Lineare Funktion

Mathematik – Buch / 11. Klasse / Zusammenfassung der 11. Klasse

Lineare Funktionen

Der Punkt P(x; y) ist auf der Geraden gegeben. Die Normalform der Parabel ist y=mx+b. Hier ist: y0=m*x0 m=x0/y0=tan( α )

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Mathematik – Buch / 11. Klasse / Zusammenfassung der 11. Klasse 1) Berechne den Steigungswinkel α .

Lösung: 4 −1 3 = =1 5−2 3 tan(α ) = 1

m=

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Allgemein gilt: Der Graph einer linearen Funktion f mit f(x)=mx+b ist eine Gerade. m ist die Steigung und b der Ordinatenabschnitt. Die Steigung m des Graphen stimmt der Änderungsrate der Funktionswerte überein:

x y − y1 = y x − x1 Berechnung der gemeinsamen Punkte von linearen Funktionen: m=

1) Berechne den gemeinsamen Punkt der beiden Geraden. a) y= ½ x+3 und y=-x+6 Lösung: 1) 1 x + 3 = − x + 6 | −3 2 1 x = −x + 3 | +x 2 3 2 x = 3|• 2 3 x=2

1 •2+3= 4 2 P (2; 4) Vorgehensweise: y=

1. Zuerst setzt man beide Gleichungen gleich. 1 x + 3 = − x + 6 | −3 2 2. Danach berechnet man x. 1 x + 3 = − x + 6 | −3 2 1 x = −x + 3 | +x 2 3 2 x = 3|• 2 3 x=2 3. Nun setzt man den x-Wert in eine der beiden Gleichungen und berechnet y.

1 •2+3= 4 2 P (2; 4) y=

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Lineare Funktionen

Aufgabe: 1. Welche Punkte haben die beiden Graphen gemeinsam? Löse die Aufgabe auch zeichnerisch. a) y= ½ x+3, y=-x+6 b) y=0,4x-1, y=2/3x+1 c) x+y=0,8, x-y=3,2 d) 4x-2y=24, y-2x+12=0 e) 2x+3y=5, 3x+2y=5 f) x-y/2=0,5, y=x 2. Zeichne die Gerade mit der Gleichung. a) y=3/2x-1 b) y=-2x+6 c) y=2,4x+0,8 d) y=- ¾ x-8/3 e) y=-2,5

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Lösungen 1) a) 1 x + 3 = − x + 6 | −3 2 1 x = −x + 3 | +x 2 3 2 x = 3|• 2 3 x=2 1 •2+3= 4 2 P (2; 4) Vorgehensweise: y=

1. Zuerst setzt man beide Gleichungen gleich. 1 x + 3 = − x + 6 | −3 2 2. Danach berechnet man x. 1 x + 3 = − x + 6 | −3 2 1 x = −x + 3 | +x 2 3 2 x = 3|• 2 3 x=2 3. Nun setzt man den x-Wert in eine der beiden Gleichungen und berechnet y.

1 •2+3= 4 2 P (2; 4) y=

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b) 2 x + 1| +1 3 2 2 0, 4 x = x + 2 | − x 3 3 4 − x=2 15 0, 4 x − 1 =

c) 0,8 − x = −3, 2 + x | + x 0,8 = −3, 2 + 2 x | +3, 2 2 x = 4 |: 2 x=2 y = −3, 2 + 2 = −1, 2 P (2; −1, 2) d) y = −12 + 2 x y = −12 + 2 x

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2) a)

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1. Punkt-Steigungs-Form

6 P2

y 5 4

yminusy1

P1 y1

3 xminusx1 2 1

-1

1 x1

2

3

4

5

6

7x

8

9

10

11

-1 Es gilt: Δy y − y1 = Δx x − x1 y − y1 x − x1 y − y1 m= | •( x − x1 ) x − x1

m=

y − y1 = m • ( x − x1 ) Diese Gleichung bezeichnet man als Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung. y − y1 = m • ( x − x1 )

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2. Zwei-Punkte-Form:

6 P2

y 5 4

yminusy1

P1 y1

3 xminusx1 2 1

-1

1 x1

2

3

4

5

6

7x

8

9

10

-1 m=

Δy y − y1 = Δx x − x1

Wenn man für m dies einsetzt, erhält man die Zwei-Punkte-Form. m=

Δy y2 − y1 = Δx x2 − x1

y − y1 = m • ( x − x1 ) y − y1 =

y2 − y1 • ( x − x1 ) x2 − x1

Zusammenfassung: 1. Normalform Die Gerade hat die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. y=mx+b 2. Punkt-Steigungs-Form Die Gerade hat die Steigung m und geht durch den Punkt P(x1; y1). y − y1 = m • ( x − x1 ) 3. Zwei-Punkte-Form Die Gerade geht durch die Punkte P1(x1; y1) und P2(x2; y2). y −y y − y1 = 2 1 • ( x − x1 ) x2 − x1 © klassenarbeiten.de [Autor: Florian Modler]

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Aufgaben:

1. Die Gerade g geht durch den Punkt P1 und hat die Steigung m. Stelle mit Hilfe der PunktSteigungs-Form die Gleichung von g auf und führe diese in die Normalform über. a) P1(4;1), m= ½ b) P1(-6;0), m= 1/3 c) P1(-4;4), m=-2 d) P1(8;0), m=- ¾ e) P1(0;7,5), m=1 f) P1(-1,8;-4), m=0 g) P1(16/5;-24/5), m=-3/2 h) P1(√2;1), m=√2 i) P1(√7;-√7), m=-1 2. Die Gerade geht durch die Punkt P1 und P2. Stelle mit Hilfe der Zwei-Punkt-Form die Gleichung von g auf und führe diese in die Normalform über. a) P1(1;2), P2(2;4) b) P1(4;6), P2(8;7) c) P1(0;3), P2(5;0) d) P1(-4;1), P2(4;3) e) P1(-3;1), P2(4;-6) f) P1(-2;- ½ ), P2(7;- ½ ) g) P1(-26/5;-3/5), P2(-6/5;2/5) h) P1(-1,3;-4,7), P2(4,7;1,3) i) P1(1;2), P2(√3;√12)

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Lösungen: 1) a) y − y1 = m • ( x − x1 ) y −1 = y=

1 • ( x − 4) 2

1 x −1 2

b)

y − y1 = m • ( x − x1 ) 1 y − 0 = • ( x + 6) 3 1 y = x+2 3 Vorgehensweise:

1. Zuerst wendet man die Formel an: y − y1 = m • ( x − x1 ) y − y1 = m • ( x − x1 ) 1 y − 0 = • ( x + 6) 3 1 y = x+2 3 2. Danach stellt man die Gleichung auf. y − y1 = m • ( x − x1 ) 1 y − 0 = • ( x + 6) 3 1 y = x+2 3

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2) a) y − y1 =

y2 − y1 • ( x − x1 ) x2 − x1

4−2 • ( x − 1) 2 −1 y − 2 = 2 x − 2 | +2 y = 2x y−2=

d) y − y1 =

y2 − y1 • ( x − x1 ) x2 − x1

3 −1 • ( x + 4) 4+4 1 y − 1 = x + 1| +1 4 1 y = x+2 4 y −1 =

Vorgehensweise:

1. Zuerst wendet man die Formel an: y − y1 = y − y1 =

y2 − y1 • ( x − x1 ) . x2 − x1

y2 − y1 • ( x − x1 ) x2 − x1

3 −1 • ( x + 4) 4+4 1 y − 1 = x + 1| +1 4 1 y = x+2 4 2. Danach stellt man die Gleichung auf. y −1 =

y − y1 =

y2 − y1 • ( x − x1 ) x2 − x1

3 −1 • ( x + 4) 4+4 1 y − 1 = x + 1| +1 4 1 y = x+2 4 y −1 =

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