Liquido

Fenómenos de Transporte. Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular

LABORATORIO Nº 2 COMPROBACIÓN TEÓRICA Y EXPERIMENTAL DE LA FORMA QUE ADQUIERE LA SUPERFICIE LIBRE DE UN LÍQUIDO QUE GIRA A UNA DETERMINADA VELOCIDAD ANGULAR Un fluido de densidad y viscosidad constantes está contenido en un recipiente cilíndrico de radio R, tal como se indica en la figura. El recipiente rota alrededor de su eje con una velocidad angular Ω. El eje del cilindro es vertical, de forma que gr = gθ = 0 y gz = -g. Hallar la forma de la superficie libre, una vez alcanzado el estado estacionario. Este sistema se describe mas fácilmente es coordenadas cilíndricas y por lo tanto vamos a usar las ecuaciones de variación en este sistema. Sabemos que en el estado estacionario vz y vr son iguales a 0. La única componente de la velocidad existente es vθ que es una función de r. Sabemos también que la presión dependerá de r a causa de la fuerza centrífuga y de z debido a la fuerza gravitatoria. La ecuación del movimiento se reduce a: Componente r: Componente θ:

Componente z:

v θ2

∂p r ∂r ∂ ⎛1 ∂ [r ⋅ v θ ]⎞⎟ 0=μ ⎜ ∂r ⎝ r ∂r ⎠ ∂p 0=− − ρ ⋅ gz ∂z

ρ

=

C 1 C1 ⋅ r + 2 2 r En la que C1 y C2 son constantes de integración. Como vθ no puede ser infinito para r = 0, la constante C2 debe ser 0. Sabemos además que para r = R la velocidad vθ = R Ω. De acuerdo con esto puede evaluarse C1 = 2 Ω y se llega a: vθ = Ω r lo que establece que cada elemento del fluido que gira, se mueve de igual forma que los elementos de un cuerpo rígido. Este resultado puede sustituirse en el componente r de la ecuación de movimiento. De esta forma se tienen dos expresiones para los gradientes de presión: ∂p ∂p = −ρ ⋅ g z = ρ ⋅ Ω2 ⋅ r y ∂r ∂z Como p es una función analítica de la posición, puede escribirse: ∂p ∂p dp = dr + dz ∂r ∂z Reemplazando las derivadas parciales en esta expresión de la diferencial total de la presión e integrando, se llega a: 1 p = −ρ ⋅ g ⋅ z + ρΩ 2 r 2 + C 2 La constante de integración C puede determinarse teniendo en cuenta que p = p0 para r = 0 y z = z0, de forma que:

Integrando la componente θ:

vθ =

1

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ρ ⋅ Ω2r 2 2 La superficie libre es el lugar geométrico de los puntos en los que p = p0 y por lo tanto su ecuación es:

p0 = -ρ g z0 + C

p − p 0 = −ρ ⋅ g (z − z 0 ) +

de aquí que:

0 = −ρ ⋅ g (z − z 0 ) +

ρ ⋅ Ω2r 2 2

⎛ Ω2 ⎞ 2 ⎟⋅r z − z0 = ⎜ ⎜2⋅g⎟ ⎝ ⎠ Ω

En la superficie p = p0

Z0

En el interior del fluido d = p (r,z)

z

r R

Para realizar la comprobación experimental de este comportamiento se dispone de un cuadro relleno con parafina unido a un rotor que gira a velocidad angular constante Ω. Previo a la experiencia el cuadro con la parafina se calientan a “baño maria” para disponer de la parafina en estado liquido. Una vez disuelta la parafina, el cuadro se coloca en el rotor y se lo hace girar a una velocidad constante que mediremos con un tacómetro, a medida que se enfría la parafina se va solidificando y adquiere una forma de parábola, la cual podremos cotejar con el gráfico teórico.

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