Limites Fundamentais

Limites Fundamentais Para o estudo dos limites fundamentais é útil conhecer e saber aplicar as propriedades dos limites, que são: 1) O limite de uma constante é a própria constante: lim K = K com K ∈ R

x →a

Exemplo:

lim 7 = 7

x →−2

2) O limite da soma ou diferença é igual a soma ou diferença dos limites, caso estes limites existam: lim [ f ( x ) ± g ( x)] = lim f ( x ) ± lim g ( x )

x →a

x →a

x →a

Exemplo:

3) O limite do produto é o produto dos limites, caso estes limites existam: lim [ f ( x) ⋅ g ( x)] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x)

x →a

Exemplo:

x →a

x →a

4) O limite do quociente é igual ao quociente dos limites, caso estes limites existam: lim f ( x) f ( x) x → a = lim g ( x ) x → a g ( x) lim

x →a

Exemplo:

5) O limite da potência de uma função f(x) é igual à potência do limite da função, caso esse exista:

lim

x →a

[ f ( x )] n

n

  =  lim f ( x)  x →a 

com

n ∈N *

Exemplo:

6) O limite de uma constante vezes uma função é igual à constante vezes o limite da função, caso esse limite exista: lim [ K . f ( x)] = K ⋅ lim f ( x)

x →a

x →a

7) O limite da raiz enésima de uma função é a raiz enésima do limite da função: lim n f ( x ) = n lim f ( x ) com n ∈N * e f ( x ) ≥ 0 se x →a

x →a

Exemplo:

n for par

Limites Fundamentais: 1º Limite Fundamental: “Se x é um arco em radianos e sen x é a medida do seno desse arco; então quando o arco x tender a zero, o limite da divisão do valor de seno de x pela medida do arco x será igual a 1”

sen x =1 x →0 x lim

Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: Seja x um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestas condições, o valor de senx será igual a sen 0,0001 = 0,00009999, (obtido numa calculadora científica). Efetuando-se o quociente, vem:

sen x 0,00009999 = x 0,0001

= 0,99999 = 1

. Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o valor do quociente

sen x se aproximará x

do valor 1, caracterizando-se aí, a noção intuitiva de limite de uma função. Observe o cálculo abaixo: sen 4 x 4. sen 4 x 4 sen u sen u = lim = lim = 4. lim = 4.1 = 4 x 4.x u x →0 x →0 x →0 x →0 u lim

Observe que fizemos acima, uma mudança de variável, colocando 4x = u, de modo a cairmos num limite fundamental. Verifique também que ao multiplicarmos numerador e denominador da função dada por 4, a expressão não se altera. Veja outro exemplo: sen 3 x 0 = = ? então, aplicando o 1º fundamental temos: x 0 x →0 lim

multiplicando o numerador e o denominador por 3 temos: 3 sen 3 x sen 3 x . = 3. lim =1 x 3x x →0 3 lim

Exercícios propostos: 1- lim

1 − cos x

x →0

3x

2

tg 3 x = x →0 2 x

=

2- lim

1 + cos x = cox x →0

3- lim

2º Limite Fundamental:

x

1  lim 1 +  = e x x →∞

onde e = 2,71828 ... nº de Euler

x

1 A tabela abaixo mostra os valores de 1 +  a medida em que o valor de x “tende” a ser 

muito grande, ou seja x (1+1/x)x

1 2

x

x→ ∞

2 5 10 50 100 200 300 500 1000 5000 2,25 2,48832 2,59374 2,69159 2,70481 2,71152 2,71377 2,71557 2,71692 2,71801

Veja o exemplo:

Exercícios propostos: 1− x

x

3 1- lim 1 +  = x →∞

2 2- lim 1 + 

x

x →∞

3º Limite Fundamental: “ Seja um valor exponencial

bx

x

=

, onde b é a base, positiva e

diferente de 1. Sendo x o expoente, um numero real qualquer temos que: se o número x x tender a zero então a expressão b −1 assumirá o valor de ln b .

x

b x −1 = ln b x x →0 lim

x De forma intuitiva, observe o que ocorre com o valor da expressão 2 −1 a medida em que

x

o valor de x se aproxima de zero pela direita, ou seja vamos calcular: 2 x −1 x x →0 + lim

x 0,5

2 x −1 x 0,82843

0,4 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001 0,0001

0,79877 0,74349 0,71773 0,7053 0,69797 0,69556 0,69339 0,69317

Observe que o valor 0,69317 é igual a ln 2 = 0,69317 Exercícios propostos: 6x − 4x = x x →0

b x −1 = ln b x x →0

1- lim

3º Fundamental: lim

x 1 2- lim 1 +  = x →∞

Conseqüências dos Fundamentais:

2x 

e x −1 = x →0 5 x

a) lim

3- lim

x →0

e x −1 =1 x x →0

e x −1 4- lim = faça ... dividir x →0 sen x N ( x ) e D ( x ) por x

b) lim

ln(1 + x) 2 5- lim = x x →0

c) lim

ln( z + 1) =1 z z →0

e x −1 = faça ... x x →0

6- lim

e x −1 = z ⇒e x = z +1 ⇒ x = ln( z +1)

seguir divida por z Resumo sen x =1 x →0 x

1º Fundamental: lim

x

1 2º Fundamental: lim 1 +  = e x →∞

cos x − 1 =0 x

x

a