Limites Y Derivadas Ej01

´ GU´IA No 5 DE CALCULO Ingenier´ıa Civil Industrial (B-07) Ingenier´ıa Estad´ıstica Lunes 25 de Junio de 2007 Profesores: Luis M. Riquelme Q. Felipe A. L´ opez B. Ayudantes: Mauricio S. Olivares A. Andr´ es A. Paredes G.

1. Defina f (x) = senh x =

ex − e−x , denominado seno hiperb´olico. 2

a) Determine su dominio, ceros y estudie su signo. b) Demuestre que f (x) es una funci´on continua. c) Analice la existencia de as´ıntotas horizontales y verticales. d ) Demuestre que f (x) es inyectiva. e) Demuestre que

³ ´ √ f −1 (x) = ln x + 1 + x2

f ) Denote este funci´on inversa por arcsenh x. Determine 2. Defina f (x) = cosh x =

d arcsenh x. dx

ex + e−x , denominado coseno hiperb´olico. 2

a) Determine su dominio, ceros y estudie su signo. b) Demuestre que f (x) es una funci´on continua. c) Analice la existencia de as´ıntotas horizontales y verticales. d ) Demuestre que f (x) es una funci´on par 3. Demuestre que a) cosh2 x − senh2 x = 1 b) cosh2 x + senh2 x = cosh 2x c) 2 senh x cosh x = senh 2x 1 + cosh 2x d ) cosh2 x = 2 −1 + cosh 2x e) senh2 x = 2

1

4. Calcule los siguientes l´ımites: a) b) c) d) e) f) g)

h) i) j) k) l) m) n)

1 − cos x . x→0 x2 µx − λ x l´ım . Donde λ y µ son constantes reales positivas. x→0 x tan µx l´ım . Donde λ y µ son constantes reales positivas. x→0 tan λx λx + 23 l´ım p . Donde λ y µ son constantes reales positivas. x→+∞ µ2 x2 + 28 λx + 23 l´ım p . Donde λ y µ son constantes reales positivas. x→−∞ µ2 x2 + 28 x−3 l´ım . x→3 |3 − x| l´ım

(x + h)n − xn . Recuerde el Teorema del Binomio,i.e, h→0 h n µ ¶ X n n−m m n (z + w) = z w . m m=0 l´ım

senh x . x→0 x 1 − cosh x l´ım . x→0 x senh λx l´ım . Donde λ y µ son constantes reales positivas. x→0 senh µx sen λx l´ım . Donde λ y µ son constantes reales positivas. x→0 sen µx 1 − cos µx l´ım . Donde λ y µ son constantes reales positivas. x→0 1 − cos λx 1 − sen x l´ım . x→π/2 | cos x| √ 1 − sen x . l´ım x→π/2 | cos x| l´ım

5. Dada la funci´on   2x + L f (x) = 1 − x2   Mx + 3

x < −1 |x| ≤ 1 x>1

Determine los valores de M y L para que f sea una funci´on continua.

2

6. Dada la funci´on  sen L(x + 1)   x < −1    x+1      |x| ≤ 1 f (x) = L − M x2        arc sen M (x − 1)   x>1  (x − 1) Determine los valores de M y L para que f sea una funci´on continua. 7. Dada la funci´on  x−1 − M x−1  L x<1 x−1 f (x) =  M + ln x x>1 ex−1 − 1 Determine los valores de M y L para que f sea una funci´on continua. 8. Considere f (x) = (u(x))v(x) tal que u(x) > 0 muestre que f (x) = ev(x) ln u(x) y deduzca una f´ormula para f 0 (x). Utilicela para calcular ¢(x−1 +ex ) d ¡ 2 x x e + sen x dx 9. Determine a) b) c) d) e) f) g)

d (3x4 + 2x3 − x2 + 5). dx µ ¶ d 3x4 + 2x3 − x2 + 5 . dx x2 − 3x + 7 ¢ d ¡√ 4 3x + 2x3 − x2 + 5 . dx µ√ 4 ¶ d 3x + 2x3 − x2 + 5 . dx 7x4 + 2x3 − 5 µ ¶ d log2 x − 1 . dx x−2 µ ¶ d x−1 . dx sec x µ x ¶ d 2 . dx senh x

3

h) i) j) k) l) m) n) n ˜) o) p) q)

d ³ sen x ´ . dx senh x µ ¶ d x−1 . dx sec ex d (tan x cot 5x). dx µ ¶ d 4x2 − 1 . dx cos (sen 2x) d x (x ). dx d ((ln x)x ). dx d ((1 − cos x)sen x ). dx d ((senh x)sen x ). dx µ ´senh x ¶ d ³π − tan x . dx 2 d ³ ³ sen x ´´ ln . dx ex2 ³ sec x ´´ d ³ cosh 1+x2 . dx e ln x

4