Lista 01 - Transformada Z.pdf

Controle Discreto – prof. Sandro Battistella – 2018.2 – página 1 de 2

Lista de Exercícios 1 – Transformada Z

Calcular a transformada Z unilateral dos seguintes sinais, sem empregar a tabela de transformadas, onde T é o período de amostragem: 1) Sequência numérica 𝑢(𝑘) = {1,2,0,0,3,1,4,0,0,0, … }. 2) 𝑥(𝑘𝑇) = cos⁡(𝑤𝑘𝑡). 3) 𝑥(𝑘𝑇) = ⁡ 𝑒 −𝑎𝑘𝑇 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑘𝑇) onde a uma constante real tal que |𝑎| < 1. 0⁡𝑠𝑒⁡𝑘 ∈ [0, 𝑟] 4) 𝑥(𝑘𝑇) = { , onde r é um número inteiro positivo. 1⁡𝑠𝑒⁡𝑘 > 𝑟

Empregando as propriedades e a tabela das transformadas, calcular a transformada Z dos seguintes sinais: 5) 𝑥(𝑘𝑇) = 𝑒 −𝑎𝑘𝑇 − 𝑒 −𝑏𝑘𝑇 6) 𝑥(𝑘𝑇) = ⁡ 𝑒 −(𝑘𝑇−𝑟) , onde r é um número inteiro positivo. 1

7) 𝑥(𝑘𝑇) = ⁡ 𝑎 (1 − 𝑒 −𝑎𝑘𝑇 ) 8) 𝑥(𝑘) = 9𝑘2𝑘−1 − 2𝑘 + 3 1

9) Sinal cuja transformada de Laplace é dada por 𝑋(𝑠) = 𝑠(𝑠+1) 10) Encontrar a transformada Z do sinal representado no gráfico abaixo, considerando x(k) = 1 para k  4.

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11) Encontrar a transformada Z do sinal representado no gráfico abaixo, considerando x(k) = 1 para k  6.

12) Calcular a transformada Z de x(k+2) e x(k-2) do sinal 𝑥(𝑘) = 1 − 𝑒 −0.5𝑘 . 13) Considerando um período de amostragem T = 2s e que a transformada Z do sinal discreto é dada por: 𝑋(𝑧) =

𝑧2

2𝑧 − 2𝑧 + 1

encontrar a transformada Z dos sinais 𝑥(𝑘 − 2) e 𝑥(𝑘 + 3), ou, o que é equivalente, de 𝑥(𝑘𝑇 − 2𝑇) e 𝑥(𝑘𝑇 + 3𝑇)1. 14) Considerando a transformada Z abaixo, comprovar os valores de x(0), x()2 𝑋(𝑧) =

0.1 𝑧(𝑧 − 0.9)

15) Determinar x(0) e x()3 do sinal cuja transformada Z é dada por 𝑧 −1 𝑋(𝑧) = (1 − 𝑧 −1 )(1 + 1.3𝑧 −1 + 0.4𝑧 −2 )

1

Empregar 𝑥(𝑘) para encontrar os valores da sequência {𝑥(0), 𝑥(1), 𝑥(2), … } para então calcular os dois sinais solicitados. 2 Comprovar se o teorema do valor final se aplica. 3 Comprovar se o teorema do valor final se aplica.