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UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Defensa Universidad Nacional Experimental de las Fuerzas Armadas Nacionales Departamento de Ingeniería en Telecomunicaciones UNEFA- Núcleo Sucre- Cumaná

Líneas de Transmisión IngMSc. Jenry Balebona

Cumaná enero de 2016

0

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) INDICE UNIDAD 1: PRINCIPIOS Y ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN. 1.1 Introducción. Modelos y herramientas de análisis. 1.2 Postulación del modelo de la línea de transmisión. Consideraciones respecto a la solución de las “Ecuaciones de los Telegrafistas”. 1.3 La línea sin pérdidas. La línea no distorsionante. 1.4 Consideraciones respecto a la energía para los casos sin pérdida y no distorsionante.

3 4 5 25 31

UNIDAD 2: EL CASO ARMÓNICO. (Alimentación AC) 2.1 Solución estacionaria de la ecuación diferencial de la línea con excitación sinusoidal. 2.2 Aplicación de las condiciones de contorno a la solución hallada. 2.3 Consideraciones respecto a la atenuación. Impedancia en cualquier punto de la línea. 2.4 Coeficiente de reflexión de tensión.

32

UNIDAD 3: EL CASO ARMÓNICO. LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS. (1) ANÁLISIS GENERAL. 3.1 Introducción. Especialización de las soluciones al caso de las líneas sin pérdidas. 3.2 Velocidad de fase y longitud de onda. Impedancia. 3.3 Coeficiente de reflexión de tensión. Análisis del voltaje y la corriente en función del coeficiente de reflexión de tensión. 3.4 Ondas estacionarias. Relación de onda estacionaria. 3.5 El coeficiente de transmisión. La línea con distintas cargas. Consideraciones respecto a la potencia. 3.6 Energía eléctrica y magnética. Potencia y desadaptación.

45

UNIDAD 4: EL CASO ARMÓNICO. LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS. (2) LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN COMO ELEMENTO DE CIRCUITO Y ADAPTACIÓN DE IMPEDANCIAS. 4.1 Líneas en corto circuito (c.c.) y en circuito abierto (c.a.). Supresión de armónicas pares. 4.2 Supresión de tercera armónica. Adaptación de impedancias mediante el transformador a constantes distribuidas. 4.3 Adaptación mediante una línea en corto circuito dispuesta en paralelo. 4.4 Adaptación mediante dos líneas en corto circuito dispuestas en paralelo.

1

32 32 32 37

45

54 58 60 61

68 68 70 77 80

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) UNIDAD 5: EL CASO ARMÓNICO. LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS. (3) DIAGRAMAS. 5.1 Introducción. Diagrama cartesiano de Schmidt para impedancias. Diagrama cartesiano de admitancias. Diagrama polar de Smith de impedancias. Diagrama de Smith de admitancias. 5.2 Descripción de las escalas que aparecen al pie del diagrama de Smith. Diagrama cartesiano y de Smith para el caso de resistencias negativas. Otros diagramas.

81 81 91

UNIDAD 6: EL CASO ARMÓNICO. LA LÍNEA CON PÉRDIDAS. 6.1 La constante de propagación. Los gráficos de voltaje (V), de corriente (I) y de impedancia (Z) para el caso con pérdidas. 6.2 El coeficiente de reflexión de tensión. Consideraciones respecto a la potencia. La línea de bajas pérdidas. La potencia disipada en la línea de bajas pérdidas. 6.3 Necesidad de la adaptación de impedancias. La pérdida de inserción. Uso del diagrama de Smith para la línea con pérdidas. 6.4 Líneas en corto circuito y en circuito abierto, de muy bajas pérdidas y de diversas longitudes. 6.5 Líneas de transmisión resonantes de muy bajas pérdidas.

92

UNIDAD 7: TECNOLOGÍA DE LÍNEAS. 7.1 Tipos de líneas telefónicas y telegráficas. 7.2 Frecuencias usadas en comunicaciones telefónicas y telegráficas. 7.3 El circuito fantasma. 7.4 Amplificadores telefónicos y repetidores. 7.5 Ruido y diafonía. 7.6 Líneas de radiofrecuencia, características de los conductores y de los dieléctricos; líneas abiertas y coaxiales; Reflectometría; Guías de Onda. 7.7. Reflectometría en el dominio del tiempo (TDR-Time Domain Reflectometry) APENDICE A - Notas sobre Magnitudes y unidades utilizadas APENDICE B - Raíz cuadrada de un número complejo APENDICE C – Pruebas de cables de Redes de Datos APENDICE D: La Resistividad en términos de Milésimas Circulares Tabla de Resistencia de Cables AWG Tabla de Resistividad de materiales Tabla de Características de los Cables Coaxiales Glosario

98 98 114 116 120 121

2

92 92 93 93 95

121 125 128 129 132 133 136 137 138 139

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) UNIDAD 1 Principios y Ecuaciones Fundamentales de la Línea de Transmisión. En telecomunicaciones una línea de Transmisión es un medio canalizado o limitado por el cual se puede transportar energía de un sitio a otro. Esa energía no es más que una corriente eléctrica (flujo de electrones), ondas de radio (ondas electromagnéticas) u ondas fotónicas (fotón) que se propagan a través de un medio tal como Cables metálicos, Guías Ondas o Fibra Óptica respectivamente. uiados

neas de Trans isión electro agn ticas

edios de Trans isión

o uiados { {

{ u as ndas uiados

neas de Trans isión

i ra ptica { {

{

La mencionada energía que se transporta a través de las líneas de transmisión representa, en ingeniería de las telecomunicaciones, información bien sea audio, video o datos y la misma suele ser analógica o digital. Los cables metálicos generalmente transportan señales senoidales, de tensión o de corriente, aunque algunas veces se transmite un tren de pulsos como transmisiones FSK, pero como es bien sabido que un pulso está compuestos por varias ondas senoidales de diferentes magnitudes y frecuencias (Fourier) pues estos pulsos se verán distorsionados a través del viaje, las guías ondas transmiten exclusivamente ondas senoidales en forma de ondas electromagnéticas y las fibras ópticas por su parte transmiten encendidos y apagados de luz en velocidades muy altas es decir pulsos on/off de luz. 3

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Por otro lado las líneas de transmisión se clasifican según su equilibrio eléctrico y según su geometría. Según su equilibrio eléctrico se tiene las líneas de transmisión Balanceadas que son aquellas donde entre cada conductor y tierra aparece la misma diferencia de potencial (en módulo) y las Desbalanceadas que no se cumple lo mencionado en las balanceadas ya que generalmente uno de los conductores está vinculado a tierra. Y según su geometría en Unifilares, bifilares, par trenzado, coaxiales, cables radiantes, etc. En este trabajo nos limitaremos al estudio de los cables metálicos. 1.1 Introducción. Modelos y herramientas de análisis. Hoy en día los modelos de las líneas de transmisión son varias existen modelos para líneas de transmisión de potencia y para líneas de transmisión de telecomunicaciones, también los modelos han avanzado hasta el punto de tener modelos para cables multípares. Los cálculos para las líneas de transmisión pueden ser realizados a través del análisis de los modelos matemático, también por gráficos como la carta de Smith. Las herramientas de simulación hoy en día son aplicadas ampliamente ya que existen software’s como: Matlab, Scilab, Simulink, Maple, etc. Los cuales hacen fácil la aplicación de la representación matemática a la aplicación de los modelos. En 1926, el Dr. John R. Carson publicó sus ecuaciones para calcular la impedancia de un circuito, considerando el efecto de retorno por tierra. Estas ecuaciones actualmente son muy utilizadas para el cálculo de parámetros de líneas de transmisión aérea y subterránea. Carson supone que la tierra es una superficie uniforme, plana, sólida e infinita con una resistividad constante. Cualquier efecto en los extremos de la línea en los puntos de aterramiento es despreciable para frecuencias de estado estacionario.

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UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) 1.2 Postulación del modelo de la línea de transmisión. Consideraciones respecto a la solución de las “Ecuaciones de los Telegrafistas”. En la figura 01 se representa un modelo general de las líneas de transmisión de cables metálicos para telecomunicaciones, en ella los parámetros de resistencia, inductancia, capacitancia y conductancia son llamados parámetros primarios o distribuidos.

Figura 01. Modelo del circuito eléctrico de un par de cables

1.2.1 Parámetros Primarios (Parámetros Distribuidos) de la línea Se les llama distribuidos porque ellos están a lo largo de la longitud del cable y sus unidades de magnitud serán afectadas por ella. Y se le suele también llamar primarios porque ellos son los parámetros de los cuales se derivan todo los demás parámetros que caracterizan a una línea de transmisión. Por consiguiente los parámetros distribuidos de una línea de transmisión tendrán las siguientes unidades de magnitud: Resistencia (Ω/m), Inductancia (H/m), Capacitancia (F/m) y Conductancia (S/m). La resistencia depende de la resistividad de los conductores y de la frecuencia. En altas frecuencias, la resistencia aumenta con la frecuencia debido al efecto pelicular (Skin effect), ya que la corriente penetra sólo una pequeña capa cercana a la superficie del conductor. La inductancia es consecuencia del hecho de que todo conductor por el que circula una corriente variable tiene asociada una inductancia. Como la línea está formada por dos o más conductores separados por un dieléctrico, constituye, por tanto, un condensador cuya capacidad depende del área de los conductores, su separación y la constante dieléctrica del material que los separa.

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UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Finalmente, la conductancia es consecuencia de que el dieléctrico no es perfecto y tiene resistividad finita, por lo que una parte de la corriente se “fuga” entre los conductores y, junto con la resistencia en serie contribuye a las pérdidas o atenuación en la línea. La impedancia viene expresada como:

siendo la admitancia la inversa de la impedancia:

(

)

(

)

donde Z = Impedancia, ohmios (Ω). X = Reactancia, ohmios (Ω). G = Conductancia, siemens (S) j = Unidad imaginaria. j2 = -1

R = Resistencia, ohmios (Ω). Y = Admitancia, siemens (S) B = Susceptancia, siemens (S).

Hay un nombre genérico “inmitancia” es utilizado para designar una impedancia o una admitancia, indistintamente. { Nótese, de forma seria, que la conversión de impedancia a admitancia o viceversa es una operación netamente de conveniencia para resolver un circuito eléctrico, pero hay que dejar claro que tanto la impedancia como la admitancia en el modelo de las líneas de transmisión son intrínseco al material de construcción ⁄ . del cable, por lo que Reactancia Inductiva

Reactancia Capacitiva

6

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) 1.2.2 Parámetros secundarios de la línea La Impedancia Característica (Zo) de la línea que, junto con la Constante de Propagación (), se designan parámetros secundarios de la línea y son independientes de la longitud de ésta. La impedancia característica de una línea depende de la permitividad, permeabilidad, frecuencia y geometría de la línea. Tanto la Impedancia Característica (Zo) como la Constante de Propagación (), en general, son de naturaleza compleja, es decir: √

√

Más adelante profundizaremos en estos parámetros secundarios. 1.2.3 Constante de Profundidad Pelicular. La constante de profundidad pelicular (Skin Depth), también se le suele decir profundidad de penetración o profundidad de piel) tiene como unidades de magnitud el metro (m) y viene expresada como: √

√

√

donde: Resistividad ( ). Conductividad (S/m) - sigma del conductor Frecuencia (Hz). Permeabilidad (H/m) Frecuencia angular (rad/s) Resistividad de un material metálico tiene unidades de ( ) y la conductividad eléctrica del material metálico, que es la inversa de la conductividad eléctrica (S/m) la cual tienen como expresión: ( ) En la tabla 01 se especifican la resistividad de algunos materiales, ejemplo un conductor de cobre tendrá una resistividad y una conductividad dada por: 5,814 x 107

7

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Otras unidades para la resistividad es: (

)

El ángulo de disipación generalmente se expresa con la letra griega minúscula delta  pero en nuestro caso para no confundirlo con la Profundidad Pelicular se representará por o , luego la tangente del ángulo de disipación es: Según la figura 02 ̂ |tan |

|tan

|

̂

Figura 02 Ángulo de disipación

La conductividad del dieléctrico viene expresado como: tan La resistencia depende la resistividad () de los conductores y de la frecuencia (f). En altas frecuencias, la resistencia aumenta con la frecuencia debido al efecto pelicular (Skin effect), efecto que despreciaremos en este trabajo, ya que la corriente penetra sólo una pequeña capa cercana a la superficie del conductor. La inductancia es consecuencia del hecho de que todo conductor por el que circula una corriente variable tiene asociada una inductancia. Como la línea está formada por dos o más conductores separados por un dieléctrico, constituye, por tanto, un condensador cuya capacidad depende del área de los conductores, su separación y la constante dieléctrica (µr) del material que los separa. Finalmente, la conductancia es consecuencia de que el dieléctrico no es perfecto y tiene resistividad finita, por lo que una parte de la corriente se “fuga” entre los conductores y, junto con la resistencia en serie contribuye a las pérdidas o atenuación en la línea.

8

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) En la tabla 04 se muestra, en forma general y particular a un tipo de línea de transmisión de un fabricante, los parámetros distribuidos según sea bifilar o coaxial y si están trabajando bajo consideraciones de frecuencias altas o bajas.

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UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Tabla 01 Material* Acero inoxidable 301

Tabla 02 Permitividad Relativa (

Resistividad (Ω·m) 72,00 x 10

tan

Dieléctrico

-8

)*

Aire

1,00059



Alcohol etílico

2,5

100 x 10-3

Aluminio

2,82 x 10-8

Baquelita

4,74

22,00 x 10-3

Cobre

1,72 x 10-8

Cuarzo

3,8

0,75 x 10-3

Estaño

11,50 x 10-8

CO2

1,001



Grafito

60,00 x 10-8

Hielo

4,2

50,00 x 10-3

Hierro

9,71 x 10-8

Hule

2,5  3

2,00 x 10-3

Latón

6,67 x 10-8

Madera Seca

1,5  4

10,00 x 10-3

Níquel

6,40 x 10-8

Mica

5,4

0,60 x 10-3

Oro

2,35 x 10-8

Nieve

3,3

500,00 x 10-3

Plata

1,47 x 10-8

Nylon

3,5

20,00 x 10-3

Platino

10,60 x 10-8

Oxido de Aluminio

8,8

0,60 x 10-3

Tungsteno

5,49 x 10-8

Papel

3,7

8,00 x 10-3

Wolframio

5,65 x 10-8

Plexiglás

3,45

30,00 x 10-3

Zinc

5,99 x 10-8

Poliestireno

2,56

0,05 x 10-3

Polietileno

2,26

0,20 x 10-3

Polipropileno

2,25

0,30 x 10-3

Porcelana

6

14,00 x 10-3

Teflón

2,1

0,30 x 10-3

Tierra Seca

2,8

50,00 x 10-3

Vidrio

47

2,00 x 10-3

Vidrio Pírex

4

0,60 x 10-3

*Resistividad del material (@ 20 °C - 25 °C)

*Permitividad Relativa o constante dieléctrica

En física se denomina permeabilidad magnética a la capacidad de una sustancia o medio para atraer y hacer pasar a través de ella campos magnéticos, la cual está dada por la relación entre la inducción magnética existente y la intensidad de campo magnético que aparece en el interior de dicho material. La magnitud así definida, el grado de magnetización de un material en respuesta a un campo magnético, se denomina permeabilidad absoluta y se suele representar

10

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) por el símbolo μ: | ⃗ |⁄| ⃗ | donde B es el flujo magnético en el material, y H es intensidad de campo magnético. Tabla 03 Permeabilidad Magnética ( ) μ Material μr −6 1,25663753×10 1,00000037 Aire 1,256665×10−6 1,000022 Aluminio −6 1,25643×10 0,999834 Bismuto −4 1,26×10 Carbón Acero 100 Concreto (seco) 1 −6 Cobre 1,256629×10 0,999994 −6 1,2566371×10 1,0000000 Hidrogeno −3 6,3×10 Hierro (99.8% puro) 5000 Hierro (99.95% puro) 0,25 200000 1,26×10−4 - 7.54×10−4 Níquel 100 – 600 −2 1.0×10 Permaloy 8000 −6 1,256970×10 1,000265 Platino Superconductor 0 0 −6 Teflón 1,2567×10 10000 4π×10−7 (μ0) Vacío 1, exacto −6 1,256627×10 0,999992 Agua 1,25663760×10−6 1,00000043 Madera

11

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Parámetros Distribuidos

Tabla 04 Parámetros Distribuidos de una Línea de Transmisión de cables Línea Bifilar Línea Coaxial Baja Frecuencia Alta Frecuencia Baja Frecuencia >a a

Resistencia (R) Ω/m Inductancia (L) H/m

(

(

cos

(

))

(cos

(

{

))

Conductanc ia (G) S/m

cos

(

cos

(

( ) [

Capacitanci a (C) F/m

)

( )]}

)

(

)

d = Separación entre conductores = Radio de los conductores. Tangente de pérdida.

= Radio exterior del conductor interior. = Radio interior del conductor exterior. = Radio exterior del conductor exterior. Tangente de pérdida. = Espesor del conductor exterior.  = Profundidad Pelicular

Las aproximaciones ( ) se utilizan cuando ⁄

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Alta Frecuencia 
UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Ejemplo 01 Una línea bifilar con dieléctrico aire está construida con dos conductores de cobre de diámetro 2 =2,6 mm, la separación entre conductores es de D=20 cm. Determine R, L y C para las siguientes frecuencias: a. f= 1000 Hz b. f = 10 KHz c. f = 50 MHz Solución: Como el dieléctrico es aire lo consideraremos como espacio vacío, para lo que:

 CASO (a): Para una frecuencia de = 1000 Hz se tiene que la Profundidad Pelicular o profundidad de penetración es de: √

√

√

√

.

Puesto que se tiene que por lo tanto se el problema se resuelve utilizando la consideración de baja frecuencia (ver tabla 02).

(

Ejemplo

)

13

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Dado el coseno hiperbolico:

y si

, aproximadamente

puede aproximar por

, el resultado de la operación

( ) se

( ). ( )

( (

)

) ( )

( )  CASO (b): Para una frecuencia de penetración es de:

(

) = 10 KHz se tiene que la profundidad de

√

√

Puesto que se tiene que por lo tanto el problema se resuelve utilizando la consideración de alta frecuencia (ver tabla 04).

√

√

14

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) √ Dado que los parámetros distribuidos de L y C no dependen de la frecuencia estas serán igual que el caso (a) se tiene que:

 CASO (c): Para una frecuencia de penetración es de:

= 50 MHz se tiene que la profundidad de

√

√

.

Puesto que se tiene que por lo tanto se el problema se resuelve utilizando la consideración de alta frecuencia (ver tabla 02).

√

√

√ Dado que los parámetros distribuidos de L y C no dependen de la frecuencia estas serán igual que el caso (a) se tiene que:

1 KHz

10 KHz

15

50 MHz

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Se puede observar que al cambiar de frecuencia baja a frecuencia alta el modelo responde con un valor de Resistencia menor pero luego sigue subiendo. Como se puede observar, por lo general, a medida que la frecuencia aumenta la resistencia por metro también aumenta, de ahí que se puede concluir que a más frecuencia más atenuación tendrá una línea de transmisión. Esto se observa, ya que las ecuaciones de resistencias son inversamente proporcionales a la frecuencia.

16

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) 1.2.2 Ecuaciones de las Líneas de Transmisión. La figura 02 representa un sistema de transmisión en la que se resaltan los parámetros más fundamentales de las mismas.

Figura 03. Sistema de líneas de transmisión de energía.

G= Zr = s= Vs = Is = Zo = Ir = Vr = = = = t=

Generador. Impedancia de entrada de la Carga. Distancia desde la carga al punto donde se desea medir Vs e Is. Tensión de la Línea a una distancia “s” de la Carga. Corriente en la Línea en un punto “s” de la Carga. Impedancia Característica de la Línea. Corriente que circula por la Carga. Tensión en los terminales de la carga. Factor de Propagación (Letra griega Gamma)= +j Constante de atenuación de la línea en Np/m. (Letra griega Alpha) Constante de Corrimiento de fase (rad/m). (Letra griega Betha) Tiempo (s)

sabemos que:

refiriéndose a la figura 01 se tiene lo siguiente: (

)

(

)

Derivando con respecto a la distancia “s” la primera y derivando con respecto al tiempo “t” la segunda se obtiene:

17

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016)

(

)

(

Sustituyendo

)

de la segunda en la primera (

)

(

)

La ecuación anterior constituye una de las dos Ecuaciones del Telegrafista. En ella se expresa la relación de la tensión a lo largo de la línea como función de la posición en dicha línea (s), del tiempo (t) y de parámetros característicos de la línea (R, L, G, C), los cuales a su vez están fijados por la geometría de la misma y por sus materiales constructivos. Nuevamente (

)

(

)

Derivando con respecto t la primera y derivando con respecto a s la segunda se obtiene: (

)

(

Sustituyendo

)

de la primera en la segunda

18

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) (

)

(

)

La ecuación anterior constituye la segunda de las Ecuaciones del Telegrafista. En ella se expresa la relación de la corriente a lo largo de la línea como función de la posición de dicha línea (s) , del tiempo (t) y de parámetros característicos de la línea (R, L, G, C). Oliver Heaviside físico, ingeniero eléctrico, radiotelegrafista y matemático inglés. Nació en Londres el 18 de mayo de 1850, falleció en Torquay (Inglaterra) el 3 de febrero de 1925, desarrolló un modelo matemático de línea de transmisión, conocido como ecuaciones del telégrafo, que describe la variación instantánea de la tensión y corriente eléctricas a lo largo de un conductor. La teoría fue desarrollada para las líneas de transmisión de comunicaciones, como los hilos telegráficos y los conductores de radiofrecuencia; sin embargo, también es aplicable en su totalidad al diseño de las líneas de transmisión de potencia. El modelo demuestra que la energía eléctrica puede reflejarse en la línea, y que se podían formar patrones de onda conocidos, dicho modelo se lo conoce como la ecuación del telégrafo.

Reagrupando las dos ecuaciones en un sistema de ecuaciones donde, para efectos de simplificar, vamos a considerar tanto como dependen del tiempo y de la variable espacial “s” por lo que se tiene:

{ A estas ecuaciones se les llama, por razones históricas las ecuaciones del telegrafista denominadas también ecuaciones de onda, las cuales son ecuaciones diferenciales de segundo orden con variables separables.

19

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016)

se trata de ecuaciones de segundo orden, homogéneas, y su solución de raíces repetidas con signos opuestos

√ Si derivamos Vs

Como se puede observar r es una especie de constante de propagación, pues bien la llamáremos así y la bautizaremos como gamma . √

Si derivamos Vs despejando Sabiendo que: √

√

Se tiene entonces:

20

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) √

√ √

Para lo cual reescribiríamos la ecuación así

{

Para s=0 m, se tiene la tensión y la corriente en la carga

respectivamente:

{ {

[ ] [

||

[ ]

||

]

|

|

||

(

||

(

21

)

)

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Sustituyendo se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

{ En forma matricial es la siguiente:

[ ]

[ ] [

]

Otra forma de expresar este sistema de ecuaciones de forma matricial pero en función de VR e IS es valiéndose de las relaciones hiperbólicas siguientes: cos

sen

cos

Luego sustituyendo las variables hiperbólicas, se tiene: cos {

por sus correspondientes ecuaciones

sen

sin

cos {

cos

[

]

[

cos

sin

sin

cos

cos [

sen

sin

cos [ ]

sen

][

]

sin

sin

cos

]

[ ]

Ahora bien definamos los siguientes términos: V’ = Tensión incidente.

I’ = Corriente incidente.

22

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) V’’ = Tensión reflejada.

I’’ = Corriente reflejada.

Nota: algunas veces se denotan y como y forward y reverse (análogo para la corriente e ). ⏟

respectivamente del inglés

⏟

⏟

⏟

Impedancia Característica. Si contáramos con una línea de longitud infinita (en la práctica se logra lo mismo con una muy larga), podríamos verificar que cuando aplicamos una tensión de radiofrecuencia a sus terminales de entrada, se produce una corriente idéntica a la que existiría si en lugar de la línea se hubiera conectado una resistencia de cierto valor. Este valor de resistencia recibe el nombre de "impedancia característica de la línea". La impedancia característica de las líneas habitualmente empleadas en la estación es prácticamente resistiva en los rangos de frecuencia usuales (pero no siempre es así). El nombre deriva de un concepto de la teoría de los circuitos que abarca casos más generales. La impedancia característica de las líneas comunes puede variar desde unos pocos hasta varios centenares de Ω. La impedancia característica

viene definida como: √

√

23

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Para corriente continua la frecuencia es f=0 Hz por lo que = 0 rad/s

Para corriente alterna en alta frecuencia donde y

√

√ | | | |

| | | |

la resistencia máxima que se presenta en la línea viene dada por: | |

| |

| | | |

| | | |

dividiendo por Zo | | | | | |

| | | | | |

| |

| |

| |

| | | |

| | | |

| | | |

| |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | | por otra parte la resistencia mínima será: | |

| |

dividiendo por Zo | | | | | |

| | | | | |

| |

| |

| | | | | |

por lo tanto

Obviamente que: √

24

| |

| | | |

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Z(Ω) 50+50j 20-30j 45+23j 45+36j 80

Y(S) 30+30j 30-20j 100+70j 45-78j 40

Zo(Ω) 1,2910 0.9806 - 0.1961i 0.6419 - 0.0444i 0.7861 - 0.1482i 1.4142

Ejemplo 02

√

√

√

( )

√

√

√

√

√

√

Ejemplo 03

√

√

√ ( )

√

√

√

√

25

√

Ejemplo

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016)

√

(√(

√

)

sgn

√

√(

sgn

√

))

{

√ (√(

√ √(

)

√

.

))

.

Se escoge la positiva ya que la resistencia tiene que ser positiva √

(

√

.

.

√

√

.

)

.

1.3 La línea sin pérdidas (Lossless). La línea no distorsionante. Ya que las ecuaciones del telegrafista son de difícil resolución para el caso general de las líneas con pérdidas antiguamente se trataban de limitar a ciertas características, y este hecho hacía que las ecuaciones del modelo se simplificaran enormemente. Hoy en día los cálculos se realizan fácilmente con ayuda de la tecnología de las computadoras obteniéndose resultados rápidos y sin complicaciones sin tener que acudir a caracterización o simplificación alguna. Pero no obstante en este trabajo abordaremos estas clasificaciones ya que desde el punto de vista físico es interesante tomarlas en cuenta para tener una idea más precisa del comportamiento de los diferentes parámetros. Las líneas de transmisión se usan en una amplia gama de frecuencias y presentan ciertas características particulares que exigen una consideración más detallada. Dentro de estas características podemos mencionar las siguientes: 26

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ó {

sin ó {

sin

ó

Tabla No. 04 Consideraciones

Líneas Para corriente DC Sin pérdida Con baja pérdida De baja frecuencia De alta frecuencia Sin distorsión

R=0 Ω y G = 0 S

1.3.1. Líneas con aplicación de corriente continua (DC). En este caso como es corriente continua su frecuencia es nula es decir f=0 Hz. Por lo que su frecuencia angular será también cero (=0). √ √

√

√ √ √

Si se saca su componente real e imaginaria se obtiene: √ 1.3.2. Líneas sin Pérdidas. Las características de una línea sin pérdida es que R=0 Ω y G = 0 S, por lo que:

27

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016)

√

√

√ √

√ √

√

Si se saca su componente real e imaginaria se obtiene: √ 1.3.3. Líneas con baja Pérdidas. Aquí tendremos la siguiente condición: y R es pequeña frente a L √

√

√ (

√

)

√ (

)

Por el teorema de expansión binomial ⁄

√

√

Si además de baja perdida la frecuencia es alta Zo nos daría una resistencia pura ya que el segundo término desaparece. √

√ √

√

28

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016)

√

(

)

√(

)

(

)

√

√

(

)

Por el teorema de expansión binomial, ante el sentido de aproximación, se tiene: ⁄

√

(

)

√

√

Si se saca su componente real e imaginaria se obtiene: √

√ 1.3.4. Líneas de baja frecuencia.

√

√

√

√ √

√

√

√

Si se saca su componente real e imaginaria se obtiene: √

√

1.3.5. Líneas de alta frecuencia Para esta consideración asumiremos las siguientes relaciones:

29

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016)

Estas consideraciones hacen que la Impedancia y la Admitancia se expresen de tal forma: Y esto tiene como efecto que la impedancia característica será, para líneas de baja pérdida, la siguiente: √

√

√

√

Zo será una resistencia pura. √

√ Si

se tiene que la constante de propagación es: √

√ √ Donde se observa que: ( Si

)

√

y1m= √

(

)

para el sistema MKS, entonces: √

√

√

1.3.6. Líneas sin distorsión Existe un caso muy interesante y a la vez de gran aplicación en la práctica, que determina que la línea aun con pérdidas nulas, no introduzca distorsión en las ondas que se propagan a través de ella. A estas líneas particulares se las conoce como líneas de Heaviside, líneas libres de distorsión o líneas compensadas. En estas líneas se cumple la siguiente relación: ⁄

√

⁄

√ (

√

30

)

√

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) En el caso de que la frecuencia sea alta y también que R y G sean muy pequeñas podemos calcular la constante de propagación utilizando la serie del binomio:

⁄

⁄

Para frecuencias altas se considera que

, entonces:

⁄

√

√ √

√

⁄

√

⁄

√

(√ √

√

√

√

) (√

√ (

)

√

(

(

√

Para R y G pequeñas, se tiene que

)

√ )√

√

√

√

√

√

)(

√

)

√

, por lo que: √

√

Si la impedancia característica para este caso es: 31

√ √ ⁄ , sustituyendo se tiene:

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) ( (

)

√ √

)

Las diferencias de la línea sin pérdidas respecto de la línea de Heaviside es que en esta última aparece una atenuación exponencial en las ondas incidentes y reflejada. Esta atenuación no depende de la frecuencia de la onda y, por lo tanto no produce distorsión en la misma. Esto significa que las diferentes frecuencias componentes de la onda, incidente o reflejada, sufren la misma atenuación independiente de su frecuencia. Esto es por la anterior particularidad que este tipo de líneas se denomine libre de distorsión o compensada. 1.4 Consideraciones respecto a la energía para los casos sin pérdida y no distorsionante Partiendo de la constante de propagación obtenida en el ítem anterior: (

)

√

Se tiene que la constante de atenuación y la constante de fase (

√

)

donde ⁄ = es la atenuación causada por la energía que se pierde en los conductores. ⁄

= es la atenuación causada por la energía que se pierde en el dieléctrico.

32

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) UNIDAD 2: EL CASO ARMÓNICO (EXCITACIÓN SINUSOIDAL). Para el caso armónico nos referiremos en ésta guía lo referente a trabajar con electricidad alterna (Corriente alterna AC), por lo que hablaremos un poco de fasores antes de tocar el tema.

Un fasor es una representación gráfica de un número complejo que se utiliza para representar una oscilación, como se observa en la figura superior se puede representar una onda senoidal (Corriente Alterna) a través de un vector al cual llamaremos fasor. Supóngase una tensión senoidal dada por: cos de la ecuación de Euler se tiene que: cos

sin

cos

donde se observa fácilmente que: cos Luego se puede transformar la tensión senoidal dada en:

33

sin

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) (

)

(

)

Consideremos, por definición, lo siguiente: {

En el caso de la corriente cos Consideremos, por definición, lo siguiente: {

igualmente para la corriente se tiene:

cos

{

[⏟

[⏟

] }

{

}

]

Comprobemos esto, partiendo de: cos [cos

cos

cos

sin

sin

sin

34

cos

sin

cos

sin

sin

]

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) {cos

cos

sin

sin

[cos

sin

}

cos

sin

]}

cos

ahora tomando la parte real únicamente: {cos

cos

sin

sin

Igualmente para la corriente se tiene que: [ ⏟

cos

]

{

[⏟

]

}

{

}

La potencia promedio puede ser expresada en funcion de los fasores de corriente y voltaje ccomo: {

}

{

}

cos

cos

Ejercicio 2 Dada cos y cos a) Encontrar los fasores de corriente y voltaje. b) Encontrar la potencia promedio disipada en un periodo T. Solución. Los fasores, por definición, en este caso serán: Luego la potencia promedio es: cos

cos

En aras de la exhaustividad, cabe señalar que la tensión de estado estacionario v(t) también puede ser definida como la parte imaginaria de { } si la unidad de entrada es sen ya que: [cos

sin

sin

cos 35

]

sin

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Ejercicio 3 Hallar la tensión a través de Fasores en el análisis de un circuito RC en paralelo Corriente que sale del generador Corriente que pasa por el condensador Corriente que pasa por la conductancia Tensión en los bornes de los elementos Figura 04. Circuito RC paralelo

Solución.

dado que:

Siendo su derivada con respecto al tiempo:

Sustituyendo (

)

Agrupando términos

36

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016)

2.1 Solución en régimen estacionario de la ecuación diferencial de la línea con excitación sinusoidal.

{

[⏟

]

[⏟

]

cos

{

}

cos

{

}

{ 2.2 Aplicación de las condiciones de contorno a la solución hallada.

{

37

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Las condiciones de contorno y las condiciones iniciales

2.3 Consideraciones respecto a la atenuación. Impedancia en cualquier punto de la línea. 2.3.1. Constantes de Propagación La Constantes de Propagación viene expresada como √

√ 2.3.2. Constantes de Atenuación

La Constantes de atenuación viene expresada como [

]

√

[√

]

⁄

El coeficiente de atenuación es una función de la frecuencia de la señal y la construcción física del cable. Si se incrementa la frecuencia de la señal, también lo hace su atenuación. El coeficiente de atenuación puede expresarse con las siguientes unidades [

]

[

]

Recordemos que como relacionar los Decibel y el Neper ( ) Si

log

( )

log

(

)

entonces: (| |)

log

(| |)

38

log

(| |)

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ln (| |)

(| |)

log

(| |)

(| |)

Si despejamos | | en ambas ecuaciones e igualamos, se tiene: (|

log

(

(|

|)

(|

|)

|)

⁄

(|

|)

log

)

(| |) (| |)

log

(| |)

log

(

(|

|)

)

Para (| |) log (

(| |)

)

2.3.3. Constantes de Corrimiento de Fase. La Constantes de Corrimiento de Fase viene expresada como [

]

√

[√

]

⁄

La constante  también es llamada factor de fase, coeficiente de propagación de fase o constante de propagación de fase. Y se mide en el sistema MKS como rad/metros.

39

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) 2.3.4. Impedancia en cualquier parte de la línea. Partiendo de las siguientes ecuaciones:

{

Utilizando la identidad de Euler cos

sin cos cos

cos sin sin

cos cos

cos cos

sin sin sin

sin sin

Los grados eléctricos son: sustituyendo

tan tan

Generalizando se puede observar en las gráficas 5 y 6 como debe ser el signo de theta según sea la impedancia que se busque.

Figura 06. Conocer la de la izquierda

Figura 05. Conocer la de la derecha

40

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Luego para hallar cualquier impedancia a lo largo de la línea de transmisión (Zs) conociendo la impedancia de la carga (Zr) emplearemos la siguiente ecuación, con theta () positiva:

2.4 Coeficiente de reflexión de tensión y de corriente. El coeficiente de reflexión K al que también varios autores lo representan con la letra griega mayúscula, gamma y con la letra griega rho () representan a su | |. En nuestro caso no la debemos confundir con la módulo, es decir, resistividad. Este coeficiente está definido como la relación entre la onda reflejada y la onda incidente a la entrada de la impedancia de carga, es decir en s=0 m. Es decir es un coeficiente que estará entre los valores de cero (0) y uno (1) y es adimensional. |

|

|

|

41

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Ejemplo 04 ¿En qué factor de magnitud de la onda del fasor de voltaje se reduce, si la onda experimenta una atenuación de 1 Néper (Np)? Solución Si se reduce, es decir si se atenúa, consideramos un número negativo al Néper ln

-

Luego la magnitud del voltaje se reduce en un factor de e 1, es decir 0,36788 Ejemplo 05 Si una onda de corriente sufre una reducción en magnitud en un factor de 10 al avanzar a través de la longitud de la línea de transmisión ¿Cuál es la atenuación de la sección de la línea de transmisión en néperes? Solución Reducción= atenuación

ln (

)

Ejemplo 06 Se transmite potencia eléctrica a una cierta frecuencia desde una fuente a una carga por una línea de transmisión uniforme de 500 m de longitud, sin ondas reflejadas de voltaje o corriente desde la carga. El voltaje de entrada a la línea es de 250 Vrms, y el voltaje de carga es de 220 Vrms ¿Cuál es la atenuación total de la línea y cuál es el factor de atenuación de la línea a la frecuencia de esta potencia? Solución La atenuación total de la línea es N néperes donde ln (

)

El factor de atenuación es la atenuación por unidad de longitud. Luego  = N/500 = 0,128/500 = 2,566 x 10-4 Néper/m

42

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Ejemplo 04 Se tiene una línea telefónica de longitud 1830 m, con los siguientes parámetros primarios: R = 0.0533 Ω/m; L = 6.21 ×10-7 H/m; C = 3.85 × 10-11 F/m; G = 9.32×10-10 S/m. Calcular para un tono de 1000 Hz, Zr =1000 Ω, VR = 48 V, e IR=100 A. Calcular: a) Z0. b) . c) . d) VS @ 1830 m. e) IS @ 1830 m. Solución: √

√

√

√

√

√

.

.

Ω

.

.

.

Ω

.

.

. .

.

.

. .

.

.

.

Ω

Ω

Ejemplo 07 Un cable coaxial con dieléctrico solido trabaja a una frecuencia de 300 MHz, sus características son , =0,0156 Np/m, y la constante de velocidad es de 0,66. La línea tiene 75 m de longitud y no presenta reflexión. En uno de los extremos se conecta un generador de 300 MHz con una tensión AC (Corriente Alterna) de 50 VRMS y una impedancia de interna de . 43

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016)

FIGURA 07 Sistema de Generador-Línea-carga

Determinar: a) La magnitud del voltaje en el extremo del generador y en el extremo de la carga. b) La potencia en ambos extremos. c) ¿De cuántas longitudes de onda es la línea? Solución:

FIGURA 08 Sistema de Generador-Línea-carga

a) Para hallar la magnitud del voltaje en el extremo del generador y en el extremo de la carga se tiene: A través de un divisor de tensión se obtiene Vo, tal y como sigue:

Utilizando la siguiente ecuación

Tomando en cuenta que la línea no tiene reflexión se tiene que

44

, por lo que:

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Obsérvese que Vs es la tensión a una distancia “s” de la carga, luego si recorremos 75 m de la carga hacia el generador encontramos a Vo. Por lo que se tiene, en este caso, que .

⁄

(

)

.

b) Para hallar la potencia en ambos extremos. . .

.

c) Las longitudes de onda es la línea en este caso serán:

. .

45

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) UNIDAD 3 EL CASO ARMÓNICO. LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS. ANÁLISIS GENERAL. 3.1 Introducción. Especialización de las soluciones al caso de las líneas sin pérdidas. De la ecuación de la atenuación α √

[√

]

⁄

y del corrimiento de fase √

[√

]

⁄

se observa que ambas son funciones de la frecuencia, por lo que la  y  no son uniformes en toda la banda siendo este hecho relevante para que la línea de transmisión presente distorsión que en algunos de los casos puede ser severa, alterando considerablemente la señal recibida. A fin de ilustrar esto, en la figura 3 se muestra la variación de la constante de atenuación, entre 300 y 3400 Hz, de una línea telefónica con los siguientes parámetros primarios: R = 0.0533 Ω/m; L = 6.21 ×10-7 H/m; C = 3.85 × 10-11 F/m; G = 9.32×10-10 S/m. -5

14

x 10

Gráfica de  y  en función de la frecuencia en Hz

13 12

 (Np/m) y (rad/m)

11 10 9 8 7 6

 (Np/m)

5

(rad/m) 500

1000

1500 2000 frecuencia, (Hz)

2500

3000

Figura 09 Atenuaciones y corrimiento de fase en una línea telefónica en función de la frecuencia con R = 0.0533 Ω/m; L = 6.21 ×10-7 H/m; C = 3.85 × 10-11 F/m; G = 9.32×10-10 S/m (Gráfica realizada por el autor usando Matlab)

46

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Para esta línea particular, la constante de atenuación varía desde alrededor de 4,3784×10-5 neper/m hasta 13,098×10-5 neper/m en la parte alta de la banda. Estas cifras resultan más significativas si se supone una línea, por ejemplo, de 25 Km y se expresa la atenuación en dB (1 dB = 8.686 Neper). La atenuación mínima resulta de 8.69 dB en bajas frecuencias, y la máxima, de 29.32 dB en altas frecuencias. Es decir, los componentes de alta frecuencia de la señal sufre, en esta línea, una atenuación de 20.63 dB respecto a los de baja frecuencia. Para señales de voz, la distorsión resultante tendría como consecuencia la pérdida del timbre de la voz original y, posiblemente, la ininteligibilidad del mensaje, lo que obliga emplear técnicas para corregir esta situación y hacer que la atenuación sea la misma a todas las frecuencias de la banda. La técnica más frecuente es la ecualización y consiste en predistorsionar la señal de modo que se compense la característica de atenuación del sistema. En el caso anterior, la señal puede predistorsionarse, o ecualizarse a la entrada de la línea mediante un filtro cuya característica sea la inversa de la atenuación en la línea, como se muestra en la figura 4.

Figura 10 Atenuación de la línea y atenuación del ecualizador en una línea telefónica en función de la frecuencia con R = 0.0533 Ω/m; L = 6.21 ×10-7 H/m; C = 3.85 × 10-11 F/m; G = 9.32×10-10 S/m (Grafica realizada por el autor usando Matlab)

En el campo de la telefonía esta ecualización puede realizarse en los repetidores, que son amplificadores intercalados en la línea para restaurar el nivel de la señal a lo largo de ésta.

47

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Se emplea también una técnica conocida como Pupinización (Esta técnica se debe a Michael Pupin (1838-1935), físico e ingeniero americano, de origen yugoslavo), que consiste en intercalar bobinas de carga a ciertos intervalos en la línea de transmisión, de modo que se consigue una característica similar a la de la figura 4, es decir de atenuación constante. Para ello, la inductancia de las bobinas que se intercalan debe cumplir la condición de Heaviside, en esencia afirma que existe una relación de los parámetros distribuidos dada por:

Figura 11 Aplicación de las bobinas de Pupin sobre una línea de pares de cobre

Cuando se cumple la condición de Heaviside la atenuación es mínima e independiente de la frecuencia, no hay distorsión lineal y el tiempo de propagación es constante. La bobina de Pupin o bobina de carga es un inductor que colocado a intervalos regulares a lo largo de un circuito telefónico formado por hilos de cobre hace que disminuya la atenuación y la distorsión de retardo del circuito en la gama de las frecuencias vocales, con el consiguiente aumento del alcance de la comunicación (ver figura 05). En resumen la Pupinización es procedimiento que fue desarrollado por Michael Pupin, basándose en los estudios realizados por Oliver Heaviside (físico, ingeniero eléctrico, radiotelegrafista y matemático inglés. Nació en Londres el 18 de mayo de 1850, falleció en Torquay (Inglaterra) el 3 de febrero de 1925). En los antiguos circuitos telefónicos de hilo de cobre desnudo de 2 ó 3 mm de diámetro, tendidos sobre aisladores, esta condición se cumplía con cierta aproximación para las frecuencias vocales. El problema surgió con los cables de pares trenzados, donde R es muy alta al ser los conductores de menor diámetro, C también es alta al estar muy próximos entre sí debido al trenzado, en tanto que L es pequeña y G muy pequeña (el aislamiento entre conductores es muy alto). Para tratar de cumplir la condición de Heaviside el único parámetro sobre el que se podía actuar era L. Para aumentarlo, se apuntaron dos procedimientos:

48

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) El denominado Krarupización ideado por el danés Krarup que consistía en rodear los conductores de cobre con otro alambre de material magnético con lo que aumenta la inductancia del circuito de forma homogénea. Este método era extremadamente caro y solo se usó en algunos cables submarinos.  El otro método es la pupinización consistente en aumentar la inductancia, de forma distribuida, mediante la inserción a intervalos regulares de bobinas Pupin o de carga. Hoy en día este tipo de bobinas no se utilizan como bobinas aisladas, ya que cada repetidor las contempla, esto aunado a que ayuda un poco el hecho de utilizar par trenzado como líneas de transmisión en telefonía. En la Figura 05 se puede apreciar la distribución de las bobinas y las secciones de carga. Se denomina sección de carga a la distancia (L) que separa dos bobinas de carga consecutivas. El circuito normalmente se termina a media sección (L/2) en cada uno de sus extremos. Aunque existen distintas longitudes de secciones de carga, prácticamente solo se utiliza, en España, la distancia (L) de 1830 m con bobinas del tipo H66. La letra H indica que la longitud de la sección de carga es de 1830 m y el número 66 indica la inductancia en mH de la bobina. Durante muchos años esta ha sido una solución válida para aumentar el alcance de los circuitos telefónicos por pares de cobre. Actualmente, debido a que los circuitos dotados con bobinas de carga solo son aptos para su explotación en frecuencia vocal (inferiores a 3400 Hz) y con motivo de la introducción de tecnologías como ADSL y otras, que utilizan frecuencias por encima de las vocales, se están retirando estas bobinas de los cables, especialmente de los que forman el bucle de abonado. 

Figura 12 Bobinas de Pupin

49

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Tabla 01 principales parámetros de las bobinas de Pupinización d uso más común.

Figura 13 Detalle del arrollado de las bobinas de Pupin

√

Ejercicio 08 Una línea telefónica (300 y 3400 Hz) con los siguientes parámetros primarios: R = 0.0533 Ω/m; L = 6.21 ×10-7 H/m; C = 3.85 × 10-11 F/m; G = 9.32×10-10 S/m. Halle Zo. Solución Hallemos una frecuencia central

√

√

.

Ω

.

. .

50

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) 3.2 Velocidad de fase y longitud de onda. Impedancia. La velocidad de fase se denota por que significa fase y está dada por:

donde “p” proviene del inglés “phase”

( donde

⁄

)

⁄ (Velocidad d la Luz)

f = frecuencia en Hz P = Factor de Velocidad = v/c. P es un numero adimensional entre 0 y 1 y puede venir expresado en porcentaje.

La longitud de onda en un cable se calcula con la siguiente formula: ⁄

√ √

√

En los dieléctricos

√

√

√

, por lo que: √

√

√

Ejercicio 09 Una línea que posea una cv=67% quiere decir que la velocidad a la cual se propaga la onda a través de ella es de 67% de la velocidad de la luz, luego la velocidad de fase será: ⁄

⁄

imaginemos ahora que el sistema trabaja a 125 MHz, para lo cual será: ⁄ ⁄

51

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Y el factor de fase  viene dado por:

(

)

donde  son los grados eléctricos o los grados de fase de tensión o corriente en el punto s de la línea. Ejercicio 10 Calcular las constantes de propagación y de atenuación, la velocidad de fase y la impedancia característica a f =10 MHz de una línea con los siguientes parámetros: a) L = 1.2 µHy/m, C = 30 pF/m, b) L = 1.2 µHy/m, C = 30 pF/m, R = 0.1 Ω/m, c) L = 1.2 µHy/m, C = 30 pF/m, R = 0.1 Ω/m, G = 10-6 S/m. Solución En el caso (a) se trata de una línea ideal: √

√

√

Para el caso (b) hay pérdidas en los conductores pero modo que es una línea de baja pérdida, por lo que:

√

(

)

(

52

(

)

) de

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016)

√

√ (

√

)

√

(

)

√

En el caso (c) hay pérdidas conductoras y dieléctricas. Usamos las fórmulas generales: √

Para la frecuencia cero (o) se observa que: √

|

Se observa que las pérdidas en (b) y (c) no introducen diferencias significativas en los valores de los parámetros fundamentales de la línea respecto del caso ideal. Ejercicio 11 Graficar la variación del módulo de la impedancia característica en función de la frecuencia para la línea del Ejemplo previo Solución El módulo de la impedancia característica es |

|

|√

53

|

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) En el caso (b) no hay pérdidas dieléctricas, de modo que la impedancia queda √ ⁄ indefinida para ω→0. Para ω→∞, . En la gráfica de la inferior se presenta en azul la variación de | | con la frecuencia. √ ⁄

En el caso (c), para ω → 0 rad/s,

Gráfica de |Zo| 700 R<< L G<< C Perdidas conductroras y dielectricas

650 600 550



500 450 400 350 300 250 200

0

5

10

15

20 25 30 Frecuencia KHz

35

40

45

50

Figura 14. Gráfica del valor absoluto de Zo con respecto a la frecuencia. (Grafica realizada por el autor usando Matlab)

La gráfica es el trazo en rojo. En alta frecuencia el valor es el mismo que en el caso (b). En ambos casos | | decrece hacia el valor de alta frecuencia

54

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) 3.3 Coeficiente de reflexión de tensión. Análisis del voltaje y la corriente en función del coeficiente de reflexión de tensión. |

|

Como se puede observar si no existe onda reflejada el valor del coeficiente de reflexión es cero ( ) ya que o son cero o , por el contrario si toda la onda se refleja con la misma fase o ( ) pero si se refleja totalmente con fase 180º o ( ). Tabla 05. Cuadro de reflexión para diferentes cargas ⁄ | | Cargas (ZR) 1+j0 0 0 Indef. Resistiva ( ) 0+j0 -1 1 Corto Circuito ( )  1 1 0 Circuito abierto ( ) +j0 2+j0 1/3 1/3 0 Resistiva ( ) ⁄ ) 0,5+j0 -1/3 1/3 Resistiva (  0+j j 1 Inductiva ( ) /2 0-j -j 1 Capacitiva ( ) /2  ⁄ ) 1/n n rel="nofollow">0 Resistiva ( N n>1

0

Resistiva (

)

Ejercicio 12 Obtenga el diagrama fasorial de una línea de transmisión con y hallar: a) Los vectores de la tensión incidente, reflejada y total en la carga. b) Los vectores de la corriente incidente, reflejada y total en la carga. c) Los vectores del inciso (a) pero a 60º de la carga. d) Hallar los puntos de tensión de máximo y mínimo valor. e) Hallar los puntos de corriente de máximo y mínimo valor. Solución

55

y

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) La constante de reflexión es

Figura 15 Diagrama Fasorial ejercicio 12

|

|

| |

|

sin |

| . |

Figura 16 Diagrama fasorial para 103.1º de V’ y V’’

√| |

|

|

| ||

| cos

√ sin

(

|

|sin . ) | |

sin

(

56

sin

.

)

| || sin | |

| cos

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Ejercicio 13 Obtenga el diagrama fasorial de una línea de transmisión con y hallar: a) Los vectores de la tensión incidente, reflejada y total en la carga. b) Los vectores de la corriente incidente, reflejada y total en la carga. c) Los vectores del inciso (a) pero a 60º de la carga. d) Hallar los puntos de tensión de máximo y mínimo valor. e) Hallar los puntos de corriente de máximo y mínimo valor. Solución La constante de reflexión es

.

.

Figura 17 Diagrama Fasorial ejercicio 13

57

y

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Ejercicio 14 Obtenga el diagrama fasorial de una línea de transmisión con y hallar: a) Los vectores de la tensión incidente, reflejada y total en la carga. b) Los vectores de la corriente incidente, reflejada y total en la carga. c) Los vectores del inciso (a) pero a 60º de la carga. d) Hallar los puntos de tensión de máximo y mínimo valor. e) Hallar los puntos de corriente de máximo y mínimo valor. Solución La constante de reflexión es

Figura 18 Diagrama Fasorial ejercicio 14

58

y

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) 3.4 Ondas estacionarias. Relación de onda estacionaria (ROE). En inglés el ROE ( ) es llamado Standing Wave Ratio (SWR) y se define como: | |

| |

| |

| |

Figura 19. Onda Estacionaria con Vmax y Vmin.

| |

| |

| | | |

| |

| |

| |

| |

| | | |

| | | |

Trabajemos con la tensión, dividiendo entre | | | | | | despejando |

| | | |

| | | | | | | |

| |

| |

| |

| |

| |

|

|

|

Apuntes de Matemática | |

{

59

| |

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016)

|

| {

Desde luego el símbolo se debe modificar puesto que si Zr = Zo el termino cumple con esta condición pero no existirá ondas reflejadas así que para este caso la constante de reflexión será cero.

|

| {

{ log

En ingles es:

log

Ejercicio 15 En una línea de transmisión que tiene una tensión incidente de 5 V y una tensión reflejada de 3 V, determinar:  El coeficiente de reflexión.  La relación de onda estacionaria. Solución | | | | |

60

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) 3.5 El coeficiente de transmisión. La línea con distintas cargas. Consideraciones respecto a la potencia. 3.5.1.- El coeficiente de transmisión se define como la relación entre la potencia de la onda transmitida y la potencia de la onda incidente. ó

| | 3.5.2.- Pérdida de retorno La Pérdida de Retorno (RL-Return Loss) es otra forma de expresar la desadaptación. Es una medida logarítmica expresada en dB, que compara la potencia reflejada por la antena con la potencia con la cual la alimentamos desde la línea de transmisión. La relación entre SWR (Standing Wave Ratio–Relación de Onda Estacionaria) y la pérdida de retorno es la siguiente: log

(

) | |

log

Aunque siempre existe cierta cantidad de energía que va a ser reflejada hacia el sistema, una pérdida de retorno elevada implica un funcionamiento inaceptable de la antena. 3.5.3.- La potencia promedio se define como [ Donde = Real del producto de dos complejos [

61

] ].

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) = Valor complejo de la tensión. = Valor conjugado del complejo de la corriente. Como ejemplo supóngase

Luego el valor de la conjugada de la corriente es:

[

]

3.6 Energía eléctrica y magnética. Potencia y desadaptación. Existen equipos que miden la potencia directa y la potencia Reflejada tal cual está representado en la siguiente figura, si ese fuera el caso la Relación de Ondas Estacionarias (ROE) se determina a través de la formula (XX)

Figura 20. Sistema de transmisión en el cual se mide la ROE

Potencia generada por el equipo (neta) = Potencia Incidente - Potencia Reflejada √ √

62

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) √ √

√ √

√ √

√ √

√

√ √

√

desde luego si se tiene el valor de la ROE se puede hallar la potencia reflejada a través de: √

Figura 21. Medición de ROE

Figura 22. Medido de ROE

Usualmente se acepta que es seguro para un equipo de radio, trabajar con un ROE de hasta 3,0: 1, no más (aunque muchos opinan que es 2,5:1).

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UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) La tabla de 3, muestra a la derecha los resultados en términos de porcentajes, donde se destaca que el máximo aceptable es normalmente que del 100% de potencia total, la potencia devuelta sea un 25% y la potencia emitida sea un 75%. Nótese que la ROE es independiente de la potencia que se use. Es decir, si hago las pruebas con la potencia mínima, media o alta de equipo de radio, la ROE resultante debe ser la misma. Por esto, por seguridad se recomienda hacer las pruebas con potencia mínima. Match es un término inglés que significa adaptar, igualar, balancear, y en el argot técnico coloquial muchos dicen machar, por ejemplo machar una antena. Esto significa que hay que adaptar las impedancias de tal forma que no exista o exista muy poco valor de ROE.

Figura 23. Transceptor (transceiver) y medidor de ROE

64

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016)

Tabla 05 ROE ROE

Porcentaje de Porcentaje de Pérdida de Potencia Potencia que Sale a la antena

1,0:1

0.0%

100.0%

1,1:1

0.3%

99.7%

1,2:1

0.8%

99.2%

1,3:1

1.7%

98.3%

1,4:1

2.7%

97.3%

1,5:1

3.0%

97.0%

1,6:1

5.0%

95.0%

1,7:1

6.0%

94.0%

1,8:1

8.0%

92.0%

2,0:1

11.0%

89.0%

2,2:1

14.0%

86.0%

2,4:1

17.0%

83.0%

2,6:1

20.0%

80.0%

3,0:1

25.0%

75.0%

4,0:1

38.0%

62.0%

5,0:1

48.0%

52.0%

6,0:1

55.0%

45.0%

10,0:1

70.0%

30.0%

65

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Perdidas de desadaptación (ML-Mismatch loss) Cuando la línea está adaptada por el lado del generador pero no por la carga se utiliza esta ecuación para el cálculo de las pérdidas de desadaptación. log

[

(

) ]

Cuando ambos terminales de la línea de transmisión están desadaptado (mismatched), se requiere una ecuación diferente para las pérdidas de desadaptación. ] log [ donde =coeficiente de reflexión de la terminación Fuente (Generador)-Línea =coeficiente de reflexión de la terminación Línea-Carga Note que la ML tendrá ahora dos valores uno para cada terminación de línea. Atenuación o Perdida (Loss) Ahora bien se tiene una ecuación para el cálculo de la atenuación o perdida (Loss) total de la línea en decibel. log

[

]

donde = coeficiente de reflexión ⁄ n= es la expresión = A=es la atenuación total presente en la línea, en decibel, cuando la línea esta propiamente adaptada (Zo=Zr)

Figura 24 Atenuación de la señal transmitida

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UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Ejercicio 16 Una línea de transmisión coaxial con impedancia característica (Zo) de 50 Ω es conectada un generador con 50 Ω en su salida, y del otro lado de la línea una carga de Zr=20 Ω de impedancia. Calcule el Mismatch Loss (pérdidas de desadaptación). Solución: Primero calcularemos VSWR = Z0/ZR (ya que Zr
:1

log

[

(

) ]

Ejercicio 17 Una línea de transmisión con impedancia característica (Zo) de 50 Ω se conecta una impedancia resistiva de 30 Ω. La línea posee una relación de perdida de 3dB/100 ft a un GHz. Calcular: a) Las pérdidas en 5 pies de línea. b) Coeficiente de reflexión. c) Pérdidas totales en 5 pies de línea desadaptadas por arriba. Solución: a) b) c) d)

⁄

⁄

log

[

]

log

[

67

]

UNEFA – Líneas de Transmisión - IngMSc. Jenry Balebona (1-2016) Robert Metcalfe (inventor de Ethernet, fundador de 3Com) ayudó a acuñar la definición de – Aumento de tasa de caída (Drop-Rate Magnification). El Aumento de tasa de caída describe el alto grado de problemas de red causados por caídas algunos paquetes. Metcalfe estima que una caída de 1 por ciento en los paquetes de Ethernet puede correlacionar a una caída de 80 por ciento en el rendimiento. Los protocolos de red modernos que envían varios paquetes y esperan solo un reconocimiento (como TCP/IP y Novell IPX/SPX) son especialmente susceptibles a caer en esto, con un solo paquete caído puede causar toda una corriente de paquetes a ser retransmitido. Los paquetes perdidos (al contrario de las colisiones de paquetes) son más difíciles de detectar, ya que se "pierden " en el cable. Cuando los datos se pierden en el cable, los datos se transmiten correctamente, pero, debido a problemas con el cableado, los datos nunca llegan al destino o llega en un formato incompleto. Adaptación en potencia y tensión mediante dos redes Para lograr simultáneamente la adaptación al generador y a la línea de transmisión son necesarias dos redes de adaptación

Figura 25 Adaptación de Redes

Al insertar la red II entre el generador y la línea, el generador equivalente que ve la línea a su entrada tiene una impedancia interna de valor ZC (teorema de Everitt) por lo que la potencia entregada a la carga será independiente de la longitud eléctrica de la línea de transmisión, siempre que la línea no tenga pérdidas. Por tanto, si la impedancia interna del generador es igual a ZC, es posible la máxima transferencia de potencia y la ausencia de onda estacionaria empleando únicamente la red I.

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