Lingkaran

LINGKARAN Lingkaran ialah tempat kedudukan titik – titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Jarak yang sama atau tetap tersebut disebut jari – jari sedangkan titik tertentu disebut pusat. 1. Persamaan Standar dari Lingkaran Misalkan titik C(a,b) adalah pusat lingkaran, r adalah adalah jari – jari lingkaran, dan titik P’(x1,x2) pada lingkaran. y

P

( x - a ) 2 + ( y − b) ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2 CP =

P’

r C

x

O

2

=r

Setiap titik P(x,y) memenuhi persamaan diatas.

2. Persamaan Umum Lingkaran Dari persamaan (x–a)2 + (y–b)2 = r2  x2+y-2ax–2by+a2+b2–r2 = 0 atau x2+y2+Ax+By+C=0 dengan A = -2a, B = -2b, dan C = a2+b2–r2. Persamaan x2+y2+Ax+By+C = 0 disebut persamaan umum suatu lingkaran. Persamaan lingkaran yang bentuk umum ini mempunyai ciri – ciri : 1. Koefisien x2 dan y2 selalu sama. 2. Tidak ada suku yang memuat xy. Jika

diketahui

persamaan

bentuk

umum

suatu

lingkaran

x2+y2+Ax+By+C=0 dapat dicari titik pusat dan jari – jari lingkaran yaitu : -

Titik Pusat

: P(-½ A, -½ B)

-

Jari – jari

:r=

1 2 1 2 A + B −C 4 4

Kemungkinan – kemungkinan untuk r :

yaitu

-

Jika

1 2 1 2 A + B − C > 0, maka lingkarannya real artinya grafiknya dapat 4 4

ditulis -

Jika

1 2 1 2 A + B − C = 0, berarti jari – jarinya = 0 maka lingkarannya berupa 4 4

titik dan disebut lingkaran titik. -

Jika

1 2 1 2 A + B − C < 0, maka lingkarannya disebut lingkaran khayal, 4 4

berarti Pusatnya ada dan nyata tetapi lingkarannya khayal karena r-nya negatif. Dari persamaan umum lingkaran x2+y2+Ax+By+C=0 -

Jika A = 0, Persamaannya x2+y2+By+C=0, maka pusatnya terletak pada sumbu y, yaitu (0, ½B)

-

Jika B = 0, Persamaannya x2+y2+Ax +C=0, maka pusatnya terletak pada sumbu x, yaitu (½A,0)

-

Jika C = 0, persamaannya x2+y2+Ax+By=0, maka lingkarannya melalui titik asal O(0,0).

3. Persamaan Parameter Lingkaran - Jika pusat lingkaran di (0,0) dan jari – jarinya r, maka persamaan parameter lingkarannya adalah : x = r cos θ y = r sin θ - Jika pusat lingkaran di (a,b) dan jari – jarinya r, maka persamaan parameter lingkarannya adalah : x = a + r cos θ y = b + r sin θ 4. Garis Singgung dan Garis Kuasa a. Garis singgung disuatu titik pada lingkaran

Persamaan

garis

garis

singgung

yang

menyinggung

lingkaran

x2+y2+Ax+By+C=0 pada titik T(x1,y1) : xx1 + yy1 +

1 1 2 A( x + x1 ) + B ( y + y1 ) − x1 − Ax1 − By1 = 0 2 2

Jika titik singgung T(x1,y1) pada lingkaran x2+y2=r2, maka persamaan garis singgungnya : xx1 + yy1 = r 2 Jika titik singgung T(x1,y1) pada lingkaran x2+y2Ax+By+C=0 maka persamaan garis singgungnya : xx1 + yy1 +

1 1 A( x + x1 ) + B ( y + y1 ) + C = 0 2 2

Jika titik singgung T(x1,y1) pada lingkaran (x–a)2 + (y–b)2 = r2 maka persamaan garis singgungnya : (x–a)(x1–a)+(y–b)(y–b)= r2 b. Garis singgung dengan Gradien arah diketahui Persamaan garis singgung dengan gradien arah s pada lingkaran dengan titik pusat (a,b) dengan jari – jari r adalah : y − b = s( x − a) ± r s 2 + 1 Jika persamaan lingkaran x2+y2=r2 maka persamaan garis singgung : y = sx ± r s 2 + 1 .