Limites

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LIMITES Y CONTINUIDAD: 1º Idea de intuitiva de Límite 2º Definición de Límite. 3º Propiedades de los Límites. 4º Cálculo de algunos límites : ( Indeterminaciones ) 5º ASÍNTOTAS DE UNA CURVA. 6º Definición de continuidad 7º Tipos de discontinuidades 8º Estudio de la continuidad de funciones.

1º Idea de límite de una función en un punto : Sea la función y = x2 . Si x tiende (por la izquierda números mas pequeños y por la derecha con números mas grandes) a 2¿ a qué valor se aproxima y? es decir sus imágenes: x  2y

1'8 3'24

1'9 3'61

1'99 3'9601

1'999 3'996001

x  2+ y

2'2 4'84

2'1 4'41

2'01 4'0401

2'001 4'004001

Luego cuando x se aproxima a 2 , tanto por la derecha como por la izquierda los valores de y se acercan cada vez más a 4 . Esta idea se suele expresar así :

lim x 2  4 (límite lateral por la izquierda)

x 2 

lim x 2  4 (límite lateral por la derecha)

x 2 

Cuando el límite por la derecha y por la izquierda existen y son iguales se dice que existe límite en ese punto y es :

lim x 2  4 x 2

Si los límites laterales en x = x0 son distintos entonces f no tiene límite en ese punto . Definición intuitiva de límite : dada una función f , el límite de f cuando x tiende a x 0 es el valor al que se aproximan las imágenes mediante f de los puntos x cuando éstos se aproximan al valor de x0 . 2º Definición matemática de límite : una función f tiene límite l cuando x tiende a x 0 si es posible conseguir que f(x) esté tan próximo a l como se quiera al tomar x suficientemente próximo a x0 ( tanto como sea necesario ) pero siendo x  x0 . Decir que "f(x) se aproxima a l tanto como se quiera" equivale a decir que la distancia de f(x) a l es menor que cualquier valor  por pequeño que este sea , es decir /f(x)- l/<. Decir que "la variable x toma valores suficientemente próximos a x0 " equivale a decir que dependiendo de la proximidad de f(x) a l , así deberá estar más o menos próximo x a x 0 para que se cumpla la hipótesis /f(x)- l/< , es decir , debe de existir un  tal que /x-x0/< . Por lo tanto se dice que una función f(x) tiene límite l cuando x tiende a x 0 , si para cualquiera que sea el número  se puede encontrar otro número  tal que / f ( x)  l /   para todo x que verifique

/ x  x0 /  

Utilizando la notación matemática :

lim f (x)  l  

x x 0

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

/ si / x  x 0 /  

 / f (x)  l /  

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lim f (x)  l  (l)  (l  , l  )  * (x 0 )  (x 0  , x 0  ) / x   * (x 0 ) f (x)  (l)

x x 0

Observemos que la función no tiene por qué estar definida en x0 para tener límite en ese punto , incluso aunque esté definida no es necesario que sea igual al límite . No obstante si f(x) está definida en x0 y f(x0) = l entonces se dice que la función es continua en x0 . Ejemplo : Veamos que

lim 2x  6 x 3

Tomamos =0'1 , es decir , la distancia entre f(x) y el límite 6 es menor que 0'1 , /f(x) - 6/<0'1 por lo tanto /2x-6/<0'1 , -0'1<2x-6<0'1 , 5'9<2x<6'1 , 2'95<x<3'05 , 3-0'05<x<3+0'05 , /x-3/<0'05 luego debemos tomar  = 0'05 Podríamos tomar un  todo lo pequeño que nosotros queramos , y siempre encontraríamos un  . En general : /f(x) - 6/< por lo tanto /2x-6/< , -<2x-6< , 6-<2x<6+ , 3-/2<x<3+/2 , /x-3/</2 luego debemos tomar  = /2 , en general  depende del valor de  que tomemos . Límites infinitos en un punto (asíntota vertical): Se dice que lim f ( x )   si para cualquier k positivo se puede encontrar un  tal que f(x)>k cuando x x 0

/x-x0/< . Ej: lim f ( x) x 3

Se dice que

x 3

lim f ( x )   si para cualquier k positivo se puede encontrar un  tal que f(x)<-k cuando

x x 0

/x-x0/< . Ej: lim f ( x) x 4

  y por el otro lado lim f ( x)  

  y por el otro lado lim f ( x)   x 4

Límites en el infinito (asíntota horizontal): Se dice que

lim f ( x )  l si para cualquier  se puede encontrar un

x 

k positivo tal que /f(x)-l/< para todo x>k . Se dice que lim f ( x )  l si para cualquier  se puede encontrar un k positivo tal que /f(x)-l/< para todo x<-k . x 

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Ej:

lim f ( x)  1 y por el otro lado lim f ( x)  1 , No tienen porque coincidir estos límites. x 

x 

Límite infinito en el infinito : a) Se dice que lim f ( x )

  si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal que

b)

f(x)>k para todo x>H . Se dice que lim f ( x )

  si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal que

c)

f(x)<-k para todo x>H . Se dice que lim f ( x)

  si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal que

d)

f(x)>k para todo x<-H . Se dice que lim f ( x )

  si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal que

x 

x 

x 

x 

f(x)<-k para todo x<-H . Ej: Relaciona cada una de estas gráficas con uno de los casos anteriores:

No existencia de límite: Cuando el límite en un punto o en   , es   decimos que el límite no existe ya que no es un número real, pero puede ocurrir además que a parte de no existir, no sea además siquiera   : Ej:

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3º Propiedades de los límites : Siempre que existan los límites. 1. El límite de una función en un punto si existe , es único y es igual a los límites laterales . 2. Si una función tiene limite distinto de cero en un punto entonces existe un entorno del punto en el que los valores que toma f tienen el mismo signo que el límite . 3. Si se cumple f(x)  g(x) para todo x en un entorno de a, se cumple que lim f ( x)  lim g ( x) x a

4.

Si

x a

lim f ( x)  lim g ( x) =L, y se cumple que f(x)  h(x)  g(x), en un entorno de a, entonces: x a

x a

lim h( x)  L x a

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

lim f+g = lim f + lim g lim f·g = lim f · lim g lim k·f = k · lim f donde k es un nº real limf/g = lim f / lim g siempre que lim g  0 lim f n = ( lim f )n donde n es un nº real lim f g = ( lim f )limg, Siempre que no sean los dos límites igual a cero. lim g(f(x)) = g ( lim f(x) )

4º Cálculo de algunos límites : ( Indeterminaciones ) Frente a un problema normal de cálculo de límites, se suele empezar aplicando las fórmulas anteriores, pero en el momento que uno de los límites a calcular ya no exista, hay que tener en cuanta las reglas operacionales siguientes: Tenemos dos funciones cuyos límites pueden ser un nº L ó   , veamos las posibles combinaciones: SUMA: L + (+  ) = +  L + (-  ) = -  (+  )+ (+  ) = +  (-  )+ (-  ) = -  (+  )+ (-  ) = INDETERMINACIÓN PRODUCTO: L>0, SI L<0 los resultados finales cambian de signo. L·(+  ) =+  L·(-  ) =-  (+  )·(+  ) =+  (-  )·(-  ) =+  (+  )·(-  ) =-  0·(  ) =INDETERMINACIÓN COCIENTE: L>0, SI L<0 los resultados finales cambian de signo.

L   0 L   0 L 0     L    L    0    0

   0    0

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0   INDETERMINACIÓN,  INDETERMINACIÓN 0  POTENCIAS: Base positiva L>0

 L   , L  0   Si 00  ()   (incluimos k = +  ) Si L>1

Si k<0 

() k  0 (incluimos k = -  )

1 , () 0 , 0 0 : INDETERMINACIONES RESUMIENDO: Al aplicar las propiedades de los límites podemos encontrar una de las siguientes indeterminaciones : 0/0 ,

 /  ,  -  , 0·  , 00 ,  0 , 1

Algunos límites que conviene conocer: NO EXISTEN

INFINITOS

lim sen( x) x 

lim Ln( x)  

x 0

FINITOS

Ln( x) 0 x  x lim

sen( x) 1 x 0 x

lim cos( x)

lim

x 

lim arctg ( x)  

x 

lim tg ( x)

2

x 

1 lim sen( ) x0 x

lim Ln( x)  

x 

lim arctg ( x)   

x 

1 lim cos( ) x0 x

1 lim tg ( ) x0 x

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2

tg ( x) 1 x 0 x

lim

lim

x 

x  0:a 1 ax

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Cálculo de límites. En general la manera de actuar es: tras las convenientes reducciones de la expresión, sustituir la “x” por el punto donde estemos viendo el límite, siendo incluso válido esta forma de trabajar en   . Tras esto tendremos en cuenta las propiedades del los limites e indeterminaciones. 1º Dado un polinomio, tenemos que lim P(x) = P(x0) es decir en los polinomios se sustituye el punto, esta misma x x 0

forma de actuar se repetirá con todas las funciones que no den problema al sustituir la x por xo, Ej: f(x) = x2, veamos el límite de esta función en el punto x=2:

lim x    ·   2

2

x 

2º Dado una función racional Ej:

lim x 2

lim x 2  2 2  4 , que ocurre en   : x 2

lim x  () 2  ()·()   2

y

x 

lim P(x)/Q(x) = P(x0)/Q(x0) si Q(x0)  0

x2 22   4 , Observar que tanto en el   , como en 3 tenemos indeterminaciones. x3 23

3º Dado una función racional

lim P(x)/Q(x) = P(x0)/Q(x0) si Q(x0) = 0

Cuando Q(x0) = 0 se puede distinguir dos casos :  Que P(x0)  0 . Tendremos que calcular los límites laterales , si existen y son iguales la función tendrá límite que será   ó   . En caso contrario no existirá límite .  Que P(x0) = 0 por lo que tendremos una indeterminación del tipo 0/0 que se resuelve factorizando numerador y denominador y simplificando la función racional . En el caso de que haya raices debemos multiplicar numerador y denominador por el conjugado . Resolución de indeterminaciones: A)INDETERMINACIÓN: En la mayoría de los Ejemplo.-

casos

basta

con

efectuar

las

operaciones

indicadas.

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-

B)INDETERMINACIÓN: En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. O transformando esta indeterminación en una del tipo 0/0 ó  /  utilizando la igualdad: P·Q =

P Q  1 1 Q P

Ejemplo.-

C)INDETERMINACIÓN:

0 0

Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador. Ejemplo.-

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IES MARE NOSTRUM  En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical-conjugada. Ejemplo.-

D)INDETERMINACIÓN:

 

En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador. Puede ser de utilidad saber que se puede transformar la indeterminación 0/0 a  /  o al revés ,

1 P Q sin más que tener presente que :  Q 1 P

En el caso más simple que es el de las funciones racionales podemos obtener los siguientes casos :  grado P(x)>gradoQ(x) lim =  

Coef _ mayor _ de _ P Coef _ mayor _ de _ Q



grado P(x)=gradoQ(x)

lim =



grado P(x)
lim = 0

Ejemplos.-

E)INDETERMINACIONES: - Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:

En el caso de la indeterminación podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad: donde resulta aplicando el método de sumar y restar 1 y buscar la potencia adecuada. pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores.

Debemos

intentar

en

una

indeterminación

del

tipo

1 que aparezca una expresión del tipo:

x

 1 1/ x lim 1    lim 1  x   e =2'71828... x  x  0  x Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:

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IES MARE NOSTRUM  5º ASÍNTOTAS DE UNA CURVA. Asíntotas-Verticales. Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si o alguno (o ambos) de los límites laterales vale . Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función

Asíntotas-Horizontales. Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si

. La asíntota puede aparecer cuando

La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función

. Como ejemplo, determinar

Asíntotas-Oblicuas. Dada la función y = f(x), si se verifica que

a)

b)

c)

entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para

. La asíntota puede

aparecer cuando Para estudiar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función

EJERCICIOS 1.Calcula los siguientes límites:

lim x2 - 2x lim 2x - 4 x2 2 x2 - 3x + 1 b) c) x  3 3 - x2 x  1 3x - 2 x2 2x + 5 2 lim 2x - 3 lim x - x + 1 lim x3 - 2x + 1 d) e) f) - 4x x  3 3x x  0 3x + 1 x  1 3x + 1 2 2 lim lim 3 x - 2x + 1 x +1 2 g) h) x - 3x + 2 - 2 x3 x  -1 x2 - 3x - 1 x -1 a)

lim

Sol: a) 1/3; b) -1/2; c) -2; d) -35/3; e) 1/4; f) 1; g) 3/4; h) 2 2. Calcula los siguientes límites:

 x2 - 1 a)  x    x2 + 2 lim

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  

x

 x2 - x b)  x    x2 - 2 lim

  

x+1

 x-2  c)   x    x +1  lim

x+1

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15x

 3 x2 - 2x d)  x    3 x2 + 1

  

  f) X   

   

lim

2 x +1 2 x -x

lim

  g) X    lim

x +1   x - 1 

 x2 + 2 e)  x    x2 - 3x lim

1

x  

x

3

x-2

2x  x 2  h)  1- 2  X   x -1  lim

Sol: a) 1; b) 1/e; c) e-3; d) e-10; e) 1; f)

e ; g) e; h) 1

3. Calcula los límites: a) c)

lim x lim

2 x +2 -

2 x - 3x b)

lim

x+2 -

x

x -1

1 1 x   x +1 x - 2

Sol: a) 3/2; b) 0; c) 0 4. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta a que tiende la incógnita: a) d) e)

h)

lim x 1 lim x 0

lim x2 lim x2

2 x + 2x

b)

2 x +1 x   x2 + 3x

lim

c)

2 x -1 x  1 x -1

lim

x +1 x

x- 2 x-2

f)

lim

x x  0 2x + 1

g)

lim

x x  0 2x

2 x -4 x-2

Sol: a) 3; b) 1; c) 2; d)  ; e)

; h) 2 2 /4; f) 0; g) 

5. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta a que tiende la incógnita: x

2 lim  x + 2 3 a) (x + 1 ) x   b) x    x -1  x 0

lim

3 x -3

 x -1    x3  2  2x-6 lim h) (2x - 5 ) x2-9 x3 e)

lim

f)

lim

x 0 lim i) x 1

c)

(1+ x )1/x

g)

lim x  -1

x

(2 + x ) x+1

d)

lim x 1

x -1

x x 2 -1

lim

x-2 x  2 2- x

x -1 x+2

Sol: a) e; b) e2; c) 1/e; d) 1; e) e3/2; f) e; g) -; h) 1; i) 0 6. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta el valor a que tiende la incógnita: a)

lim x  -1

(2 + x )

x2+2x x2 - 2

 n2 + 1 c)  n    3 n2 lim

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b) n

lim x0

2

(x  1 )x

2

 n+1   9

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 n2 - 1 n+2   2+ 2 n 

3 lim n + n - 2n d) e) n   n - n3 - n 2 n  

lim

  

n2

f)

lim

1

n   n - n2 + 3n

Sol: a) 1; b) e2; c) 0; d) -1; e) 1; f) -2/3 7. Calcula los siguientes límites teniendo en cuenta el valor a que tiende la incógnita:

 x +1 a)  x  2 lim x2 - 1 c) x   x2 + 1 lim x-3 d) x  3 x2 - 9 lim

x+1

 x2-2x+1   x+2 x+3

lim

b)

x -1 x  1 x2 - 1

e)

x - x3 x  0 x2 + x lim

f)

(n + 1) . n2 + n + n2 2 n n +1 lim

Sol: a) 1; b) 1/4; c) 0; d) ; e) 1; f) 2 8. Calcula los siguientes límites: a) d)

lim x  + lim x  +

3 + x3

b)

2 x - x + 2 c) lim x  + x  + 3

lim

 4 x2  - x + - x 3 

  

(1 - x )2

Sol: a) +; b) +;-; c) d) + 9. Dada la función

y=

x , halla: 1 - x2

lim

x x  1 1 - x2 lim x d) x  - 1 - x 2 a)

-

b)

lim

x x  1 1 - x2 +

c)

lim

x x  + 1 - x2

Sol: a) ; b) -; c) 0; d) 0 10. Sobre la gráfica de la función f(x), halla:

a) d)

lim x  -2 lim

-

x  -

f (x)

b)

lim x  -2

+

f (x)

c)

lim x 0

f (x)

f (x)

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e)

lim

x  1lim h) x  +3

f (x)

f)

lim x  1+

f (x)

g)

lim

f (x)

x  +

f (x)

Sol: a) - ; b) + ; c) 1; d) 0; e) 2; f) 0; g) - ; h) –1

 x3 + 1 si x < 1 Halla: f (x) =   2x si x  1 lim lim a) b) f (x) f (x) x 0 x2

11. Dada la función

c)

lim x 1

f (x)

Sol: a) 1; b) 4; c) 2 12. Calcula los siguientes límites:

lim

3x 2 x 0 x +x lim x2 - 3x d) x  0 2x a)

b)

2 x2 + x x  0 2x lim

c)

3 x3 + x 2 x 0 x lim

Sol: a) 3; b) 1/2; c) 0; d) -3/2 13. Resuelve los siguientes límites: 2 x -1 x  1 x -1 lim x2 - 5x + 6 d) x3 x-3

a)

3 x +x x  0 x2 + x lim x+2 e) 2 x  -2 x + 3x + 2

lim

b)

lim

lim

x-2 x  2 x2 - 4 lim x4 - 16 f) x  2 x2 - 4 c)

Sol: a) 2; b) 1; c) 1/4; d) 1; e) -1; f) 8 14. Resuelve los siguientes límites:

lim

x x  + (x + 1 )2 lim x3 + 3x - 1 d) x  - x a)

b)

lim x  -

- (x + 3 )2

c)

lim

1- x x  + (x + 2 )2

Sol: a) 0; b) -; c) 0; d) +

Asíntotas 15. Halla las asíntotas de las siguientes funciones:

3x x -1 1 d) f (x) = 2 x +1 a)

f (x) =

x-3 4 c) f (x) = x+2 3- x -x 2x e) f (x) = 2 f) f (x) = (x + 2 )2 x -x b)

f (x) =

Sol: a) x=1, y=3; b) x=-2, y=1; c) x=3, y=0; d) y=0; e) x=1, y=0; f) x=-2, y=0 16. Cada una de las siguientes funciones tiene una asíntota oblicua. Hállala y estudia la posición de la curva respecto a ella: 2

x x+2 2 x + 2x - 1 d) f (x) = x -1 a)

f (x) =

2 - x2 x 2 x3 - 2 e) f (x) = 2 x -x b)

f (x) =

Sol: a) y=x-2; b) y=-x; c) y=3x/2; d) y=x+3; e) y=2x+2; f) -2x+2 IES MARE NOSTRUM 

3 x2 - 1 2x - 2 x2 + 3 f) f (x) = x +1 c)

f (x) =

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17. Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a cada una de ellas: a)

f (x) = d)

1+ x 2x + 3 f (x) =

b)

f (x) =

2 x2 2 x + x+3

e)

3x + 1 x-4

f (x) =

x-3 2 x +1 2 x2 f) f (x) = x -1 c)

x x -1 2

f (x) =

Sol: a) x=-3/2, y=1/2; b) x=4, y=3; c) y=0; d) y=2; e) x=1, x=-1, y=0; f) x=1, y=2x+2 18. Prueba que la función

f (x) =

Sol: y=3, x=-1

3x - 1 sólo tiene una asíntota vertical y otra horizontal. x +1

6º Definición de continuidad : Se dice que una función es continua en un punto x0 si : a) Existe f(x0) b) Existe lim f ( x ) x x 0

c)

Son iguales

En forma matemática :

lim f (x)  l  

x x 0



/ si / x  x 0 /  

 / f (x)  f (x 0 ) /  

Una función se dice que es continua en un intervalo si lo es en cada uno de sus puntos . Ej: 1º Polinomios, logarítmica, exponencial, trigonométricas, racionales son continuas en todo su dominio 7º Tipos de discontinuidades :

a)

Discontinuidad evitable : Existe

lim f ( x ) pero : x x 0

 

No existe f(x0) Existe f(x0) pero f(x0) 

lim f ( x ) x x 0

Es un tipo de discontinuidad en la que existe el límite y éste es finito, pero el valor de la función en el punto o no existe o es diferente del valor del límite. Se llama evitable porque podemos "hacerla continua" dándole a la función IES MARE NOSTRUM 

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IES MARE NOSTRUM  en el punto el valor del límite. (En realidad se construye una nueva función que coincide con la anterior en todos los puntos salvo en el punto de discontinuidad. En ese punto, a la nueva función se le da el valor del límite).

b)

Discontinuidad inevitable : No existe

lim f ( x ) : x x 0

1ª especie  los límites laterales existen pero no son iguales . Discontinuidad de salto finito.  los límites laterales son   , salto infinito 2ª especie: Este tipo de discontinuidad se produce cuando no existe uno de los límites laterales, o ambos.  alguno de los límites laterales no existe .

8º Estudio de la continuidad de funciones. Para estudiar la continuidad de funciones podemos usar las propiedades de los límites: Si f es continua en x0 y g es continua en x0 : · f + g es continua en x0. · f·g es continua en x0. · f/g es continua en x0 siempre que g(x0) sea distinto de cero. Si g es continua en x0 y f es continua en g(x0) : · f o g(x) es continua en x0. · fg(x) es continua en x0. Para las funciones definidas a trozos, el estudio pormenorizado lo podemos resumir en: 1º Calcular el Dominio 2º Hacer un estudio de cada rama sin tener en cuenta los puntos frontera. 3º Hacer un estudio detallado de los puntos frontera para ver si la función engancha en dichos puntos. Ejercicios: 1º Estudia la continuidad de las funciones:

si x  0  x+1  a) f(x) =  1 si 0 < x  2  2  x -3 si x > 2

1º Dominio = IR 2º Cada rama es continua por ser polinomios en cada conjunto de definición. 3º Continuidad en 0: Veamos que lim f ( x)  lim f ( x)  f (0) x 0

x 0

lim f ( x)  lim ( x  1)  0  1  1

x 0

x 0

lim f ( x)  1  1

x 0

f (0)  0  1  1

Continuidad en 2: Veamos que lim x 2

f ( x)  lim f ( x)  f (2) x 2

lim f ( x)  lim (1)  1

x 2

x 2

lim f ( x)  lim ( x 2  3)  4  3  1

x 2 

x 2

f (2)  2  3  1 2

Luego esta función es continua en todo IR

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  3 si x  0  b) f(x) =  x si 0 < x  2   x+4 si x > 2  3 si x  1  x2 + 3x + 2 c) f(x) =   5x si 1 < x  5 x - 1 si - 4  x  2  d) f(x) =   - x 2 + 3x - 1 si 2 < x < 3  2x + 1 si x < 0  e) f(x) =  0 si x = 0   1 - x 2 si x > 0 g) f(x) = x h) f(x) = x2 - x + 1

2 si x  0 x   k) f(x) =  2x - 1 si 0 < x < 1  2  x - 3x + 3 si x  1

x + 1 si x  0  f(x) =   x2 - x + 1 si x < 0 2

j)

 0 si x = 0  f) f(x) =  1 si x  0  2  x i) f(x) = x2 - 4

Sol: a) Continua en  ; b) Continua en  \{0}; c) Continua en (- ,1) (1,5); d) Continua en [-4,3]; e) Continua en  \{0}; f) Continua en  \{0}; g) Continua en  ; h) Continua en  ; i) Continua en  ; j) Continua en  ; k) Continua en  \{0} 2. Halla el valor de k para que sean continuas las funciones: 2  x +1  a) f(x) =  x + 1 si  k   x2 + x - 2  c) f(x) =  x-1  k 

si x  0 0< x<2 si x  2 si x  1

si x = 1

si x  -2  3+ x  b) f(x) =  - x - 1 si - 2 < x < 1  si x  1  k x+2  x - 2 si x  2  2 d) f(x) =  x - 4  k si x = 2 

Sol: a) k=3; b) k=-4; c) k=3; d) k=1/4 3. Representa y estudia la continuidad de las funciones:

si x < 0  x+1  2 a) f(x) =  x si 0  x < 2   x+2 si x > 2 si x < 1  3x - 2  2 c) f(x) =  x si 1 < x < 2   6-x si x  2

-x si x < -1   b) f(x) =  1 - x 2 si - 1  x  0   x+1 si x > 0 d)

2  - x si x < 0 f(x) =   x2 si x  0

Sol: a) Continua en  \{0,2}; b) Continua en  \{-1}; c) Continua en ; d) Continua en  4. Representa y estudia la continuidad de las funciones: IES MARE NOSTRUM 

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a)

y=

4 3 2 x - 3 x +2 x 2 x - 3x + 2

4

d)

y=

2

x -x 2 x -x

b)

2

e) y =

y = x +1

x + x -6 x-2

c) y =

   f) y =   

x -1 x-1

si x  1

2 x 2 - x si 1 < x < 4 - 2 x2 + 4

si x  4

Sol: a) Continua en  \{1,2}; b) Continua en ; c) Continua en ; d) Continua \{0,1}; en  e) Continua en  \{2}; f) Continua en  \{1} 5. a) )Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función continua? b) Señala, en cada una de las otras, la razón de la discontinuidad.

II)

I)

V)

VI)

III)

IV)

Sol: a) Continua I; b) II no continua en x=1; III no continua en x=-1; IV no continua en x=1; V no continua en x=-1; VI no continua en x=1

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IES MARE NOSTRUM  6. Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: a)

f(x) =

1 x

d)

f(x) =

1 2 x +x-2

3x + 1 2x - 1 2x f) f(x) = 2 x -3

1 (x - 1 )2 x -1 e) f(x) = 3x + x2 b)

2

c)

f(x) =

f(x) =

Sol: a) x=0; b) x=1; c) x=1/2; d) x=1, x=-2; e) x=0, x=-3; f) x= 3 7. Estudia la continuidad de las funciones:

1 x +1

a)

f(x) =

d)

f(x) = 3 - x e) f(x) =

2

b)

f(x) =

x x -1

c)

2

1 x +1

f)

f(x) = x2 - 9

x x -1

f(x) =

2

Sol: a) Continua en ; b) No continua en x=1; c) No continua -3,3); en ( d) continua en (-,3];) eContinua en (-1,+); f) Continua en-1,0] (  (1,+) 8. Indica para qué valores de  son continuas las siguientes funciones. a)

f(x) = 3 -

2 x

b)

f(x) = - x

c)

f(x) = x - 1

d) f(x) = 4 - x2 Sol: a)  -{0}; b) (-,0]; c) [1,+ ); d) [-2,2] 2  3 x + 1 si x < 0 9. Comprueba si la función f (x) =  es continua en x=0. Sol: sí  x2 - x + 1 si x  0

10. Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican:

 4 - x si x  1  3 a) f (x) =  en x=1   2x + 1 si x > 1 c)

 2x + 3 si x  1 f (x) =  en x=0  x2 + 4 si x > 1

2  x - x si x < 0  b) f (x) =  en x=0 3 si x > 0 x   2

Sol: a) No; b) No; c) Sí

11. Estudia el comportamiento de estas funciones (límites laterales) en los puntos en los que no están definidas:

x +1 1 1 1 b) f(x) = c) f(x) = 2 d) f (x) = 2 2 x-3 (2 - x ) x -x x lim lim lim lim f (x) = f (x) = +  f (x) =  f (x) = +  ; Sol:a) ;b) x  2x  2+ x  3x  3+ lim lim lim lim f (x) = +  f (x) =  f (x) =  f (x) = +  ; c) ; x  1x  1+ x  0x  0+ lim lim f (x) = f (x) = +  d) x  0x  0+ a)

f(x) =

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