Linearviii_2

2ª Lista de Exercícios de Álgebra Linear VIII 1) Quais dos seguintes subconjuntos de IR³ são subespaços vetoriais?

{( x, y, z ) ∈ IR b) F = {( x, y , z ) ∈ IR

}

/ y =1 3 / x = 2y c) F = { ( x, y, z ) / z > 0} d) F = ( x, y , z ) ∈ IR 3 / z ≥ 0 e) F = { ( x, y, z ) ∈ IR 3 / x = y = z} a) F =

3

{

}

}

2) O conjunto solução de um sistema de equações lineares de 3 variáveis, não-homogêneo (isto é, nem todos os termos independentes são nulos) pode ser um subespaço vetorial de IR 3 ? Justifique sua resposta. 3) Seja

M 2x2

o espaço vetorial das matrizes de ordem 2. O subconjunto F de

formado por todas as matrizes de determinante zero é subespaço vetorial de

M 2x2

M 2x2 ?

Justifique. 4) Seja

P

o espaço vetorial dos polinômios em uma variável x. Mostre que:

P n = { p( x) / grau ( p) ≤ n} ∪ {q( x) = 0} É um subespaço vetorial de

P.

   u = (2, 5) como combinação linear de v = (0,7) e w = (– 4, 3).   6) Exprima o vetor (1, – 3, 10) como combinação linear dos vetores u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0)  e w = (2, – 3, 5). 5) Escreva

p ( x) = x 2 + x − 1 como combinação linear de q ( x) = x 2 + 2 x e 4 r ( x) = 2 x 2 − . 3    8) É possível escrever u = (2, 0, 1) como combinação linear de v = (1, 1, 2) e w = (1, –1, 7) Escreva

0)?

 

  ⊂ IR 3 , onde u = (1, 1, 1) e v = (1, – 1, – 1). O conjunto X gera o IR 3 ?     10) Seja X = { u , v } ⊂ IR 2 , onde u = (2, 3) e v = ( – 3, 2 ). Este conjunto gera o IR 2 ? 9) Seja X = { u , v }

11) Sejam E um espaço vetorial e X um subconjunto não-vazio de E. Mostre que S(X) é o menor subespaço vetorial de E que contém X, isto é, mostre que se F é um subespaço vetorial de E que contém X, então S(X) ⊂ F . 12) Assinale V (Verdadeiro), ou F (Falso): (

) O vetor

(

) Se X

(

) Se S(X)

   w = (1,−1,2) pertence ao subespaço gerado por u = (1,2,3) e v = (3,2,1) .

⊂ Y, então S(X) ⊂ S(Y). ⊂ S(Y) então X ⊂ Y.

( ) O subconjunto F de IR³ formado pelos vetores (x, vetorial de IR³. (





y, z) tais que xy = 0 é um subespaço  

) Seja F um subespaço vetorial de E. Se u ∉ F e v ∉ F então u + v ∉ F.