Γ √−ydx + √ dy , donde Γ es una curva simple cerrada contenida 2 2 2 2 x

x −y

x −y

en el dominio del campo vectorial que se est´a integrando. Rpta. 0.   2 y −y−x2 y x3 −x 8. Sea F (x, y) = (x y Γ la curva formada por el arco x2 + y 2 = 4, x ≥ 2 +y−1)2 , (x2 +y−1)2 0, y ≥ 0 y el segmento de recta que une los puntos A(2, 2) y B = (0, 2). Hallar el trabajo que realiza F para trasladar una part´ıcula a lo largo de Γ partiendo desde A. 9. Calcular

Z Γ

−(y − 2) (x − a) dx + dy 2 2 (x − a) + (y − 2) (x − a)2 + (y − 2)2

donde Γ es el contorno de la regi´ on limitada por x + y = 1, x + y = 5 y los ejes coordenados orientada en sentido antihorario a) cuando a = −2, b) cuando a = 2.

1

10. Sean las curvas Γ1 : y = x2 + x12 , x > 0, Γ2 : x2 + y = 3 y sea la regi´on R limitada por tales curvas. Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas p p
F (x, y) = x2 + 4y 2 , 4y ln(x + x2 + 4y 2 ) + 3x para desplazar a una particula a lo largo de la frontera de R en sentido antihorario partiendo del punto m´ as cercano al eje X.   2 R yey x − y, 2 y2 + x y Γ es la curva, recorrida 11. Calcular Γ F.dα donde F (x, y) = 2 y2 (x +e

)

(x +e

)

en sentido antihorario, que limita a la regi´on comprendida por las curvas x2 − y + 1 = 0 y x2 − 2y + 6 = 0. R 12. Calcular Γ [cos(x cos y) cos y + x6 ]dx − [xsen(x cos y) + x3 + 3xy 2 ]dy donde Γ es la curva cerrada (x2 + y 2 )2 = x2 − y 2 , x ≥ 0 recorrida en sentido antihorario. 13. a) Sean Γ una curva cerrada, simple y regular por trozos; a y b constantes. ¿Que condiciones debe satisfacer la regi´ on R? y ¿cuales son los valores de dichas constantes? para que se cumpla la siguiente igualdad ZZ Z −2xy(x2 + y 2 ) (x + y)dx + (ax + by)dy dxdy = 2 2 2 1 − x2 y 2 R (1 − x y ) Γ b) Para los valores a y b hallados en a), calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas  x+y ax+by F (x, y) = 1−x2 y2 , 1−x2 y2 , para trasladar una part´ıcula alrededor de la circunferencia x2 + y 2 = 41 , en sentido antihorario. 14. Sean R1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 2y}, R2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}, R = R1 − R2 . Sea Γ la frontera de R. Calcular el trabajo realizado por la fuerza F (x, y) = (x cos(x2 + y 2 ) − y 2 , y cos(x2 + y 2 )) para mover una part´ıcula alrededor de Γ, en sentido antihorario. 15. Sea C una curva simple cerrada que encierra a la circunferencia x2 + y 2 = 1 y que pasa por A(2, 0) y B(−2, 0), sea Γ el arco de C en el semiplano y ≥ 0 que inicia en A y termina en B. Use el teorema de Green para calcular: Z xydy 10 (2x2 + y 2 − 1)dx p +p . Rpta. − √ 2 2 2 2 3 3 x +y −1 x +y −1 Γ 16. Sea R la regi´ on limitada por las curvas y 2 = 2x + 4, x = 2 − |y|. Calcular Z 4x − y x+y dx + 2 dy 2 2 4x + y 2 Γ 4x + y donde Γ es la frontera de la regi´ on R, recorrida en sentido antihorario. 17. Sea R la regi´ on limitada por las curvas x − y 2 = 0, (x − π)2 y 2 = π 2 y sea Γ la curva que limita R. Calcular el trabajo que realiza el campo de fuerzas   senx −2y F (x, y) = , , (1 + y 2 + cos x)2 (1 + y 2 + cos x)2 para trasladar una part´ıcula alrededor de la curva Γ en sentido antihorario. Profesores de C´ alculo Aplicado

San Miguel, 22 de enero de 2019.

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