Limiti Con Excel

Introduzione al concetto di limite con Excel Esercizio 1 Si consideri la funzione 𝑓 𝑥 =

𝑥 2 − 5𝑥 + 6 𝑥−3

e se ne studi il comportamento per valori di 𝑥 prossimi a 3.

Analisi dell’esercizio Bisogna predisporre il foglio di lavoro in modo tale da riprodurre una tabella nella quale vengono inseriti i valori della variabile indipendente e i corrispondenti valori della variabile dipendente. Dalla loro analisi si dovrà dedurre il comportamento richiesto.

Indicazioni operative e richieste 1. Qual è il dominio della funzione data? _______________________________________________ 2. Cosa puoi dire circa l’immagine di 3 tramite la 𝑓? ______________________________________ 3. Avvia il programma Excel cliccando su START  PROGRAMMI 4. Nella cella A1 inserisci il testo: “I Limiti con Excel ” 5. Nella cella A3 inserisci il testo: “Studente: ” 6. Dal menu INSERISCI scegli la voce OGGETTO e dal menu che compare scegli la voce MICROSOFT EQUATION 3.0 7. Scrivi la funzione data 8. Partendo dalla cella A9 organizza una tabella del tipo: 𝒙

2,9

2,99

2,999

2,9999

3,1

3,01

3,001

3,0001

𝒇 𝒙 9. Nelle celle B9, C9, D9, … inserisci i valori della variabile x che siano prossimi a 3. (Si consiglia di 1

1

1

1

1

1

partire da 3 − 10, 3 − 100 , … fino a 3 − 10000 e saltare a 3 + 10 , 3 + 100 , … fino a 3 + 10000 ) 10. Così facendo ti stai avvicinando al valore 𝑥 = 3 sia “per difetto” che “per eccesso”. 11. Posizionati nella cella B10 e digita il comando: “=(B9^2-5*B9+6)/(B9-3)”

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12. Dopo aver cliccato su INVIO, trascina il valore ottenuto nella cella a tutte le altre celle. Otterrai una tabella del tipo: x f(x)

2,9 0,9

2,99 0,99

2,999 0,999

2,9999 0,9999

3,1 1,1

3,01 1,01

3,001 1,001

3,0001 1,0001

13. Cosa noti? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 14. Seleziona i dati e costruisci un diagramma a dispersione. Otterrai un grafico come il seguente:

f(x) 1,5 1 f(x)

0,5 0 2,85

2,9

2,95

3

3,05

3,1

3,15

Cosa noti? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 15. Come avrai capito, quando il valore della variabile indipendente si avvicina a 3, la variabile dipendente assume dei valori sempre più prossimi a 1. Ciò viene formalizzando scrivendo: lim 𝑓 𝑥 = 1

𝑥→3

e si legge: “il limite per x che tende a 3 di f(x) è uguale a 1”.

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“Che cosa vuol dire esattamente questa espressione?” 16. Se si rappresentano su una retta i punti corrispondenti a 𝑓 𝑥 e il punto 1, è possibile notare che all’approssimarsi di 𝑥 a 3, diminuisce la distanza tra i valori di 𝑓 𝑥 e 1.

17. Considera di nuovo la tabella in cui hai rappresentato 𝑥 ed 𝑓 𝑥 e aggiungi una nuova riga in cui calcolerai i valori 𝑓 𝑥 − 1 , ovvero le distanze di 𝑓 𝑥 da 1.

x f(x) |f(x)-1|

2,9 0,9 0,1

2,99 0,99 0,01

2,999 0,999 0,001

2,9999 0,9999 0,0001

3,1 1,1 0,1

3,01 1,01 0,01

3,001 1,001 0,001

3,0001 1,0001 0,0001

18. Considera adesso la funzione 𝑔 𝑥 = −𝑥 2 + 1 e si faccia tendere 𝑥 a 3. 19. Costruisci la stessa tabella di sopra. Otterrai: x g(x) |g(x)-1|

2,9 9,41 8,41

2,99 9,9401 8,9401

2,999 9,994001 8,994001

2,9999 9,9994 8,9994

3,1 10,61 9,61

3,01 3,001 3,0001 10,0601 10,006 10,0006 9,0601 9,006001 9,0006

20. Cosa noti? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 21. Anche in questo caso i valori 𝑔 𝑥 − 1 diminuiscono per 𝑥 → 3, ma 𝑔 𝑥 non tende a 1. 22. Analizzando la seconda riga della tabella precedente, completa il limite: lim 𝑔 𝑥 = _____

𝑥→3

23. Qual è, secondo te, la differenza tra i valori 𝑓 𝑥 − 1 e 𝑔 𝑥 − 1 ? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 24. Osserva che la distanza di 𝑓 𝑥 da 1, per 𝑥 → 3, può essere resa minore di un qualunque numero positivo prefissato (a patto di scegliere valori di 𝑥 abbastanza vicini a 3), ovvero può essere resa “piccola a piacere”. Lo stesso non si può dire della distanza di 𝑔 𝑥 da 1.

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25. Come applicazione di quanto detto, calcola per quali valori della variabile indipendente la distanza di 𝑓 𝑥 da 1 è minore di 0,001. Per fare ciò devi risolvere la disequazione: 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 − 1 < 0,001 𝑥−3 26. Hai ottenuto come intervallo di soluzioni un intorno del punto 3? __________________________ 27. Generalizzando avremo che: fissato un numero 𝜀 > 0, arbitrariamente piccolo, la distanza di 𝑓 𝑥 da 1 risulterà minore di 𝜀 per ogni valore della 𝑥 ≠ 3 che appartiene ad un intorno del punto 3, la cui ampiezza è dipendente da 𝜀. Quindi, partendo dalla disequazione 𝒇 𝒙 − 𝟏 < 𝜀, bisogna dimostrare che le sue soluzioni costituiscono un intorno di 3. 28. Effettuando i passaggi si ha: 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 − 𝑥 + 3 −1 <𝜀 ⟹ <𝜀 𝑥−3 𝑥−3 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 𝑥−3 2 ⟹ <𝜀 ⟹ <𝜀 ⟹ 𝑥−3 <𝜀 𝑥−3 𝑥−3 𝑥≠3 ⟹ −𝜀 < 𝑥 − 3 < 𝜀 ⟹ 3 − 𝜀 < 𝑥 < 3 + 𝜀

𝑓 𝑥 −1 <𝜀 ⟹

La disuguaglianza 𝑓 𝑥 − 1 < 𝜀 è quindi soddisfatta da tutti i valori di 𝑥 ∈ 3 − 𝜀, 3 + 𝜀 , che costituisce un intorno di 3 di ampiezza 2𝜀. 29. Formalizzando quanto detto finora si avrà le seguente definizione: Definizione: Sia 𝒇 𝒙 una funzione definita in un intorno 𝑰 𝒙𝟎 , escluso al più 𝒙𝟎 e a valori in ℝ. Diremo che, per x tendente a 𝒙𝟎 , la funzione 𝒚 = 𝒇 𝒙 ha per limite l e si scrive: 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝒍 𝒙→𝒙𝟎

se, comunque si scelga un numero 𝜺 > 𝟎, arbitrariamente piccolo, si può determinare, in corrispondenza di esso, un intorno completo di 𝒙𝟎 tale che, per ogni x di tale intorno (escluso al più 𝒙 = 𝒙𝟎 ), si abbia: 𝒇 𝒙 −𝒍 <𝜺 Osservazione: In simboli avremo: 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙 = 𝒍 ⟺ ∀𝜺 > 0 ∃ 𝐼 𝒙𝟎 : ∀𝒙 ∈ 𝑰 𝒙𝟎 ∩ 𝒅𝒐𝒎𝒇 − 𝒙𝟎

𝒙→𝒙𝟎

𝒇 𝒙 −𝒍 <𝜀

Tale definizione ha un significato geometrico rappresentato nella seguente figura. Osservazione: La definizione in simboli si presenta come segue: lim f  x   l    0I  x0  : x  I  x0   x0 

x  x0

f  x  l  

Il significato geometrico della definizione è illustrato nel seguente grafico. Erasmo Modica www.matematica.blogscuola.it

Scelto 𝜀 > 0, si considera l’intorno del limite 𝐼 𝑙 = 𝑙 − 𝜀, 𝑙 + 𝜀 e si considerano le controimmagini degli estremo 𝑙 − 𝜀 ed 𝑙 + 𝜀. Se tali controimmagini individuano un intorno di 𝑥0 , il limite è verificato, in caso contrario non lo è. Osservazioni: 1. Si noti che la disequazione 𝑓 𝑥 − 𝑙 < 𝜀 equivale a 𝑙 − 𝜀 < 𝑓 𝑥 < 𝑙 + 𝜀. Perciò se lim𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 = 𝑙 allora è possibile determinare, in corrispondenza di un qualunque 𝜀 > 0, un intorno di 𝑥0 tale che, per tutti gli x di tale intorno, eccetto al più 𝑥 = 𝑥0 , il valore di 𝑓 𝑥 cada nell’intervallo 𝑙 − 𝜀, 𝑙 + 𝜀 . 2. Per verificare la correttezza del lim𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 = 𝑙 si dovrà quindi risolvere la disequazione 𝑓 𝑥 − 𝑙 < 𝜀; se l’insieme delle soluzioni così determinato è un intorno di 𝑥0 oppure contiene un intorno completo di 𝑥0 (con l’esclusione, al più, di 𝑥0 stesso), il limite è verificato. 3. La definizione di limite non tiene conto dell’eventuale valore di 𝑓 𝑥 per 𝑥 = 𝑥0 : esso può esistere o non esistere, perciò, nella risoluzione della disequazione 𝑓 𝑥 − 𝑙 < 𝜀, è sempre possibile supporre 𝑥 ≠ 𝑥0 .

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Esercizio 2 Costruisci con Excel una tabella che riporti i valori della funzione 𝑓 𝑥 =

𝑥2 + 𝑥 − 2 𝑥−1

per valori della variabile indipendente che si approssimano a 1. a) b) c) d)

𝑥 2 +𝑥−2

Quale presumi che sia il valore del lim𝑥→1 𝑥−1 ? Calcola i valori delle distanze di 𝑓 𝑥 da 1. Per quali valori della variabile indipendente la distanza di 𝑓 𝑥 da 1 è 0,01? Verifica tale limite.

Esercizio 3 Costruisci con Excel una tabella che riporti i valori della funzione 𝑓 𝑥 =

𝑥−2 𝑥+1

per valori della variabile indipendente che si approssimano a 2. 𝑥−2 a) Quale presumi che sia il valore del lim𝑥→2 𝑥+1? b) Esiste un modo per calcolare il limite senza dover costruire la tabella? c) Calcola i valori delle distanze di 𝑓 𝑥 da 2. d) Per quali valori della variabile indipendente la distanza di 𝑓 𝑥 da 1 è 0,1? e) Verifica tale limite. Suggerimenti per la risoluzione del punto e) Per definizione di limite si ha che: 𝑥−2 = 0 ⟺ ∀𝜀 > 0 ∃ 𝐼 2 : ∀𝑥 ∈ 𝐼 2 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑓 − 2 𝑥→2 𝑥 + 1 lim

Quindi bisogna risolvere la disequazione: −𝜀 <

𝑥−2 <𝜀 𝑥+1

che equivale a risolvere il sistema: 𝑥−2 > −𝜀 𝑥+1 𝑥−2 <𝜀 𝑥+1

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𝑥−2 −0 <𝜀 𝑥+1