Lista-00-2005-1[1]

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Lista 0 de C´alculo Diferencial e Integral Aplicado II e C´alculo Aplicado II

2005-1

1

LISTA 0 ˜ Esta lista ´e apenas para REVISAO de Integral Indefinida, Integral Definida, do Teorema Fundamental do C´ alculo e Integra¸c˜ao por Substitui¸c˜ao, t´opicos estudados na disciplina C´alculo Diferencial e Integral Aplicado I ou C´alculo Aplicado I.

Nos exerc´ıcios 1. a 20. resolva as integrais imediatas ou aplique uma ou mais de uma vez a t´ecnica de substitui¸ca˜o simples para encontrar as primitivas. Z 1.

Z sen x cos x dx

Z 2.

arctan x dx 1 + x2

Z 3.

sec x tan x dx Z

4.

tan x dx Z

5.

cot x dx Z

1 6. dx 4 + 3x2 Z   √ 7. x sen x3/2 − 1 dx

8. Z

ex dx cos2 (ex − 2)

15.

2x dx x2 + 1 √ Z sen x 10. √ p 3 √ dx x cos x Z  x 2 x 11. 1 − cos sen dx 2 2 Z 2/x2 e 12. dx x3 Z 13. x(1 + x)4/3 dx 9.

Z 14.

√ 3

1 + e2x dx ex

2

(2 + tan3 x) dx Z

52x dx

Z

cos(ln x) dx x

Z

dx x ln x3

Z

1 + ln2 x + ln3 x dx x ln x

16.

17.

18.

19. Z



20.

Resolva as integrais definidas dos exerc´ıcios 21. a 28. Z e Z 3 dx x  dx 24. √ 21. dx x 1 + ln2 x 1 x−1 2 Z 2 Z 1 ex 2 x 22. dx √ 25. dx x+e e 1 1 − x4 0 Z √ln π Z π  2 2 x2 x 23. 2xe cos e dx 26. e sen x cos x dx 0

18 tan2 x secx

Z

Z 27.

dx 1 − 4x2

π 4

 1 + etan x sec2 x dx

0

Z

ln

28. ln

π 2

2ex cos (ex ) dx

π 6

0

1 1 29. Se aplicarmos o Teorema Fundamental do C´alculo em dx, obteremos a seguinte igualdade: 2 x −1 Z 1 1 1 1 dx = − = −2. 2 x −1 −1 x 1 Como a fun¸c˜ao f (x) = 2 > 0, isto n˜ao faz sentido. O que est´a errado? x

Z

30. Verifique que as fun¸c˜oes sen2 x e − cos2 x s˜ao primitivas de uma mesma fun¸c˜ao. Porque isso ´e poss´ıvel?

Lista 0 de C´alculo Diferencial e Integral Aplicado II e C´alculo Aplicado II

2005-1

2

RESPOSTAS DA LISTA 0 1 sen2 x + C 2 1 2. arctan2 x + C 2

52x +C 2 ln 5

1.

16.

3. sec x + C

17. sen (ln x) + C ln ln x3 +C 18. 3

4. ln | sec x| + C 5. − ln | csc x| + C √ √ 3x 3 6. arctan +C 6 2  3  2 7. − cos x 2 − 1 + C 3 8. tan (ex − 2) + C 9. 10. 11. 12. 13.

2 3 2 x +1 3 +C 2 √ −1 4 (cos x) 2 + C 2 x 3 1 − cos +C 3 2 1 2 − e2/x + C 4 10 7 3 3 (1 + x) 3 − (1 + x) 3 + C 10 7

14. ex − e−x + C 15. −

6 +C 2 + tan3 x

19.

1 1 (ln x)3 + (ln x)2 + ln | ln x| + C 3 2

1 arcsen (2x) + C 2 √ 10 2 − 8 21. 3   e+1 22. ln 2 20.

23. − sen (1) 24.

π 4

1 25. arcsen 2

  1 4

26. e−1 27. e 28. 1

29. As hip´oteses do Teorema Fundamental do C´alculo n˜ao s˜ao satisfeitas nesse caso: 1 A fun¸c˜ao f (x) = 2 n˜ao est´a definida em todos os pontos do intervalo fechado e limitado cujos x extremos s˜ao os limites de integra¸c˜ao, isto ´e, n˜ao est´a definida em [−1, 1], pois n˜ao est´a definida em x = 0. 30. Como f 0 (x) = g 0 (x) = 2 sen x cos x, conclu´ımos que tanto f quanto g s˜ao primitivas de h(x) = 2 sen x cos x. Isso ´e poss´ıvel porque f (x) − g(x) = C ⇒ f 0 (x) − g 0 (x) = 0 ⇒ f 0 (x) = g 0 (x). Em palavras, sempre que a diferen¸ca entre duas fun¸c˜oes ´e constante, a diferen¸ca entre suas derivadas ´e zero e consequentemente suas derivadas s˜ao iguais. Neste caso, f (x) − g(x) = sen 2 x − (− cos2 x) = 1.