Lista 0 de C´alculo Diferencial e Integral Aplicado II e C´alculo Aplicado II
2005-1
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LISTA 0 ˜ Esta lista ´e apenas para REVISAO de Integral Indefinida, Integral Definida, do Teorema Fundamental do C´ alculo e Integra¸c˜ao por Substitui¸c˜ao, t´opicos estudados na disciplina C´alculo Diferencial e Integral Aplicado I ou C´alculo Aplicado I.
Nos exerc´ıcios 1. a 20. resolva as integrais imediatas ou aplique uma ou mais de uma vez a t´ecnica de substitui¸ca˜o simples para encontrar as primitivas. Z 1.
Z sen x cos x dx
Z 2.
arctan x dx 1 + x2
Z 3.
sec x tan x dx Z
4.
tan x dx Z
5.
cot x dx Z
1 6. dx 4 + 3x2 Z √ 7. x sen x3/2 − 1 dx
8. Z
ex dx cos2 (ex − 2)
15.
2x dx x2 + 1 √ Z sen x 10. √ p 3 √ dx x cos x Z x 2 x 11. 1 − cos sen dx 2 2 Z 2/x2 e 12. dx x3 Z 13. x(1 + x)4/3 dx 9.
Z 14.
√ 3
1 + e2x dx ex
2
(2 + tan3 x) dx Z
52x dx
Z
cos(ln x) dx x
Z
dx x ln x3
Z
1 + ln2 x + ln3 x dx x ln x
16.
17.
18.
19. Z
√
20.
Resolva as integrais definidas dos exerc´ıcios 21. a 28. Z e Z 3 dx x dx 24. √ 21. dx x 1 + ln2 x 1 x−1 2 Z 2 Z 1 ex 2 x 22. dx √ 25. dx x+e e 1 1 − x4 0 Z √ln π Z π 2 2 x2 x 23. 2xe cos e dx 26. e sen x cos x dx 0
18 tan2 x secx
Z
Z 27.
dx 1 − 4x2
π 4
1 + etan x sec2 x dx
0
Z
ln
28. ln
π 2
2ex cos (ex ) dx
π 6
0
1 1 29. Se aplicarmos o Teorema Fundamental do C´alculo em dx, obteremos a seguinte igualdade: 2 x −1 Z 1 1 1 1 dx = − = −2. 2 x −1 −1 x 1 Como a fun¸c˜ao f (x) = 2 > 0, isto n˜ao faz sentido. O que est´a errado? x
Z
30. Verifique que as fun¸c˜oes sen2 x e − cos2 x s˜ao primitivas de uma mesma fun¸c˜ao. Porque isso ´e poss´ıvel?
Lista 0 de C´alculo Diferencial e Integral Aplicado II e C´alculo Aplicado II
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RESPOSTAS DA LISTA 0 1 sen2 x + C 2 1 2. arctan2 x + C 2
52x +C 2 ln 5
1.
16.
3. sec x + C
17. sen (ln x) + C ln ln x3 +C 18. 3
4. ln | sec x| + C 5. − ln | csc x| + C √ √ 3x 3 6. arctan +C 6 2 3 2 7. − cos x 2 − 1 + C 3 8. tan (ex − 2) + C 9. 10. 11. 12. 13.
2 3 2 x +1 3 +C 2 √ −1 4 (cos x) 2 + C 2 x 3 1 − cos +C 3 2 1 2 − e2/x + C 4 10 7 3 3 (1 + x) 3 − (1 + x) 3 + C 10 7
14. ex − e−x + C 15. −
6 +C 2 + tan3 x
19.
1 1 (ln x)3 + (ln x)2 + ln | ln x| + C 3 2
1 arcsen (2x) + C 2 √ 10 2 − 8 21. 3 e+1 22. ln 2 20.
23. − sen (1) 24.
π 4
1 25. arcsen 2
1 4
26. e−1 27. e 28. 1
29. As hip´oteses do Teorema Fundamental do C´alculo n˜ao s˜ao satisfeitas nesse caso: 1 A fun¸c˜ao f (x) = 2 n˜ao est´a definida em todos os pontos do intervalo fechado e limitado cujos x extremos s˜ao os limites de integra¸c˜ao, isto ´e, n˜ao est´a definida em [−1, 1], pois n˜ao est´a definida em x = 0. 30. Como f 0 (x) = g 0 (x) = 2 sen x cos x, conclu´ımos que tanto f quanto g s˜ao primitivas de h(x) = 2 sen x cos x. Isso ´e poss´ıvel porque f (x) − g(x) = C ⇒ f 0 (x) − g 0 (x) = 0 ⇒ f 0 (x) = g 0 (x). Em palavras, sempre que a diferen¸ca entre duas fun¸c˜oes ´e constante, a diferen¸ca entre suas derivadas ´e zero e consequentemente suas derivadas s˜ao iguais. Neste caso, f (x) − g(x) = sen 2 x − (− cos2 x) = 1.