Limites-laterales Actualizado Lady.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN DE TACNA FACULTAD DE CIENCIAS AGRICOLAS ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE ECONOMIA AGRARIA

CURSO: Matemática ll Docente:

TEMA Desarrollo y graficar lo que entiende por Límites Laterales

INTEGRANTES:

LUGAR Y FECHA TACNA 2018

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 3 I.

OBJETIVOS ........................................................................................................................ 4

II.

LÍMITES LATERALES ...................................................................................................... 5 a). Definición: ........................................................................................................................ 5 b). Observaciones: ............................................................................................................... 6 Ejemplo de regla de correspondencia:....................................................................... 6 Ejemplo directo de límites laterales: ........................................................................... 6 c). Ejercicios de límites laterales: .................................................................................... 7

III.

CONCLUSIONES......................................................................................................... 11

IV.

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................ 12

2

INTRODUCCIÓN

Se dice que límite es la tendencia de una función en términos de una variable. La idea es que, en una función, al hablar de límite, decimos que tiene uno si se puede acercar a un cierto número (o sea, el límite) tanto como queramos. Se dice que el límite de una función en términos de una variable, tiende a un número; ésta puede hacerlo por la derecha: (cuando se aproxima desde el infinito positivo hacia el número), y puede hacerlo por la izquierda: (cuando se aproxima desde el infinito negativo hacia el número).

3

I.   

OBJETIVOS Definir los límites laterales. Demostrar gráficamente los límites laterales (en ejercicios). Identificar los límites laterales (por izquierda, por derecha) en ejercicios.

4

II.

LÍMITES LATERALES

a). Definición: Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir. El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera:



x → a- significa que X tiende a “a” tomando valores menores que “a”, es decir valores que se encuentran a su izquierda.



x → a+ significa que X tiende a “a” tomando valores mayores que “a”, es decir valores que se encuentran a su derecha.

Para analizar el límite de una función en un punto, es necesario acercarse a ese punto (punto de acumulación), tanto por derecha como por izquierda, a esta forma de acercarse al punto analizado por los lados se le conoce como Límites Laterales y se simboliza por:

De hecho, para poder decir que el límite en un punto existe, se debe verificar que el límite de f(x) por la izquierda es igual al límite de f(x) por la derecha.

5

b). Observaciones: Para que exista: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) , debe cumplir la siguiente condición:

i.

𝒙→𝒂

∃ 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 ⇔ 𝒙→𝒂

ii.

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) =

𝒙→𝒂+

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝐋 𝒙→𝒂−

∄ 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) , en los siguientes casos: 𝒙→𝒂



Cuando no existe (∄), uno de los límites laterales.



Cuando ∃ los limites laterales, pero que sean diferentes. Es decir: ∄ 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) ⇔ 𝒙→𝒂

iii.

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) ≠

𝒙→𝒂+

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→𝒂−

Los límites laterales se aplican cuando la función tiene dos o más reglas de correspondencia. Es decir: 𝑓(𝑥) = f1 (x), si X ϵ Df f2 (x), si X ϵ Df . . .

f3 (x), si X ϵ Df Ejemplo de regla de correspondencia: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4 , si X ϵ Df x , si X ϵ Df Donde 𝑓(𝑥) tiene dos reglas de correspondencia Ejemplo directo de límites laterales:

6

c). Ejercicios de límites laterales: 1. Calcular que existe: 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) , donde: 𝑓(𝑥)= 𝑥 2 + 2 , si x ≤ 1 𝒙→𝟏

𝑥 + 1 , si x > 1

Solución: Por teoría conocemos: ∃ 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝑳 ⇔ 𝒙→𝒂

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) =

𝒙→𝒂+

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝐋 𝒙→𝒂−

i. Graficando: y = 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2 , si x ≤ 1 x y= f(x)

1 3

0 2

-1 3

-2 6

… …

3 4

4 5

… …

Forma “curvada o curva” ii. Graficando: y = 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 , si x > 1 x y= f(x)

1 2

2 3

Forma “recta” En X o Y:

7

Calculando:

lim 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓1(𝑥) = lim−(𝑥 2 + 2) = 3

𝑥→1−

𝑥→1

𝑥→1

lim 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓2(𝑥) = lim+(𝑥 + 1) = 2

𝑥→1+

𝑥→1

𝑥→1

Luego:

lim 𝑓(𝑥) ≠ lim− 𝑓(𝑥)

𝑥→1+

𝑥→1

lim 𝑓1(𝑥) = 3 ≠ 2 = lim+ 𝑓2(𝑥)

𝑥→1−

𝑥→1

∴ ∄ 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟏 2. Calcular si existe 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) , 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) , donde: 𝒙→𝟏

𝒙→𝟒

𝑓(𝑥) =

𝑥 2 , si x < 1 𝑥 , si 1 < x < 4 4 − 𝑥 , si x > 4

i. Graficando: y = 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , si x < 1 x y= f(x)

1 1

0 0

-1 1

-2 4

… …

3 3

4 4

… …

6 -2

7 -3

… …

Forma “parábola” ii. Graficando: y = 𝑓(𝑥) = 𝑥 , si 1 < x < 4 x y= f(x)

1 1

2 2

Forma “recta” iii. Graficando: y = 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥 , si x > 4 x y= f(x)

4 0

5 -1

Forma “recta”

8

Calculando (caso 1):

lim− 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓1(𝑥) = lim−(𝑥 2 ) = 1

𝑥→1

𝑥→1

𝑥→1

lim 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓2(𝑥) = lim+(𝑥) = 1

𝑥→1+

𝑥→1

𝑥→1

Luego:

lim 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥)

𝑥→1+

𝑥→1

lim 𝑓1(𝑥) = 1 = 1 = lim+ 𝑓2(𝑥)

𝑥→1−

𝑥→1

∴ ∃ 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)= 1 𝒙→𝟏

9

Calculando (caso 2):

lim 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓2(𝑥) = lim−(𝑥) = 4

𝑥→4 −

𝑥→4

𝑥→4

lim 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓3(𝑥) = lim+(4 − 𝑥) = 0

𝑥→4 +

𝑥→4

𝑥→4

Luego:

lim 𝑓(𝑥) ≠ lim− 𝑓(𝑥)

𝑥→4 +

𝑥→4

lim 𝑓2(𝑥) = 4 ≠ 0 = lim+ 𝑓3(𝑥)

𝑥→4 −

𝑥→4

∴ ∄ 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟒

10

III.



 

CONCLUSIONES

Se definió correctamente los límites laterales tanto por izquierda como por derecha con sus respectivas observaciones para esclarecer más el tema de investigación y desarrollo. Se mostró gráficamente los límites laterales en los ejercicios mencionando las formas de las funciones al unir los diferentes puntos. Se logró identificar los límites laterales con sus respectivos desarrollos.

11

IV.

BIBLIOGRAFÍA



Huertas, C. (19 de febrero de 2012). Slidshare. Obtenido de Slidshare: https://es.slideshare.net/Christiam3000/limites-11661820



J.L.Ferrante, J. (febrero de 2009). Análisis Matemático II. Obtenido de Análisis Matemático II: http://www.edutecne.utn.edu.ar/guias_de_estudio/limites.pdf



Muñoz, M. V. (23 de Noviembre de 2013). Límites Laterales. Obtenido de Límites Laterales: https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/781/1/1485.pdf

12